Непрерывные решения краевых задач для эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Институт теоретической и прикладной математики

РГБ ОД

~ 8 ЯН В 1395

На правах рукописи УДК 517.956.2

КАЛИНИНА ГАЛИНА АХМЕТОВНА

НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ллматы, 1995

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики ¡RH Республики Казахстан

Научные руководители - член-корреспондент HAH Республики Ка-

Ведущая организация - Казахский Национальный Технический Университет

Официальные оппонента -.доктор физико-математических наук

дяеншев м.т.,

■ кандидат физико-математических наук, дацэнт КАНГУЖН Б.Е.

3SC55TQ состоится > " ^ ' > 19э6г. в 15.00 часов нз

заседаний специализированного.совета Д 53.04.01 в Институте теоретической к прикладной математики HAH Республики Казахстан ко адресу: 480021, г.Алматы, 21, ул.Пушкина, 125.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТШ HAH PK.

ч У ?

Автореферат разослан " " ' I3S5r.

Ученый секретаре

захстан, доктор физико-математических наук, профессор БЛИЕВ Н.К., доктор физико-математических наук ТУНГАТАРОВ А.Б.

специализированного совета кандидат физико-МЕтематаческих наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Эллиптические уравнения и системы уравнений е частных производных и различные задачи к ним исследованы многими авторами в пространствах функций , до-пускаодих классические и обобщенные производные целых порядков, а также в дробных пространствах О.В.Бесова. Инерес к этой области дифференциальных уравнений не случаен, так как это

«4 w^C^C л uv. С". ' wIXO ITC ¿CwTIjAtC С

новых методов анализа, но тагае и с их применением к решению задач осесиилетрической теории поля, изгибаний поверхностей и деформации тонких безмомэнтных оболочек. В частности, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения возникает необходимость доказательства существования и изучены свойств непрерывных решений эллиптических. систем на плоскости с сингулярны?«! коэффициентами. Этой проблеме посЕящен ряд работ JI.Г.Михайлова, И.Н.Еекуа, Н.К.Еяпева, З.Д.Усманова, А.Б.ТунгатэроЕз. Трудность решения указанной задачи состоит е том, что при наличии сингулярной особенности в коэффициентах единый аналитический аппарат, подобный разработанному И.Н.Еекуа в регулярном случае, построить не удается. Поэтому приходится рассматривать лишь частные случаи, и для каждого конкретного уравнения проводить исследования "с нуля".

Кель_р§ботыЛ Целью реферируемой работы является построение аналитического аппаратз для изучения непрерывных решений эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами и краевых задач для них, исследование Еогфосов разрешмссти, свойств непрерывных решений указанных систем и краеЕых задач.-

М^е^мето^исслезоЕЕнхя. В диссертации используются метода теорта сингулярных интегральных уравнений, функционального анализа и теории функций комплексного переменного.

Научная_ноЕизна:, Получены следующие основные результаты:

1. Построены интегральные представления непрерывных решений обобщенной системы Коши-Римана с'сингулярными коэффициентами.

2. Построена теория непрерывных решений модельной системы эллиптических уравнений на плоскости с сингулярной точкой. Б частности, получены в явном виде решения • модельной системы, обобщенные формулы Коси, аналоги формул Сохоцкого-Племеля, разложение решений в ряды Тейлора и Лорана, доказаны теоремы единственности и ЛиуЕилля, решены задачи сопряжения, Дирихле и построено непрерывное в . смьше Гельдера решение сингулярного интегрального уравнения типа Копи.

3. В окрестности сингулярной точки построено в явном виде многообразие непрерывных решений эллиптической системы на плоскости с сингулярной точкой.

4. Решена в классе непрерывных функций задача Римана-Гильберта с начальным условием для эллиптической системы на плоскости с сингулярной точкой..

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы для изучения эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами, в'теории бесконечно .полых изгибаний поверхностей полонн-гедыгай угдзизеы с точкой уплолршя.

