Регулярность решений квазилинейных эллиптических систем высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВЩДЕНИЕ.

1. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА С ОГРАНИЧЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ.'

1.1. Постановка задачи. Пространство Н^ ^

1.2. Итерационный процесс. Неравенство для последовательных цриближений.

1.3. Коэрцитивные оценки для оператора (-Д) в цространстве с сингулярным весом

1.4. Регулярность обобщенного решения первой краевой задачи

1.5. Системы, не содержащие младших производных.

2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА.

2.1. Формулировка теорем. Пространство

2.2. Выбор пробной функции.

2.3. Оценки норм функции

2.4. Некоторые свойства пробной функции. Предварительные неравенства.

2.5. Оценка интегралов 1СД; в случае комплексных <5". d TC«c;

2.6. Оценка интегралов 1 . в случае вещественных S

2.7. Сходимость итерационного процесса в цространствах

Cw(n') и Сс1ч>(хх').

Гёльдеровость и . юз

3. ПРИМЕРЫ НЕРЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА.

3.1. Пример системы, имеющей решение с разрывным градиентом

3.2. Пример системы, имеющей разрывное решение.

Работа посвящена исследованию регулярности обобщенных решений квазилинейных эллиптических систем произвольного порядка с ограниченными нелинейностями.

Воцрос о регулярности решений эллиптических задач был поставлен Д.Гильбертом и сформулирован в виде одной из проблем. Первоначально проблема состояла в доказательстве аналитичности решения при аналитических данных задачи.

В случае одного нелинейного эллиптического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными С.Н.Бернштейном fl] была доказана аналитичность всех трижды нецрерывно дифференцируемых решений. Позже И.Г.Петровским [2] доказана аналитичность достаточно гладких решений эллиптических систем, задаваемых аналитическими функциями.

В дальнейшем рамки проблемы были существенно расширены путем исследования не только аналитичности, но и той или иной гладкости решений рассматриваемых задач.

В работах Ч.Морри [3] - [б] получены полные результаты об аналитичности и дифференцируемости решений для систем уравнений второго порядка в случае двух пространственных переменных. В работах Ю.Шаудера [б] Е.Де Джорджи [7] Ю.Мозера [8], Л.Ни-ренберга [9] Дк.Нэша [ю] и ряда других математиков эти результаты были распространены на квазилинейные эллиптические уравнения второго порядка с любым числом переменных. Значительная часть относящихся сюда результатов получена О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой и приведена в монографии [п]. Случай одного уравнения высокого порядка и систем при двух независимых переменных изучен в работах И.В.Скрыпника [l2] и И.Нечаса [l3] [и].

Обзор работ, связанных с цроблемой регулярности решений эллиптических уравнений и систем, приводится в статье О.А.Олейник [15].

В настоящее время проблема регулярности решений ставится для общих эллиптических систем следующим образом. Пусть имеется квазилинейная эллиптическая система и пусть соответствующая краевая задача имеет обобщенное решение из некоторого функционального пространства, например, из какого-^либо соболевского пространства W. Каким дополнительным условиям гладкости или другим условиям должны удовлетворять данные задачи для того, чтобы обобщенное решение обладало повышенной гладкостью, например, принадлежало гёльдеровым пространствам?Как показывают примеры В.Г.Мазьи [1б] Е.Джусти и М.Миранды [17] случай одного эллиптического уравнения второго порядка существенно отличается от случая уравнений высокого порядка или систем уравнений в пространстве размерности большей, чем два. В этих примерах установлено, что даже при аналитических данных задачи обобщенное решение может не быть непрерывным. Аналогичный факт имеет место и для линейных систем при ограниченных, но недифференцируемых старших коэффициентах, на что указывает пример Е.Де Джорджи [18].

Рассмотрим первую краевую задачу для квазилинейной эллиптической системы относительно векторной функции Щх)е pf= xefl,1Лд U= 0 (0,2)Э ЛУКЬл ••■в ограниченной области Qc R. Помимо некоторыхограничений на гладкость функций (X^ccj Ро>х,,>Рр) предположим выполненным условие эллиптичности и ограниченной нелинейности:для всех х е И и всех.

