Оценки точности и итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов решения квазилинейных эллиптических уравнений

Гогин, Алексей Павлович

Оценки точности и итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов решения квазилинейных эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Гогин, Алексей Павлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Оценки точности и итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов решения квазилинейных эллиптических уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Оценки точности и итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов решения квазилинейных эллиптических уравнений"

На правах рукописи

ГОГИН Алексей Павлович

ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ И ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ СМЕШАННЫХ МЕТОДОВ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 ¡¡АР 2014

КАЗАНЬ - 2014

005545827

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики федерального государственного автономного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Карчевский Михаил Миронович

доктор физико-математических паук, профессор Вабищевич Петр Николаевич доктор физико-математических наук профессор Копысов Сергей Петрович

Национальный исследовательский университет "МЭИ"(г. Москва)

Защита диссертации состоится «24» апреля 2014 г. в 11.11 на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Казанском федеральном университете (420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 18, корпус 2, ауд. 218).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского федерального университета.

Автореферат разослан «24» февраля 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н., профессор ^ O.A. Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Метод конечных элементов в настоящее время является одним из основных инструментов для решения различных задач математической физики. Среди преимуществ этого метода, сочетающего в себе лучшие качества разностных и вариационных методов: универсальность, сравнительная простота применения в областях сложной формы, использование различных сеток, удобство для программирования.

Классические схемы метода конечных элементов подразумевают использование лагранжевых и эрмитовых элементов. Объем вычислительной работы при реализации таких методов в общем случае может быть очень большим. Кроме того, часто при решении конкретных задач математической физики возникает необходимость в вычислении различных неизвестных, связанных с производными искомого решения. Такими неизвестными могут быть: поток в задачах термодинамики, напряжение в задачах теории упругости, изгибающие моменты в задачах об изгибе тонких пластин и т.д. Использование классических методов в этом случае приводит к разрывной аппроксимации этих неизвестных. На пути решения данных проблем были предложены специальные разновидности схем МКЭ: смешанные методы конечных элементов (СМКЭ), а также смешанно-гибридные и гибридные схемы. Одним из главных преимуществ таких схем является возможность использования простейших конечных элементов. Это становится возможным благодаря снижению порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных, которое в свою очередь осуществляется за счет использования двойственной или смешанной переформулировки исходной задачи. В работах И. Бабушки, Ж.П. Обена, Х.Г. Бушара, М. Круазье и П.А. Равьяра впервые были

изучены такие методы. Позднее подобный анализ был проведен в работах И. Бабушки, Я. Хаслингера, И. Главачека, Ф. Кикути, М. Фор-тина.

В работах П.А. Равьяра, Ж.М. Тома, Д.Н. Арнольда, Ф. Бреззи, Дж. Дугласа, Л .Д. Марини, Ж.Е. Роберте были построены различные пространства треугольных и прямоугольных конечных элементов для аппроксимации смешанных схем, получены соответствующие оценки точности. Ж.К. Неделек обобщил эти результаты для трехмерного случая. Кроме того, СМКЭ для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений, отличных от рассмотренных в настоящей диссертации, рассматривались Дж. Дугласом, Ж.Е. Роберте и Ф.А. Милне-ром.

СМКЭ применяются для решения различных уравнений высоких порядков. Например, СМКЭ для решения задач о пластине были рассмотрены в работах Л. Херманна, К. Джонсона, К. Хеллана. Конеч-ноэлементные схемы смешанного типа также используются при решении различных задач теории оболочек, которые рассматривались в работах Л.Ш. Заботиной, М.М. Карчевского и других.

Для аппроксимации решений задач Стокса и Навье—Стокса также представляется естественным использовать СМКЭ. Изучению таких методов посвящены, например, работы В. Жиро и П.А. Равьяра, М. Фортина, Р. Стенберга, М. ЕагЫои!, Н. Мапоигь

Теория смешанных методов для линейных и различных классов нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в пространствах И^1' развита к настоящему времени достаточно полно. Значительно слабее изучены теоретические вопросы СМКЭ для эллиптических уравнений в пространствах Жр(1). Так, в работах М. РагЫои1 и Н. Мапо1Ш предложена и исследована конечноэлементная схема смешанного типа для частного случая задачи с сильно монотонным

оператором, часто называемой уравнением с ^-лапласианом, в пространстве Шр1\ Исследованию СМКЭ для общих дивергентных квазилинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными операторами в пространстве посвящены работы А.Е. Федотова и М.М. Карчевского. В этих работах получены оценки точности смешанных схем, основанных на использовании потока, т. е. функции а(х,и,Уи), в качестве вспомогательной переменной. Отметим, что в настоящей работе рассмотрена иная конечноэлементная схема: в качестве вспомогательной переменной при постановке смешанной задачи выбирался градиент искомого решения. Смешанные схемы для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с монотонными операторами в пространстве И^1' рассмотрены в работах М.М. Карчевского и А.Е. Федотова. Полученные в них результаты обобщены в данной диссертации на случай пространства

Многие важные практические задачи приводят к квазилинейным эллиптическим уравнениям второго порядка с монотонными операторами. К ним относится, например, задача с нелинейным вырождающимся по нелинейности оператором, возникающим при описании фильтрации жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом.

Различные итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов изучались в работах М.М. Карчевского, А.Е. Федотова. В данной диссертации предложены модификации построенных ими итерационных процессов, которые существенно уменьшают объем вычислительной работы, оценки скорости сходимости при этом сохраняются.

