Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений с двумя перпендикулярными линиями вырождения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РГ6 ОД На правах рукописи

- 5 ИЮН 1995

СЕРГИЕВСКАЯ Ирина Михайловна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЯЯ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Сф

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Самарского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

Ведущая организация: Самарский государственный технический

на заседании диссертационного совета К 113.17.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 443090, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета по адресу: 443043, г. Самара, ул. М.Горького, 65/67.

Автореферат разослан ••¿¿Г-

ЛлСМ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математически:

профессор В.Ф.Волкодавов

профессор Г.А.Калябин

кандидат физико-математических наук, профессор О.А.Репин

университет

Защита диссертации состоится " СЦ-ОЦ-1 1995 г. в К

ос

наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория краевых задач для вырождающихся уравнений смешанного типа является одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это объясняется ее разнообразными приложениями в современных разделах физики и техники.

Основы этой теории заложены в работах С.А.Чаплыгина, Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, Ф.И.Франкля, К.И.Бабенко и других.

Обширная библиография и анализ исследований вырождающихся уравнений смешанного типа содержится в монографиях А.В.Би-цадзе, М.С.Салахитдинова, М.М.Смирнова и других.

Значительные результаты, связанные с краевыми задачами для уравнений с двумя перпендикулярными линиями вырождения, получены В.Ф.Волкодавовым, В.В.Азовским, Ю.П.Карпухиным,

A.М.Нахушевым. В.А.Носовым, М.Е.Лернером, 0.И.Маричевнм, Е.И.Моисеевым, М.М.Смирновым, К.Б.Сабитовым и другими.

Особое место среди исследований по краевым задачам для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения занимают работы В.Ф.Волкодавова, Н.Я.Николаева,

B.И.Макеева, А.П.Финаенова, посвященные краевым задачам с трапецевидной областью гиперболичности. Большой интерес вызывают работы Б.Ф.Волкодавова, Н.Я.Николаева, Е.И.Томиной, в которых решены краевые задачи со специальными условиями сопряжения.

Настоящая диссертационная работа является продолжением упомянутых исследований и посвящена обоснованию однозначной разрешимости краевых задач для уравнений: ¿,(и-)= У.Ч Си-^^пуи - ЧЫа^р^пу.х.4-2=0, <

[<1(х-2)-р(х1-у)]и^=01 0< рл< ^

в областях специального вида.

Отметим, что при условиях, приведенных ниже, уравнения

(О

и (Ла) принимают вид уравнений при и

(ц) соответственно.

Цель тботы. Обоснование существования и единственности решения некоторых краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения в областях специального вида.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием классических методов обоснования существования и единственности решений дифференциальных, интегральных уравнений и аппарата специальных функций. При доказательстве существования решения краевых задач использовались методы Ршана - Адамара, общих решений, теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода, теория интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Единственность решения поставленных задач для уравнений смешанного типа доказывается на основании принципов локального экстремума, леммы Хопфа, аналогов леммы К.И.Бабенко и В.Ф.Волкодавова.

Научная новизна. Доказан ряд тождеств для гипергеометрической функции 5; с; у ) . Для вырождающегося уравнения гиперболического типа с различными параметрами обоснованы единственность и существование решения задачи

Коши - Гурса в трапецевидной области, для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения обоснована однозначная разрешимость обобщенной задачи Трикоми в области, содержащей внутри себя одну линию вырождения уравнения, в то время как вторая линия вырождения является частью границы. Для двух уравнений гиперболического типа получены решения краевых задач Е , /V , £ , , (?_ л/+ , ,

М.Е+ со специальным условием сопряжения. Для соответствующих уравнений смешанного типа доказана единственность решений трех краевых задач со специальными условиями сопряжения на характеристической и нехарактеристической линиях.

- Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения.

На защиту выносятся:

1. Доказательство существования и единственности решений краевых задач Е , n , & , , для уравнения

(Ч) и краевых задач Е , , для уравнения

С1-0 .

2. Доказательство единственности решений краевых задач I, П, Ш для уравнения смешанного типа и краевых задач I, П для уравнения смешанного типа .

3. Доказательство единственности и существования решения задачи Ту Для уравнения (I.,) .

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

на:

- Первой межвузовской конференции "Математические модели

и краевые задачи" (Куйбышевский политехнический.институт, г. Куйбышев. 1991 г.) ;

- Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (г. Самара, 1992 г.) ;

- ежегодных конференциях Самарского государственного педагогического института в 1992-1994 гг.;

- областном семинаре "Дифференциальные уравнения" при Самарском государственном педагогическом университете в 1991-1995 гг. (руководитель семинара - профессор, доктор физико-математических наук В. Ф. Волкодавов.) .

Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь печатных работ.

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 95 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и библиографического списка, содержащего 88 наим енова-ний.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность теш исследований, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе доказаны единственность и существование решения задачи Т^Г , постановка которой дана ниже, для уравнения (/-4) на множестве 0=СГи<2т . Область О- -трапецевидная, ограничена линиями х+у-а. , ^ = о

, 0<а<Ь<-1, Ь^За . Область О"1" ограничена гладкой кривой Г , лежащей в полуплоскости , с концами в точках А0;о) и В(о,Ч) , отрезками О А оси Ох. и 0&

оси 0 ^ .

В первом параграфе доказан ряд тождеств для гипергеометрической функции HJi^c, р, S; £■ , применяемых в процессе решения задачи Т~

Во втором параграфе для уравнения в области гипер-

боличности Q методом Римана - Адамара построено решение задачи Коши - Гурса. Доказана теорема существования и единственности решения.

В третьем параграфе приведена следующая постановка задачи Ту для уравнения (Lна множестве Q .

Задача . Найти решение ч-С*,^) уравнения

(¿ч) на множестве Q , обладающее свойствами:

О и(^у)есСа) ;

2) и.(*.■;) £ c4Q+) ;

3) является решением уравнения (ц)

4) является решением уравнения С^)

5) ub,j|) удовлетворяет краевым условиям: uj = Цх), хе Со;-( 1 _

в области q~ ; в области Q^ ;

u| Lo-dJ

'if=°

ULl

ul = у (x) ze

u.

= Co; O;

(1)

(2) (3)

б) u(k удовлетворяет условию сопряжения:

В четвертом параграфе на основании доказанных автором принципа локального экстремума в области гиперболичности и леммы о знаке ^ V ц, _ доказана теорема единственности

решения задачи

при условии р > <j,

В пятом параграфе доказана теорема существования решения

Г сто

у в случае, когда параметры р и с^. уравнения (ц) кусочно-постоянны по областям эллиптичности и гиперболичности, краевые условия СО - (3) являются однородными, кривая Г представляет собой четверть окружности. Определены ограничения на краевые функции ^ (к) и и параметры

уравнения.

Во второй главе исследуется вопрос о существовании и единственности решения краевых задач Е . М , <? , У-,

для уравнения (параграфы 2.2-2.4, 2.б) и

краевых задач £ , В.М^ , для уравнения С^-л)

(параграфы 2.2, 2.5) на множестве

Постановка задач приведена ниже.

Особенностью постановки краевых задач для уравнений

, (является наличие следующих условий сопряже- *

ния:

Ле^ и(хл)-+{(у), че £>-0, (4)

К-»-0 Хч+О

х-»-о

х-» +о

+ (5)

причем . На функции , налагаются раз-

личные ограничения в зависимости от постановки задачи.

Решения краевых задач для уравнений (, ( ¿.¿З найдены на основании решений задач Коши и задач Ларбу в областях и Н. , построенных в первом и четвертом параграфах.

Краевые задачи для уравнений (¿А) , з) поставлены следующим образом.

3 а д а ч а Е . Найти решения уравнений (¿.д.) при p=<í- - (Li) на множестве U^ , удовлетворяющие краевым условиям:

u(*,x)= гДл), ze (6)

u(*,-*) = T_(x), * с (?)

и условиям сопряжения (4) , (5) при -¿(¿Ь а= со mí , = f аЬ^О .

3 a д a ч a N . Найти решение уравнения (í-jJ на множестве Н^ , удовлетворяющее краевым условиям:

Им я£(-к;о\ (д)

ц+Х.-1+о

и условиям сопряжения (4) , (б) .

Задача & . Найти решение уравнения (L ¿J на множестве , удовлетворяющее краевым условиям:

fj+00t*e СО; О, (10)

и(*А)= у - СО, >£ е С-I. (i -!)

Задача . Найти решение уравнения ÍL3) на

множестве 1-1 ^ , удовлетворяющее краевым условиям (7.) , (8) , и условиям сопряжения (4) . (5J при c.=co«i: , p^)=b=coost f ab*o

Задача ALH+ . Найти решение уравнения (L2) на множестве , удовлетворяющее краевым условиям (б) , С 9) , и условиям сопряжения (4) , (b) при «dy)= а= cohS-fc , |i^)=b=conjt ^ аЬФо

Задача . Найти решение уравнения С^-х) на

множестве , удовлетворяющее краевым условиям (*9) , (ю) ,

и условиям сопряжения (4) , (б) .

Задача Р_Л/+ . Найти решение уравнения (¿-¿3 на множестве , удовлетворяющее краевым условиям (в) , (п) , и условиям сопряжения (4) , ( 5) .

Для всех вышеназванных задач доказаны теоремы единственности и существования решений, в которых на краевые функции накладывается ряд ограничений. Формулы решений получены в явном виде.

В параграфе седьмом доказаны принципы локального экстремума.

В восьмом параграфе исследуется вопрос о единственности решений трех краевых задач для уравнений , ((-зЗ на

множестве Ъ-^и^ . где - одно связная, конечная область, ограниченная простой дугой Жордана Г с концами в точках Д0;°) и вС°;-0 , лежащей в полуплоскости Ь>о , и отрезками О А оси СП и ой оси 0±- ,

'»Г-(б,*)-' о<--ь< 5 < 1+ь<А\

= -■)< з-^-Ьс-зсо],

При Ь<оъ характеристических координатах ,

= уравнения (¿-1) , принимают вид уравнений

при р = , С'-з) . Области и я; преобразуются соответственно в области и при к = 1 .

Постановки задач I, П, Ш следующие.

Задача I. Найти решения уравнений , (/-3)

на множестве ЯЬ , дважды непрерывно дифференцируемые в областях , я 7 , • удовлетворяющие краевым условиям:

и|г=ЗД

6 - дуговой параметр, ¿еС0;/.] , где Ь - длина дуги Г , отсчитываемая от точки А ,

и (о,*) = *£ с~1; О], (12)

условиям сопряжения

и._(и€)=г а , ¿еЕо-,

еы

= ил I- Э5

г!

где

а также условиям сопряжения Ь-. + о ' -Ь-г-о

о при всех зб(о^). Постановка задачи П для уравнения отличается от

постановки задачи I тем, что вместо краевого условия ("12.) ставится краевое условие:

3 -»+ о

а в условии сопряжения (13)

В задаче П для уравнения С 1-^) вместо краевого условия (12) ставится краевое условие

S- + 0

функция p>CO в условии сопряжения (13) задана равенством

(и) , а в задаче Ш для уравнения (¿-¿J вместо краевого условия (12) ставится краевое условие

U-(s, S- 0 — S £ (о; ,

причем функция задана равенством (15) .

Доказаны теоремы единственности решений задач I-Ш для уравнения (l'x) и задач I, П для уравнения Сl¡) . Доказательства основаны на принципах локального экстремума в области гиперболичности, лемме о знаке Ьр t принципе

t Ч +0

внутреннего экстремума (леще Хопфа) и теоремах единственности краевых задач для соответствующих уравнений в области • гиперболичности. Определены условия, которым должны удовлетворять параметры уравнений и условий сопряжения.

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.Ф.Волкодавову за постановку задач, внимание к работе и постоянную поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Волкодавов В.Ф., Быстрова O.K., Сергиевская И.М. Построение функций Римана - Адамара задач Дарбу, Коши - Гурса и их применение / Самарск.гос.пед.ин-т.- Самара, 1993,- 11 с. Деп. в ВИНИТИ 09.04.93, * 921-В93.

2. Волкодавов В;Ф., Сергиевская И.М. Новые краевые задачи для дифференциальных уравнений с двумя перпендикулярными линиями вырождения / Самарск.гос.пед.ин-т.- Самара, 1994.14 с. Деп. в ВИНИТИ 10,01.94, ji 21-В94.

3. Сергиевская И.М. Принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции: Тезисы докл.Межд.науч.конф. 24-31 мая 1992 г.- Самара. 1992.- С. 229.

• ■ 4. Сергиевская И.М. О единственности решения задачи Три-коми для одного уравнения с двумя линиями вырождения // 0 вы, которых ожидает Отечество ...: Сб.науч.тр.аспир., соиск. / Са-марск.гос.пед.ин-т.- Самара, 1993.- С. 197-202.

5. Сергиевская И.М. Две краевые задачи для уравнения гиперболического типа с двумя линиями вырождения // Современный групповой анализ и задачи математического моделирования. XI Российский Коллоквиум, 7-11 июня 1993 г. Тезисы докл.-Самара: Самарский университет, 1993,- С. 108.

6. Сергиевская И.М. Единственность и существование решения ряда краевых задач для одного уравнения с двумя линиями вырождения // Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа. Меад.науч.конф. 23-25 ноября 1993 г. Тезисы докл.-Ташкент: Изд-во ФАН, 1993.- С. 159.

7. Сергиевская И.М. Краевые задачи для двух уравнений гиперболического типа с. двумя перпендикулярными линиями вырождения // Докл.ежегодн.науч.конф. Самарск.гос.пед.ин-т.

1-15 марта 1994 г.- Самара. 1994.- С. 17.