Алгоритмы вычисления многомерных степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

УДК 517+518.87

На правах рукописи

КАЧАЕВА ТАТЬЯНА ИВАНОВНА

АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СТЕПЕННЫХ СУММ КОРНЕЙ СИСТЕМ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2005

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Мысливец Симона Глебовна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Кытманов Александр Мечиславович

кандидат физико-математических наук, доцент

Осипов Николай Николаевич

Ведущая организация Институт программных систем РАН

г. Переславль-Залесский

Защита состоится "01" декабря 2005 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.098.03 в Красноярском государственном техническом университете по адресу 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан "31" октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

К. В. Сафонов

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы.

Алгоритмы нахождения степенных сумм корней систем нелинейных уравнений основываются на формуле многомерного логарифмического вычета. Эта формула дает интегральное представление для таких степенных сумм. Интеграл в ней вычисляется по циклам (остовам аналитических полиэдров) действительной размерности п. Для алгебраических отображений известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в систему.

На основе этих формул Л.А.Айзенбергом (1973) был предложен модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений, развитый затем в монографии В.И.Быкова, А.М.Кытманова и М.З.Лазмана (1991). Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Особенно для систем, содержащих параметры. Первые попытки создания таких алгоритмов (и их компьютерная реализация) для систем с выделенной главной частью, треугольных систем были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой. Для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки были осуществлены в диссертации З.Е.Потаповой (2004).

Для систем трансцендентных уравнений таких формул и алгоритмов известно не было. Это связано с тем, что системы трансцендентных функций, как правило, имеют бесконечное число корней и, тогда степенные суммы корней (в положительной степени) являются расходящимися рядами. Поэтому целесообразно рассмотреть степенные суммы корней в отрицательных степенях (т.е. степенные суммы от величин, обратных корням системы). К этим степенным суммам напрямую не применима формула логарифмического вычета, она нуждается в дополнительном обосновании. Более того, для систем трансцендентных функций не был разработан алгоритм исключения неизвестных. Заметим также, что попытки замены функций в системе отрезками ряда Тейлора (т.е. сведение к полиномам) не могут привести к хорошим результатам. Например, функция е2 не имеет нулей, а любой отрезок ряда Тейлора нули имеет.

Содержание диссертации также связано с активно развивающимся в последнее время новым направлением в вычислительной математике —

РОС. НАЦИОНд * БИБЛИОТЕК

компьютерной алгеброй, лежащей на стыке алгебры, математического анализа и программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состояний. Эти проблемы инициируют появление новых теоретических результатов в области анализа систем нелинейных уравнений. Внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения.

Нелинейные системы уравнений возникают в различных областях науки. В частности, в процессах, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в заданных областях и их локализации. Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных областях, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы. Такие вопросы, естественно, требуют развития методов работы с аналитическими выражениями на ЭВМ.

В частности в монографиях В.И.Быкова, А.М.Кытманова и М.З.Лазмана (1991, 1998). приведены многочисленные примеры из химической кинетики, где работают алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета.

1.2. Цель диссертации.

Целью диссертации является:

— получение формул для вычисления многомерных интегралов, связанных с многомерным логарифмическим вычетом;

— разработка алгоритмов для вычисления степенных сумм некоторых типов систем трансцендентных уравнений с бесконечным множеством корней;

— разработка алгоритмов исключения неизвестных из систем трансцендентных уравнений;

— компьютерная реализация полученных алгоритмов в системе МАТЕМАТИКА.

1.3. Методика исследования.

В основу исследования положены методы вычислительной математики, теории функций многих комплексных переменных, компьютерной алгебры.

1.4. Научная новизна.

Полученные формулы и алгоритмы являются новыми.

Основные результаты диссертации:

— получены формулы для вычисления многомерных интегралов, связанных с логарифмическим вычетом;

— разработаны алгоритмы вычисления степенных сумм для некоторых типов систем трансцендентных уравнений с бесконечным множеством корней;

— разработаны алгоритмы исключения неизвестных из систем трансцендентных уравнений;

— дана компьютерная реализация полученных алгоритмов в системе МАТЕМАТИКА.

1.5. Теоретическая и практическая ценность.

Результаты носят теоретический характер и могут быть применены в вычислительной математике и компьютерной алгебре.