Хорошо известно (см.,например, работу М.И.Вишика [l9] ),что при достаточно общих предположениях о гладкости функций CLоСрассматриваемая задача имеет единственное обобщенное решениеИЗ T*£®(J2J.

В случае <Z£>m непрерывность и гёльдеровость этого решения вытекает из теоремы вложения. При нг гёльдеровость решения следует из работ К.Видмана [20] В.А.Солонникова [2l] и других. В связи с этим особый интерес представляет случай 2£<tn.

Упомянутые примеры показывают, что в этом случае может не быть гладкости обобщенного решения. Однако, в работах [22] -[2б]и целом ряде других установлено, что при этом нарушена гладкость решения (при гладких данных задачи) может происходить только на множестве, имеющем нулевую т -мерную меру Хаусдорфа.

Настоящая работа является непосредственным продолжением этих исследований.

Работа состоит из трех глав и приложения.

Первая глава посвящена эллиптическим системам произвольного порядка. В п.1.1 приведена точная постановка задачи и сформулированы условия на коэффициенты при которых исследуется задача (0.1),(0.2). Для изучения регулярности обобщенных решений и{х) этой задачи используется предложенный А.И.Кошелевым [27] и описанный в п. 1.2 линейный итерационный процесс видаpi И J «и<едгде £ Co/z^zf > 0 начальное приближение u0(xj - достаточно гладкая функция и при всех /г выполнены граничные условия (0.2). Отметим, что итерационный процесс (0.4)может быть применен также и для доказательства существования обобщенного решения рассматриваемой задачи [27].

В п. 1.5 рассмотрены системы, содержащие только старшие производные. Показано, что для них справедливы результаты, аналогичные полученным в п. 1.4 для общих систем.

Во второй главе проведено изучение систем четвертого порядка. Общая схема исследования такая же, как и в главе I. Однако, благодаря более рациональному выбору пробной функции, для этих систем получены более точные условия, обеспечивающие гладкость ц(х). Эти теоремы сформулированы в п.2.1. В частности, в случае систем четвертого порядка при т^Х обобщенное решение tt(x) будет иметь гёльдеровый градиент, еслих i+^fi + nutlo,***-^-*; \\«-j I I ' 9(тг-1) })& <1.

В п.2.1 описан также выбор дробной функции. Функция n)'(x)выбирается так, чтоeL \ оС$> = \&irl)irt dxи* /Гдля любой функции г^ из достаточно широкого класса.

В п.2.2 получены оценки некоторых норм функции Vfa).

Следующие параграфы этой главы (п.п.2.3 - 2.5) посвящены доказательству оценок для нормы функции iaT = и - гиИ в пространстве Н,. При их выводе используется явный вид выбранной пробной функции v(oc). Доказательства некоторых лемм, ввиду их громоздкости, приведено в приложении.

В п.2.6 на основе полученных в предыдущих параграфах соотношений, доказана сходимость процесса (0.4) в пространствах Гёльдера. Теоремы, сформулированные в п.2.1 являются следствиями полученных здесь результатов.

В третьей главе приведены примеры краевых задач для эллиптических систем четвертого порядка, имеющих негладкие (разрывные, с разрывными производными) обобщенные решения. При этом установлено, что теоремы, доказанные во второй главе, являются точными. А именно, в п.3.1 и в п.3.2 построены примеры систем, которые показывают, что полученные достаточные ограничения на разброс собственных чисел матрицы А являются и необходимыми для того, чтобы требуемая гладкость решения имела место для всего рассматриваемого класса систем. Эти примеры представляют собой линейные эллиптические системы с ограниченными коэффициентами. Они являются обобщением на случай четвертого порядка примеров, исследованных в [l8] [29] для систем второго порядка.

Доказательства трех лемм второй главы приведены в приложв' нии, поскольку соответствующие выкладки элементарны, но весьма громоздки.

