Проблема разрешимости для (p,q)-нелинейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

Нежинская Ирина Владимировна

ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ ДЛЯ (р, д)-НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

специальность 01.01.02 дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт- Петербу р г 2006

Работа выполнена на кафедре математической физики математико-ме-ханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор Архипова Арина Алексеевна

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Алхутов Юрий Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор Ивочкина Нина Михайловна,

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится г. в часов на заседании дис-

сертационного совета Д 212.232.49 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродво-рец, Университетский пр., дом 28, математико-механический факультет СПбГУ. Аудитория 4526.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан "_"_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.49, профессор

А oo£A

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Теория разрешимости и регулярности решений краевых задач для неравномерных эллиптических уравнений начала формироваться во второй половине 20 века. В работах С.Н. Берн-штейна, И.Я. Бакельмана, Дж. Серрина, A.B. Иванова, O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой, Д. Гилбарга, Н. Трудингера и других авторов достаточно полно изучена проблема разрешимости и регулярности решений для различных классов эллиптических уравнений, характер неравномерности которых описывается специальными ограничениями на поведение квадратичной формы, образуемой матрицей старших коэффициентов, а также на согласование старших и младших членов уравнений [1-4].

В последнее десятилетие началось интенсивное исследование более широких классов неравомерно эллиптических уравнений, так называемых (р, д)-нелинейных уравнений, 1 < р < q. Числа р и q характеризуют степенной характер роста собственных чисел главной матрицы уравнения относительно модуля градиента решения. К необходимости изучения уравнений и систем уравнений этих классов приводят некоторые задачи математического моделирования процессов, происходящих в материалах, обладающих способностью изменять свойства под действием электромагнитного поля и температуры.

Наиболее полные результаты о разрешимости и регулярности получены для решений вариационных задач с (р, «¡^-неравномерным поведением интегранта функционала [5, 6]. Гладкость решений таких вариационных задач (минимайзеров) и решений некоторых классов (р, q)-нелинейных уравнений была исследована только локально внутри области рассмотрения. Отметим, что при доказательстве классической разрешимости краевых задач для неравномерно эллиптических уравнений одним из самых важных и Трудоемких этапов является получение априорной оценки максимума модуля градиента решения в замыкании предписанной области. Наличие этой оценки позволяет применить к изучаемому уравнению известные результаты теории регулярности для равномерно эллиптических уравнений. Для наиболее общего класса (р, ^-нелинейных эллиптических уравнений дивергентного вида локальная (внутренняя) оценка максимума модуля градиента решения была получена в работе П.Марчеллини 1991 года [7].

Цель работы. Целью диссертации является исследование разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана для класса (р, ^-нелинейных эллиптических уравнений. Точнее, для каждой

БИНЛИОТЕКА С.-Петербург „ ОЭ 200&кт*'(р.Э

указать допустимый интервал д-р для показателей неравномерности q н р уравнения, при котором существует классическое решение. Ключевым моментом доказательства разрешимости краевых задач является получение априорных оценок С1-норм решений регуляризованных задач в замыкании области рассмотрения, равномерных по параметру аппроксимации.

Методика исследования. Использованный в диссертационной работе математический аппарат представляет развитие методов исследования теории линейных и квазилинейных эллиптических уравнений. Существенно используются интегральные методы получения априорных оценок решений и их производных, теоремы вложения и интерполяционные неравенства для пространств Соболева, метод регуляризации, построение и применение различных итерационных схем. При изучении краевой задачи Дирихле применен принцип максимума Александрова.

Научная новизна и значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер, она вносит существенный вклад в теорию (р, д)-нелинейных эллиптических уравнений. Впервые доказана классическая и сильная обобщенная разрешимость основных краевых задач для классов (р, д)-нелинейных эллиптических уравнений, не исследованных ранее. На основе полученных в диссертации априорных оценок для эллиптических уравнений доказана классическая разрешимость задачи Коши-Дирихле для класса (р, ^-нелинейных параболических уравнений.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть применены в теории гидромеханики квазиньютоновских жидкостей, а также при изучении процессов, происходящих в жидкостях и материалах, обладающих способностью изменять свои свойства под действием электромагнитного поля и температуры.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры математической физики СПбГУ и на семинаре лаборатории методов математической физики ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова. Основные результаты опубликованы в работах [1-3] (список приведен в конце автореферата).

Структура и объем работы. Диссертационная работа, объемом 142 страницы, состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 40 наименований. Первая глава включает в себя 8 параграфов, вторая — 6 параграфов.

Содержание работы

Во введении дан краткий исторический обзор и сформулированы основные цели диссертации.

Первая глава посвящена исследованию краевой задачи Дирихле дня (р, <7)-нелинейного эллиптического уравнения, которая в простейшем случае имеет следующий вид: п ^

^ — аДа;,?^) = 6(х), х € П, (1)

г=1 1

и(х) = 1р(х), х € 9П, (2)

где П — ограниченная область с границей класса С2 в пространстве К", п > 2, х = (х\,..., хп), их = (иХ1,..., иХп), и выполнены условия:

<ч(х,О бС'(Пх К), <р{х) € С2{Щ, (3)

Ь(х) £ з > (4)

П

^а^(х,0А1А, >^(1 + |е|Г2|А|2, А е Кп, (5)

¿Кл(г,01<^(И-К1Г3, (6)

».7=1

+ (7)

2<р<Я, (8)

где К — произвольный компакт в !К", г/, — положительные постоянные, I е П, ^ е К".

Основным результатом первой главы для модельной задачи (1), (2) является следующая теорема разрешимости (теорема 1.1 главы 1).

Теорема 1. Пусть П - ограниченная выпуклая область в пространстве Мп с С2-гладкой границей дО., п >2, и выполнены условия (3)-(8). Пусть для показателя 8 из условия (4) выполнено соотношение

п2 +п * > 2 '

Предположим, что

Тогда существует обобщенное решение и задачи (1), (2) класса С1+а(П) Л с некоторым а Е (0,1).

Если, кроме того, для некоторого аи 6 (0,1) выполнены следующие условия дополнительной гладкости для функций и границы об-

ласти И:

^£Сао(рхК1 ЬеС<*°(Щ, (11)

и^ ох]

дГ1 € С2+а°, (р е С2+ао(дП),

где К — произвольный компакт в К", то существует классическое решение и е 6'2+"° (П) задачи (1), (2).

Замечание 1. Требование выпуклости области используется только при оценке нормальной производной решения на границе области.

Замечание 2 На самом деле в диссертации рассмотрена более общая задача

п ^

-т— аг(х,и,их) = Ь(х,и,их), а: € П, (12)

^йх,

и(х) = ф), X е да (13)

В теореме 1.13 главы 1 диссертации сформулированы условия на зависимость ai от и и Ь от и, их, гарантирующие справедливость утверждения теоремы 1.

Замечание 3. Решение задачи (1), (2) единственно не только п классе С1+а(П) П но и в Для доказательства единственности

решения задачи (12), (13) требуются дополнительные предположения о существовании производных функции Ь и характере их поведения.

