Исследование краевых задач для некоторых модельных ультрапараболическихуравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

Хабаровский государственный технический университет

На правах рукописи

СИН ДОНХА ЗЕМСУЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЬНЫХ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск 1990

Работа выполнена в Хабаровском государственном техническом университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор С.А.Терсенов, кандидат физико-математических наук, доцент А.Г.Подгаев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И.Е.Егоров доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Зарубин

Ведущее учреждение - институт математики СО РАН.

Защита состоится " 1996 г. в "1~У_" час. на заседании

диссертационного совета Д 064.62.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Хабаровском государственном техническом университете (680035, г.Хабаровск, ул.Тихоокеанская, 136)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета.

Автореферат разослан " марта 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета »

к.ф.-м.н., доцент Д Подгаев А.Г.

Практическая ценность обусловлена применением полученных результатов для дальнейшего исследования ультрапараболических уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по неклассическим уравнениям математической физики в институте математики СО РАН (руководитель акад. АТН. проф.

B.Н.Врагов), на семинарах теории функций НГУ (руководитель проф.

C.А.Терсенов), ХГТУ "Функциональный анализ" (руководитель"проф.

B.Д.Степанов), "Дифференциальные уравнения" (руководитель проф. А.Г.Зарубин) и на семинаре ВЦ ДВО РАН (руководитель проф.

C.И.Смагин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 109 страницах машинописного текста и состоит из введения и трех глав и списка литературы из 40 наименований.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рассмотрим ряд имеющихся результатов по ультрапараболическим уравнениям.

Первым исследовал начально-краевую задачу для ультрапараболического уравнения

п

ихх + Ьих = а0и, + £акиук + Ьи + /, а{] > 0 к=\

Н.С.Пискунов, который предложил свести его к эллиптическому уравнению.

В работе Генчева Т.Г., получены дальнейшие обобщения. Рассматривается в ограниченной области начально-краеная задача для уравнения

т т п

Е °ijuxixj + YMuxi = W + Еа*"я- +bu + f,a0>0. i,j=\ 1=1 k=1

Для исследования использовуется е-регуляризация, позволяющая

заменить исходное уравнение на

т т п п

Е +ЕЧЧ + Еа\Ьк +b&u+f>

i,j=I i=l к=1 к=1

а0е>0.

Для полученного эллиптического уравнения исследуется задача Дирихле.

Работа Ильина A.M. посвящена исследованию задачи Коши для ультрапараболического уравнения

п п т

ч = Е aijunyj++aw+•

'.7=1 У=1 Л=1

Для модельного ультрапараболического уравнения

(l,gradiu)-Au = f(x,t), /=(/„...,/„), /, >0, |/| = 1 ,

Владимировым, B.C., Дрожжиновым Ю.Н. изучена задача Коши.

Можно отметить возможность существенного расширения класса задач, использование метода, предложенного С.А.Терсеновым, для исследований параболических уравнений с меняющимся направлением времени.

Во введении дается краткое описание диссертации и обзор литературы.

В главе I изучается двумерная по "временным" переменным начально-краевая задача. Рассматривается ультрапараболическое уравне-

Цель работы состоит в разработке методов исследования начально-краевых задач и задач Коши для некоторых модельных ультрапараболических уравнений, доказательства теорем существования решения. Изучение некоторых качественных свойств полученного решения по каждой "временной" переменной по отдельности.

Методика исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, методы теории дифференциальных уравнений с частными производными: метод Фаэдо-Галеркина и априорных оценок, теория дифференциальных уравнений первого порядка, теория потенциалов для параболического уравнения.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

1. Исследованы корректные постановки начально-краевых задач для ультрапараболического уравнения с разрывными коэффициентами.

2. Доказана теорема существования решения задачи Дирихле для ультрапараболического уравнения.

3. Исследована задача Коши для вырождающегося модельного ультрапараболического уравнения.

4. Построено пространство Гельдера и доказана разрешимость задачи Коши в этом пространстве.

Практическая и теоретическая ценность. Исследования, изложенные в диссертации, проводились в соответствии с темами НИР Хабаровского государственного технического университета и Новосибирского государственного университета.

