Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Федотов Александр Евгеньевич

СМЕШАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01 01 07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0031780ЭЗ

КАЗАНЬ - 2007

003178093

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им В И Ульянова-Ленина"

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Карчевский Михаил Миронович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Копысов Сергей Петрович

кандидат физико-математических наук, Бандеров Виктор Викторович

Ведущая организация Московский государственный университет

Защита диссертации состоится «29» ноября 2007 г в 14 30 на заседании диссертационного совета Д 212 081 21 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Казанском государственном университете (420008, г Казань, ул Кремлевская, 18, корпус 2, ауд 217)

С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан «27» октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, к ф -м н , доцент

О А Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Актуальность темы. Метод конечных элементов является одним из наиболее распространенных методов решения задач математической физики Это связано с большой универсальностью метода, сочетающего в себе лучшие качества вариационных и разностных методов К его несомненным достоинствам относятся возможность использования разнообразных сеток, сравнительная простота и единообразие способов построения схем высоких порядков точности в областях сложной формы Метод естественным образом сохраняет основные свойства операторов исходных задач, такие как симметрия, положительная определенность и т п

Классические варианты МКЭ повышенного порядка точности предполагают использование пространств элементов высокой гладкости Возникающие на этом пути численные алгоритмы зачастую оказываются весьма трудоемкими Стремление использовать более простые элементы объясняет появление специального класса схем МКЭ — смешанных методов конечных элементов Главное преимущество таких схем состоит в возможности использования простейших конечных элементов Это достигается путем снижения порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных Как правило, эти неизвестные связаны с производными искомых функций и имеют определенный физический смысл (например, — это поток, изгибающие моменты, и тд ), их вычисление зачастую представляет даже больший практический интерес

Смешанные методы для линейных задач изучены достаточно хорошо Достаточно полный обзор таких методов проведен в книге Ф Бреззи и М Фортина «Смешанные и гибридные методы конечных элементов» Изучением смешанных методов для решения нелинейных задач, таких, как уравнения Кармана, нелинейные задачи монотонного типа, упруго-пластические пластины, занимались Л Ш Заботина, М М Карчевский, А Д Ляшко, М Р Тимербаев, X Манузи, М Фархлул

Теория смешанных методов для линейных, а также весьма широ-

ких классов нелинейных эллиптических уравнений в пространствах Ш^р развита к настоящему времени достаточно полно Значительно слабее изучены теоретические вопросы смешанного метода конечных элементов для эллиптических уравнений в пространствах И^ и уравнений в допускающих вырождение по нелинейности В то же время, многие важные прикладные задачи приводят именно к таким уравнениям К ним относятся, например, стационарные задачи теории фильтрации жидкости, подчиняющейся закону фильтрации с предельным градиентом сдвига

2 Цель и задачи работы состоят в построении смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, получении условий разрешимости и сходимости схем, оценок точности, построении и исследовании итерационных методов их численной реализации

3. Научная новизна Построены и исследованы смешанные схемы метода конечных элементов для уравнений с квазилинейными сильно монотонными операторами в пространствах Шр1^ и вырождающимися по нелинейности операторами в И^ В частности, получены оценки скорости сходимости схем для задач с сильно монотонными операторами, для задач с монотонными операторами, допускающими вырождение по нелинейности, доказана слабая сходимость приближенного решения к точному при стремлении шага сетки к нулю, получены условия при которых «поток» однозначно определяется по исходным данным задачи

Предложены итерационные методы решения рассмотренных смешанных схем, получены оценки скорости сходимости для задач с сильно монотонными операторам и доказана сходимость приближенных решений и «потоков» к точным

Предложенные смешанные схемы применены для решения нелинейных задач теории фильтрации с предельным градиентом и точечным источником

4. Основные результаты работы.

1 Оценки точности схем МКЭ для уравнений с квазилинейными сильно монотонными операторами в пространствах И^ и теоремы о сходимости схем МКЭ для уравнений с вырождающимися по нелинейности операторами в

2 Итерационные методы решения смешанных схем МКЭ для уравнений с квазилинейными сильно монотонными операторами и вырождающимися по нелинейности операторами в И^

3 Оценки скорости сходимости итерационных методов решения смешанных схем МКЭ для уравнений с квазилинейными сильно монотонными операторами и теоремы о сходимости для уравнений с вырождающимися по нелинейности операторами в Жр^

4 Смешанные методы решения нелинейных задач теории фильтрации с предельным градиентом сдвига и точечными источниками

5. Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты и предложенные приближенные методы могут быть использованы при численном решении конкретных прикладных задач, при теоретическом исследовании смешанного метода конечных элементов для нелинейных задач, в учебном процессе — при разработке новых учебных курсов

6. Достоверность результатов работы. Все результаты, полученные в диссертации, верны и подтверждены строгими математическими доказательствами и результатами численных экспериментов для модельных задач

7. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Пятом Всероссийском семинаре, посвященном 200-летию Казанского государственного университета, «Сеточные методы для краевых задач и приложения» Казань, 17-21 сентября 2004 г,

на Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» Казань, 26 сентября-1 октября 2004 г, на V Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Казань, 9 июня 2005 г, на Шестом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» Казань, 1-4 октября 200Б г, на III международной конференции «Математические идеи П Л Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» Обнинск, 14-18 мая 2006 г, на VII международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск, 1719 мая 2006 г, на I международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» Пенза, 14-15 сентября 2006 г, на Седьмом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» Казань, 21-24 сентября 2007 г, на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 2004-2007 г г, на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством А Д Ляшко и М М Карчевского

8. Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе одна статья в издании из списка ВАК

9. Благодарности. Диссертационная работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №06-01-00633)

10. Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы содержащего 108 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность тематики исследований, сформулирована цель работы, дан обзор работ, близких к тематике диссертации, изложено содержание диссертации

б

В первой главе диссертации рассмотрена задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка в ограниченной области П с липшицевой границей дО,

— й1Уа(х,Уи) + ао(х,и) — /(х), х е и(х) = 0, х € дО.,

где а(х,£) = (оц.(а;,£), а2(х,£)), £ 6 Я3

Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными условия сильной монотонности и ограниченности, т. е при 1 < р < 2 функции аг(х,^), г = 0,2 удовлетворяют неравенствам

\аг(х,0~аг(х,т1)\ <Cl|£-i?r\ г = 0,2, (2)

(3)

(а(Ж, С) - а(х, ч)) •(£_„) (|£| + М)8"* > с4|£ - V\2 V£, 7] € R3,x е Q, С4 = const > 0, где а() = (а0(), ai(), а2()), при р ^ 2

K^O-a.Cs.^KQilf-^KIil + Hr-2, г = 0,2 (4)

(5)

(а(Ж,0-а(ж,гг)) — т?) ^ с3|е - V£;i?£i?3,

х € Q, вз = const > 0 Для исходной задачи введено понятие обобщенного решения Под

о

обобщенным решением задачи (1) понимается функция и € Wр (fi), р > 1, удовлетворяющая интегральному тождеству

L(u,v)= J(a(x,u,Vu) Vv + ao(x,u,Vu)v)dx = п

= J fvdx = (/, v) Vvewlitt) n

Существенным, при построении смешанной схемы первой главы, является наличие обратного оператора у а(х, ), что обусловлено выбором «потока» в качестве вспомогательной переменной В связи с этим далее предполагается, что а{х, ) не зависит от и, т е а(х, и, Vtt) = а(х, Vu)

Относительно ао(х, ) будем считать, что ао(х, и, V«) = ао(х, и) и удовлетворяет условию

(аоМ-аоМ) У^еЛ1 (6)

Лемма 1. Пусть выполнены условия (2)-(6) Тогда оператор а(х, ) имеет обратный оператор а~г(х, ), обладающий свойствами

(.Ф ~ Ф) (а-1 (ж, - а-1 (ж, ф)) > - VIе,

(ф - ф) (о-1 (ж, - а-1 (ж, (М + > с7\ф -

К1^, Ф) ~ ф)\р < с8| ф - р^2\/ф,феВ2

В третьем параграфе сформулирована смешанная постановка задачи При этом используется пространство

Я(<Ьу, О) = Нд(<ку, О) = € (¿д(0))2 <ЬУ3 € }

с нормой ЫЦ^П) = У (Ы9 + | <Ьу,|«)<*г

п

Если и — обобщенное решение задачи (1), то при з = а(х, Уи) J € Л"д(<11У, О) и выполнены соотношения

£ [— ]+аъ{х>и)\юйх = J}{х)ю{х)(1х Щ € Ьр(0,),

аг , г П (7)

/ а (х,э) д<1х+ гл!\vqdx-0 Ус? 6 Яд,

« п

которые кладутся в основу расширенной постановки задачи (1), а именно, разыскивается пара функций (и,]) & ЬР(П) х Я"9(с11у, Г1), удовлетворяющих интегральным тождествам (7)

Теорема 1. При любой функции / € Ьд(0.) решение задачи (7) существует

Для смешанной постановки задачи доказана теорема устойчивости из которой следует единственность решения задачи

Теорема 2. Задача (7) является устойчивой по правой части, то есть если - решение, соответствующее правой части f\,

я (щ.,32) ~ решение, соответствующее правой части /2, то в случае р ^ 2 справедлива оценка

IK - «1||^(П) + Ь - Jill2rf(dlv,n) < с (11/2 - /illS)+

+ ll/2-/ilil%+ (l!/2-/ilM + !l/2-/iia)?) (8)

и в случае 1 < p < 2 оценка

II«» - «illU) + Ь - Jill^, a) < С (||/2 - Л111У + + 11/2 - /11Е,(П) + (11/2 - ЛЦЦ) + 11/2 - М^П

Постоянная С имеет вид

С = шах (l, c(||/2||Lg(i2) + ||/i|U,(n))9(2~9)/i3~9),

Ч||/2||Ц) + 11/1|11;(а))9("2))

при р>2н

С7 = шах (l, с (||/2||vn) + H/ill^n))**-2^ ,

4Ш1%) + ll/ill^)^2^7^)

при 1 < р < 2

В четвертом параграфе проводится дискретизация задачи в смешанной постановке При этом полагается, что область Q является многоугольником, на котором выполнена правильная регулярная триангуляция 7h Для приближения функции и на каждом конечном элементе используется пространство Рк полиномов степени к по совокупности переменных, а для приближения функции j — пространство полиномов Равьяра — Тома вида

RTk{K) = (Рк(К)f © xPk{K), х = (хи х2),

где К — треугольник триангуляции На всей области Q функции и и j приближаются соответственно функциями из пространств Mh = {vh € Lp(to), vh\K е Pk{K) УК € %}, Nh = {qh € Hq, q\K G RTk(K) Ш € %}

Под приближенным решением задачи (7) понимается пара функций (щ> Зь) € Ми х Ын — Хь, удовлетворяющих системе уравнений

J [-(¡IVУк + ао(х, ин)] ьн<1х = ^/(ж)г>й(ж) ¿х,

(10)

J а"1 (х, зь) дь,(1х + ^ ин (Ьу <1х = 0 У(г)ь,ф») е Хк о а

Приближенная задача является устойчивой по правой части, при этом имеют место оценки аналогичные (8) и (9) Относительно приближенного решения задачи доказана

Теорема 3. Задача (10) имеет единственное решение при любой правой части / € Ьд(П)

В пятом параграфе получены оценки точности смешанной схемы

Теорема 4. Пусть (и,з) — решение смешанной задачи (7), а {ии,3ь) —решение приближенной смешанной задачи (10), выполнены условия гладкости

и е 3 € (и^+1>(П))\ Лу 3 6

Тогда в случае р ^ 2

IIй - «*11£>(П) + II-? - Як|Цв(п) + II - ЗЬ)< < съ^ (N1^ + + II<

и в случае 1 < р < 2

11« - «ьни») + 1Ь - л\\1дю + II ЬУЬ - яОН1,(П) <

В шестом параграфе предложены итерационные методы решения приближенной задачи (10) и рассмотрены способы их численной реализации

Оператор А}t введен соотношением

Ahuh vh = J(- div j(uh) + oq(x, uh))vkdx Muh, vh e Mh, n

где j(tift) € Nh определяется уравнением

Ja^bhiun)) qndx + Juhdivqhdx = 0 \/qh € Nh a n

При таком определении оператора Ah приближенная задача (10) может быть переписана в виде

Ahuh = fh, fh vh = J fvhdx \fvh e Mh (11)

ß

Оператор Bh определен как частный случай Ah, соотношением

ВнЩ vh = J 3hiuh) 3*{vh)dx Vuh,vh € Mft, а

где 3h(uh) € iV/j удовлетворяет соотношению

J3h(uh) qhdx + J uhdivqhdx = 0 Vqh G Nh n n

Для решения задачи (10) предлагается использовать итерационный процесс

BhUh+ ~Uh+Ahukh = fh, к = 0,1, , (12)

т

где и^ задана, а г > 0 — итерационный параметр

Реализация итерационного метода (12) может быть сведена к решению системы уравнений с седловой матрицей

