Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН .. ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМЕНИ 5 5 ОД В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

РАСУЛОВ ХАЙДАР РАУПОВИЧ

УДЛ517.946

^сг/и^

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФ ЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент — 1907

Работа выполнена в Институте математики имени В. И. Романовского Академии Наук Республики Узбекистан.

Научный руководитель — академик АН РУ, доктор физико-

математических наук, профессор М. С. Салахитдинов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

К. С. Фаязов, кандидат физико-математических наук Р. Р. Кадыров

Ведущая организация — Самаркандский Государственный

Университет

Защита ^диссертации состоится . « » 4 199&г.

в з Ч часов на заседании Объединенного Специализированного Совета Д.015. 17. 01 в Институте математики имени В. И. Романовского Академии Наук Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент-143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В. И. Романовского Академии Наук Республики Узбекистан.

Автореферат разослан «

» ф^Ц^ЯС 199^-г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ.-мат. наук, проф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Теория вырождающихся уравнений гипербо -лического, эллиптического, а также смешанного типов является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных' уравнений с частннми производными. С другой стороны, решение уравнений смешанного типа имеют важные приложения к различным задачам механики, физики и техники.Здесь следует отметить работы А.С.Чаплыгина, Н.Е.Жуковского, Ф.И.Франкля, Л.Берса.

Основы теории краевых задач для уравнений смешанного типа были заложены в фундаментальных работах Ф-Трикоми, С.Геллер-стедта, А-В-Бицадзе, К-И-Бабенко.

В дальнейшем теория краевых задач для уравнений смешанного типа развивалась в работах Т.Д.Джураева, Д.К-Гвазавы , Т.Ш.Кальменова, В.И.Моисеева, А.М.Нахушева, М.С.СалахИтдинова, М.А.Лаврентьева, М.М.Смирнова и их учеников.

В последние годы одним из интенсивно развивающихся направлений в теории дифференцальных уравнений с частными производными являются уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. К этому направлению относятся работы М.М.Зайнуллаби-дова, М.С.Салахитдинова, А.К.Уринова, Б-И.Исломова.

Исследования квазилинейных уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов важны тем, что они интересны как в теоретическом, так и в практическом плане.

Краевые задачи для квазилинейных уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов с одной линией вырождения изучены в работах Д-К-Гвазавы, М.И.Алиева, Х.М.Наджафова, И.В. Майорова, Е.В.Шимковича и Я.СспН. В них,основном,исследована классическая разрешимость поставленных задач. В работах А.Г.Подгаева, А.Е.Аг1г, Л-ЭсТотеСйет изучается существование обобщенного решения краевых задач для квазилинейного уравнения смешанного типа.

Надо отметить, что краевые задачи- для квазилинейных

уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов с двумя линиями вырождения мало изучены. Им посвящены работы Ч.Г.Халмуратова и И.И.Иваницкого.

Настоящая работа посвящена исследовании краевых задач для квазилинейных уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов с двумя линиями вырождения.

Цель работы. Исследование краевых задач для квазилинейных уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов с двумя линиями вырождения.

Методика исследования. Единственность решения рассматриваемых задач доказывается с помощью принципа экстремума и методом интегралов энергии. В доказательстве существования решения применяются метод последовательных приближений, принцип Шаудера и метод Галеркина-

Научная новизна.

- доказана однозначная разрешимость задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения гиперболического типа;

- исследованы задачи О и N для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения;

- изучен аналог^ задачи Трикоми для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения;

- исследованы существование обобщенного решения краевых задач для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения в весовом пространстве С.Л.Соболева.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения, а также при решении прикладных задач, приводящихся, к таким уравнениям.

