Исследование регулярности обобщенных решений краевых задач для эллиптических нелинейных систем уравнений высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРВУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

(Б

5 АЛДОХИНА Виктория Никол

аевна

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1990

Работа выполнена в Санкт - Петербургском государственном университете.

Научный руководитель — кандидат физико- математических наук, доцент АРХИПОВА Арина Алексеевна.

Официальные оппоненты — доктор физико- математических наук, профессор БЕЛОПОЛЬСКАЯ Яна Исаевна;

кандидат физико- математических наук, доцент ЧЕЛКАК Сергей Иванович.

Ведущая организация — Санкт - Петербургское отделение математического института им.В. А. Стеклова РАН.

Защита состоится *1996 года в часов на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт - Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт - Петербург, Петродворец, Библиотечная пл., д.2. Математико-механический факультет.

Ауд. 4526.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт - Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт - Петербург, Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан ¿С&Л^'Я 1996

года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 063.57.30

Ю.А.Сушков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема регулярности обобщенных решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка к настоящему времени изучена достаточно подробно, начиная с работ С. Н. Бернштейна и далее в работах Г. Леви, Э. Хопфа, Ю. Шау-дера, Де Джорджи, М. Миранда, Ч. Морри, О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой и других известных математиков.

Для обобщенных решений нелинейных уравнений высокого порядка и систем уравнений известно, что решение, вообще говоря, не будет гладким в Я, даже если функции образующие задачу достаточно гладкие. Примеры таких уравнений и систем были построены в конце 60-х годов в работах Де Джорджи, Э.Джусти и М.Миранда, В.Г.Мазьи. В то же время из известной работы С.Агмона, А.Дуглиса, Л.Ниренберга следует, что гладкость любого С"1—непрерывного решения нелинейной системы уравнений порядка 2т, т ^ 1 будет улучшаться в П при повышении гладкости функций, образующих систему.

Таким образом, возникает вопрос: какие нужно сделать дополнительные предположения, чтобы доказать принадлежность обобщенного решения пространству Ст. В работах И.В.Скрыпника была згстановлена априорная минимальная гладкость обобщенного решения, обеспечивающая его С"1 — непрерывность. В работах А.И.Ко-шелева и С.И.Челкака выделен класс эллиптических нелинейных систем уравнений, обобщенные решения которых принадлежат пространств}' Гельдера С'",а, а > 0. Этот класс систем уравнений удовлетворяет условию, ограничивающему разброс собственных чисел главной матрицы системы; показана точность условия для систем уравнений второго и четвертого порядков. Регулярность обобщенных решений при специальных соотношениях размерности пространства и порядка системы уравнений исследовалась также в работах И.Нечаса, Фрезе, Т.Тодорова, Видмана и др. авторов.

Итак, в общем случае, в связи с указанными выше примерами, можно ожидать регулярности обобщенных решений нелинейных систем уравнений только на множестве О0 полной меры в П. На-

чало изучению частичной регулярности было положено Ч.Морри (1908 г.), который доказал, что множество особенностей решения £ = Г2\Оц замкнуто в П и ?пеавпЕ — 0. Дальнейшее исследование по изучению частичной регулярности и уточнению размерности £ проводилось в работах Э.Джусти, М.Миранда, М.Джаквинта, Д.Модика, С.Кампанато, Р.Каннарсаи др.

Частичная регулярность обобщенных решений краевых задач в окрестности границы исследована в меньшей степени. Основные результаты относятся к исследованию регулярности решения краевых задач для нелинейных систем уравнений второго порядка. Для этих систем установлена частичная регулярность решений при различных краевых условиях: при условии Дирихле (Коломвини), с однородными условиями Неймана (М.Джаквинта и Д.Модика), с негладкими условиями на конормальную производную, а также при более общих краевых условиях ( в работах А.А.Архиповой). Для квазилинейных систем уравнений порядка 2т, т > 1 А.А.Аракчеевым изз'чена частичная регулярность обобщенных решений задачи Дирихле.

