Итерационные многокомплнентные методы переменных направлений решения эллиптических задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕЖШИ

На правах рукописи АЛЕЙНИКОВА Татьяна Григорьевна

итерационные шюгоккшонентнне методы переменных направлении решения

эллиптических задач

01.01. СП - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фгаико-катематических нйук

МИНСК 1993

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси и Витебском педагогическом институте

Научные руководители: доктор физико-мвтематиче

наук, профессор АБРАШНН Вячеслав Николаеейч кандидат физико-математических наук, доцент ЧЕГИС Раймондас Юозо

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор МОНАСТЫРШИ Петр Ильич доктор физико-математических наук, профессор ИВАНАУСКАС Феликс Феликсо

Ведущая организация: Казанский университет

Защита состоится "¿8" ,-илл_1993 г. в часов

на заседании специализированного совета К 006.10.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, г.Минск, ул.Сурганова, II, Институт математики АН Беларуси.

О диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан СЩ^и*^*? 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат, наук.

ДАс-^^-е^"'"' А.И.Астровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из наиболее важных направлений в развитии численных методов решения уравнений математической физики является разработка -эффективных алгоритмов решения многомерных стационарных задач, возникающих при описании физических явлений и процессов различной природа ( например, , в теории упругости, стационарной теплопроводности, электродинамике, исследован™ процессов диффузии, фильтрации ).

Построению и изучению разностных методов решения эллиптически уравнений посвящены многие работы A.A. Самарского, B.C. Николаева, Н.С. Бахвалова, Б.В. Андреева, Е.Г. Дьяконова, Г.И. Марчука, В.П. Ильина, H.H. Яненко, А,Д. Лялко, М.М. Карчнвского, В.И. Лебедева,а также зарубежных' 'авторов: Р. Рихтмайвра, К. Мортона, Ж. Лионса, Л. Хейгемана, В. Янга и других.

Больная размерность рассматриваемых задач приводит к необхомости разработки специальных методов, учитывающих, специфическую структуру (разреженность, ленточность, блочность) получаемой в конечном счете матрицы системы алгебраических уравнений. Наиболее универсальными среди этих методов являются итерационные, позволяющие свести реализацию сложной задачи к последовательности более простых.

Существенным достижением в »той области является метод переменных направлений, предложенный Дугласом , Писменом, Генном и Рэкфордом. Сравнение метода переменных направлений с другими итерационными алгоритмами показывает, что он является экономичным и довольно эффективным. Однако» в задачах с размерностью р > 2 применение денного метода связано с принципиальными трудностями, например, при этом необходима коммутируемость. "одномерных" пространственных операторов, и накладываются ограничения на итерационные параметры.

Распространенными алгоритмами решения задач ' большой размерности являются методы, основанные на факторизации разностного оператора задачи, которые разрабатывались B.C.

йладамировыа, O.K. Годуновым, A.A. Абрамова», В.Б. Лглроввим, A.A. Самарским, E.G. Николаевым и другими акораа. Но и алгоритмов такого типа сохраняется трдбовшш ттзщщяас-м "одномерных" пространственных операторов.

В работах В.Н.Абрашна был пре дионеи класс eico<»o>:;'.!^;.-j разностных схем, который позволяет с ъ счэт 2£&д*г?лл июгокомпоявтаоста снять ряд ограничений на еаоЯсгза из-щаноа задачи и дает возможность значительно расширять об^сл применения метода переменных направленна. Влотрсаг-аэ ei исследование алгоритмов подобного тала для «»вццанарнах i большой размэрности и более сложной струмда црэдстаол." несомненный интерес для теории численных методов.

Если исходная дифференциальная задача pomm^ss-isse;.- ъ области, имеющей слозкную геометрию, то при построена? г1 обосновании классических итерационных методов возге-каг? дополнительные трудности. Они связана с наличием нэрегрл^аах приграничных узлов и изменяющимся шагом cöykh, что плохо иплг-.: на обусловленность получаемой в конечном счете матрица систегм алгебраических уравнений. В связи с этил остается актуальней* проблема дискретизации области сложной йорма к построоилл экономичных итерационных методов решения (шагомерах шшштических задач в таких областях.

Целью работы является построение и исследование итерационных ;догекошюнвнтных методов переменных направлений реаекнд аиаштических задач любой размерности.

