Алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета и некоторые их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

УДК 5174-518.87

На правах рукописи

ПОТАПОВА ЗИНАИДА ЕВГЕНЬЕВНА

АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ВЫЧЕТА И НЕКОТОРЫЕ ИХ

ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2004

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент

Мысливец Симона Глебовна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Половинкин Владимир Ильич

кандидат физико-математических наук,

доцент

Лейнартас Евгений Константинович

Ведущая организация Институт программных систем РАН

г. Переславль-Залесский

Защита состоится "01" июля 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.098.03 в Красноярском государственном техническом университете по адресу 660074,т. Красноярск, ул. Киренского, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан "18" мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, ? л/ /

кандидат физико-математических наук СнФ^^-— К. В. Сафонов

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

Формула многомерного логарифмического вычета хорошо известна в теории функций многих комплексных переменных. Она дает интегральное представление суммы значений голоморфной функции в нулях некоторой системы голоморфных функций, заданных в областях пространства С" Интеграл в этой формуле должен быть вычислен по циклам (остовам аналитических полиэдров) действительной размерности п. Для достаточно широких классов алгебраических отображений известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в систему. Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Тем более, что часто в системы входят параметры.

Первые попытки в создании таких алгоритмов (и их компьютерная реализация) для систем с выделенной главной.частью, треугольных систем были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой. В данных работах были рассмотрены применение формулы многомерного логарифмического вычета к исключению неизвестных из систем алгебраических уравнений. Этот модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный Л.А.Айзенбергом, был затем развит в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, С.Г. Мысливец, А.П.Южакова, А.К.Циха, Г.С.Яблонского, Т.А.Осетровой. Но для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки отсутствовали.

Тематика диссертации также связана с активно развивающимся в последнее время новым направлением в математике — компьютерной алгеброй многочленов, лежащей на стыке алгебры, математического анализа и программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состояний. Эти запросы инициируют появление новых теоретических результатов в области анализа систем нелинейных алгебраических уравнений. Внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на. ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения.

Нелинейные системы алгебраических уравнений возникают в различ-

ных областях знания. В частности, в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в множествах определенного вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры многочленов: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы, построения систем треугольного вида, эквивалентных данной системе. Такие вопросы, естественно, требуют развития методов работы с аналитическими выражениями на ЭВМ.

В частности в монографиях В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана приведены многочисленные примеры из химической кинетики, где работают алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета.

1.2. Цель диссертации

Целью диссертации является:

— разработка алгоритмов исключения неизвестных из систем невырожденных алгебраических уравнений; основанных на формуле многомерного логарифмического вычета;

— получение формул для вычисления степенных сумм для некоторых типов систем мероморфных функций с бесконечным множеством корней, разработка алгоритмов вычисления таких степенных сумм;

— применение найденных формул к нахождению сумм некоторых кратных рядов;

— компьютерная реализация в системах компьютерной алгебры М^ИБ и МКПМКИКА полученных алгоритмов.

1.3. Методика исследования

В основу исследования положены методы вычислительной математики, теории функций многих комплексных переменных, компьютерной алгебры.

1.4. Научная новизна

Полученные формулы и алгоритмы являются новыми.

Основные результаты диссертации:

— разработаны алгоритмы исключения неизвестных из систем невырожденных алгебраических уравнений, основанные на формуле многомерного логарифмического вычета;

— доказаны формулы для вычисления степенных сумм для некоторых типов систем мероморфных функций с бесконечным множеством корней, разработаны алгоритмы вычисления таких степенных сумм;

— полученные формулы применены к нахождению сумм некоторых кратных рядов;

— дана компьютерная реализация полученных алгоритмов в системах компьютерной алгебры MAPLE и МАТЕМАТИКА.

