Исследование одного класса итерационных методов третьего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Зыкова, Зоя Петровна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Иркутск МЕСТО ЗАЩИТЫ
1983 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.07 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Исследование одного класса итерационных методов третьего порядка»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Зыкова, Зоя Петровна

стр.

ВВЕДЕНИЕ. 2

ГЛАВА I. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СО

ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . 16

§1.1. Построение класса алгоритмов третьего порядка со второй производной . 16

§1.2. Исследование условий сходимости класса алгоритмов со второй производной . 22

§1.3. Априорные оценки погрешности . 36

§1.4. Исследование устойчивости класса алгоритмов

1.1.4).54

ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ МОДИФИКАЦИИ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.•.64

§2.1. Простейшие модификации . 65

§2.2. Модификации с дополнительным значением первой производной.71

§2.3. Модификации с дополнительным вычислением значения оператора . 78

§2.4. О решении одного нелинейного уравнения частного вида.82

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ СО ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ И ИХ МОДИФИКАЦИЙ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ.87

§3.1. Вывод расчётных формул . 87

§3.2. О численном решении обратной задачи теории потенциала простого слоя . 89

§3.3. О численной реализации разностных схем для квазилинейного уравнения теплопроводности. 93

Л и т е р ат у р а. 95

 
Введение диссертация по математике, на тему "Исследование одного класса итерационных методов третьего порядка"

Исследование сложных научно-технических проблем нередко приводит к решению различных нелинейных задач, например, к решению систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, нелинейных интегральных, дифференциальных, интегро-диф-ференциальных уравнений и их систем. Известно, что подобные задачи можно трактовать как частный случай общих нелинейных функциональных задач в конкретных функциональных пространствах, что позволяет использовать аппарат и методы функционального анализа для изучения условий разрешимости широких классов таких задач, для создания и исследования общих методов их решения.

Рассмотрим задачу отыскания решения X нелинейного операторного уравнения

8>(х)-°0, (од) где £Р - оператор, действующий из банахова пространства СС в банахово пространство У . Как правило, такие уравнения сложны и не могут быть решены аналитически. Важный класс численных методов для решения уравнения (0.1) составляют итерационные алгоритмы, реализуемые на современных электронных вычислительных машинах.

В настоящее время известно значительное число итерационных методов и работ, посвященных их исследованию. Тем не менее, весьма актуальной является задача дальнейшего изучения и систематизации уже известных алгоритмов, а также конструирования и исследования новых методов. Это связано, в частности, с широким распространением вычислительного эксперимента как метода организации теоретического исследования сложных прикладных проблем [79] , 80 , 82 . Как подчёркивается в книге [82 А. А. Самарского и Ю. П. Попова, итерационный многовариантный характер вычислительного эксперимента "вынуждает предъявлять достаточно жёсткие требования к эффективности и экономичности численных алгоритмов, к возможности их реализации за минимальное машинное время при сохранении достаточной точности". С другой стороны, многочисленные примеры, в частности [21], [27] ,

28

71 [7¿j , [Юб] , [l08 , показывают, что предварительное теоретическое исследование, проведение соответствующей экспериментальной работы приводят к повышению эффективности процесса решения прикладных задач за счёт выбора наиболее быстродействующего из алгоритмов, пригодных для их решения.

Теоретическое исследование итерационных процессов необходимо включает в себя, как известно [зб] , следующие этапы:

1. установление осуществимости и сходимости алгоритма;

2. исследование быстроты сходимости;

3. эффективная оценка погрешности.

Несмотря на самостоятельное значение результатов, полученных на этих этапах, ценность каждого нового алгоритма определяется теми преимуществами, которые он предоставляет при сравнительном анализе его свойств и свойств других подобных алгоритмов. Другими словами, предлагаемый алгоритм должен показать свою конкурентоспособность с уже известными методами . в том или ином смысле. Необходимыми составными элементами сравнения алгоритмов являются опробования их на модельных примерах и прикладных задачах. Сопоставление результатов теоретических исследований и экспериментальной работы служит основой рекомендации того или иного итерационного метода для решения данного конкретного класса прикладных задач.

Классические работы Л. В. Канторовича 32-38 и И. П.

МысОБСКИХ

59-61 , посвященные изучению обощения метода Ньютона на случай операторного уравнения (0.1), являются исходным руководством в теоретическом исследовании многих итерационных методов. Упомянутые выше результаты стали инструментом исследования и самого операторного уравнения. Теоремы о сходимости итерационного процесса второго порядка 1

I Хк

У*

0.2)

-п, М 9 называемого обычно методом Ньютона-Канторовича, представляют собой одновременно теоремы о существовании, единственности и области расположения решения X уравнения (0.1).