Метод доказательства разрешимости задачи (12), (13) основан на построении регуляризаций, которые при фиксированном значении параметра е е (0,1) представляют собой краевые задачи Дирихле для равномерно эллиптических уравнений. Для простейшей задачи (1), (2) они имеют следующий вид:

" с1

У] — аег(х,их) = Ь( х), хеП, (14)

и(х) = ф), х € дп, (15)

где аП*,0 =а1(*,0+е&(1 + |£|2)1^-

Разрешимость регуляризованных задач следует из теории краевых задач для равномерно эллиптических уравнений (см.,например, [1]). Суть используемого метода состоит в получении равномерной по параметру е е (0,1) глобальной оценки С1-нормы гладкого решения ие приближенной задачи (14), (15) в замыкании области П. Эта оценка позволяет применить к семейству приближенных задач известные результаты теории регулярности для равномерно эллиптических квазилинейных и линейных уравнений и, устремляя параметр е к нулю, установить справедливость утверждения теоремы 1 для задачи (1), (2) и для более общей задачи (12), (13) (теоремы 1.1 и 1.13, гл. 1 диссертации).

Перечислим основные этапы получения равномерной оценки норм решений ие в пространстве С1 (О.).

Используя интегральный принцип максимума, устанавливаем равномерную по параметру е оценку норм решений и6 в пространстве £°°(Л). Нормы ||ие||/,оо(п) оцениваются для модельной задачи (1), (2) только при наличии условий (3) (6), а для получения аналогичной оценки в общей ситуации (задача (12), (13)) следует наложить дополнительные ограничения на поведение функций Ь и п1х . При сделанных в работе предположениях относительно поведения функции Ь равномерная оценка нормы Ии'рЦО) следует непосредственно из интегрального тождества, соответствующего регуляризованной задаче (12), (13).

Для решений и£ приближенных задач, соответствующих простейшей задаче (1), (2), П.Марчеллини [7] получил равномерную по параметру е локальную априорную оценку

1Ик,ип<) + 1Н11У|(П<) < с, П' СС П, (16)

при условиях вида (3) - (8). Эта оценка была выведена в предположении, что Ь € Ь°°(Щ и

2 - п + л/п2 + 4 , ч

9_р<---р. (17)

В диссертации проведена модификация метода П.Марчеллини, что позволило отказаться от требования ограниченности правой части Ь(х) уравнения (1), заменив его менее ограничительным требованием (4). В результате оценка (16) получена при условии

Я~Р< —• (18)

п

Описанное ослабление условий на функцию правой части Ь(х) существенно используется в последнем параграфе первой главы, посвященном рассмотрению некоторого класса параболических уравнений.

Для более общей задачи (12), (13) в диссертации указаны условия на зависимость функций а, и Ь от аргументов х,и,иХ) обеспечивающие при ограничении (18) на д — р справедливость равномерной по е оценки (16) для решений ие приближенных задач.

Наибольшую трудность представляет вывод равномерной по параметру оценки максимума модуля градиента решения ие на границе области О. Поясним ее получение для модельной задачи (1), (2) при нулевом краевом условии (</> = 0). Рассмотрим линейный дифференциальный оператор

п п

Ьеи = £ С^(х,и1)ых,х] + то е С2(П),

1,1=1 1=1

п

Е (х> О

где О, = + &

Тогда регуляризованное уравнение (14) можно записать в следующем виде:

1/[и'] = Н{х,и%), (19)

где Н(х,^)-Ь(х)

п

Е ai*t (х,0 1—1

i + KI2 '

Фиксируя произвольно точку х° 6 00, связываем с ней некоторое выпуклое множество Пг С П, где г — достаточно малый параметр. Строим не зависящую от е барьерную функцию w, мажорирующую на 0ПГ функцию и€. Далее оцениваем функцию us — w в выпуклой области Пг, применяя принцип максимума Александрова с линейным оператором U и используя уравнение (19). Рассматривая точки х на внутренней нормали г?(ж0) к д(1, из полученной оценки выводим соотношение:

ие(х) < g(r), (20)

с некоторой функцией д, зависящей от г. Функция д определяется барьерной функцией и>, зависит от ранее оцененных норм lit/ II t оо (П) и не зависит от выбора точки х° £ dil. Соотношение (20) позволяет оценить сверху нормальную производную функции ие на dfl. Аналогично получаем граничную оценку нормальной производной ие снизу. Принимая во внимание нулевое граничное условие Дирихле, получаем равномерную по е оценку

max!<| < Ci (21)

с постоянной С\, зависящей от параметров задачи и предварительно оцененных норм ||ие||им(П)> |К|и»(П)-

При получении оценки (21) возникают основные ограничения (9), (10) на показатель 2 в суммируемости правой части и на интервал между показателями р ид. Кроме того, именно использованием принципа максимума Александрова обусловлено требование выпуклости области И при исследовании задачи Дирихле.

Обозначим Вд — полушар радиуса Я с центром в начале координат.

Опираясь на полученную оценку (21), в диссертации установлены равномерные по параметру оценки И^- и норм решений регуля-ризованных задач в приграничных подобластях. Использованный для этого метод рассуждений состоит из двух этапов. На первом этапе диф-феоморфным преобразованием координат распрямим (локально) границу дЯ, сведя задачу (12), (13) к уравнению в полушаре В^ с нулевым условием Дирихле на плоской части границы. ( Здесь при переходе к новым координатам для простоты изложения сохраним все прежние обозначения.) Из интегрального тождества, используя теорему вложения и итерационный процесс, выводим следующую априорную оценку:

III + КШ™+) < (Д^^П1 + К\III*-,(22)

где г < Я < 1, постоянная Сг > 0 зависит от данных задачи и постоянной С] из оценки (21), а положительные показатели а и 7 определяются параметрами тг,р ид.

Отметим, что 2д — р > р. Оценка нормы, стоящей в правой части (22), нам априори не известна. Второй этап рассуждений посвящен ее получению. Для этого используем интерполяционное неравенство для пространств Лебега, априорную оценку (22) и итерационный процесс. В результате получим соотношение:

Р + №\\ь*-пвр ^ ^111 + №111® (в1+). (23)

в котором 0 — @(п,р, д) > 0, а положительная константа Сз определяется данными задачи и постоянной С% из оценки (22).

Кроме того, из интегрального тождества следует априорная оценка .£2-нормы вторых производных иЕ:

1КЛ^(В|)<^||1 + К|||Л + (24)

с показателем 6 = 6(р, д) > 0 и с положительной постоянной С4, зависящей от параметров задачи и от постоянной С\ из оценки (21).

Из оценок (22), (23) и (24), возвращаясь к старой системе координат и используя ранее установленные равномерные оценки норм ||ип(п) и ||ые||г,оо(П), получаем равномерные по е € (0,1) оценки и И^-норм решений и£ регуляризованных задач в приграничных подобластях.