Научная новизна. Предложены економичные разностные схе.<гы> которые позволяют использовать метод переменных направлений длй рззения эллиптических задач любой размерности. Проведено исследование построенных итерационных многокомпонентных алгоритмов метода переменных направлений. Предложены 8ф|ективные разностные схемы этого метода, позволяющие использовать его в областях со сложной геометрией, а такие алгоритмы, допускающие полное распараллеливание вычислений на одномерные задачи. Решена задача выбора оптимальных итерационных параметров для описанных методов.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть

использованы при решении широкого класса многомерных эллиптических уравнений как в прямоугольных, так и в областях Солее сложной формы.

Апробация работа. Основное результаты . диссерташп докладывались на Республиканской научно-практической конференщи творческой молодежи "Актуальные проблемы информатика: математическое, программное и информационное обеспечение" (г. Минск, 1989 г. ), на семинарах лаборатории численных методов математической физики Института матемаетлга АН Беларуси, к-ч семинаре кафедры численных методов и программировав:.-; Еелгосуниверситета, кафедры дифференциальных уравнений к численных методов Вильнюсского университета, отдела вычислительных методов Института математики и информатики АН Литвы, на семинарах кафэдры информатики и вычислительной- тэхнккк Витебского педагогического института.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы е работах И-41.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, содержащего 93 ноимв-' ногзнкй . Общий объем работы 100 страниц,

СОДЕВШШЕ РАБОТЫ

Во ввэдэнии дан краткий обзор литература по тзкз диссертации,а тагет обоснована актуальность • проБвдеквнж исследований и изложено их основное содещанно.

В первой главе рассмотрены многокомпонентные разностныз схемы для линейных эллиптических уравнений с переменным коэффициентами в области прямоугольной форма. С помогцьп спектрального и энергетического кетодов проведено исследование построенных многокомпонентшх итерационных алгоритмов, получека оценки числа итераций, найдены оптимальннэ итерационные параметры.

В §! приведена постановка задачи для двумерного эллиптического уравнения с разделяющимися . переменными в прямоугольнике. Для ее решения првдлошн стсционарний

итерационный многокомпонентный метод переменных направлений

к+» /г к У - у к + 1/г к

--- л, у, + лгу + р,

к к У, - У к + 1 /а к +» /г

-- л» У. + л8 Уг +

(1)

к+» к+1/г к+»/г

У »( У, + Ув )/2,

к к+»/г к+»/г

у1г - . У, ' " У* 1г *

М» /а

Здесь к - номер итерации, уа -промежуточная итерация, г - итерационный параметр, подлежащий выбору.

Исследование итерационного процесса (1) проводено спектральным методом, доказана сходимость метода со скорость» геометрической прогрессии.

Рассмотрен тар» еще один итерационный алгоритм

к+»/« к

у. - у к*«'« . к-»/* • = У,

к*»/а к

У. - У к-1/в к*1 /в

у, +л. у,

к*1 к»»/« к+1 /а

У -< у, ♦ У, У2,

к к+1/в к+»/а

У1г * У, •г " У, =

(2)

Си обладает свойством полного распараллеливания вычислений, т.е. кевдое из его уревнений монет решаться независимо от остальных. Такие алгоритмы являются наиболее эффективными при наличии ЗШ, допускающих параллельную и асинхронную обработку информации. Проведено исследование сходимости итерационного процесса (2) и доказана соответствующая теорема.

Решена задача выбора оптимальных итерационных параметров г для (1), (2). Проведено сравнение скорости сходимости предлагаемых алгоритмов с явным итерационным методом и доказано, что если матрица решаемой системы уравнений удовлетворяв? енергетической оценке <5Е 2 А 5 ДЕ. то число итераций, достаточное для достижения заданной точности е при оптимальном вначешга итерационного параметра, определяется по формуле

* л

п £ по(в) * 1п - /(б.5т)), ч е 2 ♦

В §2 на основе рассмотренного в §1 распараллеленного стационарного итерационного метода построен неявный итерационный процесс с чебншевским набором итерационных параметров для многомерного эллиптического уравнения о переменными коэффициентами в прямоугольном параллелепипеда

В(т) -—-- + А Ук « *>, (3)

ки К

где В (г) соответствует стационарному итерационному методу

' км/в к

У - У к+.л. к - к -- * Л у + Л у 4 ... + Л у + р,

к-и/г к

У - У к к-и/г к

-- = Л( у + Л2 уг + ... + Лр у + р,

И|/г к

у - у к к к + ./г ^ '

-Е—- = Л1 у + лг у + ... + Лр ур + Р.

