Исследования многообразий решений и краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Мухсинов Абдулкосим

ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГООБРАЗИЙ РЕШЕНИЙ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ (СИНГУЛЯРНЫХ) УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Душанбе-2010 2 5 ЩР ?Г)1д

003494622

Работа выполнена в Худжандском государственном университете имени академика Б. Г'афурова

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, академик АН РТ, профессор Михайлов Леонид Григорьевич

доктор физико-математических

наук, профессор

Кожанов Александр Иванович

доктор физико-математических наук Байзаев Сатгор

доктор физико-математических

наук, профессор

Наймов Алижон Набиджанович

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики

Защита состоится 24 февраля 2010 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ, 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан Л ?. О-С. ££>-»' С

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. После работы М. В. Келдыша 1951г.1 и монографий 1966г. М. М. Смирнова2 и А. В. Бицадзе 3 и др. вырождающиеся уравнения приобрели значительную известность.

Методы исследования разрешимости краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, основанные на теории вложения весовых пространств дифференцируемых функций, были разработаны в работах С.М.Никольского,4 П.И.Лизоркина,5 Л.Д.Кудрявцева,6 Х.Трибеля7 и др.

Разработки по проблеме, к которой непосредственно относится предлагаемая диссертация, были начаты Л.Г. Михайловым8 еще в 1957г., о чем можно судить по его монографии «Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами», изданной Академией наук Таджикской ССР 1963г., которая в переводе на английский язык затем переиздана в Голландии (Wolters - Noord Hoff Publ, Groningen, 1970) и в Германии ( Academic -Verlag, Berlin, 1970). В этих работах Л.Г. Михайловым были начаты исследования уравнений вида

Дм+£^<+£Йм = 0, га=2>2, О*)

к=1 Г г /ЫО

1 Келдыш М.В. - ДАН СССР, т.77, № 1, 1951, с. 11 - 14., ДАН СССР, т.77, № 2, 1951, с. 181-183.

2 Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, -М., «Наука» 1966, 292с.

3 Бицадзе A.B. - Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, -М., «Наука», 1966, 204с.

4 Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. - Известия вузов. Матема -тика, 1988, №8, с. 4 - 30.

5 Лизоркин П.И. - ДАН СССР, 1978, т. 239, №4, с. 789 - 792.

6 Кудрявцев Л.Д. - Труды Математического института им. В.А.Стеклова, 1959, т. 55, с.167- 182.

7 ТрибельХ.Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференци -альные операторы, -М: Мир 1980. 511 с.

8 Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами.

- Душанбе: Издательство А.Н. Таджикской ССР. 1963 г. 184 с.

названых им «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами», однако ясно, что если (1*) умножить на г2, то можно говорить об уравнении, испытывающем вырождение порядка до нулевого. Если с(х) = 0 и п = 2, уравнение (1*) сводится к обобщенной системе Коши - Римана.

Классический метод объемных потенциалов приводит к интегральному уравнению <р = Кф + /, где К не является вполне непрерывным. Они образуют новый класс особых (нефредгольмовых) интегральных уравнений, специально изучавшихся Л.Г. Михайловым. Он показал, что если величины

sup|bA supjc(x)| либо \bk (о)|, |c(o)j в случае непрерывности

d d

bk{x), с{х) вместе с числом ß подчинены некоторым условиям

малости, то в сингулярных классах Cß,Mß,..., имеют место

утверждения о существовании многообразия решений и разрешимости краевых задач. Актуальной оставалась задача изучения уравнений без условий малости и в обычных классах.

Исследования Л.Г.Михайлова были продолжены затем его учениками: А.И. Ачильдиевым9 изучалось (1*) при с(х) < 0 на основе принципа максимума. В его работах рассмотрены свойства регулярных решений вырождающихся уравнений, связанные с принципом максимума и доказаны теоремы существования смешанной задачи. В работах З.Д. Усманова10 по теории обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной точкой, был разработан метод интегральных уравнений с вполне непрерывным оператором, посредством которого при условиях малости величины

|b(z)-b(o)| или же области D, устанавливалась взаимнооднозначное соответствие между непрерывными решениями обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной точкой и

9 Ачильдиев А.И. - ДАН СССР, т. 152, №1, 1963, - Докл. АН Тадж. ССР, т. 4, №1, 1961, - Изв. отд. геолг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР, вып. 2(8), 1962.

10 Усманов З.Д. - Сиб. матем. журн., т.14, №5(1973) с. 1078 - 1078., - Докл. АН Тадж. ССР, т. 14, №11, 1971 с. 16-20., - Докл. АН Тадж. ССР, т. 15, №4, 1972 с. 10-13.

вспомогательной модельной системы. В таких ограничениях построена теория решений обобщенной системы Коши - Римана с сингулярной точкой. Н. Раджабовым11 рассматривались вырождающиеся уравнения различных типов. В его работах даётся интегральное представление многообразия решений ряда уравнений в частных производных высшего порядка с сингулярными поверхностями, через решение дифференциальных уравнений высшего порядка с регулярными коэффициентами. Эти представления используются при решении основных краевых задач и задач типа Рикье. Данный метод применяется для решения осесимметри-ческой задачи гидродинамики. В работах М. Турсунова12 в классе функций, удовлетворяющих в нуле условиям типа излучения, исследованы картина разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения (1*) в случае, когда п = 2, с(0) < 0 и особенность коэффициента выше второго порядка.

Проблемам разложений по собственным функциям дифференциальных операторов посвящено достаточно много работ: О.А.Ладыженской,13 В.А.Ильина,14 Ю.М.Березанского,15 Э.Титчмарша,16 А.Н.Боголюбова,17 Б.М.Левитана,18 М.Исматова19 и др.

п Раджабов Н.Р. - ДАН СССР, 1976, т. 228, №4, с. 801- 804., - ДАН СССР, 1977, т. 233, №5, с. 796 - 799., - Изв. отд. геояг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР, вып. 2(8), 1973, с. 10-17; 1974, №4(53), с. 3 - 14.

12 Турсунов М. - Докл. АН Тадж.ССР, т. 2, № 5,1969 с. 3-6., - Докл. АН Тадж ССР, т. 15, №2, 1972 с. 11-14.

в Ладыженская O.A. - ДАН СССР, 1950, т. 74, №3, с. 417 - 420, - ДАН СССР, 1950, т. 75, Jy'»6, с. 763 - 768, - ДАН СССР, 1955, т. 102, №2, с. 207 - 210 .

м Илыш В.А. - ДАН СССР, т.105, №2,1955, с. 210-213., - ДАН СССР, т.114, №4, 1957, с. 650-652, - ДАН СССР, т.114, №4, 1957., с. 698-701, - ДАН СССР, т.227„ №4, 1976, с. 796-799., - ДАН СССР, т.273, №5, 1983, с. 1048 - 1053.

15 Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. - «Наукова думка», Киев, 1965, 798с.

!6 Титчмарш ЭЛ. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка т. 1. - ИЛ: Москва 1960, 278с. т.2. - ИЛ: Москва 1961, 555с.

17 Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике, - М., Изд- во МГУ, 1998, 320с.

18 Левитан Б.М. Разложения по собственным функциям, - ГИТТЛ, Москва -Ленинград, 1950, 159с.

Однако разработкам этих проблем для дифференциальных уравнений, испытывающих вырождение порядка, посвящено меньшее количество исследований. Сюда могут быть отнесены, рассматриваемые в диссертации следующие задачи: построение многообразий решений, получение теорем о разрешимости краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типа, а именно для следующих уравнений:

-г2Ш(х) + <?Щх) = /(я) , (1)

-р2&и + Ч2и = /(х,г), р = \х | (2)

-гШ + д2и = /(х,г), (3)

■Аи +

(г 2 \ Л Л

и = 0 , (4)

/

где в первом уравнении х = (х,, х2,..., хт ) - точка т - мерного

' т

пространства Ят, г2 = ^х^ - квадрат расстояния до начала

к=\

координат, Д = Дт - т - мерный оператор Лапласа, во втором и третьем уравнении (х,г) = (хх,х2,...,хт,г) - точка т + \-

т

мерного пространства , р1 - квадрат расстояния до

т

оси Ог, Д = У--1--- (т + IV мерный оператор Лапласа.

ыдХк дг

Соответствующие однородные уравнения обозначим через (10), (2о), (30).