Целью диссертации является построение смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с монотонными и сильно монотонными опера-

торами в пространстве Шр1\ исследование условий разрешимости и сходимости схем, получение оценок точности смешанной схемы для задачи с сильно монотонным оператором, построение и исследование итерационных методов численной реализации смешанных схем МКЭ.

Методы исследования. В работе использованы фундаментальные положения функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории методов конечных элементов. Все результаты, полученные в диссертации, верны и подтверждены строгими математическими доказательствами и численными экспериментами для модельных задач.

Научная новизна. Исследованы смешанные методы конечных элементов для квазилинейных эллиптических задач второго порядка с монотонными и сильно монотонными операторами в пространствах 1Ур1\ А именно, в случае монотонного оператора доказаны разрешимость дискретной задачи, слабая сходимость решений приближенной задачи, сильная сходимость «потоков» а(х, и^, jh(uh)), построенных по решению приближенной задачи. Для уравнений с сильно монотонным оператором показаны существование и единственность решения дискретной задачи. Получены оценки точности метода. Кроме того, предложены модификации известных (см. [1]) итерационных процессов, исследована сходимость таких модифицированных процессов.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при численном решении конкретных прикладных задач, при теоретическом исследовании смешанного метода конечных элементов для нелинейных задач, в учебном процессе.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докла-

дывались на XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, Крым, 25-31 мая 2011 года; Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование». Ижевск, 15-18 мая 2012 года; Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань, 17-22 сентября 2012 года; XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным программным системам, г. Алушта, Крым, 22-31 мая 2013 года; XII Всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения-2013». Казань, 24-29 октября 2013 года; Итоговых научных конференциях КФУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе две статьи в изданиях из списка ВАК.

Благодарности. Диссертационная работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-01-00814, 11-0100667, 12-01-00955, 12-01-97022, 12-01-97026).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 115 наименований. Объем работы — 108 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, близких к тематике диссертации, обоснована актуальность тематики исследований, сформулирована цель работы, изложено краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации приведена постановка задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида

— div а(х, u, Vu) + ао(х, и, Vu) = f(x), х 6 Í2, (1)

и{х) = 0, 1£Г. (2)

(1 С й" - ограниченная многоугольная область, Г — граница области П. Здесь а{х,г}) = (а^х, г?),..., ап(х,т])), а0(х,т]) — заданные функции, непрерывные при 77 = (щ, г/) е т] = (щ,..., т]п) е Я"

для всех х £ П.

Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными условия ограниченной нелинейности, монотонности и коэрци-тивности при р > 1: .

\й(х,ё)\ ^ С1(1 +1СГ1) V* е е (3)

(а(х, О - а(®, 7?)) • - 7?) > о Ух е п, £ п е Яп+1, (4) а(®,£) • £ > |р - с3 V* е п, £ е Яп+1 (5)

здесь с1,с2,сз — положительные постоянные, а через а(-) обозначена вектор-функция вида а(-) = (ао(')> а1(")> ■ ■ ■, ап('))-

Эти условия являются довольно общими и допускают вырождение уравнения по градиенту на некоторой подобласти определения решения.

Кроме того, во втором параграфе рассмотрен случай, когда выполнены условия сильной монотонности и липшиц-непрерывности

(а(х, V) - а(х, О) • {ч - О (¡7?! + 1Ш2-р > со|т7 - (6)

е яп+\л,£ еДп, Хвп,

Ц^^-а^о! 77-1Г1 Дп+\ хеп, (7)

в случае 1 < р < 2 и

(а(х, п) - а(®, о) • (л - О > с2|т? - (8)

Нп+1,г].€ О,

|а(®,$г) - а(®,|)| ^ Сз1т? {Щ + |С|)Р"2 УЫ 6 (9)

в случае р ^ 2; со,С1,С2,сз — положительные постоянные.

Определено понятие обобщенного решения задачи (1), (2). Обобщенным решением задачи (1), (2) называется функция

и 6 И^^Хр > 1, удовлетворяющую интегральному тождеству Ь(и, V) = !(а(х, и, Уи) ■ Уг> + ао(х, и, Х7и)у)с1х =

= I /у<1х = (/, V) V« еи^(П),

В третьем параграфе дана смешанная постановка задачи (1), (2). Для этого введено в рассмотрение пространство

Я, = Я,(<Иу,П) = О" е (¿,(П))П I (Ну.; е 1 < 9 < оо}

с нормой Н^Ц« =

В качестве вспомогательной переменной при построении смешанной схемы выбран градиент искомого решения. Таким образом, положив 2 — Vи, нетрудно видеть, что если и — обобщенное решение задачи (1), (2), то

Jа(х,и^(и))^(ь) + ао(х,и^(и))ус1х = J }ь<1х V« е ЬР(П), (10) п п

J j(u) ■ +Judivqdx = 0 Уд 6 #,(<1гу, Г2). (11). п п

Система (10), (11) положена в основу смешанной постановки задачи (1), (2), а именно: разыскивается пара функций (и,.?) е X = Ьр(П) х (Ьч(0.))п, удовлетворяющая интегральным тождествам (10), (11).

