Глобальная разрешимость краевых задач для квазилинейных неравномерно параболических и эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Терсенов Алкис Саввич

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ НЕРАВНОМЕРНО ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН

Научный консультант:

академик РАН, д.ф.-м.н., профессор В.Н.Монахов

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор В.С.Белоносов д.ф.-м.и., профессор ВЛ.Камынин д.ф.-м.н., профессор А.М.Мсйрманов

Ведущая организация — Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится "_"_2004 г. в_на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 в Новосибирском государственном университете по адресу:

ул. Пирогова 2, 630090 Новосибирск.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Уравнения п частных прогоподиых nopDoro и второго порядков лежат п основе математических моделей самых разнообразных явлений в механике, физике, гидродинамике, биологии и друпгх областях знаний. В настоящей диссертации рассматриваются квазилинейные эллиптические, параболические и ультрапараболические уравнения второго порядка, а также уравнения Гамильтопа-Якоби.

Параболическим и эллиптическим уравнениям второго порядка посвящено огромное количество статей и книг. Упомянем лишь некоторые наиболее известные монографии. По параболическим уравнениям - это книги О.А.Ладыженской, В.А.Солопникова, Н.Н.Уральцевой (1967), В.С.Бслоно-сова, Т.И.Зслсияка (1975) и сравнительно недавно вышедшая книга Г.Ли-бермана (1990), по эллиптическим уравнениям книги О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой (1973) и Д.Гилбарга, Н.Трудингсра (1983). По нелинейным уравнениям отмстим монографию Н.В.Крылова (1985). Уравнениям Гамильтона-Якоби также посвящено большое число публикаций, упомянем монографии П.-Л.Лионса (1982), А.И.Субботипа (1991) и Г.Барлеса (1994).

Значительно хуже изучены ультрапараболические уравнения. Такие уравнения описывают нестационарные процессы переноса (тепла, массы, импульса), когда в одном направлении конвекция существенно превосходит диффузию и членом, отвечающим за диффузию в этом направлении, можно пренебречь. Впервые ультрапораболические уравнения были введены Л.Н.Колмогоровым (1934). Ультрапараболичсскис уравнения возникают в теории теплопередачи в движущейся среде при большом числе Пекле, при изучении нестационарного пограничного слоя, где вдоль обтекаемого тела диффузия пренебрежимо мала в сравнении с конвекцией. Такие уравнения описывают также динамику развития популяции с учетом возраста как независимой переменной и процесс рассеивания электронов (уравнение Фокксра-Планка).

Главы 1-5 посвящены глобальной разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений, в четвертой главе рассмотрены также и уравнения Гамильтона - Якоби. Ультрапара-боличсскис уравнения рассмотрены в шестой, заключительной главе диссертации.

Хорошо известны классические результаты Шаудера-Каччиопполли о разрешимости краевых задач в пространствах Гсльдсра для линейных строго эллиптических уравнений. Они гарантируют разрешимость краевых задач для уравнений, коэффициенты и правая часть которых - непрерывные по Гельдсру функции. Эти результаты иеулучшаемы и все предположения в них вызваны с}тцеством дела. Аналогичная ситуация имеет место и для линейных параболических уравнений. В отличие от линейных задач существование глобального решения в квазилинейном случае не являет-

ИОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ | БИБЛИОТЕКА |

ся простым следствием гладкости данных задачи. Принципиальную роль здесь играет характер нелинейности. В зависимости от характера нелинейности классическое решение краевой задачи для параболического уравнения может либо существовать для любых значении времени (глобальное решение), либо разрушаться за конечный промежуток времени (локальное решение). Под разрушением решения мы понимаем обращение в бесконечность максимума модуля решения или максимума модуля градиента решения. Причем при разрушении градиента решения само решение может оставаться ограниченным. Отмстим, что локальная разрешимость красвых-задач и задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений имеет место без каких-либо существенных ограничений на характер нелинейности. Аналогичная ситуация имеет место и для квазилинейных эллиптических уравнений, где под глобальной разрешимостью подразумеваем разрешимость краевых задач без условий на малость области.

Существует ряд достаточных условий, обеспечивающих ограниченность максимума модуля решения как для неравномерно, так и для равномерно параболических и эллиптических уравнений (см., например, упомянутые выше монографии). Отмстим, что эти условия не учитывают влияние градиентного члена уравнения. Хорошо известно, что решение задачи Дирихле для нелинейных уравнений, вообще говоря, разрушается за конечный промежуток времени. М.Шшто и Ф.Вейсслер (1989) рассмотрели вопрос о влиянии нелинейного градиентного члена на поведение решения задачи Дирихле. Затем последовали публикации ряда авторов (М.Члсбик, М.Фила, П.Куитнср, Б.Каволь, Л.Пслетьс, Ф.Супле, Ф.Вейсслер и др.), где основной целью было определить, при каких условиях присутствие нелинейного градиентного члена предотвращает разрушение решения.

В главе 1 предлагаются новые условия, гарантирующие глобальную ограниченность максимума модуля решения. Эти условия учитывают как влияние градиентного члена, так и влияние коэффициентов уравнения при старших производных и обобщают известные результаты. В частности, показано, что даже конвективный член (линейный градиентный член) при определенных условиях обладает превентивным эффектом.

Ключевой в доказательстве разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений является глобальная оценка модуля градиента решения. После ее получения сущсствовшшс решения краевых задач доказывается без дополнительных предположений о структуре уравнения. Как при оценке градиента на границе, так и при получении глобальной оценки необходимо требовать выполнения условия Бернштейна. Напомним, что условием Бериштейпа или Бериштейна - На-гумо называется условие на структуру нелинейного оператора, ограничивающее рост по градиенту.

Для равномерно параболических и эллиптических уравнений граничная оценка известна для широкого класса областей с единственным ограничением - выполнение условия Бернштейна. В случае неравномерно эл-

липтичсскихуравнений такая оценка имеет местолишь приДОПОЛНИТОШУ ных ограничениях на геометрию границы (критерий Джснкииса - Ссрри-на (1968)). Для областей, но удовлетворяющих этому критерию, можно подобрать краевое условие (причем сколь угодно гладкое) так, что решение существовать не будет. В этом смысле неравномерно параболические и эллиптические уравнения сродни вырождающимся линейным уравнениям, где в определенных случаях часть гратшцы освобождается от краевого условия, поскольку решение само вырабатывает краевое значение (см., например, монографию О.А.Олейиик и Е.В.Радксвича (1971)). Обычно граничная оценка получается на основе теорем сравнения построением подходящих барьеров. Этот подход был заложен в пионерских работах российского математика С.Н.Бсрнштейна в начале прошлого века.

Процедура получения глобальной оценки градиента также восходит к С.Н. Бернштсйну и включает дифференцирование уравнения по пространственным переменным и применение принципа максимума к уравнению, которому удовлетворяет квадрат модуля градиента решения, с уютом уже полученной граничной оценки. Таким образом, приходится требовать дифферепцирусмость коэффициентов и правой части.уравнения. В этом заключается еще одно отличие от линейных уравнений, где для получения классического решения требуется лишь гельдеровость коэф-фициситов и правой части. Этот подход был развит О.ЛЛадыженской и Н.Н.Уральцсвой.

Отметим следующий факт. Известно, что для квазилинейного эллиптического уравнения, главной частью которого является оператор Лапласа, выполнение условия Бернштейпа достаточно для того, чтобы из оценки максимума модуля решения вытекала оценка максимума модуля градиента решения в случае непрерывной правой части уравнения. С.И.Похожаев (1980) показал, что если вместо непрерывности потребовать выполнение более слабого условия, а именно ограниченности правой части в норме пространства ЬЧ(П) для решения, принадлежащего то условие Берн-штейна уже не будет достаточным для получения оценки модуля градиента из оценки модуля решения. Им было сформулировано условие на рост правой части по градиенту, при котором оценка максимума модуля решения влечет оценку максимума модуля градиента решения. Это условие зависит от q и переходит в условие Борнштейна при </ = +оо.

Исторически условие Бсршлтсйиа возникло при изучении краевых задач для квазилинейного обыкновенного дифферстшалыюго уравнения. В начале прошлого века С.Н.Бсрнштсйп сформулировал условие, обеспечивающее априорную оценку модуля производной решения, которое заключалось в не более чем квадратичном росте правой части по производной. Спустя почти четверть века М.Нагумо предложил более слабое ограничение, позволявшее несколько больший рост. Это ограничение было сформу-лироваио в виде расходимости некоторого интеграла. Л.Граиас, Р.Гюнтср и Д.Ли (1978) обобщили результат М.Нагумо, показав, что требование рас-

ходимости этого интеграла можно ослабить, связав величину интеграла с удвоенным максимумом модуля решения.

В СО-х годах С.Н.Кружкоп предложил метод введения дополнительной пространственной переменной для исследования квазилинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной. При помощи этого метода им была получены априорные оценки градиента решения без предположения о гладкости коэффициентов и правой части уравнения. Единственным структурным ограничением было условие Бсрнштейиа. На основе этой оценки Кружковым была доказана разрешимость краевых задач при минимальных, соответствующих линейному случаю, предположениях о гладкости коэффициентов. Вопрос о возможности получения априорной оценки градиента без дифференцирования уравнения в многомерном случае остался открытым.

ВЛ.Камьпшн (1981,1983), изучая квазилинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными при помощи метода Кружкова, предложил обобщение условия Бсриштсйна, которое фактически является аналогом условия А.Гранаса, Р.Гюнтсра и Д.Ли для параболических уравнений.

В книге В.С.Белоиосова и Т.И.Зслсияка (197С) оценка максимума модуля градиента решения краевых задач для автономного квазилинейного параболического уравнения с двумя независимыми переменными доказывается посредством построения функционала Ляпунова. М.М.Лаврснтьсв (1993), гоучая задачу Дирихле для такого уравнения, выделил множество начальных данных, при которых задача Дирихле глобально разрешима без условия Бсрнштейна.

В главе 2 построена теория начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений с двумя независимыми переменными при наиболее общих предположетшх о структуре нелинейности по градиенту. Предложено новое условие, обеспечивающее ограниченность градиента решения, обобщающее условие Бсрнштейна.

Глава 3 посвящена распространению результатов второй главы на класс многомерных задач, допускающих существование радиалыю симметричных решений.

В главе 4 рассматриваются краевые задачи и задача Коши для многомерных квазилинейных неравномерно параболических и неравномерно эллиптических уравнений в прямоугольных параллелепипедах. Сформулированные условия гарантируют неразрушение градиента на границе области для широкого класса уравнений, по удовлетворяющих условию Бсрнштсй-иа. Глобальная оценка градиента для задачи Дирихле получается при более обременительных предположениях. Основное отличие от одномерного случая заключается в том, что здесь приходится требовать независимость старших коэффшщентов от части переменных. Кроме того, в данной главе рассмотрен вопрос о несуществовании нетривиальных решений задачи Неймана для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений.

В заключительном параграф главы 4 рассмотрено уравнение Гамнль-тона-Якоби. В начале 80-х годов М.Крсндал и П.-Л.Лионс ввели понятие вязкого решения. При определенных условиях вязкое решение (которое, вообще говоря, есть лишь непрерывная функция) становится непрерывной по Липшицу функцией и уравнение выполняется почти всюду. Для этого требовалось, чтобы гамильтониан не зависел явно от решения и было выполнено условие коэрцитивпости. В главе 4 доказано существование лшшшцево непрерывного вязкого решения без предположений коэрцитивпости и независимости гамильтоголана от решения. Отмстим, что вязкие решения эквивалентны минимаксным решениям, которые были введены Л.И.Субботиным.

В главе 5 рассматривается задача Дирихле для многомерных квазилинейных неравномерно эллиптических и неравномерно параболических уравнений в одном классе псвынукльтх областей.

В последнее время появилось значительное число работ, посвященных ультрапараболическим уравнениям, где изучаются различные свойства решений таких уравнений. Среди mix статьи Д.Р.Ахметова, Х.Васкеса, П.Га-рофало, Е.Зуазуа, С.Д.Ивасишсиа, М.М.Лаврентьева, Е.Лпиконелли, Ф.Ласчиалфарн, М.Манфрсдипи, Д.Морбидслли, С.Полидоро, С.Г.Пятко-ва, М.Рагуса, С.А.Тсрсеиова, Р.Шпиглсра, С.ДЭйдсльмаиа, М.Эскобедо и др. Вопросу же разрешимости посвящено сравнительно немного статей. В главе G рассмотрены краевые задачи для квазилинейных ультрапараболических уравнений, возникающих в нестационарных процессах распространения тепла. Получены новые результаты о разрешимости этих задач. Цель работы. Доказательство глобальной разрешимости краевых задач при наименьших ограничениях па структуру нелинейности: для квазилинейных неравномерно параболических и эллиптических уравнений нас интересуют классические решения, для ультрапарабашпгеских - обобщешшгс, а для уравнения Гамильтона - Якоби - вязкие решения.

Методика исследования. Для доказательства разрешимости краевых задач для параболических и эллиптических уравнений исполюуются методы функционального анализа, основанные на получении априорных оценок и применении теоремы Лсрэ - Шаудсра. Для доказательства разрешимости краевых задач для ультрапараболических уравнений и уравнения Гамильтона-Якоби используется метод регуляризации.

Основные результаты диссертации. Научная новизна.

1) Получены новые достаточные условия перазрушегатя решения задачи Дирихле для квазилинейных параболических уравнений. Эти условия, в частности, учитывают превентивный эферект как диффузии, так и конвекции, не допускающий неограничетгого роста температуры (режим с обострением) в тепловых процессах.

2) Предложено новое структурное условие, гарантирующее иеразрушеиис градиента решения краевых задач для квазилинейных параболических и

эллиптических уравнений как внутри области, так и на ее границе. Это условие, в маетности, обобщает классическое условие Бсрцштейна.

3) Получена априорная оценка градиента решения краевых задач для одного класса многомерных квазилинейных параболических и эллиптических уравнений при минимальных предположениях о гладкости коэффи!щеитов и правой части. На основе этой оценки доказывается глобальная разрешимость указанных задач. Кроме того, эта оценка даст возможность сформулировать новые условия, гарантирующие липшицевость вязких решений задачи Дирихле для уравнения Гамильтоиа-Якоби.

4) Доказало существование и единственность обобщенного решения краевых задач для« одного класса квазилинейных ультрапараболических уравнений. Исследована гладкость решения.

Теоретическая и практическая ценность работы. Применяемые для доказательства теорем существования методы и полученные априорные оценки могут быть использованы при разработке численных алгоритмов решения данных задач. Априорные оценки как самого решения, так и градиента решения получены в явном виде.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах: семинар под руководством академика РАН В.Н.Монахова и чл.-корр. РАН П.И.Плотникова, Институт гидродинамики им. М.АЛаврснтьсва СО РАН, Новосибирск; семинар под руководством профессора Т.И.Зелепяка, Институт математики СО РАН, Новосибирск; семинар под руководством профессора В.Н.Врагова, Институт математики СО РАН, Новосибирск; семинар под руководством профессора А.М.Блохина, Институт математики СО РАН, Новосибирск; семинар прикладной математики Критского университета, Греция; семинар прикладной математики Мадридского университета Комплутепсе, Испания;

и на конференциях: Нелинейные уравнения с частными производными и уравнения математической физики, центр им. С.Банаха, Польша, 1994; Второй всеевропейский конгресс по эллиптическим и параболическим уравнениям, Понт-а-Муссои, Франция, 199G; Современные проблемы в математике и механике, Чебышевские чтения, Москва, 199G; Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИН-ПРИМ), Новосибирск, 1998; Нелинейные уравнения с частными производными, Международная конференция памяти С.Н.Кружкова, Бсзапсон, Франция, 1999; Всероссийская кошререиция по математическим методам в механике природных сред и экологии, Барнаул, 2002. Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 13 статей, из которых три совместные.

Структура и объем работы. Диссертация состоит га введения, шести глав и списка литературы. Объем работы - 209 страниц. Список литературы содержит 1С0 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дастся обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение представляемых результатов.

Первая глава посвящена вопросу глобальной ограниченности классического решения задачи Дирихле для квазилтгейггых параболичесюгх и эллиптических уравнений, а также вопросу единственности этого решения. Исследуется превентивное влияние градиентного члена (в частности, конвекции) и коэффициентов при старших производных (диффузии) на поведение решения, а именно, при каких условиях не допускается разрушение решения (режим с обострением).

СЭДюрмулирусм основной результат, касающийся превентивной роли градиентного члена. Рассмотрим уравнение

(1.1) н«+с,(<,хК'( =еДи + Аит+/({,х), в <2т = Пх{0,Т), ПсГ

с условиями

Отметим, что проблема глобальной разрешимости задачи (1.1), (1.2) при гладких с,, / и г,- < 2 эквивалентна установлению глобальной ограниченности решения. Не ограничивая общности, считаем, что область П лежит в полосе —!( < XI кроме того, предполагаем, что |ч'ож, (х)| < К\.

Лемма 1.1 1) Пусть п - нечетное число и либо

либо

С1(*,х) < -л(Я.ГКГ- - ШЛХ^'Х)1.

К1

Тогда для решения задачи (1.1), (1.2) верна оценка

|и(«,х)| < 2Л",«1.

тогда для решения задачи (1.1), (1.2) верна оценка

0<м(е,х) < 2*11,.

Заметим, что если П > т, то вместо условия Ct(i,x) > A(2ii)m/CJrl-ri + max |/|Л"{"Г| достаточно требовать выполнения условия ci(t,x) > 0.

Дадим простую физическую интерпретацию этого результата для ъ = 1,» = 1,2,3. Если составляющая скорости хотя бы в одном направлении (например,xi либо — zj) достаточно велика, то конвективный перенос, приносящий холодное вещество с границы области, превалирует над членом ит (экзотермическая реакция) и не допускает неограниченного роста температуры и (не допускает возникновения режима с обострением). Аналогичный результат получен для уравнения

(1.3) щ + c(i, х)| Vu|r = сДи + Aum + /(t, х), в QT = iJx(0,r), ilcR".