1.5. Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на:

— Международной конференции "Математические модели и методы их исследования, (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики) (Красноярск, 1999);

— VIII, IX, XII Международных научно-технических семинарах "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации" (Алушта, 1999, 2000, 2003);

— Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 2000);

— Международном конгрессе "Математика в XXI веке. Роль механико-математического факультета НГУ в науке, образовании и бизнесе " (Новосибирск, 2003);

— научном семинаре по теории управления (Москва, МАИ);

— научном семинаре кафедры высшей математики (Красноярск, Крас-ГУ);

— научном семинаре кафедры прикладной математики (Красноярск, КГТУ);

— научном семинаре кафедры прикладной математики (Красноярск, СГАУ).

1.6. Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ. 1.7. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из 46 наименований; Общее число страниц диссертационной работы

— 93.

2. Содержание работы

В первой главе приводятся математические сведения, теоремы и формулы, на которых основана диссертационная работа. Глава состоит из трех параграфов.

Первый параграф содержит теоретические сведения о многомерном логарифмическом вычете, а также формулы для вычисления логарифмического вычета для различных систем нелинейных уравнений;

Во втором параграфе приведены алгоритмы исключения неизвестных. Он содержит классическую схему исключения неизвестных.

Далее рассматривается алгоритм упрощения полиномиальных идеалов

— алгоритм Бухбергера. Приведены определения идеала, понятие редукции полиномов, нормальной формы, стандартного базиса (базиса Гребнера), а также алгоритмы приведения множества полиномов к нормальной форме и базису Гребнера. С помощью этого алгоритма также можно свести исходную систему к треугольному виду. Алгоритм Бухбергера используется во второй главе при построении матрицы А— матрицы перехода, которая необходима в процессе вычисления степенных сумм координат корней рассматриваемой системы..

Во втором параграфе также приведен модифицированный метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета.

В третьем параграфе приведен обзор литературы по системам компьютерной алгебры и подробно описаны системы М^ИБ и МРШЕМРЯИКА, использовавшиеся для компьютерной реализации разработанных в диссертации алгоритмов.

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена нахождению результанта для невырожденных систем с помощью матрицы перехода.

В четвертом параграфе рассматривается вопрос о нахождении результанта и построении матрицы переходах помощью базисов Гребнера.

Рассматривается система алгебраических уравнений в С

где ¡} — полиномы степени к]. Пусть fj — Pj + Qj, где Р^ — старшая однородная часть а степень ~ строго меньше к^. Наряду с системой (1), рассматривается система

Будем говорить, что система (1) невырождена, если система (2) имеет только одно решение — точку 0. Мы будем иметь дело с многочленами /,•, коэффициенты которых зависят от каких-то параметров. В этом случае, система (1) считается невырожденной, если система (2) имеет одно решение для почти всех значений в пространстве параметров.

Известно, что невырожденные системы вида (1) характеризуются тем, что они имеют в пространстве С" конечное число корней и не имеют корней на бесконечной гиперплоскости П.

Число корней для невырожденных систем дает теорема Безу: число корней (1) с учетом их кратностей равно произведению степеней к\к2 • ••кп.

Если система вида (1) имеет конечное число корней в СРП, то дробно — линейным преобразованием она может быть сделана невырожденной, достаточно в СР" бесконечно удаленной плоскостью П сделать гиперплоскость, не содержащую корней системы (1). В СРП это можно сделать линейным преобразованием, а, следовательно, в С" дробно-линейным. Следовательно, по сути невырожденные системы алгебраических уравнений — это самые общие системы алгебраических уравнений с конечным числом корней.

Основной вопрос данного параграфа — исключение из (1) всех переменных, кроме одного, т.е. нахождение результанта Ш8(11) с помощью, формулы многомерного логарифмического вычета. По теореме Гильберта о корнях найдется матрица (которую назовем матрицей перехода)

составленная из однородных полиномов а,-*, такая, что

*=1

причем степени А1} можно выбирать, не превосходящие числа Ах+АггН-----1-

кп — п (по теореме Маколея) Для любого многочлена Я = Я(г) степени М

. г;__. Л к ■

. .. „ К

Наа<1еЬАА П <*,?