В четвертом параграфе описана конформная, регулярная триангуляция 7л = и К области П симплициальными и прямоугольными конечными элементами. Кроме того, описаны известные (см., например, [3]) пространства конечных элементов: ВОМь{К), ВТ^{К),

ВОМщ(К), ПТщ{К). Определены конечноэлементные пространства

Мн = € £р(П); Ук\к 6 Мк{К) УК 6 %}, Мь = ы е Нч\ я\к е т{К) Ш е %},

Хн = Мьх ЛГл,

где ^{К) — одно из описанных пространств ВОМ^(К), НТ^К), ВОМщ{К), Ш\ц{К), а через Мк(К) обозначены следующие пространства полиномов:

- Рк-1(К), если = ВБМк(К) или

- если ^-(/0 = /?71(/0;

- если Мь(К-)

В пятом параграфе описан класс приближенных методов, исследуемых в диссертации. Под приближенным решением задачи (1), (2) понимается пара функций {щ^п) € Хн таких, что

J (а(х,ик,^{ик)) - л, («л) +ao{x,uh,jh(uh))v^l) йх = J /ун{х)йх и п

(12)

для любых ид е Мн, где функция зн{ин) € определяется по ии € Мл как решение уравнения

JлЫ) -янйхЛ- Jин (Ну = О € А^л- (13) п п

Кроме того, сформулированы и доказаны лемммы, используемые при выводе оценок точности этих методов. Все эти результаты имеют место при выборе любого из пространств ВОМ\-, ВТь, ВПМщ или КГщ для аппроксимации Нч.

Во второй главе диссертации изучен данный класс приближенных методов для задачи с монотонным оператором. Доказано, что имеет место

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3)-(5). Тогда задача (12), (13) имеет по крайней мере одно решение при любой правой части / € £,(П). Для любого решения задачи (12), (13) справедлива априорная оценка

!Ь'лЮ1ир(П) ^ с||/||мп)

где с — постоянная, не зависящая от Н.

Относительно сходимости последовательностей решений и/, и в пространтсве ЬР(С1) справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия (3)-(5). Тогда существуют последовательности решений иь и jh('^J■h) и функции и*,]* такие, что иь и*, зи^и) в Ьр(П), причель пара функций

и*,з* является точным решением задачи (10), (11).

Заменив условие монотонности (4) более сильным условием подчинения (см. [2])

\а(х,0-а(х,г,)\ < (14)

для любых г) £ Пп~1, где г = тах(р, 2),р > 1, нам удалось получить следующие результаты.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (3)-(5), (14). Тогда-«поток» а(х,и,Ли)), построенный по решению задачи (10), (11) и его конечноэлементная аппроксимация а(х, и^, Зк{иъ)), построенная по решению задачи (12), (13), определяется исходнъши данными задачи (1), (2) однозначно.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (3), (5), (14). Тогда существует последовательность И —» 0 такая, что имеет место сильная сходимость а(х, щ,—> а(х,и^(и)) в пространстве

Ь3(П), где

Ч,Р > 2, 2,1 < р < 2.

В третьей главе диссертации изучен построенный в первой главе класс приближенных методов для задачи с сильно монотонным оператором.

Относительно разрешимости приближенной задачи имеет место

Теорема 4. Пусть выполнены условия (6)-(9). Тогда при любой правой части / € ЬЧ(С1) решение задачи (12), (13) существует и единственно. При этом справедлива оценка

где с — постоянная, не зависящая от К.

Получены оценки точности рассмотренного приближенного метода. А именно, доказано, что имеет место

Теорема 5. Пусть и — решение задачи (1), (2) — удовлетворяет условиям гладкости

Пусть также каждая триангуляция области П с меньшим шагом строится по триангуляции с большим шагом путем разбиения ее элементов. Тогда

Шу/ОН^п) < с||/||£,(5г),

IIм - "лИ^л) + 1Ь» - <

в случае 1 < р < 2 и

~ и\\ьр(.п) + Ш^й) - Ли) <

* ^ (|И ^ + ЫиЩ^ +

в случае р ^ 2.

В четвертой главе диссертации построены и изучены итерационные методы для двух классов смешанных схем метода конечных элементов.

В первом параграфе рассмотрен частный случай задачи (1), (2)

- сНу а(х, Чи) + ао(х, V«) = /(х), х € П, (15)

и(х) = О, х€ дП. (16)

¡2 С Яп — ограниченная многоугольная область, Г — граница области П. Здесь а(х, £) = (а1(х,^),..., ап(х, £)), £ е Л" для всех х € П. Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными условия сильной монотонности (6) и липшиц-непрерывности (7) при р = 2, а также условие на функцию ао(-)

(а0(х, С) - а0(х, т?)) ■ (£ - т]) ^ 0.

Приведена смешанная постановка задачи (15), (16). В качестве вспомогательной переменной в этом случае использовался «поток», построенный по обощенному решению задачи (15), (16). При этом возникает необходимость использования обратной к а(х, ■) функции а~1(х, -) : /?п —> Я", обладающей свойствами (см. 1]):

(а-1(я:, £) — а-1(а:, 77)) •(£—??) ^ Сз|£ — г)\2 € Я", х 6 П, (17)

¡а'^х.О-а-^х^^с^-т,] У^г? е Я", х 6 П, (18) где сз, С4 — положительные постоянные.

Таким образом, если и — обобщенное решение задачи (15), (16), то у € /^(сНу, О) и выполнены интегральные тождества

У [- divj + а0(х, и)] у(1х = J /(х)у(х) ¿х \/г 6 £2(П), (19) п я

Ja + Jud:wqdx = Q Уд 6 (20)

!1 !2 которые положены в основу смешанной постановки задачи (15), (16): разыскивается пара функций (и,^) 6 X = Ь2(П) х Я2(<11у,Г2), удовлетворяющих интегральным тождествам (19), (20).

Далее, дана приближенная постановка смешанной задачи. Отметим, что описанная в первом параграфе приближенная схема в случае, когда для аппроксимации О) выбирается пространство Равьяра — Тома, подробно рассмотрена в работе М.М. Карчевско-го и А.Е. Федотова [4]. Предполгается, что проведена конформная, регулярная триангуляция % области При построении смешанной схемы конечных элементов использовались конечномерные пространства Мл, Л^, опредленные в общем виде в первой главе. Под приближенным решением задачи (15), (16) понималась пара функций (^^^h,jh) € Хь = М/, х ТУ/£, удовлетворяющих уравнениям

!(-divjh + а0(х', ин)ун)йх = J/(х)г>ь(х)(1х, (21)

я и

J а-1 л) ■ д^х -I- j инд.Ь?дк<1х = 0 € Хн- (22)

а п

Во втором параграфе описан итерационный метод для решения задачи (21), (22), построенный в работе М.М. Карчевского и А.Е. Федотова [4]. Определен нелинейный конечномерный оператор А^ соотношением

Ah.Uk ■ г>л = !{-6.Ь/Лик) + ао(х, <1х \/ин, б Мн, (23) п

где з{иь) € ^ определяется уравнением

J а'10'/Ди,,)) • дк(1х + у ип (Ну ¿х = 0 € Л^. (24) п п

Матрица <?л определена соотношением

(Зк^к -Ук = ~ J <1х е М/„ (25)

где Л(ин) е ТУ/, удовлетворяет тождеству

и/, &у с£с = О е ЛГЛ. (26)

п п

Для решения задачи (21), (22) предлагается использовать следующий итерационный процесс: ик+1 _ ик

Си-^.—- + Лил = Л, * = 0,1,..., (27)

где «д задана, а г > 0 — итерационный параметр.

Реализация итерационного метода (27) может быть сведена к решению следующей системы уравнений с седловой матрицей:

ВкЛ +СЛЦ' =0,

(28)

СЫ

икК+1 = «л + ти)^. Здесь Вн и Ск матрицы, определяемые соотношениями

ВнЗь.' 9л = У Л ■ Я/, Лх у/А( да, € А^, (29)

СкЪ'к ! Ък (11У % ¿х е Мл, дл е ЛГ„, (30)

а Сд" - транспонированная матрица Сл. Вектор определён соотно-■ J{-div^ + ао(х, - />;,, йх Vьк € МА,

шением

'л •«л:

а ^ — решение уравнения

/а~10я) • Яндх + != 0 € Л7*. (31) п п

В третьем параграфе рассмотрен важный для многих приложений, например, теории фильтрации, частный случай задачи (15), (16), когда ао = 0. Кроме того, введен в рассмотрение конечномерный нелинейный оператор Ьн, определяемый соотношением

Ьк{]н) " 9/. = У ' <?л Ах ф, е ЛГ„, (32)

обладающий свойствами

(иш - ЬьЫ) • (л - дн) > с5|Ьл - (зз)

ЦЬЛО'Л) - Ьн(дк)\\в-1 < Сб||^ - дЛЦвЛ (34)

для любых ]к, <7л из Иь-

Таким образом, задача (21), (22) записывается в виде

Для решения системы нелинейных уравнений (35) используется итерационный процесс

к = 0,1, ... Ид заданы, г > 0 — итерационный параметр.

Понятно, что при такой модификации метода (27) удается избежать применения «внутреннего» итерационного процесса, то есть решения уравнения (31).

В четвертом параграфе исследована сходимость построенного итерационного метода. Доказана общая теорема о сходимости итерационных процессов вида (36).

Теорема 6. Пусть матрицы В^, = С^В^Сь положительно определены, оператор Ьд удовлетворяет условиям. (33), (34),

О < г < 2св/4-

Тогда итерационный процесс (36) сходится при любом начальном приближении Ид.

Из этой теоремы, в частности, следует сходимость предложенного в третьем параграфе итерационного метода.

Если дополнительно к условиям этой теоремы оператор Ьь является диффернцируемым по Га то и его производная симметрична, то оценка скорости сходимости итерационного метода (36) может быть улучшена. Справедлива

Теорема 7. Пусть операторимеет производную Гато (,7л) в каждой точке пространтства Иь, которая при любом дь € Л'д удовлетворяет условиям

сю|Ы||А <Ь'к(э7,)5/1 • 9н < сцЦдлЦ^. (37)

Тогда при т — то = 2/(сю + сц) итерационный метод (36) сходится и для погрешностей верны оценки:

1Ьл+1 - -Як ^ р(т)Ы ~ З\\вк,

где р{т) = (1 - 0/(1 + О, С = с10/сц.

В пятом параграфе приведены примеры численной реализации представленного итерационного метода.

Шестой параграф посвящен описанию построенного в работе А.Е. Федотова [1] итерационного метода для решения приближенной

задачи (12), (13) с оператором, который удовлетворяет лишь условию монотонности.

