Существенные особенности решений некоторых систем Брио и Буке и обобщенные теоремы Горна и Сохоцкого тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Общая степенная функция в комплексной области.

§ 1. Основные свойства общей степени функции.

§ 2. Аналог теоремы Сохоцкого для общей степенной функции.

§ 3. Решения простейших линейных дифференциальных уравнений на бесконечнолистных поверхностях Римана.

§ 4. Структура решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка в окрестности регулярной особой точки.

Глава 2. К теории уравнений Врио и Буке.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Случай одного уравнения Врио и Буке.

§ 3. Случай системы двух уравнений Врио и Буке.

§ 4. Случай системы двух уравнений Врио и Буке при А,, = ц/ и

§ 5. Общий случай.

Глава 3. Обобщение одной классической задачи в теории уравнений Врио и Буке.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Обобщенная теорема Горна.

§ 3. Решения системы (3.1.1) с существенными особенностями в точке г=0.

Многие задачи естествознания и техники в плане их теоретического обоснования тесно связаны с дифференциальными уравнениями, в том числе и с обыкновенными.

Основной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является задача нахождения всех решений данного уравнения. В простейших случаях все решения удается выразить через элементарные функции или представить в виде квадратур от элементарных функций. Однако такие случаи встречаются крайне редко. И до настоящего времени решения многих дифференциальных уравнений не найдены, что сдерживает развитие ряда научных и технических задач из области исследования процессов, описываемых этими уравнениями. С другой стороны, и чисто теоретические исследования, выполняемые в рамках дифференциальных уравнений, способствуют решению проблем из других отраслей науки и техники.

В конце прошлого века работы Э. Пикара и С. Ли привели к более глубокому пониманию структуры дифференциальных уравнений, позволили их классифицировать, предвидеть случаи, когда они интегрируются в квадратурах, установить ряд свойств, которые до того казались не связанными друг с другом. Все это способствовало возникновению в теории дифференциальных уравнений задачи изучения свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями, непосредственно по виду заданного уравнения независимо от интегрируемости последнего в элементарных функциям или квадратурах. Такой подход характерен как для теории устойчивости, основы которой заложил A.M. Ляпунов в работе "Общая задача об устойчивости движения", так и для качественной теории дифференциальных уравнений, развитие которой во многом определила работа А. Пуанкаре "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями". Этот же подход характерен и для аналитической теории дифференциальных уравнений.

Основная теорема аналитической теории дифференциальных уравнений - теорема Коши - при весьма общих предположениях гарантирует существование и единственность голоморфного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. Голоморфное решение, построенное по Коши, можно рассматривать как элемент аналитической функции и, осуществив всевозможные аналитические продолжения этого элемента, получить полную аналитическую функцию (по Вейерштрассу). Эту функцию и можно рассматривать как частное решение дифференциального уравнения, продолженное или на всю комплексную плоскость, или на максимально возможную естественную область существования решения. Однако построение полной аналитической функции крайне сложно. Метод же Коши не позволяет изучить особые точки решения, конфигурация и структура которых на плоскости по сути и определяет решение.

Вопрос о поведении решений дифференциальных уравнений в окрестности особых точек впервые был поставлен Брио и Буке [57], считавшими особыми такие точки, в которых нарушается хотя бы одно из условий теоремы Коши существования и единственности решения. Фукс же [63] особые точки решений дифференциальных уравнений разделил на два класса: неподвижные и подвижные. К неподвижным он относил те особые точки, которые можно определить по виду самого уравнения, например, особые точки коэффициентов, а к подвижным - особые точки решения, конфигурация и характер которых меняются при переходе от одного частного решения к другому, т.е. зависят от начальных условий. В настоящее время используется термин "особые точки дифференциальных уравнений", который включает в себя как подвижные, так и неподвижные особые точки. Разделение же особых точек на подвижные и неподвижные носит условный характер, на что обратил внимание, в частности, и Н.П. Еругин [11]. В дальнейшем, придерживаясь классификации Фукса, в каждом случае будем указывать те точки комплексной плоскости, которые отнесем к подвижным.

Если уравнения имеют подвижные особые точки, то задача определения числа и конфигурации особых точек каждого частного решения становится очень сложной, поскольку неизвестно, какие из частных решений имеют особые точки, сколько их данного решения, как они расположены на плоскости, какова структура решения в окрестности каждой особой точки. Это обстоятельство подчеркивалось неоднократно еще Пикаром, Пуанкаре, Пенлеве и другими. Поэтому первые шаги в аналитической теории дифференциальных уравнений были сделаны в решении задачи выделения уравнений, не имеющих вообще подвижных особых точек. Такими уравнениями оказались в основном линейные, и теория линейных дифференциальных уравнений в настоящее время развита достаточно широко.