А именно, если

то для решения задачи (1.3), (1.2) верна оценка 0 < u(t,x) < 2Kilj. Отметим, что задача (1.3), (1.2) с / = 0, с = д > 0 constant рассматривалась рядом авторов. Главным результатом этих исследований стало установление следующего факта: если m < г, то положительное решение остаётся ограниченным для всех значений t > 0, разрушение решения может наступать лишь в случае m > г. Этот факт непосредственно следует го условия

(1.4). Действительно, выбирая постоянную К\ достаточно большой, правую часть неравенства (1.4) (учитывая, что / = 0) можно сделать сколь угодно малой.

Все результаты данного параграфа распространяются на уравнения вида

гдс F = Г.({,х),^ - Q(u) - f{t,x), либо F = c(t,x)|Vu|r - Q(u) - /(t,x), a ai)t,\.ij > 0, V£ e Rn. Относительно Q[u) предполагаем, что |Q(z)| < Q(2ltKt) при < 2liKu в частности Q{u) = eu.

Рассмотрена также соответствующая стационарная задача

(1.5) Ci(x)urx\ = еДи + Ли'™ + /(х) в П с R", «М^ = 0.

Получен следующий результат.

Лемма 1.2. t) Предположим, что r1 нечетное число и либо

€ > 0 - некоторая постоянная. Тогда для решения задачи (1-4), (1-5) верна оценка

|и(г,х)|<2е/1.

И) Если Г1 и т четные и

тогда для решения задачи (1.5) верна оценка 0 < и(х) < 2е^.

Отмстим некоторые следствия, непосредственно вытскаютцие га леммы

1.2.

Следствие 1.1. Предположим, что п = т и /(х) : 1 0. ») Если Г1 - нечетное число и либо С|(х) > А(2/г)т, либос.\{-х) < — А(2/|)т,

то задача (1.5) имеет только тривиальное решение.

И) Если п - четное число «С|(х) > А(2?1)т, то задача (1.5) также имеет

только тривиальное решение.

Ш) Пусть Г| = 1, т > 1, /(х) = 0 и либо С1(х) > 0, либо С1(х) < 0, тогда задача (1.5) имеет только тривиальное решение.

ги) Предполоэ/сим, чтег = т и /(х) = 0. Если г - четное число и с(х) > А(2^)т, то задача (1.5) имеет только тривиальное решение. Подобные результаты имеет место и для следующего уравнения

с(х)|Уи|г = еДм + А«т + /(х) в 12 С П.".

Перейдем к превентивному влиянию диффузии. Для простоты изложения сс|юрмулирусм сначаладва следствия основного результата. Рассмотрим следующую задачу:

(1.6)

Щ

= киТ,х, +сД'« + А«т + /(е,х), (Д'и = «,,,,)

«=2

(1.7)

и(0,х) = м0(х) в П п (1 = 0 па Бт = дП х [0,Т].

Лемма 1.:

к > ЗА + шах|/(«,х)|.

£1\ I Яг

Тордя для к.аяссическ.оро пешениязядячи fi.fi). (1.7) верна оценка

(1.8)

шах |н(<, х)| < 2Ку ¡1. Чт

Здесь, как и выше, в уравнении вместо Aum можно взять функцию Q(u). В этом случае требуем, чтобы выполнялось неравенство

В случае, когда урависшю имеет вид

щ = Ki|w|muI|X, + еД'и + Aum в Qr,

оценка (1.8) верна при любом Ki > 0. Здесь также можно дать простую физическую интерпретацию. Чем больше коэффициент теплопроводности (достаточно в одном направлении), тем больше поток тепла через границу, что способствует остыванию и предотвращает неограниченный рост решения.

Оценка леммы 1.3 фактически следует го следующего результата. Рассмотрим следующую задачу:

(1.10) a¡j(t,x,u,Vu)uXíXí —щ= f(t,x,u,Vu) в QT = П х (0,Т),

(1.11)

u(0,x)=u0(x) в П и u = x(s) на S = dííx[0,T],

где П С Л™ - ограпичегагая область, х = (Х1,...,хп),Уи = (их1,...,их„), аЧ ~ ^'м ЬЗ — 1) •-•1«- Функции ау(4, х, и, р), /(«, х, м, р) определены па множестве 0т хИх П", принимают конечные значения п (4, р) б^г и конечных и, р и

Предположим, что существует индекс 1о (не ограничивая общности, считаем ¿о = 1), такой, что выполнены следующие структурные ограничения:

(1.13!) /(¿.х,«>Р1 > 0,...,0) < вц(4,х, tt.pi10,...,0)^(|Р11)

для

(1.132) /&х,и,Р1,0,...,0) > -ап(4,х,«,р1,0,...,0)^(Ы)

для ({, х) 6 С}т, « > т, и р! > 0. Здесь ф(р) - непрерывно дифференцируемая функция, такая, что 1р(р) > 0 для р> 0, ф(0) >0 и

Лемма 1.4. Пусть - классическое решение задачи (1.10), (1.11).

Предположим, что условия (1.12), (1.13) выполнены, тогда

вир |и| < М,

где постоянная М зависит лишь от ф,т и размера области П в направлении переменной

Рассмотрен также стационарный случай, где получены аналогичные оценки.

Заключительный параграф первой главы посвящен вопросу единственности классического решения задачи Дирихле для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. Стандартным условием единственности классического решения является дифференцируомость коэффициентов уравнения по перемсгагым м и Уи. Отмстим, что отказ от условия дг1хрсрС11цируемости по и, вообще говоря, ведет к неединственности решения. В главе 1 приводится простое доказательство того, что от условия дифферереицирусмости по Уи можно отказаться. Показано также, что в определенных случаях можно отказаться и от условия дифферешщруе-мости по и.

В главе 2 юучаются начально-краевые задачи для квазилинейных параболических уравнений с двумя независимыми переменными. Рассмотрим уравнение

(2.1) а{Ь, х, и, их)ихх - щ = /(*, х, и, их) в <3т = Н, 0 х (О, Т),

где п(Ь,х,и,р) > 0 с одним из следующих условий:

Предположим, что правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде

(2.4) /(1,х,и,р) = МЬ,х,и,р) + /2{1,х,и,р),

где функция для удовлетворяет следующему условию

(2.5) ш,х,и2,р) > /2у,у,щ,р), /2(',г/,»2,-;>) > /2(<,а;,«1,-р).

В случае задачи Дирихле дополнительно предполагаем, что при (£, х) € Ят1 \и\<м и произвольных р выполняется

Относительно функции ¡\ предположим, что при 6 |«| < М и произвольных р выполняется

Здесь ф(р) - гладкая неубывающая неотрицательная функция, удовлетворяющая следующему ограничению: существуют ро и Р) такие,чтоО < Ро < Р1 < +оо и

, Ч Г1 Р<1р , ч

(2.8) / > овс(«) = тах и — тгп и.

Jpa ЩР)

Пусть функция к(т) есть решение следующей задачи: Предположим, что

В главе доказано, что если условия (2.4) - (2.9) выполнены, тогда градиент ограниченного решения задачи (2.1), (2.2) ограничен постоянной, зависящей лишь от тр и о$с(и). Такая же оценка имеет место и в случае задачи (2.1), (2.3), причем здесь условие (2.в) лишнее. Заметим, что (2.9) является условием малости на <мс(мо(я)). Для произвольной непрерывной по Липшицу функции «о(ж) вместо условий (2.8), (2.9) надо брать следующее: существует р\> К такое, что

В этом случае априорная оценка градиента выполняется с постоянной, зависящей лишь от ояс(и) и К.

Условие (2.в) в случае, когда /г = /2(^2~,р) и ть < I, может быть заменено следующими:

где р € [—р1, — ро] и(ро,Р1) для некоторых ро > 0 и рг > р<>, причем условие (2.Н1) гарантирует неразрушенно градиента на левой границе, а (2.11г) на правой. Отмстим, что условия (2.5), выполнения которых достаточно

требовать для р > ро, гарантируют иеразрушсние градиента внутри области, тогда как условие (2.С) либо (2.11) - на границе (для задачи Дирихле). Обозначим через ЖмножествоС^7/2,2+7(дт)пСе1{.2,1+^((Зг),гдс7,/? €

(0,1).

Теорема 2.1. Предположим, что выполнены условия (2.4) - (2.6) (либо вместо (2.6) условие (2.11)) и (2.7) - (2.9) (либо вместо (2.8), (2.9) условие (2.10)). Предположим также, что выполнено какое-либо условие, обеспечивающее априорную оценку |и|. Если а[1,х,и,р), }(Ь,х,и,р) локально непрерывны поГельдеру, а «о(®) € С1+/,(П), Ио(±0 = 0> тогда для любого Т > 0 задача Дирихле (2.1),(2.2) имеет по крайней мерс одно решение 6 для некоторых 1,0 € (0,1).

Теорема 2.2. Предположим, что выполнены условия (2.4), (2.5) и (2.7) - (2.9) (либо вместо (2.8) - (2.9) условие (2.10)) и щх(±1) = 0. Если а(£,х, и,р), /(1,х,и,р) локально непрерывны по Гсльдеру, а щ(х) 6 С1+''(Й), тогда для любого Т > 0 задача Неймана (2.1),(2.3) имеет по крайней мерс одно решение ы(4,аг) 6 ИЛ

Аналогичные результаты получены для третьей краевой задачи и для задачи Коши.

Приведем ряд примеров, дающих более четкое представление об этих теоремах. Рассмотрим следующее уравнение:

где 1/1(4,х,и,р)| < ^(|р|), а У>(р) удовлетворяет условию (2.8) либо (2.10), причем в первом случае щ удовлетворяет условию малости (2.9). Предполагается, что условия па гладкость, арормулированные в теореме 2.1, выполнены.

1. Если /2 = Ф1(Р,и)ф2{их), где ф\ - неубывающая по и функция и иф1(Ь,и) > 0, а фг > 0, то для уравнения (2.12) имеет место глобальная разрешимость задачи Дирихле.

2.Еслиймеет /2^ 0з(<,Иг) либод/г =

бо /2 = где Фз(1,р) - произвольная функция (определен-

ная для Ь 6 (0, Т\ и конечных р), ш > 1 - вещественное число, ф^(Ь,х) - неубывающая по х функция, а <£5(4, и) - неубывающая по и и такая, что $5(4,и) > —а1«2 — а2 (для обеспечения о ц е н Н^т 0 Для уравнения (2.12) имеет место глобальная разрешимость задачи Неймана. Частным случаем уравнения (2.12) является так называемое уравнение KPZ (Кардар-Паризи-Жанг( 1980)).

Рассмотрим теперь п области (—1,1) х (0,Т) следующую задачу:

и1Х-щ = (х + 1)(их + и/21)3, и(*,±1) = 0, и(0,а:) = «(,(*),

где «о(х) - гладкая, удовлетворяющая условиям согласования функция. Нетрудно видеть, что максимум модуля решения этой задачи ограничен.

Положим ¡1 (Ь,х,и,р) г 0, тогда в условии (2.7) можно взять V' = и для любого />о > 0 найдется конечное р, > ро такое, что неравенство (2.8) будет выполнено. Возьмем ро > |{/|(2()-1. Очевидно, функция /г = (1+ 1/2)(р + и/21)3 при р > 7о удовлетворяет соотношениям (2.5) н, следовательно, разрушение градиента не может наступать внутри области. Более того, если взять р0 > тах{[//2/,05с(«)//}, то, выбирая р, так, чтобы

ГР\

I рЛр = 0«с(и),

•'Ро

получим

I Г' , ^ озс(п) ,

вр< — I рбр < —— < /.

№ ]рв Ро

Легко видеть, что условие (2.11,) выполнено и, следовательно, разрушение градиента не может наступать и на левой границе. Таким образом, если градиент обращается в бесконечность, то это может происходить лишь на правой границе. М.П.Вишиевским, Т.И.Зслсняком и М.М.Лаврснтьсвып (1995) было показано, что в случае V = ж/2 и I = 1/2 для любых начальных данных 7/о имеет место разрушение градиента решения при стремящемся к некоторому подходящему значению 4* на правой границе (х = 1/2). Кроме того, на основе результатов главы 2 можно найти условия на величину II, гарантирующие ограниченность градиента. Действительно, положим /1 з (х+1/2)(р + и/21)3, /2 = 0. В этом случае теорема 2.1 верна, если выполнено условие (2.8), нетрудно видеть, что если < (41\Д)~1, то (2.8) выполнено. Очевидно, при I = 1/2 и I/ = п/2 последнее неравенство не выполнено.

Приведем пример с разрушением градиента во внутренней точке. Рассмотрим следующую задачу Дирихле:

где постоянные Л>0,ат>2. М.Фила и Г.Лнберман (1994) показали, что если Л достаточно велико, а иметю,

(2.13) 1= [А ((т - 2) Г з<18)1«т-Ъс1у > 2,

то за конечное время градиент решения разрушается во внутренней точке области при лкэбых начальных данных. Отметим, что из результатов М.Фнлы и Г.Либермана не следует, что неравенство К 2 гарантирует ограниченность градиента. Неравенство (2.13) можно записать следующим

Очспидно, при т —» оо получаем А > 1 (причем A стремится к 1 сперху). Таким образом, достаточным условием разрушения градиента при произвольном ш является условие А > 1. Если воспользоваться условием (2.8), то получим, что разрушение градиента не может наступать при Л < 1.

В качестве последнего примера возьмем нестационарное уравнение капиллярности:

Здесь « - профиль поверхности жидкости с постоянным поверхностным латяжсипем в равномерном поле тяжести. Очевидно, условие Бернштсйпа для этого уравнения не выполнено, поскольку неравенство

|/(t,x,«,p)| <

выполняется с ф(р) = M|fc|(l + р2)3/2 (M = max |и|). Если к > 0, то функция ¡2 = ^«(l+p2)1'2 удовлетворяет условиям (2.5) и (2.G), следовательно, градиент решения как задачи Дирихле, так и задачи Неймана ограничен VT > 0. Если же к < 0, то, как было показано К. Лсаи и Н. Ишимура (1998), за конечный промежуток времени наступает разрушение градиента во внутренней точке области (само решение при этом остается ограниченным). Знак постоянной к зависит от направления действия гравитационного поля.

Также в главе 2 рассмотрен вопрос о поведении решения при t —» +оо. Ограничимся задачей Дирихле.

Пусть |и| < M с постоянной М, не зависящей от Т. Это предположение верно, если, например, выполнены условия леммы 1.1 главы 1. В этом случае оценка градиента, полученная выше, также не зависит от Т. Считаем, что функции a(t,x,u,p), f(t,x,u,p) ограничены при 0 < t < +оо, |х[ < I, M < м, M < С..

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Кроме того, предполагаем, что (i, ar, tz, 0)| —» 0 равномерно по x при t —» +oo, a x, и, 0) = ом, где а - положительная постоянная. Тогда для решения задачи (2.1), (2.2) верно

u(t, х) —» 0 равномерно по х при t —> +оо.

В главе 3 рассматривается уравнение

(3.1) еДм-«е =/(i,x,«,Vw) в KR,

где К а = (0, Г) х Вп, Вп - {х : |х| < /7} С И", х = (з-ь... ,х„), Vu = («г,,...,«!,), а е - положительная константа, с одним из следующих краевых условий:

(3.2) м| =0, либо =0, либо ^ + cr(i,u)j =0,

ls„ dn\sH On Isr

l + ul

-щ = ки{1+и2ТУ'2.

где SR = (0, Т)хдВп, а под л понимаем производную по внешней нормали к SR И начальным условием

где |vg(|x|)| < К. Предполагаем, что ф у н к 1/^,жрг<ц1р)е делена при (t, х) 6 Кп и всех (и, р) и принимает конечные значения для (t, х) € Kr и конечных (м,р). Функция a{t,u) определена п t g |0}£Г] и любых w. Кроме того, предполагаем, что /(t,x,tt, Vu) в переменных (t,r), где г =

п _

lxl = (5D I?)1/2, может быть записана в виде /(£,х, u, Vu) = f(t, г, и, иг). i=i

Например, / = /({,|x|,u,|Vu|) или / = /(t,|x|,u,x • Vu), где х • Vu =

п

Е xtuXt. >=1

Уравнение (3.1) и условия (3.2), (3.3) в переменных (t,r) выглядят следующим образом:

eurr + ——^uP-ut =/i(t,r,M,ur) + /2(t,r,M,«r) n Qn, г

где Qr = {(t, г) : 0 < t < T, 0 < г < Л}, задача Дирихле принимает вид

«r(t,r)| =0, u(i,r)| =0,

I r=0 lr=rt

задача Неймаиа -

wr(f,r)| =0, «г(<,г)| =0,

1г=0 1г=Я

третья краевая задача -

«r(t,r)| =0, ur(t,r) + <x(f,u(t,r))| =0

1г=0 I г— R

и начальное условие

u(i,r) =«0(г). lt=o

Заметим, что условие на левой границе ur(t, 0) = 0 появляется благодаря тому, что мы ищем гладкое радиалыю симметричное решение. С точки зрения теории вырождающихся уравнений это условие лишнее, так как решение само вырабатывает значение «г = 0 при г = 0. Показано, что наличие сингулярного члена е(п— 1)г-|«г не мешает применению подхода, изложенного во второй главе.

Предположим, что функция /(i,r,u,ur) представима в виде

(3.4) f(t,r,u,uT) = /i(i,r,u,ur) + /2(t,r,u,ur),

причем при (i,r) € Qu, |«(t,r)| < M и произвольных р выполняется

r+°° rdz

(3.5) \fi(t,r,u,p)\<£m), J > osc(u),

где it>(z) 6 C'fO.+oo), ip(z) > 1, f2(t,r,u,ur) удовлетворяет следующему условию

(3.G) h(t,rl,UUp)>J2(t,r2,U2tv), f2(t,r2,Ui,-p)>f2(t,rUU2,-p)

при П > r2, «1 > U2,p> 0.