к+1 к+1/г к» 1/2 к + 1/г

У = ( У, + Уг + ... + Ур )/р .

к к + 1/г к+1/г кт)/*2

У1г = У, 1г = 'г = = Ур *г = еМ-Оператор В"1 , соответствующий (4), имеет вид

В"1 (т ) = ^ [ (Е + тА +• (Е + тАг )"' + ...+ (Е + тАрГ' ] .

Исследование сходимости (3), (4) позволяет найти оптимальнее значение т и определить оператор В"' в атом случае

а=1

¿V

Доказано, что итерационный метод (3) сходится за

1.2 1

п> П„(£) *21йС у.

итераций, т.е. скорость сходимости такого же порядка, как в традиционном варианте метода переменных направлений. Вместе с тем предлагаемые алгоритмы расширяют возможности этого метода и позволяют решать, задачи любой размерности с переменными коэффициентами. При этом снято ограничение коммутируемости "одномерных" пространственных операторов.

Рассмотренный в $2 неявный итерационный метод реализуется с

чвбышевским набором итерационных параметров. Для построения

какого набора необходимо знать число итераций, достаточное д.~п достижения заданной точности. В оценку числа итераций' входа? спектральные постоянные энергетической эквивалентное!?; операторов. В §3 рассматриваются возможные способы вычислена этих постоянных, в том числе для случая разрывных коэффициентов. На основе полученных результатов формулируется критеу;:11 применимости итерационных методов для • задач с разрыве ет коэффициентами. Эффективность этого критерия продемонстрирована на модельной задаче.

Вторая глава посвящена построению и исследованию алгорк:.-:с~ многокомпонентного метода переменных направлений для многскершй эллиптических уравнений в области сложной формы.

В р-мерной выпуклой связной области с криволинейной гранки?, й строится сетка, равномерная на кандой из прямых в даг-жм направлении. В ней отсутствуют нерегулярный приграничные узлн. Разностная схема, соответствующая построенной подобным обравс.ч сетке, лишена недостатка, присущего многим другим схемам, ксл:;.] даже один, относительно малый шаг, сильно ухудезт обусловленность задачи.

Аппроксимируя исходное уравнение на рассмотренной сетке, получаем систему для р неизвестных векторов-функций

В §4 дается постановка задачи, проводится построена пространственной сетки и разностной схемы для многомерного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. Использование "равномерной" сетки с несовпадающими узламл

приводит к неклассической разностной схеме, когда в каздой точке

имеются р значений решения ( уа , а ■ Т7р ). Обсуждаются

(5)

возможные опосоСн однозначного выбора приближенного решения.

Исследование устойчивости и сходимости разностной схемы (5) проводится методом енергетических неравенств. В §5 доказана теорема об устойчивости построенной разностной охемы по правой

часта б нормах и Ье.

В сеязй о применением специальной расчетной сетки требуется дополнительное исследование аппроксимзционных свойств -разностной сг.змыПроведенный анализ позволил показать, что построенная слвйю аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком 0(Ю.

Доказана теорема о сходаости разностного решения в нормах и

Следует отметить, что при доказательство, теорем данного параграфа не требуется коммутативности "одномерных" пространственных операторов.

В §б для реализации разностной схемы предложен итерационный щюцасс, который также принадлежит к классу многокомпонентна/, алгоритмов, наученных в первой главе:

¿ к»| Д к к-И •_

V« + ) л<Ах- й У/г -Рр* р * "Пр.

<* ' (6) к = 1,2,...,!!.

Доквзена следующая теорема о сходимости итерационного метода (6) со скорость» геометрической прогрессии со внаменателем

1

д е ..................... . .

В этом параграфе также предложены некоторое другие варианты итерационного многокомпонентного метода переменных направлений:

k+i к ß р

-V-= а + L Л» У« - d У/í^ Р-та.

