Осцилляционные свойства негладких уравнений на сетях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

и о ид

1 о. 1'!ЛЧ

На правах рукописи

АЛЬ-ТУРК МУНИР

ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА НЕГЛАДКИХ УРАВНЕНИЙ НА СЕТЯХ

01.05.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 1995

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.В.Покорный. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.И.Сапронов; кандидат физико-математических наук, доцент И.Н.Гурова Ведущая организация: Самарский государственный

университет

Защита диссертации состоится "¿С "< " ^¿А-С 1995 года в 15.10 на заседании диссертационного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " (М/ " 1995 года.

Ученый секретарь диссертационног» совета К 063.48.09

В.Г.Задорожний

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации изучаются качественные вопросы осцилляционной теории краевых задач для негладких линейных дифференциальных уравнений второго порядка на на связных графах. Граф понимается геометрически, как множество из Rn, включающее в себя не только вершины, но и все точки ребер (в других терминах граф — одномерное клеточное пространство или топологическая сеть). Уравнение на графе скалярно на каждом ребре, решение склеивается во внутренних вершинах из решений на ребрах в соответствии с условиями непрерывности и специальными условиями согласования. Уравнения на графах моделируют целый ряд физических явлений: колебания механических систем, составленных из упругих континуумов (струн, стержней), электронные колебания в сложных молекулах (в теории рассеяния), процессы в электрических цепях.

Изучение дифференциальных уравнений на графах и краевых задач для них началось в первой половине 80-х годов. Первые результаты по данной тематике связаны с именами Павлова B.C., Фаддеева М.Д. (1983), Покорного Ю.В., Провоторовой E.H. (1983), Авдонина С.А. (1983), Nicaise S. (1986). Вторая •половина 80-х и начало 90-х сопровождались появлением в теории линейных ДУ второго порядка на графах ряда важных результатов, из которых следует выделить аналог теоремы сравнения Штурма (Покорный Ю.В., Пенкин О.М.), существование и представление функции Грина (Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Карелина И.Г.), исследование асимптотики спектра (Завгород-ний М.Г.). Перечисленные результаты (прежде всего аналог теоремы Штурма) создали почву для изучения осцнлляционных свойств спектра краевой задачи на графе (Покорный Ю.В., Пря-диев В.Л., Аль-Обейд А,). Настоящая диссертация посвящена исследованию осцилляционных свойств решений негладких дифференциальных уравнений второго порядка на графе (моделирующих, например, колебания сетки из струн с упругими опорами в узлах) и применению результатов этих исследований

к изучению соответствующей спектральной краевой задачи.

Цель работы состоит 1) в доказательстве аналогов теорем Штурма для выделяемого в диссертации класса негладких линейных дифференциальных уравнений второго порядка на грат фах; 2) в установлении достаточного условия неосцилляции таких уравнений и полозкительности функции Грина соответствующей краевой задачи; 3) в изучении (на осцилляционность) структуры спектра соответствующей краевой задачи на собственные значения.

Методика исследования. В диссертации используются качественные методы как классической теории ОДУ, так и теории ОДУ на графах.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

о доказательство аналогов теорем Штурма о перемежаемости и о сравнении для указанного в диссертации класса негладких линейных дифференциальных уравнений на графе;

о доказательство аналога триады Якоби для этих уравнений;

в вывод условий положительности функции Грина для соответствующей краевой задачи и - положительности интегрального оператора, обращающего эту задачу;

в доказательство вещественности спектра соответствующей спектральной задачи в случае графа-дерева;

в вывод условия простоты собственного значения спектральной краевой задачи в терминах распределения нулей соответствующей собственной функции;

9 вывод соотношений, связывающих геометрическую кратность собственного значения А спектральной краевой задачи на графе с геометрическими кратностями А, как собственного значения задач на подграфах;

о доказательство перемежаемости спектра краевой задачи на графе со спектрами краевых задач на ребрах (в случае графа-пучка);

• описание зависимости количества зон знакопостоянства собственной функции краевой задачи от ее номера (в случае графа-пучка);

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение при изучении различных вопросов спектральной теории краевых задач для негладких ДУ на графах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• в школе " Понтрягинские чтения - V". - Воронеж, 1994,

• на Воронежской Зимней Математической Школе. - Воронеж, 1995, а также на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством проф. Ю.В.Покорного (НИИ математики Воронежского университета).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, отражающие основное ее содержание (см. литературу в конце автореферата). В третьей работе соавтору принадлежит только доказательство равномерной непрерывности функции Грина на компонентах связности ее области определения.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 136-ти страницах и состоит из введения и четырех глав, разбитых на 16 параграфов. Библиографический список содержит 53 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся комментарии исторического характера по рассматриваемой в диссертации теме, библиографические указания и краткое изложение результатов диссертации.