Мы будем рассматривать также уравнения с особенностью более высокого порядка, то есть когда множителями

19 Исматов М. - Докл. АН Тадж. ССР, т. 16, №7, 1973 с. 3-6., - Докл. АН Тадж. ССР, т. 18, №10, 1975 с. 3-6., - Всесоюзный журнал «Диф. уравнения » - Минск,

1975, т.2, №2, с. 2220-2230., - Всесоюзный журнал «Диф. уравнения » - Минск,

1976, т. 12, №10, с. 1824- 1831

при операторе Лапласа будут r2+2v, p2+2v\ z2+2v, v > 0 , вместо

„2 „2 _2 г , р ,z .

Цель работы. Получение интегральных представлений многообразий решений, а так же интегральных представлений решений тех или иных краевых задач.

Методы исследования. Метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов типа Бесселя; метод разделения переменных и методы теории функций, функционального анализа и математической физики.

Научная новизна.

1. Для произвольной т - мерной ограниченной области D с кусочно-гладкой границей Г, когда D содержит точку нуль строго внутри, получено интегральное представление многообразия решений уравнения с сингулярной точкой

~\x\2AU(x) + q2U(x) = f(x) , x = (xlsx2,...,xm)

в виде аналогов потенциалов объемного, простого и двойного слоя.

2. Для однородного уравнения (10) и несколько более общего получены решения основных краевых задач и их разложения по собственным функциям в шаре, вне шара и в шаровом слое.

Для однородного уравнения (10) в шаре, либо вне шара, получены интегральные представления решений первых трех краевых задач; ядра этих представлений подобны ядру Пуассона.

3. В произвольной трехмерной области D, ограниченной замкнутой поверхностью S, методом интегральных уравнений установлено соответствие между множествами непрерывных в замкнутой области D решений уравнения

-r2AW + b(x)W = F(x), х е D с R,, г =

и решениями однородного уравнения (10) [при q2=b(0)] из класса C2(D). Для достаточно малых областей соответствие будет взаимно - однозначным.

4. Для однородного уравнения (1о) с особенностью г2+2у, г > 0, построены две серии собственных функций и получены решения основных краевых задач в виде разложения по этим собственным функциям в шаре, вне шара и в шаровом слое. Доказаны абсолютная и равномерная сходимость полученных разложений.

5. Для однородных уравнений (20) и (30) решены первая, вторая и третья краевые задачи. Решения этих задач получены в виде разложения по собственным функциям. Доказаны абсолютная и равномерная сходимость полученных разложений.

6. В случае трёх переменных для неоднородных уравнений (2) и (3), применяя разложения Фурье - Бесселя, найдены интегральные представления их решений.

7. Для уравнений

-р2+2иАи + д2и = 0 и -z2^v^U + q2U = 0 методом интегральных уравнений, доказаны теоремы существования, как собственных функций, так и решений краевых задач.

8. Для уравнения (4) даны как постановки, так и решения краевых задач.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты, полученные в работе, являются новыми. Они могут быть использованы для изучения проблем разложения по собственным функциям сингулярных дифференциальных операторов теоретической и математической физики. Их можно использовать также при исследовании как динамических, так и стационарных процессов различной физической природы (теории колебаний, теплопроводности, диффузии и др.).

Апробация работы. Материалы диссертации неоднократно докладывались на общеинститутском семинаре Института математики АН РТ; на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений под руководством академика АН РТ Михайлова Л.Г; на научном семинаре под руководством члена -корреспондента АН РТ Мухамадиева Э. М. (Худжандский госуниверситет им. академика Б. Гафурова); на расширенном заседании семинара института Прикладной математики им И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета; на

юбилейной научной конференции «50- летие развития математики в АН Казахстана», Алма-Аты; на конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения» - Сулюкта; а также на ряде международных конференций; проводившихся в г. Душанбе и на ежегодных конференциях Худжандского государственного университета им. академика Б. Гафурова.

Публикации и личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. По теме диссертации опубликовано 20 работ, одно из которых - в Докладах АН России выполнено в соавторстве с научным консультантом Л.Г. Михайловым.

Структура диссертации. Работа состоит из оглавления, введения, четырех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Список литературы содержит 90 наименований. Работа изложена на 230 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, приводится обзор литературных источников, обосновывается актуальность темы, кратко излагаются основные результаты диссертации.

Первые три главы посвящены уравнениям (1) - (4) в пространстве трех измерений.

Первая глава посвящена уравнению с сингулярной точкой (1) и состоит из 6 параграфов; проводится изучение общих свойств уравнения (1), её многообразия решений и разрешимости краевых задач.

В § 1 строятся частные решения однородного уравнения (10) и более общего чем (10) уравнения с постоянными коэффициентами

- г2(АС/ + аи'х + ЪЩ + си',) + = 0.

В § 2 для однородного уравнения (10) построены решения трех первых внутренних краевых задач в шаре.

Следуя 20 символами С\{В) и С02(I)) будем обозначать классы функций один раз или дважды непрерывно дифферен-

20 Михайлов Л.Г. - ДАН СССР т.319, №1,1991, с. 46-32.

цируемых вне нуля и непрерывных всюду, включая точку

нуль; 5,5'— точки единичной сферы, (5,/) - скалярное

произведение,! /'„(о) - полиномы Лежандра порядка п, 2а2 = (2п +1)^ + ц2.

Теорема 1.2.1. Задача = /(5), где

для уравнения (Iо) в СЦ(Шп) имеет единственное решение

£/(*) = j- \çi{x,y)f(y)dySR,

4 л о

причем ^(х,^) отличается от ядра Пуассона на слагаемое, которое непрерывно в замкнутом шаре и обращается в нуль на поверхности шара.

Теорема 1.2.2. Задача 2- ^

- fis), где f(s)eC(SR),

or

для уравнения (1о) в Cq(LLIr) имеет единственное решение U(x) = ~- ¡a\x,y)f(y)dySR.

Ц'Ж с

6R

Удвоенная производная по г = |х| от ядра Q* (х,

отличается от ядра Пуассона на слагаемое, которое непрерывно на замкнутом шаре и обращается в нуль на поверхности шара.

Теорема 1.2.3. При h > О краевая задача

= /О), /О) б C(SR) для (10) в классе С2(ШК)

2 *L + kU

ôr

г = Я

имеет и при этом единственное решение

= \a"{x,y)f(y)dySR.

ч7Т о

Если число к < 0 корень уравнения 2(Хп — 1 + Rh = 0 при некотором целом значении п — щ, то третья краевая задача,

либо не имеет решении, либо решение существует, по неединственно. Условием разрешимости при этом является

sr

LLIR:

В п. 1 из §2 для (1о) изучены краевые задачи вне шара -г2Аи + д2и = 0 при г>К,

L\U] = а - ßU er

r = R

причем в качестве условия излучения берется lim С/(г,<р) = 0.

г—

Поскольку решения этих задач найдены в виде рядов: решение первой внешней задачи (а = 0, ß = —1)

£/(г..>- ti*.

л=0\Г J

ад

(5)

решение второй внешней задачи (а ~ 2, ß = 0)

R (R

i

"ад

п-o 2«„ + lU

решение внешней третьей задачи, (а = 2, ß — h> 0)

1

I-— 2

R

где

2я + 1

ад,

то после просуммирование их, для всех краевых задач получим обобщенные формулы Пуассона.

Так, например, для внешней первой задачи имеем Щх) = ~~ + ()(х,у)\[(у)с1у8к ,

где ядро Пуассона и

я=0

Л

Я ) 2

(-Т

В п. 2 из §2 даны формулы представления решений краевых задач для однородного уравнения (10)

-r2AU + q2U = 0 в шаровом слое а<г<Ь

г ~а

ФЬ

а,

дУ дг

+/з2и

г-Ъ

Рассмотренные относящиеся к регулярным уравнениям все три указанные выше задачи в шаровом слое а<г <Ь позволяют получить решения этих же задач для сингулярного случая.

В § 3 получено интегральное представление многообразия решений неоднородного уравнения (1) в произвольной ограниченной области £> с кусочно-гладкой границей Г, когда О содержит точку нуль строго внутри себя:

+

^ И

(б)

4я

где обозначено

X

2/с + 1

оо

I

^2к + \( р^к~

к=О

2 аь

9

Р

р>г,

р<г,

\Г

Р — г -1*|> V - внешняя нормаль.