1.6. Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на:

— III Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2004);

- Международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения "(Волгоград, 2004);

— Международной конференции по комплексному анализу (Краснодар, 2005);

— научном семинаре кафедры высшей математики (Красноярск, КрасГУ);

— научном семинаре кафедры прикладной математики (Красноярск, КГТУ).

1.7. Публикации.

По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

1.8. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения с текстами программ и списка литературы из 35 наименований. Общее число страниц диссертационной работы (вместе с приложениями) — 91.

2. Содержание работы

В первой главе приводятся математические сведения, теоремы и формулы, на которых основана диссертационная работа. Глава состоит из трех параграфов.

Первый параграф содержит теоретические сведения о многомерном логарифмическом вычете, а также формулы для вычисления степенных сумм корней некоторых систем нелинейных уравнений.

Во втором параграфе приведены алгоритмы исключения неизвестных. Он содержит классическую схему исключения неизвестных, а также — модифицированный метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета.

В третьем параграфе описана система МАТЕМАТИКА, использовавшаяся для компьютерной реализации разработанных в диссертации алгоритмов.

Вторая глава содержит формулы для вычисления многомерных интегралов, связанных с логарифмическим вычетом систем нелинейных функций. Показана связь этих формул со степенными суммами корней систем уравнений. Приводится схема исключения неизвестных из систем трансцендентных уравнений.

В четвертом параграфе приводится постановка задачи и необходимые предварительные преобразования.

Рассматривается система функций Л (г), /¿(г),..., голоморф-

ных в окрестности точки 0 € С", где 2 = . ■., гп), и имеющих следу-

ющий вид:

Ш = хРЦ,(г) + (},{г), ] = 1,2,..., п, (1)

где/З* = ... ,/?£) —- мультииндекс с целыми неотрицательными коор-

динатами, г?' = г? ■ ■ ■ & и || = . .+/% = Ь,] = 1,2,...,п.

Однородные многочлены имеют вид

3-1

= + ^«Л2)» 3 = • • • »">

«=1

а <р(г) — однородные многочлены степени (по совокупности переменных)

Ь -1.

Функции разлагаются в окрестности нуля в ряд Тейлора, сходящийся абсолютно и равномерно, вида

<?,(*)= ]Г а£*в, (2)

в

где а — (ai,аъ,- ■ ■ ,an); aó ^ O, a3 € Z; г° = zf1

В дальнейшем будем считать, что степени всех мономов (по совокупности переменных), входящих в Qj, строго больше, чем к3 + lj, j = 1,2,...,n (||а|| = ai + е*2 4- ... + а„ > kj + lj).

Обозначим также Sj(z) = fj(z) - z0' ■ zl¿, j = 1,... ,n. Рассмотрим циклы 7(г) = 7(^1, г2,... ,rn), являющиеся остовами поликругов:

7(г) = {z € С" : \zs\ = rs,s = 1,2,... ,п}, п > 0,...,г„ > 0. В некоторой достаточно малой окрестности нуля система

/х (*) = 0,

Л« = о, (3)

/„(*) = 0.

может иметь корни только на координатных плоскостях.

Из вида функций (1) следует, что на этих остовах 7 (г) при достаточно малых г определены интегралы

df _ f 1 dfx л dfo л д d/„

J f J

Jf} (2m)n / zP+

/х /2 ..... /»'

ТМ 7(п,гз,.. Г„)

где /?1 ^ 0, р2 ^ 0, р, € 2, 7 = (1,1,..., 1). По теореме Коши-

Пуанкаре, эти интегралы не зависят от г = (г1,..., гп). Обозначим их через

гР+1 f

■у(г)

Заметим, что данный интеграл по виду является многомерным логарифмическим вычетом, но моном в отрицательной степени я . не голоморфен в точке 0. Поэтому общая теорема о логарифмическом вычете не применима к данному интегралу и связь этого интеграла со степенными суммами корней системы необходимо обосновывать. Данному обоснованию посвящен следующий параграф.

В пятом параграфе доказаны основные теоремы второй главы.

Обозначим мультииндексы б* = + {] = 1,...,п), где е1 = (1,0,... ,0), ..еп = (0,... ,0,1).

Следующая теорема дает формулу для вычисления интеграла .¡¡з через коэффициенты исходной системы.