Введен в рассмотрение нелинейный оператор Л/, : М/, —> Л/д, линейный оператор : Мк —> Мк при помощи сооотношений

Аъ.ин • «л = У(а(аг, иА)• .^(г/л) + аа{х,иь, а

Уыд,^ е М/м

• и/, = У 7Л(«Л) ■ Зк{ик)<3х Ум,„г)Л € Л/л, п

а также вектор Д е Мл-

Последовательные приближения в итерационном процессе, определяются путем решения уравнений г££+1 _ ик

Дк—-- + = Л, к = 0,1, ..., (38)

где задано.

Реализация этого итерационного метода подразумевает вычисление вектора невязки г£ = А^и^ — Д по известному 6 Мл и решение уравнения

Длгул = ~?л, (39)

относительно поправки гг>л = (ыд+1 — и^/т.

При вычислении значения Ллм£ на каждом шаге итерационного метода (38) приходится решать систему линейных уравнений вида (13) относительно ^л(ид). В седьмом параграфе предлагается модификация итерационного метода (38), при реализации которой данная операция опускается. Дискретная задача (12), (13) представляется в виде

Вн31г + С ни и = О, 18

.?/■) = А,

где

Ы^.Ы = -с1вкЧк(щ,,зк) +

л)' ^ = У а(ж, Мл, Л,) • (1к<1х е А^, п

• «л = У ао{иьль, и^ьнЛх Чьи € Мл. п

Предложенный итерационный процесс записывается в виде

+ = (40)

-ФГ1 = + т(Щи1 зкь) - /,,). (41)

При реализации данного метода на каждом шаге по сравнению с методом (38) экономится одно обращение матрицы масс.

При начальном приближении таком, что + = 0, и выполнении условий (5) и (14) при р = 2 имеет место сходимость итерационного метода (40), (41) по невязке.

В восьмом параграфе приведены примеры численной реализации предложенной модификации итерационного метода (40), (41). Основные результаты диссертации:

1. Теоремы о сходимости смешанных схем МКЭ для задач с квазилинейными монотонными операторами в пространствах И^1'.

2. Оценки точности смешанных схем МКЭ для задач с квазилинейными сильно монотонными операторами в пространствах Жр1'.

3. Модификации итерационных методов решения смешанных схем МКЭ для уравнений с монотонными и сильно монотонными операторами в пространстве И^Ч

4. Оценки скорости сходимости модифицированного итерационного метода решения смешанных схем МКЭ для задач с сильно монотонными операторами в пространстве

Опубликованные работы по теме диссертации

В резенцируемых изданиях из списка ВАК

1. Гогин, А.П. Об одном итерационном методе для смешанных схем конечных элементов / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Ученые записки Казанского ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2011, т. 154, кн. 4, с. 5-10.

2. Гогин, А.П. Об оценках погрешности одного варианта смешанного метода конечных элементов / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Ученые записки Казанского ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2013, т. 155, кн. 2, с. 44-53.

В других изданиях

Гогин, А.П. Итерационный метод для смешанных схем конечных элементов / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование», Ижевск, 15-18 мая 2012 г. — с. 15-17.

Гогин, А.П. Об итерационных методах для некоторых классов смешанных схем для квазилинейных эллиптических уравнений / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Материалы Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань, 17-21 сентября 2012 г. — Казань: Отечество. - 2012. - с. 90-94.

5. Gogin, A.P. An iterative method for mixed finite element schemes / A.P. Gogin, M.M. Karchevsky // Lobachevskii Journal of Mathematics, Volume 33, Issue 4 (2012). — pp. 400-404 (Перевод на английский статьи: Гогин, А.П. Об одном итерационном методе для смешанных схем конечных элементов / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Ученые записки Казанского ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2011, т. 154, кн 4, с. 5-10.).

6. Гогин, А.П. О сходимости одного класса смешанных методов для квазилинейных эллиптических уравнений / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Материалы XII Всероссийской молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения-2013". — Казань, 2013. с. 29-31.

7. Гогин, А.П. Об оценках точности одного варианта смешанного метода конечных элементов / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным программным системам, 22-31 мая 2013, г. Алушта с. 66-68.

Цитированная литература

1. Федотов, А.Е. Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений: дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-матем. наук — Казань, 2007. — 112 с.

2. Яковлев, Г.Н. Некоторые свойства решений квазилинейных эллиптических уравнений. Труды Математического института АН СССР - 1975, т. 134, с. 389-104.

3. Brezzi, F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods / F. Brezzi, M. Fortin. — Springer series in Comp. Math., 1991.

4. Karchevsky, M.M. Error estimates and iterative procedure for mixed finite element solution of second-order quasi-linear elliptic problems / M.M. Karchevsky, A.E. Fedotov // Computational Methods in Applied Mathematics. - 2004. - V. 4. - No 4. - pp 445463.

