Регулярность решений квазилинейных эллиптических систем уравнений с условиями сопряжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Регулярность решения задачи с условиями сопряжения для недиагональных линейных эллиптических систем в пространствах Кам-панато.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Некоторые свойства пространств Кампанато.

1.3. Основные результаты главы.

1.4. Модельная задача с постоянными коэффициентами.

1.5. Задача с переменными коэффициентами.

1.6. Доказательство теорем 1.2 и 1.3.

2. Регулярность решения задачи с условиями сопряжения для недиагональной квазилинейной эллиптической системы.

2.1. Постановка задачи и формулировка основного результата.

2.2. Модельная задача в шаре.

2.3. Доказательство теоремы 2.1.

3. Регулярность минимайзера одного класса квадратичных недиф-ференцируемых функционалов.

3.1. Постановка задачи, формулировка основного результата

3.2. Модельная задача в шаре

3.3. Доказательство теоремы 3.1.

Многие физические задачи приводят к рассмотрению уравнений второго порядка эллиптического, параболического или гиперболического типа с разрывными коэффициентами и дополнительными условиями на решение в точках разрыва коэффициентов. К ним, например, относятся задачи о стационарном и нестационарном распределении температуры в телах, составленных из разнородных кусков. С точки зрения математики они состоят в решении краевой задачи для какого-либо уравнения (или системы), коэффициенты которого могут терпеть разрывы первого рода. При этом предельные'значения искомого решения и его производных по разные стороны поверхностей разрыва коэффициентов должны удовлетворять определенным условиям согласования. Для уравнений второго порядка таких условий два. Это чаще всего: непрерывность искомого решения и непрерывность его производной по конормали к поверхности раздела сред. Следуя [4], мы называем задачи такого рода задачами дифракции.

В диссертации рассматриваются линейные и квазилинейные системы уравнений с недиагоналъной главной матрицей, определенные в области, разделенной гладкой поверхностью на две части. Предполагается, что элементы матрицы могут иметь скачок первого рода при переходе через поверхность раздела области, а решение удовлетворяет условиям сопряжения на этой поверхности. Изучается проблема регулярности обобщенных решений такой задачи.

В случае одного уравнения подобная задача хорошо изучена (см., например, Е. И. Ким [1], А. А. Самарский [2], О. А. Олейник [3]). В заметке О. А. Ладыженской [4] было показано, что такого типа задачи могут быть сведены простым приемом к задачам на нахождение обобщенных решений обычных краевых задач, для которых разработаны различные методы исследования. Тем самым была доказана разрешимость задач с условиями сопряжения для уравнений в обобщенной постановке при весьма слабых ограничениях на все данные задачи.

Исследован также вопрос о том, когда обобщенные решения задач дифракции непрерывны в и когда они имеют ту или иную гладкость в и принадлежат WK^), к = 1,2, где область П (ограниченная область) предполагается состоящей из П1 и так что П = fiUfl), отделенных друг от друга поверхностью Г, с условиями сопряжения на

Более того, в работах О.А.Ладыженской [4, 5, 7], О.А.Ладыженской, В. А. Солонникова [6], О. А. Олейник [8, 9] были описаны приемы исследования улучшения дифференциальных свойств этих решений по мере улучшения дифференциальных свойств коэффициентов и свободных членов уравнений, поверхностей раздела. Однако в [4] было отмечено, что получаемые на этом пути результаты для уравнений эллиптического и параболического типов заведомо грубы. Например, классичность обобщенного решения получалась при условии, что коэффициенты уравнений вне поверхности раздела и функции, определяющие эти поверхности, обязаны иметь обобщенные производные порядка п.

В работах В. А. Ильина, И. А. Шишмарева [10], О. А. Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [11, 12], О.А.Ладыженской, В.Я.Ривкинд, Н.Н.Ура-льцевой [13] использован другой метод исследования этого вопроса для эллиптического случая, при котором предположения о данных задачи близки к минимально возможным. Так, в работе [13] для уравнения в ограниченной области П рассматривается следующая задача: область

Г.

0.1)

О предполагается состоящей из областей Oi, ft2 (так что О = иПг), отделенных друг от друга поверхностями Г. На границе S области О и на Г задаются условия и\ 0, Иг = 0, где [u] (ж) = lim и(у) - lim и(у), х £ Г; ~ди ди дп 0,

0.2) у—1-х уеп2 y-ix yeQi дп х) = | fe (Щ{у)иФ) ~ Нт a$(y)uXj(y)) cos(n, х{), y£Q 2 y£Cl1

Д1], a(x)

Через n = n{x) мы обозначаем единичный вектор нормали в точке х G Г, внешний по отношению к fli.

