Итерационные методы решения краевых задачдля квазилинейных эллиптических уравненийв областях сложной формы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт вычислительной математики

Р Г Б ОД

-2 ЯНВ 1995 На правах рукописи

Богачев Кирилл Юрьевич

Итерационные методы решения краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений в областях сложной формы

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат

диссертации ла соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: академик РАН Н.С.Бахвалов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук Сердюкова С. И. кандидат физико-математических наук Василевский Ю.В.

Ведущая организация: Московский Энергетический

Институт

Защита состоится " 2.?- " ^Ь^А^Ш 1995г. в 15 часов на заседании специализированного Совета К.003.47.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 117334, г. Москва, Лениниский проспект 32-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан " " ^лел^/ЦК 199Уг.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник С.А.Финогенов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Методу фиктивных областей решения линейных эллиптических уравнений посвящено большое количество работ. Мы здесь назовем авторов только некоторых из них: Саульев В.К., Лебедев В.И., Ривкинд В.Я., Руховец JI.A., Коновалов А.Н., Копченов В.Д., Бугров А.Н., Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Князев A.B., Glowinski R., Periaux J.. Широкое распостранепие метода фиктивных областей в вычислительной практике связано прежде всего с такими его преимуществами, как независимость объема вычислительной работы от геометрии области и простота настройки алгоритма иа нужную форму области. В последнее время возрос интерес к методу фиктивных областей в качестве предобуславливателя для различных алгоритмов решения дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому перенесение метода фиктивных областей на нелинейные эллиптические задачи с сохранением всех его положительных качеств является весьма актуальной проблемой. Для ее разрешения, в частности, необходимо научиться решать нелинейные эллиптические уравнения с большим перепадом коэффициентов с эффективностью, не зависящей от этого перепада. Эта проблема представляет самостоятельный интерес из-за распостраненности таких задач и ее решению для линейных уравнений посвящена обширная литература, среди которой здесь отметим работы Лебедева В.И., Марчука Г.И., Кузнецова Ю.А., в которых возникла плодотворная идея итерационных методов в подпространствах, а также работыБахвалова Н.С., Князева A.B., КобельковаГ.М., где она получила свое развитие применительно к задачам метода фиктивных областей.

Целью диссертационной работы является перенесение метода фиктивных областей на квазилинейные эллиптические уравнения (с первым, вторым и смешанным краевым условием) и построение эффективных алгоритмов решения возникающих в этом методе задач.

Научная новизна работы. В диссертации дано обоснование метода фиктивных областей для первой, второй и смешанной краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Также предложены и обоснованы алгоритмы решения квазилинейных эллиптических уравнений с быстроменяющимися коэффициентами, сингулярно зависящими от одного или двух параметров, скорость сходимости которых не зависит от перепада коэффициентов, задаваемого этими параметрами. При этом предложенный в диссертации алгоритм для случая коэффициентов уравнения, зависящих от двух параметров различных порядков, не имеет аналога даже для линейных задач.

Практическая значимость. Предложенный в диссертации подход позволяет решать первую, вторую и смешанную краевые задачи для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с эффективностью, не зависящей от сложности геометрии области, в которой решается уравнение. Применение предложенных алгоритмов решения квазилинейных эллиптических уравнений с быстроменяющимися коэффициентами оказывается также весьма эффективным при вычислении осредненных характеристик композиционных материалов с резко меняющимися свойствами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики механико-математи-

ческого факультета МГУ, научно-исследовательском семинаре Института вычислительной математики РАН, научно-исследовательском семинаре кафедры прикладной математики Московского Энергетического Института.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в двух работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, который включает 20 наименований. Общий объем работы 101 страница.

Краткое содержание работы

Во введении дается обзор имеющихся результатов, общее описание структуры и краткое изложение содержания диссертации. Сформулировали цели и основные результаты работы. Во введении также очерчен класс нелинейных уравнений, краевые задачи для которых будут основным объектом исследования. Именно, в области G сложной геометрии рассматривается уравнение вида

diva(r, i¿o, V^) = /, х £G. (1)

Предполагается, что G - односвязная ограниченная Липшицев а область в R", / £ L2{G), а измерима на G X R1 X R", а(я, •, •) е С1 (R1 х R") для всех х 6 G и существуют постоянные (i > 0, v > 0, ¡ii > 0, Ц2 > 0 такие, что для всех х € G, и € R1, р G R™, f € R" выполнены условия

|| а(х, и,р) || < /¿(1 + || Р ||). (2)

"ill£112 < (ар(®,и,р)М)< MiIIеГ, (3)

Ца^г.тцр)!! <1л, (4)

где обозначено ар = (да/др, )пХп, а„ = 8а/ди. Для упрощения выкладок всюду считается, что < 1 и > 1.