Теорема 5.1. При сделанных предположениях для функции /_,• вида (1), (2) справедлива формула:

Зр = С-1)"*"®*

аем

где А — якобиан системы (3); в" = • 5"2 ШТ — линейный

функционал, сопоставляющий ряду Лорана его свободный член. И наконец, параллелепипед М определяется неравенствами:

М = {а = {аи...,ап):0^а1 ^ Ц/?|| + п,0 < а2 ^ 0г + М||/?|| + п + 1),..., О < ап < 0„-1+1п-1(0„-2 + 1)+1п-11п-2(0„-з + 1) + . • -+1п-1 ■ ■ •М||0||+п+1)}.

Отметим, что в указанные в теореме 5.1 формулы входит лишь конечное число коэффициентов функций

Далее рассмотренные интегралы связываются со степенными суммами корней системы (3). Сначала возьмем в качестве функций Qj (.?' = 1,2,..., п) многочлены специального вида

д,(г) = £ аЬг*,

аем,

где М) — некоторые конечные множества мультииндексов, описанные в §5. Обозначим

" 1 <гц+1 = = ,01+1 ва+1 Ж+Т'

к= 1 (к) ' г2(к) ' ' ' 2п(к)

где N — число корней системы (3). Данное выражение является степенной суммой корней, не лежащих на координатных плоскостях, системы (3), но в отрицательной степени (либо степенной суммой от обратных величин корней).

Теорема 5.2. Для системы (3) с многочленами /, вида (1), удовлетворяющими вышеперечисленным условиям, справедлива формула

За = (-1ГЧ8+/,

т.е.

(4)

_А - 5°_

а0+1 = 53 (-1)М+»ЯЯ

Д

г0+(а1+1)Й1+.. +(ап+1)Л"

Далее рассматривается более общая ситуация. Пусть функции имеют вид

Л(1,(*)

= ТТ. 7 = 1,2,...,«, (5)

где и /^(г) — целые функции в С", разлагающиеся в бесконечные

произведения (равномерно и абсолютно сходящиеся в Сп).

оо оо

«=1 «=1 причем каждый из сомножителей удовлетворяет условиям теоремы 5.2.

Для каждого набора индексов ... ,]п, где и каждого

набора чисел ¿1,... ,гп, где ¿1,... ,г„ равны 1 или 2, системы нелинейных алгебраических уравнений

/£:}(«) = 0, /£>(*) = 0, ..., /£>(*) = 0, (6)

имеют конечное число корней, не лежащих на координатных плоскостях.

Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях) составляют не более, чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом кратностей): г^),- ■ ■,¿(1),- ■ ■■

Обозначим через а@+/ выражение

оо

еI

_у_

-А+х -02+1 Ж+1 ■

1=1 г1{1) 2(/) 2п(()

Здесь /?!,... ,/?„, как и прежде, неотрицательные целые числа, а знак равен +1, если в систему вида (6), корнем которой является гщ, входит

четное число функций и равен -1, если в систему вида (6), корнем

которой является гщ, входит нечетное число функций .

Для системы (3), составленной из функций вида (5), точки гщ являются корнями или особыми точками (полюсами).

Теорема 5.3. Для системы (3) с функциями вида (5) ряды ор+1 сходятся и справедливы равенства

30 = (~1)па0+1.

На основе данных формул в следующей главе приведены алгоритмы вычисления степенных сумм

В шестом параграфе приведены рекуррентные формулы Ньютона для целых и мероморфных функций одного комплексного переменного.

Пусть /(г) - целая функция на комплексной плоскости С конечного порядка роста р ^ 0. Предположим, что /(0) ф 0 и что ап {п = 1,2,...) — нули этой функции и их число бесконечно. По теореме Адамара справедливо разложение

/(*) = е^к(г) = ес<г>

°° / \

которое сходится равномерно и абсолютно на плоскости С. Где

— первичный множитель, р ^ р и степень многочлена <5, имеющего вид

М

71=0

не превосходит р. Числовой ряд

оо 1

^ а*

п=1

абсолютно сходится при к > р, а значит и при к > р.

В дальнейшем сумму данного ряда будем обозначать через Як, тогда числа 8к являются степенными суммами нулей функции / в отрицательной степени.

Рассмотрим теперь случай, когда р = [р].