Теоретическое исследование алгоритма (0.2) и опыт его практического использования стимулировали конструирование новых алгоритмов. Одни из них ориентированы на такие задачи, решение которых методом Ньютона-Канторовича потребовало бы чрезмерных затрат времени или памяти электронной вычислительной машины, например

21

28

• И.

96 Другие позволили решать уравнения, для которых не удаётся найти начальное приближение, достаточно хорошее для обеспечения сходимости итераци

5], [И], [27], [44

56 онного процесса (0.2), например

Поиски новых эффективных алгоритмов ведутся в различных направлениях. В настоящее время имеется обширная литература по этому вопросу, укажем., например, работы

31 г ~41 > "43 > 65 [66].

81

91

94

II

14 М

112] , [Иб] .

Одно из перспективных направлений поиска связано с построением итерационных последовательностей более высокого, чем у метода Ньютона-Канторовича, порядка сходимости. В частности, большое внимание уделяется классу алгоритмов третьего порядка сходимости.

0.4)

Уи

Первые из членов названного класса были получены при обобщении на случай общих операторных уравнений (0.1) итерационных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод изучали Г. С. Салехов [77] и М. А. Мертвецова [49] . Метод Чебы-шева впервые в случае уравнения (0.1) рассмотрел М. И. Нечепуренко [б2! . Нередко, основываясь на традиционной геометрической интерпретации алгоритмов (0.3) и (0.4) в случае алгебраических и трансцендентных уравнений, их называют методом касательных гипербол и соответственно касательных парабол. Как будет ясно из результатов первой главы данной работы, для этих методов возможна иная геометрическая интерпретация, которая помогает сравнивать их и некоторые другие алгоритмы с единой точки зрения. Ещё) один метод третьего порядка сходимости со второй производной в расчётных формулах рассмотрел Л. К. Выханду [17

-1/ , а / \ [ . / \\г' гр гу*

0.5)

Впоследствии Ю. Я. Каазик |^29| обнаружил параметрическое семейство алгоритмов ( оС - вещественное число) который включает в себя, в частности, схему (0.4) при <£ - О , а также схемы (0.3) при с1-1 и (0.5) при . Было показано, что для каждого значения параметра & существуют условия, обеспечивающие третий порядок сходимости итерационной последовательности (0.6) к решению X* уравнения (0.1).

Как можно видеть, высокий порядок сходимости приведённых алгоритмов достигается за счёт дополнительных по сравнению с методом Ньютона-Канторовича вычислений на каждом итерационном шаге. Так, например, при реализации расчётных формул (0.6) потребуется значение второй производной оператора <?(х).

Тот факт, что затраты на вычисление Я (х^ могут не компенсироваться третьим порядком сходимости итерационного процесса, привёл к появлению алгоритмов, использующих вместо второй производной некоторые её дискретизации. Отметим в этой связи работы [87-89] , [107] . Как будет показано в данной работе, при таком подходе могут быть получены итерационные методы, использующие в расчётных формулах вместо выражения, содержащего вторую производную ^"(х) , либо выражение с одним дополнительным значением оператора %Р(х) , либо - с одним дополнительным значением первой производной .

Методом такого рода является метод, рассмотренный Т. И.

Коган

40 т* =■ т* -^гъ

Ж))/со.7) а также алгоритмы из работы I] и из работы [и^]

Изучению параметрических семейств подобных методов посвящены работы [2], [з](^0 у% /у» 1и работы [4 ], [8^

М. [75]

0.10)

П+1 а также 4

К г^ ^ п■ I

-I

0.П)

Таким образом, появилась возможность рассматривать отдельные алгоритмы (0.7), (0.8) и (0.9) как элементы общих параметрических семейств итерационных процессов третьего порядка сходимости. Особенностью группы методов (0.10), (0.11) и (0.12) является необходимость в вычислении на каждом итерационном шаге сразу двух значений первой производной 0*(х). гъ

0.12)

Наконец, в ряде работ, например [б2] , [70 , [90] ,

101 изучается параметрический класс алгоритмов третьего порядка чУ^А-ч^к^^0'(олз) а также рассматриваются некоторые его отдельные члены, в частности, методы (0.13) i-7-ПГ ; а алгоритм (0.13) Н

Х1Ъ~ № К

Л (ОЛЮ

ГЪ" \~->ъ ГЪ" представляет собой фактически известное чередование основного и модифицированного методов Ньютона-Канторовича. Заметим, что расчётные формулы (0.13) предполагают вычисление на каждом итерационном шаге двух различных значений оператора 9(х) .