>,3=1

(-1)— ' ГНЕМ' = £ -^^-

П »0 = 1

Е к.,]<М ,,}=1

(4)

з-1 3

где а^ = ]Г] к,,}, /?, = ]Г) к,^, А-—якобиан системы (1),аОТ— линейный «=1 ' ¿'=1

функционал, сопоставляющий многочлену Лорана п р его свободный

член. Задаем фиксированный многочлен Я = Я(г) и вычисляем степенные суммы корней системы (1) Бд) — г = 1,... ,Ь, Ь — кхк2---к„. Далее вычисляем коэффициенты результанта ] = 1 по рекуррентным формулам Ньютона. Основная проблема в этом методе — нахождение элементов ау* матрицы перехода. Показано, что можно найти линейное представление полиномов базиса Гребнера С? через полиномы исходного базиса Г (и обратно). Пусть такое представление

п

9% = £¡зхИ> « = 1 •••"». (5)

3=1

найдено. Решим следующую задачу. Даны базис Гребнера <3 = дх. .~дт и некоторый полином / € ^tíeaí(F). Найти такие Их ■ • .Лт. что

/.= Ьх9х + • • • + Ьтдт.

Тогда получим

/=лх ГЕ/л)+•■••+*•» Ге/Л.1 ь-

(6)

Если выбрать / = г^3^,, исходный базис Р = .. .Рп(г), С = БГ^) (базис Гребнера Г)! тогда элементы матрицы А можно найти как коэффициенты при в представлении (см.выше). Этой проблеме посвящен пятый параграф. Опишем алгоритм вычисления матрицы А.

1. Вычисляем О — базис Гребнера по алгоритму Бухбергера. Пусть gi в О. В процессе вычисления gi строим 5 - полиномы 8{Р1,Р]} по формуле

где Pip, Р] — старшие члены полиномов Pi, Р], которые получаются перемножением всех переменных, каждая в степени, равной максимуму ее степеней в старших мономах и их коэффициентов, к — их наименьшее общее кратное. ут-.-тт---суть мономы, поэтому Б(И,Р]) линейная комбинация

"зр

полиномов Pi и Р] с полиномиальными коэффициентами и принадлежит идеалу, порожденному Р,- и Р].

Известно, что базис О является стандартным тогда и только тогда, когда для любой пары полиномов Б и д из множества О их 5-полином 5(Б, g) редуцируется к нулю относительно в.

Следовательно, достаточно вычислить все 8-полиномы и проверить, что все они редуцируются к нулю. Но если наш базис не стандартный, то это в точности потому, что один из этих 5 - полиномов не редуцируется к нулю. Поскольку его редукция является линейной комбинацией элементов множества в, можно добавить ее к О, не изменив при этом порождаемый идеал. После этого добавления редуцируется к нулю, но появляются

новые Б - полиномы, которые также нужно рассматривать. Бухбергером: доказано, что этот процесс всегда заканчивается.

При решении нашей задачи в процессе построения 8(Рь,Р0 вычисляем коэффициенты -р-— и записываем их в память: это X] из (5). Процесс повторяем, пока не получим стандартный базис.

2. Редуцируем по ставляем 5-полиномы

2. Редуцируем по модулю О — мономы к нулю. Для этого со-

%,^+ц _ Л к дг.+1

) - —Л - >

р хз

где к — наименьшее общее кратное (НОК). Затем все — суммируем. Вы-

Угр

числения проводим до тех пор, пока все 5-полиномы станут равны нулю. Накопленные суммы дадут значения Л,-.

3. Вычисляем = Очевидно, что на сложность алго-

•=1

ритма влияет порядок выбора пар полиномов, для которых строятся S-полиномы. В данном параграфе рассмотрены некоторые возможности его улучшения.

