Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка с алгебраическими подвижными особыми точками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОДВИЖНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ УРАВНЕНИЯ (0.2D

1.1. Постановка задачи и вспомогательное преобразование.

1.2. Об уравнениях (I.I.I), не имеющих однопарамет-рического семейства алгеброидных решений.

1.3. Об уравнениях СI.I.X), имеющих в точке одно-параметрическое семейство алгеброидных решений.

1.4. Общий случай.

Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОДВИЖНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ УРАВНЕНИЯ (0.22)

2.1. Постановка задачи.

2.2. Решения со свойством (А).

2.3. Формальные решения со свойством (В).

2.4. Случай р = 2 , Сасг) f 0.

2.5. Случай р = .2 , Cocz). = 0.

2.6. Общий случай.

Многие задачи естествознания и техники в плане их теоретического обоснования тесно связаны.с дифференциальными уравнениями, в том числе и с обыкновенными.

Основной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является задача нахождения всех решений данного уравнения. В простейших случаях все решения удается выразить через элементарные функции или представить в виде квадратур от элементарных функций. Однако такие случаи встречаются крайне редко. И до настоящего.времени решения многих дифференциальных уравнений не найдены, что сдерживает развитие ряда научных и технических задач из области исследования процессов, описываемых этими уравнениями. С другой стороны, и чисто теоретические исследования, выполненные в рамках дифференциальных уравнений, способствуют решению проблем из других отраслей науки и техники.

-В конце прошлого века работы Э.Пикара и С.Ли привели к более глубокому пониманию структуры дифференциальных уравнений, позволили их классифицировать, предвидеть случаи, когда они интегрируются в квадратурах, установить ряд свойств, которые до того казались не связанными друг с другом. Все это способствовало возникновению в теории дифференциальных уравнений задачи изучения свойств функцийг определяемых дифференциальными-уравнениями, непосредственно по виду заданного уравнения независимо от интегрируемости последнего в элементарных функциях или.квадратурах. Такой подход.характерен как для теории-устойчивости, основы которой заложил A.M.Ляпунов в работе "Общая задача об устойчивости движения", так и для качественной теории дифференциальных уравнений, развитие которой-во многом определила работа А.Пуанкаре "О.едивых, определяемых дифференциальными уравнениями". Этот же подход характерен и для аналитической теории дифференциальных уравнений.

Основная теорема аналитической теории дифференциальных уравнений - теорема Коши - при весьма общих предположениях гарантирует существование и единственность голоморфного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. Для доказательства этой теоремы Коши разработал несколько методов. В частности, для комплексной плоскости он применил разложение решения в ряд и метод мажорант. Голоморфное решение, построенное по Коши, можно рассматривать как элемент аналитической функции и, осуществив всевозможные аналитические продолжения этого элемента, получить полную аналитическую функцию (по Вейерштрассу). Эту функцию и можно рассматривать как частное решение дифференциального уравнения, продолженное или на всю комплексную плоскость, или на максимально возможную естественную область существования решения. Однако построение полной аналитической функции крайне сложно. Метод же Коши не позволяет изучить особые-точки.решения, конфигурация и структура.которых на плоскости по сути и определяет решение.

Вопрос о поведении решений дифференциальных уравнений в окрестности особых точек впервые был поставлен Врио и Буке [51], считавшими особыми такие точки, в которых нарушается хотя бы одно из условий теоремы Коши существования и единственности решения. Фукс же [56 J особые точки решений дифференциальных уравнений разделил на два класса.• неподвижные и подвижные. К неподвижным он относил те особые точки, которые можно определить по виду самого уравнения, например, особые^точки коэффициентов, а к подвижным -особые точки решения, конфигурация и характер которых меняются при переходе от одного частного решения к другому, т.е. зависят от начальных условий. В настоящее время используется.термин "особые точки дифференциальных уравнений", который включает в себя как подвижные, так и неподвижные особые точки. Разделение же особых точек на подвижные и неподвижные носит условный характер, на что обратил внимание, в частности, и Н.П.Еругин [17]. В дальнейшем, придерживаясь классификации Фукса, в каждом случае будем указывать те точки комплексной плоскости, которые отнесем к подвижным.

Если уравнения имеют подвижные особые точки, то задача определения числа и конфигурации особых точек каждого частного решения становится очень сложной, поскольку неизвестно какие из частных решений имеют особые точки, сколько их у данного решения, как они расположены на плоскости, какова структура решения в окрестности каждой особой точки. Это обстоятельство подчеркивалось неодно!фат-но еще Пикаром, Пуанкаре, Пенлеве и другими. Поэтому первые шаги в аналитической теории дифференциальных уравнений были сделаны в решении задачи выделения уравнений, не имеющих вообще подвижных особых точек. Такими уравнениями оказались в основном линейные, и те*-ория линейных дифференциальных уравнений в настоящее время развита достаточно широко.

Нелинейные дифференциальные уравнения, как правило, имеют подвижные особые точки. До сих пор нет достаточно эффективных способов определения числа и конфигурации подвижных особых точек частных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Эта задача не решена в общем виде даже для самых простых по виду уравнений, на/ л пример, для приведенного уравнения Риккати: ^ =х .+ а сл) .

Одной из основных задач аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений [Т7, В] является задача построения классов уравнений с . определенными, наперед заданными свойствами решений в окрестности подвижных особых точек, например, решения имеют только однозначные особенности, или только алгебраические и т.д., т.е. ставится задача классификации дифференциальных уравнений по характеру их подвижных особых точек.

В теории нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка впервые вопрос об исследовании особых точек уравнений был поставлен Врио и Буке [51 - 53]. Им же принадлежит первая, хотя и несовершенная, классификация уравнений и их решений по характеру особых точек самого уравнения. При исследовании алгебраического дифференциального уравнения вида Р ж) - О они нашли случаи, когда все решения есть однозначные функции. Более общую задачу для такого уравнения решил Эрмит £б1], выделив при этом уравнения, ре^ шения которых не имеют критических подвижных особых точек. Для поt линомиального относительно ос и ое уравнения

0.1) с аналитическими по Z коэффициентами Фукс £55, 5б] установил условия отсутствия в решениях подвижных алгебраических особых точек. В настоящее время уравнения вида (0,1) с однозначными подвижными особыми точками называются уравнениями класса Фукса.

Однако исследования фукса не исключали возможности существования в решениях трансцендентных особенностей или точек неопределенности. Относительно уравнения (0.1) -Пенлеве [84] доказал теорему, устанавливающую, что эти уравнения не имеют подвижных неалгебраических особенностей, чем и устранил.пробелы в исследованиях Фукса. Теорема Пенлеве вносит, большие, упрощения в.аналитическую теорию нелинейных дифференциальных, уравнений первого порядка, которая также развита достаточно .глубоко.