Сформулируем основные результаты главы для задачи Дирихле и Неймана, для третьей краевой задачи и задачи Коши доказаны аналогичные результаты.

Теорема 3.1. Предположим, что функция /(t,x,и,р) локально гель-дерооа,а «о(|х|) € С1+°(|х| < R) для нексвгЩ}А^оПусть выпол-

неныусловия (3.4)-(3.6) икакое-либоусловие, обеспечивающее априорную оценку |м|. Дополнительно предположим, что щ(Л) = 0, f2{t,r,u,p) < 0 при и < 0, р > 0 u /г(4|»"|и.р) > 0 при и > 0, р < 0. Тогда для любого Т € (0,+оо) существует решение задачи (2.1), (2.2), принадлежащее npocmpaHcmeyC\^f^2'3+^(Kii){]G\£'1+l3(KR) длянекоторого 0 € (0,1).

Теорема 3.2. Предположим, что функция /(t,x,и,р) локально гель-дероваи Uo(|x|) 6 С1+а(|х| < R) для HextBtißg&qo Пусть выпол-

нены условия (3.4) - (3.6). Дополнительно предположим, чти «(,(/?) = 0. Тогда для любого Т € (0,+оо) существует решение задачи (2.1), (2.3), принадлежащее пространству (Кп.) f~) для неко-

торого ß 6 (0,1).

Приведены примеры уравнений, аналогичные примерам предыдущей главы, для которых не выполнено условие Бсрнштсйна и, тем не менее, имеет место глобальная разрешимость краевых задач.

Все результаты дагагой главы для краевых задач без труда переносятся на эллиптические уравнения вида еДи = /(х, и, Vu).

В главе 4 изучаются краевые задачи и задача Коши для многомерных квазилинейных неравномерно параболических и неравномерно эллиптических уравнений в прямоугольных параллелепипедах. Рассмотрим следующую задачу Дирихле

(4.1) ay(t,x,w, Vu)uXiTj-ut = f(t,x,u, Vu) в Qr = fix(0,T],

(4.2) u(0, x) = щ(х) при z€fi, u = 0 па 3ilx(0,T],

где х = (xi,...,xn)9 Vu = (иЯ11...П = {x : |х4| < liti = l,...,n}. Функции rty(t,xlu1p)1/(i,x,u,p) (d{j = aji) определены на множестве

<5г х Л х П.", принимают конечные значения при (£,х) 6 От и конечных и, р. Предположим, что

(4 3) >0 в От х II х 11", У£ € Пп,

(4.4) /(¿,х,и,р) = /1(<,х,«,р) + /2(«1х,и,р).

Функция /1 при (£,х) 6 фт» М < М и любых р, удовлетворяет следующему структурному ограничению

(4.5) |/,(Ь, х,«, 0,..., О,р„ 0,..., 0)| < аих, и, 0, ...0,р„ 0,(МЫ),

где М > 0 - некоторая постоянная, ф{р) > 0 - непрерывно дифференцируемая функция такая, что

где постоянные Кх определяются из неравенств |«0(х1,...,1,_1,Х„Х,+ 1,...,Х„) — ио(х|,...,х,_1,£„х,+ь—>Яп)| < Кг\х» —

Функция /2(4, х, и, р) удовлетворяет соотношению

Показано, что условия (4.3) - (4.6) гарантируют перазрушепис градиента на границе.

Глобальная оценка градиента для задачи Дирихле получается при более

татттт'гаттт ттт тл/' ТТ1ЛАтттт/-лтт<-л"чт/глттттггл/' Т^о*аф1лтл> г с ттатпттатттаа тт-^чоттоттил•

(4.7) а,3(1,хих},Чи)иТ1Т, -щ = /((,х,ы, Vи) в <2Г = П х (0,Т], "

где коэффициенты а„ = аи(£,г„Уи). Сформулируем условия, гарантирующие априорную оценку Предположим, что выполнены условия (4.3), (4.4). Вместо (4.5) потребуем выполнения более сильного условия

(4.8) |/1(4,х,и, р)| < а11(«,х,«,р)^(|р1|)

при и любом р. Пусть

где матрица получается следующим образом - к матрице до-

бавляем справа столбец, состоящий из элементов

о. 012(4, С. Уи), 013(е, х3, У«), аиЦ, С, Уи),

снизу - строку с теми же элементами, ач- пересечение "дополнительных" строки и столбца, С € [—'ь^ЬИ < М.

Предположим, что функция /2, кроме условия (4.0), удовлетворяет следующему условию - при XI > и > V, рг > 0 и любых Р2.РЗ

(4.Ю1) 12(1,х1,хг,х3,и,рир2,рз) > /2(*,С.Я2.ЯЗ,«,Р1,Р2»РЗ),

(4.10г) /г(«,с,а;2,хз,«,-р1,р2,рз) > /2(*,®|,ага,1з,«,-Р1,Р2,Рз)-

Доказано, что если выполнены условия (4.8) - (4.10), то имеет место оценка |«ц| < С, где постоянная С зависит лишь от К1,ф и М.

Сформулируем условия, обеспечивающие априорную оценку ихг. Предположим, что для х€Й, |р!| < С1 и произвольных м,Р2»Рз выполняется

(4.11) |/х(«, X, и,р)| < а22(«,Х2,Х3,р)^(|р2|).

Дополнительно предположим, что

где матрица Аз получается из А добавлением справа столбца

012(3:1, V, V«),0, в2з(»7, Х3, V«), а22(т?, Уи),

снизу - строки из тех же элементов (022 - пересечение строки и столбца), т/ € [А2,В2]. Функция /2, кроме (4.С) и (4.10), удовлетворяет следующему условию: при Х2 > С, и > V, рг > 0 и любых рьрз выполняется

(4.130 /г^.хьхг.хз.п.рьрг.рз) > /г^.зьС.яз.V1P1.P2.P3).

(4.132) /2(',а;1.С.а;з.«.Р1.-Р2.Рз) >/г^.^ьХг.Хз.г.рь-рг.Рз)-

Доказано, что если выполнены условия (4.11) - (4.13), то имеет место оценка |их,| < С, где постоянная С зависит лишь сК^еФ и М.

Сформулируем условия, гарантирующие априорную оценку |их,|. Предположим, что для х € П, |р1| < Си |рз| < Сг и произвольнщзврыпол-няется

(4.14) |/(«,х,«,р)| < азз(«,хз,р)^(|рз|).

Дополнительно предположим, что

где матрица получается из А добавлением справа столбца

01з(<, , £, V»), я23(е, 12, Уи), О, а33 (£, V«),

а снизу - строки с теми же элементами (033 - пересечение строки и столбца), £ 6 [Лз.Бз]. Кроме того, предположим, что функция /2 дополнительно удовлетворяет следующему зсловию - при хз > и > V, Р2 > 0 и любых Р1.Р2

(4.161) 12{иХиХ2,Х3,и,РиР2,Рз) > /2Ц,Х1,Х2,С,У,Р1,Р2,Рз),

(4.Юг) /2(<,Х|,Х2,С,«,Р1,Р2,-Рз) > Ы^Х1,Х2,Хз,Ь,риР2,-Рз)-

Доказано, что если выполнены условия (4.14) - (4.Ю), то имеет место оценка |«хз| < С, где постоянная С зависит лишь от Кз,ф и М.

Нетрудно пидсть, что условия (4.9), (4.12) и (4.15) выполнены, если, например, а^ = 0 для i ф ].

Сформулируем теорему сугцествовагаш.

Теорема 4.1. Предположил*, что ау € С'^т х И3), / е Са(С}т х Л х Я3) для некоторого а 6 (0,1) и «¡,£¡0 > 0 о <3г х П- х Л", 6 11". Кроме того, предположим, что выполнены условия (4-8) - (4-16) и условие, обеспечивающее априорную оценку |и| < М. Пусть щ{х) 6 С,+П(П) и "о(х) = 0 при х е 0С1. Тогда задача (4-7)> (4-2) имеет, по крайней мере, одно решение и(^,х) 6 С^^^'^Ют) П С}!* ^*0(От) для некоторых 7,/9 е (0,1). Если функция / возрастает по переменной и, тогда такое решение единственно.

Аналогичные результаты получены для третьей краевой задачи и для задачи Коши.

Кроме того, в главе 4 рассмотрена следующая задача Неймана:

в области Предполагается, что - ограни-

ченная вместе со своей производной функция:

<?(п) непрерывна по Гёльдсру для конечных ^ Получен следующий рсзуль-тат.

Теорема 4.2 Предположим, что выполнено условие (4-18) и < 2К,~1/2, / = 1,...,п. Если величина /-,(—¿/(0)) определена, то единственным решением задачи ЦЛ1) будет функция и(х) = /~1(~д(0)), в противном случае задача (4-17) не имеет решения.

В качестве примера приведем следующую задачу:

Du I

(4.17,) Ди 4- glVu) - sin(u) = 0, — =0.

OXi \r,=±di/2

При <7 = 0 эта задача описывает так называемый эффект Джозефсона.

Как следует го теоремы 4.2, единственно возможным решением задачи (4.17i) при di < 2,i = 1,...,п - это постоянная С = arcsin(g(0)). Если «7(0) = 0, то получаем u(x) = ±jtп, п = 0,1,2,..., если же |<?(0)| > 1, то задача неразрешима.

Также, в главе 4 рассмотрены эллиптические уравнениям с двумя независимыми переменными. Специфика двумерного случая позволяет рассматривать уравнения с коэффициентами, зависящими от всех переменных, а условие дифференцирусмости коэффициентов можно заменить на условие их непрерывности по Гсльдеру.

В заключительном параграфе главы 4 рассмотрено уравнение Гамиль-тона-Якоби:

(4.19) ut + II (<, х, и, Vu) = 0

и его параболическая регуляризация:

где е > 0 - некоторая постоянная. Известно, что если из семейства решений ue(t,x) какой-либо краевой задачи или задачи Коши для уравнения (4.20) можно извлечь равномерно сходящуюся подпоследовательность, то предел u(t, х) и есть вязкое решение соответствующей задачи для уравнения (4.19). При определенных условиях вязкое решение (которое, вообще говоря, есть лишь непрерывная функция) становится лнпшицевой функцией. Обычно для этого требуется, чтобы гамильтониан //(¿,х,«,р) не зависел от переменной « и Я —» оо при |р| —»сх> (условие коэрцитивности). В главе 4 показано, что для уравнения

существует липшицево непрерывное вязкое решение. Как нетрудно видеть, f2 зависит от « и не обязано удовлетворять условию коэрцитивности.

В главе 5 рассматривается задача Дирихле в одном классе нсвыпуклых областей. Не ограничивая общности, считаем, что начало координат лежит внутри области П. Предположим, что:

1) части Oil, лежащие в полуплоскостях Xj < 0, х< > 0, можно представить в виде Xi = F1(xi,...,x<_i,xi+i,...,xn), х< = С{(х1,...,х(_1,х^1,...,х„) соответственно, где F,, G{, i = 1,...,, п - дважды непрерывно дифференцируемые функции;

2) существует постоянная « > 0 такая, что > — о0, <

а0 для = 1,...,п.

Определение. Будем говорить, что область С 11" выпукла в на-правлепш координатных осей (выпукла в п.к.о.), если условия 1), 2) выполнены.

Любая выпуклая область выпукла в направлении координатных осей, поскольку для выпуклых областей имеем Р,Х)Х) > 0, < 0 для г,] =

1,...,п.

Для простоты все рассуждения ведутся при п = 3, случай п > 3 может быть рассмотрен аналогично.

Как и в предыдущей главе, граничная оценка градиента доказана для уравнения общего вида, а глобальная в специальном случае. Сформулируем теорему существования. Функции а,,,/ определены па множестве Пхйх К3, принимают конечные значения при хейи конечных «, V». Предположим, что п,} = а}, и

(5 8) > а0|£| на П х I*. х Я3 для £ 6 II3,

где - константа. Предположим, что

При хеП, |«| < М и конечных р = (рьрз,рз) функция удовлетворяет структурному ограничению

(5.10) |/1(х,«,р)| <ап(х,и,рЩ\р1\),

ф(р) > 1 - непрерывно дифсрсрснцирз'смая функция, такая, что ф{р) > ОпР при р > 1 и

(5л1> Г

Функция /г для хбй, |и| < М и любых р удовлетворяет соотношению Введем функции /1,(34) следующим образом:

К' + Ф(\К\) = Ь « = 1.....6.

/чИО = л з(Л2) = л8(/Ь) = МЯО = 1ч(в2) = 1Ч(В3) = о, мл, + =

'»з(Л2+т0) = ЛбИз + То) = /12(^1 -Го) = 1ц{В2-та) = /ц(Вз-То) = <мг(и),

постоянная г0 определяется аналогично тому, как это сделано во второй главе. Предположим, что вблизи границы области выполняется

Нетрудно видеть, что условие (5.13) выполнено если, например, ау г О при г ф з, поскольку ац > 0 и Ькх,т,(Ск) < 0, к = 1,2, ¿ = 2,3.

Пусть /г, дополнительно, удовлетворяет условию

(5.14!) /2{Х1,Х2,Хз,и,р1,Р2,Рз) > 12(£,Х2,Хз,У,р1,Р2,Рэ),

(5.142) /2(£>Х2,хз,и, —рьрг.рз) > ¡2(хих2,х3,V, -рьрг.рз)

при XI > С> И > V, Р1 > О И любых Р2,РЗ-

Предположим, что функция /1 при хбП, |и| < М, |р!| < С\ и конечных Р2 ,Рг удовлетворяет условию

Кроме того, пусть

(5.101) к(хих2,хз,и,рир2,рз) > /г(х1,С,а;з,и,Р1.Р2,Рз),

(5.162) /2(Х1,£,Хз,11,Р1, ~Р2,Рз) > !г{Х1,Х2,Хз,У,р1,~Р2,Рз)

при Х2 > С» И > V, Р2 > О И любых Р1,Рз.

Предположим теперь, что функция J\ при х € П, |«| < М |р!| < С\, |рг| < С2 и конечных рз удовлетворяет условию

(5.17) |/1(х,и,р)| < азз(хз,и,р)ф{\рз\).

Кроме того, при х3 > и > V, рз > 0 и любых рьр2 выполняется (5.18,) Мх1,х2,хз,и,р1,ря,рз) > /2(®1,а;2,с,и,р1,р2,рз),

(5.182) /2(Х1,Ж2,С,«,Р1,Р2,-Рз) > /2(х1,х2,хз,ь,р1,р2,-рз).

Рассмотрим задачу Дирихле (5.19) а0(х1гх^,У«)и1|1)=/(х,и,Уи)в ЯсЯ3, и = 0 на ОП.

Теорема 5.1. Предположим, что a¡j 6 С'(П х R3), / 6 С"(Я х R х R3)

для некоторого а € (0,1) и выполнены условия (5.8) - (5.10), (5.12) - (5.18). Предположим, чтовыполненоусловие, обеспечивающееаприорнуюоценку |н| < М. Тогда о любой области ÍÍ выпуклой в и. к. о. задача (5.19) имеет по крайней мерс одно решение u(x) € C2,CT(íl).

Если функция f возрастает по переменной и, тогда такое решение единственно.

Приведем простой пример. Рассмотрим следующую задачу:

(5.21) Au = /i(x) + <¿](u)</>2(Vu) d íí, u = 0 на Oí2,

гДе |/i(x)| < K\ а в качестве фу(и) и fo(Vu) можно взять функции, обладающие следующими свойствами: ф\(и) - неубывающая функция, токая, что > 0, a > 0, либо 01 (и) - нсвозрастающая функция такая,

что «</>i(tt) < 0, a < 0.Например, ^i(u) = и3 либо </>t('i) = м'/3, а

fo(Vu) = ф2(Уп) = |«„|fc' +... + KJfc»+*-0l где к{ - неотри-

цательные вещественные числа. Условие (5.10) выполняется с i¡> = К\ > К. Если /i е C"(fl), ф1 е C*(R), ф2 6 C"(Rn), то теорема 5.1 гарантирует существование решештя задачи (5.21), принадлежащее пространству С2'°(П). В качестве }2 можно взять, например, функцию ф1(п)ф2(Уп), где ф\ - неубывающая функция, ф2 > 0 и ифх(и) > 0, либо ф\ - невозрастающая функция, tí(^,(u) < 0, а ф2 < 0.

Заметим, что в теореме 5.1 вместо «у € С1 можно взять a¡j € С" если потребовать дополнительно выполнения условия Кордеса. Рассмотрим следующую задачу Дирихле

(5.22) ац((,х,и,Vu)uTiTj-щ = /(t,x,tt,V») в QT = П х (0,Г),

где ÍÍ - выпуклая в н.к.о. область.

Доказаны теоремы существования, аналогичные эллиптическому случаю. Кроме того, доказано существование вязкого решения следующей задачи Дирихле для уравнегаш

м = 0 на дП х (0,Tj, u(0,x) = w0(x) при xeíl,

где П - выпуклая в н.к.о. область. При этом решение u(í,x) таково, что Vu 6 ¿СО. «Í 6 Loo.

С(рормулируем основной результат для двумерного случая. Как уже отмечалось, специфика двумерного случая позволяет рассматривать уравнения с коэффициентами, зависящими от всех переменных, а условие диф-ференцирусмости старших коэффициентов можно заменить на условие их

непрерывности по Гелъдеру. Рассмотрим следующую задачу Дирихле: а(х, у, и, Уи)ихх + 2Ь(х,у,и, Уи)иту + с(х, у, и, V и)и„у =

(5.1) =/1(х,у,«,У«) + /2(х,г/,м,Уи) в П С а2, « = 0 на ОП,

где \7ы = (их,иу), П - выпуклая в н.к.о. область. Функции а, Ь, с,/ определены на множестве Я х И х и принимают конечные значения при (х, у) 6 П и конечных и, V«. Предположим, что

(5.2) а > 0, с> О, 2Ь2 - ас < 0 в П х [-А/, М] х Л2,

(5.3) и/2{х,у,и,р1,р2) >0 в йх \-М,М\ х Л2. При х > и > V, р! > 0 и любых р2 выполняется

/г(»?,У,_«,Р1,-Р2) > /2(Ж,!/,«,Р1,-Р2). Функция /1 при (х,у) 6 П, |и| < М и |р| < +оо удовлетворяет следующим условиям

Теорема 5.2. Предположим, что а, Ь,с,/ € Са(ПхП.х112) с?лл некоторого а 6 (0,1) и выполнены условия (5.2) - (5.7). Предположим также, что выполнено условие, гарантирующее оценку |и| < М. Тогда о любой выпуклой в н.к.о. области П задача (5.1) имеет по крайней мере одно регистр и{х,у) € С2-а(Г2).

Если функция / возрастает по переменной и, а функции а, Ь, с «с зависят от и, тогда решение сдинстветю.

Глава 6 посвящена изучению начально краевых задач для ультрапараболических уравнений. Остановимся сначала на мотивации нашего интереса к этим уравнениям. Рассмотрим одномерное течение в трубе радиуса Я, где ось х направлена вдоль трубы. Составляющая скорости в направлении у равна пулю, а составляющая скорости в направлении х неотрицательна

(5.0)

\/1(х,У,и,рир2)\ < в(х,у,«,р,,р2)^(|р||),

(5.7)

|/1(ж,У.И,Р1,Р2)| < С(х,у,и,р1,р2)1/'(|Р2|)-

и обращается п ноль лишь иа стенках трубы. Простейший случай - это течение Пуапейля. Нестационарное диффузионно-конвективное уравнение в этом случае принимает пид: И| + ^и* = кДи + /, где и - температура, положительная постоянная « - коэффициент теплопроводности, сх - горизонтальная составляющая скорости, а / - источник. Известно, что если число Пекле, равное произведению чисел Рейиольдса и Праидтля, велико по сравнению с 1, тогда конвективный перенос тепла в направлении х существенно превосходит молекулярный перенос (диффузию) и членом итт можно пренебречь. Уравнение принимает вид щ + схит = киуу + /. Если трактовать м как концентрацию смеси, то член ихх (продольная диффузия) пренебрежимо мал при условии, что коэффициент диффузии мал по сравнению с «Л, где а - средняя по у скорость в направлении х.

Преимущество данного подхода с точки зрения приложений заключается в том, что для корректной постановки задачи в направлении х достаточно лишь одного краевого условия, т. с. достаточно проводить замеры по сечению ж лишь единожды (например, на входе х = 0).

В главе 0 рассмотсио уравнение

(6.1) щ + с • V« = киуу + Амга + /,

в области С}т,х = {(*,£,!/) : 0 < 4 < Г,0 < х < Х,-П < у < Л}, удовлетворяющее условиям:

Здесь с = (с1(<,х,у),с2(е,х,у)),А = А(у) > 0,/ = /(4,х,г/,и,иу). Прсдпола-

(6.3,) f{t,x,y,tt,Q) + X(XK)m < Кс^х.у) при > 0,

(6.32) -/(¿,х,г/,»,0) + А(ХК")та ККс^х.у) при ы < 0

для (4,х,у) € С}т,х, где |ппт|,|"%| < К. Также предполагаем, что / / — с2и„ + Аит удовлетворяет условию

при (£, х, у) € Ят,х» М < М и любых р, где гр(р) > 1 - гладкая функция, такая, что

Кроме того,

(6.5) С1(4,х,у) >0 при |1/| < Л, С|(4,х,±г) = 0, к>0— постоянная.

(6.2)

«(0, х, у) = и0(х, у), и(4, 0, у) = и(4, х, ±Л) = 0.

гаем, что

(6.4)

|/(4,х,у,и,р)| < «^(Н)

Предположим, что при (Ь,х,у) € Ят,х, М ^ Л/ и (¡* + р2 > где Ь -

некоторая постоянная, выполняется

(6.6)

t л. 4f*+pfv s х™

/и H--S-—5~ < +00-

•Г + Р2

Определение 0.1. Будем говорить, что непрерывная по Гёльдеру функция и является обобщенным решением задачи (6.1), (6.2), если:

i) u(t,x,y) удовлетворяет уравнению (6.1) почти всюду,начальные и краевые условия выполняются в классическом смысле;

ii) их,иу 6 «t,«»» 6 L2{Qt,x)-Сформулируем теорему существования.

Теорема 6.1. Предположим, что условия (6.3) - (6.6) выполнены и ио € С (|0, X] х [—Л, Л]). Тогда существует обобщенное решение задачи (6.1), (6.2).

Если, дополнительно, функция f(t,x,y,u,p) линейна пор, то обобщение решите сдинстветю.

Аналогичный результат имеет место для второй и для третьей краевой задачи v(0,x,y) = «о(х,у), u(t}Q,y) = uy(t,x,±R) ±b(t)u(t,x,±R) = 0,

где b(t) > 0 с единственным отличием, что условие + 6(t)u = О

v 1»=±л

выполняется в смысле следа функции. Рассмотрена также следующая задача

Предположим, что

(6.9) С1 >0 для у > 0, с, = с2 = 0 для у = 0 и С\х + с2у = 0.

Кроме того, предположим, что с\Т и, следовательно, с2у ограничены в Аг.х- Такая задача возникает при изучении поведения температуры в пограничном слое, когда поле скоростей известно. Пусть

(6.10) /(«, X, у, и,р) н /!(*,X,у) + X, у, и) + /3(4, х, у, и)р, где и/2(1,х,у,и) < 0. Считаем, что следующие величины ограничены (6.И) НЛИмОг.*) Л™ Н^М, ||и0|и,((0,х)х(0.я)), ||«0»1к3((0,Л)х(0,Л))-

Определение G.2. Будем говорить, что непрерывная по Гёльдеру функция и является обобщенным решением задачи (6.7), (6.8), если: i) u(t,x,y) удовлетворяет уравнению (6.7) почти всюду, условия (6.8) выполняются в классическом смысле; и) uT,uv € L^Dt.x), Щ,иуу 6 Lt(DT>x)-

С<1>ормулируом теорему существования.

Теорема 0.2. Предположим, что выполнены условия (6.8) - (6.11) и «о € C^lO.X] х |-оо,оо)), / 6 Cx{Dt,x х [-АЛЛ/] * (-C2lC2]). Тогда eyvчествует обобщенное решение задачи (6.7), (6.8).

Отмстим, что для линейных ультрапараболических урапнений с коэффициентом Г|, зависящим лишь от t и х, классическая разрешимость краевых задач следует из работ С.Л.Терсснопа (1999, 2001), существование обобщенного решения краевых задач для линейных ультрапараболических уравнений доказано С.Г.Пятковым (1990). В случае, когда Ci = bix + Ь2у, где Ьь t>2 - постоянные, существование обобщенного решения задачи Дирихле для слабо нелинейных уравнений доказано Ф.Ласчиалфари и Д.Морбиделли (1998).

В заключение хочу выразить искреннюю благодарность своему учителю академику Валентину Николаевичу Монахову за многолетнюю поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Терсснов Ал.С, Априорные оценки для одного класса вырождающихся параболических и ультрапараболических уравнений // Докл. Р.А.Н. т. 338, No.2 (1994).

[2] Терсснов Л л. С, Об одном классе неравномерно эллиптических уравнений // Сиб. Мат. Жур., 36 (1995), No.4, 893-902.

[3] Терсснов Лл. С, Об одном классе вырождающихся неравномерно параболических уравиашй// Вестник МГУ, сер. 1, n.G (199G) 94-97.

[4] Terscnov Al.S., On quasilinear non-uniformly parabolic equations in general form// J. of DifT. Equations, 142, N.2 (1998), 263-276.

[5} Tcrsenov Al.S., On quasilinear non-uniformly elliptic equations in some non-convex domains// Communications in PDE, 23,11&12, (1998), 21G5-218G.

[G] Teisenov Al.S., On the first boundary value problem for quasilinear parabolic equations with two independent variables// Arch. Ration. Mccli. Anal., 152 (2000), n.l, 81-92.

|7] Terscnov Al.S., Tersenov Ar.S., Global solvability for a class of quasilinear parabolic problems// Indiana Univ. Math. J., 50, n.4 (2001) 1899-1913.

[8] Terscnov Al.S., Estimate of the solution of the Dirichlct problem for parabolic equations and applications// J. of Math. An. Appl., 273, n.l (2002) 20G-216.

[9] Caputo J.G., Flytzanis N., Tersenov Al.S., Vavalis E., Analysis of a semi-linear PDE for modelling static solutions of Joscphson junctions// SIAM J. Math. Anal., v.34 (2003) n.G, 1355 - 1378.

[10] Terscnov Al.S., Tcrscnov Ar.S., The Cauchy problem for a class of quasilinear parabolic equations// Aim. Mat. Рига Appl., v.182 (2003) N 3, 325 -33G.

[11] TepcciroD Ал.С, Задача Дирихле для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений// Мат. заметки, Т. 7G, N 2, 2004.

[12] Tcrscnov A1.S., On the preventive effect of convection and of the diffusion in the blow-up phenomena for quasilinear parabolic problems// Annalcs dc l'LH.P.-Analyse non lineaire, 2004.

[13] Терсенов Ал.С, О несуществовании нетривиальных решений для одного класса краевых задач// Дифференциальные уравнения, Т. 40, N 7, 2004.

Подписало к печати 26.04.2004 Заказ 110

Формат бумаги 60x84/16 Объем 2 п.л.

Тираж 100 экз._Бесплатно

Ротапринт Института гидродинамики СО РАН Новосибирск 90, проспект акад. Лаврентьева, 15

m-976t

ВВЕДЕНИЕ.

Г J1 А В А I. Оценка решения и теорема единственности для задачи Дирихле.

§ 1 О превентивной роли градиентного члена.

§ 2 О стационарной задаче

§ 3 О превентивной роли диффузии.

§ 4 Стационарный случай

§ 5 Примеры.

§ 6 Теорема единственности для параболических уравнений.

§ 7 Теорема единственности для эллиптических уравнений.

Г JI А В А II. Квазилинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными

§ 1 Оценка градиента решения задачи Неймана и третьей краевой задачи

§ 2 Оценка градиента решения задачи Дирихле

§ 3 Теоремы существования

§ 4 Примеры.

§ 5 Примеры неравномерно параболических и вырождающихся уравнений

§ 6 Поведение решения при неограниченном возрастании времени

ГЛАВА III. Радиально симметричный случай

§ 1 Сведение к одномерной задаче

§ 2 Оценка градиента.

§ 3 Теоремы существования

§ 4 Примеры.

ГЛАВА IV. Многомерные квазилинейные параболические и эллиптические уравнения

§ 1 Гельдерова непрерывность решения по времени

§ 2 Граничная оценка градиента решения задачи Дирихле.

§ 3 Глобальная оценка градиента

§ 4 Другие краевые задачи и задача Коши

§ 5 Оценка градиента в норме Са/2'а

§ 6 Примеры.

§ 7 О несуществовании нетривиальных решений для одной задачи Неймана

§ 8 Эллиптические уравнения, двумерный случай

§ 9 Об уравнениях Гамильтона - Якоби

Г Л А В А V. Задача Дирихле для эллиптических и параболических уравнений в невыпуклых областях.

§ 1 Оценка градиента

§ 2 Теоремы существования и единственности

§ 3 Двумерный случай

§ 4 Некоторые замечания

Г JI А В А VI. Начально краевые задачи для ультрапараболических уравнений

§ 1 Параболическая регуляризация

§ 2 Априорные оценки и, их и иу.

§ 3 Априорные оценки щ и иуу

§ 4 Теорема существования и единственности.

§ 5 Другие краевые задачи

§ 6 Краевая задача в неограниченной области

Уравнения в частных производных первого и второго порядков лежат в основе математических моделей самых разнообразных явлений в механике, физике, гидродинамике, биологии и других областях знаний. Например, квазилинейное параболическое уравнение описывает нестационарные процессы теплопроводности, движения жидкостей и газов, оно возникает при математическом моделировании процессов химической кинетики, пограничного слоя, процессов роста и сосуществования популяций и т. п. Такое широкое распространение этих уравнений объясняется тем, что выводятся они из фундаментальных законов сохранения (материи, импульса, энергии).

В настоящей диссертации рассматриваются квазилинейные эллиптические, параболические и ультрапараболические уравнения второго порядка, а также уравнения Гамильтона-Якоби.

Параболическим и эллиптическим уравнениям второго порядка посвящено огромное количество статей и книг. Упомянем лишь некоторые наиболее известные монографии. По параболическим уравнениям - это книги О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой [44], В.С.Белоносо-ва, Т.И.Зеленяка [7] и, сравнительно недавно вышедшая, книга Г.Либерма-на [54], по эллиптическим уравнениям книги О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [45] и Д.Гилбарга, Н.Трудингера [14]. Также отметим монографию Н.В.Крылова [40] по нелинейным параболическим и эллиптическим уравнениям.

Уравнениям Гамильтона-Якоби также посвящено большое число публикаций, упомянем монографии А.И.Субботина [64], П.-Л.Лионса [55] и Г.Барлеса [8].

Ультрапараболические уравнения изучены значительно хуже, поэтому остановимся на них несколько подробнее. Такие уравнения описывают нестационарные процессы переноса (тепла, массы, импульса), когда в одном направлении конвекция существенно превосходит диффузию и членом, отвечающим за диффузию в этом направлении, можно пренебречь. Впервые ультрапараболические уравнения были введены А.Н.Колмогоровым [43] для описания некоторых диффузионных процессов (см. также [44]). Ультрапараболические уравнения возникают также в теории теплопередачи в движущейся среде при большом числе Пекле. Рассмотрим течение в трубе радиуса R. Известно (см. [49, параграф 35]), что если число Пекле Ре = RePr (здесь Re - число Рейнольдса, а Рг - число Прандт-ля) велико по сравнению с 1, тогда конвективный перенос тепла в продольном направлении х существенно превосходит молекулярный перенос (диффузию) и членом ихх можно пренебречь. Если трактовать и как концентрацию смеси, то член ихх (продольная диффузия) пренебрежимо мал при условии, что коэффициент диффузии мал по сравнению с aR, где а -средняя по у скорость в направлении х (см. [49, параграф 21]).

Ультрапараболические уравнения возникают при изучении нестационарного пограничного слоя (см. [53], [80]), где вдоль обтекаемого тела диффузия пренебрежимо мала в сравнении с конвекцией. Такие уравнения описывают динамику развития популяции с учетом возраста как независимой переменной [38]. Также эти уравнения описывают процесс рассеивания электронов (см., например, [89]), где возникает уравнение Фоккера-Планка.

Интересно отметить следующий факт. Асимптотическое поведение положительного решения задачи Коши для параболического уравнения ut + (uq)x = ихх + иуу, 1 < <7 < § дается в терминах решения ультрапараболического уравнения щ + (ич)х = иуу (см. [26] - [28]). Таким образом, эффект диффузии в направлении х для больших значений времени "исчезает".

Бблыиая часть диссертации (главы 1-5) посвящена вопросу глобальной классической разрешимости краевых задач для квазилинейных неравномерно параболических и эллиптических уравнений. Ультрапараболическим уравнениям посвящена заключительная, шестая, глава.

Хорошо известны классические результаты Шаудера-Каччиопполли о разрешимости краевых задач в пространствах Гельдера С2+а для линейных строго эллиптических уравнений с коэффициентами и правой частью из Са. Они гарантируют разрешимость краевых задач для уравнений, коэффициенты и правая часть которых - непрерывные по Гельдеру функции. Эти результаты неулучшаемы и все предположения в них вызваны существом дела. Аналогичная ситуация имеет место и для линейных параболических уравнений. Отметим здесь следующий результат М.Д.Ивановича: Как известно, просто непрерывности коэффициентов и правой части уравнения не достаточно для ограниченности вторых производных решения. В [25], [26] было показано, что если в линейном параболическом (или эллиптическом) уравнении модуль непрерывности коэффициентов и правой части удовлетворяет условию Дини, то старшие производные также равномерно непрерывны, но с "худшим"(не удовлетворяющем условию Дини) модулем непрерывности. С.Н.Кружковым [36] было показано, что для любого заданного модуля непрерывности, не удовлетворяющего условию Дини, можно указать пример линейного уравнения, один из коэффициентов (или правая часть) которого имеет заданный модуль непрерывности (остальные коэффициенты можно полагать равными константе) и которое имеет решение с неограниченными старшими производными.

В отличие от линейных задач существование глобального решения в квазилинейном случае не является простым следствием гладкости данных задачи. Принципиальную роль здесь играет характер нелинейности. Остановимся на параболических уравнениях. В зависимости от характера нелинейности классическое решение может либо существовать для любых значении времени (глобальное решение), либо разрушаться за конечный промежуток времени (локальное решение). Под разрушением решения мы понимаем обращение в бесконечность максимума модуля решения или максимума модуля градиента решения. Причем при разрушении градиента решения само решение может оставаться ограниченным. Кроме того, вообще говоря, для доказательства глобальной разрешимости в квазилинейном случае приходится требовать непрерывной дифференцируемости коэффициентов и правой части уравнения. Отметим, что локальная разрешимость краевых задач и задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений имеет место без каких-либо существенных ограничений на характер нелинейности (см., например, [54], [ 63]). Аналогичная ситуация имеет место и для квазилинейных эллиптических уравнений. Здесь под глобальной разрешимостью подразумеваем разрешимость краевых задач без условий на малость области.

Одной из основных задач диссертации является обобщение известных результатов, гарантирующих глобальную разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений.