В пятом параграфе приведен алгоритм нахождения степенных сумм, реализующий формулу 4.

1. Задаем систему алгебраических уравнений :

(7)

Где полиномы Л имеют вид

/л*)= £ 4*а>

1НК*; -

(8)

а = (ai,...,an) — мультииндекс, га = а степень полинома

(deg/j) равна к:], т. е. существует коэффициент с а/ 0 с |а|| = /с/ (здесь и в дальнейшем ||а|| = «! + ...+ а„).

2. Задаем фиксированный полином например, z\, относительно которого будут вычисляться степенные суммы корней.

3. Рассматривая = Р$ + Qj, где /)' — старшая однородная часть //, а степень строго меньше к], задаем Р) и Qj.

4. Вычисляем элементы матрицы А по алгоритму Бухбергера, исходя из соотношения

<=1

5. Вычисляем функционал

Ш

»л

=1

п

7 = 1

„РМ+Р^Ъ

(9)

При этом сравниваем степени переменных, стоящих в числителе и в знаменателе выражения, стоящего под знаком функционала. Если эти степени совпадают, то выписываем полученный свободный член.

В силу линейности функционала, сопоставляющего многочлену Лорана его свободный член, степенная сумма SR корней системы относительно полинома

где К1С— степень полинома Я, есть

где Яа = г?«»,,..^«, — степенная сумма монома Следовательно, для вычисления Sk достаточно вычислить 5а, т.е. степенные суммы соответствующих мономов.

б. Полученный свободный член умножаем на константу

и суммируем, согласно заданным ограничениям.

В конце параграфа приведено описание МЛРЬЕ-программы, реализующей данный алгоритм. В шестом параграфе рассмотрены примеры нахождения матрицы Ли степенных сумм корней систем полиномиальных уравнений.

Работа алгоритма опробована на тестовых примерах (§6). Третья глава содержит формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций. Эти формулы позволяют найти суммы некоторых двойных рядов, неизвестные ранее.

В седьмом параграфе приводится постановка задачи и необходимые предварительные преобразования.

Рассматривается система функций /2(2),... ,/„(*), голоморфных

в окрестности точки и имеющих следующий

вид

ш = ^¿ = 1,2(ю)

где $ = (/?1,/?2, • • • — мультииндекс с целыми неотрицательными

координатами, г"'' = и |И| = + + $ =

3 = 1,2,..., п. Функции разлагаются в окрестности нуля в ряд Тейлора, сходящийся абсолютно и равномерно, вида

ял*) = Е <*а> (п)

Н«Н>0

где а = (а1,<*2,• • • ,<*п). "у ^ 0, аб2,аг° = г?1 •

В дальнейшем считается, что степени всех мономов (по совокупности переменных), входящих в Qj, строго больше, чем ^, = 1,2,..., п (||о|| =

«1 + «2 + • • •+ «п >

Рассмотрим циклы 7(г) = 7(гх, гг,... , г„), являющиеся остовами поликругов:

7(г)-{гб£Г :}г.1 = г„в = 1,2,...,п}, П > 0,... , г„ > 0. В некоторой достаточно малой окрестности нуля система

'/!(*)= 0,

<М2)=°> (12)

1/«(г)=0

может иметь корни только на координатных плоскостях {г : г, = 0}, в = 1,2,...,п.

Поэтому при достаточно малых г^-, определены интегралы вида

/ 1 У _ Г 1 ¿П А ан А ^

У У /2 /п'

чМ 7(»,1.',з.....г»)

где /?! ^ 0, 02 > 0,...,/?„ ^ 0, $ € 2, / = (1,1,..., 1). Обозначим

, __ 1 Г 1 ' р ~ (2т)" у ' / ■

1(г)

Заметим, что данный интеграл по виду является многомерным логарифмическим вычетом, но моном в отрицательной степени -¡¡щт не голоморфен в точке 0. Поэтому общая теорема о логарифмическом вычете к данному интегралу не применима и связь этого интеграла с какими-то степенными суммами корней системы необходимо доказывать.