1. С.Н.Бернштейн. Собрание сочинений, т.Ш. М.: Изд-во АН, 1.60.

2. И.Г.Петровский. Об аналитичности решений уравнений с частными цроизводными. Матем.сб. ,5ДЕ(1939), с.3-68.

3. Ск. Motte^. On iM SotuAioroi oj с^и-Мь-ЬиШь гШр•Uc. pojvticJi dijjwjwdibl УлриьссЫощ. — TbCut-i, Amm,MaAL k>c.5 1Ш, 43, p. UC-UC.

4. Ch. Mobtey, a*id clifft^dioditibj Ъкжшч-Ь fat Ш Solution* of VotuoMoHCtt риоМш-S fa- ywteCpUЬ^гай^-Ы^ McdL %oc<i±940> 4G> pA$9-4f8.

5. CJi* Mottitj, МмЫьрЬ. LkAzyiCLtt in. Охлof Uo/UaJrcDH^ cutoi i&CovtecL Untv,of- UtiftyihUci PllU,, 4943; p. 1-ilO.

6. УЛксимЬя. US&V livuuju diJUptizke ^ifftrtmUcci^Uth^-ften Zwdtesi D^cLnuuj. -Ncdk 2.^19

7. И.В.Скрыпник. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев:"Наукова думка", 1973,219 с.

8. У. ЫЖы. -W xZffdoL-clbe оЬц ^cUiM obu есриаЖои4 efJUjytLyMM нлн- -CtK^euW. —M 0M1. bUUv. Салой'ьа, i 9n 9, ы3, p. 3 4£3.14. . Оя tkz ZoUtfteMdL cubd г^иЛилл^ ofЫоМ НОН- CinMUt MCptit iyvatCwid iyuLboUf-f* ^ Uj focMitaVcu3 1p.iol-li9>

9. О.А.Олейник. К 19-й проблеме Гильберта. В сб: Проблемы Гильберта. М.:Наука, 1969, с.216-219.

10. М.И.Вишик. Квазилинейные сильноэллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму. Труды ММО, 12 (1963), с.125-184.

11. К.О.WCdUn^t. HUcht слнЛъпиНу &f 4с£иЛъои4 &{ elltpкс Ъуубш.1,- McubuSot. ntotAk^ 4971,кр.299-5о$,

12. Ок. Mvxwj* PorUieU xjUfuJot^ibf -vt+ttHs of пыьЦуишс dJUfMc. С/. Modrk. cutci M-e,cAtJ>i/.^/?, p.

13. S. (jbUKfOSLCdb. Но£Жл CJDnMn^cU^ of tkt Ь&ЫМоЩof bohvL H-Qti- ICHjiart MCp^rCc. iyvte^cj. Acb/iutuxСи. Nubk*,19S59 к Mj > />' 1С- 43.

14. А.И.Кошелев. Регулярность решений квазилинейных эллиптических систем.- УМН, 1978,т.ХХХШ, вып.4(202), с.3-49.

15. М.О.Соъс&л, Ыкгь oUz vtiie2.ifj-Шн.ЫсгЛ^izlcJu^t^е*ъ Trwe^ie^Lоъсымь*! Си, nveJoc ctfa УоласМш^ МсиЫг.4Kn.jtQSC, bd.ibi^A/Zj S.

16. А.И.Кошелев. О точных условиях гладкости решений эллиптических систем и теореме Лиувилля. ДАН СССР, т.265, №6(1982), с.1309-1311.

17. В.П.Глушко, С.Г.Крейн. Дробные степени дифференциальных операторов и теоремы вложения. ДАН СССР, 1958, т.122, №6, с.963-966.

18. В.П.Глушко. Некоторые свойства операторов типа потенциала и их приложения. Изв.вузов. Математика, 1961,J£3, с.3-13.

19. Г.Г.Харди, Дж.Е.Литтльвуд, Г.Полиа. Неравенства. М.,1948,456 с.