Теорема 6.3. Пусть / — целая функция конечного порядка р, имеющая разложение Тейлора вида

/(*) = ! + х>„.л

71—1

тогда справедливы следующие рекуррентные формулы к-1

кск = ^с3{к- ¿)дк-} при 1 ^ к ^ р, о

и

к—р—1

к-1

У^ с^8к-]+кск- с}(к~з)<1к-] при к > р.

3=о

}-к-р

Если /(г) — мероморфная функция порядка р и /(0) ф 0,оо, то справедливо аналогичное разложение Адамара. А именно,

Данные разложения сходятся абсолютно и равномерно в С, целые числа р, д ^ р, степень многочлена С} не превосходит р, а числа Ъп являются полюсами мероморфной функции /.

Для мероморфной функции / обозначим через сумму ряда

Как известно, данный ряд сходится, если к > тах(р, д) и, следовательно, если к > р.

Для мероморфной функции справедлива теорема 6.4, аналогичная теореме 6.3.

В конце параграфа приводятся аналоги формул Варинга для целых и мероморфных функций.

В седьмом параграфе описывается метод исключения неизвестных из систем (3) трансцендентных функций вида (5).

Зафиксируем мультииндекс /3. Поскольку в ряде для (Т/з+/ знак равен ±1, то этот ряд представляется в виде

где

где и3 есть произведение координат корня г^ вида

П (0 г2 (/) гп(1) '

"О '

в который входит четное число функций , а ■ш] есть произведение того

же вида, в которое входит нечетное число функций . Конечно, нумерация корней отличается от нумерации чисел щ и 1и}. Определим бесконечные произведения

h(t)

-ПК). «>-пЮ-

В этих бесконечных произведениях не исключаются случаи, когда одно из данных произведений конечно или вообще отсутствует.

Отношение этих функций определяет тогда мероморфную функцию одного комплексного переменного

Нулями и полюсами данной функции являются числа и} и uij соответственно.

Рассмотрим для мероморфной функции F(t) степенные суммы вида

ОО J ОО J

' II™ '' 71)"

Sfc

f—' Ul i ttfj

j=l 3 j=l 1

Тогда очевидно, что si = 073+7, а остальные степенные суммы

Sk = <70(к)+1,

где мультииндекс /?(fc) = ((ft + 1)к - 1, (/32 + l)k - 1,..., (/?„ + l)fc - 1).

По теореме 5.3 можно найти все эти степенные суммы, не находя самих корней системы (3).

Остается найти саму мероморфную функцию F(t). Поскольку F(0) = 1, то разложение дайной функции по формуле Тейлора в окрестности нуля можно записать в виде

оо

F(t) = l + Ylcktk.

к=1

Для нахождения коэффициентов с* можно применить рекуррентные формулы Ньютона из теорем 6.3, 6.4 или формулы Варинга. В этих формулах р = 0, а все q} = 0.

Таким образом производится исключение неизвестных из системы (3) относительно переменной t = zf1+1 • z%2+1 ■ ■ ■ z@n+l (теорема 7.1).

В восьмом параграфе, используя теоремы 5.1 и 5.3, находятся суммы некоторых тройных рядов. В качестве примера приведем один из результатов.

СЛЕДСТВИЕ 8.1. Справедлива формула

Похожие ряды были рассмотрены Н.Н.Осиповым (2004).

Третья глава содержит алгоритмы, основанные на результатах второй главы, и их компьютерную реализацию в системе МАТЕМАТИКА.

В §9 приводится компьютерная реализация формул, рассмотренных в теоремах 1.4 и 1.5 из статьи А.М.Кытманова, З.Е.Потаповой (2005). Написанная программа позволяет рассматривать системы алгебраических уравнений с буквенными коэффициентами, в отличие от программы, приведенной в диссертации З.Е.Потаповой. Приведены примеры систем уравнений, демонстрирующие работу данной программы.

В десятом параграфе приводится алгоритм вычисления степенных сумм, основанный на теоремах 5.1 - 5.3. Он заключается в следующем.

1. Задаем систему трансцендентных функций ¡\(г), /2(2),..., /п(г) из §5, имеющих вид:

ординатами.

2. Формируем множество мультииндексов (01,..., а„) из параллелепипеда М, определяемого неравенствами:

М={а=(а1,...,ап):0^а1<: ||/9|| +п, оа ^ & + кШ\ + п + 1),..., 0 < ап < ^п_1+/п_1(/Зп_2+1)+/„_1/„_2(/3„_з+1)+. - .+/„-1 • • -МНЯН-тИ-!)}.