ЛароСацйя работа. Основные результата диссертации доклада-Еалисъ м обсуздалась-па научных семинарах лаборатория теории Суьхщй и'функционального анализа под руководством чл.-корр. КШ ГК, проф. Н.К.Блиевз {Длматы, 1933-19955,на семинаре кафедра

математического анализа КазГЯУ под руководством к.ф.-м.н., доцента Токибетовэ Ж.А. (Алматн,1994), на сежгааре лаборатории уравнений математической физики под руководством чл.-корр. НАК И£, д.ф.-м.н. с. К Ларина (Алмзты,1994г.), на X отчетно-научной" конференции КММ АН КазССР(Алмзты,1990г.),на Юбилейной научной конференции, посвященной 50-летию развития математики в Академии наук Казахстане (Алмзты,1995г.),на заседании школы-семинара

1Ш и МелаНИХб, ПОСЕЛчвННСГС Си-ЛОТИХ "Л. - "Срр. НЛН

РК Касимова А.К. (Алматы,1995г.).

Шй-ШИШ?!^ темв диссертации опубликовано 6 работ..

Диссертация изложена на '85 страницах, состоит из введения, двух глав и списка литературы. Библиография содержит 50 названий.

СОДЕРКАКИЗ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации и приведены ее основные результата.

Первая глава посЕяд;енэ исследованию разрешимости и свойсте решений уравнения

г-п'". «>

где Л (г) ,8(2) ГР(2)( ^(С), ¡>2 ,и А (*),&&) в точке г*0

удовлетворяют условию Гельдерэ с показателем 0<<¿<7 и А/0)? О , д(0)*0 , причем функция А(г1 е нуле принимает Еедественное значение. Здесь !} -одкссвязнзя область ксмзлеяснсй плоскости £ точек г -- х*^ - гс'^ , ограниченная простая гладким замкнутей контуром Г и содержащая внутри точку г = 0 . Гепения уравнения (1) будем искать в классе

€

С(?) п С} (Ъ-О)п V/* (а ) , р>2 . (2)

Здесь У^(С^) - пространство С.Л.Соболева , С- ($) -класс функций , для которых С(^) .

В п.1.1,1.2 получено интегральное уравнение по о<3ласти,посредством которого устанавливается связь между непрерывными реиениями уравнения (1) и уравнения

• ЪФ. Ш(±)л9 -о, шее. (3)

г 2 2 2 г (г/

Это уравнение - простейшая модель уравнения (I). Оно несет в себе основные закономерности, присущие решениям уравнения (I) Б п.1.1 рассматривается вспомогательное (модельное) уравнение, полученное из (I) путем згморакшанил коэффициентов А (г ) и В (г} в особой точке. Для модельного уравнения

где J * 0 - комплексный, / * 0 -действительная параметры, л г неотрицательное целое число, получен явный вид общего решения

IПг) >.9(*) * , г . (5)

Здесь

: .01 Щм>т + Щ&Щ]^ , (6)

<?(*) - общее ровеяиэ из класса (2) уравнения (4) при ?/г):0. еупкцаа 5?, и шписана явно в а Л Л н в вашск.:ос-

ти от значения аарааетров $ , Л ,п ¡газет- раастащз крэдеташга-ьдл. Она обладают сладу екжз свойствам.

Лемма 1.1. Функции (г,?) и (*,?) в зависимости от знака у имеют следующие представления

у

Я {*,■$)-- 9,Лгл) * .если .

+ • если 3<°

(¿Г ,.»!'«•,

Йг)" , '*!<<?< •

121 Х-?*

2;„Г ^ ' /ъ)к-геа5к(Г-Г)

V —

22 Ш

' J С

2т Г

¿■Ш

к

- /г)*-г сох *

е2^ 22 (тГ"'

х-[-ПН

а

Функции и непрерывны по совокупности пере-

менных г и ^ всюду на Е , за исключением точек 2= у ,а при существуют конечные пределы справа и слвЕа.