Уже одно перечисление алгоритмов третьего порядка и работ, посвященных их исследованию, показывает, что на протяжении многих лет алгоритмы этого типа вызывали и вызывают к себе значительный интерес математиков. Некоторым шагом вперёд в изучении алгоритмов третьего порядка сходимости было появление параметрических семейств (0.6), (0.10), (О.И), (0.12), (0.13), что давало определённую возможность рассматривать их с единой точки зрения. Однако следует признать, что проведённые в известной литературе исследования даже уже известных отдельных алгоритмов (0.3), (0.4), (0.5), (0.7), (0.8), (0.9) и (0.14) не были достаточно полными и завершёнными. В частности, они не дают возможности проводить сравнительный анализ алгоритмов. Дело в том, что из указанных результатов можно лишь извлечь информацию об условиях сходимости и некоторых характеристиках сходимости алгоритма, соответствующего конкретным значениям параметров. Сравнить же различные алгоритмы, используя эту информацию затруднительно или просто невозможно ввиду определённой грубости теорем и неравнозначности их конкретизаций для отдельных алгоритмов.

Требует дальнейшего глубокого исследования вопрос о целесообразности использования в вычислительной практике для отыскания решения уравнения (0.1) алгоритмов третьего порядка со второй производной в расчётных формулах. В этой связи отметим работы 108 , 106 , доказывающие оптимальность метода Чебыше-ва в сравнении с методом Ньютона-Канторовича и некоторыми другими алгоритмами для нелинейных алгебраических уравнений достаточно высокой степени и некоторых нелинейных интегральных уравнений. До сих пор однако наиболее дискуссионным является вопрос о целесообразности применения подобных методов к практически важному классу нелинейных задач - системам нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Типичной в этом плане является позиция, изложенная в

65 Дж. Ортега и В.

Рейнболдт указывают, что .вычисление к -ой производной ото

Т\гъ 1 бражения иь в себя требует, вообще говоря, >Ъ вычислений функции; вследствии этого методы, связанные с использованием производных порядка выше первого, мало привлекательны с вычислительной точки зрения, за исключением, возможно, специальных задач". Действительно, в общем случае можно предсказать теоретически, что применение итерационных методов третьего порядка для получения решения с заданной точностью может уменьшить количество итераций приблизительно в полтора раза по сравнению с методом Ньютона-Канторовича. В связи с этим, представляется перспективным использовать алгоритмы со второй производной в основном для таких уравнений, у которых процесс вычислений 9(х), $ (х), 9 (х) содержит многие общие элементы и позволяет находить эти величины совместно, что значительно сокращает объём вычислительных затрат на каждом итерационном шаге по сравнению с общим случаем. С другой стороны, в связи с отсутствием результатов по исследованию устойчивости относительно погрешностей при вычислении второй производной при рассмотрении данного вопроса ранее недооценивалась перспективность простейших модификаций итерационных процессов третьего порядка со вторыми производными, а именно, возможность замены оператора '¡'(х) каким-либо просто вычислимым оператором, хотя бы грубо приближённо аппроксимирующим вторую производную. Напомним [96^ что возможность использования вместо значений первой производной каких-либо сравнительно грубых её аппроксимаций является резервом повышения эффективности итерационных методов с первой производной. Интуитивно ясно, что подобная ситуация будет иметь место и для итерационных алгоритмов со второй производной. Тщательное рассмотрение этой стороны вопроса будет способствовать прояснению практической полезности алгоритмов подобного типа.

Целью настоящей работы является:

I. конструирование общих схем итерационных методов третьего порядка сходимости, включающих в себя как уже известные в литературе, так и новые алгоритмы;

• 2. исследование полученных семейств алгоритмов на основе принципа мажорант с единой точки зрения, что делает необходимым решение следующих вопросов: а) развитие метода мажорантных уравнений третьей степени; б) изучение сходимости семейств алгоритмов в условиях, неулучшаемых для уравнения третьей степени; в) получение мажорантных и априорных оценок погрешности в единых условиях сходимости; г) исследование устойчивости алгоритмов по отношению к вычислительной погрешности;

3. анализ полученных на предыдущем этапе результатов с целью: а) выделения конкурентоспособных по быстродействию алгоритмов ; б) выяснения возможности использования вместо значения второй производной значения более просто вычислимого оператора с тем, чтобы уменьшить объём вычислительных затрат на каждый итерационный шаг при сохранении достаточно высокой скорости сходимости; исследование различных модификаций итерационных алгоритмов третьего порядка сходимости, полученных при замене оператора второй производной каким-либо аппроксимирующим оператором;

5. проведение экспериментальной работы: опробование конкурентоспособных алгоритмов на модельных примерах и прикладных задачах с целью выбора из них наиболее эффективного алгоритма для задач данного типа.

Работа состоит из трёх глав. В главе I построен общий класс итерационных алгоритмов на основе следующего двуступенча-того подхода. Оператор £Р в уравнении (0.1) аппроксимируется суммой первых трёх (а не двух, как в методе Ньютона-Канторовизатем полученное аппроксимирующее операторное уравнение второй степени решается итерационным путём. Полученная вычислительная схема включает в себя, в частности, такие известные методы, как метод Ньютона-Канторовича, метод Чебышева, алгоритмы (0.3), (0.5), параметрическое семейство (0.6), а также множество новых итерационных методов для решения уравнения (0.1). Даётся единая геометрическая интерпретация всех рассматриваемых алгоритмов. Полезность введения новых итерационных методов, вытекающих из предложенной общей схемы, с точки зрения расширения области сходимости алгоритма и повышения его быстродействия наглядно иллюстрируется на одном вещественном уравнении.

В §2 главы I развивается метод мажорантных уравнений третьей степени. Выясняются необходимые для дальнейшего условия существования и сам вид корней мажорантного уравнения. Изучаются свойства числовых мажорирующих последовательностей. Доказана теорема о сходимости предлагаемого общего класса методов, которая одновременно решает вопрос о существовании решения уравнения (0.1), его области расположения и области единственности. Проведено сравнение полученных результатов с аналогичными реча) членов разложения по обобщённой формуле Тейлора зультатами, известными в литературе.

В §3 главы I получены априорные оценки погрешности предлагаемого класса алгоритмов, позволяющие установить порядок и другие характеристики сходимости итерационных последовательностей. Проводится анализ выведенных оценок погрешности, что позволяет выделить из рассматриваемого класса алгоритмов конкурентоспособные по быстродействию итерационные методы.

В §4 главы I доказана теорема об устойчивости предлагаемых алгоритмов по отношению к вычислительной погрешности, которая указывает на различную степень влияния погрешностей при вычислении оператора и его производных на результат вычислений.

В главе 2 предлагается и исследуется ряд модификаций ранее рассмотренных алгоритмов. Модифицированные алгоритмы получены путём замены второй производной каким-либо аппроксимирующим оператором сС .

В §1 главы 2 рассматривается класс простейших модифицированных итерационных процессов, в которых участвуют просто вычислимые операторы ¿£ . Доказывается теорема о сходимости таких алгоритмов, указывающая на второй порядок сходимости и позволяющая утверждать их конкурентоспособность в сравнении с известными методами как второго, так и третьего порядка сходимости.

В §2 главы 2 рассматривается новое общее семейство алгоритмов третьего порядка, расчётные формулы которых используют вместо выражения со второй производной выражение с дополнительным значением первой производной. Доказана теорема сходимости данного семейства итерационных методов, получены априорные оценки погрешности. Отметим, что для известных параметрических семейств (0.10), (0.11) и (0.12) данная теорема впервые устанавливает сходимость в неулучшаемых для мажорантного уравнения третьей степени условиях и впервые указывает в этих условиях априорные оценки погрешности. Анализ результатов исследования позволяет выделить из рассмотренного семейства алгоритмов отдельные конкурентоспособные по быстродействию итерационные методы.

В §3 главы 2 аналогичным способом исследуется класс алгоритмов (0.13). Доказано, что алгоритм (0.14), обладающий наиболее простой в данном классе вычислительной схемой, имеет наибольшую скорость сходимости, что делает его наиболее эффективным среди методов семейства (0.13).

В §4 главы 2 изучается нелинейное операторное уравнение специального вида. Для решения этого уравнения предлагается итерационный процесс, использующий в качестве оператора об , аппроксимирующего вторую производную 9 , некоторый просто вычислимый оператор, выбор которого обусловлен видом решаемого уравнения.

В §4 главы 2 предложена модификация итерационных методов со второй производной для случая таких нелинейных уравнений, в которых совместное вычисление значений оператора и его производных Ф и З5 не даёт значительного выигрыша в объёме вычислительных затрат на каждом итерационном шаге. За счёт вычисления значения второй производной в специально выбираемой точке, отличной от той, в которой вычисляются оператор и его первая производная, повышается скорость сходимости итерационной последовательности. Указано, что в случае полиномиальных уравнений, порядок сходимости становится равным четырём.

В главе 3 алгоритмы, изученные в первых двух главах, применяются к решению систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

В §1 главы 3 выведены расчётные формулы итерационных процессов применительно к рассмотренному типу уравнений. Сформулированы некоторые практически полезные рекомендации по использованию для решения систем нелинейных алгебраических и трансцен-. дентных уравнений методов со второй производной.

В §2 главы 3 рассматривается вопрос о численном решении обратной задачи теории потенциала простого слоя. Проведение сравнения различных конкурентоспособных алгоритмов, пригодных для решения системы нелинейных уравнений, возникающих в данной задаче, позволил выбрать наиболее эффективный по быстродействию алгоритм.

В §3 главы 3 рассматривается вопрос о численной реализации разностных схем для квазилинейного уравнения теплопроводности. Как показано на серии примеров, алгоритм из §4 главы 2 позволяет получить решение с заданной точностью за меньшее машинное время, чем алгоритм, применявшийся к решению этой задачи ранее.

Все расчёты,. результаты которых используются в данной работе проводились на ЭВМ ЕС - 1020.

Для теорем, замечаний и формул в работе принята трёхступенчатая нумерация. Первое число означает номер главы, второе-номер параграфа, третье - номер теоремы (замечания, формулы). Нумерация рисунков и таблиц состоит из одного числа - порядкового номера в данной работе.

Основные результаты, изложенные в работе, опубликованы в тельной математике в Ленинградском университете им. А. А. Жда

2б] и докладывались на семинаре по вычисли нова (1983 г., руководитель - профессор И. П. Мысовских), на семинаре по вычислительной математике в Иркутском пединституте (1980-1982 гг., руководитель - профессор Б. А. Бельтюков), на итоговых научно-методических институтских и зональных конференциях (1980-1982 гг.), на II республиканском симпозиуме по методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации (Хаапса-лу, 4-7 июня 1981 г.).

Пользуясь случаем, автор благодарит своего научного руководителя профессора Б. А. Бельтюкова за постоянное внимание и всестороннюю поддержку при выполнении настоящей работы.

- 16

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Зыкова, Зоя Петровна, Иркутск

1. Бартиш М. Я. О некоторых итерационных методах решения функциональных уравнений.-Сиб. мат. журн., 1969, т. 10, № 3, с. 488-493.

2. Бартиш М. Я. О некоторых рекурсивных итерационных методах решения нелинейных операторных уравнений.-Докл. АН Укр. ССР, сер. А, физ.-мат. и техн. науки, 1978, № I, с. 963-965.

3. Бартиш М. Я. Об одном классе итерационных методов со сходимостью третьего порядка.-В кн.: Вычислительная и прикладная математика. Киев, 1976, вып. 28, с. 85-93.

4. Бартиш М. Я., Сеньо П. С. О методе Рунге решения нелинейных уравнений третьего и четвёртого порядка сходимости.-В кн.: Вычислительная и прикладная математика. Киев, 1976, вып. 28, с. 85-93.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы.-М.: Наука, 1973, т. I.-632 с.

6. Бельтюков Б. А. О возмущённом аналоге метода Эйткена-Стеф-фенсена для решения нелинейных операторных уравнений.-Сиб. мат. журн., 1971, т. 12, № 5, с. 983-1000.

7. Бельтюков Б. А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравнений.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1965, т. 5, № 5, с. 927-931.

8. Бельтюков Б. А., Волокитин С. С. Блочные модификации возмущённого метода Эйткена-Стеффенсена.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1973, т. 12, № 6, с. 1390-1401.

9. Бельтюков Б. А., Зыкова 3. П. Об одном классе итерационных методов для решения нелинейных уравнений.-В кн.: Численные методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1981, с. 175178.

10. Березин И. С.fЖидков Н. П. Методы вычислений.-2-е изд.-М.: Физматгиз, 1962, т. I. стереотип.-464 е., т. 2. пере-раб.-640 с.

11. Ваарманн 0. О некоторых итерационных методах нахождения нормальных решений нелинейных уравнений.-Изв. АН Эст. ССР, физ., матем. 1973, т. 22, № 4, с. 343-349.

12. Ваарманн 0., Полль В. О решении нелинейных уравнений методами высокого порядка сходимости и их устойчивости.-Изв. АН Эст. ССР, физ., матем. 1977, т. 26, № 2, с. 123-127.

13. Васильев П. Методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, I98I.-400 с.

14. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980.-518 с.

15. Васильев Ф. П., Хромова JI. Н. О методах высокого порядка для решения операторных уравнений.-Докл. АН СССР, 1983, т. 270, № I, с. 28-31.

16. Выханду JI. К. Об итерационных мётодах решения уравнений: •Автореф. Дисс.канд. физ.-мат. наук.-Тарту, 1955.-7 с.

17. Выханду JI. К. Об одной возможности оценки погрешности итеративных методов.-В кн.: Учёные записки Тартусского университета, 1959, вып. 73, с. 139-145.4

18. Гавурин М. К. Аналитические методы исследования функциональных преобразований.-В кн.: Учёные записки ЛГУ, сер. матем., 1950, т. 19, с. 59-154.- 97

19. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений.-М.: Наука, 1971.-248 с.

20. Гасилов В. А., Тишкин В. , Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Использование метода параллельных хорд для решения разностных уравнений гидродинамики.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1981, т. 21, № 3, с. 707-720.

21. Гребенюк В. С. Исследование сходимости некоторых классов итерационных процессов.-В кн.-: Исследование по современным проблемам суммирования и их приложения. Днепропетровск, 1975, вып. б, с. 173-180.

22. Дубовик Л. И. Об общем виде итерационного процесса третьего порядка для нелинейных функциональных уравнений.-В кн.: Первая республиканская математическая конференция молодых исследователей. Ин-т математики АН Укр. ССР, Киев, 1965, вып. I, с. 219-225.

23. Зыкова 3. П. Один способ получения априорных оценок погрешности на основе принципа мажорант.-В кн.: Приближённые методы решения операторных уравнений и их приложения.-Иркутск, 1982, с. 94-100.

24. Зыкова 3. П. Применение принципа мажорант при исследовании устойчивости некоторых итерационных процессов.-В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1982, с. 123-126.

25. Ермаков В. В., Калиткин Н. Н. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона.-Журн. вычислит, математики и мат. физи- 98 ки, 1981, т. 21, № 2, с. 491-497.

26. Ермолов Л. И. Модификация метода Ньютона на основе схем треугольного разложения Холецкого.-В кн.: Аналого цифровое моделирование и системы управления. Кишинёв, 1980, с. 68-80.

27. Каазик Ю. Я. Об одном классе итеративных процессов для приближённого решения операторных уравнений.-Докл. АН СССР, 1957, т. 112, № 4, с. 579-582.

28. Каазик Ю. Я., Тамме Э. Э. Об одном методе приближённого решения функциональных уравнений.-Докл. АН СССР, 1957, т. 112, № 4, с. 579-582.

29. Калиткин Н. Н. Численные методы.-М.: Наука, 1978.-512 с.

30. Канторович Л. В. Некоторые дальнейшие применения метода Ньютона для функциональных уравнений.-Вестн. ЛГУ, сер. мат., мех. и астр., 1957, т. 7, вып. 2, с. 68-103.

31. Канторович Л. В. Некоторые дальнейшие применения принципа мажорант.-Докл. АН СССР, 1951, т. 80, № 6, с. -849-852.

32. Канторович Л. В. О методе Ньютона.-Тр./мат. ин-т им. В. А. Стеклова, 1949, т. 28, с. 104-144.

33. Канторович Л. В. Приближённое решение функциональных уравнений. -Успехи мат. наук, 1956, т. II, № 6, с. 99-116.

34. Канторович Л. В. Принцип мажорант и метод Ньютона.-Докл. АН СССР, 1951, т. 76, № I, с. 17-20.

35. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика. -Успехи мат. наук, 1948, т. 3, № 6, с. 89-181.

36. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.-2-е изд., перераб.-М.: Наука, 1977.-744 с.

37. Картан А. Дифференциальное исчисление.-Дифференциальные формы.-М.: Мир, 1971.-392 с.

38. Коган Т. И. Об одном итерационном процессе для функциональных уравнений.-Сиб. мат. журн., 1967, т. 8, № 4, с. 958-960.

39. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная матема-тика.-М.: Мир, 1969.-448 с.

40. Коппель X. К. Построение некоторых классов итерационных формул.-В кн.: Учёные записки Тартусского университета, 1978, вып. 448, с. 133-138.

41. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Ру-тицкий Л. Б., Стеценко В. Я. Приближённое решение операторных уравнений.-М.: Наука, 1969.-456 с.

42. Курчатов В. А. Итерационный метод третьего порядка для решения нелинейных функциональных уравнений.-Изв. ВУЗов, Математика, 1976, № 12, с. 51-56.

43. Курчатов В. А. О некоторых условиях сходимости метода Чебы-шева.-Тр./Казанский химико-технологический ин-т, 1971, вып. 42, с. 3-8.

44. Курчатов В. А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравнений.-Докл. АН СССР, 1969, т. 189, № 2, с. 247-249.

45. Лика Д. К. К сходимости одного процесса третьего порядка для решения нелинейных операторных уравнений с недифферен-цируемым оператором и необратимой производной.-В кн.: Прикладная математика и программирование.-Кишинев: Штиинца, 1971, вып. 5, с. 24-34.

46. Лика Д. К. Сходимость одного итерационного процесса и его применение для построения решения нелинейных дифференциальных уравнений.-Изв. АН Молд. ССР, Физ., мат., 1972, № I, с. 3-10.- 100

47. Мертвецова М. А. Аналог процесса касательных гипербол для общих функциональных уравнений.-Докл. АН СССР, 1953, т. 88, № 4, с. 611-614.

48. Микеладзе Ш. Е. О некоторых итерациях высших порядков.-Сообщ. АН Груз. ССР, 1959, т. 22, № 3, с. 257-264.

49. Мираков В. Е. О принципе мажорант для метода Чебышева.-Успехи мат. наук, 1956, т. II, вып. 3, с. 171-174.

50. Мираков В. Е. О сходимости метода касательных гипербол для нелинейных функциональных уравнений при условии типа Ко-ши.-Тр./Московский физико-технический ин-т, 1958, вып. I, с. 204-213.

51. Мираков В. Е. О сходимости метода Чебышева для нелинейных функциональных уравнений при условии типа Коши.-Тр./Московский физико-технический ин-т, 1960, вып. 5, с. 146-153.

52. Мираков В. Е. Принцип мажорант и метод касательных парабол для нелинейных функциональных уравнений.-Докл. АН СССР, 1957, т. ИЗ, № 5, с. 977-980.

53. Михлин С. Г. О погрешностях вычислительных процессов,II. Изв. ВУЗов, Математика, 1981, № 8, с. 32-38.

54. Моисеевв Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. -М. : Наука,-351 с.

55. Мурзакаев М. Л. О методе Чебышева для функциональных уравнений.-Тр./Ташкентский гос. ун-т, 1968, К? 316, с. 43-54.

56. Мухамадиев Э. М., Стеценко В. Я. Достаточные условия сходимости метода Ньютона-Канторовича при решении краевых задач для квазилинейных уравнений эллиптического типа.-Сиб. мат. журн.,1971, т. 12, № 3, с. 576-582.

57. Мысовских И. П. К вопросу о сходимости метода Ньютона.-Тр./матем. ин-т им. В. А. Стеклова, 1949, т. 28, с. 145

58. Мысовских И. П. О сходимости метода Канторовича решения функциональных уравнений и его применения.-Докл. АН СССР,• 1950, т. 70, № 4, с. 565-568.

59. Мысовских И. П. О сходимости метода Л. В. Канторовича для решения нелинейных функциональных уравнений и его применение.-Вестн. ЛГУ, 1953, № II, с. 25-48.

60. Настас Н. К. О сходимости одного процесса третьего порядка для решения нелинейных операторных уравнений.-В кн.: Приближённое решение уравнений, Кишинёв: Штиинца, 1973, с. 70-75.

61. Насыров Т. X. К расчёту установившихся режимов электрических систем методом Ньютона-Рафсона.-Изв. АН Уз. ССР, 1979, № 5, сер. технич. наук, с. 19-22.

62. Нечепуренко М. И. О методе Чебышева для функциональных уравнений.-Успехи мат. наук, 1954, т. 9, № 2, с. 162-170.

63. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных уравнений со многими неизвестными.-М.: Мир, 1975.-560 с.

64. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений.-М.: ИЛ, 1963.-219 с.

65. Парасюк Е. М., Власов В. П., Мелекесцев В. С., Мельник3. 0., Кардаш А. И. Об одном методе решения обратной задачи теории потенциала.-Изв. АН СССР, Физика Земли, 1972, № II, с. 77-81.

66. Парасюк Е. М., Кардаш А. И. Одна численная реализация решения обратной задачи теории логарифмического потенциала простого слоя.-Вестн. Львовского ун-та, сер. мех.-мат., вып. 8, 1973, с. 92-96.

67. Парасюк Е. М., Сеньо П. С. Об одной обратной задаче логарифмического потенциала простого слоя.-Вестн. Львовского ун-та, сер. мех.-мат., 1974, вып. 9, с. 124-125.

68. Полль В. Об одном классе итерационных методов для решения нелинейных операторных уравнений.-Изв. АН Зет. ССР, Физ., математика, 1974, т. 23, № 4, с. 421-424.

69. Попов Ю. П., Самарская Е. А. О сходимости итерационного метода Ньютона для решения разностных уравнений газовой динамики.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1977, т. 17, № I, с. 276-280.

70. Попов Ю. П., Самарский А. А. О методах численного решения одномерных нестационарных задач газовой динамики.-Журн. вычислит, математики и мат. физики,1976, т. 16, № 6, с. 1503-1518.

71. Прокопченко А. В. Об одном способе построения итерационных процессов высоких порядков.-Докл. АН Узб. ССР, 1979, № 2, с. 8-9.

72. Роозе А. Об использовании методов Рунге-Кутта для решения нелинейных уравнений.-Изв. АН Эст. ССР, Физ., математика,1973, т. 22, № 4, с. 431-434.

73. Роозе А. Свойства одного класса алгоритмов для решения нелинейных уравнений.-Изв. АН Эст. ССР, Физ., математика,1974, т. 24, № 4, с. 349-352.

74. Рябченко Н. М. О сходимости некоторого итерационного процесса высокого порядка.-В кн.: Первая республиканская математическая конференция молодых исследователей. АН Укр. ССР, ин-т математики. Киев, 1965, вып. I, с. 580-587.

75. Салехов Г. С. О сходимости процесса касательных гипербол.-Докл. АН СССР, 1952, т. 82, № 4, с. 525-528.- 103

76. Самарская Е. А. Об итерационных методах решения разностных уравнений газовой динамики.-Вестн. Моск. ун-та, сер. 15, вычислит, математика и кибернетика, 1980, № I, с. 58-65.

77. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.-Вестн. АН СССР, 1979, № 5, с. 38-49.

78. Самаре кий А. А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1977.— 656 с.

79. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1978.-592 с.

80. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики.-2-е изд., испр. и доп.-М.: Наука, 1980.-352 с.

81. Самарский А. А., Соболь И. М. Примеры численного расчёта температурных волн.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1963, т. 3, № 4, с. 702-719.

82. Сеньо П. С. Применение принципа мажорант к итерационным методам типа Рунге.-Вестн. Львовского ун-та, сер. мех.-мат., вып 12, 1977, с.61-62.

83. Тамме Э. Э. О принципе мажорант для итерационных методов.-В кн.: Учёные записки Тартусского ун-та, 1959, т. 73, с. 84-116.

84. Тамме 3. Э. О приближённом решении функциональных уравнений методом разложения в ряд обратного оператора.-Докл. АН СССР, 1955, т. 103, № 5, с. 769-772.

85. Ульм С. Ю. Об обобщённых разделённых разностях.-I. Изв. АН Эст. ССР, Физ., математика, 1967, т. 16, № I, с. 13-16.

86. Ульм С.Ю. Об обобщённых разделённых разностях.-II. Изв. АН Эст. ССР. Физ., математика, 1967, т. 16, № 4, с. 146-156.

87. Ульм С. Ю. О сходимости некоторых итерационных процессов в- 104 пространстве Банаха.-Учёные записки Тартусского гос. унта, вып. 42, Таллин, 1956, с. 135-142.

88. Фоканова А. А. Обобщение одного метода решения нелинейных уравнений.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1972, т. 12, № I, с. 218-221.

89. Хемминг Р. В. Численные методы.-М.: Наука, 1972.-400 с.

90. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений.-М.: Мир, 1980.-279 с.

91. Чернышенко В. М. Об аналоге метода Чебышева.-В кн.: Первая республиканская математическая конференция молодых исследователей. АН Укр. ССР, ин-т математики. Киев, 1965, вып. I, с. 691-697.

92. Чернышенко В. М. Общая теория итерационных методов решения нелинейных функциональных уравнений.-Днепропетровск, ротапринт Днепропетровского ун-та, 1970.-170 с.

93. Чернышенко В. М., Лисихина Н. П. Обобщение метода Джаррат-та на нелинейные функциональные уравнения.-В кн.: Вычислительная и прикладная математика. Межведомственный научный сборник. Киев, 1974, вып. 23, с. 13-19.

94. Черняк В. Я. Об устойчивости одного итерационного процесса. -В кн.: Прикладная математика. Иркутск, 1978, с. 211-213.

95. Шафиев Р. А. О методе касательных гипербол.-Докл. АН СССР, 1963, т. 149, № 4, с. 788-791.

96. Шафиев Р. А. О некоторых итерационных процессах.-Журн. вычислит. математики и мат. физики, 1964, т. 4, № I, с. 139-143.

97. Щербина Ю. М. Разностный аналог метода касательных гипербол. -Вестн. Львовского ун-та, 1976, вып. II, сер. мех.-мат., с. 66-70.