Численные методы решения специальных краевых задач для дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I . СПЕЦИАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I.I. Вспомогательные факш.

§ 1.2. Обобщенный метод итераций.

§ 1.3. Метод последовательных подстановок.

§ 1.4. Метод, использующий специальные операторы.

§ 1.5. Метод конечных разностей.

§ 1.6. Метод сеток. . .69.

§ 1.7. Примеры.

ГЛАВА П . СПЕЦИАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 2.1. Вспомогательные факты.

§ 2.2. метод итераций.

§ 2.3, Метод конечных разностей. .III

§ 2.4. К численному решению нелокальных краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений.

§ 2.5. Примеры.

Известно, что при математическом описании некоторых процессов в физике плазмы встречается новый класс краевых задач для эллиптических уравнений, в которых часть краевых условий задана в виде линейной комбинации значений искомого решения на разных участках области и границы. Такие краевые условия принято называть нелокальными краевыми условиями. Примером нелокальной краевой задачи может служить известная (см. J) задача да = О, о + /,

U(x, 0) = ^ (Х)} Щх,1) = fz(x)? (I) i)7 U(0,p = LLU3f), где ^ Ъ) - заданные непрерывные функции.

Задача (I) впервые поставлена и исследована в работе А.В. Бицадзе и А.А.Самарского [з J . Подобные задачи для других типов эллиптических уравнений были исследованы в работах Д.Г. Гордезиани Сю]- CI2J, причем в работе С10 J метод доказательства существования решения можно использовать и как практический алгоритм для приближенного решения рассмотренных задач. В работе £12J рассмотрена нелокальная краевая задача Бицадзе-Самарского для нелинейных эллиптических уравнений в случае произвольной области. Далее, в работе С5 J рассмотрены прямые разностные методы численного решения, а также итерационный процесс последовательных приближений для нахождения приближенного решения задачи типа Бицадзе-Самарского.

Для параболического уравнения нелокальная краевая задача исследована в работах t\* 1 - Е%0 3 , С 59]/2/J, f2?J.

Для уравнения смешанного'типа нелокальные краевые задачи типа Бицадзе-Самарского рассмотрены в работах СI J, №7, LW]

Для уравнения третьего порядка нелокальные краевые задачи рассмотрены в работах №2-3- ив С 9 J . Здесь изучаются различные локальные и нелокальные краевые задачи, доказывается однозначная разрешимость этих задач.

В работе CWJ установлена связь между нелокальными задачами для дифференциальных уравнений основных типов и локальными краевыми задачами для нагруженных уравнений. Показано, что задача Бицадзе-Самарского редуцируется к задаче Дирихле для нагруженного уравнения.

В работе [I6 3 в прямоугольной области О евклидова пространства рассмотрена задача Бицадзе-Самарского для уравнения Лапласа. Доказано, что эта задача имеет бесчисленное множество собственных значении, причем система собственных функций не является полной в Lz (л) , а присоединенные функции существуют не для каждого собственного значения.

В работе С 221 для уравнения Лапласа в круге S рассмат-г ривается нелокальная краевая задача, когда на одном участке границы bs задана производная искомой функции по направлению нормали, а на другом участке известно соотношение от искомой функции. Доказывается однозначная разрешимость.

Одномерная задача Бицадзе-Самарского с нелокальным краевым условием более общего вида записывается в следующем виде: yia) = A, + ассЛ. (2)

Эта задача в литературе мало исследована. Здесь лишь можно указать работы с15 j , £ 6 J » в которых рассмотрен случай, когда рена задача на собственные значения с нелокальным краевым условием, а во второй работе метод конечных разностей применен к численному решению задачи Бицадзе-Самарского, когда в точке задано краевое условие третьего рода.

Учитывая, что решение задачи (2) интегрируется в замкнутом виде лишь в простейших случаях, большое значение приобретают как приближенные методы, так и численные методы их решения.

В связи с необходимостью повышения точности вычислений многими исследователями особое внимание уделяется различным оценкам погрешности приближенных методов. Эти вопросы для обычных краевых задач изучались многими авторами. В случае "специальных краевых задач"-задачи с нелокальными краевыми условиями подобное исследование проведено сравнительно мало. Следовательно, представляет интерес создание аналогов известных приближенных методов применительно к решению нелокальных краевых задач.

Настоящая диссертация посвящена построению приближенных методов и разработке численных алгоритмов решения нелокальных краевых задач как для обыкновенного дифференциального уравнения, так и для уравнения в частных производных эллиптического типа. Здесь, в частности, известные приближенные методы модифицируются и приспосабливаются к нахождению приближенного решения указанных задач.