Для нелинейных- дифференциальных уравнений второго порядка подобной общей теоремы не может существовать, так как среди уравнений вида

Oc" = Rcx',x>x) (0.2) есть уравнения £80, 86, 89] с подвижными особыми точками типа существенно особых. Например, в [80] приведено уравнение , j \ / vex ~(-1 + с)ое с общим решением х-Сся-^У (С^П) t и точка х^а есть подвижная критическая существенно особая точка.

Задачу классификации дифференциальных уравнений по характеру их подвижных особых точек можно понимать и так. Пусть задано множество дифференциальных уравнений. Выделить из этого множества . все уравнения, подвижные особые точки которых обладают определенными свойствами. Множества могут быть самой различной природы, например, множество уравнений вида (0.2) описывается рациональной функцией R ck'^z) переменных, ^ и эе. с коэффициентами по z из класса аналитических функций.

Среди различных задач, которые можно поставить для каждого достаточно широкого множества дифференциальных уравнений второго порядка, можно выделить следующие:

1. Построить подмножество ^ уравнений без подвижных особых точек.

2. Построить подмножество ^ уравнений с неподвижными критическими особыми точками.

3. Построить подмножество с уравнений с неподвижными трансцендентными и существенно особыми точками.

4. Построить подмножество cr уравнений с неподвижными существенно особыми точками.

В дальнейшем подмножества м будем называть уравнениями класса М»

Для уравнений (0.2) класс А , как отмечалось выше, включает все линейные уравнения, однако линейными уравнениями не исчерпывается.

Особые точки аналитических функций разделяют обычно [I, 10, 62] на однозначные и многозначные, изолированные и неизолированные, и простейшими из них считаются изолированные однозначные особые точки типа полюсов. Поэтому естественно, что первые исследования в аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка были направлены на то, чтобы построить классы уравнений с наиболее простыми подвижными особенностями. В работах Пи-кара /87, 88], Пенлеве [82, 83 , 85], Гарнье [59, 60], Гамбье [57, 58] и других авторов была решена задача построения класса В уравнений вида (0.2), если R (vz'^a.)- рациональная относительно %' их функция с голоморфными в некоторой области коэффициентами по <2 . (Эту задачу позднее стали называть задачей Пенлеве.) Задача Пенлеве разделяется на две части. Используя теорему Пуанкаре о разложении решений дифференциальных уравнений лю.степеням малого параметра, Пенлеве разработал метод (метод малого параметра Пенлеве) отсеивания тех уравнений вида (0.2), которые заведомо имели неоднозначные подвижные особые точки, что позволило решить первую часть задачи, установив.тем самым необходимые условия принадлежности уравнений вида (0.2) классу В. Вторая часть задачи состояла в доказательстве отсутствия в выделенных уравнениях критических подвижных особых точек. Кроме того, было доказано, что выделенные уравнения не содержат трансцендентных и существенно особых точек. Таким образом, была установлена и достаточность построенной системы условий принадлежности уравнений вида (0.2) классу В .

Полученные при решении задачи Пенлеве результаты можно сформулировать следующим образом:

Класс 8 уравнений вида (0.2) содержит 50 канонических уравнений; шесть из них (неприводимые уравнения Пенлеве) порождают, вообще говоря,, новые, трансцендентные функции (трансцендентные Пенлеве), остальные уравнения приводятся либо к линейным уравнениям, либо к уравнениям первого порядка класса Фукса, либо к шести неприводимым уравнениям Пенлеве.

Подробное исследование неприводимых уравнений Пенлеве проведено в работах [12, 13, 18 , 26 - 29, 43 - Чб], а в [12] дана подробная библиография.

Б последнее время задача Пенлеве распространяется и на уравнения более высокого порядка. В частности, эта задача для уравнения четвертого порядка решается в [30],

Задача Пенлеве связана с однозначными особыми точками типа полюсов. Следующими по сложности можно считать алгебраические особые точки, которые определим, следуя [10, 62].

Определение I. Алгебраической особой точкой аналитической функции называется такая точка в о1фестности которой разложение функции в ряд имеет вид во H + otх = X as * (0.3) где oL - целое и fi - натуральное числа, и ряд абсолютно и равномерно сходится в кольце 0</x-xoj< сГ t если d<0.t и в круге /?-•?<>/<, если 0 . В случае <1*0 особая точка з0 называется критической алгебраической точкой; в случае Л<0 - критическим полюсом.

Заметим, что при fi -i особая точка z0 - однозначный (простой) полюс, если JL<Ot и - точка голоморфности, если J-ъО.

В качестве одного из возможных обобщений задачи Пенлеве можно рассматривать задачу выделения из множества уравнений вида (0.2) таких уравнений, подвижные особые точки которых исчерпывались бы алгебраическими, т.е. построить класс б уравнений вида (0.2).

В дальнейшем, как обычно (см., например, [10 J или [62]) будем использовать .

Определение 2. Аналитическая функция, имеющая в некоторой области только алгебраические особые точки, называется алгеброидной в этой области. Если же область совпадает с расширенной комплексной плоскостью, то аналитическая функция является алгебраической.

Естественно начинать построение класса С уравнений вида (0.2) с выделения уравнений, имеющих алгебраические подвижные особые точки в некоторой области. Такой подход характерен, например, для работы [00], в которой для каждого из уравнений вида

Q Ы, о<?> s) при условии, что Рсж^я) и - полиномы относительно с аналитическими по z коэффициентами, устанавливается существование алгеброидных решений. Однако в [80j не рассматривается вопрос: существуют ли вместе с алгеброидными решениями и неалгеброидные, или же алгеброидными решениями исчерпываются все решения ? Частным случаем уравнений (0.4) являются уравнения

И<7 уу,-/

Z А/*.л)(х') \ (0.5)

- /=0 6 где рациональные по х. функции с аналитическими по

Л коэффициентами. Среди уравнений (0.5) при w^i содержатся все уравнения Пенлеве. Если же уравнения вида х"~А0(ж,а)х' + А^С*,*) (0. б) не приводятся ни к одному из 50 канонических уравнений, то подвижные особые точки их могут быть как алгебраическими, так и неалгебраическими. Например, в случае полиномиальных по ос коэффициентов (/=OJ,£) в [б, 7] построены неалгеброидные решения. о

Для множества уравнений вида (0.2) построение класса С фактически только началось. Действительно, в [2 - 4] установлено, что все решения уравнения х"^А, - Z. (0.7)

Г-о * в окрестности подвижной особой точки зг0 обладают свойством: X -* сю J -ж'-* ОО при Z -ЙГ0 , а точка za является или алгебраической особой точкой, или ряд, описывающий решение в окрестности особой точки , содержит

Б случае соответствующее уравнение подробно исследовалось в [21 - 23J, где были получены условия алгеброидности подвижных особых точек. Частный случай уравнения (0.6) - уравнение Льенара эе" 4 х'JСх) f = рсх) изучался в /94, 95]. Этими случаями в основном и исчерпывается все, что известно относительно уравнений класса

Заметим, что во всех перечисленных выше рабртах относительно уравнений класса С строятся только необходимые условия принадлежности уравнений этому классу. Это означает, что если хотя бы одно из полученных условий не выполнено, то уравнение заведомо не принадлежит классу С. Для доказательства же достаточности построенных условий принадлежности требуется установить, что выделенные уравнения не имеют других подвижных особых точек, 1фоме алгебраических.