Всюду в работе решением краевых задач для эллиптических уравнений (линейных и квазилинейных) называется обобщенное решение этих задач. Сами уравнения понимаются исключительно в смысле соответствующих интегральных тождеств.

Во введении ставятся задачи метода фиктивных областей для первого, второго и третьего краевого условий.

Вместо решепия в области С сложной геометрии уравнения (1) с первым краевым условием

г*о|вс = 0, (5)

предлагается дополнить область й областью П до области Ю простой геометрии тале, что £> = <7 и П (точнее, Т) есть множество внутренних точек множества (Зий;в дальнейшем для сокращения формулировок это обстоятельство подчеркиваться не будет), и решать в £> задачу

А(г, и, V«) = Р, и\вв = 0 (6)

с коэффициентами и правой частью вида

Г а(х,и,р), геб, А(*,«,р)=< (7)

I ыр. х е о,

^ 0, г€ и, где ш > 1 — параметр продолжения.

Вместо решения в области С? сложной геометрии уравнения (1) со вторым краевым условием

(а(х,г4о^и0),п)|ос = 0, (9)

предлагается дополнить область G областью Е до области D простой геометрии так, что D = GuE, и решать в D задачу (6) с коэффициентами и правой частью вида

А(а?,и,р) F(x)

{»(*.«> р)> ® ср, х

= ( /(«), « \ 0, г

хеЕ,

(10) (11)

ее, ея,

где 0 < е < 1 — параметр продолжения.

Вместо решения в области С сложной геометрии уравнения (1) со смешанным краевым условием

«о|г,=0, (а(®,ио^«о)|пЖ=0, 8С = Т1иТ2, (12)

предлагается дополнить область б областями Е ий до области И простой геометрии так, что О = (? II £ и П, 1\ = (ГхпП)и (Г! П дБ), Г2 = Г2 П Е, и решать в Б задачу (6) с коэффициентами и правой частью вида

а(х, и, р), х € й, А(ж,-ц,р) = ер, х € Е, (13)

ир, х еп,

F(x) =

0,

mesfl

J f(x)dx,

x€G, х € Е,

х еп,

(14)

где 0<г<1,ц;>1- параметры продолжения. Отмечается, что продолжение .Р функции / в фиктивную область П может быть любым, удовлетворяющим равенству

/

Gun

F(x) dx-0.

Первая глава посвящена доказательству оценок близости между решением первой, второй и смешанной краевой задачи для квазилинейного уравнения (1) и решениями соответствующей задачи метода фиктивных областей (единственность решения последней не предполагается). Доказательства проводятся при определенных условиях, связывающих степень нелинейности коэффициентов а(х,и,р) по -и и р. Эти условия являются достаточными условиями сильной монотонности нелинейного отображения, соответствующего исходной задаче (1).

В § 1 доказана оценка близости решения ий задачи (1), (5) и всякого решения и задачи (6) с коэффициентами (7) вида

||и — UolllVjHG) < const w-1

(постоянная const здесь не зависит oi ш).

В § 2 для задачи (6) с коэффициентами (10) получена априорная оценка ее решения и в норме WJ(.D), равномерная по параметру 0 < с < 1, й доказана теорема существования и единственности для всех 0 < с < 1. Там же установлена оценка близости решений задачи (1), (9) и задачи (6) с коэффициентами (10) вида

||V(u - uo)||(i*(G))» < const с

(достоянная const здесь не зависит от с).

В § 3 для задачи (6) с коэффициентами (13) получена априорная оценка ее решения и в норме (.£>), равномерная по параметрам 0<е<1,о>>1,и доказана теорема существования и единственности для всех 0 < е < 1, w > 1. Там же установлена оценка близости решений задачи (1), (12) и задачи (6) с коэффициентами (13) вида

||ii - tt0(jwi(G) < const (с + w"1)

(постоянная const здесь не зависит от с, ш).

Во второй глазе изложены итерационные алгоритмы решения первой краевой задачи для квазилинейных уравнений с большим разбросом коэффициентов, скорость сходимости которых не зависит от этого разброса. На каждом их шаге требуется решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона. Обоснования алгоритмов проводятся на дифференциальном уровне при определенных условиях, связывающих степень нелинейности коэффициентов а(а;, и, р) по и и р. Эти условия являются достаточными условиями сильной монотонности нелинейного отображения, соответствующего решаемой задаче. Область G во второй главе может быть неодносвязной.