Все результаты диссертации являются новыми. Для исследования взяты модельные ультрапараболические уравнения, с целью охвата более широкого класса задач.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ультрапараболические дифференциальные уравнения являются расширением класса параболических уравнений, у которых присутствует несколько "временных" переменных. В настоящее время основными работами в этой области можно отнести исследование таких уравнений сведением к известным уравнениям.

Первыми исследованиями в этом направлении можно считать работы Пискунова Н.С., Генчева Н.С. Ими предложена техника использования в-регуляризации для сведения начально-краевой задачи ультрапараболического уравнения к задаче Дирихле эллиптического уравнения.

Наиболее существенное влияние в исследованиях задачи Коши для ультрапараболического уравнения оказали работы Ильина A.M., Владимирова B.C., Дрожжинова В.Н.

Предложенная ими методика изучения этих уравнений, вдоль характеристических линий дифференциального уравнения первого порядка, позволяющая свести данную задачу к задаче Коши для классического параболического уравнения. Такая техника исследования дает возможность получить связь между ультрапараболическим и классическим параболическим уравнением.

Существенным условием во всех этих исследованиях, является предположение, что коэффициент при одной фиксированной "временной" производной строго положительна.

К первым работам, п которых отсутствует данное условие, является работа С.А.Терсенова.

Разработка методов исследования и обоснование корректности различных начально-краевых задач и задач Коши для модельных ультрапараболических уравнений посвящена данная диссертация.

кие с разрывными постоянными коэффициентами при частных производных по "временным" переменным.

Для поставленной задачи начально-краевой задачи существует

единственное в пространстве И^1,1,2 ( ) . Доказательство строится с

помощью метода Фаэдо-Галеркина и априорных оценок для прибли-

п

женного решения и" ( Т,Л") = ^ <3, ( Т ) ( Л') .

/=1

Причем решение представленное в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора Лапласа сходится по норме того же пространства .

Для существования решения правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет дополнительным условиям согласования, обусловленные геометрией поведения характеристических линий.

Априорные оценки для приближенного решения получаются так же, как и для начально-краевой задачи классического параболического уравнения, лишь с некоторыми изменениями.

Здесь также используется техника перехода к характеристическим линиям.

Только отличие в том, что переход вдоль характеристических линий производится не в самом ультрапараболическом уравнении, а в дифференциальном уравнении первого порядка для определения коэффициентов приближенного решения.

Учитывая геометрию поведения характеристических линий, для

разрешимости начально-краевой задачи в пространстве И^,1'1'2^^)

условия согласования можно опустить вместе с некоторой частью начальных условий на границе области.

В последнем § 4 сформулирована модифицированная начально-краевая задача без условий согласований. Для данной задачи обоснование существования единственного решения в пространстве

практически повторяет доказательство приведенное в § 2

и § 3 с некоторыми изменениями и дополнениями.

В этой главе показаны некоторые особенности в постановке начально-краевых задач и его решения для ультрапараболического уран-нения второго порядка.

Пусть 0 = (-1</<1)х(-1< г<1)хП0 = /)хП0, где П0сЯп - ограниченная область с гладкой границей Б.

В области П рассматривается ультрапараболическое уравнение-переменного типа

Ьи = sgnt■ и1 + sgnт■ul + Аи = /( Т,Л') , (!)

где А = 2_,

V, д2

/=1 5 X,

Для ультрапараболического уравнения (1.1) рассматривается задача Дирихле:

найти решение уравнения (1) г,Л") 6 И^'' ' (п), удовлетворяющее

а) краевым условиям

б) начальным условиям

и(-1, г,х) = и(1, т,х) = 0, -1 < г< 1, л" еОо>

и(/,-1,*) = "('.!>*) = 0. х еП0. (3)

Пусть {и'Дл')} - полная ортонормированная в система соГ>-

ственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа:

-Дн',- = Л/И',- и H'/j^^O. Для поставленной задачи (1), (2), (3) справедливо утверждение Теорема 1. Пусть /'(/, г,.х) е L2(qo; »^(D)),

J{\,1 ,х)=Д-1,-1,л)=Д1,-1,л)=У(-1,1,х) и для всех ieN удовлетворяются условия

I -sgn /•(

jV^'V/sj"/((1 - .v) sgn t, 1 - л- sgn t ■ t,x)wi(x)dx =

o

l-sgnM

- s) Sgnr,-(1 - s) + sgnr • t,x)wj(x)dx,

o o„'

сели | T|< j 11.