Первая глава служит для введения основных понятий. Центральными являются понятия графам дифференциального уравнения на нем.

Пусть задан конечный набор {7; | 1 = I, т} открытых попарно непересекающихся интервалов из К". Дополнительно будем предполагать, что П 77 = 0 при г -ф- У (здесь ^ — замыкание 7у в И0). Пусть А — множество кондов интервалов 7,, а Л о — множество тех кондов этих интервалов, которые являются общими как минимум для двух интервалов.

Пусть А\ — некоторое подмножество А0- Если множество Г, представляющее собой объединение интервалов 7; и множества Л], является связным в Кп, то его мы будем называть открытым связным геометрическим графом (в дальнейшйм — просто графом). При этом точки из А\ будем называть внутренними вершинами графа Г, а точки из А \ Аг — граничными вершинами Г.

Множество граничных вершин Г далее обозначается через 0Г, а множество его внутренних вершин — через J{V). Ниже всегда предполагается, что 5Г ф 0. Интервалы 7,- будем именовать ребрами графа Г, обозначая их объединение через Я(Г).

Для любой вершины а графа Г через Г(а) будем обозначать {г = 1, т | а е 7*}.

Ниже на Г рассматривается дифференциальное уравнение

-(ри'У + ди = / ИГ), (1)

в котором д(-), /(•))£'(') — функции, равномерно непрерывные на каждом 7,, причем ш{{р(г) | г 6 Л(Г)} > 0. Под решением и(-) этого уравнения понимается непрерывная на Г функция, удовлетворяющая на каждом у, "обычному" уравнению

-(ри')' + ди = / М 7«), а также равенствам

]Г ог,-(аК(а) = ф)и(а) (а е ЛГ)),

где сщ(а) (г € /(а)), — фиксированные для каждой а € У (Г) положительные числа, а и-(а) означает производную функции и(-), посчитанную в направлении "от а" вдоль ребра 7,.

Для уравнения (1) можно ставить краевые задачи, добавляя к нему какие-либо условия на границе Г. В основном мы рас-

сматриваем случай условий Дирихле:

и1аг = °- <2>

В конце первой главы показывается, что задачей (1),(2) описывается малая деформация растянутой сетки из струн с упругими опорами (типа пружин) в ее узлах.

Вторая глава посвящена доказательству аналогов теорем Штурма о перемежаемости и о сравнении для уравнения

— (ри'У Ч- ди = 0 (ее Г). (3)

Для их формулировки необходимо понятие 5-зоны, обобщающее понятие интервала между соседними нулями функции.

Определение. Подграф Г0 графа Г будем называть 5-зоной функции и(-), если и(-) сохраняет строгий знак на Го и и(х) = О (х £ дГ).

Начинается вторая глава с доказательства следующего аналога теоремы Штурма о перемежаемости.

Теорема 2.1. Пусть Г является 5 -зоной решения и( ) уравнения (3), а и>(-)— линейно независимое с г>( ) решение этого же уравнения. Тогда и>(-) меняет знак в Г.

Затем устанавливаются следующие свойства решений дифференциального неравенства

- (ри'У + дк > 0 (я 6 Г). (4)

Теорема 2.2. Пусть д(-) > 0 на /2(Г). Тогда любое решение неравенства (4), отличное от тождественной постоянной, не имеет неположительного минимума в Г.

Теорема 2.3. Пусть > 0 на Л(Г). Тогда любые два нетривиальные решения п(-) и ги(-) неравенства (4), удовлетворяющие условию (2), соизмеримы, т.е. при некоторых а > 0 и /? > 0 для всех г € Г выполнено неравенство аь{х) < ъи(г) < (Зь(х).

Теорема 2.4. Пусть уравнение (3) имеет нетривиальное решение ис(-), равное нулю на дГ и сохраняющее знак на Г. Тогда любое неотрицательное решение ч(-) неравенства (4) коллине-арно с ио(-).

Теоремы 2.2-2.4 не только представляют самостоятельный интерес, но и позволяют доказать следующий аналог теоремы Штурма о сравнении.

Теорема 2.5. Пустьд^-) < д2(-) на А(Т), Пусть Го — 5-зона решения ч(-) уравнения

(ри')' + д,и = 0 (*€Г).

Тогда любое решение ш(-) уравнения

(ри')Ч?3и = 0 (ж € Г),

неколлинеарное с и(-) на Го, меняет знак в Го.