Интегралы в этой формуле назовем соответственно аналогами потенциала простого слоя, потенциала двойного слоя и объемного потенциала. Мы их назвали аналогами потенциалов

потому, что при # = 0, 0(х, у) - \х - эти интегралы превращаются в обычные потенциалы. Используя, явный вид и свойства функции П(х, показано, что аналоги потенциалов простого и двойного слоя являются решениями однородного уравнения (10), а аналог объемного потенциала - решением неоднородного уравнения (1) из класса Сц(£>)

Теорема 1.3.2. 1) если /(х) б С1 (/£/,), то частное решение неоднородного уравнения (1) из класса С\ (III]) дается интегральным оператором

\У\

ядро которого однородно порядка -3, удовлетворяет условию суммируемости

|ур2|0(г,.у)|ф<а>, е = (1,0,0)

Яз

и обладает свойством вырождения:

т-

£ =4/(0),

. М<* )х=0 4

что для (1) равносильно соотношению (г2 Ш\=0=0.

2) если и(х) е С$(К3) является решением однородного уравнения (10) на всем пространстве и ограничена, то С/(х) з О (аналог теоремы Лиувилля).

В § 4 получена формула представления решений немодельного уравнения

-г2А1Г + Ь(х)Ж = Г(х), хе£>сД3, г = |х|, (7)

где Щх) 6 С2(£>),.Р(х) е С (В), коэффициент Ь(х) непрерывен

в I) причем ¿(0) = с/2 > О и |б(х)-й(0)] <В-|х|а, а >0 в малой окрестности точки х = 0 .

Запишем (7) следующим образом -г2А1¥ + д2Ж = Е(х) + Ь(х)Яг(х), Ь(х) = Ь(0)-Ь(х). (8)

Если положить /(х) = /г(х)+Ь (х)]¥(х), то (7) принимает вид уравнения (1).

Поэтому применение формулы (6) к уравнению (8) приводит к следующему интегральному уравнению для IV{х):

РГ(х) = и(х)+~ ¡Щ^Г(у)с/у+~ \ЩУ1ь{у)Ш{у)с1у, (9) 4жо Н 4л"о И

где и(х) решение однородного уравнения (1 о). Теорема 1.4.2. Пусть для всех х е £) выполнено условие

, Я О ^^

1п 7-7 + 2 + —-

|й(х)|<1. (10)

Тогда формулы (9) и IV(х) = 17(х) + Б+ Ка (и + 30Р), устанавливают взаимнооднозначное соответствие между множествами непрерывных решений уравнения (7) и однородного уравнения (1 о), где Яп — резольвента оператора

4яг J

О

t^á |y|

Отметим, что условие (10) в малой окрестности нуля выполняется.

В §5 для уравнения с особенностью высокого порядка -r2+2"MI(x) + q2U(x) = 0, v>0 , х = (х„;с2,х3)е (И) построены две серии решений:

r%n^r~v)Yn(s\, г->КЬ1+и2Д,ПУМ, (12)

гДе 12,14-1/21'Сг"")' K2,!+i/2v(wr~1') - модифицированные функции Бесселя (функции Макдональда), см.21

В пунктах 1, 2 §6 построены решения краевых задач для уравнения (10) внутри шара, вне шара и в шаровом слое, в виде разложения по решениям вида (И). Доказаны абсолютная и равномерная сходимость полученных разложений.

Уравнениям с сингулярными линиями (2) посвящена глава II работы. Здесь проводится изучение общих свойств уравнения и исследование краевых задач в цилиндрической области

Ц = {0<г<1, х2+у2 <R2}.

В первом параграфе этой главы для однородного уравнения (2о) построены серии частных решений:

,. icos пер, ,, icos п(р,

e±hJVn{kp) . У' e±bJ_ v(kp) . (13)

Isin««??, " [sin«^,

ícos«e? icos kz, icos n m icos fe,

Isinmp [sinfe, " Ismn^z» [smfe, где Jív (kp) - функции Бесселя первого и второго рода, I±v (kp) - функции Бесселя первого и второго рода от мнимого

Macdonald, - Proc. London Math. Soc., XXX (1899)

2 2 2 2 2 2 аргумента, vn = п + q , (если vn =п +q - целое, то в качестве

J_v (/bp)— второго решения, берем функцию Вебера второго рода Yv^(kp), а в качестве второго решения I_v(kp), берем функцию Макдональда второго рода Kv (кр)),22 п—0,1, 2,... - целое, постоянная к может принять любое значение.

Произвольность к позволяет решать различные краевые задачи на собственные значения.

Например, пусть область, в которой ищется решение однородного уравнения (2о) есть цилиндр Ц.

Тогда:

если мы ищем решения обращающиеся в нуль на боковой поверхности цилиндра (p=R), то такая задача имеет счетное множество решений (собственных функций) вида

Л. + + Dlme-k>—) (15)

V2 = п2 +q2, п = 0,1, 2,... т~ 1,2,...,

где через обозначены положительные

корни функции Jv (kR), расположенные в порядке их

возрастания (их квадраты являются собственными значениями), если же ищем решения, обращающиеся в нуль и на нижнем (z = 0) и'на верхнем (z — l) основании цилиндра, то такая задача имеет счетное множество решений (собственных функций ) вида

тр j(Cta cos пер + D^ sin n<p)sin—mz, (16) где Am=—\— m \ — собственные значения, , m — 1,2,...

22Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, ч. 1- 4, изд. ИЛ, 1949, 798 с.

§ 2 посвящен краевым задачам. Краевые задачи для однородного уравнения (2о) для цилиндра:

р2Аи + д2и ~ О

(17)

Ци] гаг— + /Зи бп

решены методом разбивания на две стандартные. Стандартной задачей называется задача, в которой неоднородные граничные условия заданы на нижнем и верхнем основании цилиндра, а на боковой поверхности граничные условия нулевые или наоборот.

Например, решение одной из таких стандартных задач (а = О, Р ~ 1, задача типа Дирихле)

-р2Аи + д2и = 0, 0<р<К, 0<<р<2я, 0<г<1 (18)

и

р = Я

= 0

2 = 0

= \{р,(р)

и

(19)

(20) (21)

имеет вид и(р,(р,г) =

«=0 т=1

'а

Аг1г——77—Г- + 0„ - ----

зКк^Ч)

+

^пт , ,, (1>),х + ипт

ътп(р\

соб пср + (22)

где через к^'^ обозначены положительные

корни функции Jv (кЩ, расположенные в порядке их возрастания, - гиперболический синус.

Коэффициенты А„т,Впт,С„т, Опт определяются единственным образом из граничных условий (20), (21): о

Ли =

^и т

пЯ231

2

ляЧ2л

2

Ж-7*),

2

О 0 Я2я

0 0

/ Я 2*

К2л

......- —

Аналогичным образом решены другие краевые задачи. В §3 применяя разложения Фурье - Бесселя найдена формула представления решений неоднородного уравнения

2

Аи-3-и = /(х,у,2) (23)

Р

в цилиндрических координатах х = рсоэср, у - рътср, г = 2, в виде

17 = и + и/,

где и общее решение однородного уравнения, а иу — частное решение неоднородного уравнения (23).

Теорема 2.3.2. Пусть положительные корни функции (кК), расположенные в порядке их возрастания, тогда всякое решение однородного уравнения (23 п) из класса Сд (О) представимо формулой

и{р,ср,г) = ¿IX (к^р){Спт созпгр + Пптзттр)е±к^ (24)

л=О т-1

Обратно, каковы бы ни были постоянные Спт, Впт , каждый член ряда (24), а при обеспечении сходимости соответствующих

рядов, и его сумма являются решениями однородного уравнения (230).

Частное решение и^ имеет вид

2л-« I

(М) = иг{р,(р,¿) = -Хг ¡¡¡П(М,Р)/(Р)*с1Р,

ООО

(25)

где М = (р,<р,г), Р = (а,а^), ¿Р = с!ас1сгс]1, П(М,Р) = Х21 т2 " 'совпС^-а).

§4 главы 2 посвящен исследованию уравнения с сверхсингулярной линией

,2+2^ , Л

л & 92 52

где V > О, Д = —-— + -—- + -

дх2 ду2 дг2 '

7 1 1

р=х'+у\ д

(26)

2

постоянное.