Было установлено, что обобщенное решение задачи с условиями сопряжения будет непрерывным по Гельдеру при переходе через поверхность раздела сред Г, а его первые производные - непрерывными по Гельдеру вплоть до границы в каждой из примыкающих к Г подобластей. В этом случае условие (0.2) выполняется в классическом смысле. В упомянутых выше работах изучалась также задача с условиями сопряжения для параболических линейных уравнений. Все эти результаты базируются на методах, разработанных в работах О.А.Ладыженской, Н. Н. Уральцевой [12, 14]. В работе М. В. Борсука [15] изучаются априорные оценки и разрешимость квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в составной области с нелинейным краевым условием и условием сопряжения.

Наиболее общие результаты по линейным задачам типа дифракции изложены в монографиях [16] и [17]. Во всех перечисленных работах изучалась скалярная задача.

Отметим, что при изучении вопроса регулярности для скалярных задач существенно использовался тот факт (см. Де-Джорджи [18]), что уравнение (0.1) с разрывной матрицей старших коэффициентов имеет непрерывное по Гельдеру решение в О, если / Е Lq(0), q > п/2. Этот результат справедлив также, если такая матрица зависит от а; и функции и.

Целью диссертации является исследование регулярности решений для класса квазилинейных эллиптических систем уравнений с недиаго-налъной главной матрицей, а также изучение регулярности функций, дающих минимум одному классу квадратичных функционалов с разрывной матрицей коэффициентов. В качестве предварительного этапа предусматривается исследование гладкости обобщенных решений задачи с условиями сопряжения для линейных систем уравнений в пространствах Морри и Кампанато.

Рассмотрим задачу /*(*), k<N, хеп, (0.3) ди ' г

М|г = о, дпА 0, Г = 0Пь ГП0П2 = 0, (0.4) и

0, (0.5) где О = Q.I U О2, дик дпА х) = ( lim АакГ(уК(у) - lim АаГ(у)и1ф)) cos(n,*e), yen2 yefii дпА {дпА) ' И хе02.

Как показал пример Де-Джорджи (см. [20], гл. II), в векторном случае даже в ситуации, когда / = 0, обобщенное решение и = (w1, .,uN), N > 1, из W2 (П) системы (0.3) с измеримыми ограничениями коэффициента А®? может иметь особенности.

Кроме того, для недиагональных эллиптических систем не справедлив принцип максимума и все методы исследования, которые на нем базируются.

Тем не менее, используя специфику разрыва матрицы старших коэффициентов, мы устанавливаем в данной работе для задачи вида (0.3)-(0.5) такие оценки для градиента решения в пространствах Морри и Кампанато, из которых следует 1) непрерывность по Гельдеру обобщенного решения в О, 2) непрерывность по Гельдеру первых производных решения в fti и Таким образом, мы приводим условия, при которых обобщенное решение задачи типа дифракции для недиагональных линейных эллиптических систем будет классическим. Отметим, что в диссертации результаты о гладкости получены для общего вида линейных операторов, а не частного случая (0.3).

Важной мотивировкой для изучения задачи типа дифракции для линейных систем уравнений явилось желание получить интегральные оценки типа Кампанато для простейших систем с постоянными матрицами старших коэффициентов. Такие оценки существенно используются при изучении регулярности решения линейных и квазилинейных систем в рамках метода "замораживания" коэффициентов.

Теперь рассмотрим задачу с условиями сопряжения в составной ограниченной области П = Пх U Г U Пх С Мп: п > 2. Предполагается, что Г - гладкая поверхность, Г П д£1 = 0. В каждой области Пг- на функциях и : Пг- IRN, и = (и1,., г^), N > 1, задан квазилинейный оператор i(«M(«) = + ЬкЩх,и,их) с матрицей А^ — определенной в Пг- х RN, г — 1,2, и функциями fcW = определенными в П,- X iR^ х iRniV, г = 1,2.