Dhgkh +Chwkh =0,

-СМ = Fl {l6)

и = Uh + TWh Здесь

Dh3h Qh = J 3h- Qhdx Vjft, qh e Nn, а

Съ,Ук ®> = ^ Укё.1удкс1х Уиь е М^,^ €

= У (/ + ¿IV- а0(х, икк))икйх Уун € Мк а

Система (13) возникает при решении уравнения Пуассона с использованием смешанного метода конечных элементов Прямые и итерационные методы решения таких системы достаточно хорошо изучены

Из (13) видно, что Вк = СЦБ^Сн Матрицы Вн и Вн = Н~2С^Ск энергетически эквивалентны

сГ1^ ^ Вн < с^ ^

поэтому наряду с итерационным процессом (12) предлагается использовать итерационный процесс

+ Ат1 = Д, к — 0,1,2,

т

Реализация нового итерационного процесса с Вн существенно проще, чем реализация итерационного процесса с Вд, так как вместо решения системы с седловой матрицей здесь приходится решать систему с симметричной положительно определенной ленточной матрицей меньшей размерности

Теорема 5. Пустьр = 2 и выполнены условия (2), (3), (6) Тогда оператор Аь является сильно монотонным и липшиц-непрерывным в энергетической норме Вт е имеют место неравенства

{Аник-Ании) {иь, - vh) ^ сз\\ин - ьь\\%к Уи/,, % б Л4,

\iAhUh - Аьун) гуд] ^ схЖ - \\ыъ\\Вн год е Мк

Здесь ||«й|(.вл = (Вииъ, ин)1^2 - это норма, соответствующая оператору Вн

С использованием свойств сильной монотонности и липшиц-непрерывности в энергетической норме В^ доказана

Теорема 6. Пусть выполнены условия (2), (3), (6) Тогда последовательность и\ построенная с использованием итерационного метода (12) сходится для любого начального приближения и® и для любого г € (0, Сд/с^] к решению задачи (11) и имеет место оценка

[К+1 - «л1к < <7(Т)||4 - «лЦв»,

где 0 < д(т) < 1

Оценки скорости сходимости итерационного метода (12) не зависят от шага сетки 1г Следовательно объем вычислительной работы, необходимый для решения исходной системы, определяется в основном используемым для решения системы (12) методом

Вследствие неравенств эквивалентности матриц Вд и Вд все утверждения относительно сходимости первого итерационного метода сохраняются (с очевидной корректировкой условий на параметр г) и для второго предложенного итерационного метода с матрицей Вь

Во второй главе рассмотрена задача Дирихле для двумерного квазилинейного дивергентного эллиптического уравнения второго порядка допускающего вырождение по нелинейности на некоторой подобласти определения решения Решается задача

—(11Уо(а;, и, Чи) + ао(х,и, Уи) = /(ж), ж е £2, , .

и(х) = О, х € Г

в ограниченной области О С Д2 с липшицевой границей Г Здесь а(х,ф) = (сц(х, ф), а2(х,ф)), ао(х,ф) — заданные функции, непрерывные при ж € О, ф = (фо, ф\, Ф2) € В?

Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными алгебраические условия монотонности, коэрцитивности и ограниченной нелинейности

{а{х,ф)-а{х,ф)) (ф-ф)^ 0 Уж € О, ф, ф € В3, (15) а(х, ф)-ф> сг(ф1 + Ф1)-С2 УхеП, ф& В?, (16)

| a(x, ф) I < c3(l + |</>|) Уже п,фе Я3, (17)

где а(х, ф) = (ао(ж, <£), ai(£, ф), а2(ж, <£)), ci, с2 — const > О

Условия, налагаемые на функции, образующие уравнение, являются весьма общими и допускают вырождение уравнения по градиенту на некоторой подобласти определения решения Оператор задачи при этом оказывается лишь монотонным

Под обобщенным решением задачи (14) понимается функция

О

u £ W 2 удовлетворяющая интегральному тождеству

L(u,v) = J(a(x,u,Vu) Vu + ao(x, u, Vu)v) dx = n

= Jfvdxs(f, v) Vv€Wl(tt) n

(18)

Во втором параграфе формулируется смешанная задача В качестве вспомогательной переменной при построении смешанной задачи предлагается выбирать функцию ] = V« При этом, если и — обобщенное решение задачи (14), то тождественно выполняется система

J а(х,и,](и)) + ao(x,u,J)vdx = J fvdx \/г> € а п

(19)

J2(и) qdx + У = 0 Уд €-ЩФУ,П)

Система (19) кладется в основу смешанной постановки, а именно, разыскивается пара функций (и,у) € Ьг(^) х (Хг^))2, удовлетворяющая интегральным тождествам (19)

В третьем параграфе формулируется дискретная смешанная задача. Относительно области как и в первой главе, предполагается, что она является многоугольником Вводится правильная регулярная триангуляция Тк Функции и як приближаются функциями из пространств Мь и N¡1 соответственно

Под приближенным решением задачи (14), понимается пара функций (иъ,,3к) € Хк = Ми х Ии таких, что

J(a(x,Uh,Зh(uh)) Зь,{'иь) + ао{х,и}1,зн{и11))уь)<1х = J/ьийх (20)

для любых € Мй, где функция зн(щ) 6 Щ определяется по щ & Ми как решение уравнения

В четвертом параграфе доказаны существование решения приближенной задачи и слабая сходимость подпоследовательности приближенных решений к точному

Теорема 7. Пусть выполнены условия (15)-(17) Тогда задача (20), (21) имеет по крайней мере одно решение при любой правой части f & Ь^О) Для любого решения задачи (20), (21) справедлива априорная оценка

где с — постоянная не зависящая от Н

Доказано, что для любого решения (20), (21) имеет место оценка типа неравенства Фридрихса

которая совместно с (22) позволяет оценить Ци^Ц^^п)

Теорема 8. Пусть выполнены условия (15)-(17) Тогда существуют последовательности решений ин и Зи{ин) и функции и* и з* такие, что иь и*, зн{иь) —3* 1 6 ^(ф), причем, пара функций и*, з* является точным решением задачи (19)

1Как обычно, символ —обозначает слабую сходимость в соответствующем пространстве

(21)

¡Ы^/ОН-МП) < с||/||£2(П),

(22)

Использование вместо условия монотонности (15) более сильного условия (условия подчинения)

|о(*,0-5(*,»7)|< с((а(х,0-а(х,г])) (£-7?))^ У^бД3 (23)

дает возможность доказать единственность точного и приближенного потоков и сильную сходимость приближенного штока к точному по шагу сетки, а именно, установлены следующие результаты