Каждое из дифференциальных уравнений второго порядка вида (0.2), (0.4) - (0.7) можно заменить системой двух уравнений первого порядка и задачи, поставленные для одного уравнения второго порядка, естественно,, переносятся и на систему. В частности, для системы (0.8) при достаточно общих предположениях относительно S, Тех,у, я) также можно ставить задачи выделения систем, решения которых обладают наперед заданными свойствами.

Так, системы двух уравнений первого порядка с неподвижными критическими особыми точками исследовались в [86, 60, 47, 48, 50] и ряде других работ. Эта же задача распространяется и на системы высших порядков. Например, в [31, 32] выделяются системы третьего порядка без подвижных.критических точек.

Для системы (0.8) в случае рациональных от je, fy функций $ (я, у, з.) , Т(х,у,з.) с аналитическими по <£ коэффициентами в [14 -16, 24, 25, 50] установлено отсутствие решений с подвижными существенно особыми точками. Здесь же подробно изучены решения, обладающие свойствами х —» эс0 J g —* оо при X —- 20 (о .9) или —- 00, у —* Цо при «г —- sz0. (0.10)

Исследование решений системы (0.8) с такими свойствами, как правило, не вызывает осложнений. В этих же работах изучались и решения со свойством до -* сю } у -* оа при з -> J> Со. IX) причем неоднократно подчеркивались определенные трудности, возникающие при исследовании решений с этим свойством.

Во многих случаях для исследования решений системы (0.8) со свойствами (0.9) - (0.11) с помощью некоторого аналитического преобразования переходили к системам вида ъ ™ и' = J Си, Ъ Т) , Z& §СЧ, I?, (0.12) а установив структуру решения системы (0.12) в окрестности неподвижной точки 1 - О, делали заключение в силу проведенного преобразования и о характере подвижных особенностей системы (0.8).

Система (0.12) при некоторых предположениях относительно функций и cj&AT) была рассмотрена в [77], где с помощью формального преобразования [71] (см. также [69]) установлено существование формальных решений, а также дано и аналитическое представление таких решений. Случай, когда в системе (0.12) и и гг есть V) -мерный и w-мерный векторы соответственно, рассматривался в работах [74, 78, 79], где для доказательства существования решений использован метод неподвижной точки. Эти же системы изучались и в работах [64 - 66], где для построения решений использован метод последовательных приближений.

Системы (0.12) являются частным случаем более общих систем вида

X и =(0.13) которые изучались многими авторами на предмет построения ограниченных решений. Исследование систем (0.13) разделяется, на две задачи: первая состоит в том, чтобы найти решение, асимптотически представимое формальным степенным рядом, вторая - определить условия сходимости формального решения, зависящего от нескольких произвольных постоянных.

Не так уж трудно дать некоторый аналитический смысл формальных решений, если не пытаться определить максимальную область существования, в которой формальное решение или сходится равномерно, или является асимптотическим представлением аналитического решения. Понятие асимптотического разложения впервые ввел Пуанкаре [93], применив формулу Стирлинга для гамма-функций, и с помощью преобразования Лапласа доказал, что формальные степенные ряды есть асимптотические решения для линейных дифференциальных уравнений и -го порядка частного вида с иррегулярной особой точкой. В [96 J доказано, что формальные степенные ряды всегда являются асимптотическими решениями и для общего случая. Асимптотическая теория линейных систем дифференциальных уравнений в основном завершена в [бд] в том смысле, что сектор, являющийся областью существования формального решения, имеет наибольший открытый угол.

Метод, развитый в [68], без каких-либо существенных изменений можно применить для систем нелинейных дифференциальных уравнений вида (0.13). Что касается первой задачи существования решения, то этот метод распространяется немедлено и дает ответ на нее, а в изучении второй играет важную роль в работе [71]. В работах [81,

97] также изучались системы (0.13), но в [97] доказано только существование асимптотического разложения формального решения, а в [81J доказана и сходимость асимптотического разложения методом мажорантных функций, причем с большим числом произвольных постоянных и с большим углом сектора, чем в [97].

Как отмечалось в [67], исследование систем вида (0.12) тесно связано с системами вида

СО. 14) когда матрица Якоби h'x есть особая матрица. Неподвижную особую точку z-0 как в случае особой матрицы Якоби, так и неособой,. обычно называют особой точкой типа Врио и Буке, как и саму систему. (0.14). Этот тип особых точек изучался многими авторами после того, как Брио и Буке [51] доказали, что если существует формальное решение вида ео

0.15) h с постоянными w-мерными векторами , то этот степенной ряд сходится для izj^a и сумма ряда есть голоморфное решение в точке

Основная цель всех авторов заключалась в том, чтобы построить аналитическое представление решения, зависящего от нескольких произвольных постоянных и существующего в полной окрестности точки Z-0 или в секторе с вершиной в особой точке * -О t а также изучить природу особой точки ^аналитической функции, определяемой через это аналитическое представление. В случае, когда решение стремится к бесконечности при z —* О вдоль пути L , выбранного произвольно, возникают трудности определения аналитического выражения для .такого неограниченного решения.

В работах [54, 63, 81, 90] было проведено обобщение теоремы Пуанкаре [91] на многомерный случай системы (0.14) при предположении, что если к (<м) характеристических чисел матрицы h'^Ofi) лежат по ту же самую сторону, что и единица, относительно прямой, проходящей через начало координат в комплексной плоскости Л , а другие (т-к.) характеристических чисел находятся по другую сторону или на этой прямой, то решение зависит от К параметров и выражается через равномерно сходящийся -кратный степенной ряд по £ и некоторых функций.

Эта же система (0.14) была изучена в [72]при дополнительном предположении, что одно и только одно характеристическое число матрицы Якоби h^CQO) равно нулю. Если среди характеристических чисел имеются равные нулю или отсутствуют нулевые корни, то из классической теории имеем аналитическое представление решений системы (0.14), зависящее.от К .параметров. Случай Я -м был изучен в . /"54, 92], а в /81.Ш, 54, 90] этот результат был применен к случаю

Случай, когда все характеристические числа матрицы h^COfi) равны нулю, рассматривался в [75] при специальном выборе вектор-функции h(x;0). Если же нулевых характеристических чисел больше, чем одно, но меньше, чем то невозможно построить аналитическое представление общего решения без выполнения некоторых специальных условий, так как в этом случае общее решение является неограниченным. В [76] и указаны такие случаи, когда существует возможность построения аналитического выражения общего решения, если матрица ЬзеФ0) есть особая.

Для систем двух уравнений Врио и Буке эту же задачу решали в [33, 35, 36, 73]. В [20] приведен обзор всех известных результатов относительно систем двух уравнений вида (0.14).