Подписано в печать 19.02.2014. Бумага офсетяая. Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Заказ 103/2

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. (843) 233-73-59,233-73-28

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Гогин, Алексей Павлович, Казань

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

01.01.07 - вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор М.М. Карчевский

КАЗАНЬ - 2014

Оглавление

Введение ..........................................................................4

Глава I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ....................23

§ 1. Постановка задачи с монотонным оператором........................23

§ 2. Постановка задачи с сильно монотонным оператором ..............25

§ 3. Смешанная постановка задачи..........................................27

§4. Аппроксимация пространства О)..............................28

§ 5. Дискретизация смешанной задачи......................................43

Глава II. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ....................................54

§ 1. Разрешимость приближенной задачи..................................54

§ 2. Слабая сходимость решений приближенной задачи..................55

§ 3. Сильная сходимость «потоков», построенных по решению приближенной задачи............................................................58

Глава III. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ..........................63

§ 1. Единственность решения приближенной задачи......................03

§ 2. Оценки точности приближенного метода..............................04

Глава IV. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СМЕШАННЫХ

СХЕМ........................................................................71

§ 1. Задача с сильно монотонным оператором ............................71

§ 2. Итерационный метод для решения приближенной задачи с сильно

монотонным оператором................................................74

§ 3. Модификация итерационного метода..................................70

§ 4. Исследование сходимости итерационного метода....................78

§ 5. Численные эксперименты................................................84

§ 0. Итерационный метод решения задачи с монотонным оператором . 88

§ 7. Модификация итерационного метода................. 89

§ 8. Численные эксперименты........................ 91

Литература.................................... 93

Введение

1. Актуальность темы. Метод конечных элементов в настоящее время является одним из основных инструментов для решения различных задач математической физики. Среди преимуществ этого метода, сочетающего в себе лучшие качества разностных и вариационных методов: универсальность, сравнительная простота применения в областях сложной формы, использование различных сеток, удобство для программирования. Основные аспекты теории методов конечных элементов изложены в том числе в работах [1,6,15-17,26,27,43,48,53,54]. Кроме того, методы конечных элементов для решения различных задач механики сплошных сред рассмотрены, например, в [50,52,66].

гибридные и гибридные схемы (см., например, [72]). Одним из главных преимуществ таких схем является возможность использования простейших конечных элементов. Это становится возможным благодаря снижению порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных, которое в свою очередь осуществляется за счет использования двойственной или смешанной переформулировки исходной задачи (см., например, [54,102-105]). В работах И. Бабушки, Ж.П. Обена, Х.Г. Бушара, М. Круазье и ГТ.А. Равьяра [49,60-62,74] впервые были изучены такие методы. Позднее подобный анализ был проведен в работах И. Бабушки, Я. Хаслингера, И. Главачека, Ф. Ки-кути, М. Фортина [64,83,87-89,97].

В работах П.А. Равьяра, Ж.М. Тома, Д.Н. Арнольда, Ф. Бреззи, Дж. Дугласа, Л.Д. Марини, Ж.Е. Роберте [59,69-71,110,111,114] были построены различные пространства треугольных и прямоугольных конечных элементов для аппроксимации смешанных схем, а также получены соответствующие оценки точности. Ж.К. Неделек [106,107] обобщил эти результаты для трехмерного случая. Кроме того, смешанные методы конечных элементов для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений рассматривались Дж. Дугласом, Ж.Е. Роберте и Ф.А. Милнером [75,99]. Смешанным методам для решения различных нелинейных задач, отличных от рассмотренных в настоящей диссертации, посвящены работы [98,100,101,108].

Смешанные методы конечных элементов применяются для решения задач о пластине, то есть уравнений высоких порядков. Впервые СМКЭ для решения таких задач были предложены Л. Хер-манном [91] и позднее развиты в работах К. Джонсона [93, 94] и К. Хеллана [90]. Анализ таких методов, называемых также методами Хеллана—Херманна—Джонсона, проведен в работах А. Поцески [109], В. Виссера [115]. Кроме того, различные модификации СМКЭ для за-

дач о пластине и других уравнений четвертого порядка изучались в работах [23,31,33,35,36,59,65,76,78,96, ИЗ].

Ф. Бреззи и П.А. Равьяр разработали общую теорию смешанных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка, получили оптимальные оценки точности данных методов (см., например, [67,68]).

Конечноэлементные схемы смешанного типа также используются при решении различных задач теории оболочек, которые рассматривались в работах Л.Ш. Заботиной, М.М. Карчевского и других [4,8,20,22,30,34].

Для аппроксимации решений задач Стокса и Навье—Стокса, которые состоят в отыскании двух независимых переменных — скорости и давления, также представляется естественным использовать смешанные методы конечных элементов. Изучению таких методов посвящены, например, работы В. Жиро и П.А. Равьяра [84, 85], М. Форти-на [82], Р. Стенберга [112], М. РагЫои1, Н. Мапспш [81].

Теория смешанных методов для линейных, а также различных классов нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в пространствах И^ развита к настоящему времени достаточно полно. Значительно слабее изучены теоретические вопросы смешанного метода конечных элементов для эллиптических уравнений в пространствах И^. Так, в работах М. ЕагЫои1, Н. Мапоиг! [79, 80] предложена и исследована конечноэлементная схема смешанного типа для частного случая задачи с сильно монотонным оператором, часто называемой уравнением с р-лапласианом, в пространстве \¥р1\ Исследованию смешанного метода конечных элементов для общих дивергентных квазилинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными операторами в пространстве И^ посвящены работы А.Е. Федотова и М.М. Карчевского [37, 42, 56, 95]. В данных работах получены оценки точности смешанных схем метода конечных элементов,

основанных на использовании потока, т. е. функции а(х, и, У-и), в качестве вспомогательной переменной. Отметим, что в настоящей работе рассмотрена иная конечноэлементиая схема: в качестве вспомогательной переменной при постановке смешанной задачи выбирался градиент искомого решения. Смешанные схемы для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с монотонными операторами в пространстве И7^ рассмотрены в работах М.М. Карчевского и А.Е. Федотова [40,56]. Полученные в них результаты обобщены в данной диссертации на случай пространства .