В третьей главе исследуется вопрос о неосцилляции уравнения (3), обосновывается достаточность неосцилляции уравнения (3) для невырожденности задачи (1),(2) и изучаются свойства функции Грина (которые вместе с теоремами 2.1 и 2.5 позволяют начать исследование спектральной задачи).

Уравнение (3) будем называть неосциллирующим на Г, если любое его решение не имеет 5-зон в Г.

Как известно, для неосцилляции уравнения (3) в случае, когда оно рассматривается на отрезке, достаточно неотрицательности </(•). Оказывается аналогичный факт верен и в рассматриваемом нами случае, а именно, верна

Теорема 3.1. Если $(•) >0 на Я(Г), то уравнение (3) не осциллирует на Г.

Неосцилляция уравнения (3) влечет невырожденность задачи (1),(2) (как и в случае отрезка). А именно, верна

Теорема 3.2. Если уравнение (3) не осциллирует на Г, то задача (1),(2) невырождена.

Следующее утверждение являет собой аналог так называемой триады Якоби.

Теорема 3.3. Следующие три утверждения равносильны между

собой:

1. уравнение (3) не осциллирует на Г;

2. для любой Ь € дГ существует и положительно на Г решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям

3. существует решение уравнения (3), положительное на Г и <9Г.

Во второй части третьей главы в предположении невырожденности задачи (1),(2) доказывается существование функции Грина и изучаются ее свойства. Точнее говоря, доказывается

Теорема 3.4. Если задача (1),(2) невырождена, то существует единственная (в классе непрерывных на Гх Л(Г)) функция G(-, ■) такая, что решение задачи (1),(2) определяется равенством

и(х) = J G(x,s)f(s)ds (х Е Г);

К(Г)

при этом G(-, •) обладает следующими свойствами:

1. £?(•, •) равномерно непрерывна на Г х 7; для любого t = 1, m,

2. •) определена и равномерно непрерывна во всех прямоугольниках тi х 7у при i ф j и в каждом из треугольников 12J = {(г, 5) е 7,- х 7,-1 г < в> м П? = {(г, з) е 7i X 1j | а < х}, где "<" понимается в смысле некоторой ориентации 7,-,

3. для любого s € Я(Г) функция G(-,s) есть решение уравнения

—(pu')' + qu = 0 (г € Г \ {s}) и удовлетворяет условиям (2),

4. если s е % то + 0, з) - - 0, s) = —l/p(s).

На основе теоремы 3.4 в предположении неотрицательности д(-) доказывается положительность функции Грнна G(-, •) на Г х Я(Г), что позволяет к оператору

(L~lJ){x) = j G{x, s)f(s)ds (z е Г)

m

применить теорию положительных операторов и доказать следующую теорему.

Теорема 3.5. Пусть M — оператор, действующий в C(R(T)) (где С(Я(Г)) — множество функций, равномерно непрерывных на каждом л) и ставящий каждой функции /(■) 6 С (Л (Г)) сужение на Д(Г) функции (1>~1/)(■). Тогда оператор M является uo-положительным в банаховом пространстве C(R(T)) с нормой

||/(')|| = ««р{|/(®)|с Я(Г)} и конусом Я(А(Г)) неотрицательных на Л(Г) функций.

В четвертой главе на базе теорем 2.1, 2.5, 3.4 и 3.5 исследуется спектральная задача

{

-(ри')' + ди = Лги (х е Г) и! = 0 >

1<9Г

в которой А — спектральный (вообще говоря, комплексный) параметр, р(-) и д(-) — те же, что и ранее, г(-) € С(Л(Г)), причем

in/{K®)|« € Я(Т)} > 0.

С привлечением фактов теории положительных операторов на основании теорем 3.4 и 3.5 устанавливается

Теорема 4.1. Если q(-) > 0 на Л(Г)} то спектр задачи (5) не более чем счетен, ее ведущее собственное значение положительно и просто, а соответствующая ему собственная функция сохраняет строгий знак на Г.

Далее, оказывается, что несмотря на возможную несамосопряженность задачи (5) в смысле скалярного произведения

< v(-),u>(-) > = У v(x)w(x)dx

верна

Теорема 4.2. Если Г — граф-дерево (т.е. Г не содержит циклов — подмножеств, гомеоморфных окружности), то спектр задачи (5) вещественен.

В дальнейшем мы ограничиваемся рассмотрением только вещественных собственных значений задачи (5).

Теорема 2.1 позволяет установить следующее условие простоты собственного значения задачи (5).