3. Находим в параллелепипеде М наибольшие значения а3 по рекуррентной формуле «1 = ||/3|| + п, а3 = + 1(0^-1 + 1). Используя найденные значения, находим максимальную степень знаменателя в формуле из теоремы 5.1. Разлагаем функции /_, по формуле Тейлора до этой степени.

4. Вычисляем функционал

оо

к,т, я=1

£(г) = + 3 = 1.2, • • • ,п,

где /З3 = (/?1,/?2, • • • ,/?£) — мультииндекс с целыми неотрицательными ко-

Ж

Д-Я"

¡Я

где Д — якобиан исходной системы функций и 83 = ßi +eJ (j = 1,..., тг), следующим образом: выбираем только коэффициенты выражения

Д • Sa,

стоящие при степенях

5. Суммируем полученные коэффициенты, согласно формуле

Jß = Е (-i)l|Q|12«

а€М

и вычисляем степенные суммы

aß+I = (-1 )nJß.

Далее дана компьютерная реализация рассмотренного алгоритма. Она позволяет проводить вычисления не только для полиномов, но и для транс-цендентых функций. Ее работа продемонстрирована на конкретных системах уравнений. С помощью одного из них можно находить суммы тройных рядов, аналогичных ряду, рассмотренному в следствии 8.1.

В последнем одиннадцатом параграфе приводится компьютерная реализация метода исключения неизвестных из систем трансцендентных функций, основанного на формулах Ньютона из §7 (теоремы 7.3, 7.4) и формулах Варинга. Этот метод позволяет находить коэффициенты разложения Тейлора мероморфпой функции одного комплексного переменного, корнями которой являются произвольные произведения координат корней исходной системы. Приведены примеры работы программ для систем, содержащихся в предыдущих двух параграфах.

В конце диссертации в качестве приложения приведены тексты программ, рассмотренных в §§9-11.

Публикации по теме диссертации

1. Качаева Т.И. О нахождении сумм некоторых кратных рядов / Т.И.Качаева // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. - 2004. - Вып. 1. - С. 105-109.

2. Качаева Т.И. Вычисление сумм некоторых тройных рядов / Т.И.Качаева // Тезисы III Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск: ИВМ СОРАН. - 2004. - С. 36.

_А ■ S°_'

z0+(cn + l)il + . +(<*„ + l)i" '

3. Качаева Т.И. О рекуррентных формулах Ньютона для целых и ме-роморфных функций конечного порядка / Т.И.Качаева // Вестник Крас-ГУ. Серия физ.мат науки. - 2004. - Вып. 3. - С. 68-72.

4. Качаева Т.И. Об исключении неизвестных из некоторых систем ме-роморфных функций / Т.И.Качаева // Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". - Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 8. - С. 65-71.

5. Качаева Т.И. О формулах нахождения степенных сумм корней систем уравнение, состоящих из мероморфных функций, и некоторых их приложениях / Т.И.Качаева, С.Г.Мысливец // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. - 2005. - Вып. 1. - С. 125-135.

6. Качаева Т.И. Нахождение степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений / Т.И.Качаева, С.Г.Мысливец // Тезисы международной конференции по комплексному анализу. - Краснодар: Кубанский госуниверситет. - 2005. - С. 65-66.

^¡Хал

Подписано в печать Ф Х,0°Ь Р. Формат 60x84/16. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тираж Заказ ЛЮ.

Издательский центр Красноярского государственного университета 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

о 20 6 58

»

РНБ Русский фонд

2006^4 21098

ВВЕДЕНИЕ

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

1.2. Цель диссертации

1.3. Методика исследования

1.4. Научная новизна

1.5. Практическая и теоретическая ценность

1.6. Апробация работы

1.7. Публикации

1.8. Структура и объем работы

2. Содержание работы

Глава 1. Предварительная

1. Многомерный логарифмический вычет

2. Алгоритмы исключения неизвестных

2.1. Классическая схема исключения неизвестных

2.2. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета

3. Система компьютерной алгебры МАТЕМАТИКА

Глава 2. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений

4. Постановка задачи

5. Нахождение степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений

6. Рекуррентные формулы Ньютона для трансцендентных функций одного комплексного переменного