Диссертация состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению линейных нелокальных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений втолинейная функция. В первой из этих работ рассмотрого порядка, так и для дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа. Строится приближенное решение для интегральных уравнений Фредгольма второго рода специального вида, полученные из нелокальных краевых задач, доказывается сходимость.

Первая глава состоит из семи параграфов. В первом параграфе строится функция Грина для задачи

F(x)> (з) y(CL) = Л, = JL</(C) +& и исследуются ее свойства.

Во втором параграфе для приближенного решения задачи f(x) = + fax), ХС (4) щи) = Й, ус&) =лу(с) + &, строится и исследуется обобщенный метод итерации [29 J

5) где и ¥(Х) произвольные, h и известные функции, а операторы V и £ определяются формулами: х.

Vys Ux-l)<}(i) yit)cLt,

Fy = - jU-ШЬ) + l [{с-Щ1Щ1ЫсИ . a &

Включение произвольной функции в (5) связано с тем, что при различных подборах можно получить различные итерационные процессы. В частности, при ^(х) = о получается метод простой итерации. Доказывается следующая

ТЕОРЕМА I.2.I. Пусть tyix), ) непрерывны на [CL,£,j . Пусть F(^-Vj^i . Пусть, наконец, для некоторых целых Л Ъ-1 выполнено условие

1KB, 62)Л IU + > где

В)= I+ —F, В2 =

01 1 I-Flf-V)

Тогда последовательность функций Уп , определенных из (5), сходится к единственному решению задачи (4) и скорость сходимости определяется формулой

Щш- in.<*> /' ^ Уп/Л IfCX)-%tit\l, пя- Д.

В третьем параграфе метод последовательных подстановок, разработанный в СзбJ для обычных краевых задач, применяется к нелокальным краевым задачам. Решение уравнения

Уп= кп + % Руа + HFn Г-Г^ (6) принимается за приближенное решение задачи (4). Здесь fin » Угг -известные, VI. » Vz произвольные функции, а

Выбором ^ (X), y2ix) можно достичь повышения точности метода.

Имеет место

ТЕОРЕМА 1.3Л. Пусть задача (4) имеет единственное решение Lj(x) , определенное на СО,ё J • Пусть функции c^ix)1f(x)J ys(X), % W непрерывные на СО, tj и выполнено условие f-Ffn " rF%

Ьп= -Fn% I- R.41 -Fn4 ф0. -F;Vn - Fri'V; '-Fn"V2

Тогда решение интегрального уравнения с вырожденным ядром (6) сходится к единственному решению задачи (4) и скорость сходимости определяется формулой ц-М* ff*-gj'iwni Г- % vLrniJWH

Предлагается приближенный метод для решения задачи (4) с помощью специальных операторов, рассмотренных в работе C3SJ . Этому вопросу посвящен четвертый параграф. В этом параграфе решение приближенного уравнения (X) = h„<x) Л £ (hlx,<C) + h-Z-p.fcfDfoVofr (v) принимается за приближенное решение задачи (4), оценивается скорость сходимости. Доказывается, что в случае, когда ^(Х) есть многочлен, ядро приближенного уравнения всегда вырожденное.

Далее, в пятом параграфе излагаются метод конечных разностей и разностных схем любого порядка точности к численному решению задачи:

7Г С8)

Ц(0) = А, ycl) = PCXJ^Q^O,

О + С г: / .

Дается одно видоизменение метода точных разностных схем.

Задача (8), в первом пункте решается обычным методом конечных разностей. Для решения линейных алгебраических систем уравнений, полученных при аппроксимации (8), применяется метод прогонки. Аналогичный вариант метода прогонки использовался в работе С 201 для решения нелокальной одномерной параболической задачи.

Во втором пункте для задачи (8) строится и исследуется одно видоизменение метода любого порядка точности [so] в случае, когда = О • При этом получается новая разностная схема для обычной двухточечной краевой задачи и она в одном частном случае легко переносится на задачу (8), когда Ф 0 .

Для численного решения задачи (8) при <^ = 0 рассматривается разностная схема где коэффициенты fi[m\ В Г,' б''((1 , С>т' определяются с помощью коэффициентов р(Х) , X)* f(X) Уравнения (7). Оценивается погрешность метода.

В шестом параграфе для решения задачи Бицадзе-Самарского для линейного эллиптического уравнения применяется метод сеток.

Доказывается принцип максимума. Используя мажорантную функцию, оценивается погрешность.

Наконец, в последнем, седьмом параграфе для иллюстрации точности предложенного метода рассматриваются конкретные задачи. Результаты показывают на хорошую точность метода.