При исследовании поведения.решений дифференциальных уравнений и систем в окрестности особых точек как в комплексной, так и в вещественной области многие авторы (см., например, [19 - 25, 37 - 42, 47 - 50J) переходили к системам вида (0.14). Поэтому системы (0.14) рассматривались и в вещественной области, где применялись существенно отличные от аналитических способы исследования. В частности, такие исследования проводились в (19, 36 - 38].

При построении условий алгебраичности подвижных особых точек часто:возникают системы вида аи + в гг г-, „ 4 (0.16) относительно которых сформулируем несколько предложений, необходимых для дальнейшего и непосредственно следующих из общей теории систем вида (0.12) и (0.14).

Лемма I. Система (0.16) пщс^О и

F(ut&,Z) -А + гф(и^Л) } А*0~ const^ (0.37) где ф(цгъг) - голоморфная по т?,Т функция, исчезающая вместе с частными производными по .и и V- в точке не имеет алгеброидных решений со свойством и — О, 7? —* О при 2Г— О. (0.18)

Лемма I справедлива, так как не существует даже.формальных рядов по £.,(и рядов по дробным степеням Т ), удовлетворяющих системе (0.16). .

Лемма 2. Если система (0.16) в точке Z-0 имеет однопарамет-рическое семейство алгеброидных решений со свойством (О.ЛЗ), то она приводится к системе вида zu / - а и *

Ыт?-+ T)j (0.19) где ФгЩЪ Т) имеет ту же структуру, что и ФСъгы) в (0.17).

Лемма 2 доказывается конструктивно в процессе построения во всех случаях, когда возникают системы, описываемые в лемме. Из общей теории систем вида (0.12) /74, 77 - 79J следует

Лемма 3. Система (0.16), не приводящаяся к системе (0.19), всегда имеет в точке Z*= О неалгеброидные решения со свойством (0.IB).

Замечание. Система (0.16) в условиях леммы 3 может иметь и голоморфные решения со свойством (0.18), но эти решения могут возникнуть лишь в исключительных случаях при довольно сложных условиях на коэффициенты, типа таких, как построены, например, в [II] для одного обобщенного уравнения Брио и Буке.

Пусть Л£ и Л^ - корни характеристического уравнения а-А в /

0.20)

Ы-Л I системы (0.19). Имеет место.

Лемма 4. Система (0.19) имеет в точке Z-0 однопараметричес-кое семейство алгеброидных решений со свойством (0.18) тогда и только тогда, когда Xt<0 - целое число и - рациональное число, а при натуральном А^ выполняется, некоторое условие Sh - 0 , связывающее коэффициенты системы (0.19). Кроме того, система (0.19) имеет в точке Z-0 единственное, голоморфное решение со свойством (0.18), если А и - отрицательные вещественные числа.

Доказательство леммы 4 смотри, например, в [20].

Выше отмечалось, что естественным продолжением и обобщением задачи Пенлеве является задача построения класса С во множестве уравнений (0.2), т.е. выделение из уравнений вида (0.2) таких уравнений, все подвижные особые точки.которых исчерпывались бы алгебраическими. В дальнейшем эту задачу будем называть обобщенной задачей Пенлеве.

В настоящей работе, состоящей из двух глав и заключения, решаются две задачи, связанные с обобщенной задачей Пенлеве.

В первой главе рассматривается уравнение

- ТВ

А^Х^Х C0.2D где Aj(x,a) Cj- d,z) - полиномы от эс с голоморфными по z коэффициентами, А са.) - голоморфная функция, и изучаются решения, обладающие свойством

DC -* 00 , -сх? при х —* So . (в)

Среди решений со свойством (В) могут быть как алгеброидные, так и неалгеброидные решения. Построение условий, обеспечивающих существование однопараметрического семейства алгеброидных решений.в каждой точке (D - область подвижных особых точек) и является основным предметом исследования в первой главе. .

Известно [б], что независимо от вида коэффициентов Ajfaz)^'^Л) уравнение (0.21) в каждой точке D имеет неалгеброидные решения со СЕОЙСТВОМ я—* ar0 t ос—-Lftoc'-tCf при о?'—* ^, что исключает возможность выделения из уравнений вида (0.21) уравнений класса С. Однако, эти уравнения удобны для описания способов исследования алгеброидных решений. На примере уравнений (0.21) обсуждаются различные способы исследований, которые и применяются в дальнейшем.

Во второй главе строится класс С для множества Я^СР^) уравнений вида z г , А/Я2)Х. + (0.22) коэффициенты которого имеют ту же структуру, что и в (0.21).

Уравнение (0.22) выбрано не случайно. Известно, что среди уравнений (0.22) есть уравнения класса С, и примером таких уравнений является уравнение

DC = DC

0.23) с общим решением я:= . (0.24)

Уравнение (0.23) имеет также решение х - Cf t не содержащееся в общем.) Все решения (0.24) в точке ветвления •?<> обладают свойством ог —* эе<>) х.' —* при —" л о , (А) и среди решений уравнения (0.23) нет решений со свойством (в).

Для уравнений (0.22) прежде всего устанавливается, что независимо от вида полиномов A^tez) Cj-в каждой точке существует однопараметрическое семейство алгеброидных решений со свойством (А). В этом случае используется обычный прием исследований, связанный с переходом к.системе двух уравнений Врио и Буке.

Основная задача второй главы - построение системы условий на коэффициенты уравнения (0.22), обеспечивающих существование в каждой точке ^бО однопараметрического семейства алгеброидных со свойством (В) решений - решается, с использованием способов исследований, развитых в первой главе. Построенная в этой главе система условий и описывает класс С уравнений.(0.22). Здесь.же показывается, что нарушение хотя бы одного из условий алгеброидности выводит соответствующее уравнение из класса С , и в этом смысле построенная система условий является необходимой для принадлежности выделенных уравнений классу С. Таким образом во второй главе и решается первая часть обобщенной задачи Пенлеве для уравнений вида (0.22).

Вторая часть обобщенной задачи Пенлеве - доказательство достаточности построенной системы условий - в диссертации не рассматривается. Решение ее можно провести в плане построений Пенлеве, т.е. составить, следуя Пенлеве, таблицу канонических уравнений (что связано с большим объемом вычислений) и показать, что подвижные особые точки каждого канонического уравнения исчерпываются алгебраическими. Это новая и очень сложная задача, она может стать предметом дальнейшего исследования.

В плане решения второй части обобщенной задачи Пенлеве во второй главе строится пример уравнения вида (0.22), имеющего решение со свойством (В), все подвижные особые точки которого исчерпываются алгебраическими. Этот пример и показывает, что класс С уравнений вида (0.22) не пуст.

В заключении описывается алгоритм построения класса С для множества уравнений вида 1 А.(*,А) (0.25)

J-* 4 чем и подчеркивается принципиальная возможность решения первой части обобщенной задачи Пенлеве для любого натурального к >3 .

