Аналитическая и алгебраическая структура решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в киральных моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ел

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ РОССИЙСКИЙ ; УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Птуха Анастасия Романовна

УДК 589.16 519.957

АНАЛИТИЧЕСКАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В КИРАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ

(01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва, 1993

Работа выполнена иа кафедере теоретической физики Российского Университета дружбы народов

Научный руководитель

Кандидат физ.-мат. наук, Ю. П. Рыбаков

доцент

Официальные оппоненты:

/Доктор физико-математических наук, Л.11. Лезнои Профессор

Доктор физико-математических наук, В.И. Громак профессор

В еду ниш организация - Математический Институт им. В.Л. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится "

час. на заседании Снецпализироиаиного совета 1С 053.22.01 и Российском Ушшсрситете дружбы народов ио адресу: 117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал N1.

С диссертацией молено ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета друл1бы народов но адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан '¿¿V

191)3 года

Ученый секретарь Ю.И. Запарованный

специализированного кандидат физ.-мат. наук

совета доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В современной нелинейной физике конденсированных сред, ядерной физике и теории сильных взаимодействий активно ис-нользуются топологически нетривиальные модели с кирально-ипвариантными лагранжианами, что отвечает современным представлениям о симметрии основных состояний изучаемых объектов.

Наиболее известным примером таких моделей в (3+1) измерениях является модель Скирма, которая оказалась достаточно простим и удачным нрообразом будущей эффективной мезон-пой теории - низкоэпергетического предела кваптовой хромо- 4 динамики (КХД). Представляют интерес и различные модификации этой модели, в частности, модель Скирма-Маптопа, позволяющая описывать с едппой точки зрения не только основные состояния барионов, по и плотную ядерную материю.

Несмотря на значительный интерес и большое число физических результатов в этой области, ряд вопросов остается открытым и по сей день. Прежде всего это относится к выяснению алгебраических и сингулярных свойств решепий уравнений модели Скирма [1], для которых доказано лишь их существование и принадленшость к классу веществепно-аналитических функций. Поиск точных решений и в делом выяснение вопросов об интегрируемости обыкповеппых дифференциальных уравнений (ОДУ), возникающих в результате редукции исходных полевых уравнений киральпых моделей, представляется актуальной задачей по нескольким причинам. Помимо того, что это интересная задача с точки зрения математики, знание точных решений позволит существенно продвинуться в проблеме квап-

тования солитонных конфигураций, в изучении их взаимодействия и т.д.

Не менее актуальной задачей является исследование другого класса нелинейных моделей физики конденсированного состояния, так называемых топологических моделей магнетиков [2], где вектор намагниченности в состоянии насыщения принимает значения на сфере 5'2. В этом случае мы имеем дело с киральными моделями, для которых как правило не удаётся нроводить редукцию к ОДУ последовательным образом в силу неотделяемости углов. Тем пе менее, представляющие интерес ОДУ в таких моделях получаются на основе апзацев, вид которых находится из физических соображений. Для изотропных магнетиков и для магнетиков с анизотропией типа "легкая ось" (т.е. для многомерных киральных солитонов) известны лишь численные решения таких уравнений, что существенно снижает предсказательные возможности результатов.

Поскольку аналитическая и алгебраическая структура рассматриваемых солитонных конфигураций остается практически неизучепной и в то же время может служить ключом к последовательной схеме поиска аналитических решений, актуальной является следующая постановка целей и задач исследования.

Целью диссертационной работы является

1. Исследование особенностей Пенлеве-апализа в случае нелинейных дифференциальных уравнений в киральных моделях. Построение схемы применения апалкза для указаных уравнений в сочетании с использованием методов группового и алгебраического анализа уравнений.

2. Исследование алгебраической структуры и симметрий-

пых свойств пелипейных ОДУ в киралышх моделях.

3. Сингулярпый анализ ОДУ в модели Скирма и ее модификациях.

4. Пенлеве-анализ ОДУ в моделях топологических магнетиков.

Научная новизна работы

1. Исследована аналитическая структура решений дифференциальных уравнений топологических моделей магнетиков в случаях двумерных и трехмерных ферромагнетиков с анизотропией типа "легкая ось". Доказано осуществление в этих уравнениях свойства Пенлеве.

2. Выделены преобразования, сводящие ОДУ, возникающие в дифференциальных уравнениях магнетиков, к уравнениям Р-типа. Решения указанных уравнений выражаются в терминах широко известных неэлементарных функций (транс-цепденты Пенлеве, эллиптические интегралы). Решения уравнений динамики вектора намагниченности Ландау-Лиф пгаца в случае цилиндрической-симметрии выражаются через решения уравнения sin-Gordon.