Таким образом, для квазилинейных систем уравнений высокого порядка оставались неисследованными вопросы регулярности обобщенных решений задачи Неймана, а для нелинейных систем уравнений - задач Дирихле и Неймана.

Цель работы. Исследование частичной регулярности обобщенных решений задач Дирихле, Неймана и некоторых их обобщений для эллиптических квазилинейных и нелинейных систем уравнений высокого порядка. Установление оценки размерности множества особенностей решения.

Методика исследования. При исследование регулярности обобщенных решений важным этапом является установление повышения степени суммируемости производных обобщенного решения (Ьр-оценка). При выводе Ьр- оценки используется некоторая модификация леммы Геринга. Эта лемма позволяет утверждать повышение степени суммируемости функции, удовлетворяющей так называемым "обратным неравенствам Гельдера". Модификация леммы

Геринга используемая в работе доказана А. А. Архиповой. Она позволяет включать в "обратные неравенства Гельдера" интегралы по многообразиям меньшей размерности.

При доказательстве частичной регулярности обобщенное решение исследуемой краевой задачи сравнивается с решением некоторой модельной (линейной или нелинейной) задачи. Изучение регулярности обобщенных решений как модельной, так и исследуемой краевых задач проводится в шкалах пространств Морри и Кампана-то. Результаты о гельдеровости решений и их производных следуют из свойств этих пространств.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации для эллиптических нелинейных систем уравнений установлена принадлежность решения и £ Н^'^П) пространству 1Гр"(Г2) с некоторым р > 2. Для уравнений с квазилинейной главной частью доказана регулярность обобщенного решения краевой задачи в области По открытой относительно Г21) . Дана оценка множества особенностей 5] = в терминах хаусдорфовой меры, точнее до-

казано, что мера хаусдорфа множества Е размерности п — р, р > 2 равна нулю (Лп_р(Е) = 0). Для нелинейных систем уравнений исследование частичной регулярности проведено для малых размерностей п ^ 4. Для п = 3,4 установлено, что и 6 Сш_1,а(По) с некоторым а > 0, причем Я„_р(Е) = 0, р > 2. В плоском случае доказано, что и £ С"1'а(П). Все эти результаты являются новыми. Они имеют теоретический характер и могут быть использованы при изучении краевых задач для нелинейных систем уравнений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры математической физики СПбГУ (руков. проф. Н.Н.Уральцева), на семинаре по нелинейным задачам математической физики кафедры высшей математики N1 СПГЭТУ (руковод. проф. В.М.Чистяков).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы

'V х° е По з У(х°) : У(х°) П П С По

в работах [1] — [3].

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Работа содержит 108 страниц текста. Библиография — 53 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Постановка задачи. Пусть О- ограниченная область в Яп класса С'",т ^ 1,71 ^ 2 с границей Г. а, /3, и- мультииндексы с п неотрицательными компонентами, а; = (ах, «2) ■ ■ ■ , ап), Ы = а\ + + ■ • ■ + Обозначим через (р, д)- вектор такой, что р = {р? : |а| < т,г — 1,...7У}, ч = {др : |а| = т,( = 1,...,ЛГ}, р?, д? е Я, р € Як, к = N■(n^-í), чеп°,в = ("+;;г1), (п+;г1)- число сочетаний из л + 7/1—1 элементов по т.

Пусть и : П Я1". Обозначим = 5и =

{■0"и,-} при \у\ < 771, г = Би = при |т/| ^ т,

I = 1,..., N; = при = /, г = 1,... , ./V. Заметим, что

Ии = (<5и,£>(га)и)- Определим пространство = \¥£1{П,ЯМ)П

\¥12{П,Я"), 0 < I ^ т.

Пусть (¡»ункция и £ удовлетворяет равенств}'

N

В[и,ф] = ^ Е {Л°{х,Ви) + а?{х,5и))Оаф{(1х +

¿=1 |а|=тп

N N т-1 г.

+ Е Е / Ь?[х,Пи)Оаф^х - ЕЕ_/ = 0 (1)

г = 1 |а|<т^ 1 = 1 к=1 р

Уф £ где и = п(х)- нормаль к границе Г в точке х, внешняя

по отношению к П. (Если I — т, то сумма граничных интегралов отсутствует).

Предположим, что функции А"(х,р,д) непрерывно дифференцируемы по д и удовлетворяют при всех х £ Яп, р £ Як, ц £ Я0 неравен-

ствам:

N

__i( )• II /II ^ _ iliiri'l' 11 /М

(2)

E E

0 = 1 |o|,|/9| = m dlh

дл?{х,р,ч)

dqf

где i/0 = const > 0, f e 7?°, L = const > 0, i, j = 1,... , iV, |a| = |/3| = ?n. Дополнительные условия на функции Af(x,Du), а также условия на af(x,5u), bf{x,Du), Ф¡(х,5и), сформулированы ниже (см. (5)-(12)). Они гарантируют, что все интегралы в (1) имеют смысл и конечны.

Форме В из равенстпа (1) на пространстве V(il) можно сопоставить эллиптический оператор Л = (Лх,... , Л/v) порядка 2т такой, что

Л,-и = £ {-l)^D°(Af(x,Du)+af{x,6u)) + £ (-l)HDQbf{x,Du).

|a| = m |a|<m

Набор естественных краевых условий {./Vf}^!/ при г = 1,...,ДГ определяется по форме В и оператору Л следующим образом: для гладких функций и,ф после интегрирования по частям в (1) имеем:

N „ N 771—1

в[и,ф) = Е AiU■ &dx + ЕЕ D'2m~k~lu)

i=l ^ ¿=1 k=l

Тогда из равенства В[и, ф] = 0 выводим краевую задачу для функции и:

{-l)lalDn{A°{x,Du)+a°(x,Su)) + ^ {-l)l"lDabf{x, Du) = 0 в tt,

|q| = 771 |a|<77l

(3)

Nf{x, и,... , D-m~k~lu) = 5 и) на Г при к = /,..., т - 1,

дкщ (4)

^ ,' = 0 на Г при к = 0,... ,1 — 1 On"

i = 1,... ,N. При I = т задача (3)-(4) является задачей Дирихле. При I = 0 эту краевую задачу можно рассматривать как обобщение задачи Неймана на случай систем уравнений высокого порядка; если форма В[и, ф]- есть первая вариация некоторого функционала,

то условия (4) являются естественными краевыми условиями. Явный вид операторов А^' в общем случае на "распрямленной" части границы будет выписан в ниже (см. (13)).

Обобщенным решением краевой задачи (3)-(4) назовем функцию и £ удовлетворяющую равенству (1) для всех ф £ У(С1).

Будем считать, что для данных задачи выполняется условие (2), а также:

функции А°(х, Би), и?(х,5и), Ь?(х,Ои) измеримы в при всех и £ ^"(П, Д^) и для всех х € Л", р 6 Пк, </ £ Я0 удовлетворяют неравенствам:

\А?{х,р,д)\£ Е \^\Г[Р}/2+ £ |л?Г(/Ч/2)+/«(*), при |а| = тп,

3 = 1 |/3| = т |/3|<т

(5)

N

К(х,р)\ < £ \1>з \Г(0>/2 + П1Ш И = 'п>

3 = 1 |/3|<т

N

\ЬГ(х,р,д)КА^( £ |^Г(0/3)+ £ IР?1г(а'0))+Ш, при |а|<т,

3 = 1 \0\ = т |/?|<т

(6)

где

{любое кс

< _2п_

^ 71-2(41-

конечное число, если т — \(3\ ^ п/2, -если т - |/3| < п/2; (?)