Требуется найти функцию и : П —>■ iR^, удовлетворяющую системе

Л = 0, sGfii, i = 1,2, (0.6) и условиям сопряжения

Н1г = 0, ди дпА г 0. (0.7)

Предполагаем выполненными следующие условия Ж: А[х,и) = < при любом и Е IRN. О sup ||А(ж,и)|| < т,

Slx]RN

О Аак?(х,и)£%>т\ (x,u)enxMN, tzMnN, (0.70 Hi, v — const > 0. о матрицы

AM и ли равномерно непрерывны на Oi х 1RN и 0,2 х IRN соответственно, в функция Ъ = 6Й, {х,и,р) G ftj х MN х iRniV, г = 1, 2, подчинена неравенству

Д2|рр+МзкГ2+/(х), (0.7") где х Е £1, и Е MN, р Е JRniv, и неотрицательные показатели ri, п + 2 п + 2

Г2 удовлетворяют условиям: ri < -, г2 < - при п > 2, и п п — 2

П < 2, г2 - любое положительное число при п = 2. п+2 п+2

Порядки роста ri = - и г2 = -- являются точными в том

П 72 — 2 смысле, что они гарантируют возможность определения для системы

0.6) обобщенного решения в классе W21(^)- Системы (0.6) при условиях (0.7') и (0.7") принято называть квазилинейными системами со "строго контролируемыми порядками" нелинейностей.

Обобщенное решение и из пространства W21(^, IRN) задачи (0.6)-(0.7) удовлетворяет интегральному тождеству Aak?(x,u)ulX0hkXadx = J bk(x,u,ux)hkdx, h е Wl(tt,lRN). (0.8) п ft

Функцию и можно рассматривать как решение системы (0.6) с кусочно непрерывной в П матрицей А. Доказательство обобщенной разрешимости краевых задач с условиями сопряжения проводится по той же схеме, что и для скалярного случая N = 1. (Проверяются условия монотонности и коэрцитивности оператора задачи, см., например, [16], глава 4 § 9.) Что касается гладкости решений, то известные контрпримеры (см., например, М. Giaquinta [20]) показывают, что обобщенное решение системы с матрицей А — А(и), даже гладко зависящей от и, может иметь особенности, поэтому речь может идти только о частичной регулярности. В 70-е-80-е годы появилось много работ по исследованию частичной регулярности обобщенных решений квазилинейных (и нелинейных) систем уравнений. Большая часть работ посвящена изучению локальной регулярности решений внутри заданной области. В работах A. Canfora [21], М. Giaquinta, G. Modica [22], А. А. Архиповой [23, 24] изучался вопрос о регулярности решений квазилинейных систем вблизи границы области при условиях Дирихле и нелинейном краевом условии типа Неймана.

Изучение гладкости решения эллиптической системы в окрестности границы потребовало развития техники аналитических методов исследования. Результат, полученный в диссертации, дополняет теорию краевых задач для недиагональных систем уравнений. Рассматриваемая задача имеет также прикладное значение, так как моделирует процессы тепло- массопереноса за счет перекрестной диффузии и химических реакций в многокомпонентных средах в составных областях (см. монографию Т. А. Акрамов [36]).

При изучении регулярности решений квазилинейных систем вида (0.6), (0.7) (без условий сопряжения) используются так называемые интегральные оценки Кампанато. Для линейных модельных задач в шаре и полушаре при условиях Дирихле и Неймана такие оценки получены в работах S.Campanato [25], М. Giaquinta, G.Modica [22].

Регулярность решений линейных и квазилинейных систем с условиями сопряжения доказывается в диссертации методом замораживания коэффициентов. В рамках этого метода проводится сравнение исследуемого решения с решением некоторой простейшей модельной задачи, для которой предварительно также выводятся "интегральные оценки Кампанато". Этот подход исследования регулярности предусматривает использование результатов из теории линейных уравнений в частных производных в шкалах пространств Гельдера, Соболева и Кампанато, а также теории частичной регулярности решений эллиптических нелинейных систем уравнений, в том числе метод оценки сингулярных множеств функций в терминах хаусдорфовой размерности.

В первой главе диссертации излагаются результаты о регулярности решений линейных задач в составной области с условиями сопряжения на поверхности раздела сред. Эти результаты опубликованы в работе автора и его научного руководителя [26].

Во второй главе на основе оценок типа Кампанато для простейших модельных линейных систем в шаре, полученных в первой главе, мы доказываем частичную регулярность обобщенного решения задачи вида (0.6), (0.7) и оцениваем хаусдорфову размерность сингулярного множества решений. Точнее, мы показываем, что обобщенное решение и задачи (0.6), (0.7) непрерывно по Гельдеру с показателем {3 = ^ ^П—— > 0, X > п — 2, на открытом множестве Dq С П и первая производная uXj, j = 1,., п непрерывна по Гельдеру на множествах CIiC\Dq и (п2иг)па)-Кроме того, мера Хаусдорфа множества Е размерности п — р равна нулю при некотором р > 2. Здесь Е - замкнутое сингулярное множество решения и, определяемое в теореме 2.1 во второй главе диссертации. В частности, в двумерном случае Е = 0, и непрерывность по Гельдеру решения установлена во всей области Q. Результаты этой главы для модельного случая опубликованы в работе автора [27].