■ «=, a7p*t {1)

P ■

У = р ^ Уд » ^ = 1 »2, • • • ,N; а=1

или распараллвшшй алгоритм:

к-м к ß Уа - У * к+»

Т-- 2, ла у + Л/3 У/3 • d У/3 + Р» Р =

<3}

Р

У-Я Уд » 1 «2».«• »N.

a=i

В олучав, когда исходная дифференциальная задача рассматривается в р-мерном прямоугольном параллелепипеде, для ее рэиевзя могут применяться также следующие алгоритмы!

kti/2 к ß р Уя ~ У Г4 k+i/a • . к • k+i/a

_1 - \ А 17 j. \ / и . л п i

i ~ У V* к+1/я к «♦»/а _

r- = ZAay« * ¿A X ~ 4 ♦ * * " ТО

asi as߻i

P •

♦í -4 -r-» kti /»

y iL y« *

Oís

к k+i/e

ylrh * ya ^ ° a«t,2,.,.,p, к - 1.2,...{

к ß p У a - У v rr» k-ri/ш к*»/» _

-V- » I Aa Уа + I V Уа > d У/3 + P m та.

asi añp*i

ku , * k*,v. ' ' <10>

y - Я y« •

Ott

У|гь = ^УаП^ = «=Ь2,...,р, к = 1,2,.

к+1/г к р Уд - У к-» /г _ кмгг к+1 /г

7— » 1 Ла У« + /3 У/3 " й У(3 + " та-

а=1 а*/3

Р (11) у *2- у« •

= кУа%ь = 0=1'2.....р, к = 1,2,... ,

В §7 приложения приводятся результаты численных расчетов с помощью итерационных методов, рассмотренных в §1 и б §2, для некоторых тестоЕнх задач. В качестве модельных примеров использовалась задача Дирихле для уравнения Лаичаса, а также двумерное вя-Г-шткадскоэ уравнение с сильно меняющимися коэффициентами в прямоугольнике .

Еще один пример, рассмотренный в данном параграфе, дэмон-стр)фует аффэктизкость разностной схемы К' итерационвого методы, предложенных во второй главе. В области, представляющей собой прямоугольный параллелепипед с шаровык вырезом, решается трехмерная эллиптическая задача. Расчетная сетка строится в соответствии с подходом, описанным в §4. Для реализации разностной cxef.ni применяется многокомпонентный, итерационный процесс, рассмотренный в 56. .

Проведено сравнение некоторых вариантов итерационного многокомпонентного метода и классического итерационного метода переменных напрврлекий на модельной задаче.

Полученные ь 5? численные результаты свидетельствуют о том, что в двумерном случае количество итераций в многокомпонентном методе и методе переменных направлений примерно совпадает, в в случае больней размерности исходной дифференциальной задачи предложенный в работе метод не требует ограничений на

итерационные параметру и, вследствие этого, обладает сущэств&о w г?ро имуществом в скорости сходимости го сравнении с методом пороченных направлений.

1. Для многомерных линейных эллиптических задач о пареко-ки ;-: коеффициентами в пространственных областях различной

. построены и изучены многокомпонентные разностные алгоритма;

2. Для реализации полученных разностных схем прзд^ссг " итерационные процессы, относящиеся к группе методов парэмз;&ч* направлений и допускащна полное распараллеливание зычг.о^ег-'-:

3. Проведано исследование спектральным и энергетически,] яэяздаи сходимости предлагаема разностных схем я ктэрсцпсн:^ процессов, решена задача выбора оптимальных итерациоя:;.к параметров.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих "о-

1. Алейникова Т.Г. Об одном классе эффекгавных ракюсшух стлм решения эллиптических уравнений в области произвольной «je^a // ЛМфаренц. уравнения. -ISS0.- Т.26, Я 5.- 0. 823,

2. Алейникова Т.Г. Экономичные разностные схомы реззвяа оамви-ческих уравнений в области произвольной фор»гы // Ярн^элс;^ шформатики и вычислит, техники при решении нэродзсчса" .}-стЕенных задач. Тезисы дога. Респ. конференции молодых уче:ш и специалистов. - Нн., 1989, о. 118.

3. Абрашин В.Н., Алейникова Т.Г. Эффективные итерацноншэ решения многомерных эллиптических уравнений. I // ВасЩ ali БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. 1991, № 6.- 0. 5-Н.

4. Alelnikova Т., Clegio R. On the Iterative method for linear

problema with discontinuous coeficiente // Inroimtlca, -1s93. - v.4, ß 2. - p.118-132.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

ботах: