Применение метода фиктивных областей для решения задач математической физики в неодносвязном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение 2

1 Метод фиктивных областей 6

1.1 Эллиптические уравнения.6

1.2 Стационарная задача Стокса.12

1.3 Нестационарная задача Стокса.15

1.4 Стационарное уравнение Навье-Стокса.20

2 Эллиптические уравнения 30

2.1 Метод Г.М. Кобелькова.31

2.2 Симметризованный алгоритм (метод псевдопотоков) . 38

2.3 Метод потоков.43

3 Задача Стокса 46

3.1 Метод Г.М. Кобелькова.46

3.2 Нестационарное уравнение.56

3.3 Симметризованный алгоритм .63

4 Уравнение Навье-Стокса 65

5 Результаты численных экспериментов 79

5.1 Задача Дирихле для уравнения Лапласа .79

5.2 Задача Стокса.81

В современной науке и технике требуется решать задачи математической физики в областях сложной геометрической формы. При этом требования к точности получаемого решения зачастую превосходят возможности современной вычислительной техники. Процесс численного решения многих проблем, содержащих дифференциальные уравнения, включает, по крайней мере, две трудоемкие задачи: построения вычислительной дискретной сетки в области решения задачи и построение и реализацию алгоритма, вычисляющего приближенное решение исходной задачи. Очень часто проблема построения вычислительной сетки сравнима, а иногда превосходит по затратам компьютерного и человеческого труда задачу получения и непосредственного решения дискретных уравнений, аппроксимирующих исходную задачу.

В то лее время, современные алгоритмы вычислительной математики позволяют "быстро" решать только ограниченный класс проблем. В частности, к ним относятся задачи в областях простой формы, допускающие разложение решения в ряды Фурье. Другую возможность эффективного решения проблем математической физики в областях сложной формы дают многосеточные алгоритмы, но они требуют построения иерархической последовательности сеток в области решения задачи, что в свою очередь существенно ограничивает и усложняет их применимость.

Возможной альтернативой задаче построения сложных сеток является метод фиктивных областей. Общая схема применения метода фиктивных областей для решения краевых задач математической физики состоит в следующем. Пусть в некоторой области бт С Я!1 ищется решение и(х), которое удовлетворяет уравнению с частными производными

Ьи = ¡(х), х = (хь х2)хп) е Сь и граничным условиям

1и = д(х), х € <9(?1.

Основная идея метода фиктивных областей состоит в том, чтобы решать задачу не в исходной сложной области Сь а в некоторой другой, более простой области О такой, что С^ С б. Таким образом, мы будем иметь дело только с регулярными областями, что позволяет создавать программное обеспечение сразу для достаточно широкого класса задач с произвольными расчетными областями. В качестве (7 можно выбрать, например, п-мерный параллелепипед.

Задачу в расширенной области (2 для приближенного решения ии{х) можно записать в виде

Л,(ж), жеС, ¿Ш^и) - (Цы (х), х е 56?.

Здесь отмечено, что краевая задача в 6? содержит большой параметр си, который определяет величину разрыва коэффициентов оператора на границе исходной области 6?1 и фиктивной 0\0\. Необходимо так построить вспомогательную задачу для определения иш(х), чтобы имела место сходимость приближенного решения иш(х) к точному в области при и —со. При этом выбор вспомогательной задачи не единственен.

Сдерживающим моментом для практического применения метода фиктивных областей является то, что задача для определения иш(х) - это задача с сильноразрывными коэффициентами, задача с большим параметром и. Поэтому затрудняются вопросы построения соответствующих разностных схем и численного решения сеточных задач. В практическом плане все преимущества метода фиктивных областей могут быть сведены на нет, если скорость сходимости применяемых итерационных процессов для определения приближенного решения и„(х) будет слишком медленной.

Приведем краткий обзор литературы по вопросам, затронутым в диссертации. Подробный обзор и ссылки на работы, посвященные обоснованию и практическому применению метода фиктивных областей можно найти в книге П.Н. Вабищевича [18]. В работе Н.С.Бахвалова [3] наиболее полно отражены современные итерационные методы для решения задач с сильноразрывыми коэффициентами.

Впервые метод фиктивных областей, как метод приближенного решения краевых задач в сложных областях с помощью ЭВМ формулируется в работах В.К.Саульева [31]. Им рассмотрена задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка, предложен вариант с продолжением по старшим коэффициентам и получены оценки близости приближенного и точного решений непрерывных задач. В.И.Лебедевым [26] предложен вариант метода фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам. В работе В.Я.Ривкинда рассмотрена третья краевая задача. Развитие общих направлений метода фиктивных областей для различных задач математической физики отражено в работах А.Н.Бугрова, А.Н.Коновалова, С.А.Войцеховского и других авторов.

Одним из крупных направлений практического использования метода фиктивных областей являются задачи гидродинамики. Теоретическому исследованию и обоснованию метода фиктивных областей для уравнения Навье-Стокса посвящены работы А.Н.Бугрова [16], Ш.Смагулова [33], М.К.Оруханова [32] и др. Практическое применение и численный эксперимент отражены в работах Л.А.Руховца, П.Н.Вабищевича, 1.Магйкатеп [29] и др. В работе А.Н. Бугрова и Ш.Смагулова [17] приведено обоснование метода фиктивных областей для уравнения Навье-Стокса с продолжением по старшим коэффициентам в односвязном случае и по младшим коэффициентам в неодносвязном случае.

Вопросы построения итерационных алгоритмов для решения задач метода фиктивных областей с продолжением по старшим коэффициентам наиболее полно рассмотрены в работе Н. С.Бахвалова [3]. Впервые специальный метод для решения задачи метода фиктивных областей с продолжением по старшим коэффициентам для уравнения Лапласа предложен в работе Г.М.Кобелькова [22]. Задаче Дирихле для эллиптических операторов посвящены работы Г.М.Кобелькова [21], Н.С.Бахвалова [8], задача Неймана рассмотрена в [4]. Смешанной задаче для квазилинейного эллиптического уравнения посвящена работа К.Ю.Богачева [11]. Вопросы построения и обоснования итерационных алгоритмов для решения методом фиктивных областей задач упругости рассмотрены в [7, 2, 5, 6]. Нестационарная задача Стокса рассмотрена в [3].

Настоящая работа посвящена построению, исследованию и применению метода фиктивных областей с продолжением по старшим и младшим коэффициентам одновременно для решения задач математической физики в неодносвязных областях. Исследование проводилось в непрерывном случае. Особое внимание уделялось применению метода фиктивных областей к уравнению Навье-Стокса и эффективному решению получающихся задач с сильноразрывнымк коэффициентами.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. В работе предложен новый вариант метода фиктивных областей для решения задачи Дирихле для различных типов уравнений математической физики в многосвязном случае. Достоинствами предложенного продолжения уравнений с частными производными являются возможность решать первую краевую задачу в неодносвязных областях и высокая скорость сходимости решения продолженной задачи иш{х) к решению исходной и(х).

2. Обосновано применение построенного метода для решения уравнений эллиптического типа, линеаризованной задачи Стокса и уравнения Навье-Стокса, когда граница области может быть неодносвязна. В случае уравнений эллиптического типа и задачи Стокса показана скорость 5 сходимости метода фиктивных областей не ниже о;-1.

3. Построены итерационные алгоритмы решения задач метода фиктивных областей с сильноразрывными коэффициентами. Показано, что скорость сходимости предложенных методов не зависит от разброса коэффициентов.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации - 89 печатных страниц.

Заключение

В диссертации:

- предложен вариант метода фиктивных областей для решения первой краевой задачи для эллиптических уравнений, стационарной и нестационарной задачи Стокса и уравнения Навье-Стокса в переменных "скорость-давление" в неодносвязных областях;

- установлена сходимость решений вспомогательной задачи метода фиктивных областей к точному решению исходной задачи при и —оо для всех типов рассматриваемых задач;

- построены итерационные методы решения вспомогательных задач метода фиктивных областей с сильноразрывными коэффициентами;

- показано, что предложенные итерационные алгоритмы сходятся к решению вспомогательной задачи со скоростью, не зависящей от разброса коэффициентов.

1. Агошков В.И., Лебедев В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и методы разделения области в вариационных задачах. // Вычислительные процессы и системы. Вып.2. М.:Наука. 1985.

2. Arbash ZH., Kobelkov G.M. Numerical methods for solving elasticity theory problems with strongly varying coefficients // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. Y.8. № 5. P.371-383.

3. Бахвалов H.C. Эффективные методы решения жестких многомерных многопараметрических задач // Журнал вычисл. матем. и матем. Физики. 1999. Т.39. №12. Стр.2019-2049.

4. Бахвалов Н.С., Богачей К.Ю., Мэтр Ж.Ф. Эффективный алгоритм решения жестких эллиптических задач с приложениями к методу фиктивных областей // Журнал вычисл. матем. и матем. Физики. 1999. Т.39. №6. Стр.919-931.