Как известно, различные теоремы функционального анализа о непоI движной точке сводят вопрос о разрешимости краевых задач к получению априорной оценки в подходящей норме. Т. е. необходимо переформулировать нашу задачу в терминах отображения Т подходящего банахова пространства В в себя так, чтобы неподвижная точка и отображения Т (т. е. и = Ти) была решением этой задачи. Мы будем пользоваться теоремой Лерэ - Шаудёра [51], а точнее, ее частным случаем (см. [14], теорема 11.3). Для удобства дадим формулировку этого частного случая.

ТЕОРЕМА. Пусть Т - компактное отображение банахова пространства В в себя. Предположим, что существует постоянная С такая, что для всех, и G В и A G [0,1], удовлетворяющих уравнению и — ХТи, справедливо неравенство

1) Мв<С.

Тогда отображение Т имеет неподвижную точку.

В данной теореме неравенство (1) и есть требуемая априорная оценка. Априорная оценка - это оценка всех возможных решений задачи, в предположении их существования, через данные этой задачи. Под данными задачи понимаются коэффициенты уравнения, его правая часть, начальные и краевые условия, а также область, в которой ищется решение. В настоящее время не существует общего метода получения априорных оценок. Основными инструментами являются принцип максимума и метод домножения уравнения, которое мы решаем, на линейные комбинации неизвестных функций и последующего интегрирования по частям.

Априорные оценки не только являются средством, при помощи которого доказывается разрешимость задачи, но и представляют самостоятельный интерес, поскольку возможность получить оценку какой-либо нормы решения, не находя решение в явном виде и даже не доказывая его существование, несомненно важна для приложений, особенно если константа в оценке находится явно (как, например, в принципе максимума).

Общая процедура получения требуемой в теореме Лерэ - Шаудера априорной оценки решения u(t, х) является четырехшаговым процессом, состоящим из последовательных оценок следующих величин:

I) sup |u(£,x)| во всей области,

И) sup|Vu(£, х)| на границе области ( в случае задачи Дирихле),

III) sup |Vu(£,x)| во всей области,

IV) оценка |Vu(£,x)| в норме пространства Са во всей области. Каждая из этих оценок использует предыдущую, а последняя оценка используется в доказательстве существования решения, основанном на теореме Лерэ-Шаудера, где в качестве пространства В берется пространство cl+a.

Остановимся подробнее на этих шагах. Существует ряд достаточных условий, обеспечивающих ограниченность максимума модуля решения как для неравномерно, так и для равномерно параболических и эллиптических уравнений, (см., например, [14], [44], [45], [54], [71]). Сформулируем два наиболее часто встречающихся в литературе условия, каждое из которых обеспечивает глобальную ограниченность решения. Рассмотрим задачу Дирихле:

2) щ = Oij{t, х, и, Vu)uXiXj + /(*, х, и, Vu) в QT = (О, Т) х Q, П с Rn,

3) и(0,х) = ф(х) в Q, и =x(s), ST = (0,T)xdn,

Sx где aij > 0. Если выполнено одно из следующих двух условий: ■

4) uf(t, х, и, 0) < а\и2 + «г при (t, х, и) G Qt х R, либо

5) х,ц,р)| < + *2) при (*,x,u,p)eQrxR^\ где ai, OL2 - положительные постоянные, то решение задачи (2),(3) ограничено в Qt при всех Т > 0.

Отметим, что ни одно из этих условии не обеспечивает ограниченность решения задачи Дирихле, например, для уравнения (2) с f(t, х, и,р) = -Ci{t,x)pi + \um + fo{t,x) :

6) ut + ci(t,x)wXi = Ki(t, x.)uXiXi + Лum + fo(t,x), m > 1 ни при каких значениях /Ci>0,A>0HCj.

Хорошо известно (см., например, [61], [52]), что решение задачи Дирихле для уравнения щ = Аи + А ит, где постоянная Л > 0, a га > 1, вообще говоря, разрушается за конечный промежуток времени. Т. е. существует t* (0 < t* < +00) такое, что max|u(£,x*)| —» +00 при t~—> t* по крайней мере для одной точки х*. Задача (6), (3) изучалась в [2], [7], [53], где были рассмотрены различные случаи разрушения решения за конечный промежуток времени. М.Шипо и Ф.Вейсслер в [19] рассмотрели уравнение щ + /4Vu|r = Аи 4- Аит, ii = const > О с целью исследовать влияние члена | Vu|r на поведение решения задачи Дирихле. Затем последовали публикации ряда авторов (М.Члебик, М.Фила, П.Куитнер, Б.Каволь, Л.Пелетье, Ф.Супле, Ф.Вейсслер [20], [29], [42], [68], [69], [75] - [77] и др.) посвященных этому уравнению, где основной целью было определить для каких гит решение может разрушиться за конечный промежуток времени, а для каких существует глобальная оценка решения. Главным результатом этих исследований стало установление следующего факта: если т < г, то положительное решение остаётся ограниченным для всех значений t > 0, разрушение решения может наступать лишь в случае тп> г.

Отметим, что в случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения условия, аналогичные условиям (4) и (5), выглядят следующим образом:

4)* гг/(х, щ 0) < 0 при (х, и) в Q х R,

5у |/(х,ц,р)| < + при (х,и,р) е Q х Rn+1.

Второй шаг - получение граничной оценки градиента. Именно здесь проявляется принципиальное отличие неравномерно параболических и эллиптических уравнений от равномерно параболических и эллиптических. Напомним, что уравнение (2) называется равномерно параболическим, если отношение

Л(£,х, ц,р) A(t,x,u,p) ограничено в Qt х Rn+1. Здесь

О < А(£,х, и, р)|£|2 < p)tej< A(f,x,<u,p)|£|2,V£ eRn\0.

Для равномерно параболических и эллиптических уравнений граничная оценка получается для широкого класса областей с единственным ограничением на структуру оператора - выполнение условия Бернштейна. В случае неравномерно эллиптических уравнений такая оценка имеет место лишь при дополнительных ограничениях на геометрию границы, а именно для областей с неотрицательной средней кривизной границы (критерий Дженкинса - Серрина [39]). В двумерном случае это условие означает выпуклость области. Для областей с положительной средней кривизной границы (невыпуклых, в двумерном случае) можно подобрать краевое условие (причем сколь угодно гладкое) так, что решение существовать не будет. Фактически решение само определяет свое поведение на границе. Аналогичные результаты имеют место и для неравномерно параболических уравнений (см. [54]). В этом смысле неравномерно параболические и эллиптические уравнения сродни вырождающимся линейным уравнениям, где в определенных случаях часть границы освобождается от краевого условия, поскольку решение само вырабатывает краевое значение (см.,, например, монографию О.А.Олейник и Е.И.Радкевича [55] по линейным вырождающимся уравнениям). Обычно граничная оценка получается на основе теорем сравнения построением подходящих барьеров. Этот подход был заложен в пионерских работах российского математика С.Н.Бернштейна в начале прошлого века [10] - [12] (см. также [8]).

Методы получения оценки в третьем шаге также восходят к С.Н.Берн-штейну. Уравнение дифференцируется по пространственным переменным Xkt к = получающиеся уравнения умножаются на иХк и суммируются по Итоговое уравнение записывается для функции v = |Vu|2, либо для вспомогательной функции w = w(v). Затем оценка получается на основе принципа максимума с учетом полученной граничной оценки. Таким образом, приходится требовать дифференцируемость коэффициентов и правой части уравнения. В этом заключается еще одно отличие от линейных уравнений, где для получения классического решения требуется лишь гельдеровость коэффициентов и правой части. Кроме того, в силу нелинейности появляется ряд ограничении на производные коэффициентов и правой части. Этот подход был развит О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [44] - [48].

По многомерным квазилинейным эллиптическим и параболическим уравнениям отметим результаты Д.Е.Апушинской и А.И.Назарова [2], А.А.Архи-повой [3], И.Я.Бакельмана [4], М.П.Вишневского, Т.И.Зеленякаи М.М.Лаврентьева [10], А.В.Иванова [23], [24], Н.М.Ивочкиной и А.П.Осколкова [28], Л.И.Камынина и Б.Н.Химченко [33], О.А.Олейник и С.Н.Кружкова [54], Н.В.Крылова [38], Д.Серрина [72], Г.Либермана [54], а также Н.Трудингера [88].

Глобальная оценка модуля градиента решения является основной в том смысле, что после ее получения существование решения краевых задач доказывается без дополнительных предположений о структуре уравнения. Как при оценке градиента на границе, так и при получении глобальной оценки необходимо требовать выполнения условия Бернштейна. Напомним, что условием Берншнейна или Бернштейна - Нагумо называется условие на структуру нелинейного оператора, ограничивающее рост по градиенту. Оно заключается в том, что скорость роста функции /(£, х, u, р) по р при |р| —> +оо не должна превышать скорость роста главной части уравнения по р более чем на |р|2. Исторически условие Бернштейна возникло при изучении краевых задач для уравнения у"\х) ='f(x,y(x),i/(x)) при \х\ < i.

С.Н.Бернштейн [10] сформулировал условия, обеспечивающие априорную оценку max|y'(a;)| : f{x,y,p)\ < A(x, y)p2 + B(x, y), где A{x, у) и B(x, у) - ограниченные на множестве [—I] x [—M, M] функции. Спустя четверть века М.Нагумо [61] предложил более слабое ограничение

А.Гранас, Р.Гюнтер и Д.Ли [37] обобщили результат М.Нагумо, ослабив условие на ф :

По поводу разрешимости краевых задач для обыкновенных уравнений см. также [22], [32]. В.Л.Камынин в [31], [32], изучая квазилинейные параболические; уравнения с двумя независимыми переменными a(t,x,u,ux)uxx - щ = f(t,x, и,их), где \f(t,x,u,p)\ < a(t,x,u,p)ip(j)), показал, что для разрешимости краевых задач условие Бернштейна может быть заменено следующим: где |u| < М, |иох| < К. Отметим, что аналогичный результат имеет место и для нелинейных параболических уравнений с двумя независимыми переменными [5]. Фактически условие (8) является аналогом условия (7) для параболических уравнений.

В книге В.С.Белоносова и Т.И.Зеленяка [7] оценка максимума модуля градиента решения краевых задач для автономного уравнения

9) a(x,u,ux)uxx-ut = f(x,u,ux)

7)

8) доказывается посредством построения функционала Ляпунова. Условия на f(x,u,ux) формулируются в терминах продолжимости решений задачи Коши

10) а(х, у, у')у" = f(x, у, у'), у{х0) = ?/0, = Z/i на весь промежуток изменения х при любых xq, уо, М.М.Лаврентьев [42], изучая задачу Дирихле для уравнения (9), выделил множество начальных данных, при которых задача Дирихле разрешима для всех t > 0 без предположения о возможности продолжения решений задачи Коши (10) на весь отрезок изменения переменной х или, другими словами, без предположения о скорости роста отношения f(x,y,p)/a(x,y,p) по р.

Отметим следующий факт. Известно (см., например, [3]), что для уравнения

Аи = /(х, и, Vn) в случае непрерывной функции /(х, и, р) выполнения условия Бернштейна достаточно для того, чтобы из оценки max |u| вытекала оценка max |V«|. С.И.Похожаев [58] показал, что если вместо непрерывности функции / потребовать выполнение более слабого условия: / € Lq(Cl), q > п при и £ Wq(Q),Cl С Rn, то условие Бернштейна уже не будет достаточным для получения оценки max|Vw| из оценки max|it|. В [58] сформулировано условие на рост функции /(х, w, р) по р, при котором оценка max|u| влечет оценку max |Vw|. Это условие зависит от q и переходит в условие Бернштейна при q = +оо.

Последний шаг - получение оценки градиента решения в норме пространства Са - также требует дифференцируемость коэффициентов уравнения, но не требует дифференцируемости правой части. Здесь основные результаты были получены О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [45] - [47] и Н.В.Крыловым [39], [40].

Особое положение занимают уравнения с двумя независимыми переменными. В случае эллиптических уравнений это обусловлено существованием методов, работающих исключительно в двумерном случае, результаты получаемые этими методами присущи только уравнениям с двумя независимыми переменными и не имеют аналогов для уравнений с числом переменных большим двух. В первую очередь следует упомянуть метод квазиконформных отображений, который сравнительно легко дает априорную оценку в норме для (квазилинейных) равномерно эллиптических уравнений [31], [65]. Отметим здесь, что априорная оценка в С1+а решения квазилинейных равномерно эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными зависит лишь от постоянной эллиптичности и верхних граней модулей коэффициентов, и получается эта оценка без каких-либо предположений о гладкости коэффициентов и правой части уравнения. Упомянем также геометрический метод, основанный на свойствах касательных плоскостей для седловых поверхностей. Из этих свойств следует существование априорной оценки в С1 для решений как равномерно, так и неравномерно эллиптических уравнений вида а(х, у, иуих, иу)ихх + 2b(x, у, и, иХ1 иу)иху + с(х, у, и, их, иу)иуу = О в предположении выпуклости области [64].

По многомерным уравнениям следует также отметить результат, принадлежащий О.Кордесу [23]. Для квазилинейных равномерно эллиптических уравнений имеет место априорная оценка решения в норме С1+а, не зависящая от гладкости коэффициентов и правой части уравнения, если выполнено условие Кордеса, которое заключается в том, что предполагается малый разброс собственных чисел матрицы старших коэффициентов.

В 60-х годах С.Н.Кружков [34] предложил метод введения дополнительной пространственной переменной для исследования квазилинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной (см., также,

35]). При помощи этого метода им была получена априорная оценка решения в С1+а без предположения о гладкости коэффициентов и правой части уравнения. Единственным структурным ограничением было условие Берн-штейна. На основе этой оценки Кружковым была доказана разрешимость краевых задач при минимальных, соответствующих линейному случаю, предположениях о гладкости коэффициентов. Вопрос о возможности построения классического решения без предположения дифференцируемое™ коэффициентов в многомерном случае остался открытым.

Значительная часть настоящей диссертации (главы 2 - 5) посвящена модификации метода Кружкова с целью ослабления структурных ограничений, гарантирующих классическую разрешимость краевых задач, и распространения этого метода на многомерные уравнения.

В последнее время появилось значительное число работ, посвященных ультрапараболическим уравнениям, где изучаются различные свойства решений таких уравнений. Среди них статьи В.С.Владимирова и Ю.Н.Дрож-жинова [12], С.Д.Ивасишена, Л.М.Тычинской и С.Д.Эйдельмана [27], A.M. Ильина [29], .С.Г.Пяткова [60], С.А.Терсенова [71] - [73], Д.Р.Ахметова, М.М.Лаврентьева и Р.Шпиглера [1], М.Эскобедо, Х.Васкеса и Е.Зуазуа [27], Н.Гарофало и Е.Ланконелли [34], Ф.Ласчиалфари, Д.Морбиделли [49], М.Манфредини [57], С.Полидоро и М.Рагуса [67] (см. также [13], [16], [18], [19], [43], [51], [56], [62], [76], [79], [14], [48], [58], [60], [66], [78]). В то же время вопросу разрешимости краевых задач посвящено сравнительно немного статей. Для коэффициента ci, зависящего лишь от t и х и / = f(t,x,y), разрешимость краевых задач следует из [73], в случае, когда с\ = Ъ\х + 622/, где &i, 62 - постоянные, разрешимость задачи Дирихле доказана в [49], [57].

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Первая глава посвящена оценке максимума модуля классического решения задачи

Дирихле для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. В первом параграфе исследуется влияние градиентного члена на поведение решения. Рассмотрены уравнения

И) ut + Ci{t,yL)v%. = е&и + \ит + /(£,х), в Qt = х (0,Т), Q с Rn и

12) ut + c(£,x)|Vur = eAu+Aum + /(t,x), bQt = Qx{0,T), ficR" с условиями

13) u(0,x) = 1Хо(х), и = 0, ST = d£lx(0,T).

Sx

Отметим, что проблема глобальной разрешимости задач (11), (13) и (12), (13) при гладких с*, с, / и Т{ < 2, г < 2 эквивалентна установлению глобальной ограниченности решения. Полагаем, не ограничивая общности, что область О, лежит в полосе —l\ < х\ < li, кроме того предполагаем, что |woit(x)| < К\. Для простоты изложения сформулируем здесь результат в случае f(t,x) = 0. Остановимся сначала на задаче (11), (13). Если ci(i,x) > \(2l1)mK?-ri либо d(t,x) < -X(2l1)mK]n-ri, то VT > 0 имеет место оценка

К*,х)| < 2Кг1г.

Если, дополнительно, г\ > га, то эта оценка имеет место при с\ (t, х) > 0 либо ci(t,x) < 0.

Сформулируем теперь результат для задачи (12), (13). Если c(t,x) > \(2li)mK™~r, uQ{)>0 и m - четное,то VT > 0 в Qt имеет место оценка

К*,х)| < 2Kih. 16

Если, дополнительно, г > т, то эта оценка имеет место при c(t, х) > 0.

Можно дать простую физическую интерпретацию этого результата для гi = 1 , г = 1,2,3. Если составляющая скорости хотя бы в одном направлении достаточно велика, то конвективный перенос, приносящий холодное вещество с границы области, превалирует над членом ит (экзотермическая реакция) и не допускает неограниченного роста температуры -и. Отметим также, что в [75] краевая задача (12), (13) была предложена в качестве модели для описания динамики развития популяций.

Второй параграф главы 1 посвящен стационарному случаю. Получены аналогичные результаты. Приведем одно простое следствие. Рассмотрим следующую задачу

С.И.Похожаевым было показано (см. [57]), что если а = 0,г = 1, .,п, то существуют нетривиальные решения задачи (14), (15). Из результатов второго параграфа следует, что если с\ > 0 либо с\ < 0, то существует лишь тривиальное решение задачи (14), (15).