Нелинейные дифференциальные уравнения, как правило, имеют подвижные особые точки. До сих пор нет достаточно эффективных способов определения числа и конфигурации подвижных особых точек частных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Эта задача не решена в общем виде даже для самых простых по виду уравнений, например, для приведенного уравнения Риккати: х' = х2 + а(г).

Одной из основных задач аналитической теории, нелинейных дифференциальных уравнений [11, 12] является задача построения классов уравнений с определенными, наперед заданными свойствами решений в окрестности подвижных особых точек, например, решения имеют только однозначные особенности, т.е. ставится задача классификации дифференциальных уравнений по характеру их подвижных особых точек.

В теории нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка впервые вопрос об исследовании особых точек уравнений был поставлен Врио и Буке [57-59]. Им же принадлежит первая, хотя и не совершенная, классификация уравнений и их решений по характеру особых точек самого уравнения. При исследовании алгебраического дифференциального уравнения вида Р(х',х) = 0 они нашли случаи, когда все решения есть однозначные функции. Более общую задачу для такого уравнения решил Эрмит [68], выделив при этом уравнения, решения которых не имеют критических подвижных особых точек. Для полиномиального относительно х' и х уравнения с аналитическими по коэффициентами Фукс [62,63] установил условия отсутствия в решениях подвижных алгебраических особых точек. В настоящее время уравнения вида (0.1) с однозначными подвижными особыми точками называются уравнениями класса Фукса.

Однако исследования Фукса не исключали возможности существования в решениях трансцендентных особенностей или точек неопределенности. Относительно уравнения (0.1) Пенлеве [88] доказал теорему, устанавливающую, что эти уравнения не имеют подвижных неалгебраических особенностей, чем и устранил пробелы в исследованиях Фукса. Теорема Пенлеве вносит большие упрощения в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которая также развита достаточно глубоко.

Для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка подобной общей теории не может существовать, так как среди уравнений вида

Р(х',х,г) = 0

0.1) х" = Я{х', х,г)

0.2) есть уравнения [82, 90, 93] с подвижными особыми точками типа существенно особых. Например, в [77] приведено уравнение хх" = (1 + Г)х'2 с общим существенно особая точка.

Особые точки аналитических функций разделяют обычно [1,3,69] на однозначные и многозначные, изолированные и неизолированные, и простейшими из них считаются изолированные однозначные особые точки типа полюсов. Поэтому естественно, что первые исследования в аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка были направлены на то, чтобы построить классы уравнений с наиболее простыми подвижными особенностями. В работах Пикара [91, 92], Пенлеве [86, 87, 89], Гарнье [66, 67], Гамбье [64, 65] и других авторов была решена задача построения класса уравнений вида (0.2), если Я(х',х,г) - рациональная относительно х' и х функция с голоморфными в некоторой области коэффициентами по г. (Эту задачу позднее стали называть задачей Пенлеве.) Задача Пенлеве разделяется на две части. Используя теорему Пуанкаре о разложении решений дифференциальных уравнений по степеням малого параметра, Пенлеве разработал метод (метод малого параметра Пенлеве) отсеивания тех уравнений вида (0.2), которые заведомо имели неоднозначные подвижные особые точки, что позволило решить первую часть задачи. Вторая часть задачи состояла в доказательстве отсутствия в выделенных уравнениях критических подвижных особых точек. Кроме того, было доказано, что выделенные уравнения не содержат трансцендентных и существенно особых точек.

Таким образом, была установлена и достаточность построенной системы условий для отсутствия в решениях уравнений вида (0.2) многозначных подвижных особых точек. решением точка г=а есть подвижная критическая

Полученные при решении задачи Пенлеве результаты можно сформулировать следующим образом:

Множество уравнений вида (0.2), все подвижные особые точки которых однозначны, содержит 50 канонических уравнений; шесть из них (неприводимые уравнения Пенлеве) порождают, вообще говоря, новые трансцендентные функции (трансцендентные Пенлеве), остальные уравнения приводятся либо к линейным уравнениям, либо к уравнениям класса Фукса, либо к шести неприводимым уравнениям Пенлеве.

Подробное исследование неприводимых уравнений Пенлеве проведено в работах [4, 5, 24-27, 48-51], а в [5] дана подробная библиография.