В восьмом параграфе доказаны основные теоремы третьей главы.

Теорема 8.1. При сделанных предположениях, для функцииД вида (10), (11) справедливы формулы:

(-1)1И

[НК||/?||+тт(г», *,+...+*„)

ак(А-сга)

(/? + (ах + I)/?1 + ... + («„ + 1)/?")!

Е

||а|Кр||+тт(п,*!+...+*»)

(-1)11*113«

г=0

А • Яа

где к = ||/9+(«1 +1)01 +... + К +1)/Р\\, 0! = Л?•/%! • • •/?„!, Д — якобиан

д11/51! дои

системы (12), 0° = ЯХ1 Я¥ •' 'Я"*, -ц-р = дгр}д2Р* ...дг!>~ "™е«>

ЯЯ — линейный функционал, сопоставляющий ряду Лорана его свободный член.

Отметим, что в указанные в теореме 8.1 формулы входит лишь конечное число коэффициентов функций Я}{*)-

Следствие 8.1. Если все (Р = (0,0,... ,0), то интеграл

Е

1ИШ1

= Е

/?! в* к 4 '

■г=0

Далее рассмотренные интегралы связываются со степенными суммами корней системы (12). Для этого нужно сузить класс функций Сначала в качестве функций Я] (; = 1,2,... , п) берутся многочлены вида

ЯЛ') = Е <*а>

сем;

где М) — конечное множество мультииндексов такое, что при а Е Млшо-

ординаты ак ^ А: =1,2,____,п, кф]. (Но по прежнему предполагается,

что ||а|( > к] для всех а ё М}). Обозначим

Данное выражение является степенной суммой корней Z(k) системы (12), не лежащих на координатных плоскостях, но в отрицательной степени (либо степенной суммой от обратных величин корней). Число таких корней (с учетом их кратностей) обозначается через М.

Теорема 8.2. Для системы (12) с многочленами $ вида (10) и многочленами ()] вида (13) справедливы формулы-

= (-1)"<У)3+/,

(_1)1Н1+«гц1

т.е.

А Я"

(14)

В восьмом параграфе рассматривается более общая ситуация. Пусть функцииимеют вид

/]2)(*)

. 7 = 1,2, ...,п,

(15)

где /¿Х\г) и — целые функции в С", разлагающиеся в бесконечные

произведения (равномерно и абсолютно сходящиеся в С)

ОО 00

<=1

*=1

причем каждый из сомножителей имеет форму + (¡¿(г), а С}](г) — функции вида (13).

Для каждого набора индексов ¿1,... где ,]п € М, и каждого

набора чисел ¿1,... ,гп, где ¿1,... ,г'п равны 1 или 2, системы нелинейных алгебраических уравнений

■$;!(*) = О, $?(*) = о, /£">) = о,

(16)

имеют конечное число корней; не лежащих на координатных плоскостях.

Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях) составляют не более, чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом кратностей): 2(1), ¿(2),• • • |¿(1),----Будем предполагать, что ряд

1

~ к(оМг2(»)1--Фп(о1

(17)

сходится.

Обозначим через сгр+1 выражение-

Здесь /?1,... ,()п, как и прежде, неотрицательные целые числа, а знак £[ равен + 1, если в систему вида (16), корнем которой является .гц), входит

г2\

четное число функций , и равен —1, если в систему вида (16), корнем

которой является г^, входит нечетное число функций

Ряды, определяющие суммы <?р+1.сходятся, в силу условия, наложенного на ряд (17).

Для системы (12), составленной из функций вида (15), точки гщ являются корнями или особыми точками (полюсами).