3. Обосновывается применение группового апализа для построения серий решений дифференциальных уравнений. Проводится построение алгоритма исследования дифференциальных уравнений, обладающих свойством Пенлеве, основанного на применении сингулярного и группового анализа ДУ.

4. Показано наличие подвижных критических точек, отличных от полюсов, для решений уравнений, возникающих в модели Скирма и ее модификациях. Исследуется алгебраическая структура указанных выше дифференциальных уравнений.

Практическая и научная ценность работы заключается

В том, что:

1. lía основе предложенного алгоритма исследования ОДУ значительно облегчается процедура отыскания серий решений дифференциальных уравнений, обладающих свойством Пенлеве, требующая, как правило, значительных временных затрат.

2. Исследование решений дифференциальных уравнений топологических моделей магнетиков, проводимое до настоящего момента лишь путем численного анализа, предоставляет необходимый материал для понимания физических процессов, описываемых в рамках моделей, а также устанавливает связь с методами, применяемыми в других областях теоретической физики.

3. Проведенное изучение сингулярной и алгебраической структуры ДУ модели Скирма и ее модификаций дает дополнительную информацию, необходимую для выяснения математического и физического смысла указанных уравнений.

4. Проведенные исследования предоставляют полезный материал для установления глубинной связи между дифференциально-геометрической теорией дифференциальных уравнений, теорией их алгебраических инвариантов, а также методами изучения структуры особых точек ДУ и анализом Пенлеве.

Апробация

По результатам диссертации были сделаны доклады и сообщения на

о Всесоюзной межвузовской конференции но математическому моделированию и вычислительной физике (Волгоград, 1989 г.),

о па Международной конференции по теории представлений и групповым методам в физике (Тамбов; 1988г.),

в на П Конференции Научпо-учебного центра РУДН (1989г.),

» на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных паук РУДП (1991, 1992, 1993 гг.),

о па ХП Конференции молодых учепых РУДИ (1989 г.),

о на Международной копференции по нелинейным дифференциальным уравнениям и системам (Дубна, 1992),

в на научных семинарах кафедры теоретической физики РУДН.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения и включает снисок литературы из 108 наименований. Объем диссертации составляет 97 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы и дается схема изложения результатов диссертации, кратко описывается эволюция представлений об алгебраическом, групповом и сингулярном анализе дифференциальных уравнений, рассматривается современный статус ки-ральпых моделей, излагается обзор литературы, связапной с проблемами применяемого математического аппарата и изучением исследованных физических моделей.

В первой главе исследуются особенности Пеилеве-анализа и применении к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям в киральных моделях, рассматриваются симметрийпые аспекты исследоваппых моделей, приводящие к редукции уравнений движения, представляющих собой ДУЧН второго порядка, к ОДУ. Предлагается алгоритм исследования структуры решений дифференциальных уравнепий, обосновывается применение группового апализа дифференциальных уравнений для получения серий решений уравнений.

Б §1.1 рассматриваются симметрийпые аспекты модели Скирма и ее модификаций, а также методы редуцирования уравнепий динамики намагниченности Ландау-Лифшица для топологических магнетиков [1,2]. Предлагается рассмотрение суперсимметричной модификации уравпения модели Скирма для первого гомотопического класса, реализущего абсолютный минимум функционала энергии модели. Там же изучается возможность получения новых частных решений уравнепий Ландау-Лифшица для двумерного и трехмерного случаев.

В §1.2 предлагается алгоритм исследования структуры решений дифференциальных уравнепий, при использовании которого детально изучается сингулярная структура обыкновенных дифференциальных уравнений, в том случае, когда единственными подвижными особенностями решений урависний являются полюса, приводится схема сведения ОДУ путем преобразования переменных к списку Пенлеве-Гамбье, и, наконец, обосновывается применение группового анализа дифференциальных уравнений для получения серий решений. При этом особо отмечается эффективность комплексного подхода к рассмотрению ДУ, включающего в себя различные методы анализа

ду.

В §1.3 рассматривается использование группового анализа дифференциальных уравпений [3] в связи с рассмотрением сингулярной структуры решений ОДУ, что позволяет избежать трудностей, обычных при нахождении грушш симметрии ДУ. Излагается схема отыскапня преобразований переменных, приводящих ДУ к уравнениям, как минимум первые интегралы которых записываются в элементарных функциях, с последующим нахождением серий решений уравнений, используя метод построения первого интеграла ДУ с помощью групп симметрий уравнений [4]. Другим результатом применения этой схемы является нахождение группы симметрии лагранжианов исследуемых моделей.