г(а,(3)

любое конечное число, если т — |/3| ^ п/2,

< п-2?т-\0\) ' еСЛИ Ш ~ > П/2' ?П _ 1^1 < П/2'

< „-2(т'-|Д|) . еСЛИ Ш - N = П/2> Ш - < "/2,

п-2(т- ■101)

1 п

71 —2(т — т

71 + 2(711- н>

(8)

,,-2(т-|/3|) > v-v"11" ^ "/ 1/1 ^ / i

функции /а принадлежат пространствам Lfc(>(f2), где

> i + ССЛИ7/1 - |q| < л/2, k« { > f' если m - |а| = п/2, (9)

> если т — |а| > п/2.

1{к,/3){

(И)

Функции Фк(х,5и) измеримы на Г при всех и £ П7^'1^-^) 11 Для всех а; 6 Л'1-1, р € Як удовлетворяют следующим ограничениям:

N

\ФН*,1>)\ ^/'Е Е 1р?1'(М) I < к < т - 1, (10)

|/3|<ш

где

любое конечное число, если т — |/3| ^ »/2, ^ ,,Д",7-|Л|)' ссли)/( - к > л/2, ?и - И < л/2, < „Д',■ - А; = 71/2, ?» - \р\ < п/2,

^ ".-^("»"-¡^У ' еслиш - к < п/2, т - \(3\ < п/2; (функции ук{х) принадлежат пространствам Г), где

!> если 777 - к < п/2,

>77 — 1, если 771 — к = п/2, (12)

> Т5", если 771 — /с > 77/2.

Условия роста (5)- (12) функций, образующих задачу принято называть контролируемыми пли естественными условиями роста.

Заметим, что краевые условия ТУ/1" на плоской части границы = {х'„ = 0} имеют вид

Л^ее ^ (-1)т+кОа~(к+1]е"{А?{х,Пи) + а?{х,5и)) + (13)

|а| = т а„^к+1

+ У" {-1)1а1+кОа-{к+1)е"Ь°{х,Ои) = Фк{х,5и) на Гь

Е

к = /,..., 777 — 1; здесь е„- единичный п— мерный вектор с координатами (0,... ,0,1).

Работа состоит из трех глав. Первая глава работы посвящена установлению повышения степени суммируемости производных решения вида В^'^и (Ьр- оценка). В этой главе предполагается, что для функций, образующих задачу (3)-(4) выполнены более слабые

ограничения, а именно, пусть для Af(x,Du) верно неравенство (вместо условий (2)):

£ £ At(x,Du)D°Ul>v\D^uf- А£ £ |D4|p(W - £ ^

1 = 1 |а| = ш 1=1 |/3|<m |а| = т

(14)

где v > О, Л ^ 0 постоянные;

для функций Af(x,Du), а°(х,8и), bf(x,Du) выполняются условия (5)-(8), где показатели ка таковы, что

Г > n+2(m-M)' еслит - |а| < п/2,

ка { > 7TF2' ссли т ~ 1а1 = »/2. (15)

I > 1, если т — |а| > п/2;

¿1 функции Ф'¡(.г, 5 и) удовлетворяют ограничениям (11), (12) с показателями

^ 2(п — 1) 1 ^ /г,

> „+2 ,„-fc-i). если 7» - к < п/2,

ilk <

n+2(m-k-l) '

> если т~к = п/2, (16)

. > 1, ссли т — к > п/2.

В §2 доказана следующая

Теорема 1.2.1.2) Пусть и £ И7™^)- обобщенное решение задачи (3)-(4). Предположим, ■что для данных задачи выполнены условш (14)— (16). Тогда существует число р > 2 такое, что и £ 1У™(Г2).