Апробация работы . Результаты диссертационного исследования докладывались на объединенном семинаре отделов "Дифференциальные уравнения ■ и ■ Неклассические уравнения математической физики • Института математики им. В.И.Романовского АН Республики Узбекистан (руководители-академики АН РУ М.С.Салахитдинов и Т.Д.Джура-ев) на семинаре кафедры теории оптимального управления механико-математического факультета ТашГУ им. М.УлугбЬка (руководитель:

член - коорр. АН РУ Н.Ю.Сатимов),на I съезде математиков Казахстана (г.Шымкент, 1996 г), на конференциях молодых ученых, посвященных памяти В.И. Романовского (г. Ташкент, 1993 - 1995 г) и на республиканской конференции .'Математическое моделирование и вычислительный эксперимент " (г. Ташкент, 1997 г.) .

Публикации. Основное содержание диссертации опубликованы в работах ZT - 5J.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, содержащих 5 параграфов и библиографии. Общий объем работы 105 страниц машинописного текста . Библиография включает 54 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

В введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность теш исследования и сформулированы основные результаты.

В первой главе , состоящей из трех параграфов , изучаются краевые задачи для квазилинейных уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов с двумя линиями вырождения-

В §1 главы I исследуется задача Кош для уравнения

-(-у)" Uxx + = /(Z-, у, ti, иUy) , JZ=COTl3t>О. (I)

Пусть Q, - область , ограниченная отрезком OA оси у = 0 и характеристиками

0D : X + у = 0 , DA : Z? + (-у)р = I , 2р-« + 3, уравнения (I).

Предположим, что f{x, у, и, и )-(2?р -{-у)2*)

i-xy)ap fix, у, и, ия, , где /'(х, у, и, их, иу)~ непрерывна и имеет непрерывные производные первого порядка по всем аргументам в Q = f(x,y) е Q, , - » < и, i£=, uv < + » } и а » О при т < г , а > (т-2)/(т+2) при и > г и

ЯИ ||/,|,|/,J' l/,u 1'1Ли Н < canst-Q XV

Определение I.I. Регулярным решением уравнения (I) в области будем называть функцию и(х,у),непрерывную в замкнутой области

, имеющую непрерывные производные до второго порядка включительно в О, и удовлетворяющую в О, уравнению (I).

Задача Коши, Найти в области О, регулярное решение уравнения (I) , удовлетворяющее начальным данным

и(я,0) = 1(х) , О « I < -I , г«« и {х,у) = v{x) , О < х < I.

где а(1) , у(х)-заданные функции, гдэичем т(х)€ СЮ,и П С2^0,1) ,

е £7(0,1.7 П С^СО^Х) и v^.x) в точке 0(0,0) можеть иметь особенность порядка ниже 2/(я+2) .

Доказана однозначная разрешимость задачи 'Коше для уравнения (I) методом последовательных приближений при определенном

ограничении на пах |1, ||||^

Ч а у

Во втором параграфе изучаются задачи В и N для уравнения

У* + ^ "у^/(х.^и,^,^), т=солз^0, (г)

в области Ос , ограниченной при г > О , у > 0 гладкой кривой а, с концами в точках 4(1,0), В(0 I) и отрезком О/ оси у = 0 и ОВ оси 1=0.

Введен обозначения

Рг = ,ив,иу) ; № у)е +

X, = Г (г,у):, О < х < = ®=0> О < у < I

Будем предполагать, что

/(х, у - (гг/)2р /,(х, у, и

у, и ,ив,ггу) > О,

где (х^ у , и , иж , иу), - непрерывна, имеет непрерывные

производные первого порядка по всем аргументам в Рг и обращается на а в нуль порядка 1+ае, х -достаточно малое положительное число

И яог ||/,Ы/1в1, |/,и |,]/1в II < СОЯ*.

2 * V

В пункте 2. I 52 дается постановка задачи В и доказывается единственность ее решения.

Определение 1.2. Регулярным решением уравнения (2) в области Q0 будем называть функции и(х,у) А С2(П0), удовлетворяю-

щую уравнению (2) в Q0 , причем вторые производные ограничены на дй0, кроме точек 0(0,0) и 4(1,0), 8(0,1), в которых они могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы и эе(, соответственно , где 0 < х}< ае .