Лемма 2 Пусть выполнены условия (16), (17), (23) Тогда «поток» а(х,и,у(и)), построенный по решению задачи (19) и его конеч-нозлементная аппроксимация а(х, щ, построенная по решению

задачи (20), (21), определяются исходными данными задачи (14) однозначно

Теорема 9 Пусть выполнены условия (16), (17), (23) Тогда существует последовательность Н —> 0 такая, что имеет место сильная сходимость а(х, щ,^(и/г)) —»• а{х,и,](и)) в пространстве

В пятом и шестом параграфах рассматриваются итерационные методы для решения задач допускающих вырождение по нелинейности Введены конечномерные операторы Ад, Си и вектор Д соотношениями

АъЦн ^ = У(а(х> лМ) лЫ) + ао(х, ик, <1х,

п

Вкин'Ук = JЗh(vh)dx, /н = J¡иь,йх п п

е Мн

Для решения задачи (20), (21) предложено использовать итерационный метод

ик+1 _ ик

Вн-ь-^Г-а = /Н-АН'4 = Г$, к = 0,1,2, , (24)

либо итерационный метод с В, рассмотренный в первой главе Доказана

Теорема 10. Пусть выполнены условия (16), (23) Тогда существует решение задачи (20), (21), и при любом начальном приближении и\, 0 < т < 2/с1 последовательность невязок Аьу!^ — Д стремится к нулю

Сходимость последовательности приближений построенных с использованием предлагаемых итерационных методов имеет место только при более сильных ограничениях на а(х, р)

Теорема 11 Пусть выполнены условия (23) и

(а(х, р) - а(х, ?)) (р - д) ^ со\р - д\2 Ур, д 6 Я3,

где Со — положительная постоянная Тогда задача (20), (21) имеет единственное решение Последовательность приближений, построенная по итерационному методу (24), сходится к приближенному решению, т е и\ —> ии при к —»■ оо Справедлива следующая оценка скорости сходимости итерационного метода (24)

где р(т) = (1 - 2гсо 4- г2с?)1/2 < 1 при 0 < г < 2со/с|

Таким образом, можно использовать предлагаемые итерационные методы для решения задач с сильно монотонным оператором когда в качестве вспомогательной переменной выбирается градиент искомого решения, при этом последней теоремой дается оценка скорости сходимости Важно отметить, что при этом не требуется независимость функции а(х, ) от и, в отличие от условий налагаемых на функцию а в первой главе

В третьей главе работы проведено подробное исследование смешанного метода конечных элементов применительно к квазилинейным эллиптическим вырождающимся уравнениям, возникающим при описании фильтрации жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом Особое внимание при этом уделяется построению решения, соответствующего точечному источнику заданной интенсивности Приведены также результаты численных экспериментов

Рассмотрена краевая задача

и(х) = 0, х е г Поле скоростей фильтрации определяется как

где и — поле давлений жидкости Изучается фильтрация в области из В2, с липшиц-непрерывной границей Г, на которой давление считается равным нулю, при наличии источников плотности /(ж)

Считаем, что функция д, определяющая закон фильтрации, пред-ставима в виде

<?(*)= ч 5<5°' (26) ( 545 - з0), в > в0,

где во ^ 0 — заданное число, называемое предельным градиентом сдвига

Уравнение (25) вырождается при < во Подобласти области О, в которых выполнено это условие называются застойными зонами Скорость фильтрации в застойных зонах обращается в нуль

Относительно функции д* [0, +оо) —> Д1 предполагаются выполненными условия

д\0) = 0, д*(а) > д*{£) Уз > г > 0, (27)

д*{а*) > ка*, д*{в) - д*(€) Ув > г ^ в*, (28)

9* (а) - д*($ < Да - 4) Ув^Ь^ 0, (29)

где к > 0, Ь > 0,5* ^ 0 — заданные постоянные По функции g определен оператор £? И2 И2

с Г д{\у\)\у\"1у, у ¿о, \о, у = о

С точки зрения приложений особенно интересен случай, когда в качестве функции плотности источников f{x) рассматривается функция

дё(х), где 8(х) есть ¿-функция, сосредоточенная в начале координат Это соответствует задаче с точечным источником (скважиной) с заданной интенсивностью (дебитом) д Предполагается, что начало координат принадлежит

Под обобщенным решением задачи (25), понимается функция V из пространства удовлетворяющая интегральному тождеству

J б?(У«(а;)) Чф)<1х = дя(0) У г] € Со°(й) (30)

п

Существование решения задачи (30) доказано в работе О А Задвор-нова1 на основе представления его в виде V = уг+ы+и, где и — функция

о

из У/\(Р-) такая, что

I (<7(У(г/г + г-г + и)) - С(\7ьг)) V?? ¿х = О V»? € а

'ог е Ж/(О) — сужение на область О решения задачи (30) для круга

вг = {хе В,п |ж| <г}эп,

где г > 0 фиксировано, г>г — произвольная фиксированная функция из пространства й/21(^) такая, что

ур = —иг(ж) Уже Г

Функция IV существует и допускает явное представление, а именно, ъг(х) = рг(|аг|), где

г

в

а = .5*+/1*(в), Л* — функция, обратная к функции д*, существование которой обеспечивается, условиями (27)-(29)

При построении численного метода решения задачи (30) используется ее расширенная смешанная формулировка

13адворнов О А Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника / Задворнов О А // Известия вузов Математика — 2005 — № 1 — С 58-63

Разыскивается пара функций (и, у) € х (ХгС^))2, удовлетво-

ряющая системе

' У (<3(У(^ + уг) + з{и)) - С(Уг;г)) з{ь) с1х = 0 Уи е Ь2(П), а

(31)

!З{у) дйж + У ^Луд^а; = О У д € Н(д.ху,П) < гг я

В силу того что любое обобщенное решение задачи (25) порождает решение задачи (31), имеет место

Теорема 12 Пусть выполнены условия (26)-(29) Тогда решение задачи (31) существует

Во втором и третьем параграфах третьей главы проводится дискре-

тизация смешанной постановки задачи и ее исследование При этом существенно используются результаты второй главы

Под приближенным решением задачи (25) понимается пара функций (мл,л('"л)) е Хн таких, что

У СоЫЫ) = 0, Уик е Л4, (32)

а

где О0(3к(ин.)) = С(у(ьг 4- г>г) +3н(ин)) - <?(Уг>г), функция Зн(ик) € А^ определяется по ин € Мд как решение уравнения

JЗь(щ) ghdx +Juhdlvqhdx = 0 Удн е Л^ (33)