5. Бахвалов Н.С, Князев А.В. Методы эффективного вычисления осред-ненных характеристик композитов периодической структуры из существенно разнородных материалов // Вычисл. процессы и системы. М.: Наука, 1991, Вып. 8., С. 52-94.

6. Bakhvalov N.S., Knyazev A.V. An Efficient Iterative Method for the Almost Incompressible Lame Equation and the Stokes Equation // Dokl. Acad. Nauk SSSR. 1991. v.319. №1. p.13-17.

7. Бахвалов H.C. Решение первой краевой задачи для системы уравнений теории упругости методом фиктивных областей: Препринт №191. М.:ОВМ АН СССР, 1988.

8. Бахвапов Н.С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Итерационный метод решения эллиптических задач со скоростью сходимости, не за1. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 86висящей от разброса коэффициентов: Препринт №190. М.:ОВМ АН СССР, 1988.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. ,Кобельков P.M. Численные методы. М.: Наука, 1987.

10. Бахвалов И.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

11. Богачев К.Ю. Обоснование метода фиктивных областей для решения смешанной краевой задачи квазилинейных эллиптических уравнений // Вестник МГУ Сер.1: Мат. мех. 1996. №3. с. 16-23.

12. Брусникии М.Б. Применение метода фиктивных областей для решения стационарной задачи Навье-Стокса в неодносвязной области. Препринт №3. М.: Изд. ЦПИ при механико-математический фак. МГУ, 2002.

13. Брусникии М.Б. Об эффективных алгоритмах решения задач метода фиктивных областей в многосвязном случае // Доклады РАН. 2002. т.387. №2. с. 151-155.

14. Брусникии М.Б. The fictitious domain method for the Navier-Stokes equation in multiply connected boundary case 11 V International Congress on Mathematical Modelling, Book of Abstracts, v.II. М.:Изд. "Янус-К", 2002. p.43.

15. Брусникии М.Б. Об одном эффективном алгоритме решения эллиптических задач в неодносвязных областях // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. 2001. т. 13. с. 148-154.

16. Бугров А.Н. Метод фиктивных областей в уравнениях относительно функции тока для вязкой несжимаемой жидкости. Препринт ИМ СО АН СССР, 1977.

17. Бугров А.Н., Смагулов Ш. Метод фиктивных областей в краевых задачах для уравнения Навье Стокса // Математические модели течений жидкости. Новосибирск. 1978. с.79-90.

18. Вабшцевнч П. И. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: изд-во МГУ, 1991.

19. D'yakonoy E.G. Optimization in Solving Elliptic Problems. N.Y.CRC press, 1996.

20. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы.М. :Наука, 1989.

21. Kobelkov G.M. On the solution of the boundary value problem for the diffusion equation with highly varying coefficient // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1996. V.ll. № 6. P.487-495.

22. Kobelkov G.M. Fictitious Domain Method and the solution of elliptic equations with highly varying coefficients // Sovet. J. Numer. Analys. and Math. Modelling. 1987. V.2. № 6. P.407-418.

23. Кобельков P.M. Об эквивалентных нормировках подпространств в L2(0) // Analysis Mathenmatica. 1977. V3 № 3. P.177-186.

24. Кобельков P.M. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных давление-скорость. // Вычислительные процессы и системы. Вып. 8. М.: Наука. 1991.

25. Коновалов А.Н. Математическое моделирование в задачах математической физики. Автореферат дисс. докт. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1978.

26. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. I // ЖВМ и МФ. 1964. т.4 №3. с.449-465.

27. Lions J.L. Lectures Notes in Math., №323, 1973.

28. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.М.: Наука, 1970.

29. Martikainen J. Efficient Solvers for Discretized Elliptic Vector-valued Problems. Ph.D. diss. Univ.of Jyvaskyla. 2002.

30. Никольский C.M., Ильин В.П., Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: Наука, 1996.

31. Саульев В.К. О решении некоторых краевых задач на быстродействующих вычислителных машинах методом фиктивных областей // Сибирский математический журнал. 1963. т.4. №4. с.912-925.1. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 88

32. Смагулов Ш., Оруханов М.К. Приближенный метод решения уравнений гидродинамики в многосвязных областях // Доклады АН. СССР. 1981. т.260. №5. с.1078-1082.

33. Смагулов Ш. Метод фиктивных областей для краевой задачи уравнений Навье-Стокса. Препринт ВЦ СО АН СССР, №68. 1979.