Отметим, что как в стационарном, так и.в нестационарном случае источник может иметь более общий. Вместо Хит можно брать функцию Q(u) относительно которой предполагаем, что \Q(z)\ < Q{2l\K\ при\z\ < 21\К\, в частности Q{u) = еи. В этом случае в условиях на с\ (с) вместо

2l\K\)mК™~п (\(2liKi)mК™~Г1) надо брать Q{2kKl)K™-ri {Q{2llKl)

В третьем параграфе исследуется влияние диффузии на поведение решения. Дадим здесь лишь два следствия общего результата. Рассмотрим уравнение

14)

Ci(x)uXi = еАи + Хит, в Q, Q С R",

15) и = 0. an

К™~г).

16)

Щ = KiUxiXi + Хит в QT.

Предположим, что кг > 31^+1{2К1)т~\ тогда для решения задачи (16), (13) верна оценка w(£,x)| < 2K\l\ Vt> 0. Для решения задачи (17), (13), где п

17) щ = Ki\u\muXlXl + uXiXi + Лит в QT г'=2 верна следующая оценка u(^,x)|<maxK(x)| + —(1 + ^), Vf > О

К А при любом Ki > 0. Здесь также можно дать простую физическую интерпретацию. Чем больше коэффициент теплопроводности (достаточно в одном направлении), тем больше поток тепла через границу, что способствует остыванию и предотвращает неограниченный рост решения.

В четвертом параграфе рассмотрен стационарный случай. Получены аналогичные оценки.

В пятом параграфе приведен ряд примеров. В частности, показано, что если применить результаты третьего параграфа к линейному уравнению

18) ut ~ dij(t,x)uXiXj +ai(t,x)ux. + a(t,x)u = f(t,x), a(t,x)<a0, то для решения u(t,x) задачи (18), (12) вытекает как стандартная оценка maxM < inf Гейтах [maxluol,1У qt ц>а0\ L /х —maxaJ/ так и оценка ы <- max{maxl/|,max|ai|} max I и I -;-.

Qt mm an

Заключительный параграф первой главы посвящен вопросу единственности классического решения задачи Дирихле для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. Стандартным условием единственности классического решения является дифференцируемость коэффициентов уравнения по переменным и и Vu (см. [14], [44]). В шестом параграфе показано, что от условия дифференцируемости по Vw можно отказаться. Показано также, что в определенных случаях можно отказаться и от условия дифференцируемости по и. Отметим, что как следует из примеров, построенных в [33] и [59], отказ от условия дифференцируемости по и, вообще говоря, ведет к неединственности решения.

Во второй главе построена теория начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений с двумя независимыми переменными при наиболее общих предположениях о коэффициентах уравнений.

Рассмотрим уравнение

19) a(t,x,u,ux)uxx-ut = f(t,x,u,ux) в Qr = Qx(0,T], где a(t, х,и,р)> Ос одним из следующих условий:

Здесь для краткости изложения ограничимся задачами Дирихле и Неймана, отметим лишь, что в случае третьей краевой задачи результаты аналогичны.

Предположим, что правая часть уравнения (19) может быть записана в виде

20) и(0, д;) = щ(х), u(t, ±I) = 0,

21) и(0, х) = uq(X), ux(t, ±Z) = 0.

22) f{t,x,u,p) = fi(t,x,u,p) +f2(t,x, и, p), где функция /2 удовлетворяет следующему условию

230 f2(t,X,U2,p) ~ /2(£, У, Щ,р) > 0,

2^, У, «2, -р) - х, иъ -р) > 0 19 для t е [О,Т], —I < у < х < I, —М < щ < U2 < М, р > О. В случае задачи Дирихле дополнительно предполагаем, что

24) uf2(t,x,u,p)< О при (t, х) £ QT, \и\ < М и произвольных р. Относительно функции /i предположим, что

25) |/i(t,z,u,p)| < a{t,x,u,p№{\p\) при (t, х) Е Qt, М < М и произвольных р. Здесь € С1(0,+оо) -неубывающая неотрицательная функция, удовлетворяющая следующему ограничению: существуют ро и р\ такие, что 0 < ро < р\ < +оо и гр 1 pdp

26) / ,. . > osciu) = max u — min u.

Jpo 'Ф(Р)

Пусть функция h(г) есть решение следующей задачи: h" + ip(\h'\) = О, Л(0) = 0, h(r0) = osc(u), где rPl dp

То = '

Jvn

РО Ф(РУ

Нетрудно видеть (см. главу 2, параграф 1), что ро < h' < р\. Предположим, что

27) ' \u0(x)-uQ{y)\<h(\x-y\).

Если условия (22) - (27) выполнены, тогда градиент ограниченного решения задачи (19), (20) ограничен постоянной, зависящей лишь от ф и osc(u). В случае задачи (19), (21) условие (24) лишнее. Заметим, что условие (27) является условием малости на osc{uq). Если uo(^) - произвольная, удовлетворяющая условию Липшица функция, тогда в условии (26) надо брать ро = К, где |wo(a;) — uo(y)\ < К\х — у| и предположение (27) будет автоматически выполнено. Таким образом, для произвольной непрерывной по Липшицу функции ио(х) условия (26), (27) эквивалентны следующему: существует р\ > К такое, что

28) !kW)^osc{u)

Априорная оценка ux(t,x)\<C выполняется с постоянной С, зависящей лишь от ф, К, osc(u).

Если f2(t,x,u,p) = 0, то условие (28) фактически совпадает с условием (8). Если fi(t,x,u,p) = 0, тогда для решения задач (19), (20) и (19), (21) выполняется: max|ux(£,a;)| < К. Qt

Заметим, что условия на функцию /2 никоим образом не связаны с коэффициентом а. Условие (24) в случае, когда /2 = h{t->xiV) и ro < I, может быть заменено следующим:

291) pf2(t, х,р)> 0 для я; G [-/, + т0],

292) pf2(t, х,р)< 0 для х е [I - т0, /], где р £ [—pi, —ро] U \po,pi] для некоторых ро > 0 и р\ > ро, причем условие (29i) гарантирует неразрушение градиента на левой границе, а условие (29г) - на правой.

Отметим, "что выполнения условий (23) достаточно требовать для р > Ро. Кроме того, отметим, что условия (23) гарантируют неразрушение градиента внутри области, тогда как условие (24) (либо (29)) на границе (для задачи Дирихле).

Приведем несколько примеров, дающих более четкое представление о результатах этой главы.

Рассмотрим следующую задачу: ихх -щ = {х + 1){их + U/21)3, 21 u{t,—l) = u(t,l) = 0, u(0, x) = zto(x) где uq{x) - гладкая, удовлетворяющая условиям согласования функция. Нетрудно видеть, что максимум модуля решения этой задачи ограничен. Положим fi(t,x,u,p) = 0, тогда в условии (25) можно взять ф = 1, и для любого ро > 0 найдется конечное р\ > ро такое, что условие (26) будет выполнено. Возьмем ро > \U\{2.l)~l. Очевидно функция /2 = (х + 1/2)(р+ U/21)3 при р > ро удовлетворяет соотношениям (23) и, следовательно, разрушение градиента не может наступать внутри области. Более того, если выбрать ро > max{U/2l,osc(u)/l}, то, выбирая р\ так, чтобы

Легко видеть, что условие (29i) выполнено и, следовательно, разрушение градиента не может наступать и на левой границе. Таким , образом, если градиент обращается в бесконечность, то это может происходить лишь на правой границе. М:П.Вишневским, Т.И.Зеленяком и М.М.Лаврентьевым в [11] было, в частности, показано, что в случае U = 7г/2 и I = 1/2 для любых начальных данных ^о имеет место разрушение градиента решения при £, стремящемся к некоторому подходящему значению t* на правой границе (х = 1/-2). Заметим, что единственным решением соответствующей стационарной задачи является функция arcsin(a; 4-1/2).

Кроме того, на основе результатов главы 2 можно найти условия на величину U, гарантирующие ограниченность градиента, а именно, (41\Д)~1 \U\ < I (подробнее см. параграфа главы 3). Очевидно, при I = 1/2 и U = 7г/2 это условие не выполнено.

Приведем пример с разрушением градиента во внутренней точке. Расимеем смотрим следующую задачу Дирихле:

Uxx -Ut = -u\ux\m~lux, в (0,Т) х (-1,1), и(0, х) = и0(х), u{t, ±1) = ±А, Wo(±l) = ±А, где постоянные А > 0, а т > 2. М.Фила и Г.Либерман в [30] показали, что если А достаточно велико, а именно,

30) /ее [А[(т- 2) Г sds\l/{-m-^dy> 2,

J-A JO то за конечное время градиент решения разрушается во внутренней точке области при любых начальных данных. Отметим, что из [30] не следует, что неравенство / < 2 гарантирует ограниченность градиента. Неравенство (30) можно записать следующим образом (подробнее см. §4 главы 2): лт/(т-2) . 1 + 2/(т - 2) m-2)/2)V(m-2)

Очевидно, при т —* оо получаем неравенство Л > 1 (А стремится к 1 сверху). Таким образом, достаточным условием разрушения градиента при произвольном т является условие А > 1.

Результаты §2 главы 2 диссертации гарантируют неразрушение градиента при А < 1.

В качестве последнего примера возьмем нестационарное уравнение капиллярности:

Здесь и - профиль поверхности жидкости с постоянным поверхностным натяжением в равномерном поле тяжести. Очевидно, условие Бернштейна для этого уравнения не выполнено, поскольку неравенство \f(t,x,u,p)\ < а(1,х,и,р)ф(\р\) выполняется с ф(р) = М\к\(1 +р2)3/2 (М = max|u|). Если к > 0, то функция /2 = ки( 1 Ч-р2)1/2 удовлетворяет условиям (23) и (24), следовательно, градиент решения как задачи Дирихле, так и задачи

Неймана ограничен VT > 0. Если же к < 0, то, как показано в [4], за конечный промежуток времени наступает разрушение градиента во внутренней точке области (само решение при этом остается ограниченным). Знак постоянной к зависит от направления действия гравитационного поля. Если к > 0, то поле направлено внутрь, если к < 0, то наружу. Существует ряд других примеров (см. [74], [5], [13], [25], [35], [47]) разрушения градиента при нарушении условия Бернштейна. Во всех этих случая нетрудно видеть, что нарушаются и наши условия.

Содержание второй главы по параграфам выглядит следующим образом. В первом параграфе второй главы получена априорная оценка градиента для второй и третьей краевых задач. Второй параграф посвящен оценке градиента для задачи Дирихле. В третьем параграфе при дополнительном предположении о непрерывности по Гельдеру функций а и / доказана глобальная разрешимость задачи Дирихле, Неймана, третьей краевой задачи и задачи Коши. В четвертом параграфе приведены примеры глобальной разрешимости краевых задач для уравнений, не удовлетворяющих условию Бернштейна. В пятом параграфе рассмотрен пример вырождающегося уравнения, возникающего, в частности, в теории неньютоновских жидкостей. Кроме того, рассмотрено уравнение движения поверхности с заданной средней кривизной и, в частности, нестационарное уравнение капиллярности. Заключительный, шестой параграф, посвящен вопросу о поведении решения при неограниченном возрастании времени.

Подход, предложенный в данной главе, легко переносится на обыкновенное уравнение у"{х) = f(x,y(x),y'(x)).

Главы 3 - 5 посвящены распространению результатов второй главы на многомерные задачи.

В третьей главе рассмотрен класс многомерных задач, допускающих существование радиально симметричных решений. Рассматривается уравнение

31) г Л и - ut = f(t,x,u, v^) в Kr, где KR = (О,Г) х Вд> £д = {х : |х| < R} С Rn, х = (xi,.,xn), Vw = (uXl,., wXn), a £ - положительная константа, с одним из следующих краевых условий: ди

32) и 0 либо ^

5л (772 0 либо + о (t, и) sR on

SR 0, где 5д = (0, Т) х сШд, а под понимаем производную по внешней нормали к Sr и начальным условием

33) гг(0,х) = и0(|х|) для x€Br, где |ио(|х|)| < К. Предполагаем, что функция f(t,x,u, р) определена при (t, х) G .Кд и всех (и, р) и принимает конечные значения для (£, х) G if д и конечных (w,p). Функция a(t,u) определена при t G [0,Т] и любых и. Кроме того, предполагаем, что f(t, х, и, Vw) в переменных (£, г), где г = п х| = (Х)^)1/2, может быть записана в виде f(t,x,u,\/u) = f(t,r,u,ur). i-1

Например, /•= /(£, |х|,и, | v u|) или f = f(t, |x|,u,x • v^), где x • \/u = n

Xillx. i=1

В главе 3 доказываются теоремы существования, аналогичные теоремам существования главы 2. Все результаты данной главы для краевых задач без труда переносятся на эллиптические уравнения вида Л и = /(x,W, S/u).

Уравнение (31) и условия (32) в переменных (t, г) выглядят следующим образом: е(п — 1)

Urr Н--иг — ut = fl(t,r,U,Ur) + f2(t,r,U,Ur) в Qr, где Qr = {(t,r) : 0 < t < Т,0 < г < R}, задача Дирихле принимает вид 0, r=R ur(t,r) =0, u(t, г) г=0 задача Неймана ur{t,r) =0, ur{t,r) r=0 r=R 0, третья краевая задача ur(t,r) =0, ur(t, r) + a(t,u(t,r)) r=0 r=R 0 и начальное условие u(t,r) = u0(r).

Заметим, что условие на левой границе ur(t10) = 0 появляется благодаря тому, что мы ищем гладкое радиально симметричное решение. С точки зрения теории вырождающихся уравнений это условие лишнее. Граница г = 0 освобождается от краевого условия, так как решение само вырабатывает значение иг — 0 при г = 0 (подробнее см. уже упоминавшуюся выше монографию [55]). С точки зрения получения априорной оценки градиента фактически показано что наличие сингулярного члена е{п— 1 )r~lur "не мешает" применению подхода, изложенного во второй главе.

В четвертой главе рассматриваются краевые задачи и задача Коши для многомерных квазилинейных неравномерно параболических и неравномерно эллиптических уравнений в прямоугольных параллелепипедах. Изложение в основном ведется для параболических уравнений. Подробное изложение для эллиптического случая дается только для двумерного случая, т. к. в двумерном случае имеет место более общий результат.

Первый параграф посвящен доказательству гельдеровости решения уравнения по переменной t с показателем 1/2 при наличии априорных оценок самого решения и его градиента. Для уравнения с одной пространственной переменной этот результат был получен С.Н.Кружковым [34]. Первоначально aij(t,x.,u, Vu) — ut = f(t,x,u,Vu) в [35] гельдеровость по t была получена с неоптимальным показателем (меньше 1/2). Б.Гилдинг (см. [36]) для линейного уравнения (с одной пространственной переменной) "дотянул" показатель до 1/2, затем в [34] была получена оценка с оптимальным показателем уже для квазилинейного уравнения. Мы показываем, что подход, предложенный в [34], легко распространяется на многомерные уравнения, где постоянная Гельдера дополнительно зависит от размерности области.

Граничной оценке градиента решения задачи Дирихле посвящен второй параграф. Граничная оценка uXi получена при следующих предположениях о правой части: f(t,x,u, р) = /i(£,x,u,p) + /2(£,x, и, р).

Функция fi при (£,х) G Qt, |w| < Ми любых р\ удовлетворяет следующему структурному ограничению где М > 0 - некоторая постоянная, ф{р) > 0 - непрерывно дифференцируемая функция такая, что

Эти условия гарантируют неразрушение градиента для широкого класса квазилинейных неравномерно парараболических уравнений, не удовлетворяющих условию Бернштейна. Отметим здесь, что в большинстве известных примеров с разрушением градиента разрушение происходит именно на границе области, разрушение градиента внутри области - явление редкое. i(i,x, и, О,О,в, 0,., 0)| < an(t, х, и, 0, .0,р{, 0,., 0ЖЫ), где постоянная К{ определяется из неравенств uO0n, ., Xi-1, Xij Xi+i, ., Xn) — Uq(xi, ., Xi-1,Xi+i, ., Xn)\ < Ki\Xi — &

Функция /2(t,x,u, p) удовлетворяет соотношению u/2(i,x,w,0, .,0,рг-,0, .,0) > 0.

Третий параграф посвящен глобальной оценке градиента для задачи Дирихле, там же сформулирована теорема существования. Для одного класса многомерных задач получена оценка градиента решения без дифференцирования уравнения и, как следствие, без предположения дифференцируемое™ коэффициентов и правой части уравнения. Основное отличие от одномерного случая заключается в том, что здесь приходится требовать независимость старших коэффициентов от части переменных, а именно, dij = aij(t,Xi,Xj,Vu) (an = au(t,Xi,Vu)).

Кроме того, требуется выполнение дополнительных ограничений (см. условия (3.3), (3.11) и (3.15) в главе 4) которые выполнены, если, например, коэффициенты при смешанных производных равны нулю. Условия на правую часть аналогичны условиям, сформулированным во второй главе. Отметим, что здесь также допускается нарушение условия Бернштейна.

В четвертом параграфе рассмотрена третья краевая задача и задача Коши.

В пятом параграфе получена оценка градиента решения в норме пространства Ca/2,a(Qr) (Ca(fi)) для уравнений

34) Аи-щ = f{t,x,u,Vu), (Аи = f(x,u,Vu)).

Оценка эта является по существу точной и не может быть улучшена без дополнительных условий о характере непрерывности функции /. Уравнения (34), после того как получены оценки на решение и на градиент решения, могут быть рассмотрены как линейные уравнения с ограниченной правой частью. В одномерном случае для квазилинейных параболических уравнений эта оценка была получена С.Н.Кружковым сведением к уравнению дивергентного вида большей размерности, к которому применима теорема Нэша - Де Джорджи [24], [63]. Подобный результат другим методом был получен в [15], [16].

В шестом параграфе приводится ряд примеров.