В последнее время задача Пенлеве распространяется и на уравнения более высокого порядка. В частности, эта задача для уравнения третьего порядка решается в [61], а для уравнения четвертого порядка решается в [33].

Дифференциальное уравнение второго порядка вида (0.2) можно записать системой двух уравнений первого порядка = 8(х,у,г), &- = Т(х,у,1), (0.3) аг а! и задачи, поставленные для одного уравнения второго порядка, естественно переносятся и на систему. В частности, для системы (0.3) при достаточно общих предположениях относительно 5"(х, у, г), Т(х, у, г) также можно ставить задачи выделения систем, решения которых обладают наперед заданными свойствами.

Так, системы уравнений второго порядка с неподвижными критическими особыми точками исследовались в [90, 67, 52, 53, 55] и ряде других.

Эта же задача распространяется и на системы высших порядков. В частности, в [ 34] выделяются системы третьего порядка без подвижных критических точек.

Для системы (0.3) в случае рациональных от х, у функций 8(х,у,2),Т(х,у,г) с аналитическими по г коэффициентами в [8, 10, 22, 23,

55] установлено отсутствие решений с подвижными существенно особыми точками. Здесь же подробно изучены решения, обладающие свойствами х х0, у —> со при г -» г0 (0.4) или х -» 00, у -> у0 при г г0 (0.5)

Исследования решений систем (0.3) с такими свойствами, как правило, не вызывают осложнений. В этих же работах изучались и решения со свойством х —> оо, у оо при г —>■ г0 (0.6) причем неоднократно подчеркивались определенные трудности, возникающие при исследованиях решений с этими свойствами.

Во многих случаях для исследования решений системы (0.3) со свойствами (0.4)-(0.6) с помощью некоторого аналитического преобразования переходили к системам вида Ди,у, 0, Ы = g(u,v,t), (0.7) а установив структуру решения системы (0.7) в окрестности неподвижной особой точки ¿=0, делали заключение в силу приведенного преобразования и о характере подвижных особенностей системы (0.3).

Система (0.7) при некоторых предположениях относительно функций /(м,у,/) и g{u,v,t) была рассмотрена в [79], где с помощью формального преобразования [74] (см. также [73]) установлено существование формальных решений, а также дано и аналитическое представление таких решений. Случай, когда в системе (0.7) и и V есть «-мерный и т-мерный векторы соответственно, рассматривался в работах [78, 80, 81], где для построения решений использован метод последовательных приближений.

Системы (0.7) являются частным случаем более общих систем вида (0.8) которые изучались многими авторами на предмет построения ограниченных решений. Исследование систем (0.8) разделяется на две задачи: первая состоит в том, чтобы найти решение, асимптотически представимое формальным степенным рядом, вторая - определить условия сходимости формального решения, зависящего от нескольких произвольных постоянных.

Не так уж трудно дать некоторый аналитический смысл формальных решений, если не пытаться определить максимальную область существования, в которой формальное решение или сходится равномерно, или является асимптотическим представлением аналитического решения. Понятие асимптотического разложения впервые ввел Пуанкаре [97], применив формулу Стерлинга для гамма - функции, и с помощью преобразования Лапласа доказал, что формальные степенные ряды есть асимптотические решения для линейных дифференциальных уравнений п-го порядка частного вида с иррегулярной особой точкой. В [98] доказано, что формальные степенные ряды всегда являются асимптотическими решениями и для общего случая. Асимптотическая теория линейных систем дифференциальных уравнений в основном завершена в работах [72] в том смысле, что сектор, являющийся областью существования формального решения, имеет наибольший открытый угол.

Метод, развитый в [72] без каких-либо существенных изменений можно применить для систем нелинейных дифференциальных уравнений вида (0.8). Что касается первой задачи существования решения, то этот метод распространяется немедленно и дает ответ на нее, а в изучении второй играет важную роль в работах [74]. В работах [83, 99] также изучались системы (0.8), но в [99] доказано только существование асимптотического разложения формального решения, а в [83] доказана и сходимость асимптотического разложения методом мажорантных функций, причем с большим числом произвольных постоянных и с большим углом сектора, чем в [99].

Как отмечалось в [71], исследование систем вида (0.7) тесно связано с системами вида гх' = Цх,у\ (0.9) когда матрица Якоби к'х (0,0) есть особая матрица. Неподвижную особую точку г=0 как в случае особой матрицы Якоби, так и не особой, обычно называют особой точкой типа Брио и Буке, как и саму систему (0.9). Этот тип особых точек изучался многими авторами после того, как Брио и Буке [57] доказали, что если существует формальное решение вида

00 = (0-Ю)

И=1 с постоянными ш-мерными векторами хп, то этот степенной ряд сходится для \г\ < а и сумма ряда есть голоморфное решение в точке г=0.