Методом "склеивания" выведенных локальных оценок (16) для строго внутренних подобластей области П и аналогичных оценок в окрестности границы получена равномерная по е глобальная оценка

Н»еНиЪ<П) + Н«е11и?(П) < ^ (25)

Как было отмечено выше, оценки (25) достаточно для завершения доказательства разрешимости задачи Дирихле.

Во второй главе диссертации исследована краевая задача Неймана в ограниченной области П пространства К" с С2-гладкой границей дГ1, п > 2, которая в частном случае имеет вид:

—аг(х,их) = Ь(х,и), хеП, (26)

ди

— (х) + ф(х, и) = О, X € дп, (27)

С>7

ди п

где -5— (х) = а1(х,их) со8(~п (х),хг), п(х) нормаль к дП в

ОУ г—1 __

точке х, внешняя по отношению к П. Пусть а^х,£) € С'(0 х К) для произвольного компакта К 6 Кп и справедливы условия (5)-(8). Функция ф — достаточно гладкая функция своих аргументов. Про функцию Ь предполагаем, что

|Ь(а:,и)| < Ь0{х) + ^\и\4', х € О, и € К, (28)

Ь0 е Ь2°(П), 8 > (29)

* Щ

где 112 ~ неотрицательная постоянная, ц = -, если ц < п,

п — 9

д* > 1 — произвольное число, если д > п.

Основным результатом второй главы для модельной задачи является следующая теорема (теорема 2.1 главы 2).

Теорема 2. Пусть — ограниченная область в пространстве К" с С2-гладкой границей дС1, п > 2, и выполнены условия (5)-(8), (28)—(29). Кроме того, пусть существует такое число М\ > О, что выполнены ограничения:

1) для \и\> Mi справедливы неравенства:

sgn и ■ [а,Хг (х, 0) - Ь(х, и)] <0, х е Q, (30)

sgnw • [аг(ж,0)cos(r£,a;t) + ф(х,и)] > 0, х е дП; (31)

2) ф€ с1 (Ом,), где = П х [-МиМ^;

3) показатели р и ц удовлетворяют условию

0<Я-р<ф(^, (32)

где непрерывная функция Ф задана следующими соотношениями:

I „ 3 з» о<*<-,

Ф(«) = <*-1, 2-<<2'

Тогда существует обобщенное решение и задачи (26)-(27) класса С1+а(П) П с некоторым а е (0,1).

Если, кроме того, для какого-либо ао € (0,1) выполнены условия:

даг да.

€ Са°(П х К),

д£3 ' дх3

(33)

где К — произвольный компакт в К", то существует классическое решение и € С2+а° (12).

Замечание 4. Отметим, что условие (32) можно огрубить, записав его в более простой форме:

q-p<

IL

3 п

Замечание 5. В диссертации рассмотрена более общая задача:

У] и*) — b(xiи-, их), х € О,

»=1

du

— (х) + ф(х,и)—0, х € дП. 137

(34)

(35)

В теореме 2.12 главы 2 сформулированы требования на характер зависимости Ь от и, их и а, от и, обеспечивающие справедливость утверждений теоремы 2.

Замечание 6. При условии строгого возрастания функций ф(х,и) и Ь(х,и) по переменной и решение задачи (26), (27) единственно в классе И^(П). Теорема единственности для более общей задачи (35), (36) справедлива при дополнительных ограничениях на образующие задачу функции, в частности, при дополнительных предположениях о поведении производных функции Ь.

Доказательство разрешимости задачи Неймана (35), (36) состоит из тех же этапов, что и доказательство разрешимости задачи Дирихле (12), (13) ( теоремы 1.1 и 1.13, гл.1 диссертации). Рассматривается семейство равномерно эллиптических краевых задач, приближающих задачу (35), (36). Уравнения этого семейства имеют тот же вид, что и в случае задачи Дирихле. Заметим, что из условия (32) следует справедливость ограничения (18), при котором для решений и£ приближенных уравнений в первой главе установлена равномерная по е локальная априорная оценка (16).

Для решений ие регуляризованных задач из интегрального тождества выводим равномерные по параметру е € (0,1) априорные глобальные оценки норм в пространствах Ь°°(П) и (Для получения первой из этих оценок применяем условия (30), (31).)

На основе этих оценок при ограничении (32) на ц — р устанавливаем основную априорную оценку для решения ие — равномерную по е £ (0,1) оценку максимума модуля градиента на границе области 12. Для вывода этого результата зафиксируем произвольно точку на дЯ и диффеоморфным преобразованием координат распрямим участок границы в окрестности этой точки. В новых переменных задача Неймана (26), (27) примет вид уравнения вида (26) в полушаре В* с граничным условием Неймана на плоской части границы. ( После перехода к новым переменным для простоты изложения не будем менять обозначения.) Отметим основные этапы рассуждений. Из интегрального тождества, применяя теорему вложения, интерполяционное интегральное неравенство и итерационную схему, получаем следующую предварительную оценку:

III + КН!^(В|) < Сб||1 + КП£,(В+), (37)

где к = ^(п,р,<?) > 2<7 — р > р, Д = Д(п,р,д) > 0, а положительная постоянная С5 зависит от данных задачи и не зависит от е.

Далее, строим семейство функций Vm:

vm = i + K,f + ^(uinf(i + K\ Г1,

где иех, = (иеХх ,—ueXn_J - касательная составляющая полного градиента u|, m > mo = mo(n,p,q) > О, L = L(n,p,q) > 0, а коэффициент и определяется данными задачи и числом то- Параметры L ни подбираем таким образом, чтобы из интегрального тождества, на основании теоремы вложения вывести для функций Vm интегральное неравенство, позволяющее с помощью итераций и подходящего выбора параметра гщ установить при m —> оо следующую оценку:

111 + K'IIL~(Bi> < Celli + Kllli,(ß+). (38)

2 }

где положительная постоянная С а определяется данными задачи и не зависит от е, а показатель 5 = S(n,p,q) > 0.

Из соотношений (37), (38), используя установленную ранее равномерную по е оценку нормы Ци^Ц^цп), получаем равномерную по параметру е оценку максимума модуля касательной составляющей градиента в полушаре Bf. Опираясь на краевое условие (27), и возвращаясь 2

к старой системе координат, отсюда выводим искомую равномерную по параметру е оценку максимума модуля полного градиента решения и£ рсгуляризованной задачи на границе области П.

Установленные оценки максимумов модулей касательной составляющей градиента в приграничных подобластях и полного градиента на границе области П позволяют получить аналог оценки (16) для приграничных подобластей.

И^ этих оценок и оценки (16) следует равномерная по е глобальная оценка норм решений регуляризованных задач в пространстве V — W}x(i\) П Наличие последней, как и в случае исследованной в

первой главе краевой задачи Дирихле, позволяет установить утверждение теоремы 2 для задачи Неймана (35), (36) (теоремы 2.1 и 2.12, гл. 2 диссертации).