Многие важные практические задачи приводят к квазилинейным эллиптическим уравнениям второго порядка с монотонными операторами. К ним относится, например, изученная в работах [24,25,56] задача с нелинейным вырождающимся по нелинейности оператором, возникающим при описании фильтрации жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом.

Различные итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов изучались в работах [9,11,21,32,39,56,95]. В данной диссертации предложены модификации построенных в [56] итерационных процессов, которые существенно уменьшают объем вычислительной работы, оценки скорости сходимости при этом сохраняются.

2. Цель работы. Построение смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с монотонными и сильно монотонными операторами в пространстве \¥р1\ исследование условий разрешимости и сходимости схем. Получение оценок точности смешанной схемы для задачи с сильно монотонным оператором. Построение и исследование итерационных методов численной реализации смешанных схем МКЭ.

3. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 115 наименований. Объем работы — 108 страниц.

4. Содержание работы. Настоящая работа посвящена исследованию смешанных методов конечных элементов для квазилинейных эллиптических задач второго порядка с монотонными и сильно монотонными операторами в пространстве И^, а также построению итерационных методов их численной реализации. Работа состоит из четырех глав. В первой главе диссертации рассматриваются задачи с монотонными и сильно монотонными операторами: даны постановки задач, сформулирована смешанная задача, рассмотрены различные пространства конечных элементов, необходимые при дискретизации смешанной задачи, описан класс приближенных методов. Во второй главе диссертации изучается класс приближенных методов для задачи с монотонным оператором. Доказаны разрешимость дискретной задачи, слабая сходимость решений приближенной задачи, сильная сходимость «потоков» а(ж, ^(г^)), построенных по решению приближенной задачи. В третьей главе диссертации исследуется класс приближенных методов для задачи с сильно монотонным оператором. Показаны существование и единственность решения дискретной задачи. Получены оценки точности метода. Четвертая глава диссертации посвящена итерационным методам для двух классов смешанных схем метода конечных элементов: построено два итерационных метода, предложены модификации этих методов, исследована сходимость итерационных методов, приведены результаты численных экспериментов.

Опишем содержание работы подробнее. В первой главе диссертации приведена постановка задачи Дирихле для квазилинейного эл-

липтического уравнения второго порядка дивергентного вида

— (Му а(х, и, VII) + ао(х, и, = /(ж), х € О, (1)

и{х) =0, ж £ Г. (2)

О, а К1 — ограниченная многоугольная область, Г — граница области Здесь а(х,т]) = (ах(ж, ту),..., ап(х, ту)), ао(ж,ту) — заданные функции, непрерывные при 77 = (ту0, ?у) 6 Лп+1, ту = (ту„) 6 для всех а; 6 П.

Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными условия ограниченной нелинейности, монотонности и коэрци-тивности при р > 1:

|й(яг,|)| ^ С1(1 + |ёг2) V* е е яп+1, (3)

(а(х, |) - а(Ж, 77)) • (£ - ту) ^ 0 £ Г2,£,ту £ (4)

Ф, О • С > С2|СГ - СЗ Уж £ О, ё £ (5)

здесь сх,с2,сз — положительные постоянные, а через а(-) обозначена вектор-функция вида а(-) = (а0(-), «1(0» • ■ • > ап(-))-

Эти условия, налагаемые на функции, образующие уравнение, являются довольно общими и допускают вырождение уравнения по градиенту на некоторой подобласти определения решения.

(50г, ту) - а(х, £)) • (ту - £) (|т/| + > с0|ту - £|2 (6)

у,££/Г, хеП,

\а(х,т])-а(х,0\^ф-^-1 хеП, (7)

в случае 1 < р < 2 и

(й(я, ту) - а(я, £)) • (ту - О > с2|ту - (8)

Vr7,ZeRn+1,r],teRn, хеП,

\a(x,fj) - а(аг,0| < С3|г7-ё| (\f}\ + |ё|)Р"2 УЫе Rn+\ x e n, (9)

в случае p ^ 2; Co, Ci, C2, C3 — положительные постоянные.

Определено понятие обобщенного решения задачи (1), (2). Обобщенным решением задачи (1), (2) называется функция

и G Wp(P),p > 1, удовлетворяющую интегральному тождеству

L(u, v) = J(а(х, и, Vu) • Vv + ао(х, и, Vu)v)dx = п

= J fv dx = (/, v) Vvew^n), n

В третьем параграфе дана смешанная постановка задачи (1), (2). Для этого введено в рассмотрение пространство

Я, = ДДсНу, П) - {j g (L,(ft))n I divj e Lq(Q), 1 < q < 00}

с нормой 1Ы1я +

В качестве вспомогательной переменной при построении смешанной схемы выбран градиент искомого решения. Таким образом, положив у = V«, нетрудно видеть, что если и — обобщенное решение задачи (1), (2), то

J а(х, и, j(и)) - + ац(х,и, j(u))v dx = ^ ¡ьйх Му 6 (10)

(2 о

У ](и) • qdx + J и6.1удс1х = 0 \/q е Нд( сНу,0). (И) п п

Система (10), (11) положена в основу смешанной постановки задачи (1), (2), а именно: разыскивается пара функций (и, у) £1 = х (Ья(£1))п, удовлетворяющая интегральным тож-

дествам (10), (11).