п п

Теорема 13. Пусть выполнены условия (26) -(29) Тогда задача (32), (33) имеет по крайней мере одно решение Для любого решения задачи (32), (33) справедлива априорная оценка

1ЬлЫ1Ь2(п) < с(|Мк(П) + 1),

где с — постоянная не зависящая от К

В качестве приближения к скорости фильтрации естественно рассматривать функцию Уп(ин) = (7(Уг>г + Уг>г + зн(ин)), где ии — какое-либо решение задачи (32), (33), для которого доказана

Теорема 14. Пусть выполнены условия (26)-(29) Тогда функция Уд определяется единственным образом и существует последовательность Н —> 0 такая, что имеет место сильная сходимость УнЫ У(и) в пространстве

В четвертом параграфе предлагается использовать для решения задачи (32), (33) итерационный метод

Такой итерационный процесс сходится при любом начальном приближении и^ и итерационном параметре т € (0, 2/Ь{)

В заключительном пятом параграфе рассмотрены варианты реализации предлагаемых методов, приведены результаты численных экспериментов

11. Опубликованные работы по теме диссертации. По теме диссертации опубликованы работы

1 Карчевский, М М Об одном варианте смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений / М М Карчевский, А Е Федотов // Исследования по прикладной математике Вып 24. — Казань Изд-во Казанского ун-та, 2003 -С 74-80

2 Karchevsky, М М Error estimates and iterative procedure for mixed finite element solution of second-order quasi-linear elliptic problems / M M Karchevsky, A E Fedotov // Computational Methods m Applied Mathematics, Vol 4 (2004), No 4, pp 445-463

где

Ahuh Vfi — J G0(jh(uh)) Jh(vh)dx \fuh,vh€Mh, n

Bhvh vh= Jh(uh) Jh{vh)dx Vuh,vheMh

3 Карчевский, М М Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений /ММ Карчевский, А Е Федотов // Сеточные методы для краевых задач и приложения Материалы Пятого Всероссийского семинара, посвященного 200-летию Казанского государственного университета — Казань Изд-во Казанского ун-та, 2004 - С 112-115

4 Карчевский, М М Оценки точности смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений / М М Карчевский, А Е Федотов // Труды Мат центра им Н И Лобачевского Т 25 / Казанское мат. об-во Актуальные проблемы математики и механики // Материалы международной научной конференции. — Казань Изд-во Казанского мат об-ва, 2004 -

С 136-137

5 Карчевский, М М Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений /ММ Карчевский, А Е Федотов // Ученые записки Казанского государственного университета, т 147, кн 3, 2005. - С. 127-140

6 Карчевский, М М Об итерационном методе численной реализации смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка /ММ Карчевский, А Е Федотов //V Республиканская научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов «Наука Инновации Бизнес », Казань, 9 июня 2005 года Материалы конференции — Казань Изд-во «Экоцентр», 2005 г - С 62-63

7 Карчевский, М М Смешанная схема МКЭ для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений /ММ Карчевский, А Е Федотов // Сеточные методы для краевых задач и приложения Материалы Шестого Всероссийского семинара — Казань Изд-во Казанского ун-та, 2005 - С 129-133

8 Федотов, А Е Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений / А Е Федотов // Труды Средневолжекого математического общества, Т 8, № 1 / Средневолжское мат об-во Дифференциальные уравнения и их приложения // Материалы VII международной научной конференции — Саранск Республиканская типография «Красный октябрь», 2006 - С 319-329.

9 Карчевский, М М Применение смешанных схем МКЭ для решения задач нелинейной теории фильтрации /ММ Карчевский, А Е Федотов // Сборник статей I Международной научно-технической конференции — Пенза «Приволжский Дом знаний», 2006 - С 41-44

10 Задворнов, О А Применение смешанных схем МКЭ для решения задач нелинейной теории фильтрации / О А Задворнов, М М Карчевский, А Е Федотов / / Известия вузов Математика — 2007 — №8 - С 16-26

11 Карчевский, М М Смешанный метод конечных элементов для нелинейных задач теории фильтрации с точечным источником / М М. Карчевский, А Е Федотов // Сеточные методы для краевых задач и приложения Материалы Седьмого Всероссийского семинара — Казань Изд-во Казанского ун-та, 2007 - С 142-150

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина Тираж 1 Юэкз Заказ 91/10

420008, ул Профессора Нужина, 1/37 тел 231-53-59,292-65-60

Введение

ГЛАВА I. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

С СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ.

§1. Постановка задачи.

§ 2. Существование обобщённого решения.

§ 3. Смешанная постановка задачи.

§ 4. Дискретизация задачи.

§ 5. Оценки точности метода.

§ 6. Итерационный метод и его сходимость.

§ 7. Численные эксперименты.

ГЛАВА II. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

§1. Постановка задачи.

§2. Смешанная постановка задачи.

§ 3. Дискретизация смешанной задачи.

§ 4. Исследование приближенного метода.

§ 5. Итерационный метод.

§ 6. Исследование сходимости итерационного метода.

§ 7. Численные эксперименты.

глава III. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ СМЕШАННЫХ СХЕМ

§1. Постановка смешанной стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости.

§ 2. Дискретизация задачи

§ 3. Исследование приближенного метода в случае задачи фильтрации.

§4. Итерационный метод.

§ 5. Численные эксперименты.

1. Актуальность темы. Метод конечных элементов является одним из наиболее распространённых методов решения задач математической физики. Это связано с большой универсальностью метода, сочетающего в себе лучшие качества вариационных и разностных методов. К его несомненным достоинствам относятся возможность использования разнообразных сеток, сравнительная простота и единообразие способов построения схем высоких порядков точности в областях сложной формы. Метод естественным образом сохраняет основные свойства операторов исходных задач, такие как симметрия, положительная определённость и т. п. Различные аспекты современной теории МКЭ изложены в работах [4,7,10,20,21,38,43,47,48].

Классические варианты МКЭ (см., например, [48], с. 112, и обзор [10]) предполагают использование пространств элементов высокой гладкости, основанных на лагранжевой либо эрмитовой интерполяции. Возникающие на этом пути численные алгоритмы зачастую оказываются весьма трудоёмкими. Стремление использовать более простые элементы объясняет появление специального класса схем МКЭ — смешанных методов конечных элементов (СМКЭ) и близких к ним разновидностей МКЭ — смешанно-гибридных и гибридных схем (см., например, обзор в [48], с. 402 - 408). Главное преимущество таких схем состоит в возможности использования простейших конечных элементов Лагранжа. Это достигается путём снижения порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных. Как правило, эти неизвестные связаны с производными искомых функций и имеют определённый физический смысл (например, — это поток, изгибающие моменты, и т.д.), их вычисление зачастую представляет даже больший практический интерес. Введение вспомогательных неизвестных часто осуществляется за счёт использования двойственной, смешанной или какой-либо иной вариационной переформулировки исходной задачи (см., например, [1,48,84-87]). Впервые абстрактный математический анализ таких методов был проведён в работах Обена, Бушара и Бабушки [44,51,52], позже в работах Кикути, Хас-лингер, Главачек [70-72,78].