Задача О. Найти в области Q0 регулярное решение уравнения (2), удовлетворяющее краевым условиям

и(х,у) = <f(x,y) , (х,у)е. ст ,

«(*.</) 10Л. = (х,0) сТ;, и(г,у)|ов = 1г(у), (0,у)е Га,

где ф(х,у), i((x), т2(у) - заданные непрерывные функции , причем

Т,(0) = ta(0), 1,(1) = <р(1,0) , ta(I) = ф(0,1).

Единственность решения задачи D доказывается с помощью принципа экстремума для эллиптических уравнений .

В пункте 2.2 исследовано существование решения задачи D в предположении, что и совпадает с и0 + у2* = I и т((х) -

= *г(у) = = 0.

В пункте 2.3 исследуется задачи N для уравнения (2). Предположим, что

fix, у, и, Ux, uv) = (ху)2р+' /2(х, у, и. их, иу),

где fAx, у, и, и , и ) - непрерывна и имеет непрерывные произ-

d X у

водные первого порядка в Р2 и обращается на ст0 в нуль порядка

1+ае и max Ц/г1,|/л1, |/2u || «const.

х у

Задача if. Найти регулярное решение уравнения (2) в области 00, удовлетворяющее краевым условиям

и(х,у) = О, (i,y)£ (Г0 ,

Urn и (х,у) = 0, (1,0)ег , III« и (х,у) =■ О, (0,у)<£ X .

хг>+о " 1-Н-О

Доказана однозначная разрешимость задачи Я для уранне-

- а -

ния (2) в области Q0 при определенном ограничении на .«rll/aJ. \Тги. «'«/au И"

рг X у

§3 посвящен постановке и исследованию краевой задача типа задачи Трикоми для уравнения

signy |уГ %х + algnx |х|" uw = /(х, у, и) , (3)

где я = const , причем 2/3 ç m < 2 -

Пусть Q -конечная односвязная область на плоскости переменных (х,у), ограниченная при х > О, у > О кривой а0: х3р+угр = I, a при I < О, у > О и I > 0, ¡/ < О - характеристиками

ВС : (-х)р+ у? = I, CD-. X + у = О, ПА : Л (-у)р =1, 2р = и + 2

уравнения (3) соответственно. Введем обозначения :

а0 = an {{х,у) : х > о, у > о ),

а, = ал ((х,у)-. х > о, у < о у, аг = q л f(x,y): х < о, у > oj,

Р = {(Х,у,и)г (Х,у)£ 5,-»<tl<t»), 2|3 = (Я/(И+2).

В пункте 3.1j',§3 вводится класс обобщенных решений Д, и изучаются свойства amix решений.

Решение задачи Коши в области (Q2) с начальными данными

и(Х,0) = 1 (X), 0 « Я < I, Zim U (Х,у) = V (X) , 0 < X < I ,

у—О "

(и(0,у)= т (у) 0 £ у € I, li» и (х,у) = V (у) 0 < У < I )

а—О 1 .'V

для уравнения

signy |уГ + signx |х|ж + c(x,yj и =/(х, у,). (4)

представимо в виде

я V

U(Ç,tj) = u0(|,T}) + JdÇ' JctU'tTj')i^(6',Ti')ut(t'.Tl';5.Tl) Л}' +

V V

+ JdÇ'jj^CÇ', V >V5'' V ¿nr> <5)

£ E'

где

Г(2Р) г (TM)'"2P i.{t1/2p)

= -g— -тгк—* ,_в at -

0 г^р) J (т}-г)'"Р (i-e)' р £

р Г2(1-р) j (T|-t)p (t-t)p £

Vf = slgnx \x\p + slgny |J/|P_, /?Г= |x|p + ly|p,

c{(|/r)), - известные функции которые ввракаптся со-

ответственно через коэффицент с(х,у) и правую часть уравнения (4), u (Ç', ij'; - функция Римана для уравнения (4) при

/С®,У) = 0 в области 0,(£ = 1,2), Г(л) - гамма функция.

Определение 1,3. Обобщенным решением класса уравнения (4) в области 0,(1 = 1,2) назовем функцию u(£rr}),определяемую формулой (5), где t1(t'/2p) и i',/2p v|(t'/2p) - функции удовлетворяйте условию Гельдера с показателями ар»I - р и аг > р при 0< i i I соответственно.

В пункте 3.2 дается постановка задачи Т и доказывается единственность ее решения.

Определение 1,4. Регулярным решением уравнения (3) в области О0 будем называть функцию е С(Q0) П Ca(QQ) удовлетвор-

яющую уравнению (3) в области ао>

Задача Т. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами;

1) u(s,y) е с(5) п с\а0 и а, и а,);

2) u(x,y) - является регулярным решением уравнения (3) в области о0 ;

3) и(2,у) - обобщенное решение уравнения (3) класса R, в областях 0,(1 = 1,2);

4) u(z,y) - удовлетворяет краевым условиям ;

и(х,у) = 0, <х,у) с С0,

и|д/ » 0, г',/г $ X « I, Щвс = 0 , 2~'/р « у « I; 5) на линии параболического вырождения уравнения (3) выполняются условия склеивания:

= «,(-0;У). (0,У)£ 1г , иу(х,+0) = и,(х,-0), (х,0)е Г,. Теорема 1.5. Если функция /(х,у,и) непрерывно дифференцируема по всем аргументам в Р и удовлетворяет условиям

о (Х,я,ц)-г ^ т(и+2)|ху|_2||х|гр- |у1гр|/х/у)е 0^1=1,2), О * /„(х.у.и), (х,у) с 0о,

то задача Т не мохет иметь более одного решения.

Справедливость теоремы 1.5 доказывается методом интегралов анергии.

В пункте 3.3 исследуется существование решения задачи Т. Теорема 1.6. Если функция /(х,у,и).удовлетворяет условиям

цх,у?и) = НУ)*1*' /,(х,У.а), (а^у) € ао,

ту,и) ={\х\гр-\у\гр)\ху\> /,(Х У и), (I у)€ П, и аг, гр,

где непрерывна и имеет непрерывные производные первого

порядка по всем аргументам в Р и йог |, |/}и| | ^ сопз1,

то существует По крайней мере одно решение задачи Т -

Существование решения задачи доказывается сведением ее к системе нелинейных интегральных уравнений . при этом используются свойства дробного дифференцирования и гипергеометрических функций Гаусса , теория сингулярных интегральных уравнений} а также принцип Шаудера .

Вторая глава, состоящая из двух параграфов, посвящена исследованию существования обобщенного решения аналогов задачи Три-кош для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения.

В §1 рассматривается уравнение

Я(У) Ыжв + Я(х) иуу + с(х,у) и = Т{хАу}и) . (6)

где £(у), S(x), с{х,у), /(x,y,u) - заданные функция, причем

í(t) % О , Jí(t) ^ О при t ^ О.

Пусть О - конечная односвязная.выпуклая область, ограничен-зая при х > О, у > 0 гладкой кривой ст с концами в точках ¿4(1,0) и В(0,1), а при х>0, у < О и х < О, у > 0 характеристиками 0D, DA и ОС, СВ уравнения (6), выходящими из точек 0(0,0), 4(1,0) и 3(0,0), В(1,0) соответственно.

Предположим,что кривая Г}= DA U a U ВС удовлетворяет условию

((Л + х) n, + (h + у) п2)|р < 0, (7)

да (я,,п2) - внутренний нормальный вектор к Г,, h = гааг (Jdf|,

l^l .|с,| ,|с2|)+ 0,здесь (d>,d2)((cJ,c2))- координаты точки Я«7),

i - положительное малое число.