Основная цель всех авторов заключалась в том, чтобы построить аналитическое представление решения, зависящего от нескольких произвольных постоянных и существующего в полной окрестности точки г=0 или в секторе с вершиной в особой точке г=0, а также изучить природу особой точки г=0 аналитической функции, определяемой через это аналитическое представление. В случае, когда решение стремится к бесконечности при г -> 0 вдоль пути Ь, выбранного произвольно, возникают трудности определения аналитического выражения для такого неограниченного решения.

В работах [61, 70, 84, 94] было проведено обобщение теоремы Пуанкаре

95] на многомерный случай системы (0.9) при предположении, что если к(-< т) характеристических чисел матрицы к'х (0,0) лежат по ту же самую сторону, что и единица, относительно прямой, проходящей через начало координат в комплексной плоскости Л, а другие (т-к) характеристических чисел находятся по другую сторону или на этой прямой, то решение зависит от к параметров и выражается через равномерно сходящийся (к+\ ) кратный степенной ряд по 2 и некоторые функции.

Эта же система (0.9) была изучена в [78] при дополнительном предположении, что одно и только одно характеристическое число матрицы Якоби /^(0,0) равно нулю. Если среди характеристических чисел имеются равные или же отсутствуют нулевые корни, то из классической теории имеем аналитическое представление решений системы (0.9), зависящее от к параметров. Случай к=т был изучен в [61, 96], а в [85, 61, 94] этот результат был применен к случаю к -< т.

Случай, когда все характеристические числа матрицы к'х (0,0) равны нулю, рассматривался в [71] при специальном выборе вектор - функции /г(0,0). Если же нулевых характеристических чисел больше, чем одно, но меньше, чем т, то невозможно построить аналитическое представление общего решения без выполнения некоторых специальных условий, так как в этом случае общее решение является неограниченным. В [77] и указаны такие случаи, когда существует возможность построения аналитического выражения общего решения, если матрица /г^ (0,0) есть особая.

Для систем двух уравнений Врио и Буке эту же задачу решали в [35, 40, 41, 75, 76]. В [14] приведен обзор всех известных результатов относительно систем двух уравнений вида (0.9).

При исследовании поведения решений дифференциальных уравнений и систем в окрестности особых точек как в комплексной, так и в вещественной области многие авторы (см., например, [14, 19-22, 42-47, 52-55]) переходили к системам вида (0.9). Поэтому системы (0.9) рассматривались и в вещественной области, где применялись существенно отличные от аналитических способы исследования. В частности, такие исследования проводились в [13, 4143].

В диссертации, состоящей из введения и четырех глав, решается задача построения решений системы уравнений Брио и Буке, когда точка г=0 для некоторых компонент решения является существенно особой точкой.

В первой главе диссертации, которая носит вспомогательный характер, устанавливаются свойства общей степенной функции на бесконечнолистных поверхностях Римана, доказывается аналог теоремы Сохоцкого для функций вида

1» = (2-20У-Л2) + ф), (0.11) где Л = а + Ы (Ь Ф 0), (р{г) и /(г) - функции, голоморфные в окрестности точки z0.

Теорема Сохоцкого, доказанная для функций вида (0.11) позволяет установить существенную особенность решений ЛДУ второго порядка в окрестности регулярной особой точки.

Во II главе диссертации строятся решения системы уравнений Брио и

Буке вида у) = +Р}1)(У1,-;Ук;х1,.,хп;г) (7 = 1, А:) (0.12) где все ф 0 - различные числа, Яе ф 0, КеЯ7 = 0 и Р{/] (у = 1,2) - голоморфные функции, исчезающие в точке у1 - . = ук - х1 = . = хп = z = О вместе с частными производными первого порядка по Уj,Xj •

В главе строятся решения системы (0.12) со свойством уj —> 0, Xj - неопределенно при z —» 0. (0.13)

Решения со свойством (0.13) строятся с учетом того, что известно аналитическое представление решений системы (0.12) со свойством у j -» 0, х - ->• 0 при z —> 0, подробно изученных в [15, 16, 63].

В данной главе показывается, что для каждой компоненты решения х. неподвижная особая точка z=0 системы (0.12) является бесконечнозначной существенно особой точкой. Область неопределенности каждой функции ху в точке z=0 охватывает всю конечную плоскость комплексного переменного Z с изолированным началом координат.