П.А. Равьяр, Ж.М. Тома [98] построили различные пространства конечных элементов, используемые для аппроксимации смешанных схем, и получили соответствующие порядки сходимости. Дальнейшие результаты были получены в работах Мэнсфильда [83]. Для получения оценок ошибки Шольц [104], [105] применил метод весовых норм И. Нитше.

Ф. Бреззи, П.А. Равьяр [61] разработали общую теорию смешанных методов для задач четвёртого порядка и получили оптимальные оценки ошибки в норме || • 11о,Г2

Смешанные методы конечных элементов для задачи о пластине, впервые предложены Германом [74] и позже развиты в работах По-цески [94], Хеллана [73], Виссера [108]. Анализ таких методов проведён в работах [75,76,81,82,84,102]. В работах Береззи [57], Бреззи и Равьяра [61], Фалка и Осборна [64] были получены оптимальные оценки погрешности этих схем, создана общая теория СМКЭ для линейных эллиптических уравнений четвёртого порядка. Различные модификации СМКЭ и их обоснование можно найти также в [15-17,24,25,28-30,33,40,41,60,63,83,85,86,93-95].

Методы конечных элементов смешанного типа используются также при аппроксимации решений задач Стокса и Навье — Стокса. Такие методы изучались Тейлором, Ходдом [106], Берковье [54], Берко-вье, Ливном [55], Жиро [68], [69], Равьяром [97], Фортином [67].

Смешанные методы также используются при решении нелинейных задач, таких, как уравнения Кармана (Миёси [85-87]), упруго-пластические пластины (Бреззи, Джонсон, Мерсье [60]), нелинейные задачи теории оболочек (М.М. Качевский, Л.Ш. Заботина [14-17]), нелинейные задачи монотонного типа (Берковье [54], Шёрер [103]).

Смешанные методы одновременно дают аппроксимацию решений основной и двойственной задач. Так как на практике решение двойственной задачи состоит в вычислении производных (градиента) от решения основной задачи, то терминология смешанный метод может быть также более широко часто используется для всякой процедуры аппроксимации, когда одновременно аппроксимируется неизвестное и некоторые из его производных независимо от того, делается ли это с помощью техники двойственности или нет. Такое определение, в частности, даётся Дж. Оденом, подробно изучившим такие методы (см. [53,88-93,99,101]).

Теория смешанных методов для линейных, а также весьма широких классов нелинейных эллиптических уравнений в пространствах Wразвита к настоящему времени достаточно полно (см., например, [65,66]). Значительно слабее изучены теоретические вопросы смешанного метода конечных элементов для эллиптических уравнений в пространствах Wp^ и уравнений в W^ допускающих вырождение по нелинейности. В то же время, многие важные практические задачи приводят именно к таким уравнениям. К ним относятся стационарные задачи фильтрации жидкости, подчиняющейся закону фильтрации с предельным градиентом сдвига.

Исследованию смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными операторами посвящены работы [65,66]. Общие подходы к построению и исследованию смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений с вырождающимися операторами изучались в работах [31,34].

2. Цель работы. Построение смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, исследование условий разрешимости и сходимости схем, получение оценок точности, построение и исследование итерационных методов их численной реализации.

3. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы содержащего 108 наименований.

1. Абовский, Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Деруга. — М.: Наука, 1978.

2. Астраханцев, Г.П. Анализ алгоритмов типа Эрроу-Гурвица / Г.П. Астраханцев // Журнал вычисл. матем. и матем физ. 2001. — Т. 41, № 1. С. 17-28.

3. Бернадинер, Г.И. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей / Г.И. Бернадинер, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. — М.: Наука, 1975.

4. Бесселинг, И.Ф. Методы конечных элементов / И.Ф. Бессе-линг // Механика деформированных твердых тел. Направления развития. М.: Мир, 1983. - С. 22-51.

5. Вайнберг, М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов / М.М. Вайнберг. М.: Наука, 1972.

6. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грёгер, К. Захариас. М.: Мир, 1978.

7. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галла-гер. М.: Мир, 1984.

8. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Тру-дингер. — М.: Наука, 1989.

9. Глушенков, В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации / В.Д. Глушенков // Прикл. матем. в технико-экономических задачах. Казань: Изд-во Казанского университета, 1976. - С. 12-21.

10. Дьяконов, Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач / Е.Г. Дьяконов. М.: Наука, 1989.

11. Дьяконов, Е.Г. Optimization in Solving Elliptic Problems / Е.Г. Дьяконов. Roca Ratin, 1996.

12. Заботина, Л.Ш. Исследование смешанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек: дис. на соискание учёной степени канд. физ.-матем. наук / Л.Ш. Заботина. — Казань, 1996. 117 с.

13. Заботина, Л.Ш. Итерационные методы для смешанных схем конечных элементов решения нелинейных задач теории оболочек / Л.Ш. Заботина, М.М. Карчевский // Вычислительные технологии, 3, № 4, 1998. С. 24-35.

14. Заботина, Л.Ш. О смешанных схемах конечных элементов для нелинейных задач теории непологих оболочек / Л.Ш. Заботина, М.М. Карчевский // Вестник КГТУ им А.Н. Туполева. 1998. № 1. С. 48-54.

15. Задворнов, О.А. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника / О.А. Задворнов // Известия вузов. Математика. — 2005. — № 1. — С. 58-G3.

16. Задворнов, О.А. Применение смешанных схем МКЭ для решения задач нелинейной теории фильтрации / О.А. Задворнов, М.М. Карчевский, А.Е. Федотов // Известия вузов. Математика. 2007. - № 8. - С. 16-26.

17. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975.

18. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1981.

19. Икрамов, Х.Д. Несколько замечаний по поводу обобщенного алгоритма Холесского / Х.Д. Икрамов // Журнал вычисл. матем. и матем физ. 1992. Т. 32, № 7. - С. 1126-1130.

20. Канторович, Л.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — М.: "Физмат-гиз", 1959.