Применяя метод разделения переменных, в процессе расщепления, получим дифференциальное уравнение

' -Л \

к2р2-п2-\

Я(р) = 0. (27)

Пользуясь самосопряженной формой уравнения (27), рассмотрим краевую задачу типа Штурма - Лиувилля на собственные значения.

Шр)\2

(г 2 \

'я а ^

— +

Р Р

2у+\

Я = 1рЯ, 0< р<а

/

у-Ц~Г<1р аЯ(а) + ря\а) = 0 ,

о Р

(28) (29)

где а>0, ^>0, « + /?>0.

С помощью функции Грина оператора Ьп краевая задача на собственные значения (28) - (29) сведена к краевой задаче на

собственные значения для однородного интегрального уравнения и доказано, что

а) Существуют собственные значения т — 1,2,... и соответствующие собственные функции ~Ктп(р) ортогональные в Ь2(0, а).

б) Собственная функция Хтп(р) е С2(0,а) П С[0, а] является при к2 = Л^ решением уравнения (27) , а при

Л = —решением краевой задачи (28) - (29).

в) Всякое решение уравнения (27) из класса

С2(0,а)пС'[0,й] разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье

по собственным функциям {Хт„}.

Глава П1 работы посвящена уравнениям с сингулярными плоскостями (3).

В §1 для однородного уравнения (Зо) построены шесть серии частных решений:

^ишлкр)]0™9, ^ к^икр)]00^ (30) [зтя^, [ътпер,

^)1п(кр)\С°8т Л иЬ)КЛкР)ГП(Р> (31)

■Гг^А™"*' (32)

где и=0,1,2,..., постоянная к может иметь

любое значение.

Произвольность к позволяет решать различные краевые задачи на собственные значения.

Например, если мы ищем ограниченные решения однородного уравнения (30), обращающиеся в нуль на боковой поверхности цилиндра (р-Я), то такая задача имеет счетное множество решений (собственных функций) в виде

п = 0,1, 2,... т = 1,2,...,

где через обозначены положительные корни

функции Jn(kR), расположенные в порядке их возрастания ( их

квадраты являются собственными значениями ); если же ищем решения, обращающиеся в нуль только в верхнем основании цилиндра (2 = 1), то имеем решения (собственные функции) в виде

Я = 0,1, 2,... т = 1,2,...,

[бш пер,

где через к[,к^обозначены положительные корни функции Jv(k}}, расположенные в порядке их возрастания (их

квадраты являются собственными значениями)

Очевидно, что общее решение уравнения (Зо) с различными свойствами записывается в виде разложения по этим частным решениям.

Теорема 3.1.1. Всякое решение уравнения (Зо) из класса Сд (Ц) , обращающееся в нуль на боковой поверхности цилиндра (р = Я), представимо формулой и(ръ<р,г) =

= lЛWz)JЛCp)(C„mzosn<p+Dnmsmn<p), (33)

л=0 т=1

а обращающееся в нуль в верхнем основании цилиндра (г = Г), представимо формулой и{р,(р,г) ~

= Л сов пер + Опт зт пер) . (34)

п=0 т=1

Обратно, каковы бы не были постоянные Спт, Отп , каждый член

рядов (33) и (34), а при обеспечении сходимости соответствующих рядов, и их суммы являются решениями

уравнения (Зо) с предельными значениями равными нулю на боковой поверхности цилиндра и на верхнем основании цилиндра Ц, соответственно.

В этом параграфе также для более общего уравнения

• г (Аи + аи'х + Ъи' + си'г) + д и = О

(35)

построены восемь серии частных решении, которые используются при решении краевых задач

§ 2 посвящен краевым задачам. Краевые задачи для однородного уравнения (30) для цилиндра:

-г Аи + д и = О оп 5

(36)

\ос,

+ Щ*0

решены методом разбивания на две стандартные. Стандартной задачей здесь называется задача, в которой неоднородные граничные условия заданы на верхнем основании цилиндра, а на боковой поверхности граничные условия нулевые или наоборот. Мы предельное значение и не задавали на нижнем основании цилиндра Ц, потому что, нижнее основание лежит на сингулярной плоскости г = 0 и там и(р,(р,0) = 023.

В частности доказано, что для уравнения (36) Первая краевая задача (а -0, /3-1);

р = Я

= 1г2(11,д>,2), и

= У\{р,<р,1), и

2 = 0

вторая краевая задача (а = 1, = 0);

ди

Тр

р- Я дг

г = 1

ди ~дг

г = 0

= 0

и третья краевая задача ( а = 1, /? = /г > 0);

ди

Тр

+ Ьи

р = К

ди &

+ Ии

1 Михайлов Л.Г. //ДАН России, 2002. т. 384. №6. с. 731- 734

ди .

--упи

дг

2 = 0

имеют единственные решения.

В §3, применяя разложения Фурье - Бесселя, найдена формула представления решений неоднородного уравнения (3) в цилиндрических координатах в виде

и = и + иг,

где и общее решение однородного уравнения, а и^ - частное

решение неоднородного уравнения. Имеет место

Теорема 3.3.1. Всякое решение однородного уравнения (Зо) из класса С02 (Ц) представимо формулой и(р,ср,г) =

= + (37)

п=0 т=1

где к\"\к^\...,к^\... корни уравнения Jn(kR) = 0, расположенные в порядке их возрастания. Обратно, каковы бы ни были постоянные Спт , Впт , каждый член ряда (37), а при

обеспечении сходимости соответствующих рядов, и его сумма являются решениями однородного уравнения (30).

Замечание 3.3.1. В силу того, что числа являются

корнями уравнения ,/п(М) = 0, все решения вида (34) однородного уравнения (30) обращаются в нуль при р = Я (то есть на боковой поверхности цилиндра).

Теорема 3.3.2. Пусть к^,^

положительные корни функции ,1'п(кК), расположенные в порядке их возрастания. Тогда всякое решение однородного уравнения (Зо) из класса Сд (Ц) представимо в виде

u(p,<p,z) =

CO CO

= Ukin)p){A„„, COSmp + Bnm sin ncp) . (38)

n=0 m=l

Замечание 3.3.2. В силу того, что функции Jn{<&) и J'n (er) не имеют общих корней, решения вида (38), в отличие от (37), не обращаются в нуль при р~ R.

Частное решение неоднородного уравнения (3) методом вариации постоянных, найдено в виде

uf(M) = uf(p,<p, z) = ) ЯР)ЫР,

ООО 1

где М ~(p,cp,z), P = (a,a,t), dP-dadadt, Cl(M,P) = EIWz,Wt)cosn(<p-a)

МЫ ^п+А^т

при t>z'

[ Vztlv{kt)l_v(kz) при t < z.

В §4 главы III аналогично как в §4 главы 2 исследована разрешимость уравнения с сверхсингулярной плоскостью

- z2+2v'Au + q2u = 0 . В § 5 главы III доказана разрешимость краевых задач для уравнения

~Аи +

( г 2 \ vP2

м = 0 .

Теорема 3.5.1. Пусть положительные корни уравнения (кК) + (кК) = 0, а

к[у) положительные корни уравнения

(а Л

аЫ^'Щ) + —+ /? (И) = 0, расположенные в порядке т \21

возрастания, V2 = р2 + ¿и2 =п2 + с}2.

■А и +

Тогда задача г г

Г , Р

р 2

и = 0, 0<р<Я, О < ^ <2я, О<г<1,

ди _

а--н ри

др

р = Я

ди _ а — + /?н дг

ди _ а — + ри дг

имеет единственное решение.

2 = 1

2 = 0

= 0,

Последняя 4-ая глава посвящена исследованию уравнений (1) - (3) в случае многих переменных (т > 3).

В п. 1 из § 1 главы IV для уравнения (1) в единичном шаре Шл = {|х| < 1} получена следующая формула 1 г

С/(х) =

(39)

где обозначено

^2к+т-2

*=о

2а.

\Р.

-,2к + т-2(

Е

*=0

2а,

/

4>Л

т-2

при Р>Г,

при Р<Г,

г = |х|, Р = \у\, х = г-я,у = р-я', йу = рт'хйрйз\

1к т ((¿,,5'')) - т - мерная сферическая функция порядка к, - точки единичной «г-мерной сферы Бь (я, Л"') — скалярное произведенье единичных векторов ол" и оя',

2ак = л/(2А" + т - 2)2 + 4д2 .