В третьей главе обсуждается регулярность минимайзеров одного класса квадратичных недифференцируемых функционалов

J[u]Q] = J(A(x, и)их, ux)dx, (0.9) п где П - открытое множество в IRI\ п > 2, и(х) = (if1 (ж),., uN(x)j, N > 1 - вектор-функция, определенная в О и их — {?4а}, а = 1,.,п, i — 1,., N. Здесь область Q состоит из двух разных сред, £7 = ПхиГиПг;

A{x,u)h,h) = £ A$(x,u)hkahlp, жеП, и £ MN, RnN. a,0<n k,l<N

Напомним, что функция и из пространства W21ioc(^; MN) дает локальный минимум функционалу J (является локальным минимайзером функционала J), если для любой функции (р £ И^П; MN), supp</? С С П,

J[u] supp^] < J[u + <р; suppy?]. (0.10)

Известно, что даже если недиагональная матрица А гладко зависит от жии, то при п > 2 минимайзер функционала (0.9) может иметь сингулярности [20]. В двумерном случае условий а) и б) достаточно, чтобы показать, что минимайзер непрерывен по Гельдеру в П с некоторым

В работе М. Giaquinta и Е. Giusti [30] установлена частичная гладкость минимайзера и функционала (0.9) при условиях симметричности, ограниченности, эллиптичности и равномерной непрерывности матрии непрерывна по Гельдеру с произвольным показателем j3 Е (0,1) на открытом множестве С П, при этом Нп^р(Т,) = 0 для некоторого р > 2, £ = П\По~ сингулярное множество решения и. Здесь HS{A) - мера Хаусдорфа множества А размерности s. (О регулярности мини-майзеров более общих классов недифференцируемых функционалов см. М. Giaquinta и P. Ivert [32], М. Giaquinta и Е. Giusti [33], М. Giaquinta и G.Modica [34], N.Fusco и J.Hutchinson [35]).

В третьей главе диссертации мы устанавливаем результат, аналогичный [30], в ситуации, когда элементы матрицы А имеют скачок при переходе через поверхность Г, разделяющую область О на подобласти fix и

Отметим, что здесь, как и в работе [30], не предполагается существования производной (А(х, и))'и, таким образом, функционал J является недифференцируемым, и при исследовании задачи мы не обращаемся к соответствующей системе уравнений Эйлера.

Если же считать, что матрица А дифференцируема по аргументу и, то вариационной задаче можно сопоставить следующую задачу в составной области П = Hi U Г U 0*2'

Ра е (0,1) С. В. Money [31]. цы А на множестве П х ]RN, п > 2. Точнее, в работе [30] показано, что

0.11)

0.12)

Здесь ЬкЩи] = + к =

1,., JV, г = 1, 2.

В условии (3.4) ' У = А. (*.«)",,«»(„,*„), ди дпл п - нормаль к Г, внешняя по отношению к Hi,

HL0er = lim0 vix) ~ lim0

Х6П2

Отметим, что система (0.11) не принадлежит классу систем, рассматриваемых в главе 2 (см. условие (0.7")). Точнее, в системе (0.11) Ък(х,и,их) = i т. е. b(x,u,p) ~ |р|2, |р| +оо; система (0.11) является сильно нелинейной и не подчиняется условию (0.7").

При дополнительном предположении гельдеровости элементов матрицы Л(х, и) по переменным х и и в х RN мы докажем частичную непрерывность по Гельдеру первых производных минимайзера и для (0.9) на множествах fii П Dq и (О2 U Г) П Do

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Ким Е. И. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений и некоторых задачах теплопроводности для кусочно-однородных сред. Матем. ин-т им. В. А. Стеклова АН СССР, докторская дисс., 1956.

2. Самарский А. А., Уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами. Доклады АН СССР, 121 (1958), 225-228.

3. Олейник О. А. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа. Матем. сб., 30 (72): 3(1952), 695702.

4. Ладыженская О. А. О решении общей задачи дифракции. ДАН СССР 96, 1954, 433-436.

5. Ладыженская О. А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными. УМН, 12, 5(77), 123 (1957).

6. Ладыженская О. А., Солонников В.А. Труды математического института им.В.А.Стеклова, 59, 115(1960).

7. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. Гостехиздат, М., 1953.

8. Олейник О. А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типов с разностными коэффициентами. Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1961, т.25, № 1, 3-20.

9. Олейник О. А. Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами. ДАН СССР, 1959, т.124, № 6, 1219-1222.

10. Ильин В. А., Шишмарев И. А. Метод потенциалов для задач Дирихле и Неймана в случае уравнений с разрывными коэффициентами. СМЖ, 1961, т.2, № 1, 46-58.

11. Ладыженская О. А., Уральцева Н. А. О разрешимости "в целом"краевых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений и уравнений Навье- Стокса. Тр. IV Всесоюзн. матем. съезда 1961 г., 1963, т.1, 134-157.

12. Ладыженская О. А., Уральцева Н. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

13. Ладыженская О. А., Ривкинд В. Я., Уральцева Н.Н. О классической разрешимости задач дифракции. Труды МИАН им. В. А. Стекло-ва, 1966, т. 92, 116-146.

14. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Краевая задача для линейных и квазилинейных параболических уравнений, ч. 1. Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1962, т. 26, N£ 1, 5-52.

15. Борсук М.В. Априорные оценки и разрешимость квазилинейных эллиптических урванений второго порядка в составной области с нелинейными краевыми условиями и условиями сопряжения, ДАН АН СССР, 1967. Том 177, N 5.

16. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., 1973.

17. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1967, 736 с.

18. Е. De-Giorgi, Sulla differenzialita е l'analiticita delle estremali degli integrali multipli regolari, Met. Acc. Sci. Torino 3(1957), 1-19.

19. Troianielo, Elliptic Differential Equations and Obstacle Problems, N.Y., 1987.

20. Giaquinta M., Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems, Ann. of Math. Studies, no. 105, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1983.

21. A. Canfora, Teorema del massimo modulo e teorema di esistenz per il problema di Dirichlet relativo di sistemi fortementea ellittici. Ricerche diMat. 15 (1966).

22. M. Giaquinta, G. Modica, Local existence for qusilinear parabolic systems under non-linear boundary conditions. Ann. Mat. Рига Appl. 149 (1987), 41-59.

23. Архипова А. А. Частичная регулярность решений квазилинейных эллиптических систем при негладком условии на конормальную производную. Мат. сборник 184(1993) 2, 87-105.

24. Архипова А. А. О регулярности решения задачи Неймана для квазилинейных параболических систем. Изв. РАН. Сер. Матем. 58(1994), №5.

25. S. Campanato, Equazioni ellittiche del secondo ordine e spazi Ann. Mat. Pure Appl. 69(1965) № 3, 321-392.

26. Осман Эль Хамахми. О регулярности решения задачи с условиями сопряжения для недиагональной квазилинейной эллиптической системы. Сб. Проблемы Матем. Анализа, вып. 24. Теория функций и приложения. Изд-во: Тамара Рожковская, Новосибирск (2002), 247-260.

27. S. Agmon, Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, Van No-strand Math. Studies, Van Nostrand Princeton, N.J.

28. S. Campanato, A Maximum Principle for Non-linear Elliptic Systems: Boundary Fundamental Estimates, Advances in Math. 66, 291-317 (1987).

29. M. Giaquinta and E. Giusti, On the regularity of minima of variational integral. Acta Math. 148 (1982), 31-46.

30. Morrey С. В., Multiple integrals in the calculus of varitaions, SpringVerlag, New York and Heidelberg, 1966.

31. Giaquinta M. and Ivert P., Partial regularity for minima of variational integrals, Arkiv for matematik N 2, 25 (1987), 221-229.

32. Giaquinta M. and Giusti E., Differentiability of minima of nondif-ferentiable functional, Invent. Math. 72 (1983), 285-298.

33. Giaquinta M. and Modica G., Partial regularity of minimizers of quasiconvex integrals, Ann. Inst. H. Poincare' Anal. Non Lineaire 3 (1986), 185-208.

34. Fusco N and Hutchinson J., Partial regularity for minimisers of certain functionals having nonquadratic growth, Annali di Matematic pura ed applicata (Iv). vol. CLV (1989), pp. 1-24.

35. Акрамов Т. А. Дифференциальные уравнения и их приложения в моделировании физико-химических процессов. Изд-во Башкирского унта. Уфа, (2000). 200 стр.

36. Архипова А. А. Регулярность обобщенных решений краевых задач для линейных уравнений и систем эллиптическоо типа: Учебн. по-соб. Изд-во СПбГУ, СПб., 1998.«,