В седьмом параграфе доказана теорема о несуществовании нетривиальных решений задачи Неймана для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений. Приведем один пример. Рассмотрим следующую задачу:

Предположим, что U < 2 i = 1, .,п. Из результатов седьмого параграфа следует, что если |g(0)| > 1, то задача не имеет решения, если же |<7(0)| < 1, то решениями задачи являются только постоянные С = arcsing{0), в частности, если д(0) = 0, то С = ±7m, п = 1,2,.

Восьмой параграф посвящен эллиптическим уравнениям с двумя независимыми переменными. Специфика двумерного случая позволяет рассматривать уравнения с коэффициентами, зависящими от всех переменных, а условие дифференцируемости коэффициентов можно заменить на условие их непрерывности по Гельдеру.

В заключительном, девятом, параграфе рассмотрено уравнение Гамиль-тона-Якоби: где г > 0 - некоторая постоянная. В начале 80-х годов М.Крендал и П.-Л.Лионс (см., например, [55]) ввели понятие вязкого решения. Было показано, что если из семейства решений u£(t, х) какой-либо краевой задачи или задачи Коши для уравнения (36) можно извлечь. равномерно сходящуюся подпоследовательность, то предел u(t, х) и есть вязкое решение

Аи +g(Vu) — sinu = 0, в {х : \xi\ < li,i = 1, .,n, }

35) щ + H{t, х, -u, Vu) = 0 и его параболическая регуляризация:

36) и\ + H(t, х, и£, Vu£) = еА if, соответствующей задачи для уравнения (35). При определенных условиях вязкое решение (которое, вообще говоря, есть лишь непрерывная функция) становится липшицевой функцией. Обычно для этого необходимо требовать, чтобы гамильтониан H{t, х, и, р)не зависел от переменной и и Н —> со при |р| —> оо (условие коэрцитивности) (см. [8]). В девятом параграфе показано, что можно получить липшицево непрерывное вязкое решение без предположений коэрцитивности и независимости гамильтониана от переменной и. Отметим, что вязкие решения эквивалентны минимаксным решениям, которые были введены А.И.Субботиным (см. [64]).

В пятой главе рассматриватся задача Дирихле для многомерных квазилинейных неравномерно эллиптических и неравномерно параболических уравнений в одном классе невыпуклых областей. Будем говорить, что область выпукла в направлении координатных осей, если выполнено следующее условие: если две точки, лежащие на прямой, параллельной какой-либо координатной оси, принадлежат области, то и весь отрезок, соединяющий эти две точки, принадлежит области. Ясно, что любая выпуклая область выпукла в направлении координатных осей. Изложение в основном ведется для эллиптических уравнений, а в последнем, четвертом, параграфе вкратце рассматриваются параболические уравнения.

Первый параграф посвящен оценке градиента. Во втором сформулированы теоремы существования и единственности, а также приводятся примеры. В третьем рассмотрен двумерный случай.

Шестая глава посвящена изучению начально краевых задач для следующего ультрапараболического уравнения:

37) щ + с • Vu = киуу + Aит + /, где с - (c1(t,'x,y),c2{t,x,y)),\ = А (у) > О,/ = f(t, х, у, и, иу) в области

Qt,x = {(t,x,y) : 0 < t < Т, 0 < х < X, -R < у < R}.

Ищем решение уравнения (37), удовлетворяющее условиям:

38) и(0,х,у) = щ(х,у), u(t, 0, у) — u(t, х, ±R) = О либо:

39) и(0,х,у) = щ(х,у), u(t,0,y) = uy(t,x,±R)±b(t)u(t,x,±R) = Q, где b(t) > 0. Предполагаем, что функция f(t, х, у, и, q) и ее частные производные fx, fq определены на множестве Qt,x х R2 и принимают конечные значения при (t,x,y) £ Qt,x и конечных д. Кроме того, предполагаем, что ci(t,a>,±r) = 0, ci(t,x,y) > 0 при \у\ < R, к > 0, А > 0.

Остановимся сначала на мотивации нашего интереса к этим задачам. Рассмотрим одномерное течение в трубе радиуса Я, где ось х направлена вдоль трубы. Составляющая скорости в направлении у равна нулю (v = 0), а составляющая скорости в направлении а; зависит от времени t и пространственной переменной у: с\ — ci(t, у). Простейший случай - это течение Пуазейля: с\ = ci(|i/|), где ci(±i?) = 0, a ci(\y\) > 0 для \у\ < R. Нестационарное диффузионно-конвективное уравнение в этом случае принимает вид

40) ut + c\ux = kAu + /, где u - температура, положительная постоянная к - коэффициент теплопроводности, а / - источник. Как уже упоминалось выше, если число Пекле велико по сравнению с 1, тогда конвективный перенос тепла в направлении х существенно превосходит молекулярный перенос (диффузию) и членом ихх можно пренебречь. Уравнение (40) принимает вид:

Щ + CiUx — KUyy + /.

Преимущество данного подхода с точки зрения приложений заключается в том, что достаточно лишь одного краевого условия в направлении я, т. е. достаточно проводить замеры по сечению х лишь единожды (например, на входе х = 0).

Первые три параграфа посвящены задаче (37), (38). Для доказательства разрешимости этой задачи приблизим её следующей регуляризованной задачей

37)* и\ + Ci(t, X, у)и£х + с2(г, X, у)и£ = KUyy + еи£хх + \(у){и£)т + /(£, х, у, щ и£у)

38)* u£{Q,x,y) = u0{x,y), u(t,Q,y) = u(t,x,±R) = V, u£x{t,X,y) = 0, где £ > 0 - некоторая постоянная. Решение исходной задачи будем искать как предел при £ —> 0 решений регуляризованной задачи.

В первом параграфе для регуляризованной задачи (37)*, (38)* установлены априорные оценки для max|ue|, max|u§|, max|w^|, не зависящие от £. Во втором параграфе получены априорные оценки на u£t1 и£у в норме пространства L,2(Qt,x), не зависящие от £. В третьем параграфе на основе полученных оценок доказано существование обобщенного решения исходной задачи (37), (38) и его единственность. Существование доказывается предельным переходом при е-+0в интегральном тождестве

Обратим внимание на то, что полученное решение исходной задачи не имеет следа на границе х = X я, следовательно, "не замечает" дополнительное краевое условие ux(t, X, у) = 0.

В четвертом параграфе рассмотрена краевая задача (37), (39). В пятом параграфе уравнение (37) исследуется в области с условиями: х c2(t, X, у)и£ - f(t, X, у, и£, ue)](f)ds =

DT,x = {{t,x,y): 0<t<T,0<x<X,0<y< -foo}, причем в этом случае ci(t, х, 0) = C2(t,x, 0), ci(t,x,y) > 0 при у > 0 и

С\х + С2У = 0, а краевые условия выглядят следующим образом:

41) и(0,х,у) = щ(х,у), u(t,0,y) = u(t,x,0) = 0, u(t, х, у) —► 0 при у —> +оо.

Особенность задачи (37), (41) состоит в неограниченности области Dt,x и получаемые априорные оценки не зависят как от е, так и от R.

Сформулируем основные результаты диссертации.

1) Получены новые дрстаточные условия неразрушения решения задачи Дирихле для квазилинейных параболических уравнений. Эти условия, в частности, демонстрируют превентивный эффект как диффузии, так и конвекции, не допускающий неограниченного роста температуры (режим с обострением) в тепловых процессах.

2) Предложено новое структурное условие, гарантирующее неразрушение как внутри области, так на ее границе, градиента решения краевых задач для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. Это условие, в частности, обобщает классическое условие Бернштейна.

3) Получена априорная оценка градиента решения краевых задач для одного класса многомерных квазилинейных параболических и эллиптических уравнений при минимальных предположениях о гладкости коэффициентов и правой части. На основе этой оценки доказывается глобальная разрешимость указанных задач. Кроме того, эта оценка дает нам возможность сформулировать новые условия, гарантирующие липшицевость вязких решений задачи Дирихле для уравнения Гамильтона-Якоби.

4) Доказано существование и единственность обобщенного решения краевых задач для одного класса квазилинейных ультрапараболических уравнений. Исследована гладкость решения.

Основные результаты работы опубликованы в [65] - [69], [18], [79] - [87] и докладывались следующих семинарах: семинар под руководством академика РАН В.Н.Монахова и чл.-корр. РАН П.И.Плотникова, институт гидродинамики им. акад. М.А.Лаврентьева СО РАН, Новосибирск; семинар под руководством профессора Т.И.Зеленяка, институт математики СО РАН, Новосибирск; семинар под руководством профессора В.Н.Врагова, институт математики СО РАН, Новосибирск; семинар под руководством профессора А.М.Бло-хина, институт математики СО РАН, Новосибирск; семинар прикладной математики критского университета, Греция; семинар прикладной математики мадридского университета Комплутенсе, Испания; и на конференциях:

Нелинейные уравнения с частными производными и уравнения математической физики, центр им. С.Банаха, Польша, 1994; Второй всеевропейский конгресс по эллиптическим и параболическим уравнениям, Понт-а-Муссон, Франция, 1996; Современные проблемы в математике и механике, Чебышевские чтения, Москва, 1996; Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ), Новосибирск, 1998; Нелинейные уравнения с частными производными, международная конференция памяти С.Н.Кружкова, Безансон, Франция, 1999;

1. Александров А.Д., Условие единственности и оценка решения задачи Дирихле, Вестник ЛГУ, п. 13, вып. 3 (1963) 5-29.

2. Апушинская Д.Е.', Назаров А.И., Граничные оценки производных первого порядка для решения недивергентных параболических уравнений с составной правой частью и младшими коэффициентами// Проблемы мат. анализа 14 (1995), 3 27.

3. Архипова А.А., О гладкости решений неравномерно эллиптических уравнений// Проблемы мат. анализа 7 (1997), 14 25.

4. Бакельман И.Я., Средняя кривизна и квазилинейные эллиптические уравнения// Сиб. мат. жур. 1968 т. 9 N.5, 1014 1040.

5. Барсов О.Н., О нелокальной разрешимости задачи Коши и краевых задач для нелинейных параболических уравнений // Вестник МГУ 49 (1994), N.6, 8-12.

6. Белоносов, B.C., Оценки решений нелинейных параболических систем в гельдеровских классах с весом и некоторые приложения// Мат. сб., 1979, Т. 110, N. 2, с. 163-188.

7. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И., Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений, Новосибирск: Изд-во Новосиб. унта, 1976. 155с.

8. Бернштейн С.Н., Собрание сочинений, т.З. М., Изд-во АН СССР, 1960.

9. Векуа И.Н., Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, Москва, 1959.

10. Вишневский М.П., Зеленяк Т.И., Лаврентьев М.М. мл. Качественная теория параболических уравнений, Часть 1, Утрехт,1997, 417с.

11. Вишневский М.П., Зеленяк Т.И., Лаврентьев М.М. мл., Поведение решений параболических уравнений при больших значениях времени// Сиб. мат. жур., 36 (1995), N 3, 510 530.

12. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю.Н., Обобщенная задача Коши для ультрапараболических уравнений// Изв. АН СССР. Сер. мат. (1967), т. 31, с. 1341-1360.

13. Генчев Т.Г., Ультрапараболические уравнения// ДАН СССР 151 (1963) 25-268.

14. Гомбоев Л.Г., Оценки устойчивости решения ультрапараболическо- -го уравнения// Сиб. Мат. Ж., 29 (1988), N.1, 156 159.

15. Гущин А.К., Михайлов В.П., О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения// Дифференц. уравнения, 1971, Т. 7, N. 2, с. 297-311.

16. Дрожжинов Ю.Н., Стабилизация решения обобщенной задача Коши для ультрапараболических уравнений// Изв. АН СССР. Сер. мат. (1969), т. 33, с. 368-372.

17. Дронь B.C., Ивасишен С.Д., Свойства фундаментальных решений и единственность решения задачи Коши для одного класса ультрапараболических уравнений// Украинский Мат. Ж. 50 (1998), N.11, 1482 1496.

18. Дубинский Ю.А., Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях// Матем. сб., 67 (109), 1965, с. 609 642.

19. Зеленяк Т.И., О стабилизации решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка с одной пространственной переменной// Дифференц. уравнения, 1968, Т. 4, N. 1, с. 34-45.

20. Зеленяк Т.И., О качественных свойствах решений квазилинейных смешанных задач для уравнений параболического типа// Мат. сб., 1977, Т. 104, N. 3, с. 486-510.

21. Иванов А.В., Квазилинейные вырождающиеся неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка// Труды Мат. инта им. В.А.Стеклова, 160 (1982), с. 5 285.

22. Иванов А.В., Первая краевая задача для квазилинейных параболических уравнений второго порядка// Зап. науч. сем. ленинградского отд. мат. ин-на им. В.А.Стеклова (ЛОМИ), 38 (1973), с. 10 32.

23. Иванович М.Д., О характере непрерывности решений линейных параболических уравнений второго порядка// Вестн. Моск. ун-та, сер. ма-тем., мех. N 4, (1966), с. 31 41.

24. Иванович М.Д., О характере непрерывности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка// Вестн. Моск. ун-та, сер. матем., мех. N 3, (1966), с. 37 47.

25. Ивасишен С.Д., Тычинская Л.М., Эйдельман С.Д. Фундаментальные решения задачи Коши для одного класса ультрапараболических уравнений второго порядка// ДАН Укр. ССР, Сер. А 1990, N.5, с. 6 9.

26. Ивочкина Н.М., Осколков А.П., Нелокальные оценки первых производных решений первой краевой задачи для одного класса неравномерно эллиптических и неравномерно параболических уравнений и систем// Труды Мат. Ин-та им. Стеклова, 110 (1970) 72 115.

27. Ильин A.M., Об одном классе ультрапараболических уравнений// ДАН, т. 159, N. 6 (1964) с. 1214-1217.

28. Ильин A.M., Калашников А.С., Олейник О.А., Линейные уравнениявторого порядка параболического типа // УМН, (1962), т.17, вып. 3, с. 3146.

29. Камынин B.JL, Априорные оценки и глобальная разрешимость квазилинейных параболических уравнений// Вестник МГУ, сер. 1, 36, 1981, с. 33 38.

30. Камынин B.JL, Априорные оценки решений квазилинейных параболических уравнений на плоскости и их приложения// Дифф. уравнения, 19, 1983, N.5, с. 590 598.

31. Камынин Л.И., Химченко Б.Н., Принцип максимума и граничные оценки решения эллиптико-параболического уравнения второго порядка// Сиб. мат. жур. 1968 т. 9 N.5, 1014 1040.

32. Кружков С.Н., Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными// труды сем. им. И.Г.Петровского, Вып. 5 (1979), с. 217 272.

33. Кружков С.Н., Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными// Труды Моск. Мат. об-ва 16 (1968), с. 329 346.

34. Кружков С.Н., Оценки старших производных решений эллиптических и параболических уравнений с непрерывными коэффициентами// Мат. заметки 2 1967, 549 560.

35. Кружков С.Н., Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби типа эйконала// Мат. сб., 98(140), N.3(11), 450 493.

36. Крылов Н.В., Об оценках производных решений нелинейных параболических уравнений// ДАН СССР, 274 (1984), 23-26.

37. Крылов Н.В., Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в области// Изв. АН СССР, Сер. матем., 47 (1983), 75-108.

38. Крылов Н.В., Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка, "Наука", Москва, 1985, 376 с.

39. Кулик И.О., Янсон И.К., Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах, Наука, Москва 1970.

40. Лаврентьев М.М.-мл., Разрешимость нелинейных краевых задач// Сиб. мат. жур., 34 1993, N.6, с. 123 129.

41. Лаврентьев М.М. мл., Спиглер Р., Ахметов Д.Р., Регуляризация нелинейного интегропараболического уравнения Фоккера-Планка с пространственно периодическими решениями. Существование сильных решений// Сиб. мат. жур., 42, 2001, N.4,.c. 825 -848.

42. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Москва, "Наука"1968, 736 с.

43. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973, 576 с.

44. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., О непрерывности по Гельдеру решений и их производных для линейных и квазилинейных уравений эллиптического и параболического типов// Тр. МИАН СССР, (1964) т. 73, с. 172-220.

45. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., О тотальных оценках первых производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений// Зап. науч. семинаров ЛОМИ, (1969) т. 14, с. 127-155.

46. Ладыженская О.А., Решение.первой краевой задачи в целом для квазилинейных параболических уравнений// Тр. Моск. мат. об., (1958) т.7, с. 149-177.

47. Левич В.Г., Физико-химическая гидродинамика, Физматгиз, 1959, Москва, 699 е.

48. Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.:Мир, 1972. 587с.

49. Малицкая А.П., Построение фундаментальных решений некоторых ультрапараболических уравнений, Укр. мат. журн. -1985. т. 37, п. 6, с. 713 -718.

50. Назаров А.И., Оценки Гельдера ограниченных решений задач с косой производной для параболических уравнений недивергентного вида// Пробл. Мат. Анал., 11 (1990), 37 46

51. Олейник О.А., Самохин В.Н., Математические методы в теории пограничного слоя// -М.: Наука, Физматлит, 1997, с. 512.

52. Олейник О.А., Кружков С.Н., Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными// УМН (1961), т. 16, вып. 5, с. 115-155.

53. Олейник О.А., Радкевич Е.В., Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой// Итоги науки и техники. Матем. анализ.-М.: ВИНИТИ, 1971.

54. Паскалев Г.П., Исследование краевых задач для ультрапараболических уравнений с постоянными коэффициентами вариационными методами// Диффер. ур-я, 28 (1992), N.9, 1640 1642.

55. Похожаев С.И., О собственных функциях уравнения An + Xf(u)// ДАН CGCP, т. 165, 1965, с. 36 39.

56. Похожаев С.И., Об уравнении вида Аи = /(x,u, Vu)// Мат. сб., 113 (155), N.2 (10), 1980, с. 324 338.

57. Проворова О.Г., К вопросу о поведении при большом времени решений параболических уравнений// Дифференц. уравнения, 1969, Т. 5, N. 1, с. 108-114.