Полученные в диссертации результаты разрешимости краевых задач для (р, q) -нелинейных эллиптических уравнений позволяют доказать существование решений начально-краевых задач для некоторого класса простейших (р, q)- нелинейных параболических уравнений. Эта возможность проиллюстрирована в заключительном параграфе главы

1 на примере следующей первой начально-краевой задачи: п ]

Щ -]Г—аДг.и*) = b{x,t), (x,t)eQ = ílx(0,T), (39) t=i dXl

u{x,t) = 0, {x,t) € S = öil x [0,T], (40)

и(х, 0) = ф(х), х£П, (41)

где Q — ограниченная область в пространстве Жп, п > 2, a,, b и ф — достаточно гладкие функции своих аргументов. Для функций аг считаем выполненными условия (5) - (8).

Пусть функция ф удовлетворяет следующим условиям согласования начальных и граничных данных:

п ,

У21~аг(х,фх) + Ь(х,0)=0, хедП. (42)

г—1 йХг

На основе утверждения теоремы 1 в работе установлен следующий результат.

Теорема 3. Предположим, что П - ограниченная выпуклая область в пространстве Еп с С'2+/3° - гладкой границей 0Q, п > 2; Q = О х (0,Г), где ß0 € (0,1). Пусть

^LeC*>(iixK), фе (43)

ъен*>#@), bt е L2S{Q), s>r^,

для любого компакта К С К" и выполнены условия (5) - (8), (4%)-Если, кроме того, показатели р и q удовлетворяют ограничению

(1+ zl V

\ пг +п J

тогда существует классическое решение и 6 зада-

чи (39)-(41).

Список цитированной литературы

1. J. Serrin, The problem of Dirichlet for quasihnear elliptic diferential equations with many independent variables, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. A, 264, (1969), 413 496.

2. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Москва, Наука (1989)

3. А.В. Иванов, Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения, Труды МИАН им. Стек-лова, том 160 (1982).

4. О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, изд. второе, Москва, Наука, 1973.

5. G. Mingione, Regularity of minima: an invitation to the dark side of the calculus of variations, Applications of Mathematics (2006), 3 - 53.

6. M. Bildhauer, Convex Variational Problems with Linear, Nearly Linear and/or Anisotropic Growth Conditions, Preprint, Saarland University, No.D66041, November 16, Germany (2001).

7. P. Marcellini, Regularity and existence of solutions of elliptic equations with p — q growth conditions, Journal of Differential Equations 90 (1991), No. 1, 1 - 30.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. И.В. Нежинская, Оценка на границе области градиента решения задачи Дирихле для (p,q)-нелинейного уравнения, Проблемы математического анализа, вып. 27, (2004), 137 150.

2. И.В. Нежинская, О разрешимости щмевой задачи для (p,q)-ne-линейных эллиптических и параболических уравнений, Проблемы математического анализа, вып. 29, (2004), 55 - 69.

3. И.В. Нежинская, Оценка градиента решения задачи Неймана для (р, q)-нелинейного уравнения, Проблемы математического анализа, вып. 31, (2005), 47 57.

Подписано в печать 04.07.06. Формат 60x84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. листов 0,93. Тираж 100 экз. Заказ № 19

ЦОП типографии Издательства СПбГУ 199061, С-Петербург, Средний пр., д.41.

t

«

«

F

í t

„ „ „ . аоogfl

I«1 6 5 5 9

Введение.

1 Задача Дирихле.

1. Постановка задачи. Формулировка основного результата.

2. Регуляризация задачи. Априорные оценки.

3. Оценка модуля градиента в строго внутренних подобластях.

4. Оценка модуля градиента на границе.

5. Оценка модуля градиента в приграничных подобластях.

6. Доказательство основного результата. Единственность решения.

7. Некоторые обобщения.

8. Параболическая задача.

2 Задача Неймана.

Л. Постановка задачи. Формулировка основного результата.

2. Регуляризация. Априорные оценки.

3. Оценка максимума модуля градиента решения на границе области.

4. Оценка модуля градиента в приграничных подобластях.

5. Доказательство основного результата. Теорема единственности.

6. Некоторые обобщения.

В диссертации изучается проблема разрешимости краевых задач для класса неравномерно эллиптических уравнений с дивергентной главной частью. Точнее, рассматриваются уравнения вида п d di(x,u,ux) = b(x,u,ux), х GCl, (0.1) aXi i=i 1 где x G О, С Mn, n > 2, и — скалярная функция, ux = (uXlJ., uXn), a функции а,{(х,и,£) и b(x,u,£) — достаточно гладкие функции своих аргументов.

Основным предположением является условие эллиптичности в форме п Щ (*, Щ О А, А, >и( 1 + W~21 А|2, А е 1Г, (0.2) ij=l

I^^^oi^^a + Kir2, (0.3) i i,j = 1 ; ,

1< p<q, (0.4) где u,fj, — положительные постоянные, х G Г2, и £ М, £ G К". Разность д-р будем называть порядком неравномерности уравнения (0.1).

Кроме того, считаем выполненными некоторые ограничения на поведение функций aix., aiu и Ъ по аргументу

При условии р = q,p> 1, уравнение (0.1) является равномерно эллиптическим. Теория обобщенной и классической разрешимости краевых задач для таких уравнений сформировалась к концу 60-х годов XX века. Основные результаты этой теории достаточно полно изложены в монографиях С.В.Моггеу [33], G.Gilbarg'a, N.Trudinger'a [10] и О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [20].

Формирование теории разрешимости для квазилинейных уравнений началось с развития теории разрешимости линейных уравнений и исследования регулярности их решений. Так в 30-е годы J.Schauder'oM была доказана теорема о существовании решений в пространстве Cl+a, I > 2, первой краевой задачи для линейного уравнения с гладкими коэффициентами. Аналогичный результат для других краевых задач был получен к 1957 году C.Miranda и R.Fiorenza.

Понятие обобщенного решения для различных типов уравнений начало формироваться еще в 20-30-е годы XX века в работах G.C.Evans'a, N.Wiener'a, С.В.Моггеу, А.А.Фридмана, K.O.Friedrichs'a, С.Л.Соболева, J.Leray, Н.М.Гюнтера и других математиков. Этими авторами был предложен ряд способов.определения обобщенных решений и доказаны первые результаты об их существовании. Анализируя все эти подходы, в конце 40-х годов О.А.Ладыженской было сформулировано ставшее впоследствии классическим определение обобщенного решения краевых и начально-краевых задач для* различных типов уравнений с помощью интегральных тождеств.

В начале 50-х годов K.O.Friedrichs'oM, F.E.Browder'oM, L.Nirenberg'oM и другими математиками были установлены теоремы о существовании у обобщенных решений соболевских производных высоких порядков. В конце 50-х годов E.De Giorgi и J.Nash независимо друг от друга доказали теорему о (^"-регулярности обобщенных решений линейных дивергентных уравнений простейшего вида (без предположения о гладкости матрицы старших коэффициентов). Спустя несколько лет в работах С.В.Моггеу, G.Stampacchia,

О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой этот результат был распространен на случай общего вида линейных уравнений дивергентной структуры. Дифференциальные свойства обобщенных решений краевых задач для линейных уравнений были позднее подробно исследованы в работах О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, О.А.Олейник, G.Stampacchia, J.Serrin'a, N.Trudinger'a и других математиков.