Теорема 8.3. Для системы (12) с функциями вида (15) справедливы равенства

Отметим, что если являются целыми функциями, разлагающимися в бесконечные произведения, то они сами имеют вид (10) с функциями Qj(г) вида (11). Поэтому интегралы ^ вычисляются по теореме 8.1.

В девятом параграфе приведены некоторые приложения полученных формул к нахождению сумм двойных рядов.

Рассмотрим ряд

= £

7r2Ci + l)(fc2 + т2)га2(^ + 1) •

Представляя его как степенную сумму корней для некоторой системы трансцендентных уравнений, получаем утверждение. Следствие 9.1. Справедливы формулы

где A, Q uffl определены в теореме 8.1.

13

Рассмотрим, например, оь Вычисления дают. J/2 о) = а

. 56700

13

""ОД) =

113400

. Следовательно,

В последнем десятом параграфе приведена компьютерная. реализация полученных формул. Описаны алгоритмы, программы, приведены примеры.

Приложения содержат тексты программ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Потапова З.Е. Применение системы Maple для нахождения результанта системы алгебраических уравнений / З.Е.Потапова// Межвузовский сборник "Комплексный анализ и математическая физика". - Красноярск: КрасГУ. - 1998..-С. 163-169

2. Потапова З.Е. Алгоритм нахождения результанта системы нелинейных алгебраических уравнений с применением систем компьютерной алгебры / З.Е.Потапова З.Е.// Тезисы докладов международной конференции "Математические модели и методы их исследования". - Красноярск: ИВМ СО РАН. -1999. - С. 171-172

3. Потапова З.Е. Алгоритм нахождения результанта системы нелинейных алгебраических уравнений с применением систем компьютерной алгебры / З.Е.Потапова // Сборник трудов VIII международного НТС "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации". - Алушта. - 1999. - С. 394-397.

4. Быков В.И; Применение систем компьютерной алгебры в модифицированном методе исключения неизвестных/ В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова, З.Е.Потапова// Докл. РАН; - 2000. - Т. 370. - №4. -С.439-442.

5. Быков В.И. Компьютерная алгебра - многочленов в модифицированном методе исключения неизвестных / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова, З.Е.Потапова//Труды межд. конф. "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". - Т. 4. - Уфа: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. - 2000. - С. 162-166.

6. Потапова З.Е. Применение алгоритма построения базисов Гребнера в решении системы нелинейных алгебраических уравнений / З.Е.Потапова // Сборник трудов IX международного НТС "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации". - Алушта. -2000. - С: 102-104.

7. Потапова З.Е. Применение алгоритма построения базисов Гребнера в решении системы нелинейных алгебраических уравнений / З.Е.Потапова; // Сборник трудов XII международного НТС "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации". - Алушта. -2003. - С. 102-104.

8. Мысливец С.Г. Формулы для нахождения сумм некоторых двойных рядов / С.Г.Мысливец, З.Е.Потапова // Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". - Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 7. - С. 54-62.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ № 1212.2003.1.

Подписано в печать 14,05 2004 Формат 60x84/16. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1.25 Тираж 100 Заказ, 165

Издательский центр Красноярского государственного университета 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

»1285t

ВВЕДЕНИЕ

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

1.2. Цель диссертации

1.3. Методика исследования

1.4. Научная новизна

1.5. Апробация работы б

1.6. Публикации

1.7. Структура и объем работы

2. Содержание работы

Глава 1. Предварительная

1. Многомерный логарифмический вычет

2. Алгоритмы исключения неизвестных

2.1. Классическая схема исключения неизвестных

2.2. Алгоритм Бухбергера

2.3. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета

3. Системы компьютерной алгебры, используемые в диссертации

3.1. Система MAPLE

3.2. Система МАТЕМАТИКА

Глава 2. Нахождение результанта для невырожденных систем с помощью матрицы перехода

4. Базис Гребнера

5. Алгоритм нахождения степенных сумм

6. Примеры

Глава 3. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций

7. Постановка задачи

8. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций

9. Нахождение сумм некоторых двойных рядов

10. Компьютерная реализация полученных формул

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы.