В § 1 для задачи (6) с коэффициентами (7) и правой частью

более общего, чем (8), вида

(/<-). ^

1 /i(»), ^ей,

(где Д € ¿г(Г2) — функция, не зависящая от и>), предложен и обосновал итерационный алгоритм решения, скорость сходимости которого не зависит от параметра 1 < ы < оо.

Перед изложением формулировок нам потребуется определить оператор Д-1, действующий из L2(D) в Wj(£>) по правилу: v = А~1д есть обобщенное решение задачи

Ди = д в D, v\&d = 0;

а также оператор Р = VA-1 div.

Из условий (2), (3), (4) вытекает: существует отображение АС-Ч : D х R1 х R™ —► R", А(-1)(х,., •) € С1 (R1 X R") для всех х € D и такое, что равенство q = А(х, и, р) эквивалентно равенству р = A^(®,u,q) для всех х € D, и G R1, р, q G R". С

помощью этого отображения задача (6) с коэффициентами (7) может быть записана в виде системы уравнений

< РхА(-1)(х,и,Ч) = 0, (15)

и = А-1 <11у А(-1)(:с, и, ч),

где обозначено

Р1 = I — Р, 8 = Такая запись по-

зволяет, в частности, определить решение задачи (6) с коэффициентами (7) при ш — оо — это решение системы (15) с коэффициентами

А*"1) при из — 0. Для решения задачи (6) с коэффициентами (7), записанной в виде (15), предлагается следующий итерационный алгоритм:

ц° = g, и0 — любая из (например, и0 — 0), (16)

_ к

т + Р-1"А(-1У(*, <Л Чк) = 0, (17)

ик+1 = Л"1 ик, с?), (18)

к = 0,1,..., т > 0 — итерационный параметр.

В § 1 установлено, что при условии симметричности матрицы ар(г,и, р) существует такое т > 0 (не зависящее от и), что при всяком г € (0,т) итерационный метод (16), (17), (18) сходится в простанстве Ь2(£)) X к решению (q,u) систе-

мы (15) со скоростью геометрической прогрессии. При этом существет постоянная С (не зависящая от ш) такая, что для всех к = 1,2,..., т € (0, т) справедлива оценка

тах { |! ч* - ч) ]\Ыо), || Ч(ик - и) ||ЬзР) } < СЧк тах { || ч° - ч) \\Ыо), || У(и° - и) Цг.^,},

где постоянная q = q(т) < 1 не зависит от 1 < ш < оо.

В алгоритме (16), (17), (18) в важном частном случае, когда коэффициенты А(х, и,р) не зависят от и, оператор перехода со слоя на слой (т.е. от (я*, ик) к и*""1"1)) имеет производную,

являющуюся самосопряженным оператором.

В § 2 для задачи (6) с коэффициентами (10) и правой частью более общего, чем (11), вида

Г(х)=) Я®).

^ } ^ /г(®), х€Ё,

(где /1 € Ьъ{Е), причем при с — 0 Д = 0 и в каждой компоненте связности области й /(= 0), предложен и обоснован итерационный алгоритм решения, скорость сходимости которого не зависит от параметра 0 < е < 1.

Определим функцию д € Ь2(Ю)г

ч_„ ¡г € О,

»(*) = 1 „ „ ПРИ с =

х € Ь,

{ Г

_ Г х<

1 Л (*)/«>

. J _ € С,

р(аз) = < при с > 0.

' € Е,

Для решения задачи (6) с коэффициентами (10) предлагается следующий итерационный алгоритм:

и°=А "V (19)

„Н-1 _ „¡ь

А + сНуА^тД Уи*) = (20)

& = 0,1,..., т > 0 — итерационный параметр.

В § 2 устанойлено, что при условии симметричности матрицы ар(х,и,р) существует такое т > 0 (не зависящее от с), что лри всяком т 6 (0, г) итерационный метод (19), (20) сходится

в простанстве (I?) к решению и задачи (6) с коэффициентами (10) со скоростью геометрической прогрессии. При атом для всех к = 1,2,..., т Е (0, т) справедлива оценка

В алгоритме (19), (20) в важном частном случае, когда ко-

юся самосопряженным оператором.

В § 3 для задачи (6) с коэффициентами типа (13) предложен и обоснован итерационный алгоритм решения, скорость сходимости которого не зависит от параметров 0 < с < 1, 1 < ш < оо. Доказательство проведено для коэффициентов и правой части более общего, чем (13) и (14), вида

где коэффициенты а(ж, и, р) удовлетворяют условиям (2), (3), (4) в области СТШ, / Е Ь2(СиП), Д € Ь2[Е), причем при е = 0 требуется, чтобы Д=0ив каждой компоненте связности области 2, образованной внутренними точками множества

эффициенты А(х, и, р) не зависят от и, оператор перехода со слоя на слой (т.е. от ик к ик+1) имеет производную, явллюгцу-

(21)

биП, /Е./(х)<& =0.