I-SgnT-T

je x,IílvJ/(l - s — sgnx • x,-(l - л) • sgnx,x) w¡{x)dx =

«o

gnx-т

Je~x,'*dsj/(-(l - s) + sgnT • т, (l - sj sgnt,х) w¡{x)dx, o n,

если | С | < | Т |.

Тогда существует единственное решение задачи (1)-(3) из пространства И/2Х2(0.) и справедлива оценка

(II II- II ||2 II ||2 \

и 1кг(п) +М'1/.2(п) + 1-М/.2(п))'

гле постоянная С не зависит от «(/, т, х).

Разрешимость данной задачи показывается методом Фаэдо-

нлеркина.

В § 4 рассматривается краевая задача, в которой будут задаваться начальные условия (3) только на части границы. При этом оказывае! ся, что для разрешимости задачи некоторые условия склейки приведенные в теореме 1 являются излишними.

Постановка задачи: найти решение г,л) е уравнс-

л а2

ния (1), (когда Д =-—), удовлетворяющее краевому условию (2) и

дх

начальным условиям

и(1, г,Л') = и(-\,-т,х) = 0, 0< г<1, 0< л < 1; м(/,1,л") = и(-г,-1,л-) = 0, 0 < / < 1, 0<А'< .

Для приведенной задачи справедливо утверждение Теорема 2. Пусть /(/, т,х)еЬ2(по] И^2 (/))),

У(1,1,л:)=У(-1,-1,х)=:0 и выполнено условие

(4)

]"/(', т,х)н>п{х)с1.

0

1

] /Л', т,х)п>„{х)с1х

< се

-бгг

где

¿> 7?,

о ^

для любого яеЛ', /+у—0, и ¡'^>0.

Тогда существует единственное решение задачи (1), (2), (4) м пространства И^1,1'" ( ) такое, что

+ \\и. 11/„2(п) + К к'{п) + 1АЛ'(П):

Г II0 II и"7

) •

где постоянная С не зависит от и(1, х, х).

Доказательство теоремы 2 проводится с некоторыми изменения^ ми так же как теорема 1.

Вторая глава посвящена изучению вопросов разрешимости краевых задач в пространствах С.Л.Соболева для вырождающихся ультрапараболических уравнений второго порядка и исследованию дифференциальных и некоторых качественных свойств решений.

В предыдущих исследованиях вырождающихся по "временным" ' переменным ультрапараболических уравнений требовхчось, чтобы коэффициент одной выделенной "временной"переменной не допускал вырождения.

При этом решения исследовались вдоль характеристических линий для дифференциального уравнения первого порядка. Это не позволяло выявлять точную гладкость по каждой "временной" переменной по отдельности.

В этой главе исследуется более широкий класс ультрапараболи-чсских уравнений.

Сначала в § 1—3 исследуется задача Дирихле для вырождающегося ультрапараболического уравнения. Используя широко применяемый для исследований дифференциальных уравнений метод Фаэдо-Галеркина доказана разрешимость и некоторые особенности решения задачи Дирихле.

Решение задачи представлено с помощью сходящегося ряда Фурье по ортонормированной системе собственных функций оператора Лапласа.

В конце § 3 сформулировано следствие, где указаны условия обеспечивающие гладкость решения задачи Дирихле, точнее его непрерывность.

«

В данном случае условие связано с мерой области но пространственным переменным.

В последнем § 4 исследуется задача Коши для вырождающегося ультрапараболического уравнения.

Доказательство существования и построения решения задачи Коши проводится с использованием преобразования Фурье и характеристических линий дифференциального уравнения первого порядка.

Рассматривается первая краевая задача для вырождающегося ультрапараболического уравнения переменного типа

Ьи = -Ш1 - тих - Дм = /(£,т,л;) (5)

в области О = (-1 < г <1) X (-1 < Г<1) х С10 = О х где О0 а Я" — ограниченная область с гладкой границей Б.