21. Карчевский, М.М Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений четвертого порядка / М.М Карчевский, А.Д. Ляшко, М.Р. Тимерба-ев // Дифф. уравнения. 2000. - Т. 52, № 7. - С. 1050-1057.

22. Карчевский, М.М Исследование смешанных методов типа Германа Джонсона для нелинейных задач теории оболочек / М.М Карчевский, Л.Ш. Мовчан. Вестник Казанского технического университета им. А.Н. Туполева, 2002, № 3. — С. 30-35.

23. Карчевский, М.М Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений / М.М Карчевский, А.Е. Федотов // Ученые записки Казанского государственного университета, т. 147, кн. 3, 2005. — С. 127-140.

24. Карчевский, М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории тонких оболочек /М.М. Карчевский // Журнал вычисл. матем. и матем физ. 1998. — Т. 38, №2. — С. 324-329.

25. Карчевский, М.М. Об одном классе сеточных методов для нелинейных задач теории пластин / М.М. Карчевский // Журнал вычисл. матем. и матем физ. 1999. — Т. 39, № 4. — С. 670 -680.

26. Карчевский, М.М. Смешанные схемы типа Германа-Джонсона для геометрически нелинейных задач теории оболочек /М.М. Карчевский // Современные проблемы математического моделирования. Ростов-на-Дону, 2001.

27. Карчевский, М.М Об итерационных методах численной реализации смешанных схем для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка / М.М Карчевский // Исследования по прикладной математике. Казань:Изд-во КГУ. 2004. Вып. 25. — С. 59-69.

28. Карчевский, М.М. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации /М.М. Карчевский, А.В. Лапин // Исследованя по прикладной математике. -Казань: Изд-во КГУ. 1979. - Вып. 6. - С. 23-31.

29. Карчевский, М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко // Известия вузов. Математика. 1975. - №6. - С. 73-81.

30. Ка'рчевский, М.М. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко. Казань: изд-во КГУ, 1976.

31. Карчевский, М.М. Об одном варианте смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений / М.М. Карчевский, А.Е. Федотов // Исследования по прикладной математике. Вып. 24. — Казань: Изд-во Казанского унта. 2003. - С. 74-80.

32. Корнеев, В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности / В.Г. Корнеев. — Л.: ЛГУ, 1977.

33. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972.

34. Масловская, Л.В. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач / Л.В. Масловская // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1989. Т. 29, № 1. - С. 67-74.

35. Масловская, Л.В. Об условиях применимости обобщенного алгоритма Холесского / Л.В. Масловская // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1992. - Т. 32, № 3. - С. 339-347.

36. Михлин, С.Г. Численная реализация вариационных методов / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1966.

37. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. Фриз. М.: Мир, 1981.

38. Обен, Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж.П. Обен. Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

39. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. — М.: Наука, 1971.

40. Самарский, А.А. Численные методы для сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. — М.: Наука, 1978.

41. Стренг, Г. Теория МКЭ / Г. Стренг, Дж. Фикс. — М.: Мир, 1977.

42. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980.

43. Темам, Р. Уравнения Навье Стокса / Р. Темам. Теория и численный анализ. — М.: Мир, 1981.

44. Aubin, J.P. Some aspects of the method of the hypercircle applied to elliptic variational problems / J.P. Aubin, H.G. Burchard, in SYNSPADE 1970 (B. Hubbard, editor), Academic Press, New York, 1971.

45. Babuska, I. Error-bounds for finite element method / I. Babuska // Numer. Math. 16 (1971), pp. 322-333.

46. Babuska, I. Mixed-hybrid finite element approximations of second-order elliptic boundary-value problems / I. Babuska, J.T. Oden, J.K. Lee // TICOM Reports 75-7. The University of Texas at Austin, Austin, 1975.

47. Bercovier, M. Regularisation duale des problemes variationnels mixtes. Applications aux elements finis mixtes at extension a quelques problemes non lineaires / M. Bercovier // Doctoral Thesis, Universite de Rouen, 1976.

48. Bercovier, M. A 4 CST quadrilateral element for incompressible and nearly incompressible materials / M. Bercovier, E. Livne // Technical Note MB/76/3, Computation Center, Hebrew University, Jerusalem, 1976.

49. Brezzi, F. Sur une methode hybride pour l'approximation du probleme de la torsion d'une barre elastique / F. Brezzi // 1st. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. A 108(1974), pp. 274-300.

50. Brezzi, F. On the existance, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrangian multipliers / F. Brezzi // Rev. Frangaise Automat. Informant. Recherche Operationnelle, Ser. Rouge Anal. Numer. R-2(1974), 129-151.

51. Brezzi, F. Sur la methode des elements finis hybridcs pour le probleme biharmonique / F. Brezzi // Nurner. Math. 24 (1975), pp. 103-131.

52. Brezzi, F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods / F. Brezzi, M. Fortin. — Springer series in Сотр. Math., 1991.

53. Brezzi, F. Analysis of a mixed finite element method for elasto-plastic plates / F. Brezzi, C. Johnson, B. Mercier // Math. Сотр. 31 (1977), 140, pp. 809-817.

54. Brezzi, F. Mixed finite element mathods for 4th order elliptic equations / F. Brezzi, P.-A. Raviart // Rapport interne No. 9, Centre de Mathematiques Appliquees, Ecole Polytechnique, Palaiseau, 1976.

55. Ciarlet, P.G. A mixed finite element method for the biharmonic equation / P.G. Ciarlet, P.-A. Raviart //in Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations (C. de Boor, editor), pp. 125-145, Academic Press, New York, 1974.

56. Ciarlet, P.G. A mixed finite element methods for 4th order elliptic equations / P.G. Ciarlet, P.-A. Raviart // Math. Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations. (C. de Boor, ed.).

57. Falk, P.S. Error estimate for mixed method / P.S. Falk, J.E. Osborn // RAIRO. Numer. Anal. 1980. - V. 14, N 3. -pp. 249-277.

58. Farhloul, M. A mixed finite element method for a nonlinear Dirichlet problem / M. Farhloul // IMA. J. Num. Analysis 18 (1998). -pp. 121-132.

59. Farhloul, M. On a mixed finite element method for the p-Laplasian / M. Farhloul, H. Manouzi // Canadian Applied Mathematics Quathrly, V. 8, N 1, Spring 2000. pp. 67-78.

60. Fortin, M. Resolution numerique des equations de Navier-Stokes par des elements finis de type mixte / M. Fortin //in Journees Elements Finis, Universite de Rennes, Rennes, 1976.