Формула многомерного логарифмического вычета хорошо известна в теории функций многих комплексных переменных (см., например, [2, 20, 21]). Она дает интегральное представление суммы значений голоморфной функции в нулях некоторой системы голоморфных функций, заданных в областях пространства С". Интеграл в этой формуле должен быть вычислен по циклам; (остовам аналитических полиэдров) действительнойiразмерности п. Для достаточно широких; классов алгебраических отображений! известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в' систему (см., например, [2, 6, 20, 26, 27]). Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Тем более, что часто в системы входят параметры.

Первые попытки в создании таких алгоритмов - (и их компьютерная реализация) для ■ систем - с- выделенной главной^ частью, треугольных систем были даны в работах В:И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой [6, 5, 7, 17, 8, 26]. В данных работах были рассмотрены применение формулы многомерного логарифмического вычета; к исключению неизвестных из систем алгебраических уравнений. Этот модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный JLА.Айзенбергом в; [1], был затем развит в [6^26]. Но для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки отсутствовали.

Тематика диссертации также связана с активно развивающимся в последнее время новым направлением в математике — компьютерной алгеброй многочленов, лежащей на стыке алгебры, математического анализа; и программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состояний; Эти запросы инициируют 4 появление новых теоретических результатов в области анализа ■ систем нелинейных алгебраических уравнений. Внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения.

Нелинейные системы алгебраических уравнений возникают в различных областях знания. В частности, в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с полиномиальными. правыми частями, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в множествах определенного вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры многочленов: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корней; исключения части неизвестных из системы, построения систем треугольного вида, эквивалентных данной системе. Такие: вопросы, естественно, требуют развития методов работы с аналитическими выражениями на ЭВМ.

В частности в монографиях [6, 26] приведены многочисленные примеры; из химической кинетики, где работают алгоритмы вычисления многомерного логарифмического. вычета.

1.2. Цель диссертации.

Целью диссертации является: разработка алгоритмов исключения неизвестных из систем невырожденных алгебраических уравнений; основанных на формуле многомерного логарифмического вычета; получение формул для вычисления степенных сумм для некоторых типов систем мероморфных функций с бесконечным множеством корней, разработка алгоритмов вычисления таких степенных сумм; применение найденных формул к нахождению сумм некоторых, кратных рядов; компьютерная реализация в системах компьютерной алгебры MAPLE и МАТЕМАТИКА полученных алгоритмов.

1. Айзенберг J1.А. Об одной формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений/ Л.А.Айзенберг // Докл. АН СССР. -1977. - Т. 234. - № 3. - С. 505 — 508.

2. Айзенберг Л. А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков. Новосибирск: Наука, - 1979.

3. Артюхин Ю.П. Система МАТЕМАТИКА 4.0 и ее приложения в механике: Учебное пособие / Ю.П.Артюхин, Н.Г.Гурьянов, Л.М.Котляр. Изд-чо КамПИ. - 2002. - 415 с.

4. Вухбергер Б. Базисы; Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных. идеалов/ Б.Бухбергер // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергера В., Коллинза Дж., Jlooca Р. М.: Мир, - 1986.

5. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Модифицированный метод исключения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Докл. РАН. 1996. - Т. 350. - №4. - С. 443-445.

6. Быков В.И. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов / В.И.Быков, А;М;Кытманов,- М.З.'Лазман. Новосибирск: Наука, - 1991.

7. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Вычислительные технологии. Сб. научных трудов. Новосибирск. - 1995. - Т. 4. - № 10. - С. 79-88.

8. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков,A.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Доклады РАН. 1996. - Т. 350. М 4. - С. 443-446.

9. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. М.: Наука, - 1976.

10. Ван дер Варден Б.Л. Современная алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. М.-Л.: ОГИЗ, - 1947.

