Сингулярные системы линейных дифференциальных уравнений и линейные уравнения с обобщенными функциями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Глава Г РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Сведение краевых задач для сингулярных систем дифференциальных уравнений к интегральному уравнению

§2. О других способах сведения краевых задач к интегральным уравнениям

Глава

II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРРОНА-СТИЛТЬЕСА

§1. Интеграл Перрона-Стилтьеса

§2. Предельный переход под знаком интеграла Перрона-Стилтьеса

§3. Интегральные операторы Перрона-Стилтьеса

§4. Интегральное уравнение типа Фредгольма

§5. Интегральное уравнение тиг^^^щ^ь^рра

§7. Построение резольвенты уравнения Фредгольма

§8. Построение резольвенты уравнения Вольтерра

§9. О представлении решений некоторых уравнений типа Вольтерра в условиях отсутствия резольвенты

Глава

III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРРОНА-СТИЛТЬЕСА К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

§1. Краевые задачи

§2. Решение задачи Коши для регулярных и сингулярных систем линейных дифференциальных уравнений

§3. Примеры

§4. Представление решений задачи Коши для линейных систем с обобщенными функциями в коэффициентах и правой части

Ряд задач теории автоматического регулирования приводят к необходимости решения краевых и начальных задач для систем дифференциальных уравнений A{t)x'^Bit)x + f{t) (1) и {A{t)xr^B{t)x + f{t) (2) с, вообще говоря, прямоугольными матрицами А(-) и В{-): в случае, когда А{-) и В{-) — квадратные матрицы, то .4(-) может вырождаться в отдельных точках или даже на целых промежутках. Системы вида (1) или (2) возникают и при применении различных приближенных методов решения краевых задач для уравнений в частных производных (см., например, [26, 43, 34]).Случаю, когда матрицы А{-) и В{-) постоянные, посвящено достаточно большое число работ (см., например, [6, 45, 46, 47, 3, 18, 39]). Для работ этого цикла характерен чисто алгебраический подход. Так, в монографии [6, с. 348] общее решение системы (1) с постоянными т х я-матрицами А{-) и В{-) построено на основе теории элементарных делителей для регулярного и сингулярного пучка матриц А+ХВ. Большинство авторов (см., например, [45, 46, 3, 39]), изучающих систему (1) с постоянными матрицами А{-) и В{-) сводят задачу для системы (1) к соответствующей задаче для системы х' = M{i)x + g{f:) (3) с помощью различных обобщений понятия обратной матрицы (полуобратная матрица, обратная матрица Дразина и др., см. [6, 3]).В монографии [3] системы (1) и (2) с переменными А{-) и В{-) рассматриваются в предположении, что выполнено некоторое условие регулярности (условие Q, см. [3, с.5,с.90]). Условие Q заключается в том, что либо А[-) невырождена, либо в жордановом представлении A{t) = TJ{i)T^ (4) матрица Т постоянна. Условие Q не выполняется, например, для системы (см. [3, с.5]) A{t)x' = x, O^t^l^ (5) Матрица А{-) имеет двукратное нулевое собственное значение, а представление (4) имеет место при Т = где а(-) и ,|3(-) — произвольные функции, обеспечивающие невырожденность Т. Непосредственно из представления видно, что Т не может быть постоянной.Вопрос о существованги! решения задачи Коши и некоторых краевых задач для систем (1) и (2) в монографии [3] конструктивно решен лишь для постоянных А и В, удовлетворяющих к тому же некоторому дополнительному условию совершенства.В настоящей диссертации системы вида (1) и (2) изучаются при более широких, чем в [3] предположениях.Традиционно системы таких уравнений принято записывать в виде (см. [48, 23, 39, 9, 10]) x = B{t)x + i{t), (6) где точка означает дифференцирование в смысле обобщенных функций. Если матрица В{-) и вектор-функция /(•) абсолютно непрерывны, то (6) — классическая система Каратеодори; в случае, если В{-) и /(•) не обладают свойством абсолютной непрерывности, то В(-) и /(•) представляют собой сингулярные обобщенные функции, так что возникает целый ряд проблем, среди которых — проблема умножения сингулярной обобщенной функции на разрывную функцию. Каждое определение решения задачи Коши или краевой задачи для системы (6) представляет собой по существу некоторое определение такого умножения. По поводу анализа различных подходов к определению решения системы (6) см. [11].Между системами (1) и (2) с одной стороны и системой (6) с другой имеется определенная связь. Решения линейной системы (1) или (2) даже с постоянными коэффициентами, так же, как и решения системы (6), .могут оказаться разрывными или обобщенными функциями [47],[39, с.23]. Поэтому имеет смысл разработать единый подход к одновременному изучению указанных систем.Поэтому рассматриваются как регулярный случай {det A{t) ф 0), так и сингулярный, когда .4(-) может вырождаться в отдельных точках.В целом наш подход заключается в следующем. Вначале предполагаем, что 5(-), /(•) и Л(-) абсолютно непрерывны и det A(t) ф 0. При этих условиях краевая задача для системы (7) или (8) эквивалентна интегральному уравнению h y{i)^\K{i.s)d,i[s)-rg{i). (9) (I где интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса, а ;(/(•) связана с ж(-): K[i, s) и g[i) строятся по .4(-), В[-) и /(•) . Затем замечается, что уравнение (9) имеет смысл рассматривать при исходных предположениях, если в (9) (и в формулах, выражающих i\'(-, •) и д{-) через .4(-), В[-) и /(•)) толковать интеграл шире, а именно в смысле Перрона-Стилтьеса. Решение уравнения (9) при этой расширенной интерпретации интеграла и определяет решение исходной задачи.Выяснилось, что уравнение (9) мало изучено. Можно указать лишь книгу [49], где уравнение (9) рассматривается в предположении, что ядро К{-. •) имеет ограниченную по совокупности переменных вариацию, что для наших задач является неприемлемым. Поэтому уравнение (9) и близкие к нему изучаются в диссертации и как самостоятельньп4 объект, вне их связи с системами (7) и (8).Несколько слов о нумерации формул и организации ссылок в диссертации. Внутри каждого параграфа применяется одинарная нумерация формул. Ссылки на формулы, теоремы и другие утверждения текущего параграфа производятся просто з'казанием порядкового номера формулы в тексте параграфа. Ссылки на формулы и утверждения другого параграфа текущей главы производятся путем двойной нумерации. Например, ссылка на формулу (1) введения к текущей главе записывается как (0.1). Наконец, ссылки на формулы и утверждения, расположенные в другой главе, производятся с помощью тройной нумерации (указывается номер главы, номер параграфа в главе и порядковый номер формулы в параграфе).1. Задача для системы (1) с краевыми условиями ix:=a, а:еШ", (10) где i — линейньи"! п-вектор-функцгюиал, действующий на множестве абсолютно непрерывных на [а,Ь] /г-вектор-функций, сводится к уравнению (9), если y{t) — xit) и h K{t, s) = G(^, s){E - A{s))^ g{t) = X{t)p + J G{t, s)f{s)ds.Здесь Git, s) — функция Грина системы х/ — Вх с краевыми условиями (10), Х{-) — фундаментальная матрица этой системы, а вектор р G М" определяется как решение системы линейных алгебраических уравнений {£Х)р - а.Здесь G{t,s) — функция Грина задачи у' = F{t), i{B^y) = О, вектор р G М" — решение линейной системы [Ш^)р = а. Эквивалентность задачи (7),(10) и з'равнения (9) имеет место, если матрица В^{-) абсолютно непрерывна на [а, 6].Кроме того, задача Коши для систем (7) и (8) допускают специфичную для этой задачи форму записи в виде уравнения типа (9).При условиях гладкости коэффициентов систем (7) и (8) интеграл в (9) понимается в смысле Римана-Стилтьеса. Отказываясь от условий гладкости с целью охватить линейные системы с обобшенными функциями в коэффициентах, интеграл в (9) нужно толковать шире. Поэтому в дальнейшем предполагается, что коэффициенты систем (7) и (8) имеют ограниченную вариацию на [а.,Ь], а интеграл в уравнении (9) понимается в смысле Перрона-Стилтьеса. При этом действие функционала i расширяется на множество вектор-функций с элементами, имеющими ограниченную вариацию на [а, 6]. Решение задачи (7),(10) или (8),(10) определяется как решение соответствующего интегрального уравнения типа (9).Таким образом, решение задачи Коши для системы (1) с начальным условием в точке а получается как предел решений задачи для этой же системы с начальным условием в точке а-\-6 при S —> +0. При этом величина и{-\-0) равна правому скачку решения х{-) в точке а, т.е. г/(+0) = х{а + 0) — х{а).