Исследовании свойств оператора посвящены следую-

щие леммы.

Лемма 1.2. Если ^(г)еЬр(О, р>2 , то функция к (г) 5 = непрерывна'на всей плоскости.

Лемма 1.3. Оператор ^ вполне непрерывен как оператор из , р>2 , в С(^) . При этом

где Л - максимальное расстояние от г -О до точек границы области С, , М> 0 и эе > 0 - Еполне определенные постоянные.

Лемма 1.4.Если ¿(г) ( Ьр (£) , р>2 , то к (г) = (^д/)(?) допускает произЕодную по 5 , которая непрерывна в $-0 и вне

£ , а в С, 'принадлежит пространству ) ,р>2 . В об-

ласти С} функция £.(2) является решением уравнения (4), а Ене £ удовлетворяет уравнению (4) при /И)й0 Из полученных в п.1.1 результатов следует Теорема 1.1. Общее решение уравнения (4) из класса С(С!)п С-- (С,-0)п иг/ (4 ) . р>г , имеет вид \'(г) = 9(г) * ($<;/}и) , г * С ,

где *Р(г) - общее решение уравнения (3) из того же класса.

В п.1.2 получено интегральное уравнение для \\flz) - решений уравнения (I)

где Ф(2) - решение уравнения (3) из класса (2). Доказана

Теорема 1.2. Интегральное уравнение (7) устанавливает " связь между множествами решений из класса (2) уравнений (I) и (3). Если V(г) - решение из (2) уравнения (1),то соответствующее решение <Р(г) уравнения (3) определяется однизиачми ¿ОрмуЛЫ (7). »' ОираТКО, 5СЛИ ДЛЛ ПСКСТСрСГС решения Т(г) из класса (2) уравнения (3) интегральное уравнение (7) имеет решение IV(г) из того же, класса,то оно будет удовлетворять почти Есюду уравнению (I).

Б п. 1.3,1.4 мы подробно остановимся на свойствах решений уравнения (4). В п.1.3 получены обобщенные формулы Коши для решения уравнения (4) из класса

л V/} 14) , 1</><В: (8)

1. Г т)и .

т V £ г

г

2Я<.

Г

V(г) при г е ?, % У(г) ГФ11 г г Г, "о при г £ £ + Г

(9)

где с/<Т - внутренний угол контура Г в точке г

В п.1.4 с псмссью формулы (9) исследуются граничные свойства решений кз класса (8) уравнения

* ЫтТ7" 0 > <10>

где С, = [ 1: !?Н Я] с гракгцей Г ■[Ь : Ш-Щ . Получено оСсее решение уравнения <10) е. классе (8)(яекнй вид решения ззейск? от значений ¡тг-рьметров ¡Г ,J ,л и представлен в п. 1.4) и

доказаны следующие теоремы.

Теорема 1;3. Любое решение уравнения (10) из класса (8) обращается в нуль в точке г = 0 .

Теорема 1.4. Если решение уравнения (10) из класса (8) ограничено во всей комплексной плоскости, то У(2)= 0 .

Теорема 1.5. Если решение уравнения (10) из класса (8) обращается в нуль на некотором бесконечном множестве точек области С, , имеющем хотя бы одну предельную точку, принадлежащую С , то У(г)вО в С, .

Пусть [г: И КГ?) к

■ УМ = & (2Л)*Ц) си - Ш) Д . (И)

где , 0<^< 1 . Интеграл (II) определяет две

самостоятельные функции У*(2) и VII) соотЕетствешо в областях С и . В пЛ .4 доказывается, что каждая из них является решением уравнения (10), причем V* (И е С (С) а \/р

П с_ (С-0) С(а->Г)пЫр110~~) п С /С"), Н/»2, и .