На защиту диссертации выносятся следующие результаты:

1. Описание новых способов построения алгеброидных решений в окрестности подвижных особых точек.

2. Построение условий на коэффициенты уравнения (0.25) при к-Z , обеспечивающих существование однопараметрического семейства алгеброидных со свойством (В) решений.

3. Решение первой части обобщенной задачи Пенлеве для уравнений вида (0.25) при К -3 .

I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОДВШНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ

УРАВНЕНИЯ (0.21).

1,1. Постановка задачи и вспомогательное преобразование В [б] для уравнений вида

2 Р Р У М УУ1 ' xZOjOOx * CI.I.I) с голоморфными в некоторой, области D коэффициентами Q^ca) и при Acs) в/ установлено существование подвижных особенностей двух типов.

1. Для любых р и т независимо от вида коэффициентов уравнения (I.I.I) в подвижной особой точке х0£ D существует однопара-метрическое семейство решений, обладающих свойством г—* sr0j рс—(I.I.2) когда y^je—^-eo на путях L (у) , ограниченных по аргументу. Эти решения строятся в виде сходящихся по степеням рядов, коэффициенты. которых являются полиномами относительно Ln у. .

2. В каждой точке 6.0 при весьма общих предположениях существуют формальные ряды вида оо

3f=JE С с/ ,f> - натуральные числа), (I.I.3)

И=0 . удовлетворяющие уравнению (I.I.I). Ряды (I.I.3) описывают решения со свойством (В) и, как правило, являются асимптотическими. В исключительных же случаях эти ряды могут быть и сходящимися.

Решения со. свойством (I.I.2) являются заведомо неалгеброидны-ми, поэтому выделить из уравнений (I.I.I) уравнения, все подвижные особые точки которых были бы алгебраическими, невозможно. Однако можно выделить такие уравнения из (I.I.I), которые в каждой точке £ D имеют хотя бы одно однопараметрическое семейство алгеброидных решений. В [б] и приведен пример такого уравнения.

Основная задача этой главы и состоит в выделении из уравнений (I.I.I) всех уравнений, каждое из которых имеет в точке ^ О однопараметрическое семейство алгеброидных решений. Эти результаты существенно дополняют [б].

Прежде всего максимально упростим уравнение (I.I.I), осуществив линейное преобразование функции

J3C*) (1.1Л) и аналитическое преобразование независимой переменной t--<fte). (I.I.5)

В переменных t уравнение (I.I.I) запишется в виде

3 Р. />-/ >22

Bay * t'fro f h 4 а> С 1.1.6) где

Вт 'А--г, с<а) * Ь Ci 'Qf*),

V3'2- W/* "j-wK 1 с - О zW/a^t * ^A] , С 1.1.7) n о H — о

Замечание I.I. Формулы (1,1.7) выписаны в предположении, что Аналогичные формулы можно записать и в случае, когда м^р. Суммирование в формулах (I.I.7) ведется по неотрицательным значениям индексов.

Потребуем, следуя [5], чтобы cji) = ca-соиъЬ, (I.I.8)

Тогда получим i c/^Ate) , /3 = -Я*с*)1рае&>] , (I.I.9) оо(Я) c~JAuf. (1.1.3D) Теорема I.I. Области D и D подвижных особых точек данного

I.I.I) и преобразованного (1,1.6) (с коэффициентами (I.I.8)) уравнений совпадают.

Доказательство. Нули коэффициентов А (я) и и особые точки всех коэффициентов уравнения (I.I.I) отнесем к неподвижным особым точкам. Найдем голоморфное решение уравнения (I.I.I0) - % * VtCZ-Zo) + 3 (I.I.II) где % - произвольное постоянное,

Г, = Qc^o) С~£ А^о) (I.I.I2) и ip^YM-фО в области подвижных особых точек, тогда из (I.I.5) найдем t ^ + . . (1.1.13)

Положим и, обращая ряд (I.I.В), получим в силу (I.I.I2) A yxct-te) (I.I.I4) в каждой точке Подставляя теперь (I.I.I4) в (I.I.7) вщ>азим коэффициенты уравнения (I.I.6) как функции независимой переменной t . Так как равенство (I.I.I4) имеет место для любых ta и , то области подвижных особых точек данного и преобразованного уравнений совпадают.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При решении классической задачи Пенлеве из множества уравне ний где Rcoc'^e, z) - рациональная относительно функция с аналитическими по & коэффициентами, выделяются уравнения с неподвижными критическими особыми точками. Выделенные уравнения естественно объединить в один класс (во введении - класс в). Возникает вопрос: что же можно сказать относительно каждого уравнения вида (0.2), не вошедшего в класс В ? В частности, какими могут быть подвижные особые точки этого уравнения? Для произвольного уравнения, не принадлежащего классу В, ответить на этот вопрос трудно. Поэтому имеет смысл продолжить задачу Пенлеве в плане расширения класса уравнений, подвижные особые точки которых исчерпывались бы особыми точками заданной характеристики. В этом смысле и формулируется основная задача диссертации, которая во введении названа "обобщенной задачей Пенлеве". Смысл ее в том,-чтобы для множества уравнений (0.2) построить класс С уравнений с неподвижными трансцендентными и существенно особыми точками, т.е. расширить класс В подключением к нему уравнений с алгебраическими подвижными особыми точками.

Обобщенную задачу Пенлеве для уравнений вида (0.2) сразу решить сложно, прежде всего потому, что метод малого параметра, применявшийся Пенлеве, для решения обобщенной задачи мало пригоден.

Для исследования в диссертации выбрано множество уравнений вида (0.2), когда Rcwfcx) полином относительно эс и эс , и подлежащие исследованию уравнения записываются в виде - Й. Сое', Ж, 3.

0.2) К V эс" - Acs.) зс

2 А-(х>, ё-=± 6

0.25)

В первой главе на примере уравнения (0.25) при к= 2 усовершенствуются применявшиеся ранее способы исследования алгебраических подвижных особых точек и разрабатываются новые.

Во второй главе показывается, что среди уравнений вида (0.25) при к-З существуют уравнения, принадлежащие классу d , и тогда каждое решение этих уравнений обладает или свойством —' эе'-.оо при Z —- ^ (А) или свойством

X -» эс' -* СХ? при X -* йГо . (В)

Алгеброидные решения со свойством (А) существуют независимо от вида полиномов C^'-i^S) , алгеброидные же решения со свойством (В) могут возникнуть лишь при определенных условиях на коэффициенты этих полиномов. При этом возможны и такие случаи, когда в подвижной особой точке <£ D вместе с алгеброидными решениями существуют и неалгеброидные. Отделение неалгеброидных решений и составляет смысл всего построения.