1. Антоневич А.В., Турло А.В. Линейные дифференциальные уравнения ( обобщенными коэффициентами с точки зрения теории мнемофункцш-// Дифферент уравнения, 1994. Т. 30. №5. С. 758-767.

2. Бессмертных ГА. Несколько замечаний к вопросу о существовании решения у сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Киев, 1964. Вып. 2. С. 23-32.

3. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. 224 с.

4. Бравый Е.И. О регуляризации сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения, 1994. Т. 30. №1. С. 26-34.

5. Васильев Н.И., Клопов Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: «Зинатне», 1978. 184 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

7. Грабовская Р.Г., Диблик Й. О сингулярных уравнениях ?г-го порядка, не разрешенных относительно производной // Функц. анализ и некоторые вопросы теории дифференц. уравнений. Саранск, 1976. С.103-105.

8. Дерр В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах // Доклады АН СССР, 1988. Т. 298До 2. С. 269-272.

9. Дерр В.Я. О решениях дифференциальных уравнений с обобщенными функциями в коэффициентах // Изв. института математики и информатики. Ижевск: Уд ГУ, 1995. Вып. 1. С. 51-75.

10. Дерр В.Я., Дизендорф К.И. О дифференциальных уравнениях в С-обобщенных функциях // Изв. вузов. Математика, 1996, №11. С. 39-49.

11. Дизендорф К.И. Линейные дифференциальные уравнения в пространстве С-обобщенных функций. Канд. диссертация. Ижевск: УдГУ, 1998. 129 с.

12. Егоров Ю.В. К теории обобщенных функций // Успехи мат. наук, 1990. Т. 45. Вып. 5. С. 3-40.

13. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н., Дрозденко С.Е. Динамические системы с импульсной структурой. Свердловск: Сред.-Урал. кн. изд-во, 1983. 112 с.

14. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н., Дрозденко С.Е. Дифференциальные уравнения с разрывными решениями // Десятая междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Варна. 12-17 сентября 1984: Докл. София. 1985. С. 315-318.

15. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991. 256 с.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматгиз, 1961. 704 с.

17. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

18. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

19. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси, 1975. 385 с.

20. Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Л. Сингулярные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики: новые достижения, 1987. Т. 30. С. 105-201.

21. Лабовский С.М. О положительных решениях двухточечной краевой задачи для линейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения, 1988. Т. 24. JNq 10. С. 1695-1704.

22. Левин А.Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения,II// Вестник Ярославского ун-та, 1974. Вып. 8. С. 122-144.

23. Ломтатидзе А.Г. Об одной краевой задаче для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения с сингулярностями // Дифференц. уравнения, 1986. Т. 22 ,М>3. С. 416-426.

24. Максимов В.П. О некоторых обобщениях обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задачах и их приложениях к задачам экономической динамики // Вестник ПГТУ. Пермь: 1997, №4. С. 103-120.

25. Марчук Г.И. Численные методы расчета ядерных реакторов. М.: Атом из дат, 1972.

26. Оленчиков Д.М. Нестандартный анализ дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами // Изв. института математики и информатики. Ижевск: Уд ГУ, 1995. Вып. 1. С. 3-50.

27. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями/ М.: Наука, 1988. 192 с.

28. Перов А.И. О сингулярной задаче Коши // Труды семинара по функциональному анализу. Воронеж: 1963. Вып. 7. С. 104-107.

29. Радыно Я.В., Нго Фу Тхань. Дифференциальные уравнения в алгебре новых обобщенных функций. Доклады АН Беларуси, 1993. Т. 37. №4. С. 5-20.

30. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным управлением. Киев: Вища школа, 1987. 288 с.

31. Сесекин А.Н. О непрерывной зависимости от правых частей и устойчивости аппроксимируемых решений дифференциальных уравнений, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные // Дифференц. уравнения, 1986. МИ. С.2009-2011.

32. Сесекин А.Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Екатеринбург: 1997. 224 с.

33. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1972.

34. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. ИЛ, 1960.

35. Федоров Д.Л. К общей теории интегральных уравнений в пространстве функций ограниченной вариации // Изв. института математики и информатики. Ижевск: УдГУ, 1997. Вып. 3(11). С. 30-50.

36. Федоров Д.Л. Интегральные уравнения Перрона-Стилтьеса в пространстве функций ограниченной вариации // Четвертая Российская универ-ситетско-академическая научно-практическая конференция. Ижевск, 1999. Т. 6. С. 5-6.

37. Федоров Д.Л. О представлении резольвенты интегральных уравнений Перрона-Стилтьеса при помощи рядов // Изв. вузов. Математика, 2000, №4. С. 76-80,

38. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

39. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 312 с.

40. Чечик В.А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью. Труды Московского математического общества. 1959, 8. С. 155-197.

41. Шиндяпин А.И. О краевой задаче для одного сингулярного уравнения // Дифференц. уравнения, 1984. Т. 20. №3. С. 450-455.

42. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

43. Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of linear abstract functional differential equations and applications // Memoirs of Different. Equat. and Mat liom. Physics. Tbilisi: Publishing House GCI, 1996. V. 8. P. 1-102.

44. Campbell S.L., Meyer C.D., Rose N.J. Application of the Drasin inverse matrix to linear systems of differential equations with singular constant coefficients. SIAM Journ. Appl. Math. Anal., 1976, V. 31. №3. P. 421-425.

45. Campbell S.L. Linear systems of differential equations with singular coefficients. SIAM Journ. Math. Anal, 1977, V. 8. №6. P. 1057-1066.

46. Doetsch G. Das Aufangswertproblem fur Systeme linearer Differentialglei-chungen unter unzulassigen Aufangsbedingungen // Aundli di mat. pura ed appl. 1955. V.39. P.25-37.

47. Kurzweil J. Generalised ordinary differential equations // Czechosl. Math. J. 1958. V.8, .\l>3. P. 360-388.

48. Schwabik S.,Tvrdy M.,Vejvoda O. Differential and integral equations: Boundary value problems and adjoints. Prague: Academia, 1979. 246 p.

49. Schwabik S. Generalised differential equations: Special Results, Rozpravy CZAV (rada MPV), 1989, 99, 3, Academia. Praga. 80 p.