Далее, выведен аналог известных формул Сохоцкого-Племеля

У*По)*£д(и)+У1и) , ууи) ,

где '

УН.) -- -1. ^ШМлУ- 2фЛ, г

и доквзены следующие теоремы.

Теорема 1.6. Задача нахоздения кусочно-непрерывного реша-1П1Я уравнения (10), исчезавдаго па бесконечности, по условию У*Н)-УМ~дц) , аг , .где да) -'заданная фикция из

, 0<*(<■!, к.мет едонствэшюе решение, определяемое по формуле (II).

Теорема 1.7. Для того, чтобы ^(И , , была граничным значением функции V +(г} , н 6 , являющейся решением уравнения (10) из класса ) пС- 0} , 1<р<2 , необходимо и достаточно выполнения условия

2Л~1 и ± t

г

Теорема 1.8. Для того, чтобы , ИГ , бала граничны!

значением функции У <гУ , г {, являпденся решением ура имения (10) из класса Мр'№~)п С. (СГ) , 1<р<2> , необходимо и достаточно выполнения условия

-Х.у - = О, г

В п.1.4 рассмотрено также интегральное уравнение

м _ Ог1Ь11^7]ы1 (И)"

г г ч «

где £<>«Т , дИ) - искомая, а - заданная функции, удоз-летЕоряюцие условию Гельдера, и доказана

Теорема 1.9. Уравнение (12) имеет эданствеипод рвшэнлэ, определяемое равенством

I (и)/ _ ОзЛ^Л а* .,

Крема того, с п. 1,4 для резонна урагдагсм (10) з 1сруговс«_ кольца Ко < ¡1 !< получал гшялог рада . Лсроза, что

позволяет осуществить классэтфжзщгэ еозшггзи оссбс-шзстса фукядаз 1^7з) а точкч .

Предметом изуюяяя старой г лага язлззотся уразаояга

*!il-w <■ lH2w =F(i), itQ, (13)

2 in in

где ,А(г),В(г) e SIC,) , , <Г =

2 1 2 ' t -$Н*9)-8 ' В = 2ji/H-p)'0< r<-/ , 0<ß<i ; С, =/i!/if<ßJ ,

Г - /г: Hf-ß} • Здесь S/Q) -класс измеримых и существенно ограниченных функций f(i) с нормой if ц = sup vidi I /и)/;

- класс функций f(i) . представимих. в Q в виде /(2)-1ъ1 Д U), гда f0a)eSIQ) . <Г - действительное число. Норма в $fiQ) определяется по формуле f/// - //l2lr/(i)/l . Предполагается, что в £ справедливо неравенство

. (U,

р>°

тда м ff

Ar it<; % l*rL Um* -mi'l

В п.2.I получено равенство

ИГ6 f __JJIÜ

Ы-ßJX С, ¡¿j*'1 We-zw6) = (itß){i-t)

Поэтому э

M > —-— . ß<* U+ß)H-*)

■ Во Бторой главе доказывается существование решений уравнения (13) е классе

Wi JS^(G) , 2<i < V , 0<€<t. (I5)

Как следует из теорем вложения; W <^(Сг) ), «i =У - ¡f- ,

если £>2 .В п.2.1 найдены решения из класса (15) уравнения (13):

W(i) = ( Три. )(i) + г /г/0 <? (г/г1°) (16)

4

где С*~(С,), 4>(г')е U0 (Q1), С,' - образ С-

гпзи

О'

говраюнни г'=2/г/' , (Т*{)(г). Ст£/)(г)-(т£/)(0) ,

иы) - решение из класса <> ($) , 0 , уравнения

НИ) : ~ (JC. И)(г) 5- А!г) и^и(г) + е'*/г/* • • Ч>(Цг!»))-Ш Ц* и (г) * е1*121<> ¥(г1г1»)} + Р1г), (17)

Здесь 1/р (6) - класс голоморфных в £ , .функций. В п.2.1 показали, чю при вы^слпстеп: ус.:сп::я. (14) уряпняям» (17 ) имеет единственное решение в классе (С,) . О <<Х< I . Эти результаты сформулированы в Еиде теоремы.