Теорема 4.3. Пусть при А = А* задача (5) имеет решение без нулей во внутренних вершинах и циклах Г. Тогда геометрическая кратность А* равна единице.

Следующая теорема дополняет (включая в себя) теорему 4.3.

Пусть с € ЛГ), а {Гу|; = 1, ¿} — набор всех компонент связности множества Г \ {с} (не исключено, конечно, что I — 1). На

каждой из Г; рассмотрим задачу

' + ди = Хги (х 6 Г;)

( -(ри'У Гк =

о • (|)

Пусть

¿=1

где х(^о) и — геометрическая кратность До как собствен-

ного значения задач (5) и (6у), соответственно.

Теорема 4.4. 1) Если (А) для некоторого задача (6у0) имеет при А = А0 решение, удовлетворяющее неравенству

где 13 = {г € 1{с)\^ С Гу},

(Б) всякое решение задачи (5) при А = Ло обращается в нуль в точке с, то $ = —1;

2) если ни одно из условий (А) и (Б) не выполняется, то 6 = 1;

3) в остальных случаях 5=0.

Несмотря на кажущуюся тяжеловесность теоремы 4.4, она создает хорошую основу для исследования вопроса об осцилляционности спектра задачи (5).

Ниже Г — граф-пучок. Его единственную внутреннюю вершину обозначим через а. Конец интервала 7,, отличный от а, обозначим через 6;. Наряду с задачей (5) рассмотрим задачи

{

-(ри'У + ди= Аги (ж € 7<) , ч

и(^) = 0 = и(а) ■

Рассмотрим неубывающую последовательность N = = 0, оо}, составленную из собственных значений задач (7.) таким образом, что каждое V встречается в ней X¿(£/) Р33 (здесь мы полагаем, что Г; = 7<).

Теорема 4.5. Пусть Г — граф-пучок. Тогда спектр Л задачи (5) представим в виде возрастающей неограниченной последовательности {Аг|/ = 0, оо}, причем 1) Ад < и0} 2) для любого 3 = 0, оо из V] < следует < Ау+[ < 1/у+1, а из ц = х>у+1 следует 1/у = Ау+1 = 1/у+1, где = 0, оо} — неубывающая

последовательность, составленная из собственных значений задачи (5) таким образом, что каждое А{ встречается в ней х(^г) раз.

Эта теорема дает возможность перейти к исследованию вопроса о количестве 5-зон собственных функций задачи (5).

Для любого простого собственного значения А} задачи (5) через 31 будем обозначать количество 5-зон соответствующей собственной функции.

Теорема 4.6. Пусть Г — граф-пучок. Если А; £ Л \ ./У, то

* = (8) з=о

Эта теорема обобщает известный факт о количестве нулей собственных функций задачи (5) в случае, когда Г суть интервал. Действительно, если Г — интервал, то равенство (8) принимает вид ¿1 = 1 + 1 (т.к. в этом случае х(А;) = 1 для всех j ■= 0, оо), что в точности соответствует тому, что 1-ая собственная функция (в случае, когда Г есть интервал) имеет в Г ровно I нулей.

Следующая теорема дополняет предыдущую.

Теорема 4.7. Пусть Г — граф-пучок. Тогда если А; € ./V, то максимально возможное количество 5-зон соответствующей собственной функции равно ^17=1 а1, где а* — количество 5-зон собственной функции задачи (7<), отвечающей А{.

В заключение автор выражает особую признательность своему научному руководителю. При работе над данной диссертацией советы профессора Ю.В.Покорного оказали немалую помощь автору: достаточно отметить, что постановки задач по данной диссертации принадлежат ему.

Автор благодарит также участников семинара по качественной теории краевых задач под руководством профессора Ю. В. Покорного за полезные обсуждения результатов данной работы. Особенно это'относится к В.Л.Прядиеву.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Аль-Турк М. О невырожденности негладких краевых заг дач на графах // Деп. в ВИНИТИ 08.11.94, N 2519.

- 6 с.

2. Аль-Турк М. Теоремы Штурма для негладких уравнений на графах // Деп. в ВИНИТИ 08.11.94, N 2518. - 13 с.

3. Аль-Турк М., Пряди ев В.Л. О функции Грина негладкой краевой задачи на графе // Деп. в ВИНИТИ 08.11.94,

N 2520. - 11 с.

4. Аль-Турк М. О невырожденности негладких краевых задач на графах : Тез. докл. школы * Понтрягинские чтения - Vй. - Воронеж, 1994. - С. 6.

З^саз 181 от. 17„5.95 г. Тир, 100 экз. Формат 60 X 90 1Дб. Объем I п.л. Офсетная лаборатория В1У»