Для равномерно эллиптических квазилинейных уравнений дивергентного вида теория классической и обобщенной разрешимости краевых задач была разработана к началу 70-х годов. Результаты этой теории, а также основные теоремы о регулярности решений достаточно полно изложены в монографиях [10] и [20]. В случае двух независимых переменных (п = 2) исследование разрешимости и регулярности решений продвигалось значительно быстрее, чем в случае п > 2. Наиболее значимые результаты при п = 2 были получены уже к концу 30-х годов С.Н.Бернштейном, Е.НорГом, J.Schauder'oM, R.Cacciopolli и J.Leray. Начало 60-х годов отмечено большим количеством новых работ о классической и обобщенной разрешимости, а также регулярности решений многомерных краевых задач для квазилинейных уравнений дивергентного вида. Среди этих работ наибольшую известность приобрели публикации C.B.Morrey, G.Stampacchia, О.А.Олейник, О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, E.De Giorgi, M.Miranda и N.Trudinger'a. Доказательство установленных теорем о существовании гладких решений краевых задач для эллиптических уравнений дивергентной структуры базируется на теоремах J.Leray и J.Schauder'a о неподвижных точках вполне непрерывных операторов. Основным условием в этих теоремах является наличие глобальной априорной оценки норм решений в пространстве C1+a(fi). Для широкого класса уравнений эта оценка была выведена О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [20]. Существование обобщенных решений краевых задач равномерно эллиптических дивергентных уравнений было доказано применением теории монотонных операторов и метода Галеркина ( [27], [20]).

Другой метод доказательства обобщенной разрешимости краевых задач основан на построении гладких аппроксимаций, применении для приближенных задач результатов теории классической разрешимости и получении равномерных по параметру аппроксимации оценок норм решений приближенных задач.Таким образом, выяснилась важная роль получения априорных оценок различных норм решений при исследовании вопросов разрешимости и регулярности.

С начала 60-х годов XX века большое внимание было уделено изучению различных классов неравномерно эллиптических уравнений. Как правило, характер неравномерности описывался условиями на поведение формы ai^(x,u,^)Xi\j в зависимости от угла между векторами £ и А £ Rn. К таким уравнениям относятся, например, уравнения поверхностей с заданной средней кривизной. Исследование вопросов разрешимости задач Дирихле для различных классов неравномерно эллиптических уравнений проведено в обширной работе J.Serrin'a [34]. Точнее, в ней рассматриваются уравнения недивергентного вида. ij=1 в ограниченной области Q 6 R" , dQ G С2, где Аф,и,£), В(х,и,£) € Cl{Rn х R х Rn).

Коэффициенты матрицы А удовлетворяют условию эллиптичности: п

0.5)

AijXiXj >0, А 6 Е", А ф 0.

0.6)

Предполагается выполненным граничное условие

0.7) на an, где / Е С2(О,).

J.Serrin сформулировал достаточные условия, обеспечивающие для решений задач вида (0.5) - (0.7) наличие следующих априорных оценок :

1) оценка maxlul; п

2) оценка maxluJ дП через тахМ; п

3) оценка maxluJ п через maxIwJ и maxlw дп 1 1 п

При этом наиболее сильные ограничения на функции, образующие задачу, возникают при выводе оценок 2) и 3). Для получения оценки 2) J.Serrin вводит понятие регулярно эллиптических уравнений. Это уравнения вида (0.5), для которых существует такое число тп > 0, что

Зр{Аф,щО}+ l^'fll < <fr(|ei)g0r,4,fl, ^ 0, И < го, (0.8) х,и,£) = Ау(х,и, где Ф(р) , р Е (0,+оо), — непрерывная монотонно убывающая функ

00 dp ция, обладающая свойством: Г 0 = оо. рЩр)

Как нетрудно видеть, класс регулярно эллиптических уравнений включает в себя класс равномерно эллиптических уравнений с "естественным" уело-i ■ 1 вием на порядок роста по градиенту функции правой части: \В(х,и,£)\ < с( 1 + |£|2). Кроме того, в класс регулярно эллиптических уравнений входят (р, q)- нелинейные эллиптические уравнения, имеющие порядок неравномерности q-p< 1. (0.9)

Внимание к регулярно эллиптическим уравнениям обусловлено схожестью свойств их решений с решениями равномерно эллиптических уравнений.

Для гладких решений регулярно эллиптических уравнений в работе [34] выведена априорная оценка 2). Использованный для этого метод основан на построении барьерной функции и применении принципа максимума. Таким же методом О.А.Ладыженская, Н.Н.Уральцева [20], а также А.В.Иванов [18] установили оценку 2) для решений несколько более общих классов уравнений. Условие (0.8) авторами было заменено менее ограничительными условиями, которые, однако, не позволяют снять ограничение (0.9) на разброс q — р для (р, д)-нелинейных уравнений вида (0.1) даже в простейшем случае щ = щ(их), Ь = Ь{х).

Для решений регулярных по Серрину и близких к регулярным уравнений вида (0.5) при ограничениях специального вида на согласование порядков роста по градиенту функций Ац, В и их частных производных по своим аргументам в работах [34], [20], [17], [18], [10] установлены априорные оценки вида 3). Эти результаты позволили доказать существование классических решений краевых задач. Если уравнение (0.1) записать в недивергентной форме, то к нему можно применить упомянутые результаты лишь при выполнении дополнительных предположений на рост по аргументу £ первых и вторых частных производных функций Ь(х, и, £) и щ(х, и, £) соответственно. Однако, в настоящей работе уравнение (0.1) рассматривается в предположении меньшей гладкости образующих его функций. i i

В работах С.Н.Бернштейна, J.Leray, J.Serrin'a, И.Я.Бакельмана и I

А.В.Иванова для некоторых классов неравномерно эллиптических уравне ) ний, не являющихся регулярными, установлены априорные оценки решений вида 1), 2), 3) и доказаны теоремы о классической разрешимости. Это классы уравнений, главная матрица Ац и функция правой части В которых имеют специальную структуру, а кривизна границы области Q связана с функцией В условиями специального вида ( уравнения типа уравнений минимальной поверхности). Для изучаемого уравнения (0.1) в настоящей работе не предполагаются выполненными такие ограничения. Примерами уравнений из описанного класса являются:

1) уравнение поверхности и = и(х) в пространстве R", имеющей заданную среднюю кривизну К ф 0:

1 + \ux\2)5ij - их.их.)их.х. = пК{ 1 + \их\2)%; (0.10)

2) уравнение свободной поверхности и = и(х) покоящейся жидкости под действием сил гравитации и сил поверхностного натяжения:

1 + \ux\2)6ij - ux.ux.)uxix. = си( 1 + Ы2)§; (0.11)

Еще один класс неравномерно эллиптических уравнений, изучению которого посвящено множество работ последних двадцати лет, — это класс так называемых анизотропных уравнений дивергентной структуры: п d ч{х,их) + а0(х,и,их) = 0, ж 6 fi С Е", (0.12) г=\ характеризующихся следующими условиями на функции i =

1, .п:

71 7Х ТЬ г=1 i=l г=1 ;

Pi > 1, г = 1, .п. (0.14)

Специфика структуры уравнений анизотропного вида позволила доказать существование обобщенного решения в классе И^(О), 1^ = (ръ—Рп), краевой задачи Дирихле. [19] (Здесь = {v £ W^(n)\vx. 6 = 1, .n}, po = min pi.) Кроме того, для уравнений этого класса установлеi=l,.n ны некоторые результаты о регулярности этих решений. Точнее, в [6], [35] доказана глобальная ограниченность обобщенных решений, а в [36], [29] — локальная ограниченность их градиентов в строго внутренних подобластях.