Теорема 2.1. Если имеет место оценка (14)( то уравнение (13) разрешимо в классе (15). Решения и'з этого класса могут быть найдены по формуле (16), где 11 (ъ) - решение уравнения (17)'из класса ^ / £) , 0<С<1 .

В п.2.2 изучены сеоЯстеэ непрерывных решений уравнения (13) при Р(г)во в окрестности сингулярной точки. Решения здесь отнсккеэются в классе

(18)

где къО - целое число. Решения уравнения (13) при Fli)~0 найдены нзми в следующем виде:

о

Wli)=(ilils}KT^Uii} + (гЦ!8}*"? Hill*) . ' <19)

Здесь <Р(г') « I/o (Cr) , Uli) - решение из ß¿{Cr), 0<€<i ,

уравнения

Kl*)-- - (ЛГ >К)1г) s ~лм (J° .

(f

■g>(3 II 1*1) - Вл (2){J° KU) f <p(2/w)f

н

е-*** 8 ti) , fratgl . Доказано, что при выполнении услоеия (14) последнее уравнение имеет единственное решение из ß^iG-) и справедлива

Теорема 2.2. Уравнение {13) при Р(г)=0 разрешимо в классе (18). Решения из этого класса могут быть найдены по формуле (19).

СладстЕле 2.1. Для любого целого числа къо существует решение уравнения (13) при Г(г) = 0 , имеющее в точке 2=0 нуль кратности »с (<*&) .

С шиощьв формулы (19). построено интегральное представление ¡2-го рода решений уравнения (13) при Р(г)вО из класса (IS». Пусть = (AW +В1г) fjß)/iaf если /in * о .

s / г ( ¡ü/г) *ßfe))/til. если pal-0 . Любое решение уравнения (13) при F/í)s 0 в Q можно представить в виде

Ы{г) - 9(иг)*) ■ exp wai, {20)

где и>(г) = - .

С помощью этой формулы доказывается

Теорема 2.3. Любое решение уравнения (13) при F(¿) s 0 из класса <18) представимо в гиде (20), где eP(2lne ) е

* Z-Mum-nn tb) Щ ■

Следствие 2.2. Если непрерывное в Q- реленае Wd) уравнения (13) при Р(г)в0 имеет куль бесконечного порядка в точке г -о , то U/(i)sO в <? .

В п.2.3 решается задача Гимзна-Гильберта с нэчашшм • условием для уравнения (13). Пусть Y>0 , , Kt)) , i - / -

м' = fJüZltf____:___, ,

Л* iíQ I 11-ря Q. ir/*"

А т

/__ ***_ )

, Я/**11Лг"*в,-Х/Х19*>г1»/ /

«-¿}ЯГ £ ЯР*1 ¡Л гн,в>-Предполагается, что А(г), &(г)е $ ¡(}) , Я (г) 6 $

А = ' < -¿г . (21)

Задача и-о: Найти решение уравнения (13) из класса Р/л

2 % 2<2<<? ' 0<<г<{ , удовлетворяющее условиям

ММ -- О (»1*Н'9Ч , г .

Ае [ГтЫИ)1 =§И), ¿(-Г,

где $ И) ( С* (Г), ы ' ^ , т. - целое число.