Эта часть работы является наиболее трудоемкой. Громоздские доказательства интегральных неравенств вынесены

отдельно в §§3,4. Отметим, что из теоремы 1.2.1 следует, что если размерность п = 2(т — s) (s- целое положительное число), то решение и задачи (3)-(4) принадлежит пространству Cs,7(i2) с показателем 7 = т — s — п/р, в частности, для п = 2 имеем и £ C'm-1'7(fi), 7 = 1 — 2/р. При доказательстве теоремы получена явная оценка Lp нормы и через норму и в пространстве W™ и известные нормы функций /и, (jk- Эта оценка существенно используется при

2В работе принята тройная нумерация. Первая цифра означает номер гла-

вы, вторая - номер параграфа, третья - непосредственно помер формулы или

теоремы в этом параграфе

доказательстве частичной регулярности решения во второй и третьей главах. Для получения Ьр- оценки мы используем обобщение известной леммы Геринга- Джаквинта- Модика об "обратных неравенствах" Гельдера, содержащих в качестве дополнительных слагаемых интегралы по многообразиям меньших размерностей (теорема 1.1.1), доказанную А.А.Архиповой.

Во второй главе изучается частичная регулярность обобщенных решений (3)- (4) для квазилинейных систем уравнений:

N

А?{1:,!)«) = ^ ^ при |о| = т. (17)

7=1 |/Э| = 1/.

Основной результат второй главы содержится в теореме 2.3.1.

Теорема 2.3.1. Пусть функция и £ ^"'(П) является решением задачи (3)-(4) при условии (17). Предположим, что А"?(х,р) равномерно непрерывны на Г2 х В.к и

\А°-3(х,р)\ ^ Ь при всех х £ И,р £ Пк,

N

Е Е > »0 = СОП81 > О,

для любых р £

Я", £ £ П^; для функций а выполняются условия (6)- (12). Тогда существует множество О0 открытое в П такое, ■что и £ С'т_1,а(По), где число а > С) зависит от 71, 777, ка, при этом //п_;Ди\Пц) = 0 с некоторым р > 2.

Для удобства чтения доказательство вспомогательных предложений вынесено в §4. При установлении частичной регулярности обобщенных решений систем уравнений второго и высокого порядков с квазилинейной главной частью существенно используют теорию линейных эллиптических задач. Изучение дифференциальных свойств линейных краевых задач и вывод оценок типа Кампанато при рассматриваемых в диссертации краевых условиях приводится в §§1,2 этой главы.

В §5 доказано, что решение и принадлежит С"1,а(По) с а > 0 при естественных дополнительных предположениях относительно функций Д?/, о", Ь^, Исследование проводится для размерностей п > 2. Плоский случай рассмотрен в более общей ситуации в треьей главе.

В третьей главе работы исследуется частичная регулярность обобщенного решения нелинейной краевой задачи (3)-(4) при малых размерностях. В §§1,2 рассматривается нелинейная модельная краевая задача для функции v 6 Н^'Ч-®/") (где ^t полушар {|л:| < 1,жп >0}):

£ (-1),^0о(Л?(£><",>и)+р?) =0 в В+,

¡а| = ш

£ r>a_(fc+1)c"M"(£>,,n)w)+7°r) = Ф* наГь /„• = /,... 1

|о|=ш

^¡L =() на Г! = {И < I,*,. =0}, к = 0,...,1-1.

• Vх и

i = 1,.. . ,N. Здесь фз'нкции Af(q) непрерывно ди(|)ференцируемы по q и удовлетворяют условиям:

£ £ и0= const >0, V* = {£*},

< L, ^ L( 1 + |g|), L = const > 0,

о 0

i, j = 1,... , N, p", Ф^'- постоянные.

В §1 устанавливается существование т+ 1-х квадратично суммируемых производных обобщенного решения для этой задачи, в §2 - выводятся оценки типа Кампанато. Для полноты исследования в §2 доказана частичная регулярность обобщенного решения нелинейной модельной краевой задачи.

В §3 для размерностей п = 3,4 получена принадлежность решения нелинейной краевой задачи (3)-(4) пространству С,ra_1>Q на открытом относительно U множестве По, причем ii„_p(S) = 0, р > 2. Точнее, справедлива следующая:

Теорема 3.3.1. Пусть и £ И'^П) - решение задачи (3)-(4), для данных задачи выполняются условия (2), (5)-(12).