Сначала устанавливается система необходимых и достаточных условий алгеброидности решений со свойством (В) в точке ?0<£lJ » & затем требуется, чтобы эти условия выполнялись в каждой точке области D , чем и выделяются определенные уравнения из множества Яс? (Рй) . Относительно выделенных уравнений сразу же возникает альтернатива: или в точке з0<£ D построены все решения, тогда эти решения исчерпываются алгеброидными со свойствами (А) и (В), и уравнения принадлежат классу С, или в точке е. D есть решения с другими свойствами (например, лг—•оа —-^'при и др.), тогда необходимы дополнительные исследования. В диссертации при дополнительные исследования не проводятся, а поэтому построенная система условий считается системой условий, необходимых для принадлежности выделенных уравнений классу С. Тем самым первая

часть обобщенной задачи Пенлеве - построение системы необходимых условий - решена полностью для уравнений вида (0,25) при к^З . Для фактического построения класса С остается показать, что построенная система условий является и достаточной, что равносильно доказательству отсутствия у выделенных уравнений решений со свойствами, отличными от (А) и (В). Это новая и сложная задача, которая в настоящей работе не рассматривается. Однако, во второй главе построением конфетного примера показывается, что класс С не пуст.

Развитые в диссертации способы исследования алгеброидных решений позволяют решить первую часть обобщенной задачи Пенлеве и при к> 3 .

Уравнение (0.25) при н>3 независимо от вида полиномов d^-faz) Ц-^ч) в каждой точке D имеет однопараметрическое семейство алгеброидных решений, обладающих свойством (А). Эти решения представляются рядами оо И+K-Z ос = + 2-. fa

И - о > сходимость которых для каждого фиксированного< ск7 устанавливается переходом к системе двух уравнений Врио и Буке.

Как и при к-3 , основную часть построения составляет исследование решений со свойством (В). Смысл построения в переходе с помощью аналитического преобразования от исследуемого уравнения к системе двух уравнений Врио и Буке, удовлетворяющей условиям леммы Это построение можно выполнить по следующему плану.

I. Используя диаграмму Ньютона-Пьюизо (или геометрический способ) /25, 62J, установить главную часть алгеброидного решения и на ее основе, осуществив преобразование типа (I.4.I) (или после обращения формального ряда типа (1.4.18)), перейти к обобщенной системе уравнений Брио и Буке вида (0.16). Образовавшаяся система, как правило, будет иметь неалгеброидные решения.

2. При построении обобщенной системы уравнений Врио и Буке возникает уравнение P(J0)-O для определения свободного члена полинома, введенного в преобразование. Вместе со свободным членом и другие коэффициенты этого полинома существенно участвуют в построении системы двух уравнений Брио и Буке, а поэтому включение полинома fez) в соответствующее преобразование обязательно. Уравнение может иметь как простые, так и кратные корни. Каждый простой корень порождает неалгеброидные решения системы, а значит, и соответствующего ей уравнения, что показано в [50]. Требование же кратности корней S0 приводит к условию 4 на степени к^ полиномов A^fas) Q'^d^i) .

3. Степень уравнения Р(£о)-0 зависит от вида коэффициентов при старших степенях полиномов Ajfa*) здесь могут возникнуть различные случаи, связанные с тождественным обращением в нуль некоторых из этих коэффициентов. (Например, при - О

В каждом случае необходимо провести самостоятельное исследование, и с ростом и. число подлежащих исследованию случаев увеличивается.

4. В каждом случае установить систему необходимых и достаточных условий для того, чтобы построенная обобщенная система уравнений Брио и Буке перешла в систему двух уравнений Брио и Буке, что всегда возможно за счет определения коэффициентов полинома fez) при определенных условиях на коэффициенты исследуемого уравнения.

5. Образовавшаяся система двух уравнений Брио и Буке может иметь и неалгеброидные решения в зависимости от корней характеристического уравнения. Корни же характеристического уравнения, как правило, зависят от коэффициентов исследуемого уравнения, и при дополнительных условиях построенная система будет удовлетворять лемме 4.

Замечание. В п.2.4 исследуются неограниченные решения одной из систем двух уравнений Врио и Буке. Эти решения приводят к ал-геброидным со свойством (В) решениям исследуемого уравнения. Этим случаем не исчерпываются все случаи, когда возникает необходимость исследовать неограниченные решения системы двух уравнений Врио и Буке. В диссертации они отнесены к исключительным. Исследование исключительных случаев может привести, как и в п.2.4, к улучшению системы необходимых условий, т.е. к расширению класса С.

1. Айне ЭД. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - пер. с англ. - Харьков: ГНТИУ, 1939, - 719 с,

2. Богословский Б.П. Об одном классе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. -Дифференц. уравнения, 1966, т. 2,№ 6, с. 791-798.

3. Богословский Б.П. Нелинейные уравнения второго порядка с алгебраическими подвижными особыми точками. Ученые записки ВГПИ, 1967, т.32, вып. I, с. 79-86.

4. Богословский Б.П., Яблонский А.И. Система дифференциальных уравнений.с алгебраическими подвижными особыми точками. -Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, № 12, с. 2135-2143.

5. Богословский Б.П., Остроумов С.И. Об условии алгебраичности подвижных особенностей одного нелинейного уравнения. Ученые записки ЛГПИ им. А.И.Герцена, 1970, т. 478, с. 9-12.

6. Богословский Б.П. О подвижных особенностях нелинейных уравнений одного класса. Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, № II, с. I9I9-I926.

7. Богословский Б.П. О параметрическом представлении решений некоторых нелинейных уравнений в окрестности подвижной особой точки. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 9, с. 1539-1547.

8. Богословский Б.П., Остроумов С.И. Об алгебраических подвижных особых точках одного нелинейного уравнения. ~ Дифференц. и ин~ тегр. уравнения, Горький, 1981, с. 9-12.

9. Богословский Б.П., Остроумов С.И. Об уравнениях с неподвижными трансцендентными и. существенно особыми точками. Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, I Ю, с. 1659-1667.

10. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. -М-Л.: ГИТТЛ, 1950, 436' с.

11. Грудо Э.И. О голоморфных решениях уравнений В(ъд),- Доклады АН БССР, 1964, т. 8, №2, с. 8М4.

12. Громак В.И., Лукашевич Н.А. Специальные классы решений уравнений Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1982, т. .В, №3,с. 419-458.

13. Громак В.й. О решениях второго уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1982, т. Ю, № 5, с. 753-763.

14. Еругин Н.П. Аналитическая теория нелинейных.обыкновенных дифференциальных уравнений. ПММ, 1952, т. 16, вып. 4, с. 465486.

15. Еругин Н.П. К аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений. Вестник ЛГУ, 1956, № 7, с. 60-70.

16. Еругин Н.П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Труды института физики и математики,АН БССР, 1957, вып. 2, с. 235-248.

17. Еругин Н.П, Аналитическая теория и проблемы вещественной теории дифференциальных уравнений, связанные с первым методом и методами аналитической теории. Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, № И," с. I82I-I863.