В главе III диссертации рассматривается система уравнений Брио и Буке вида zx'j =XjXj +PJ(xl,.,xn;z) 0' = 1,и) (0.14)

На основе обобщенной теоремы Горна строится т - параметрическое семейство решений данной системы, где т < п и п-т - число характеристических чисел Xj, для которых RеА; -< 0 и \rnXj - 0.

Показывается, что точка z=0 является существенно особой для тех компонент решения ху-, для которых Im Xj ^ 0.

Четвертая глава посвящена построению нармальных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка. В эти решения в некоторых случаях может выйти общая степенная функция и тогда эти решения содержат существенную особенность. Построение нормальных решений позволяет расширить класс линейных уравнений с существенной особенностью, поскольку во многих случаях здесь решения могут строиться в окрестности иррегулярной особой точки. Следуя [1], под нормальным решением линейного уравнения х" + рх{г)х' + р2(г)х = 0 понимаем функцию х = ед{2)-и{г), (0.15) где ) - определяющий полином и неизвестная функция и(г) имеет вид и(г) = грР(г) (0.16) при полиномиальном Р(г).

Существенная особенность в решении возникает при комплексном р.

В данной главе строятся нормальные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка через рациональные решения уравнения Риккати. Этот подход позволяет охватить все случаи существования нормальных решений линейных уравнений второго порядка.

На защиту диссертации выносятся следующие результаты:

1. Построение решения системы уравнений Врио и Буке вида (0.12) со свойством (0.13), когда неподвижная особая точка г=0 для каждой компоненты решения х- системы (0.12) является бесконечнозначной существенно особой точкой с областью неопределенности, охватывающей всю конечную комплексную плоскость с изолированным началом координат.

2. Доказательство аналога теоремы Сохоцкого для бесконечнозначных функций специального вида (0.11).

3. Доказательство обобщенной теоремы Горна.

4. Построение решений системы (0.14), когда точка г=0 для одной или нескольких компонент х - решения является существенно особой.

5. Случаи, когда регулярная особая точка линейного дифференциального

1. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - пер. С английского. - Харьков: ГНТИУ, 1939, - 719 с.

2. Богословский Б.П., Макарьина И.А. Решения некоторых линейных дифференциальных уравнений на бесконечнолистных поверхностях Римана. Дифференциальные уравнения с частными производными. Межвузовский сборник научных трудов. JL, 1987.

3. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М-Л.: ГИТТЛ, 1950, - 436 с.

4. Громак В.И., Лукашевич H.A. Специальные классы решений уравнений Пенлеве. Дифференциальные уравнения, 1982, т. 18, № 3, с. 419458.

5. Громак В.И., Лукашевич H.A. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. Мн.: Университетское, 1990. - 157 с.

6. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, Наука, 1968.

7. Дободейч. Дифференциальные уравнения. 1977, № 8, том 12.

8. Еругин Н.П. Аналитическая теория нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. ПММ, 1952, т.16, вып. 4, с. 465-486.

9. Еругин Н.П. Неявные функции. Издательство ЛГУ, 1956.

10. Еругин Н.П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Труды института физики и математики АН БССР, 1957, вып. 2, с. 235-248.

11. Еругин Н.П. Аналитическая теория и проблемы вещественной теории дифференциальных уравнений, связанные с первым методом и методами аналитической теории. Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, № 11, с. 1821-1863.

12. Еругин Н.П. Теория подвижных особых точек уравнения второго порядка, 1. Дифференциальные уравнения, 1976, т. 12, № 4, с. 579-598.

13. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е изд., перераб. и доп. Минск: Наука и Техника, 1979, -743 с.

14. Еругин Н.П. Проблема Римана. Минск: Наука и Техника, 1982, - 336 с.

15. Зубов В.И. Методы А.М.Ляпунова и их применение. Изд. ЛГУ, 1957 г.

16. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Гос. Союзное издат. судостроительной промышленности, Ленинград, 1959 г.

17. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965.

18. Коддингтон Э, Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Л., 1958.

19. Кондратеня С.Г., Яблонский А.И. Система дифференциальных уравнений с алгебраическими подвижными особыми точками. Дифференциальные уравнения, 1968, т.4, № 6, с. 983-990.

20. Кондратеня С.Г. О подвижных особых точках решений некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1968, т.4, № 6, с. 991-999.

21. Кондратеня С.Г., Пролиско Е.Г. Вид и существование решений уравнений типа Льенара с подвижной алгебраической особой точкой. -Дифференциальные уравнения, 1973, т.9, № 2, с. 260-264.