В §1.4 перечисляются краткие выводы первой главы.

Во второй главе рассматривается анализ сипгуляр-постей решений ОДУ, возникающих в модели Скирма и се возможных модификациях. Лагранжиан модели строится из инвариантов относительно преобразований киральной группы SU(2)i, ® SU(2)л Скирмиоп описывается посредством сферически-симметричных киральных полей из первого гомотопического класса (с единичным топологическим зарядом типа степени отображения):

Ф

U(r) = ехр{г(п • r)0(r)}; п — \ф\ = ±sin0; ф0 = cos в,

т ~~

где Тк - изоспиповые матрицы Паули, ф - изотриплст пионных нолей и в(г) - киральный угол, подчиняющийся уравнению Скирма

Г-У _ sin2Q Л _ о(У2 , _ 2х&>

х2 + 4sin2О \ + X* ) x* + lsm2e'{ )

В §2.1 рассматривалось уравнение мантоновской модификации модели [5], описывающей скирмовские конфигурации на

3-сфере с единичным радиусом:

0"(зш2х+8т20) = 8-ш20[1-2е'2+^^1-5;п2х0', (2)

5111 X 1

с граничными условиями 0(0) = 0; 0(я-) = Вя; где В -барионный топологический заряд. В §2.2 изучалась суперсимметричная модификация уравнения Скирма, имеющая

Показано наличие подвижных логарифмических точек ветвлепия решений рассмотренных уравнений, или, другими словами, отсутствие свойства Пенлеве у этих уравнений. Определяются коэффициенты разложения решений этих уравнений в ряд Лорана в окрестности места расположения полюса. Таким образом, решения этих уравнений записываются в виде

»(*,*«.) = + Сиа+^(г~го)

- г0)2 + а(Я + г0)1оф - г0|(* - г0)3 (3) + - г0)4 + г,- г0|(г - г0)4 +

где Л - произвольная постоянная, что определяет невозможность сведения этих уравнений к списку интегрируемых дифференциальных уравнений второго порядка методом Пенлеве-Гамбье.

Указанными нримерами иллюстрируется целесообразность применения модифицированного алгоритма Абловица-Рамани-Сигура [6] для нелинейных ОДУ второго порядка.

В §2.3 приводятся краткие итоги второй главы диссертации.

В третьей главе рассматривается Пенлеве-анализ обыкновенных дифференциальных уравнений в моделях топологических магнетиков. Исследуются серии инвариантов уравнений второго норядка относительно групп гладких, обратимых

замен перемепных в сзязи с применением дифференциально-геометрической теории ДУ [7]. В §3.1 исследуется сингулярная структура ДУ в моделях магнетиков. Объектом нашего внимания являются классические уравнения дипамики намагниченности (уравнения Ландау-Лифшица) [2], которые удобно записывать в терминах угловых переменных 0 и задающих пространственную ориентацию М (вектора намагниченности):

Мх + гМу = Mo sin О exp i<p; Mz = M(i cos в,

¡1 AO - [1 + sin 0 cos в + £(§e - шн) sin 9 = 0;

/0div(sin2 0V<£>) — sin 0 — 0, 4

где /оi <Аь10н - константы теории. В данном случае мы также имеем дело с топологически-петривиалыщми локализованными структурами, где в отличие от скирмионов в качестве топологической характеристики используется инвариант Хопфа (см. подробности в [8]). Другим существенным отличием от ситуации со скирмионами является отсутствие последовательной схемы редукции, сводящей уравнения Ландау-Лифшица к ОДУ. Ниже будут рассмотрены некоторые частные случаи таких анзацев, соответствующие дву&ерным и трехмерным решениям для одноосных ферромагнетиков с намагниченностью типа легкая ось и соо1ветствующие им ОДУ для топологических магнетиков, как например:

в — 0(r); г = |fj; у? = ut + ifo! fa = const. Тогда 0 — 0(r) будет определяться из уравнения:

,2 (<Рв 2d0\ . „ „ и . „

(_ dr1 rdr) uiq

(б)

с граничными условиями:

0(г)|г_о = 0; fu, = 0.

Выбор анзаца в виде:

0 = 0(р)-, р2 = х2+ у2; ц> = иЛ, приводит к уравнению для 0(р) :

л (<Р0 ' ld0\ . я я ы . я

lo S + —г ? - sin 0 cos 0 + — sin в = 0 I dp1 рар) шо

с граничными условиями:

0OOU«, = 0; gUo = 0.