18. Еругин Н.П. Теория подвижных особых точек уравнения второго порядка, I. Дифференц. уравнения, 1976, т. . 12, № 3, с. 387416; II. - Дифференц. уравнения, 1976, т. 12, № 4, с. 579-598.

19. Еругин Н.П. Книга для чтения.по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е изд., перераб. и доп. Минск: Наука и Техника,1979, 743 с.

20. Еругин Н.П. Проблема Римана. Минск: Наука и Техника, 1982,- 336 с.

21. Кондратеня С.Г., Яблонский А.И. Системы дифференциальных уравнений с алгебраическими подвижными особыми точками. Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, № 6, с. 983-990.

22. Кондратеня С.Г. О подвижных особых точках решений некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. ~ Дифференц.уравнения, 1968, т. 4, №6, с. 991-999.

23. Кондратеня С.Г., Пролиско Е.Г. Вид и существование решений уравнений типа Льенара с подвижной алгебраической особой точкой. Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, №2, с. 260- 264.

24. Кондратеня С.Г. Общий класс систем двух дифференциальных уравнений, не имеющих решений с подвижными существенно.особыми точками. Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, № 9, с. 1593. 1600. . .

25. Кондратеня С.Г., Яблонский А.И. Условия существования решений с особыми начальными условиями нелинейных систем двух дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1973, т. 9,10, с. 1765-Г773.

26. Лукашевич Н.А. Элементарные решения некоторых уравнений Пен. леве. Дифференц. уравнения,. 1965, т. I, №6, с. 731-735.

27. Лукашевич Н.А., Яблонский А.И.Об одном классе решений шестого уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, №3,с. 520-523. .

28. Лукашевич Н.А. К теории четвертого уравнения.Пенлеве. Диффе-. ренц. уравнения, 1967, т. 3, № 5, с. 771-780.

29. Лукашевич Н.А. К теории третьего уравнения Пенлеве. Диффе-. ренц. уравнения, 1967, т. 3, № II, с. 1913-1923.

30. Мартынов И.П. Об одном классе дифференциальных уравнений 4-го порядка без многозначных подвижных особых точек. В сб.: Научных статей Гроднен. гос. пед. ин-та. Физ-мат. н. Минск, 1974, с. 59-64.

31. Мартынов И.П. Свойства решений одного класса систем дифференциальных уравнений третьего.порядка. В сб. Исследования по математике. Гродно, 1979, с. 14-18.

32. Мартынов И.П. О системах третьего порядка без подвижных критических точек. -Дифференц. уравнения, 1982, т. 38, №5,с. 792-604.

33. Мячин В.Ф. О системе двух уравнений Врио и Буке. Вестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр., 1958, № 7, вып.2, с. 88-102.

34. Шемякина Т.К., Яблонский А.И. Об отсутствии неголоморфных решений в окрестности неподвижной особой.точки некоторых классов систем.двух уравнений. Дифференц. уравнения, 1981,т. 17, №9, с. 1713-1716.

35. Шемякина Т.К., Яблонский А.И. Исследование решений систем двух уравнений Врио и Буке при наличии нулевых корней характеристического уравнения. Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 5, с. 9II-9I2.

36. Шестаков А.А. О поведении интегральных кривых системы и дифференциальных уравнений 3) вблизи особой точки высшего порядка. -.Доклады АН СССР, 1951, т. 79, № 2, с. 205-2Q8.

37. Шестаков А.А. О распространении метода Бендиксона для двумерной системы на многомерные аналитические системы. Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, № 9, с. I708-I7I2.

38. Шестаков А.А. Об устойчивости решений многомерных систем дифференциальных уравнений без линейных членов.- В кн.: Научные труды кафедры высшей математики /.Моск. кооп. ин-т Центросоюза СССР -,М.: МКИ, 1966, с. I-I2.

39. Шестаков А.А. Теорема о неустойчивости многомерных комплексных систем без линейных членов. В кн.: Научные труды кафедрывысшей математики / Моск. кооп. ин-т Центросоюза СССР М.: МКИ, 1966, с. 13-16.

40. Шестаков А.А. Об особых точках решений многомерной системы в комплексной области. В кн.: Научные труды кафедры высшей математики/ Моск. кооп. ин-т Цениросоюза СССР - М.: МКИ, 1966, с. 17-27.

41. Шестаков А.А., Муминов Н.С. О свойствах особых точек решений многомерной системы дифференциальных уравнений в комплексной области. -.В кн.: Научные труды кафедры высшей математики / Моск. кооп.ин-т Центросоюза СССР М.: МКИ, 1966, с. 59-69.

42. Яблонский А.И. Общее представление решений второго уравнения . Пенлеве. Доклады АН БССР, 1958, т.2, №11, с. 437-440.

43. Яблонский А.И. К вопросу о числе.полюсов решения второго уравнения Пенлеве. Доклады АН БССР, 1959, т.З, №6, с.237-238.

44. Яблонский А.И. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве. Вести АН БССР, 1959, серия физ-техн. наук, т.З, с .3035.

45. Яблонский А.И. О вычетах полюсов решений второго уравнения Пенлеве. Доклады АН БССР, I960, т.4, № 2, с. 47-50.

46. Яблонский А.И. Об одной системе дифференциальных уравнений без подвижных критических особых точек. Дифференц. уравнения, 1966, т.2, Л? 6, с. 752-762.

47. Яблонский А.И. Системы дифференциальных уравнений, критические особые точки которых неподвижны. Дифференц. уравнения, 1967, т.З, №3, с. 468-478.

48. Яблонский А.И. О подвижных.особенностях систем дифференциальных уравнений. -Дифференц. уравнения , .967, т. 3, № 5, с. 749-760.

49. Яблонский А.И. Аналитические свойства решений систем дифференциальных уравнений.-Докторская диссертация.-Минск, 1971,-32бс.

50. Briot,Ch. and J.CI.Bouquet, Recherches sur les proprietes des fonctions definier par des equations differentielles. J. Ecole Imp. Polytech., 1856,t.21, pp. 133-198.

51. Briot,Ch. and J.CI.Bouquet, Memoire sur integrations des equations differentielles an moyen des fonctions elliptiques. J.Ecole Imp. Polytech., 1856, t.21, pp. 199-254.

52. Fuchs, L. liber.die Werte, welche die Integrale einer Different ialgleichungen erster Ordnung in singularen Punkten an-nehmen konnen.Sitzungsber.Akad.,Berlin, 1886, pp.279 300.

53. Gambier,B. Sur les equations differentielles du second ordre doint 1*integrale generalle est uniform. C.R. Acad. Sci. Paris, 1906, t. 142, pp. 266 269, 1403 - 1406.

54. Gambier,B. Sur les equations differentielles du second ordre et du preimier degre 1?integrale generalle est a points critiques fixes. Acta Math., 1909, t.33» pp. 1 55.

55. Gamier, R. Etude de 1'integrale generalle de 1»equation VI de M.Painleve dans le voisinage de ses singularites transcen-dentes. Ann.Sci. Ecole Norm.Sup., 1917, 34, pp. 239 353.