Попытка получения аналогичных локальных оценок в приграничных подобластях приводит к необходимости распрямления границы. Однако, как легко видеть, при переходе к новым переменным у = у(х) в уравнении (0.12) условия (0.13)-(0.14) перестают выполняться. Этим объясняется невозможность применения вблизи границы тех методов, которыми были получены локальные внутренние оценки £°°-норм градиентов обобщенных решений уравнений вида (0.12) при условиях (0.13)-(0.14).

Представляет интерес работа G.M.Lieberman'a [25], в которой рассмотрен достаточно общий класс неравномерно эллиптических и параболических уравнений дивергентной структуры. Для максимумов модулей градиентов решений этих уравнений в ней получена локальная внутренняя оценка. Как отмечает G.M.Lieberman, этот результат, в частности, применим к уравнениям анизотропной структуры, а также — к (р, </)-нелинейным уравнениям в случае q — р < 2. Кроме того, в работе [25] отмечено, что изложенный там метод может быть использован и для получения оценки максимума модуля градиента решения на границе области Q, но лишь в случае нулевого граничного условия Неймана.

Отметим, что класс уравнений рассматриваемой : нами структуры i I

0.1),(0.3)-(0.5), включают в себя уравнения Эйлера для различных классов функционалов. Например, с начала 70-х годов XX века и по настоящее время интенсивно изучались вариационные задачи для функционалов с неравномерным ростом интегранта. В частности, был рассмотрен интегральный функционал вида где Q — ограниченная область в 1", тг > 2, и : Q RN — вектор-нозначная функция, N > 1, / : RnN -> Ш. Основным предположением

0.15) являлось условие (р, q) - роста интегранта /:

К\р-сг<т<с2(1 + т, 1 <P<Q- (0.16)

В скалярном случае (N = 1) P.Marcellini в [29] и [30] доказал локальную Нерегулярность экстремалей функционала F при условии / G С2 и т( 1 + |?Г2)|Л|2 < jr fMim\i < М( 1 + |СГ2)|А|2, А,« 6 Г, (0.17) i,j=1

Этот результат был установлен при следующих условиях на показатели р и

2 <p<q< р. (0.18) п

Позднее, в статье L.Esposito, F.Leonetti, G.Mingione [И], были ослаблены требования на интегрант /: условие

С2 -гладкости было заменено требованием / 6 С1, а вместо условия (0.17) для / предполагалось выполненным следующее требование выпуклости: а/Й) + (1 - <*)/(&) - /К 1 + (1" <*)&) > m(l-a)(l + |a|2 + |6|2)¥lei-6|2, где £2 £ a G (0,1]. В этих предположениях в [И] установлена локальная непрерывность по Липшицу локального минимайзера функционала F при ограничении п + 1

1 <p<q<-р. (0.19) п

Случай N > 1 изучен в предположении, что интегрант функционала F зависит только от модуля градиента функции и. Для таких функционалов в работах итальянских математиков L.Esposito, F.Leonetti, G.Mingione, P.Marcellini, E.Mascolo, G.Cuipini, M.Guidorzi, F.Siepe, A.P.Migliorini ( [28], [11], [31], [23], [24], [9]) исследовалась регулярность локальных минимайзе-ров функционалов вида (0.15). В частности, было показано, что локальный минимайзер локально непрерывен по Липшицу, а его градиент принадлежит пространству WljoJfi)- Для функционалов с интегрантом f(ux) = д{\их\) в статье H.J.Choe [7] доказана С1+а- гладкость локально ограниченных ми-нимайзеров при условии д G С3 и ограничении l<p<q<p+l. Отметим также, что в работе P.Marcellini [28], а также в работе G.Cuipini, M.Guidorzi, E.Mascolo [9] установлена локальная ограниченность градиента локального минимайзера для интегрального функционала более общего вида, чем (0.15). Точнее, там изучены функционалы, интегранты которых имеют вид / = f(x, |мя.|).

Развернутый анализ известных к настоящему времени результатов о существовании и регулярности локальных минимайзеров интегральных функционалов, в том числе и функционалов с неравномерным ростом интегранта, приведен в обзорной работе G.Mingione [32].

В работе M.Bildhauer'a [5] сформулированы достаточно общие условия на поведение интегранта функционала, позволяющие доказать существова-.ние, единственность и регулярность (локальную, внутри области рассмотрения) решения соответствующей вариационной задачи. В частности, там изу-, чены функционалы, уравнения Эйлера для которых удовлетворяют услови

I ( ям (0.3)-(0.5) данной работы. Точнее, рассматривается задача минимизации функционала

J f{ux)dx (0.20) п со следующими условиями на / : Cliff -С2, (0.21)

1 + < 02/Ш(Л, А) < Ml + (0.22) где ci, С2, и, \i — некоторые положительные постоянные. В работе [5] доказано, что если q<p + s-, 1 <s<q, 1 <q, р> О, (0.23) п то существует единственное решение задачи (1.94)—(1.96) в некотором энергетическом классе, определяемом функцией /, при этом и G для любого параметра а G (0,1).

Другой класс задач, который интенсивно исследовался в последние два десятилетия, - это задачи минимизации функционалов с р(ж)-ростом инте-грантов. Точнее, рассматриваются функционалы вида

F[u,Q] = J f(x,ux)dx, (0.24) n где Q - область в Rn, п > 2, и : Q RN, N > 1,

С! + < f(Xt£) < ^(i + flito), (0.25) ci > 0, u,fi > 0, p : Q —> (1,+co) — непрерывная функция, 1 < p < p(x)<q<+oo.