Изучается следующая краевая задача: найти функцию ц( удовлетворяющую дифференциальному урав-

нению (5) и также

а) краевым условиям

м|п =0 (6)

10x5

б) начальным условиям » и( - 1,т,х)= и( 1,т,х) = О, -1 < х < 1, х еГ20,

и(с,-1,х) = и(ц,х) = 0, -1<г<1, хеС10. (7)

Для поставленной задачи (5)-(7) справедливо утверждение. Теорема 3. Пусть функция /(/, т,х) обладает следующими свойствами;

/(г,Т,*) е ¿2(П0; 2(£»)); также

/(1,1,х) = /(-1,1, х) = /(1,-1, х) = /(-1,-1,Л') = 0 для всех

х еПп.

Тогда существует единственное решение задачи (5), (6), (7), причем

_[гАЮ + ||Уг/|2£Ю + ||Дг/|2<ЛЛ+||г/,|2б/П + + |(г/г|2<Ю+

п п п п п

+11'|2с!П < сИ /2с1П + | /^П +1 /Т2ЛП

а.

а.

п

п

и имеет место представление решения

и{г, х,х) =

"И

Г,а

, х./ЯЙ1 (

Л 5. ^ V/2 -ьх2 +х' и;(а)ЛЛ-н',(1), 0 <| /1 <| т | < 1.

Разрешимость данного уравнения Доказывается методом Фаэдо-Галеркина.

Теперь сформулируем условия обеспечивающие гладкость решения задачи (5)-(7) и докажем принадлежность функции Т, х)

пространству С^ 0\И^" ( ■ Будем

предполагать, что первое

собственное число оператора Лапласа > 1, тогда верно утверждение. Следствие 1. Если функция /(/,т,х) обладает следующими

свойствами:

)М

дМ Я|а|

=—-/(-1,Ы=—-/(1,-Ы =

э|а|

—--/(-1,-1,А-)=0,

где |а| = а, +а2 <1 и хеПо. Тогда существует решение задачи (5)-(7) и(г,Т,х) еЖ22(п), причем

Обозначим области:

£>=(0<а, < 1) х( — Г1 <Г2 <Г, )х...х(-Г, <Гт <Г, ) ,

Рассматривается задача Коши для ультрапараболического уравнения переменного типа в области £1:

т п .

-Е '1 А, и ■-1 * А, + Уу А, ) « = Р ( 0X ) И . (*)

¡=1 у=1

м1,,=1 , (9)

где т = (*,}>,г) е/?3л, / = 6^'", /(1) = (/2,/3,...,/„,).

При этом будем считать, что Р ( Д ) равномерно эллиптический оператор, определяемый полиномом Р ( X ) степени р с постоянными коэффициентами. Введем следующие обозначения

>

7 = ^,11,0, Р = (у.Р,а) еЯ3п и ЯДД.Д.Д;*,),

Я](д, Д, Д;/,) - ] — 1,И дифференциальные операторы, зависящие от параметра ¿¡, определяемые оператором Р(Ох).

Теорема 4. Пусть начальная функция

х Яу х Я"; (Ц1'(Я")) удовлетворяет условиям:

Д.<р, £> <р, Д ф,ургж>ур е Цп)\

|Я:[ф]|| |Я'[ф] II Jll/^.w II ■'LTJlli.2,w

Я

l2,iii

П\Ф,

щ

Iní,

Xj(pzJ

Jlnf, Л',-Ф _<С, VíeD,

Л,2,ш 1 111 J

I = 1 ,т, I = .

Тогда задача Коши (8), (9) имеет единственное решение такое, и(/, т), Д.м, Г,-Д.м,£) и, Д м, х^ и, У]й и, Р{ Д )м е

I — I, т, / = 1,и причем имеет место представление

= (2тт;)"3лг | |ехр{г'( А' - ^, у) + г(у - х 1п ?1 - г|,р) +

я3" я3"

+г

1п2 , „ z + л'-— _yln -ЦСС

+

- Ы,

+

J а — + r(3 + у

\ \ ] - í /W ^ — J

dr >dp- ф

/ У \ 'i )

di

Для доказательства теоремы исходная задача сводится с помощью преобразования Фурье к эквивалентной задаче.