58. Пятков С.Г., Разрешимость краевых задач для ультрапараболических уравнений. В. сб. Неклассические уравнения и уравнения смешанноготипа, СОАН СССР, Ин-т математики, Новосибирск, 1990. 182 197.

59. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, М.: Наука, 1987, с.475.

60. Син Дон Ха, Оценки потенциалов для ультрапараболических уравнений// В сб. Динамика сплош. среды 1987, N.79, 108 117.

61. Соболевский П.Е., Уравнения параболического типа, в бананаховом пространстве// Тр. Моск. мат. об-ва, (1961) т. 10, с. 297-350.

62. Субботин А.И., Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона Якоби, -М.: Наука, 1991, 216с.

63. Терсенов Ал.С., Об одном классе вырождающихся неравномерно параболических уравнений//Вестник МГУ, сер. 1, п.6 (1996) 94-97.

64. Терсенов Ал.С., Об одном классе неравномерно эллиптических уравнений, // Сиб. Мат. Жур., 36 (1995), No.4, 893-902.

65. Терсенов Ал.С., Априорные оценки для одного класса вырождающихся параболических и ультрапараболических уравнений // Докл. Р.А.Н. т. 338, No.2 (1994).

66. Терсенов Ал.С., Задача Дирихле для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений// принято к публикации в Мат. заметках

67. Терсенов А л. С., О несуществовании нетривиальных решений для одного класса краевых задач// сдано в печать

68. Терсенов Ар.С., О разрешимости некоторых краевых задач для одного класса квазилинейных параболических уравнений// Сиб. мат. жур. 40 (1999), N.5, 972-980.

69. Терсенов С.А., О краевых задачах для одного класса ультрапара-раболических уравнений и их приложения// Мат. сб., (1987), т. 133, N. 4,с. 539-555.

70. Терсенов С.А., О корректности краевых задачах для одного уравнения ультрапарараболического типа// Сиб. Мат. Ж., (1999), т. 40, N.6, с. 1364-1377.

71. Терсенов С.А., О корректности краевых задачах для одного уравнения ультрапарараболического типа// Сиб. Мат. Ж., (2001), т. 42, N.6, с. 1413 1430.

72. Филиппов А.Ф., Об условиях существования решения квазилинейных параболических у равнений// ДАН СССР 141 (1961), 568-570

73. Фокина Т.Н., Об одной краевой задаче для параболического уравнения с сильными нелинейностями// Вестн.Моск. ун-та, (1975) т.2, 22-28.

74. Хуснутдинова Н.В., Об условиях ограниченности градиента решения вырождающегося параболического уравнения// В сб. Динамика сплош. среды, Вып.72 (1985), с. 120 129.

75. Хуснутдинова Н.В., Априорная* оценка пространственной переменной решения уравнения типа двухфазной фильтрации// В сб. Динамика сплош. среды, Вып.113 (1998), с. 156 160.

76. Шатыро Я.Н., Первая краевая задача для одного ультрапараболического уравнения// Дифференциальные уравнения 7, 1971, 1089 1096.

77. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, М. Из-во ин. лит., 1956.

78. Akhmetov D.R., Lavrentiev M., jr., Spigler R., Existence and uniqueness of classical solutions to certain nonlinear integro-differential Fokker-Planck type equations, Electron. J. Differential Equations 2002, N. 24, 17 pp.(electronic).

79. Aguirre J., Escobedo M., On the blow-up of a convective reaction diffusion equation, Proc. Roy. Soc, Edinburgh Sect. A 123 (1993), .3, 433 460.

80. Amman H., Crandall M.G., On some existence theorems for semi-linear elliptic equations// Indiana Univ. Math. J., 27, n.5 (1978) 779 790.

81. Asai K., Ishimura N., On the interior derivative blow-up for the curvature evolution of capillary surfaces// Proc. Amer. Math. Soc., 126, n.4 (1998) 835 840.

82. Angenent S., Fila M.// Interior gradient blow-up in a semilinear parabolic equation, Diff. and Integral Equations, 9 (1996), No.5, 865-877.

83. Aubin Т., Un theoreme de compacite// C. R. Acad. Sc., 256 (1963), 5042-5044.

84. C.Bandle, H.A.Levine, Fujita type phenomena for reaction-diffusion equations with convection like terms// Differ. Integr. Equat. 7 (1994), n.5-6, 1169 1193.

85. Barles G., Solutions de viscosite des equations de Hamilton-Jacobi, Mathematiques Applications, 17, Springer-Verlag, Paris, 1994, 194p.

86. Ben-Artzi M., Koch H., Decay of mass for a semilinear parabolic equation// Communications in PDE, 24 (5-6), (1999), p. 869-881.

87. Bernstein S., Sur les equations du calcul des variation// Ann. Sci. Ecole Norm. up. (1912) v. 29, p. 431-485.

88. Bernstein S., Sur la generalisation du probleme de Dirichlet I// Math. Ann. Sci. 62 (1906) p. 253-271.

89. Bernstein S., Sur la generalisation du probleme de Dirichlet II// Math. Ann. Sci. 69 (1910) p. 82 136.

90. Blanc Ph., Existence de solutions discontinues pour des equations para-boliques// C. R. Acad. Sci. Paris Serie 1 Math. 310 (1990), 53-56.

91. Bramanti M., Cerutti M., Manfredini M., Lp estimates for some ultra-parabolic operators with discontinuous coefficients// J. Math. Anal. Appl. 200, N.2 (1996) 332-354.

92. Brandt A., Interior estimates for second order elliptic differential (or finite difference) equations via the maximum principle// Israel J. Math. (1969) v.7, p. 95-121.

93. Brandt A., Interior Schauder estimates for parabolic differential (or finite difference) equations via the maximum principle// Israel J. Math. (1969) v.7, p. 254-262.

94. Browder F.E., On the regularity properties of solution of elliptic differentia equations// Comm. Pure Appl. Math., (1956) v.9, p.351-361.

95. Caputo J.G., Flytzanis N., Tersenov Al.S., Vavalis E., Analysis of a semi-linear PDE for modelling static solutions of Josephson junctions// SIAM J. Math. Anal., v.34 (2003) n.6, 1355 1378.

96. M.Chipot, F.B.Weissler, Some blowup results for a nonlinear parabolic equation with a gradient term// SIAM J. Math. Anal. 20 (1089) 886 907.

97. M.Chlebik, M.Fila, P.Quittner, Blow-up of positive solutions of a semiline? parabolic equation with a gradient term// Dynamics of Cont., Discrete Impuls. Syst. (to appear)

98. Constantin A., Escher J., Global solutions for quasilinear parabolic problems// J. Evol. Equ. 2 (2002), 97-111.

99. Constantin A., On a two-point boundary value problem// J. Math. Anal. Appl., 193, n.l (1995), 318-328.

100. Cordes H.O., Uber die erste Ranwertaufgabe bei quasilinearen Differenti-algleichungen zweiter Ordnung in mehr als zwie Variablen// Math. Ann. 131 (1956), 278-312.

101. De Giorgi E., Sulla differenziabilita e l'analicita delle estremali degli integrali multipliregolari// Mem. Accad. Sci. Torino CI. Sci. Fis. Mat. Natur. (1957) t.3, N.3, p.25-43.

102. Dlotko Т., Examples of parabolic problems with blowing-up derivatives// J. Math. Anal. Appl. 154 (1991), 226-237.

103. Escobedo M., Vazquez J.L., Zuazua E., A diffusion-convection equation in several space dimensions// Indiana Univ. Math. J. 42, n.4 (1993) 1413-1440.

104. Escobedo M., Vazquez J.L., Zuazua E., Entropy solutions for diffusion-convection equations with partial diffusivity// Trans. Amer. Math. Soc. 343, n.2 (1994) 829-842.

105. Escobedo M., Feireisl E., Laurencot P., Large time behavior for degenerate parabolic equations with dominating convective term// Communications in PDE, 25, n. 1-2 (2000) 73-99.

106. M.Fila, Remarks on blow up for a nonlinear parabolic equation with gradient term// Proc. Amer. Math. Soc. Ill (1991) 795 801.

107. Fila M., Lieberman G., Derivative blow-up and beyond for quasilinear parabolic equations// Diff. and Integral Equations, 7 (1994), No.3/4', 811-822.

108. Finn R., Serrin J., On the Holder continuity of quasi-conformal and elliptic mapping// Trans. Amer. Math. Soc. (1958) v.89, p. 1-15.

109. Frigon M., O'Regan D., On a generalization of a theorem of S.Bernstein// Ann. Pol. Math. 48, n.3 (1988) 297-306.

110. Fujita H., Watanabe S., On the uniqueness and nonuniqueness of solutions of initial value problems for some quasilinear parabolic equations// Comm. Pure and Appl. Math. V. 21 (1968) 631-653.

111. Garofalo N., Lanconelli E., Level sets of the fundamental solutionsand Harnack inequality for degenerate equations of Kolmogorov type// Trans. Amer. Math. Soc. 321, n. 2 (1990) 775-792.

112. Giga Y., Interior blow up for quasilinear parabolic equations// Discrete and Continuous Dynamical Systems 1 (1995), 449-461.

113. Gilding B.H., Holder continuity of solutions of parabolic equations// Journ. London Math. Soc., ser.2, V.13, No.l (1976) 103-106.

114. Granas A., Guenther R.B., Lee J.W., On the theorem of S.Bernstein// Pacific J. Math., 74, n.l (1978) 67-82.

115. Gurtin M., Some questions and open problems in continuum mechanics and population dynamics, J. Differential Equations 48, n.2 (1983) 293-312.

116. Jenkins H., Serrin J., The Dirichlet problem for the minimal surface in higher dimensions// J. Reine Angew. Math. (1968) d.229, p.170-187.

117. Kazdan I.L., Krammer R.I., Invariant criteria for existence of solutions to second-order quasilinear elliptic equations// Comm. Pure Appl. Math. 31, n. 5, (1978) 619 645.

118. Kardar M., Parisi G., Zhang Y., Dynamic scaling of growing interfaces// Phys. Rev. Lett., 56, n. 9 (1986) 889-892.

119. B.Kawohl, L.A.Peletier, Observations on blow up and dead cores for nonlinear parabolic equations// Math. Z., 202 (1989) 207 217.

120. Kolmogorov A.N., Zuffallige Bewegungen// Ann. of Math., 35, n. 2 (1934) p. 116-117.

121. Kolmogorov A.N., Selected works. Vol. II Probability Theory and Mathematical Statistics. Mathematics and its Applications 26. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992, 597p.

122. Krug J., Spohn H., Universality classes for deterministic surface growth// Phys. Rev. A 38, n. 8 (1988) 4271-4283.

123. N.S.Koshluakov, M.M.Smirnov, E.B.Gliner, "Differential Equations ofMathematical Physics", North Holland, 1964.

124. Kutev N., Global solvability and boundary gradient blow up for one dimensional parabolic equations, Progress in PDE: Elliptic and Parabolic Probleir (C.Bandle, et al., eds.), Longman, 1992, 176-181.

125. Lanconelli E., On a class of Kolmogorov-Fokker-Planck operators. Progresi in elliptic and parabolic partial differential equations (Capri, 1994), 173-183, Pitman Res. Notes Math. Ser., 350, Longman, Harlow, 1996.

126. Lascialfari F., Morbidelli D., A boundary value problem for a class of quasilinear ultraparabolic equations// Communications in PDE 23, n. 5-6, (1998) 847-868.

127. Lavrentiev M. Jr., Broadbridge P., Belov V., Boundary value problems for strongly degenerate parabolic equations// Communications in PDE, 22(1&2), 17-38 (1997).

128. Leray J., Schauder J., Topologie et equations fonctionelles// Ann. E. N. S., 51 (1934), 45-78.

129. Levine H.A., The role of critical exponents in blow-up theorems// SIAM Rev. 32 (1990) 262 288.

130. Levine H.A., Payne L.E., Sacks P.E., Straughan В., Analysis of a convective reaction-diffusion equation, SIAM J. Math. An. 20 (1989) n.l, 133 147.

131. Lieberman G., Second order parabolic differential equations, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., River Edge, NJ, 1996, 439 p.

132. Lions P.-L., Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations, Research Notes in Mathematics, 69. Pitman, Boston, London, 1982, 317p.

133. Matano H., Convergence of solutions of one-dimensional semilinear parabolic equations// J. Math. Kyoto Univ. 1978 v.l8,N. 2, p.221-227.

134. Manfredini M., The Dirichlet problem for a class of ultraparabolicequations, Adv. Differential Equations, 2, n.5 (1997) 831-866.

135. Manfredini M., Polidoro S., Interior regulariti for weak solutions of ultraparabolic equations in divergence form with discontinuous coefficiens, Boll. Unione Mat. Ital. Sez. В Atic. Ric. Mat. (8) 1, n.3 (1998) 651-675.

136. Meyers N.G., An example of non-uniqueness in the theory of quasilinear elliptic equations of second order// Arch. Rational Mech. Anal. (1963) v.14, p.177-179.

137. Montanari A., Harnack inequality for totally degenerate Kolmogorov-Fokker-Planck operators// Boll. Un. Mat. Ital. B(7) 10, n.4 (1996) 903-926.

138. Nagumo M., Uber die gleichmassige Summierbarkeit und ihre Anwendung auf ein Variationsproblema// Japan J. Math. 1929, V.6, p.173-182.

139. Nazarov S., Plamenevsky В., Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries, de Gruyter Expositions in Mathematics, 13. Walter de Gruyter and Co., Berlin, 1994.

140. Nash J., Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations// Amer. J. Math. (1958) v. 80, p.931-954.

141. Neumann J., Uber einen Hilfssatz der Variationsrechnung// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg (1931) 8, p. 28 31.

142. Nirenberg L., On nonlinear elliptic partial differential! equations and Holder continuity// Comm. Pure Appl. Math. 6 (1953), 103-156.

143. Polidoro S., A global lower bound for the fundamental solution of Kolmogorov-Fokker-Planck equations// Arch. Rational Mech. Anal. 137, n.4 (1997) 321-340.

144. Polidoro S., Ragusa M., Holder regularity for solutions of ultraparabolic equations in divergence form// Potential Anal. 14, n.4 (2001) 441-350.

145. P.Quittner, Blow-up for semilinear parabolic equations with a gradient term// Math. Mehods Appl. Sci. 14 (1991) 413 417.

146. P.Quittner, On global existence and stationary solutions for two classes of semilinear parabolic problems// Comment. Math. Univ. Carolin. 34 (1993), n.l, 105 124.

147. Ray Hanna J., Rowland J.H., "Fourier series, transforms, and boundary value problems", (2nd ed.), John Wiley and Sons, Inc. (1990)

148. Serrin J., The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic differential equations with many independent variables// Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser.A 264 (1969), 413-496.

149. Serrin J., Gradient estimates for solutions of nonlinear elliptic and parabolic equations, In. Contributions to Nonlinear Functional Analysis, pp. 565-601. New York: Academic Press, 1971.

150. Souplet P., Recent results and open problems on parabolic equations with gradient nonlinearities// Electronic J. of Diff. Equations, v.2001 n. 20 (2001) p. 1-19.

151. Souplet P., Gradient blow-up for multidimensional nonlinear parabolic equations with general boundary conditions// Differential Integral Equations 15, n.2 (2002), p. 237-256.

152. Ph. Souplet, Finite time blow-up for a nonlinear parabolic equation with a, gradient term and applications// Math. Mehods Appl. Sci. 19 (1996) 1317 1333.

153. Ph. Souplet, F.B.Weissler, Self-similar subsolutions and blow-up for nonlinear parabolic equations// J. Math. Anal. Appl., 212 (1997) 60 74.

154. Ph. Souplet, F.B.Weissler, Poincare inequality and global solutions of a nonlinear parabolic equations// Ann.-Inst. H. Poincare, Anal, nonlineaire, 16 (1999) n.3, 337-373.

155. Spigler В., Boundary layer theory in Krames-Smoluchovski limit for the Fokker-Planck equation on a half-space// Bull. Unione Mat. Ital. ser. 7 B,. v.l, n. 3 (1987) 917 938.

156. Tersenov Al.S., On quasilinear non-uniformly parabolic equations in general form// J. of Diff. Equations, 142, N.2 (1998). 263-276.

157. Tersenov Al.S., On quasilinear non-uniformly elliptic equations in some non- convex domains// Communications in PDE, 23, 11&12, (1998), 21652186.

158. Tersenov Al.S., On the first boundary value problem for quasilinear parabolic equations with two independent variables// Arch. Ration. Mech. Anal., 152 (2000), n.l, 81-92.

159. Tersenov Al.S., Estimate of the solution of the Dirichlet problem for parabolic equations and applications// J. of Math. An. Appl., 273, n.l (2002) 206-216.

160. Tersenov Al.S., Ultraparabolic equations and unsteady heat and mass transfer// в печать.

161. Tersenov Al.S., Tersenov Ar.S., Global solvability for a class of quasilinear parabolic problems// Indiana Univ. Math. J., 50, n.4 (2001) 1899-1913.

162. Tersenov Al.S., Tersenov Ar.S., The Cauchy problem for a class of quasilinear parabolic equations// Ann. Mat. Рига Appl.

163. Tersenov Al.S., Tersenov Ar.S., On the Bernstein-Nagumo?s condition in the theory of nonlinear parabolic equations// J. Reine Angew. Math.

164. Tersenov Al.S., On the preventive effect of convection and of the diffusion in the blow-up phenomena for quasilinear parabolic problems// в печать.

165. Trudinger N.S., The boundary gradient estimate for quasilinear elliptic and parabolic equations// Indiana Univ. Math. J., 21 (1972), 657-670.

166. Weber M., The fundamental solution of a degenerate partial differential equation of the parabolic type// Trans. Amer. Math. Soc. -1951, v. 71, n. 1, 24-37.