Теорема 4.1.2. Если fix) е Cx{lII,), то частное решение неоднородного уравнения (1) из класса С02 {Шх) дается интегральным оператором (39), ядро которого однородно порядка -т, удовлетворяет условию суммируемости

е = (1,0,...,0)

R-.

и обладает свойством вырождения /

U(0):

—^ ¡\У\2П(Х,У)/Ш = }т )х=0 4

что для (1) равносильно соотношению (г2Л£/)х=0 = 0.

Во втором пункте §1 получено следующее интегральное представление решений уравнения (1) из класса С02 (/)) в произвольной области И :

U{x)=

1

д1Ь) Tii.M^y)

(т-+

II г v dv 1_^

dv

ы2

аналогичное трехмерному случаю (см формулу (6)).

В §§ 2-4 для однородного уравнения (10) и для более

общего уравнения вида

/ ^ ди_

-г

+ q2U = 0

7=1 —1;

с постоянными коэффициентами, построены решения краевых задач внутри шара, вне шара и в шаровом слое. В частности, установлены:

1°) всякое решение (1 о) из класса С02 в сингулярной точке

х — 0 имеет нуль, порядок которого совпадает с одним из чисел

га-2 . а,--—,

2°) если U(x) G Cg(Rni) является решением (10) на всем пространстве и ограничена, то U(х) s 0; (аналог теоремы Лиувилля)

3°) задача типа Дирихле U(x)\s - h(s), где h(s) е C(SR), для уравнения (1о) имеет единственное решение tf(*) = 4r \[n(x,y) + Q(x,y)}i(y)dySR,

где П(х, =

1 R2-

}ils

X

R\x-y |

■ — ядро Пуассона, а

ь=о

2 k+m -2

ВГ\т- -2)

т-2

f \ак-- /

/"I 2 ( Г

R

Я

Теорема 4.2.1. Задача Неймана 2

dU

дг

WM))-

= f(s), где

>r

f(s) е C(S!t), для однородного уравнения (1о) в С?} имеет единственное решение в виде

I Si

где удвоенная производная по г от ядра С2*(х, отличается от ядра Пуассона на слагаемое, которое непрерывно на замкнутом шаре и обращается в нуль на поверхности шара.

дг

Теорема 4.2.2. При к > 0 третья задача — /С>) е С(Б1{) дляуравнения (10) в С1

всегда имеет единственное решение вида

1

Если число /г < 0 - корень уравнения 2ак —т + 2 + Я?г = О при некотором целом значении к = к0, то третья краевая задача либо не имеет решения, либо решение существует, но не единственно. Условием разрешимости при 2акй -т + 2 + КН, ~ О является требование

В § 3 главы 4 для однородного уравнения (20) - р2Ди + #2гл = 0 ,

т

где и = х = (хрлг2,...,д;т), р2 = х\

построены шесть серии частных решений:

т- 2 т-2

е±П2р 2 3^пр)УКт(з), е^р 2 J^(np)Ykm(s) , (40)

Гсо $>№ (со 5П2

р 2 1„к(пр)-ГКтЩ . , Р 2 1_„к(пр)-¥КтЩ .

1 [мпие к [зтпг

(41)

м-2 , от-2 _

-+2ч . _ . __ .. —

{А+В2%^)р 2 , (Л+Вг)Гк^)р 2 , (42) где 4г2 = 4д2 + (2к + т-2)2.

В § 4 эти решения использованы при решении краевых

задач.

Теорема 4.4.1 Задача

-р2Аи + д2и = 0, 0 < р < Я, я е 0 <г<1 (43)

р = Д

= 0

= 1г2(р,5), и

г = /

гг)<? Л1 — точка единичной т —мерной сферы с угловыми координатамивх,в2,...,вт_х, /т1($,г)еС(Г|), 1г2(р,^)еС(Г2), /?3 (/?, .у) б С(ГЪ) заданные функции на Г у — { 0 <2 </, /? = /?}- боковая поверхность цилиндра, Г2~ { 2 = 0, /9 = 7?}- нижнее основание гщчиндра, Г3 = { 2 =/, /9 = 7?}- верхнее основание цилиндра соответственно и удовлетворяют условиям согласованности

^(5,0)=/^,/) = о, /¡ь(ад=й,(ад = о, б-.с;

имеет единственное решение

Если при решении первой задачи использованы частные решения (40) и (41), то при решении второй задачи используются все три семейства частных решений (40) - (42). Теорема 4.4.2 Вторая краевая задача

ди

Тр

- К (.у, г), — р = К дг

г = 0 ог

г = 1

для уравнения (43), имеет единственное решение

Также доказано однозначная разрешимость третей краевой

задачи

дЫ ' ( = р = К

др ди

ди ~дг

+ 1ги 4 -Ъи + /ш

0

для уравнения (43).

В § 5 для (т +1) - мерного однородного уравнения

~ггАи + д2и = О,

где и = 1/(х,г), х = (х„х2,...,хт), Д= Т — + — ,

охк дг

д2 — постоянная, построены шесть серии частных решений

т~ 2 т-2

т- 2 от- 2

^ ■ г"/ГУ.* (5), ■ (*),

где

4у2 = 4#2 + 1, 2рп = 2п + т~2,

причем первые решения каждой серии ограниченны в начале координат, а вторые неограниченны.

В § 6 найдены решения краевых задач в виде разложения по этим частным решениям.

На пример задача типа Дирихле в цилиндре

-ггАи + с^и = 0, 0<р<К, 0<г<1,

где

Гх = { 0 <2 </, р = Я] - боковая поверхность цилиндра, Г2~ { 2 =1, р = К}- верхнее основание цилиндра, Г3= { 2 = 0, р- Я] - нижнее основание цилиндра, к1(я,2),И2(р,$) € С и удовлетворяют условиям согласованности /г, (5,0) = }\ (я, /) = 0, (Л, 5) = 0 имеет единственное решение

и = щ + и2,

где

т-2

^zlXf^zMp V 2

ifj

m-2

n=0 i=l

', A: = 1,2,... положительные корни уравнения J (jR) - 0,

j{k\k = 1,2,... положительные корни уравнения Jv(jl) = 0,

расположенные в порядке их возрастания.

Постановка в граничное условие позволяет определить коэффициенты Апк по формулам:

R т~2 j

где Nnk =

0 5,

2п + т - 2

от+2

R 2 JlArt^R)

и коэффициенты Впк по формулам:

0 5,

_2п + т-2 2

где ^(^вд/3;*^^

Мы предельное значение и не задавали на нижнем основании цилиндра Ц, потому что, нижнее основание лежит на сингулярной плоскости г = 0 и там и(р, 5,0) = 024.

24 Михайлов Л.Г. //ДАН России, 2002. т. 384. №6. с. 731- 734

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. Мухсинов А. Построение решений в виде двойных степенных рядов одного сингулярного уравнения эллиптического типа.//Доклады АН Тадж. ССР, 1988, т. 31, №9, с. 499 - 503.

2. Мухсинов А. Построение решений в виде двойных степенных рядов некоторых сингулярных дифференциальных уравнений эллиптического типа // Тезисы докладов расширенных заседаний семинара института прикладной математики им. И. Н. Векуа. Тбилиси 1988, с. 101 - 103.

3. Мухсинов А. Исследование многообразия решений одного сингулярного дифференциального уравнения. // Материалы Республиканской научной конференции посвященной

\ памяти Т. Собирова Душанбе, 1990 с. 108 - 109 .

4. Мухсинов А. Интегральное представление решений одного трех мерного эллиптического уравнения с сингулярными коэффициентами. // Тезисы докладов юбилейной научной конференции «50- летие развития математики в АН Казахстана», Алма-Аты, 1996. с. 140 - 141.

5. Мухсинов А. Исследование разрешимости задачи Неймана для одного эллиптического уравнения в пространстве. //Тезисы докладов научно - практической конференции преподавателей ХГУ посвященная 65 - летию университета,'25-28 апреля 1997г., Худжанд. с. 32 -33.

6. Мухсинов А. Интегральное представление решений одного эллиптического уравнения с сингулярными коэффициентами. //Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», Душанбе, 1998. с. 58 - 59.

7. Мухсинов А. Исследование разрешимости задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения с сингулярной точкой. //Материалы международной научной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту, посвященной 50 - летию ГНУ, Душанбе, 1998г. с. 81-83.