61. Girault, V. A combined finite element and Markes and Cell method for solving Navier-Stokes equations / V. Girault // Numer. Math 26 (1976). pp. 39-59.

62. Girault, V. A mixed finite element method for the stationary Stokes equations / V. Girault.

63. Haslinger, J. Curved elements in a mixed finite element method close to the equilibrium model / J. Haslinger, Hlavacek // Apl. Mat.20 (1975). pp. 233-252.

64. Haslinger, J. A mixed finite element method close to equilibrium model / J. Haslinger, Hlavacek // Numer. Math. 26 (1976). — pp. 85-97.

65. Haslinger, J. A mixed finite element method close to equilibrium model applied to plane elastostatics / J. Haslinger, Hlavacek // Apl. Mat. 21 (1976). pp. 28-42.

66. Hellan, K. Analysis of elastic plates in fiecsure by a simplified finite element method / K. Hellan // Acta Polytechn. Scandinavica. Ci 40. Frondheim, 1967. V. 46. - pp. 1-29.

67. Hermann, L. Finite element bending analysis for plates / L. Hermann // Journal of Mechanics Division, ASCE, 93 (1967), EM5.

68. Johnson, C. Convergence of another mixed finite-element method for plate bending problems / C. Johnson // Report No. 1972-27, Department of Mathematics, Chalmers Institute of Technology and the the University of Goteborg, Goteborg, 1972.

69. Johnson, C. On the convergence of a mixed finite-element method for plate bending problems / C. Johnson // Numer. Math.21 (1973). pp. 43-62

70. Kikuchi, F. Theory and examples of partial approximation in the finite element mathod / F. Kikuchi // Internal. J. Nuiner. Methods Engrg. 10 (1976). pp. 115-122.

71. Kikuchi, F. A new variational functional for the finite element method and its application to plate and shell problems / F. Kikuchi, Y. Ando // Nuclear Engineering and Design, 21 (1972). pp. 95-113.

72. Kikuchi, F.Some finite element solutions for plate bending problems by siplified hybrid displacement method / F. Kikuchi, Y. Ando // Nuclear Engineering and Design, 23 (1972). — pp. 155 -178.

73. Kikuchi, F. Rectangular finite element for plate bending analysys based on Hellinger-Reissner's variational princilc / F. Kikuchi, Y. Ando // J. Nuclear Sci. and Tech. 9 (1972). pp. 28-35.

74. Kikuchi, F. On the convergence of a mixed finite element scheme for plate bending / F. Kikuchi, Y. Ando // Nuclear Engineering and Design, 24 (1973). pp. 357-373.

75. Mansfield, L.E. Mixed finite element methods for elliptic equations / L.E. Mansfield // Report No. 76-24. Institute for Computer Applications in Science and Engineering, NASA Langley Research Center, Hampton, Virginia, 1976.

76. Miyoshi, T. Finite element method for the solutions of fourth order partial differential equations / T. Miyoshi // Kumamoto J. Sci. (Math.) 9 (1973). pp. 87-116.

77. Miyoshi, T. A mixed finite element method for the solution of the Karman equations / T. Miyoshi // Numer. Math. 26 (1976). -pp. 255-269.

78. Oden, J.T. Some contributions to the mathematical theory of mixed finite element approximation / Oden J.T. //in Theory and Practice in Finite Element Structural Analysis, pp. 3-23, University of Tokyo Press, 1973.

79. Oden, J.T. Some observations on properties of sertain mixed finite element approximations / J.T. Oden, J.N. Reddy // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 9 (1975). pp. 933-949.

80. Oden, J.T. An introduction to the mathematical theory of finite elements / J.T. Oden, J.N. Reddy // Wiley Interscience, New York, 1976.

81. Oden, J.T. On mixed finite element approximations / J.T. Oden, J.N. Reddy // SIAM J. Numer. Anal. 13 (1976). pp. 393-404.

82. Poceski, A. A mixed finite element method for bending of plates / A. Poceski // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 9 (1975). — pp. 3-15.

83. Rannacher, R. On nonconforming and mixed finite element method for plate bending problems. The linear case / R. Rannacher // RAIRO. Anal. Numer. 1979. - V. 13, N. 4. - pp. 369-387.

84. Raviart, P.-A. Hybrid finite element mathods for solving 2nd order elliptic equations / P.-A. Raviart //in Topics in Numerical Analysis, II (J. J. H. Miller, editor), pp. 141-155, Academic Press, New York, 1975.

85. Raviart, P.-A. On some applications of mixed finite element methods / P.-A. Raviart //in Proceedings of the "Colloque Franco-Bresilien sur les Methodcs Numeriques de l'Ingenieur", August 1976, Rio de Janeiro.

86. Raviart, P.-A. A mixed finite element method for 2-ond order elliptic problems / P.-A. Raviart, J.M. Thomas. — Lecture Notes in Math. 606 (1977). pp. 292-315.

87. Reddy, J.N. On mixed-hybrid finite element approximations of the biharmonic equation / J.N. Reddy //in Proceedings of the Second SIAM-SIGNUM 1975 Fall meeting.

88. Reddy, J.N. Convergence of mixed finite-element approximations of a class of linear boundary-value problems / J.N. Reddy, J.T. Oden // J. Struct. Mech. 2 (1973). pp. 83-108.

89. Samuelsson, Mixed finite element methods in theory and application / Samuelsson //in Proceedings of the Finite Element Cource (Tirrenia), Instituto di elaborazione della informazione, Pisa, 1973.

90. Scheurer, B. Existence et approximation de point-selle pour certains problemes non lineaires / B. Scheurer // Rev. Frangaise Automat. Informat. Recherche Operationelle, Ser. Rouge Anal. Numer. 11 (1977), 4. pp. 369-400.

91. Scholz, R. Approximation von Sttelpunkten mit finiten Elementen / R. Scholz // Bonn. Math. Schr., 89 (1976). pp. 53-66.

92. Scholz, R. Loo-convergence of saddle-point approximations, for second order problems / R. Scholz // Rev. Frangaise Automat. Informant. R,ccherche Operationnelle, Ser. Rouge Anal. Numer. 11 (1977), 2. pp. 209-216.

93. Taylor, C. A numerical solution of the Navier-Stokes equations using the finite element technique / C. Taylor, P. Hodd // Computers and Fluids, 1 (1973). pp. 73-100.

94. Thomas, J.M. Methode des elements finis hybrides at mixtes pour les problemes elliptiques du second ordre /J.M. Thomas // Doctoral Thesis, Universite Pierre at Marie Curie, 1977.

95. Visser, W. A refined mixed type plate bending'element / W. Visser // AIAA. 1969. - V. 7.