Введем обозначения

ш"1, х Е О, ш~1{х) = 1, г 6 С1, .0, хЕЕ,

Го, хесип, Г 1,

К®) = 1 _ _ х(») = < . I с> х€Е, ^ О,

х € бип, хеЕ,

и перепишем задачу (6) с коэффициентами (21) в виде системы уравнений

А(х, и, Уи) + сЦу(с(х) Уи) + <ЗЬгр= Р, х £ Ю, и|вс = О,

ш-1(®)р - = 0, хеВ,

р = 0, х € Е.

(22)

Такал запись позволяет, в частности, определить решение задачи (6) с коэффициентами (21) при ш = оо - это решение системы (22) при о»-1 = 0.

Определим функцию д, равную при е ф 0, и равную ^ при е = 0. Если ^ ¿""О5) ¿х = 0 для каждой компоненты связности области I», образованной внутренними точками множества С и П, то функцию при с ф 0, удобно брать в виде

/(х), хесип,

-{

1 Мх)/с, хеЕ.

Для решения задачи (6) с коэффициентами (21), записанной в виде (22), предлагается следующий итерационный метод

и0 = А~1д, р° = х(^и°( (23)

. к+1 _ ь

А--—+ А(в,и*, VII*) + <1Ьг(е(х)Уи4) + сКур* = Г,

хеБ,

(24)

г--+ о;"1 (х)р - х(»)= 0, х 6 2?, (25)

т

& = 0,1,..., т > 0 — итерационный параметр.

В § 3 установлено, что при условии симметричности матрицы Ар(х, и,р) существует такое т > О (не зависящее от с, ш), что при всяком г € (0,т) итерационный метод (23), (24), (25) сходится в простанстве Й^1 (П) X к решению (и, р) систе-

мы (22) со скоростью геометрической прогрессии. При этом существует такое <5 € (О, и^) (не зависящее от г, е, ш ), что для всех к = 1,2,... справедлива оценка

(II - и) 4- II 6Т7{ик-и) + (Р* - р) ||^(сиП))1/2 < Яь (и - и) ц£а(0)+н -«)+(Р° - Р) 111(Сип>)1/2,

где постоянная д ~ <?(т) < 1 не зависит от0<е<1и1<и>< оо.

В § 3 отмечается, что согласно этому результату итерационный метод (23), (24), (25) сходится в случаях, выходящих за рамки задачи (6), (13) метода фиктивных областей, например, когда <3 П Г2 = 0, либо С? П Е = 0, либо (? С А С либо (? С £ С й, либо С? = 0. Для каждого из этих случаев приведены результаты численных экспериментов, показывающих высокую эффективность алгоритма даже при предельных значениях с = 0 и ш = оо (например, невязка по области С? уменьшалась за один шаг алгоритма в 1.4 раза в случае задачи метода фиктивных областей и в 1.3 раза в наихудшем (с точки зрения скорости сходимости) случае £7 С Е С О).

Основные результаты диссертации

1. Для первой, второй и смешанной краевых задач для квазилинейных уравнений предложен метод фиктивных областей и даны соответствующие постановки задач метода фиктивных областей.

2. Для задач метода фиктивных областей, зависящих от одного или двух параметров продолжения, доказаны априорные оцепки решения, равномерные по параметрам продолжения, и установлены теоремы существования и единственности решения.

3. Для первой, второй и смешанной краевых задач для квазилинейных уравнений дано обоснование метода фиктивных областей, т.е. доказаны оценки близости между решением исходной задачи и соответствующей задачи метода фиктивных областей.

4. Для квазилинейных эллиптических уравнений с быстроменяющимися коэффициентами, сингулярно зависящими от одного или двух параметров, предложены и обоснованы итерационные алгоритмы решения, скорость сходимости которых не зависит от перепада коэффициентов; к такого вида задачам относятся задачи метода фиктивных областей и применительно к ним построенные алгоритмы сходятся со скоростью, не зависящей от параметров продолжения.

Публикации по теме диссертации

1. Богачев К.Ю. Итерационные методы решения квазилинейных эллиптических задач в областях сложной формы. ДАН, 1992, т. 322, №4, с. 641-645.

2. Bogachev K.Yu. Iterative methods of solving main boundary value problems for second-order quasilinear elliptic equations in complexly shaped domains. Rus. J. Numer. Analysis Math. Model., 1992, vol. 7, JT*4, p. 281-298.