8. Мухсинов А. Интегральное представление многообразия решений одного эллиптического уравнения с сингуляр-

ными коэффициентами. //Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №2, 1998, Худжанд с. 151-159.

9. Мухсинов А. Исследования некоторых уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами. II Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №3,2001, Худжанд с. 251-259.

10. Мухсинов А. Решение задачи Дирихле и Неймана для одного дифференциального уравнения с сингулярным коэффициентом. // Материалы научной конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения» посвященной 10-летию Таджикского университета права, бизнеса и политики. Худжанд 2003. с.93 -94.

11. Михайлов Л.Г., Мухсинов А. О некоторых формулах представления решений одного трехмерного сингулярного эллиптического уравнения. //ДАН России, 2005, т.402, № 5, с. 596-600.

12. Мухсинов А. Исследование задачи Неймана для одного двухмерного и трехмерного сингулярных эллиптических уравнений.//Материалы международный конференции посвященный 10 летию БатРУ, Сулюкта, 2006. с. 60-63.

13. Мухсинов А. Исследование задачи Дирихле одного двухмерного и трехмерного сингулярных эллиптических уравнений. // Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №10, 2006, Худжанд с. 201-209 .

14. Мухсинов А. Формула представления решений одного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью. // Вестник ТНУ (серия естественных наук) 2009 №1(49) с. 34-37.

15. Мухсинов А. Формула представления решений задачи Дирихле для одного трехмерного уравнения в частных производных с сингулярной линией. // Вестник ТНУ (серия естественных наук) 2009 №1(49) с. 54-58.

16. Мухсинов А. Формула представления решений одного уравнения в частных производных с сингулярной линией. // Доклады АН РТ., 2009 г., т.52, №2, с. 101 - 105.

17. Мухсинов А. Формула представления решений одного трехмерного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью. // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №3, с. 174-181.

18. Мухсинов А. Формула представления решений задачи типа Дирихле для одного трехмерного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью. // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №4, с. 261 - 267

19. Мухсинов А. О некоторых формулах представления решений многомерных эллиптических уравнений с сингулярными точками // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №5, с. 344-353.

20. Мухсинов А. Формула представления решений одного многомерного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью. // Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №14, 2009, Худжанд с. 27-32 .

Подписано в печать 12.11.2009. Формат 60x84/16. Объем 1 п.л. Заказ №205. Тираж 100.

Издательство «Нури маърифат» Худжанского государственного университета имени академика Б.Гафурова 735700, г.Худжанд, ул.Ленина 52.

Введение.

Глава I.

Уравнения с сингулярными точками

§0. О некоторых свойствах сферических и бесселевых функций; обозначения.

§1. Частные решения однородного уравнения с сингулярной точкой.

§2. Краевые задачи для однородного уравнения с сингулярной точкой

1. Краевые задачи для уравнения — г 2 АС/ 4- д21'] — 0 вне шара.

2. Краевые задачи для уравнения —г2АС/+#2С/=0 в шаровом слое.

§3. Представление решений неоднородного модельного уравнения.

§4. Представление решений немодельного сингулярного уравнения.

§5. Частные решения уравнения с сверхсингулярной точкой.

§6. Краевые задачи для уравнения с сверхсингулярной точкой.

1. Краевые задачи для уравнения —г АС/+д и = 0 внутри шара

2. Краевые задачи для уравнения —г"

АС/+ # С/ = вне шара.

3. Краевые задачи для уравнения —г АС/С/=0 в шаровом слое.

Глава II.

Уравнения с сингулярными линиями

§1. Частные решения однородного уравнения с сингулярной линией.

§2. Краевые задачи для уравнения — р А и + # и — 0 в цилиндре.

§3. Представление решений неоднородного уравнения с сингулярной линией.

§4.Частные решения однородного уравнения с сверхсингулярной линией

Глава III.

Уравнения с сингулярными плоскостями

§ 1. Частные решения однородного уравнения с сингулярной плоскостью

§2. Краевые задачи для уравнения — г2 А и + д2и = 0 в цилиндре.

§3. Представление решений неоднородного уравнения с сингулярной плоскостью.

§4.Частные решения однородного уравнения с сверхсингулярной плоскостью.

§5. Уравнения с сингулярностью на основании и оси цилиндра.

Глава IV.

Многомерные дифференциальные уравнения с сингулярной точкой, линией или сингулярной плоскостью

§ 1. Представление многообразия решений одного неоднородного т — мерного эллиптического уравнения с сингулярной точкой.

§2. Краевые задачи для однородного уравнения внутри шара.

1 .Краевые задачи для однородного уравнения вне шара.

2.Краевые задачи для однородного уравнения в шаровом слое.

§3. Частные решения однородного т +1 — мерного уравнения с сингулярной линией.

§4. Краевые задачи для однородного т +1 — мерного уравнения с сингулярной линией.

§5. Частные решения однородного т + 1 — мерного уравнения с сингулярной плоскостью.

§6. Краевые задачи для однородного т + 1 — мерного уравнения с сингулярной плоскостью.

Актуальность темы. Разработки по проблеме дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами были начаты еще в 1957 -1963 годах академиком Л.Г. Михайловым в Академии наук Тадж. ССР, о чем можно судить по его монографии «Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами», изданной Академией наук Тадж. ССР, Душанбе, 1963, в переводе на английский язык переизданной гораздо более престижными издательствами Европы: 1) Wolters — Noord Hoff Publ. Groningen (Голландия), 2) Academic - Verlag Berlin ( Германия), 1970.

В 1959 году Л.Г. Михайловым было начато изучение уравнения

Следуя классическому методу объемных потенциалов, он приходит к интегральному уравнению (р = К<р + /, где К — К{ + К2 и операторы

КХ,К2 не являются вполне непрерывными. Они образуют новый класс особых (нефредгольмовых) интегральных уравнений, специально изучавшихся Л.Г. Михайловым [36] . Он показал, что если величины вир^ (лг)|, зир|с(х)| либо |с(о)( в случае непрерывности о о

Ък (х), с(х) вместе с числом /? подчинены некоторым условиям малости, то в сингулярных классах Ср,М р,., имеют место утверждения о существовании многообразия решений и разрешимости краевых задач. Актуальной оставалась задача изучения уравнений без условий малости и в обычных классах

Краевые задачи для уравнения (*) при с(х) < 0 были исследованы в работах А. И. Ачильдиева (см., напр. [1] - [3]). В его работах рассмотрены

С) свойства регулярных решений вырождающихся уравнений, связанные с принципом максимума и доказаны теоремы существования смешанной задачи.

В работах М. Турсунова [76] в классе функций, удовлетворяющих в нуле условиям типа излучения, рассматривались краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (*) в случае, когда п = 2, Ьк (х) = 0, с(0) < 0 и особенность коэффициента выше первого порядка.

В работах З.Д. Усманова (см., напр. [77] - [79]) по теории обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной точкой, был разработан метод интегральных уравнений с вполне непрерывным оператором, посредством которого при условиях малости величины — &(0)| или же области £>, устанавливалась взаимно однозначное соответствие между непрерывными решениями обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной точкой и вспомогательной модельной системы. В таких ограничениях построена теория решений обобщенной системы Коши - Римана с сингулярной точкой.

Таким же методом [63], [80] рассматривается специальный случай обобщенной системы Коши-Римана с точечной особенностью выше первого порядка в коэффициенте.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются следующие уравнения

-р2Аи + д2и = /(х,2), -22Аи + д2Ц = /(х,г),

1)

3)

2)

-Аи+ -^у + ^т и = 0 ,

Р 2 ) где в первом уравнении х = (хх,х2,.,хт) — точка т — мерного прост транства Ят, г2 - квадрат расстояния от точки х до начало к=1 координат, А = Аш — т — мерный оператор Лапласа, во втором и третьем уравнении (х,г) = (х1,х2,.,хт,г) - точка т +1— мерного т пространства р - квадрат расстояния от точки (х, г) до к= 1 д2 т д2 д2 оси Ог, А = Ат+1=Ат+-т = ^—- + — ~(т +1)- мерный ог к=х дхк д z оператор Лапласа. Соответствующие однородные уравнения обозначим через (10), (20), (30)

В случае трех переменных, особо важном для приложений мы для уравнения (1) сохраним обозначения точки х = (хх,х2,хъ)еВ.3, а для остальных в пространстве трех измерений координаты точки обозначим

Уравнение (1) называется уравнением с сингулярной точкой, уравнение (2) с сингулярной линией, уравнение (3) с сингулярной плоскостью, а уравнение (4) с сингулярным основанием и осью цилиндра.

2 ^

Если специально неоговорено, то всегда будем считать q и р~ постоянными числами. Мы также рассматриваем уравнения с особенностью высокого порядка, то есть когда множители при операторе тт 2+21/ 2+2у 2+2\> ., . /л

Лапласа имеют вид г , р , z , V >0.

Поскольку после работы М. В. Келдыша 1951 г. [24] и монографий М. М. Смирнова [72] , А. В. Бицадзе [7] получили известность различные вырождающиеся дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа, то необходимо сказать следующее: хотя уравнения (1), (2), (3), (4) тоже относятся к вырождающимся уравнениям эллиптического типа, но они существенно отличаются от указанных только что; в уравнениях (1), (2), (3), (4) происходит вырождение порядка уравнения (а не типа), и притом во внутренней точке области, а не на границе. Поэтому естественно, JI. Г. Михайлов назвал их уравнениями с сингулярными коэффициентами.

Интересные результаты в теории вырождающихся эллиптических систем и уравнений с сингулярными линиями получены в работах Н. Р. Раджабова (см., напр. [66]-[69]), А. И. Янушаускаса [81] и др.

В работах Н.Р. Раджабова даётся интегральное представление многообразия решений ряда уравнений в частных производных высшего порядка с сингулярными поверхностями, через решение дифференциальных уравнений высшего порядка с регулярными коэффициентами. Эти представления используются при решении основных краевых задач и задач типа Рикье. Данный метод применяется для решения осесимметрической задачи гидродинамики.

Проблемы суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов давно привлекают внимание математиков и физиков и этим проблемам посвящено достаточно много работ (см., напр. [5], [8], [15] - [19], [21] - [23], [28] -[30], [32]). Ее бурное развитие связано с работами О.А.Ладыженской, В.А.Ильина, Э.Ч.Титмарша, Ю.М.Березанского, И.К.Кенджаева, Х.Л.Смолицкого, А.Н.Боголюбова, Б.М.Левитана, В.В.Кравцова, М. Исматова и других.

Установлению абсолютной сходимости посвящены связанные с обоснованием метода Фурье работы O.A. Ладыженской, которые явились первыми в этом направлении. В этих работах абсолютная и равномерная сходимость рядов Фурье устанавливается в классах С.Л. Соболева. Среды вышеупомянутых авторов самые точные и окончательные условия равномерной сходимости рядов Фурье установлены В. А. Ильиным и его учеником И. К. Кенджаевым.

Проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям различных самосопряженных и несамосопряженных смешанных задач математической физики, обоснованию метода Фурье и корректной разрешимости таких задач посвящены работы М. Исматова.

Хотя проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов посвящено достаточно много работ, однако исследованию этих проблем для вырождающихся (сингулярных) дифференциальных операторов, посвящено сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего разрешения. Сюда может быть отнесена, рассматриваемая в диссертации задачи: построение многообразия решений, о разрешимости краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типа.

Цель и задачи исследования. Основной целю работы является получение интегральных представлений многообразий решений, а так же интегральных представлений решений тех или иных краевых задач для некоторых многомерных сингулярных уравнений второго порядка с лапласианом в главной части.

Методы исследования. Основными методами исследования являются метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов типа Бесселя, метод разделения переменных и современные методы теории функций, функционального анализа и математической физики. Научная новизна.

1. Для произвольной ш — мерной ограниченной области И с кусочно-гладкой границей Г, причем О содержит точку нуль строго внутри себя, получено интегральное представление многообразия решений уравнения с сингулярной точкой в виде аналогов потенциалов объемного, простого и двойного слоя.

2. Для однородного уравнения (10) и более общего чем (10) уравнения с постоянными коэффициентами методом разделения переменных построены частные решения и получены решения основных краевых задач в виде разложения по этим частным решениям в шаре, вне шара и в шаровом слое.

3. Для однородного уравнения (10) в шаре, вне шара получено интегральные представления решений первых трех краевых задач; ядра этих представлений отличаются от ядра Пуассона на слагаемые, которые непрерывно на замкнутом шаре и обращаются в нуль на поверхности шара.

4. Для произвольной трехмерной области О, ограниченной замкнутой поверхностью Б, посредством интегрального уравнения установлено взаимно - однозначное соответствие между множествами непрерывных в замкнутой области £) решений уравнения

5. Найдено условие, при котором между множествами решений модельного и немодельного уравнения (1) имеется взаимно однозначное соответствие.

6. Для однородного уравнения (10) с особенностью высокого порядка построены две серии частных решений через модифицированные функции Бесселя и получены решения основных краевых задач в виде

- х\2А11 (х) + д2и(х) = /(х) , х = (х1,х2,.

1) V

1 У разложения по этим частным решениям, в шаре, вне шара и в шаровом слое. Доказаны абсолютная и равномерная сходимость полученных разложений.

7. Для однородного уравнения с сингулярной линией решены различные краевые задачи на собственные значения.

8. Для однородных уравнений (20) и (30) в цилиндрической области задача Неймана) и третья краевые задачи. Решения этих задач получены в виде разложения по собственным функциям соответствующих краевых задач. Доказаны абсолютная и равномерная сходимость полученных разложений.

9. Для неоднородного уравнения (2) с сингулярной линией и неоднородного уравнения (3) с сингулярной плоскостью в случае трёх переменных, применяя разложения Фурье — Бесселя найдено интегральное представление их решения.

10. Для уравнения с сверхсингулярной линией

-р2А1Г + д2и = Ъ

2о) и однородного уравнения с сингулярной плоскостью

-г2Аи + д2и = 0

Зо) решена первая (задача Дирихле), вторая

-р2+2уАЦ + д2и = 0 и уравнения с сверхсингулярной плоскостью

-г2+2уШ + д2и = 0 переходя к интегральным уравнениям, доказаны теоремы существования собственных функций.

11. Доказана разрешимость краевых задач для уравнения (4)

Практическая и научная ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты полученные в работе являются новыми. Они могут быть использованы для изучения проблем разложения по собственным функциям сингулярных дифференциальных операторов теоретической и математической физики. Их можно использовать при исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.).

Исследования автора также имеют большое прикладное значение в математической физике, так как они могут быть использованы для обоснования метода разложения в ряды Фурье - Бесселя решения краевых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации неоднократно докла -дывались и обсуждались на научном семинаре академика Л.Г. Михайлова (1ШИ математики АН Республики Таджикистан 1990 - 2008 г.г.), на научном семинаре под руководством члена - корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М ( ХГУ им академика Б. Гафурова, 1993 - 2003 г.г.), на Расширенном заседании семинара института Прикладной математики им И.Н.Векуа Тбилисского государствен -ного университета (1990 г.), на республиканской научной конференции, посвященной памяти Т. Собирова «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений », Душанбе, 1990г., на юбилейной научной конференции «50- летие развития математики в АН Казахстана», Алма-Аты, 1996г., на ряде международных конференций; проводившихся в г. Душанбе (1996 - 2008 г.г.), а также в конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения посвященный 10 летию СГЭН БатРУ» - Сулюкта, 2006г. и на ежегодных научно - практических конференциях ХГУ (1993 - 2008 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 20 работа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена на 230 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 90 наименований.

1. Ачильдиев А.И. //ДАН СССР, т. 152, №1, 1963

2. Ачильдиев А.И. //Докл. АН Тадж. ССР, т. 4, №1, 1961

3. Ачильдиев А.И. // Изв. отд. геолг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР, вып. 2(8), 1962.

4. Бейтман Г., Эрдеи А. Высшие трансцендентные функции, М., «Наука», 1973, 294с.

5. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. «Наукова думка», Киев, 1965, 798с.

6. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., «Наука» , 1975, 480с.

7. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., «Наука», 1966, 204с.

8. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике, М., Изд во МГУ, 1998, 320с.

9. Ватсон Т.Н. Теория бесселевых функций, ч. 1-4, изд. ИЛ, 1949, 798 с.Ю.ВекуаИ.Н. Обобщенные аналитические функции, М., «Наука», 1988, 510с.11 .Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп, М., «Наука» 1965, 588с.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1976, 528с.

11. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций, изд. ИЛ, 1952

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М., «Наука» 1963, 1100с.

13. Ильин В.А.//ДАН СССР, т.105, №2, 1955, с. 210-213

14. Ильин В.А.//ДАН СССР, т. 114, №4, 1957, с. 650-652

15. Ильин В.А.//ДАН СССР, т.114, №4, 1957, с. 698-701

16. Ильин В.А.//ДАН СССР, г221, №4, 1976, с. 796-799

17. Ильин В.А.//ДАН СССР, т.273, №5, 1983, с. 1048 1053

18. Исматов М.//Докл. АН Тадж. ССР, т. 16, №7, 1973 с. 3-6

19. Исматов М.//Докл. АН Тадж. ССР, т. 18, №10, 1975 с. 3-6

20. Исматов М.//Всесоюзный журнал «Диф. уравнения » Минск, 1975, т.2, №2, с. 2220-2230

21. Исматов М.//Всесоюзный журнал «Диф. уравнения » Минск, 1976, т.12, №10, с. 1824- 1831

22. Келдыш М.В.// ДАН СССР, т.77, № 1, 1951, с. 11 14

23. Келдыш М.В.// ДАН СССР, т.77, № 2, 1951, с. 181 183

24. Курант Р. Уравнения с частными производными, М., «Мир», 1964

25. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1,2, Гос-техиздат, 1951

26. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики, М., «Наука», 1973

27. Ладыженская O.A. // ДАН СССР, 1950, т. 74, №3, с. 417 420

28. Ладыженская O.A. // ДАН СССР, 1950, т. 75, №6, с. 763 768

29. Ладыженская O.A. // ДАН СССР, 1955, т. 102, №2, с. 207 210

30. Левитан Б.М. Разложения по собственным функциям, ГИТТЛ, Москва Ленинград, 1950, 159с.

31. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа, М., изд. ИЛ, 1957

32. Михлин С.Г. Курс математической физики, М., «Наука», 1968, 575с.

33. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных, М., «Высшая школа», 1977, 430с

34. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Издательство А.Н. Таджикской ССР. 1963 г. 184 с.

35. Михайлов Л.Г.//ДАН СССР т. 139, №3, 1961, с. 552 555

36. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений: Обзорная статья в журнале «Mathtmatische Nachrichten» (Германия) за 1967 г.

37. Михайлов Л.Г.//ДАН СССР т. 190, №3, 1970, с. 521 534

38. Михайлов Л.Г.//ДАН СССР т.319, №1, 1991, с. 46-32.

39. Михайлов Л.Г. //ДАН России, 2002. т. 384. №6. с. 731- 734

40. Михайлов Л.Г. //ДАН России, 2004. т. 399. №2. с. 31- 34.

41. Михайлов Л.Г., Мухсинов А.//ДАН России, 2005, т.402, № 5, с. 596600.

42. Мухсинов А., Муминов А. Задача Дирихле для одного сингулярного дифференциального уравнения эллиптического типа. //Доклады АН Тадж. ССР, 1989 , т. 32, №8, с. 558 563

43. Мухсинов А. Построение решений в виде двойных степенных рядов одного сингулярного уравнения эллиптического типа. // Доклады АН Тадж. ССР, 1988 , т. 31, №9, с. 499 503

44. Мухсинов А. Исследование многообразия решений одного син -гулярного дифференциального уравнения. // Материалы Республиканской научной конференции посвященной памяти Т. Собирова Душанбе, 1990 с. 108 109

45. Мухсинов А. Интегральное представление решений одного трех мерного эллиптического уравнения с сингулярными коэффици -ентами. Тезисы докладов юбилейной научной конференции «50-летие развития математики в АН Казахстана», Алма-Аты , 1996. с. 140-141

46. Мухсинов А. Исследование разрешимости задачи Неймана для одного эллиптического уравнения в пространстве. // Тезисы докладов научно практической конференции преподавателей ХГУ посвященная 65 - летию университета, 25-28 апреля 1997г., Худжанд. с. 32 -33

47. Мухсинов А. Интегральное представление решений одного эллиптического уравнения с сингулярными коэффициентами. //Труды международной научной конференции «Дифференциаль -ные уравнения и их приложения», Душанбе, 1998. с. 58 59

48. Мухсинов А. Интегральное представление многообразия решений одного эллиптического уравнения с сингулярными коэффициентами. //Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №2, 1998, Худжанд с. 151-159

49. Мухсинов А. Исследования некоторых уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами. // Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №3, 2001, Худжанд с. 251-259

50. Мухсинов А. Исследование задачи Неймана для одного двухмерного и трехмерного сингулярных эллиптических уравнений. // Материалы международный конференции посвященный 10 летаю СГЭН БатРУ, Сулюкта, 2006. с. 60 63

51. Мухсинов А. Исследование задачи Дирихле одного двухмер но-го и трехмерного сингулярных эллиптических уравнений. // Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №10, 2006, Худжанд с. 201209

52. Мухсинов А. Формула представления решений одного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью. // Вестник ТГНУ (серия естественных наук) 2009 №1(49) с. 34-37

53. Мухсинов А. Формула представления решений задачи Дирихле для одного трехмерного уравнения в частных производных с сингуляр -ной линией. // Вестник ТГНУ (серия естественных наук) 2009 № 1(49) с. 54-58

54. Мухсинов А. Формула представления решений одного уравнения в частных производных с сингулярной линией. // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №2, с. 101 105

55. Мухсинов А. Формула представления решений одного трехмерного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №3, с. 174-179.

56. Мухсинов А. Формула представления решений задачи Дирихле для одного трехмерного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №4, с. 261-267.

57. Мухсинов А. О некоторых формулах представления решений многомерных эллиптических уравнений с сингулярными точками // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №5, с. 344- 353

58. Нажмидинов X. // Изв. отд. геолг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР, №1 (51), 1974, с. 3-14

59. Петровский М.Г. Лекции об уравнениях с частными производными, М., «Наука», 1961,400с.

60. Рамм А.Г.//ДАН СССР, 1970, т. 191, № 1, с. 50-53

61. Раджабов Н.Р. //ДАН СССР, 1976, т. 228, №4, с. 801- 804

62. Раджабов Н.Р. // ДАН СССР, 1977, т. 233, №5, с. 796-799

63. Раджабов Н.Р. // Изв. отд. геолг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР, вып. 2(8), 1973, с. 10 17; 1974, №4 (53), с. 3 - 14

64. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями, части 1 — 4 , Душанбе 1981-1985

65. Смирнов В,И. Курс высшей математики , т. 3 ч. 2, М., Физмат -гиз, 1969, 672с.

66. Смирнов В,И. Курс высшей математики , т. 2, М., «Наука», 1965

67. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболичес -кие уравнения, М., «Наука» 1966, 292с.

68. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М:, Наука, 1966, 652 с.

69. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1977, 735 с.

70. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка т. 1. ИЛ: Москва 1960, 278с. т.2. - ИЛ: Москва 1961, 555с.

71. Турсунов МЛ Докл. АН Тадж. ССР, т. 15, № 2, 1972 с. 11 14

72. Усманов З.Д.// Сиб. матем. журн., т. 14, №5(1973) с. 1078-1078

73. Усманов З.Д.// Докл. АН Тадж. ССР, т. 14, №11, 1971 с. 16-20

74. Усманов З.Д.//Докл. АН Тадж. ССР, т. 15, №4, 1972 с. 10-13

75. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши -Римана с сингулярной точкой. Душанбе: ТаджикНИИНТИ, 1963, 244с.

76. Янушаускас А.И. Введение в аналитическую теорию вырождаю — щихся эллиптических уравнений, Вильнюс: 1974, 152с.

77. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции, М., «Наука», 1968, 344с.

78. Dini, Serie di Fourier (Pisa, 1880)

79. Fourier, La Theorie Analytique de la Chaleur (Paris, 1822)

80. Hankel. Math.Ann., I (1869) стр. 471

81. Hobson, Proc. London Math. Soc., (2), VII (1909)

82. Lommel, Studien itber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868 ) 88.Sheppard. Quarterly Journal, XXIII (1899)

83. M acdonald, Proc. London Math. Soc., XXX (1899)

84. Young, Proc. London Math. Soc., (2), XVIII (1920)