При выполнении условия (21) и т. >[>)] найдено решение задачи

п-о в Биде

IV (г) -- (?М')к( Т'^ии) * ^ {:/г/<>) +

(22)

где ь, » п-к , ^ ,

Т ? ИЬ) - Г ' к/а; - /Г

С.» <? и-з}л/гг»'-<*'1»Л у (Агн">-5ШвгМ9)'

л-5

^ Г*/./'; * Г К

♦ 7р„ Кип')«-

■> 4Я(Ч, (Иг!*)*'1 . ее-"21

^„(•ии6)*^*. • *. "'».л < 0, я-г ) И

- прсизтлшзэ дайствиталышэ тлела. Здесь Я (г) - решение аз класса $ уравнения

lt(2)z-(Jl U)(i) = - Щ) Г Tß %1г) + С, л- ' ш '

+ 73 * fa (*}г>*) * 2,1,6 - 757 ■

'( 7Mt(г) * z>£ + i/2i*9Jiiiio))+ F^d),

где ^ n e2^BU) , Fk (г) -- (ime)~kf(i). Доказывается, что последнее уравнение имеет единственное решение из $д(й) и справедлива

Теорема 2.4. При т>[]>] неоднородная задача я-с всегда разрешима, а соответствующая однородная задача имеет 2 (т-L\J])-i линейно независимых решений над полем вещественных чисел. Эти решения находятся по формуле (22).

При tn 3 [ОJ в п.2.3 найдены достаточные условия разресамости задачи K-G, решения этой задачи при Екполнеюгл указанных условий п доказана

Теорема 2.5. При т. г £г>3 для разрешимости еадэчи r-g достаточно выполнения 2 {L01-m)*i условий.

Б заключение автор Екражает глубокую благодарность члэну-корреспондету HAK Республики Казахстан Блиеву К.К. и доктору Сиз.-мйт. наук Тунгатарову А.Б. за их неоценимую помощь и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Калинина Г.А., Тунгатаров А. Об одном классе эллиптических систем с сингулярной точкой на плоскости / Обобщенные аналитические функции и их применения.-Караганда,1&Э1.С.61-74.

2. Калинина Г.А. Обобщенная формулз Коши для одной эллиптической системы с сингулярной точкой из плоскости // Тез.докл.

-х-

когф. "Применение методов теории функций к фунхцазпадмк'ГО анализа к задачам математической физики".-Алмэтн, 1 ££3 .С.54-

3. Калинина Г.А. О непрериЕшх решениях одной эллиптической системы с сингулярной точкой на плоскостя//Деп.в КазгосИКТИ. -13.09.94.-Я5314-КЭ4.

4. Калинина Г.А. Задача Рямзнэ-Гкльберта с начальным условием для одной эллиптической системы с сингулярной точкой на плоскости//Деп.е КззгосЖШ. -13.09.94.-.'г315-КЭ4.

к. кялшг>ша Г.А. Граничные свойства обобщенных аналитических функций с сингулярной точкой//Тез .Юбилейной научной конф., поев.50-летим развития математики в Академии наук Казахстана. -Алматы, 1995. С. 117.

6. Калинина Г.А. О задаче Риманз-Гильберта для одной эллиптической системы с сингулярной' точкой//Мэтериалы школн-семинз-ра по математике и механике, поев.60-летию чл.-корр.НАН КС К.А.Каснмовв.-АлматыЛ995.С.82.

Г.А.Калинина

"Яазыктыкта сингулярлы коэ<фщиенттер1 бар эллиптикэлык жтйелер yqih шекзралык есептердщ уз!л1сс1в шеа1мдер1"

Кыскаша мазмгндамэ Диссертацияда сингулярлы коэффициеяттер! бэр ек! эллипти-каяык югйелердщ узхл1сс1з шеспмдершШ бар болуы, осы Y3Uic-cta шепшадердШ сингулярлык нтктенШ манаЯындагы кэне шекара-

лнк касивттер! зерттелед!. *

G.A.Kalinina

"Continuous Eolutione of elliptic system boundary problems in the plane with singular coefficients" Summary

In the dissertation continuous solutions of 2 elliptic systems in the plane with singular coefficients are considered in the neighbourhood of the singular point . For these solutions the existence is proved , as well as properties and boundary properties are considered.