7. Исключение неизвестных из систем мероморфных функций

8. Нахождение сумм некоторых кратных рядов

Глава 3. Компьютерная реализация полученных алгоритмов

9. Компьютерная реализация для систем с выделенной младшей однородной частью

9.1. Алгоритм

9.2. Описание программы

9.3. Примеры

10. Компьютерная реализация для систем трансцендентных функций с младшей однородной частью треугольного вида

10.1. Алгоритм

10.2. Описание программы

10.3. Примеры

11. Компьютерная реализация метода исключения переменных

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы. Алгоритмы нахождения степенных сумм корней систем нелинейных уравнений основываются на формуле многомерного логарифмического вычета (см., например, [2, 19, 20]). Эта формула дает интегральное представление для таких степенных сумм. Интеграл в ней вычисляется по циклам (остовам аналитических полиэдров) действительной размерности п. Для алгебраических отображений известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в систему (см., например, [2, 5, 19, 23]).

На основе этих формул Л.А.Айзенбергом [1] был предложен модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений, развитый затем в [5, 23]. Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Особенно для систем, содержащих параметры. Первые попытки создания таких алгоритмов (и их компьютерная реализация) для систем с выделенной главной частью, треугольных систем были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой [4-7, 23]. Для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки были осуществлены в [8, 16].

Для систем трансцендентных уравнений таких формул и алгоритмов известно не было. Это связано с тем, что системы трансцендентных функций, как правило, имеют бесконечное число корней и, тогда степенные суммы корней (в положительной степени) являются расходящимися рядами. Поэтому целесообразно рассмотреть степенные суммы корней в отрицательных степенях (т.е. степенные суммы от величин, обратных корням системы). К этим степенным суммам напрямую не применима формула логарифмического вычета, она нуждается в дополнительном обосновании. Более того, для систем трансцендентных функций не был разработан алгоритм исключения неизвестных. Заметим также, что попытки замены функций в системе отрезками ряда Тейлора (т.е. сведение к полиномам) не могут привести к хорошим результатам. Например, функция ег не имеет нулей, а любой отрезок ряда Тейлора нули имеет.

Содержание диссертации также связано с активно развивающимся в последнее время новым направлением в вычислительной математике — компьютерной алгеброй, лежащей на стыке алгебры, математического анализа и программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состояний. Эти проблемы инициируют появление новых теоретических результатов в области анализа систем нелинейных уравнений. Внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения.

Нелинейные системы уравнений возникают в различных областях науки. В частности, в процессах, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в заданных областях и их локализации. Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных областях, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы. Такие вопросы, естественно, требуют развития методов работы с аналитическими выражениями на ЭВМ.

В частности в монографиях [5, 23] приведены многочисленные примеры из химической кинетики, где работают алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета.

1.2. Цель диссертации.

Целью диссертации является: получение формул для вычисления многомерных интегралов, связанных с многомерным логарифмическим вычетом; разработка алгоритмов для вычисления степенных сумм некоторых типов систем трансцендентных уравнений с бесконечным множеством корней; разработка алгоритмов исключения неизвестных из систем трансцендентных уравнений; компьютерная реализация полученных алгоритмов в системе МАТЕМАТИКА.

1. Айзенберг J1.A. Об одной формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений/ Л.А.Айзенберг // Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 234. - №3. - С. 505 -508.

2. Айзенберг Л.А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков. Новосибирск: Наука, - 1979.

3. Артюхин Ю.П. Система МАТЕМАТИКА 4.0 и ее приложения в механике: Учебное пособие / Ю.П.Артюхин, Н.Г.Гурьянов, Л.М.Котляр. -Изд-во КамПИ. 2002. - 415 с.

4. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Модифицированный метод исключения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Докл. РАН. 1996. - Т. 350. - №4. - С. 443-445.

5. Быков В.И. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов / В.И.Быков, А.М.Кытманов, М.З.Лазман. Новосибирск: Наука, - 1991.

6. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Вычислительные технологии. Сб. научных трудов. Новосибирск. - 1995. - Т. 4. - №10. - С. 79-88.

7. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Доклады РАН. 1996. -Т. 350. № 4. - С. 443-446.