22. Кондратеня С.Г. Общий класс систем двух дифференциальных уравнений, не имеющих решений с подвижными существенно особыми точками. Дифференциальные уравнения, 1973, т.9, № 9, с. 1593-1600.

23. Кондратеня С.Г., Яблонский А.И. Условия существования решений с особыми начальными условиями нелинейных систем двух дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1973, т.9, № 10, с. 1765-1773.

24. Лукашевич H.A. Элементарные решения некоторых уравнений Пен-леве. Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, № 6, с. 731-735.

25. Лукашевич H.A., Яблонский А.И. Об одном классе решений шестого уравнения Пенлеве. Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, № 3, с. 520-523.

26. Лукашевич H.A. К теории четвертого уравнения Пенлеве. Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, № 5, с. 771-780.

27. Лукашевич H.A. К теории третьего уравнения Пенлеве. Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, № 11, с. 1913-1923.

28. Макарьина И.А. О рациональных решениях уравнения Риккати. -Дифференциальные уравнения с частными производными, межвузовский сборник научных трудов, 1990, с. 30-41.

29. Макарьина И.А. Нормальные решения линейных дифференциальных уравнений с двумя неподвижными особыми точками типа полюсов. -Математический анализ, межвузовский сборник научных трудов, Л., 1991, с. 56-63.

30. Макарьина И.А. Структура решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка в окрестности регулярной особой точки. Тезисы докладов учредительной конференции Российской ассоциации "Женщины математики", М. Суздаль, 1993.

31. Макарьина И.А. К теории уравнений Врио и Буке. Международный академический журнал, № 2,1999, стр. 33-45.

32. Макарьина И.А. Обобщенная теорема Горна.- Вестник Гродненского Державного Университета имени Янки Купалы, 1999, серия 2, № 2, стр.27-32.

33. Мартынов И.П. Об одном классе дифференциальных уравнений 4-го порядка без многозначных подвижных особых точек. Сб. научных статей Гроднен. гос. пед. ин-та. Физ-мат. Минск, 1974, с. 59-64.

34. Мартынов И.П. О системах третьего порядка без подвижных критических точек. Дифференциальные уравнения, 1982, т.18, № 5, с. 792804.

35. Мячин В.Ф. О системе двух уравнений Врио и Буке. Вестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр., 1958, № 7, вып. 2, с. 88-102.

36. Никитина С.Н. Материалы научно-теоретической конференции молодых ученых. Минск, 1975.

37. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1977.

38. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

39. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. М.: го-суд. Издательство физ.-мат. Литературы, 1963, ч. II.

40. Шемякина Т.К., Яблонский А.И. Об отсутствии неголоморфных решений в окрестности неподвижной особой точки некоторых классов систем двух уравнений. Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, № 9, с. 1713-1716.

41. Шемякина Т.К., Яблонский А.И. Исследование решений систем двух уравнений Врио и Буке при наличии нулевых корней характеристического уравнения. Дифференциальные уравнения, 1982, т.18, № 5, с. 911-912.

42. Шестаков A.A. О поведении интегральных кривых системы п дифференциальных уравнений (п >- 3) вблизи особой точки высшего порядка. Доклады АН СССР, 1951, т.79, № 2, с. 205-208.

43. Шестаков A.A. О распространении метода Бендиксона для двумерной системы на многомерные аналитические системы. Дифференциальные уравнения, 1970, т.6, № 9, с. 1708-1712.

44. Шестаков A.A. Об устойчивости решений многомерных систем дифференциальных уравнений без линейных членов. В кн.: Научные труды кафедры высшей математики /Моск. кооп. ин-т Центросоюза СССР - М.: МКИ, 1966, с. 1-12.

45. Шестаков A.A. Теорема о неустойчивости многомерных комплексных систем без линейных членов. В кн.: Научные труды кафедры высшей математики /Моск. кооп. ин-т Центросоюза СССР - М.: МКИ, 1966, с. 13-16.

46. Шестаков A.A. Об особых точках решений многомерной системы в комплексной области. - В кн.: Научные труды кафедры высшей математики /Моск. кооп. ин-т Центросоюза СССР - М.: МКИ, 1966, с. 1727.

47. Шестаков A.A., Муминов Н.С. О свойствах особых точек решений многомерной системы дифференциальных уравнений в комплексной области. В кн.: Научные труды кафедры высшей математики моек, кооп. ин-т Центросоюза СССР - М.: МКИ, 1966, с. 59-69.

48. Яблонский А.И. Общее представление решений второго уравнения Пенлеве. Доклады АН БССР, 1958, т.2, № 11.