В главах I, II рассматривались для модельных уравнений ультрапараболического типа различные постановки задач и их разрешимость в пространствах С.Л.Соболева.

Важным классом функции для исследования решения в теории дифференциальных уравнений, в частности, параболических уравне-II й, являются пространства Гельдера.

В некоторых работах для исследований ультрапараболического уравнения используется специальное пространство Гельдера, причем показатели Гельдеровских констант совпадают с показателями классического пространства Гельдера для параболического уравнения.

На самом деле, данные пространства совпадают с обычными Гельдеровскими пространствами, лишь показатель Гельдеровской константы по времени для классического параболического уравнения, заменяется на показатель вдоль характеристического направления.

В § 1 будут определены пространства Гельдера с показателями отличающими от аналогичных пространств для классического параболического уравнения, а их структура с пространствами Гельдера для задачи Коши ультрапараболических уравнений.

Введенные в работе пространства Гельдера являются более "естественными" для исследования разрешимости и свойств решения начально-краевой задачи в этих классах Гельдера.

' В следующих § 2 и § 3 приведены оценки для Гельдеровских констант с помощью потенциала простого слоя и поверхностного потенциала.

Пусть область £) = = .......,/„):()</,■< 1,г = 1,л|. -

часть границы О, которая лежит на гиперплоскости =0, к - \,п и п П

к -1

Разобьем область О на непересекающиеся подобласти йк = |г е £): ц > //,, / = \~п, г * /с|, к = й

Также введем обозначения

!{к) = (*„.. + 1.....=

Пусть

Я

2(/ + 1) + р,/ + %

а,

н

2( / + 1) + (5,/ + '

(п).

где / >1 - целое число, 0<р< 1 - Гельдеровские пространства, которые будут определены ниже.

Рассматривается в области П ультрапараболическое уравнение

^^м=Вххм. (10)

/=1

Исследуется решение уравнения (10), удовлетворяющее краевому

(П)

условию

ВАХ=о=

и начальным условиям

и1г,=0 =/к

к

( ил ( с с)1

У

V / V /

еЯ,, к -\,п.{\2) к

При определенных предположениях склейки относительно заданных функций ,к = \,п справедливо утверждение.

1+1М

Теорема 5. Если I2 (о),

( (ь\\ 2(/ + 1) + В, 1+Р/, ч

и удовлетворяются условия согласования

(0хх-0(к])Г/к

/,•=о

где

г = 0,1 и i, к = \,п , D (д.) = ]>]£>,., то краевая задача

' /=1, М<'

(10), (11), (12) имеет единственное решение в пространстве Гельдера

2(/+1)+Д /+|, х

п ¿у и выполнена оценка

)HW2(/+l) + M+^(Q)£c(H|w/+(l + Pj/(D)+

+ У I/-. I 2(/ + 1) + р, / + ,

kJJklH /2isk).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Син Д.З. Об одной краевой задаче для ультрапараболического уравнения переменного типа. Новосиб. университет, Новосибирск. 1984. (Рукопись деп. ВИНИТИ, № 3771-84 Деп) с.Ю.

2. Син Д.З. Краевая задача для одного ультрапараболического уравнения переменного типа. Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики. Сб. научных трудов, ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1983. с.177-182.

3. Син Д.З. Оценки потенциалов для ультрапараболического уравнения. Математическое моделирование механики сплошных сред. Вып.79.ИГ. СО АН СССР, Новосибирск, 1987.

4. Син Д.З. Задача Коши для ультрапараболического уравнения Сб. научных трудов НИИКТ ХГТУ, Хабаровск, 1993. с.100-102.

5. Сип Д.З. Задача Дирихле для вырождающегося улырапараболпчес-кого уравнения. Препринт, ДВО РАН. Ин-т прикл.математики, Хабаровск, 1996, 34 с.

СИН ДОНХА ЗЕМСУЕВИЧ ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЬНЫХ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 020526 от 23.04.92

Подписано в печать .13.03.96. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Офсетная печать. Усл. печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,19. Тираж 100 экз. Заказ 16 .

Издательство Хабаровского государственного технического университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Отдел оперативной полиграфии издательства Хабаровского государственного технического университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.