56. Gamier, R. Sur les systems differentielles du second ordre doint 1'integrale est uniform. Ann. Sci. Ecole Norm.Sup., 1960, s.3, 77, pp. 123 144.

57. Hermit,C.Cours d'analyse de l'Ecole polytechnique.1873,456 p.

58. Hille, E. Ordinary differential equations in the complex domain. New York e.a. John Wiley and Sons, 1976, 470 p.

59. Hsich, P.F. Successive approximations method for solutions of nonlinear differential equations at an irregular type singular point. Comment. Math. Univ. st.Paili, 1971, t.20, N1, pp. 27-53.

60. Hsich, P.F. Analytic simplification of a system of ordinary differential equations at an irregular type singularity. Comment. Math. Univ. st.Pauli, 1971, t.20, N1, pp. 55-82.

61. Hsich, P.F. A general solution of a system of nonlinear differential equations at an irregular type singularity. Funk. Ekv., 1973, 16, pp. 103-136.

62. Hsich, P.F. Recent advances in the analytic theory of nonlinear differential equations with an irregular type singularity. Int. Conf. Differ. Equat. 1974, New York, e.a. 1975, pp. 370-384.

63. Hukuhara, M. Sur les point singuliers des equations diffe-rentielles lineaires, II.-J.Fac.Sci. Hokkaido Imp. Univ., 1937, 5, pp. 123-166; III.-Mem.Fac.Sci. Kyusyu Imp. Univ., 1941, S.A, 2, pp. 125-137.

64. Hukuhara, M. Integration formelle d'un systeme d'equations differentielles non lineaires dans le voisinage d'un point singular. Ann.Math.pure Appl., 1940, S.4,19, pp. 35-44.

65. Hukuhara,M. Pri la elvolvado de solvo de differencialaj ekvacioj en la chirkanajho de ilia singula punkto. Mem. Fac.

66. Sci. Kyusyu Univ., 1949, S.A, vol.4, N1, pp. 1-7.

67. Iwano,M. Integration analytique d'un systeme d'equations differentielles non lineaires dans le voisinage d'un point singulier, I. Ann.Math. puraAppl., 1957, S.4, 44, pp. 261292; II. 1959, S.4, 47, pp. 91-150.

68. Iwano,M. On a singular point of Briot-Bouquet type of a system of ordinary nonlinear differential equations. Comment. Math. Univ. st.Pauli, 1963, 11, pp. 37-78.

69. Iwano,M. On a singular point of Briot-Bouquet type of a system of two ordinary nonlinear differential equations. Publications of the research institute for Mathematical sciences, 1966, S.A, vol.2, N1, pp. 17 115.

70. Iwano,M. Analytic expressions for bounded solutions of nonlinear ordinary differential equations with an irregular type singular point. Ann.Math.pura Appl., 1969,S.4,82, pp. 189-256.

71. Iwano,M. A general solution of a system of nonlinear ordinary differential equations xy' = f(x,y) in the case whenfv (0,0) is the zero matrix. Ann.Math.pura Appl., 1969, S.4,У1. S3, pp. 1 42.

72. Iwano,M. Analytic expressions for bounded solutions of nonlinear ordinary differential equations with Briot-Bouquet type singularity. Funkc. Ekvac., 1969,12, pp. 41-88.

73. Iwano,M. Determination of stable domains for bounded solutions of simplified equations. Funkc. Ekvac., vol.12, N3, pp. 251-258.

74. Iwano,M. Bounded solutions and stable domains of nonlinear ordinary differential equations. Lecture Notes in Math., 183, Analytic Theory of Differential Equations, 1971, pp.59-127.

75. Iwano,M. Analytic integration of a system of nonlinear ordinary differential equations with an irregular type singularity, I. Ann.Math.pura Appl., S.4, 94, pp. 109-160; II. 1974, S.4, 99, pp. 221-246.

76. Kiraura, T. Sur les points singuliere essentielle mobiles des equations differentielles du second ordre. Comment. Math. Univ. st.Pauli, 1956, 5, N2, pp. 81-94.

77. Malmguist,J. Sur l'etude analytique des solutions d'un sys-teme d'equations differentielles dans la voisinage d'un point singular d'indeterminations, I.Acta Math., 1941,73, pp. 87-129; II.1941,74,pp.1-64; III.1941,74,pp.109-128.

78. Painleve,P. Sur les equations differentielles d'ordre supe-rieur dont l'integrale d'admit d'un nombre fini de determinations. C.R.Acad.Sc. Paris, 1893,t.116, pp. 88-91,173-176.

79. Painleve,P. Sur les singularites essentielles des equations differentielles d1ordre superieur. C.R.Acad.Sc. Paris,1893, t. 116, pp. 362-365.

80. Painleve,P. Lesons sur la theorie analytique des equations differentielles professes a Stockholm, 1895. Hermann, Paris,1897, p.589.

81. Painleve,P. Memorie sur les equations differentielles dont l'integrale generalle est uniform. Bull.Soc.Math.Prance, 1900, 28, pp. 201-261.

82. Painleve,P. Sur les equations differentielles du second ordre et d'ordre superieur dont l'integrale generale est uniform. Acta Math., 1902, 25, pp. 1-82.

83. Picard,E. Sur la form des integrale des equations differentielles du second ordre dans le voisinage de certains points critiques. C.R.Acad.Sc.Paris,1878,t.87,pp.430-432, 743-745.

84. Picard,E. Sur une classe d'equations differentielles dont l'integrale est uniform. C.R.Acad^Sc.Paris, 1893, t.117.

85. Picard,E. Remarque sur les equations differentielles.

86. Extrait d'une lettre adressee a'M.Mittag-Leffler. Acta Math. 1893, 17, pp. 297-300.

87. Picard,E. Traite d'analys, t.3,Paris,Ganthier-Villars,1928.

88. Poincare,H. Note sur les proprietes des fonetions definies par les equations differentielles. J.Ecole Politech.,1878, ch.45, pp. 13-26.

89. Poineare,H. Sur les proprietes des fonetions definies par les equations differentielles. J.Ecole Politech., 1879, ch.45, pp. 1-95.

90. Poincare,H. Sur les integrales des equations lineaires. Acta Math., 1886,8, pp. 295-344.

91. Smith,R.A. On the singularities in the complex plane of the solutions of y'' + y'f(y) + g(y) = p(x). Troc. London Math. Soc., 1953,3, N12, pp. 498-512.

92. Sugiyama,S. On the singularities of the differential equation + f +

93. Kodai Math. Sem.Repts., 1955,7, N1, pp. 23-29.

94. Trjitzensky,W.J. Singular point problems in the theory linear differential equations. Bull.Amer.Math.Soc., 1938, vol.44, N4,pp. 209-223.

95. Trjitzensky,W.J. Analytic theory of non-linear differential equations. Memorial des Sci.Math., 90, Paris, G-anther-Villars, 1938, p.87.