49. Яблонский А.Н. К вопросу о числе полюсов решений второго уравнения Пенлеве. Доклады АН БССР, 1959, т.З, № 6.

50. Яблонский А.И. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве. Весщ АН БССР, 1959, серия ф1знса - тэхшчыя навук, т.З.

51. Яблонский А.И. О вычетах полюсов решений второго уравнения Пенлеве. Доклады АН БССР, 1960, т.4, № 2.

52. Яблонский А.И. Об одной системе дифференциальных уравнений без подвижных критических особых точек. Дифференциальные уравнения, 1966, т.2, № 6, с. 752-762.

53. Яблонский А.И. Системы дифференциальных уравнений, критические особые точки которых неподвижны. Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, № 3, с. 468-478.

54. Яблонский А.И. О подвижных особенностях систем дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, № 5, с. 749760.

55. Яблонский А.И. Аналитические свойства решений систем дифференциальных уравнений. Докторская диссертация, - Минск, 1971, -326 с.

56. Янке Э., Эдме Ф. Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.

57. Briot. Ch. and J. Cl. Bouguet, Recherches sur les propriétés des fouctions definier par des egnations différentielles. J. Ecole Imp. Polytech., 1856, t. 21, pp. 133-198.

58. Briot. Ch. and J. Cl. Bouguet, Memoire sur intégrations des eguations différentielles an moyen des fouctions elliptigues. J. Ecole Jmp. Polutech., 1856, t. 21, pp. 199-254.

59. Briot. Ch. and J. Cl. Bouguet, Theorie des fouctions elliptigues. 2nd ed. Paris, 1875, 700 p.

60. Burau F.J. Differential eguations with fixed critikal points "Ann. mat. Pura edappl". 1964, 66, pp. 1-16.

61. Dulac, H. Solutions d'un systeme d'eguations différentielles dans le voisinage de valeurs singuliers. Bull. Soc. Math., 40, 1912, pp. 324-383.

62. Fuchs, L. Über Differentialgleichungen deren Integrale feste verweigungspunkte besitzen. Sitzungsber. Akad., Berlin, 1884, pp. 699-710.

63. Fuchs, L. Über die Werte, welche die Integrale einer Differentialgleichungen erster Ordnung in singulären Punkten annehmen Können. Sitzungsber. Akad., Berlin, 1886, pp. 279-300.

64. Gambier, B. Sur les eguations différentielles du sekond ordre dont 1'integrale generalle est uniform. C.R. Akad. Sei. Paris, 1906, t.142, pp. 266-269, 1403-1406.

65. Gambier, B. Sur les eguations différentielles du sekond ordre et du pre-imier degre 1'integrale generalle est a points critigues fixes. Acta. Math., 1909, t.33, pp. 1-55.

66. Garnier, R. Etude de l'integrale generalle de l'eguation 4 de M.Painleve dans le voisinage de ses singularités trnscendentes. Ann. Sei. Ecole Norm. Sup., 1917, 34, pp. 239-353.

67. Garnier, R. Sur les systems différentielles du sekond ordre doint 1'integrale est uniform. Ann. Sei. Ecole Norm. Sup., 1960, S.3, 77, pp. 123-144.

68. Hermit, C. Conrs d'analyse de l'Ecole polytechnigue. 1873, 456 p.

69. Hille, E. Ordinaru differential eguations in the complex domain. New York e.a. John Wileg and Sons, 1976, 470 p.

70. Hsich, P. F. Recent advances in the analytic theory of nonlinear differential eguations with an irregular type singularity. Int. Conf. Differ. Eguat. 1974, New York, e.a. 1975, pp. 370-384.

71. Hukuhara, M. Sur les point singuliers des eguations différentielles lineaires, 2. J. Fac. Sei. Hokkaido Imp. Univ., 1937, 5. pp. 123-166; 3. Mem. Fac. Sei. Kyusgu Imp. Univ., 1941, S. A., 2, pp. 125-137.

72. Hukuhara, M. Integration formelle d'un systeme d'eguations differentialles nonlineairs dans le voisinage d'un point singular. Ann. Math, pura Appl., 1940, S.4, 19, pp. 35-44.

73. Iwano, M. Integration analytigue d'un systems d'eguations différentielles nonlineairs dans le voisinage d'un point singulier, 1. Ann. Math, pura Appl., 1957. S.4, 44, pp. 261-292; 2. 1959, S.4, 47, pp. 91-150.

74. Iwano, M. On a singular point of Briot Bouguet type of a system of two ordinary nonlinear differential eguations. Comment. Math. Univ. st. Pauli, 1963, 11, pp. 37-38.