Вторая глава посвящена нелокальным краевым задачам для нелинейных дифференциальных уравнений. Она состоит из пяти параграфов .

В первом параграфе излагаются вспомогательные факты для нелокальной краевой задачи у" = ¥(х, у, f) р , (9) о^ ^ (&~cl)/(с- а).

Задача (9) приводится к эквивалентным интегральным уравнениям. Строится функция Грина для дискретного аналога этой задачи.

Во втором параграфе метод итерации и метод квазилинеаризации применяется для приближенного решения задачи (9). Доказана следующая

ТЕОРЕМА. 2.2.1. Пусть непрерывная и ограниченная функция У, f) » определенная в R = CCI,&]x (-tj)x (-t,t) , удовлетворяет условию Липшица по У и : х, у,у') I с *, I у-// + ^ /У-у/.

Пусть игах {h* + ма ь* п, h + Mok/i} * I где г jl-a)2- , мах1к,х>1 h(x) = В(х-а)+ Л С 4-х-/(о-х)]

-a-J-(e-<x) ' h'< = ' /0 и u;= ^ ( + ) .

2 4 '

Тогда задача (9) имеет единственное решение, определенное в Г(Х7 £ J , и это решение является пределом последовательных приближений ^

4JX) = /к* J- £(tl!di, ll(x>- fG'txdim.frU), tiujldi, и скорость сходимости определяется формулой £ f<x>> \ , где уал у w/ = Х,шх1У<х)-у(х)1-ь XztmxJ fa-fa/.

Во втором пункте второго параграфа последовательные приближения определяются из следующих линейных краевых задач

С(х) = $<Х<&(Х>- + ^iX>iJX)ipX)} * х (- у„ ix), $j,(x,). (yjx)

Для решения этой задачи строятся двусторонние монотонные приближения, для которых доказывается сходимость.

В третьем параграфе для решения задачи (9) применяется метод конечных разностей. Доказывается сходимость решений нелинейных систем разностных уравнений к точному решению задачи (9). Оценивается скорость сходимости.

В . четвертом параграфе рассматривается нелокальная задача для квазилинейных эллиптических уравнений

В третьем пункте § 2 рассматривается краевая задача

ТО)

AU = /гх, U, Ux> Uy ) У

II) где

Задача (II) решается методом сеток,

ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть решение задачи (II) имеет ограниченные четвертые производные в Л и непрерывные третьи производные в .

Тогда для погрешности £ =. U- U приближенного решения справедлива оценка = OlhL) где X/ - решение нелинейной системы, аппроксимирующей (II).

В пятом параграфе Еыпщзложенные методы применяются к решению конкретных задач.

Основные результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных конференциях аспирантов ВУЗов Азербайджана С2.57 > С 26 2 » на Научно-технической конференции в Пермском Политехническом Инстинкте [2& ] и на семинарах член-корр.АН Азерб.ССР, проф.Я,Д.Мамвдова (Азгосуниверситет, Баку).

Результаты диссертации опубликованы в работах ] - £26] , , C2$1-C*t], C3f] . ч

1. Абрегов M.X. Об одной задаче для уравнения Трикоми. Дифференц.уравнения, 1973, т.9, № 1. с.5-17.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., Наука, 1973.

3. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. ДАН СССР, 1969, № 4, с.739-740.

4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М., 1969, т.2.

5. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М., 1968.

6. Вабишевич П.Н. О численном решении нелокальных эллиптических задач. Изв.высш.учебных заведений. Математика, 1983, т.252, В 5.7. &ег$ On mildfy мпЬпгал, cCiff&ten.-iial еуомсИсны of elliptic. iyp-e., /. Hes. &ил. Stccn-<£cLZc£s,1955, ft, 119 Ji 36.

7. Вазов А., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., 1963.

8. Водоханова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М.Нахушева. Дифференц. уравнения, 1983, т.19, № I, с.163-166.

9. Гордезиани Д.Г. Об одном методе решения краевой задачи Бицадзе-Самарского. Семинар ИПМ ТГУ, Аннотации докладов, 1970, № 2, с.39-40.

10. Гордезиани Д.Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. НУ, Институт прикладной математики, Тбилиси, 1981.

11. Гордезиани Д.Г., Джиоев Т.З. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейных уравнений эллиптического типа. Сообщ. АН ГССР, 1972, J& 2, т.68, с.289-292.

12. Ерошенков Е.П. 0 спектре задачи Бицадзе-Самарского. Дифференц.уравнения, 1983, т.19, № I, с.169-171.