8. Быков В.И. Применение систем компьютерной алгебры в модифицированном методе исключения неизвестных/ В.И.Быков, А.М.Кытманов,Т.А.Осетрова, З.Е.Потапова // Докл. РАН. 2000. - Т. 370. - №4. -С. 439-442.

9. Ван дер Варден B.J1. Алгебра / Б.Л.Ван дер Вардец. М.: Наука, - 1976.

10. Ван дер Варден Б.Л. Современная алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. -М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

11. Ермилов И.В. Вычисление сумм и улучшение сходимости числовых рядов / И.В.Ермилов // Исследования по комплексному анализу. Красноярск: КрасГУ. - 1989. - С. 42-52.

12. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. М.: Наука, - 1971.

13. Кытманов A.M. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций/А.М.Кытманов, З.Е.Потапова // Известия вузов. Математика. 2005. - № 8. - С. 39-48.

14. Мысливец С.Г. Формулы для нахождения сумм некоторых двойных рядов / С.Г.Мысливец, З.Е.Потапова // Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 7. -С. 54-62.

15. Осипов Н.Н. Об одном элементарном приеме суммирования рядов/ Н.Н.Осипов// Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 7. - С. 121-123.

16. Потапова З.Е. Алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета и некоторые их приложения/ З.Е.Потапова// Дисс. канд. физ.-мат. наук. Красноярск: КрасГУ. - 2004.

17. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. М.: Наука, 1981. - 800 с.

18. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

19. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения / А.К.Цих. Новосибирск: Наука, - 1989. - 240 с.

20. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В.Шабат. М: Наука, - 1979. - Т.2.

21. Bajaj С. On the application of multi-equational resultants / C.Bajaj, T.Garrity, J.Warren // Tecnical Report CSD-TR-826, Departament of Computer Science. Purdue University. - 1988.

22. Bayer D. A. A system for computation in algebraic geometry and commutative algebra / D.A.Bayer, M.Stillman, M.Macaulay. User Manual. - 1991.

23. Bykov V.I. Elimination methods in polynomial computer algebra / V.I.Bykov, A.M.Kytmanov, M.Z.Lazman. Dodrecht-Boston-Basel: Kluwer Academic Publishers, - 1998.

24. Macauley F.S. Algebraic theory of modular systems / F.S.Macauley. -Cambridge. 1916.

25. Manocha D. MultiPolynomial Resultant Algorithms / D.Manocha, J.F.Canny // J. Symbolic Computation. 1993. - №15. - P. 99-122.

26. Manocha D. Multipolynomial resultant algorithms and linear algebra / D.Manocha, J.F.Canny //In Proceedings of International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. 1992. - P. 232-241.

27. Moller H.M. The construction of multivariate polynomials with preassiqued zeros / H.M.Moller, B.Buchberger // Lect. Notes Comput. Sci. 1983. - V. 162. - P. 24-31.

28. Moses J. Solution of Systems of Polynomial Equation by Elimination / J.Moses // Commun. of the ACM. 1966. - V. 9. - №8. - P. 634-637.

29. Wolfram S. Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer / S.Wolfram . Addison-Wesley. - Reading. - MA. - 1991.

30. Качаева Т.И. О нахождении сумм некоторых кратных рядов / Т.И.Качаева // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. 2004. - Вып. 1. - С. 105-109.

31. Качаева Т.И. Вычисление сумм некоторых тройных рядов / Т.И.Качаева // Тезисы III Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск: ИВМ СОРАН. 2004. - С. 36.

32. Качаева Т.И. О рекуррентных формулах Ньютона для целых и меро-морфных функций конечного порядка / Т.И.Качаева // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. 2004. - Вып. 3. - С. 68-72.

33. Качаева Т.И. Об исключении неизвестных из некоторых систем меро-морфных функций / Т.И.Качаева // Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 8. -С. 65-71.

34. Качаева Т.И. О формулах нахождения степенных сумм корней систем уравнение, состоящих из мероморфных функций, и некоторых их приложениях / Т.И.Качаева, С.Г.Мысливец // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. 2005. - Вып. 1. - С. 125-135.

35. Качаева Т.И. Нахождение степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений / Т.И.Качаева, С.Г.Мысливец // Тезисы международной конференции по комплексному анализу. Краснодар: Кубанский госуниверситет. - 2005. - С. 65-66.