Вариационные задачи для функционала F вида (0.24) при N = 1 с ин-тегрантом /(#,£), выпуклым по £ € И", измеримым по х 6 Rn и удовлетворяющим условию (0.25), изучались В.В.Жиковым в работах [12], [13] и

14]. У такого функционала, очевидно, существует минимайзер в простран-о стве V = {и G Wp(ti) : f f{x,vx)dx < +оо}. В работах [14], [15] найдены п условия на интегрант /, гарантирующие для рассмотренного функционала F следующее равенство: min Mu,fi] = inf F[u,Q}- (0-26) о, uec0°°(fi)

Случай, когда это равенство нарушается, называют эффектом (явлением) Лаврентьева. В [14] замечено, что явление Лаврентьева отсутствует тогда и только тогда, когда интегрант / регулярен, то есть когда для всякой функции и G V существует такая последовательность функций и£ G Co°(fi), что и£ -> и в Wi(Q), lim J f(x,uex)dx = J f(x,ux)da n n

Для модельного функционала

G[u,Q] = J \ux\pWdx, (0.27) n

1 < p < p{x) <q< +oo. в [15], [16] сформулировано условие на показатель р(х), обеспечивающие регулярность интегранта. Точнее, доказано, что интегрант функционала (0.27) регулярен, если показатель р(х) — непрерывная функция, имеющая логарифмический модуль непрерывности, то есть L

In \х — у\ для любых х,у G Q, \х —; у\ < Кроме того, в работе [15] показано, р(х) -р(у)I < L < +00, (0.28) что условие (0.28) является точным и не может быть ослаблено. i Ограничение (0.28) гарантирует выполнение следующего свойства для минимайзера и класса V функционала (0.27): \их\р№ £ Ь1+5(П) с некоторым S > 0, причем норма || Iwsl^H^+^fi) оценивается через данные задачи ( [16]). В работе [3] при условии (0.28) на показатель р{х) получена локальная априорная оценка нормы Гельдера решений уравнения Эйлера для функционала (0.27). При том же ограничении на показатель р(х) для локальных минимайзеров функционалов вида (0.24) при условии (0.25) в [1], [37] установлена локальная непрерывность по Гельдеру в случае N > 1. Более того, если дополнительно предполагать функцию р(х) непрерывной по Гёль-деру, а интегрант f(x, и, £) - С2-гладким по переменной то при некоторых условиях на порядки роста по £ вторых производных функции / в работах [1], [8] установлена локальная непрерывность по Гёльдеру градиента локального минимайзера функционала (0.24) при условии (0.25), N > 1.

Анализируя приведенные факты, заключаем, что большинство результатов о регулярности для решений неравномерно эллиптических уравнений, а также для минимайзеров интегральных функционалов с неравномерным ростом интегранта, получены для строго внутренних подобластей области рассмотрения. Установленные же к настоящему времени граничные оценки для градиентов решений неравномерно эллиптических уравнений требуют существенных структурных ограничений на функции, составляющие уравнение. Как было отмечено выше, в данной работе мы не предполагаем выполненными такого рода структурные ограничения.

Большое количество работ разных авторов посвящено исследованию начально-краевых задач для параболических уравнений. Основные результаты о разрешимости и регулярности решений для линейных, а также квазилинейных равномерно параболических уравнений были установлены к 70-м годам XX века. Наиболее подробное изложение этих результатов приведено, например, в монографиях [21], [26]. Там же, а также в [25], [18] изучены и некоторые классы неравномерно параболических уравнений. В сущности это классы параболических аналогов неравномерно эллиптических уравнений, исследованных в [20], [10] и [18]. В работах [18], [21], [25], [26] установлены как строго внутренние, так и граничные априорные оценки норм решений рассматриваемых там классов неравномерно параболических уравнений, причем достаточными условиями для получения граничных оценок являются ограничения специального вида на порядки роста по градиенту для функций, образующих уравнение. Основные работы для неравномерно параболических уравнений последних пяти лет посвящены исследованию вопросов регулярности решений параболических уравнений и систем, характеризующихся p(x,t) - ростом по градиенту собственных чисел главной матрицы (см., например, [2], [4]). Однако, полученные для таких уравнений результаты носят строго локальный характер, до настоящего времени остается нерешенным вопрос о регулярности их решений вблизи боковой поверхности цилиндра.

Мы не будем проводить здесь подробный анализ имеющихся результатов для неравномерно параболических уравнений, поскольку не ставим своей целью исследование (р, ^-нелинейных параболических уравнений. Мы лишь покажем, что установленные в настоящей работе результаты разрешимости краевых задач для эллиптических (р, ^-нелинейных уравнений позволяют доказать существование решений начально-краевых задач для некоторого класса простейших (р, д)-нелинейных параболических уравнений (см. §8 первой главы).

Цель и основные результаты работы.

Настоящая работа автора инициирована результатом П.Марчеллини, полученным в статье [30] для решения и .уравнения (0.1) в случае, когда ai = ai(x,ux) и Ь = Ь(х) — ограниченная функция. При условиях вида (0.2)-(0.4) там была установлена следующая локальная априорная оценка:

1М|и^(п;) + 1М1и?(П') ^ с ' (°-29) для любой строго внутренней подобласти Q' области О, при ограничениях

2 <p<q, (0.30)

2-n + Vn2 + 4 q-p<-—-p. (0.31)

Целью настоящей работы является получение априорных оценок вида (0.29) вплоть до границы. На базе этих оценок будет доказана разрешимость краевых задач Дирихле и Неймана для (р, ^-нелинейных эллиптических уравнений вида (0.1).

Для каждой из краевых задач мы укажем такой допустимый интервал между показателями неравномерности р и q, при котором будет доказано существование классического, а также сильного обобщенного решения. Данные результаты являются новыми.

Идея применяемого метода состоит в построении регуляризаций для каждой из исследуемых краевых задач. Для норм решений регуляризованных задач в пространстве V = П будут получены равномерные по параметру глобальные оценки, что позволит использовать общую теорию разрешимости равномерно эллиптических квазилинейных уравнений ( [10], [20]).

Наиболее трудоемким этапом является оценка максимума модуля градиента на границе рассматриваемой области. Техника получения этой оценки существенно зависит от краевого условия. Метод, использованный в случае краевого условия Дирихле, основан на построении специальной барьерной функции и применении принципа максимума Александрова. Этот метод позволил выделить следующий диапазон q—p, при котором имеет место указанная оценка: q-P<^r~P- (0.32)

7Г + 71 В случае краевого условия Неймана граничная оценка градиента решения получена при менее жестком ограничении на q — p: I 1

Р, 2 <р< |п, q-p<<

3 п

-р- 1, \п<р< 2п, (0.33) п z р, р > 2п. \2п

Примененная для этого техника интегральных оценок в приграничных подобластях позволила оценить максимум модуля касательной составляющей градиента решения через промежуточную норму полного градиента, оценка которой априори не известна. Для получения оценки этой нормы использованы мультипликативные интегральные неравенства и итерационный процесс.

Нетрудно видеть, что диапазоны q—p, при которых в диссертации установлены граничные оценки градиента решения при краевых условиях Дирихле и Неймана, являются более узкими, чем тот диапазон, при котором установлена локальная внутренняя оценка максимума модуля градиента решения в строго внутренних подобластях.