13. Ионкин Н.И. О нахождении численного решения одной неклассической задачи. Вестн.Моск.ун-та, сер.вычислит.матем. и киберн., 1979, № I, с.64-68.

14. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, В 2, с.294-304.

15. Ионкин Н.И. Разностные схемы для одной неклассической задачи. Вестн.Моск.ун-та, сер.вычислит.матем. и киберн., 1977, В 2, с.20-32.

16. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 7, с.1279-1283.

17. Камышин Л.И. О единственности решения краевой задачи с граничными условиями А.А.Самарского для параболического уравнения второго порядка. Ж. вычисл.матем. и матем.физ., 1976, т.16, В 6, с.1480-1488.

18. Карабасов Т.Е. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Лапласа. Дифференц.уравнения, 1983, т.19, № I, с.171-174.

19. Курбанов И.А. Об одной краевой задаче. Ученые записки МВиССО Азерб.ССР, сер.физ-матем.наук, изд-во АГУ, 1977, № 4, с.24-28.

20. Курбанов И.А. Метод конечных разностей для решения одной краевой задачи. Ученые записки МВиССО Азерб.ССР, сер.физ-матем.наук, изд-во АГУ, 1978, № 6.

21. Курбанов И.А. Метод Ньютона для одной нелинейной краевой задачи. Тезисы докл. П Республ.научн.конф. аспирантов вузов Азербайджана, Баку, 1979.

22. Курбанов И.А. Метод сеток для одной краевой задачи. Тезисы Ш Республ. научн.конф. аспирантов вузов Азербай джана, Баку, 1980.

23. Курбанов И.А. О задаче Бицадзе-Самарского для уравнения параболического типа. Тезисы докл. 1У Республ.научн.конф. аспирантов вузов Азербайджана. Баку, 1981.

24. Курбанов И.А. Приближенные методы решения одной специальной краевой задачи. Приближенные методы анализа. Тематич.сб. научн.трудов, изд-во АТУ, 1982, с.90-99.

25. Курбанов И.А. Итерационный метод для одной краевой задачи. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Тематич.сб. научн.трудов, изд-во АТУ, 1983, с.70-78.

26. Курбанов И.А., Мамедов Я.Д. Об одном видоизменении метода Тихонова-Самарского. Приближенные методы анализа. Тематич. сб.научн.трудов, изд-во АТУ, 1982, с.I06-113 (см.также2931-81 Деп.).

27. Курбанов И.А., Досиев А.А. К численному решению нелокальных краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений. Приближенные методы операторных уравнений. Тематич.сб., изд-во АТУ, 1984, с.65-74.

28. Коллац А. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М., 1953.

29. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., 1982.

30. Мамедов Я.Д. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Баку, 1974.

31. Мамедов Я.Д., Аширов С. Нелинейные уравнения Вольтерра. Ашхабад, 1977.

32. JlLctnutloiS /.2., fb&t^esL ccnd^o^^t н.ЛСгЛиосСс- Виг. A/cohjybU^fsееs^-ru ^Lotso-ny etn&t flee t^ct vae^ ecruesttcmJ^cvt^rv у & иуоЬп- it 'dot^L. —еуНЖукЫ^-б -fuz. Un.eC c/iStXЦи^и/г^аСссн-^и. . S^ ЯСО /9*5, S-tf-ЛЗ.

33. Напсо А.Ф. 0 задаче Бицадзе-Самарского для уравнения параболического типа. Дифференц.уравнения, 1977, т.13, № 4.

34. Кахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения. Дифференц.уравнения, 1983, т.19, № I, с.86-94.

35. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. ГТТИ., М., 1951.

36. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1970.

37. Салахитдинов М.С., Толипов А. 0 некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения. Дифференц.уравнения. 1972, т.8, № I., с.134-142.

38. Салахитдинов М.С., Толипов А. О некоторых краевых задачах для одного класса уравнений смешанного типа. Дифференц. уравнения, 1973, т.9, № I, с.142-148.

39. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. Дифференц.уравнения, 1980, т.16, № II.

40. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977.

41. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., Наука, 1978.

42. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1954.

43. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1959.

44. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах. ЖВМ, 1961, № I, с.4-63.

45. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.

46. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка. ДАН СССР, 1982, т.265, № 6, с.1327-1330.

47. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений. Дифференц.уравнения, 1983, т.19, № I, с.145-152.

48. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах. Дифференц.уравнения, 1982,т.18, № 4, с.689-699.

49. Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа. Дифференц.уравнения, 1977, т.13, № I, с.163-167.