В пункте I-I 51 главы II дается постановка задачи Т, и оп-юделение ее обобщенного решения.

Задача Т,- Найти решение и(х,у) уравнения (6) в области Q •акое, что

и(х,у)|г =0.. Введем просчранстзз функций:

1Г(Q) - fu: и £ C°°(ñ), u|r =0J, (8)

J

7(0) = (v. ve с"(0), u|CJXro - Oi. ' (9)

епэрь введем пространства H( (О) и Е^(П), которые получены

ополнением соответственно пространств функций (8) и (9),относи-елЬно весовых норм, вклотавдие функции К(у) и Н(х):

1/2

икгш) - [ J [ l*Csf)| iwcs)la2] <»J . (Ю)

Q

i/г

[|[|*СУ>! ü/+ |«х)|»/ + в«]®] - (ID □

Определение 2.1. Функцию и(х,у) е Н;(О) нззовем обобщенным решением задачи Т} , если

-J^i(y) %VX + Six) iiyvy - c(xy) w j<ffl = | f(x,y,u)v ей

Q Q

для всех и(z,у) € H^(Q). ' -

В пункте 1.2 §1 главы II доказывается существование обобщенного решения задачи Т(. Имеет место лемма.

Лемма 2.1. Пусть выполнено условие (7) и

а) КЩ Я(х) е с'(Й), (х + 7i)ff' (х) » а |Я(х)|, (у + h)K' (у) > £ а|Я(у)| в 15, -(х + h)n1 + (у + h)n2 2 0 на СО,

(х + h)n1 - (у + h)n2 > О на OD>

(х + h)n1 + (у + h)n2> О на CD, где а = consi > О,

(п})п2)- внутренний нормальный вектор к СД

б) с(х,у) € с'(2), с(х,у)«: 0 , ((х + h)c(.Xjy))x +

+ ((У + h) c(X;y))v s - m < 0 в Q , га = consi > О.

Тогда существуют функции f<pп(х,у))п € к е Н( (Q), являвшиеся решением краевой задачи :

1«рп) = (х + Л)фпа.(х^у) + (у + Л)<рп{/(х,у) = Ф„(ЗД)1г = 0, п £ N, где { ф(Х/У)}п ( ц ~ полная система гладких линейно независимых функций в пространстве Н*Ш), принадлежащих V(i2).

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (7). а).б) леммы 2.1 и

в) функция /(х,у,и) непрерывна по и и /(х,у,и) = |К(у)К(х)|,/г.

• f}(x,y,u)j где 1/,ф) ¡S const равномерно по и для любого

и из шара |и|£ ^ с const.

Тогда существует обобщенное решение и(хц) задачи Т} из класса Н, (Q).

В §2 главы II исследуется задача Т2 для уравнения (6).

Пусть О* - конечная односвязная, выпуклая область на плоскости переменных (х,у) , ограниченная при х з» О, у г» О гладкой кривой а с концами в точках и В(0,1), а при х> О , у<: О

(х < 0 , у > О) - характеристиками

х и х у

J/»wdt + Jv^i(t)<3i= о ^ ос}: jV-y(t)dt + pk(i)£tt= о j

и

oo.i ¡-/xmdt + Г/«ш

о о оо

уравнения (6) я гладкими кривыми (ВС(), лежащими внутри характеристического треугольника ОШ (ОВС) (см.51 гл.П) соответственно.

Задача Т2. Найти решение и(х,у) уравнения (6) в области О* такое,, что

ч(х,у)|г^ = О.

Введем пространства функции 0')(fl*)= fu: u </"(3*), = О), 7,(0*)= fu.- и е С® (5*), = О i и обозначим через Н,(0*>

•V. ....

i Н;(Q*) пространства,которые получены пополнением пространств Ьункций Ut(О*) и V (Q*) относительно норм (10) и (II).

Определение 2.1. Функцию и{х,у) е Н((Q*) назовем обобщенным эешением задачи Т2 , если " "

-| jx(y) м +■ .V(x) Uuvy - с(х,у) laj IdO* = J /(x,y,u)u cil*

Q* ' _ \ O*.

¡ля всех v(x,y) e H^(Q*) »

Доказано существование обобщенного решения задачи Т2 из :ласса 5^(0").

В этом асе параграфе установлено существование обобщенного ешения задачи Т2 для уравнения

f U*s> + Х "уу + " = /С^У,")

невесовом пространстве С.Л-Соболева при более слабых ограниченна за заданные функции с(х;у) и /(х, у, и).

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю академику Махмуду Салахитдиновичу Салахит-динову и старшему научному сотруднику Бозору Исломовичу Исломо-ву за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание при выполнении настоящей работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Салахитдинов М.С.. Расулов Х.Р. Задача Коаи для одного квазилинейного вырождающегося уравнения гиперболического типа.

ДАН РУ, 1996, Л4 , стр. 3-7.

2. Расулов Х.Р. Задача Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. ДАН РУ, 1996, .«12, стр.12 - 16.

3. ИсломовБ.И.. Расулов X.Р. Краевая задача для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. Тезисы докладов ,1 съезд математиков Казахстана'. Шымкент, II - 14 сентября,1996 г., стр. 106.

4- Исломов Б.И., Расулов Х.Р. Существование обобщенных решений краевой задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. ДАН РУ, 19Э7, *7, стр. 5-9. 5. Расулов Х.Р. К Еопросу о разрешимости краевой задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа. Тезисы докладов республи канской конференции Математическое моделирование и вычислительный эксперимент Ташкент, 9- II сентября, 1997 г. стр. 35.

ИККИТА БУЗИЛИШ ЧИЗИРИГА ЭГА БУЛГАН КВАЗИЧИЗИрИ АРАЛАШ ТИПДАГИ ТЕНГЛАМАЛАР УЧУН ЧЕГАРАВИЙ

МАСАЛАЛАР

Диссертация кириш, икки боб ва адабиётлар руйхатвдан иборат. Бкринчи бобдз бузилкп чизиги иккита булган квазичизго^ли гиперболик, эллиптик ва аралаш типдаги тенг-ламалар учун чегаравий масалалар урганилган.

г

Иккиэчи бобда бузилиш чизиги иккита булган квазичизш^ли аралаш типдаги тенгламалар учун Трякоми масаласига уплат масалаларштнг умумлашган ечимянинг мавжудляги исботланилган.

Масалалар ечимининг ягоналигини исботлашда экстремум принципи ва энергия штеграллзри усулидан фойдаланилган, ечкмвинг мавхудлигини исботлаида эса сщиб акслантириш усули, Шаудер пршцши ва Галеркин усу ли к^дланклган.

Диссертациада олинган натихалар янги ва назарий характерга эга. Улар квазичиетщли аралаш типдаги тенгламалар казариясида ва шу масалаларга олиб келувчи амалий иасалаларни ечишда ^улланилиши мумкин.

THE BOUNDARY VALUE PROBLEMS QUASI-LINEAR B3UATIONS OP THE MIXED TYPE WITH

DEGENERACY.

The dissertation, consists of introduction and two chapters. In the first chapter the boundary value problems for the quasi-linear equations of the hyperbolic, elliptic and mixed types with two lines of degeneracy are studied.

In the second chapter the existence of the generalized solutions of the analogs of Trioomi problem for the quasi-linear equations of the mixed, type with two lines of degeneracy is proved.

The principle of the extremum and the method of energy integrals is used for proving uniqueness of solving the problem. The method of the successive approximations, Shouder principle and Galerkin method are applied for proving the existence of solving the problems.

The obtained results of the dissertation are new and of a theoretical nature. They can be used in the theory of the boundary value problems for the quasi-linear equations of the mixed type with two lines of degeneracy and for solving the applied problems resulting in such equations.

POR THE TWO LINES 0?