Полученные граничные оценки градиента решения при краевых условиях Дирихле и Неймана сформулированы в работе в виде самостоятельных утверждений. Эти утверждения являются принципиально новыми результатами. На их основе в работе впервые установлены априорные оценки максимума модуля градиента решения (р, д)-нелинейных уравнений в приграничных подобластях.

Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию краевой задачи Дирихле. В параграфе 1 описана постановка задачи и сформулирована основная теорема о ее.разрешимости. Построению регуляризаций и получению равномерных по параметру приближения глобальных априорных оценок для норм решений приближенных задач в пространствах и Wp{0) посвящен1 второй параграф. В §3 для решений регуляризованных уравнений установлена равномерная по параметру локальная внутренняя оценка в пространстве V = W^f^flWf Для этого проведена модификация метода П.Марчеллини [30] получения оценки (0.29). В результате для решений регуляризованных задач оценка (0.29) установлена при менее жестких условиях на младшие члены уравнения, что существенно используется при рассмотрении параболических уравнений ( см. §8 главы 1). В четвертом параграфе получена равномерная по параметру оценка максимума модуля градиента решения регуляризованных задач на границе области

1. Е. Acerbi, G. Mingione, Regularity Results for a Class of Functionals with Non-Standard Growth, Arch. Rational Mech. Anal. 156 (2001), 121 - 140.

2. E. Acerbi, G. Mingione, G.A. Seregin, Regularity results for parabolic systems related to a class of non-Newtonian fluids, An. I. H. Poincare- AN21 (2004), 25 60.

3. Ю.А. Алхутов, Неравенство Харнака и гелъдеровостъ решений нелинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста, Дифференциальные уравнения, т. 33, N12 (1997), 1651 1660.

4. S.N. Antontsev, V.V. Zhikov, Higher integrability for parabolic equations of p(x, t)-Laplacian type, Pre-publicagao, no.5, (2004), 1 30, DMUBI.

5. M. Bildhauer, Convex Variational Problems with Linear, Nearly Linear and/or Anisotropic Growth Conditions, Preprint, Saarland University, No.D66041, November 16, Germany (2001).

6. L. Boccardo, P. Marcellini, C. Bordone, L°°-regularity for variational problems with sharp поп standard growth conditions, Boll. Un. Mat. Ital., Bologna, (7)4-A (1990), 219 225.

7. H.J. Choe, Interior behaviour of minimizers for certain functionals with nonstandard growth, Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, vol. 19, no. 10, (1992), 933-945.

8. A. Coscia, G. Mingione, Holder continuity of the gradient of p(x)-harmonic mappings, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Serie I, Calcul des variations (1999), p. 363 368,.

9. G. Cuipini, M. Guidorzi, E. Mascolo, Regularity of minimizers of vectoral integrals with p — q growth, Nonlinear Analysis, 54 (2003), 591 616.

10. B.B. Жиков, Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для функционалов вариационного исчисления, Известия АНСССР, сер. мат., т.47, N 5, (1983), с. 961 998.

11. В.В. Жиков, Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости, Известия АНСССР, сер. мат., т.50, N 4, (1986), с. 675 711.i i

12. B.B. Жиков, On Lavrentiev's phenomenon, Russian Journal of Mathematical1.!Phisics, vol.3, no. 2, (1995), 249 271.

13. B.B. Жиков, Об эффекте Лаврентьева, Доклады РАН, т. 345, N 1, (1995), 10 14.

14. V.V. Zhikov, On Some Variational Problems, Russian Journal of Mathematical Physics, vol.5, no.l, (1997), 105 116.

15. А.В. Иванов, 0 задаче Дирихле для квазилинейных неравномерно эллиптических уравнений второго порядка, Труды МИАН им.Стеклова (1971).

16. А.В. Иванов, Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения, Труды МИАН им. Стеклова, том 160 (1982).

17. А.В. Иванов, П.З. Мкртычян, О разрешимости первой краевой задачи для некоторых классов вырождающихся квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, Труды МИАН им. Стеклова, том 147, (1980), 14 34.

18. О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, издание второе, Москва, Наука (1973).

19. О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Москва, Наука (1967).

20. О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, Оценки на границе области норм Гёлъдера производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений общего вида, Препринты ЛОМИ P-I-85, Ленинград (1985).

21. F. Leonetti, Е. Mascolo, F. Siepe, Gradient regularity for minimizers of functionals underp—q subquadratic growth, Bollettino U.M.I. (8) 4-B (2001), 571 586.

22. F. Leonetti, E. Mascolo, F. Siepe, Everywhere regularity for a class of vectoral functionals under subquadratic general growth conditions, J. Math. Anal. Appl., 287 (2) (2003), 593 608.

23. G.M. Lieberman, Gradient Estimates for a New Class of Degenerate Elliptic and Parabolic Equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) 21, (1994), 497 522.

24. G.M. Lieberman, Second order parabolic differential equations, World Scientific, Singapore (1996).

25. Ж.-Л. Лионе, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Москва, "Мир", (1972).

26. Е. Mascolo, А.Р. Migliorini, Everywhere regularity for vectoral functionals with general growth, ESAIM Control Optim. Calc. Var. 9 (2003), 399 418.

27. P. Marcellini, Regularity of minimizers of integrals of the calculus of variations with nonstandard growth conditions, Arch. Rat. Mech. and Analysis 105 (1989), 267 284.

28. P. Marcellini, Regularity and existence of solutions of elliptic equations with p — q growth conditions, Journal of Differential Equations 90 (1991), No. 1, 1-30.

29. P. Marcellini, Everywhere regularity for a class of elliptic systems without growth conditions, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) 23 (1996), 1 -25.

30. G. Mingione, Regularity of minima: an invitation to the dark side of the calculus of variations, Applications of Mathematics (2006), to appear.

31. C.B. Morrey, Multiple integrals in the calculus of variations, Springer-Verlag, New York, (1966).

32. J. Serrin, The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic diferential equations with many independent variables, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. A, 264, (1969), 413 496.

33. B. Stroffolini, Global boundedness of solutions of anisotropic variational problems, Boll. Un. Mat. Ital., Bologna, (7) 5-A (1991), 345 352.

34. H.H. Уральцева, А.Б. Урдалетова, Ограниченность градиентов обобщенных решений вырождающихся неравномерно эллиптических квазилинейных уравнений, Вестник ЛГУ, N 19 (1983), 50 56.

35. Xianling Fan, Dun Zhao, The quasi-minimizer of integral functionals with m(x)-growth conditions, Nonlinear Analysis, 39 (2000), 807 816.

36. И.В. Нежинская, Оценка на границе области градиента решения задачи Дирихле для (p,q)-нелинейного уравнения, Проблемы математического анализа, вып. 27, (2004), 137 150.

37. И.В. Нежинская, О разрешимости краевой задачи для (p,q)-нелинейных эллиптических ии параболических уравнений, Проблемы математического анализа, вып. 29, (2004), 55 69.)

38. И.В. Нежинская, Оценка градиента решения задачи Неймана для (р, q)-нелинейного уравнения, Проблемы математического анализа, вып. 31, (2005), 47 57.