11. Ван Хюльзен Я. Системы компьютерной алгебры / Я.Ван Хюльзен, Ж.Калме // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергера Б., Коллинза Дж., Лооса Р. М.: Мир, - 1986.

12. Гердт В.П. Обзор: Алгоритмы, системы/и применения компьютерной алгебры /B.П.Гердт, Д.Ю.Григорьев // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергера Б., Коллинза Дж., Лооса Р. М.: Мир, - 1986.

13. Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра / Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ, Э.Турнье. М.: Мир, -1991.

14. Потехина М.В. Некоторые применения метода стандартного базиса / М.В.Потехина // Магистерская диссертация. Красноярск: КрасГУ. - 2002.

15. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные; функции! / А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. М.: Наука, 1981. - 800 е.20.?Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения / А.К.Цих. Новосибирск: Наука, -1989. - 240 с.

16. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В.Шабат. М: Наука, - 1979. - Т.2:

17. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии / И.Р.Шафаревич. М: Наука, -1979.

18. Adams. W.W— An; introduction- to- Groebner Bases- / W.W.Adams, P.Loustraunau; -American Mathematical Society. 1994.

19. Bajaj C. On the application of multi-equational resultants / C.Bajaj, T.Garrity, J.Warren // Tecnical Report CSD-TR-826, Departament of Computer Science. Purdue University.- 1988.

20. Bayer D.A. A system for computation in algebraic geometry ajid commutative algebra / D.A.Bayer, M.Stillman, M.Macaulay. User Manual. - 1991.

21. Bykov V.I. Elimination methods in polynomial computer algebra / V.I.Bykov, A.M.Kytmanov, M.Z.Lazman. Dodrecht-Boston-Basel: Kluwer Academic Publishers,,-1998.

22. Cattani E. Computing Multidimensional Resides / E.Cattani, A.Dickenstein, B.Sturmfels .// Preprint University of Buenos Aires. 1994.

23. Char B. MapleV Library Reference Manual / B.Char, K.Geddes et all.-Springer Verlag: Berlin, New York. 1991.

24. Char В. MapleV Language Reference Manual / B.Char, K.Geddes et all. Springer Verlag: Berlin, New York. - 1991.

25. Macauley F.S. Algebraic theory of modular systems / F.S.Macauley. Cambridge. - 1916.

26. Manocha D. MultiPolynomial Resultant Algorithms / D.Manocha, J.F.Canny // J. Symbolic Computation. - 1993. - №15. - P. 99-122.

27. Manocha D. Multipolynomial resultant algorithms. and linear algebra / D.Manocha, J.F.Canny // In Proceedings of International, Symposium on t Symbolic and Algebraic Computation. 1992. - P. 232-241.

28. Moller H.M. The construction of multivariate polynomials; with preassiqued zeros / H.M.Moller, B.Buchberger // Lect. Notes Comput. Sci. 1983. - V. 162. - P. 24-31.

29. Moses J. Solution; of Systems of Polynomial1 Equation by Elimination. / J.Moses // "Commun. of the ACM. 1966. - V. 9. - №8. - P. 634-637.

30. Winkler F. An algorithm for constructing canonical bases of polynomial ideals / F.Winkler, B.Buchberger, F.Lichtenberger, H.Rolleeetschk // ACM Trans. Math. Software. 1985. -V. 11.-№1.-P. 66-78.

31. Wolfram S. Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer / S.Wolfram . -Addison-Wesley. Reading-- MA.- 1991

32. Быков В.И. Применение систем компьютерной алгебры в модифицированном методе исключения неизвестных/ В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова, З.Б.Потапова // Докл. РАН. 2000. - Т. 370. - №4. - С. 439-442.

33. Мысливец С.Г. Формулы для нахождения сумм некоторых двойных рядов / С.Г.Мысливец, З.Б.Потапова // Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 7. - С. 54-62.