В четвертом параграфе описана конформная, регулярная триангуляция 7н = и К области симплициальными и прямоугольными конечными элементами. Кроме того, описаны известные (см., например, [72]) пространства конечных элементов: ВОМк(К), ЯТк(К), ВВМщ{К), ЯТщ(К). Определены конечноэлементные пространства

где Мк(К) — одно из описанных пространств ВОМк(К), ЯТк(К), ВПМ[к](К), ЯТщ(К), а через Мк(К) обозначены следующие пространства полиномов:

В пятом параграфе описан класс приближенных методов, исследуемых в диссертации. Под приближенным решением задачи (1), (2) понимается пара функций (ии^и) £ Хи таких, что

У (а{х, ии^иЫ) • мЫ) + а0(х, ин,зн{ин))ун) (1х = J /ун(х) йх

для любых у и € Ми, где функция ]и{ии) £ №и определяется по ин € Ми как решение уравнения

Кроме того, сформулированы и доказаны лемммы, используемые при выводе оценок точности этих методов. Все эти результаты имеют место при выборе любого из пространств ВИМк, ЯТк, ВОМщ или ЯТщ для аппроксимации Нч.

Мк = К € ЬР(П); ун\К € Мк(К) УК € %} , ^ = УКеТи],

Хи = Ми х

Рк-1(К), если ^{К) = ВВМк{К) или ВВМщ[К)-Рк(К), если Щ(К) = ЯТк(К);

если Щ(К) = ЯТщ(К).

(12)

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3)-(5). Тогда задача (12), (13) имеет по крайней мере одно решение при любой правой части / € Ья(0). Для любого решения задачи (12), (13) справедлива априорная оценка

\\лЫ)\\Ьр(п) ^ с||/||Ьв(п)

где с — постоянная, не зависящая от К.

Относительно сходимости последовательностей решений щ и Зн{ии) в простраитсве Ьр{0) справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия (3)-(5). Тогда существуют последовательности решений и^ и ¿н^ин) и функции и*,з* такие, что щ —^ и*, jh(uh) 3* в ЬР(П), причем пара функций и*,з* является точным решением задачи (10), (11).

Заменив условие монотонности (4) более сильным условием подчинения (см., например, [58])

\а{х,£)-а{х,ч)\ ^ С4((а(х,е)-а(Ж,77))-(е-7?))^(1 + |е|р+НР)Ь^ (14)

для любых 7] € Яп+1, где г = тах(р, 2),р > 1, нам удалось получить следующие результаты.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (3)-(5), (14). Тогда «поток» а(х,и,Ли)), построенный по решению задачи (10), (11) и его конечноэлементная аппроксимация а(х,и}г,Зи^ь)), построенная по решению задачи (12), (13), определяется исходными данными задачи (1), (2) однозначно.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (3), (5), (14). Тогда существует последовательность Н 0 такая, что имеет ме-

сто сильная сходимость а(х,и, з{и)) в простран-

стве Ь8(£1), где

_ \ Я,Р > 2> | 2,1 < р < 2.

Относительно разрешимости приближенной задачи имеет место

Теорема 4. Пусть выполнены условия (6)-(9). Тогда при любой правой части / 6 Ья(£1) решение задачи (12), (13) существует и единственно. При этом справедлива оценка

\\Зн{ин)\\ьр{И) < с11/1 где с — постоянная, не зависящая от Н.

Получены оценки точности рассмотренного приближенного метода. А именно, доказано, что имеет место

Теорема 5. Пусть и — решение задачи (1), (2) — удовлетворяет условиям гладкости

ие зе (\У^к+1\п)у.

Пусть также каждая триангуляция области Г2 с меньшим шагом строится по триангуляции с большим шагом путем разбиения ее элементов. Тогда

IIй - иь\\ьр(П) + IIЛ") - Мин)\\рЬд(п) <

в случае 1 < р < 2 и

1К - и\\рЬтМ + \\зн{и}1) - з{и)^ 13

< сЫ1^ (||

П)

+ 1 Ш\\1

) + сНр{к+1^\\и\\рц

в случае р ^ 2.

В первом параграфе рассмотрен частный случай задачи (1), (2)

П С Яп - ограниченная многоугольная область, Г граница области О. Здесь а(х,£) = (ах(х,€),... ,ап(х,£)), £ е Яп для всех х е VI. Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными условия сильной монотонности (6) и липшиц-непрерывности (7) при р = 2, а также условие на функцию ао(-)

Приведена смешанная постановка задачи (15), (16). В качестве вспомогательной переменной при постановке смешанной задачи в этом случае использовался «поток», построенный по обощенному решению задачи (15), (16). При этом возникает необходимость использования обратной к а(х,-) : Яа —> Яп функции а-1 (ж,-) : Яп —> Яп. Функция а-1 существует и обладает аналогичными (6), (7) свойствами:

(а-\х,0-а-\х,г]))-^-г])^с^-г]\2 Щ^ЕЯ^хЕП, (17) К^О-в'Ч^Кс^"^ Яп, хЕП, (18)

— сПу а(х, V«) + ао(х, Ум) = /(х), х е П, и(х) = О, х е <90.

(15)

(16)

(а0{х, О - а0{х, 1])) ■ (£ - г]) > 0.

где сз,с4 — положительные постоянные.

Таким образом, если �