Еще одним возможным выбором является аызац: 0 = 0{р); V? = wí + vx + Vo;

где р\ х ' полярные коордипаты в плоскости (я, ?/), и в результате подстановки даппого анзаца в уравнепие (4) приходим к ОДУ для определения в(р) в виде:

, (<Рв 1 dO и' I и

+ —;---~sin0cos6^ + — sinö = sinöcosfl (7)

" [dp2 р dp р2 J wo

с граничными условиями:

= тп £ Z.

Результатом разложения тригонометрических функций в ряд при стремлении h = (w/w0) —> 0 в случае, когда влияние вихревого члена пренебрежимо мало, является уравнение

Заметим, что во всех уравнениях (5)-(8) положено JI ~ 0, поскольку влияние магнитного ноля можно учесть подходящим переопределением параметров солитона (см. [2]). Все указанные уравнения обладают свойством Пенлеве, при этом уравнение (8) имеет в качестве решений эллиптические функции, а уравнение (6) сводится к известной редукции уравнепия sin-Gordon, исследованного в связи с описанием тг-импульса в усилителе [8].

В §3.2 детально рассматривается использование группового анализа на примере уравнения (8). Доказывается целесообразность применения модифицированного метода для нахождения групп симметрии уравнении, имеющих первым интегралом элементарные функции, выписываются некоторые частные решения для групповых функции ДУ.

В §3.3 исследуются алгебраические свойства ДУ в кираль-ных моделях, доказывается тождественное равенство пулю относительного инварианта веса 5 для ДУ, а также последующих серий инвариантов. Это условие является критерием эквивалентности рассмотренных уравнений уравнепшо вида у" = f{x,y) с произвольной правой частью. В §3.4 изложены краткие выводы третьей главы диссертации.

В заключении приводится сводка основных результатов, полученных в ходе работы над диссертацией и вынесенных па защиту.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. !1туха Л.Р., Сашок В.И. "Симметрийный подход к изучению уравнений в модели Скирма".// Тез. докл. П Всесоюзной конференции по вычислительной

физике и математическому моделированию, 1989, г. Волгоград, под редакцией Е.П. Жидкова, (Изд-во Университета дружбы народов, Москва,1990), с. 59-60.

2. Ptukha A.R., Sanyuk V.I. "Symmetries and First Integrals of the Chiral Skyrme Model". // Proc. of the IV Int. Conference on Computer Algebra in Physical Research, (JINR Publ., Dubna, 1990), p. 93.

3. Птуха A.P., Санюк В.И. "Анализ Пенлеве уравнений модели Скирма". // Тезисы XXVIII конференции факультета физико-математических и естественных наук. (Изд-во Университета дружбы народов, Москва, 1992), том 1, с. 37.

4. Птуха А.Р., Санюк В.И. "О свойстве Пенлеве уравнений топологических магнетиков".

// Тезисы XXVIII конференции факультета физико-математических И естественных паук. (Изд-во Университета дружбы народов, Москва, 1992), том 1, с. 36.

5. Ptukha A.R., Sanyuk V.I. "Painleve Property in (3 -f l)-dimensional Chiral Models". // in Nonlinear Evo-iution Equations and Dynamical Systems, Proc. of the Int. Conference "NEEDS-92", Dubna, 1992, (World Scientific, Singapore, 1993) p.

6. Птуха A.P., Санюк В.И. "Интегрируемость некоторых ОДУ в физике солитонов". // "Дискуссионные вопросы квантовой физики", (Изд-во Университета дружбы народов, 1993), с. 104-110.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Сашок В.И. Модель Скирма и солитоны в физике адронов. Дубпа. ОИЯИ, P2-89-5G8 (Лекции для молодых ученых, вып. 55), 1989, - 167 е.; Усп. физ. наук. 1992. Т. 162. No. 2. с.1-61.

2. Косевич A.M., Иванов Б.Л. Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Паукова Думка. 1983. 190 с.

3. Ибрагимов II. X. Группы преобразований в математической физике. - М.гНауиа. 1983. 280 с. . . 1984. Т.20. N 10. С. 1819-1821.

4. Качевский Д.Н.// О первых интегралах системы дифференциальных уравпений, Диф. уравн. 1984. Т.20. N 10, С. 1819-1821.

5. N.C. Mantón. // Geometry of Skyrmions. Commun. Math. Phys. 112. 1987. 469.

6. Абловиц M., Сегур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния - М: Мир. 1987.

7. Дрюма B.C. // Геометрическая теория пелинейпых динамических систем. Препр. АН МССР. 1986.

8. G.L.Lamb. // Anaiitical descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium. Rev. Mod. Phys. 1971. 43, pp.99-124.