75. Iwano, M. On a singular point of Briot Bouguet type of system of two ordinary nonlinear differential eguations. Pablications of the research institute for Mathematical sciences, 1966, S.A, vol. 2, № 1, pp. 17-115.

76. Iwano, M. Analytic expressions for bounded solutions of nonlinear ordinary differential eguations with an irregular type singular point. Ann. Math, pura Appl., 1969, S.4, 83, pp. 1-42.

77. Iwano, M. Analytic expressions for bounded solutions of nonlinear ordinary differential eguations with Briot Bouguet type singularity. Funkc. Ekvac., 1969, 12, pp. 41-88.

78. Iwano, M. Determinantion of stable domains for bounded solutions of simplified eguations. Funkc. Ekvac., 1970, vol. 12, № 3, pp. 251-258.

79. Iwano, M. Bounded solutions and stable domains of nonlinear ordinary differential eguations. Leeture Notes in Math., 183, Analytic Theory of Differential Eguations, 1971, pp. 59-127.

80. Iwano, M. Analytic integration of a system of nonlinear ordinary differential eguations with an irregular type singularity. 1. Ann. Math, pura Appl., 1972, S.4, 94, pp. 109-160; 2. 1974, S.4, 99, pp. 221-246.

81. Kimura, T. Sur les points singuliers essentielle mobiles des eguations différentielles du second ordre. Comment. Math. Univ. st. Pauli, 1956, 5, № 2, pp. 81-94.

82. Malmguist, J. Sur l'etude analytigue des solutions d'un systeme d'eguations différentielles dans la voisinage d'un point singular d'indéterminations. 1. Acta Math., 1941, 73, pp. 87-129.

83. Malmguist, J. Sur l'etude analytigue des solutions d'un systeme d'eguations différentielles dans la voisinage d'un point singular d'indéterminations. 1. 1942, 74, pp. 1-64.

84. Malmguist, J. Sur l'etude analytigue des solutions d'un systeme d'eguations différentielles dans la voisinage d'un point singular d'indéterminations. 1. 1942, 74, pp. 109-128.

85. Painleve, P. Sur les eguations différentielles d'ordre superienr doint l'integrale d'admit d'un nombie fini de determinations. C.R. Acad. Sc. Paris, 1893,1116, pp. 88-91, 173-176.

86. Painleve, P. Sur les singularités essentielles des eguations différentielles d'ordre superienr. C.R. Acad. Se. Paris, 1893,1.116, pp. 362-365.

87. Painleve, P. Lésons sur la théorie analytigue des eguations différentielles professes a Stockholm, 1895. Hermann, Paris, 1897, 589 p.

88. Painleve, P. Memorie sur les eguations différentielles doint l'integrale generali est uni form. Bull. Soc. Math. France, 1900, 28, pp. 201-261.

89. Painleve, P. Sur les eguations différentielles du second ordre et d'ordre superienr doint l'integrale generalle est uni form. Acta Math., 1902, 25, pp. 182.

90. Picard. E. Sur la form des l'integrale des eguations différentielles du scond ordre dans le voisinage de certains points critigues. C.R. Acad. Se. Paris, 1878, t.87, pp. 430-432, 743-745.

91. Picard, E. Sur une classe d'eguations différentielles doint l'integrale est uni form. C.R. Acad. Se. Paris, 1893, t.117, pp. 201-210.

92. Picard, E. Remargue sur les eguations différentielles. Extrait d'une lettre adressee a' M. Mittag Leffler. Acta. Math., 1893, 17, pp. 297-300.

93. Picard, E. Traite d'analyse, t.3, Paris, Ganthier Villars, 1828, pp. 23-31.

94. Poincare, H. Note sur les propriétés des fonctions defïnies par les eguations différentielles. J. Ecole Imp. Politech., 1878, ch. 45, pp. 13-26.125

95. Poincare, H. Sur les propriétés des fonctions definies par les eguations différentielles. J. Ecole Imp. Politech., 1879, ch. 45, pp. 1-95.

96. Poincare, H. Sur les intégrales des eguations lineaires. Acta. Math., 1886, 8, pp. 295-344.

97. Trjitzinsky, W. J. Singular point problems in the theory linear differential eguations. Bull. Amer. Math Soc., 1938. vol. 44, № 4, pp. 209-223.

98. Trjitzinsky, W. J. Analytic theory of non linear differen tial eguations. Memorial des Sci. Math., 90, Paris, Ganther - Villars, 1938, p. 87.