Пусть, кроме того, функции (1 + \q\) 1 A"(x,p,tj) непрерывны по переменным (х,р) G Q х Rk равномерно по q £ R°, точнее, суш,е-етвуетп ограниченная, непрерывная, выпуклая, неубывающая функция сo(t) ^ О, liiii(_)._)_o w(í) = О такая, что

N

1 = 1 |ft|=m

Тогда для п = 3,4 существует множество Qa открытое относительно {} такое, что и 6 Cm-1,Q(íío), z¿)e число а > Ü зависит от п, in, kn, dj; при этом H„-p(ÍI\£Iq)= ü, с некоторым р > 2.

При доказательстве этой теоремы мы используем Lp- оценку (теорему 1.2.1) и полученные в §2 оценки типа Кампанато для решения нелинейной модельной задачи.

В §4 изучается регулярность решения задачи (3)-(4) для п = 2. Заметим, что из теоремы 1.2.1 следует, что и £ Cm-1,7(í2) с показателем 7 = 1 — 2/р. Обозначим через M¡) = inax^y

\Dl3u\ при |/3| < m;

А'д/^ = {D^u £ Rn : \Dl3u\ < М/з}, пусть К есть прямое произведение Л'л/(, но всем \j3\ < т. Доказана

Теорема 3.4.1. Пусть и- обобщенное решение задачи (3)-(4), и 6 Ст-1'7($2), и = 2. Предположим, что функции (1 + (t|)_1 Su, D^'^u) непрерывны по Гельдеру по (х,5и) с

показателем ó > 0, функции af(x,5u) принадлежат пространству Cs(ñ х К), Фк{х, Su) £ Сг(Г х К);

\bf(x,Du)\ < Л(|D<m>u|r(o) + /c»),

где г [а) ^ 2 прит— |а| > 1, г( а) < 2 при |а| = т-^функции /а £ LiCa(Q) с показателями ка > 2, Л = Л(Мр).

Тогда D{m)u £ CCT(íI), а = miii(5,1 - 2/ка при\а\ т - 1).

Отметим, что в плоском случае локальная регулярность внутри области Q обобщенных решений системы уравнений (3) следует из результатов работ С.Кампанато - С'.Каннарса и М.Джаквинта -Д.Модика. Заметим однако, что наше доказательство регулярности не требует установления существования квадратично суммируемых производных решения порядка т + 1. Таким образом, для п = 2 предложен новый способ доказательства регулярности обобщенных решений как внутри, так и у границы области П.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю А. А. Архиповой за постоянную поддержку и помощь при написании данной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Установлена принадлежность решения и £ Ж^П) задачи (3)-(4) пространств}' П";'"(Г2) с некоторым ;; > 2.

2. Для систем уравнений с квазилинейной главной частью доказана регулярность обобщенного решения краевой задачи (3)-(4) в области открытой относительно П. Дана оценка размерности множества особенностей в терминах хаусдорфовой меры.

3. Для нелинейных систем уравнений исследование частичной регулярности проведено для малых размерностей п ^ 4. Для п = 3,4 установлено, что и £ Ст~1,а(£1о) с некоторым а > 0, причем мера хаусдорфа множества особенностей 1ДП0 размерности п — р (р > 2) равна нулю. В плоском случае доказано, что и £ Ст'°(Г2).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Алдохина В. Н. Ьр- оценка производных обобщенного решения задачи Неймана для квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка.// Вестник СПбУ, Сер.1, Вып.2(8), стр.1-7, 1995.

2. Алдохина В. Н. Частичная регулярность обобщенного решения задачи Неймана для квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка.// Вестник СПбУ, Сер.1, Вып.3(15), стр. 9-17, 1995.

3. Алдохина В. Н. О регулярности обобщенного решения задачи Неймана для нелинейных эллиптических уравнений высокого порядка.//Проблемы мат. анализа, Вып. 15, С-Петерб. гос. университет, стр. 3-32, 1995.

Подписано к печати 15.11 Заказ 311 Тираж 100. ЦОП СИГУ. 199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова, 6.