Некоторые квантово-статистические модели в неодносвязных пространствах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

"ГЗ ОД

о' ^ МАР 1333 На правах рукописи

ВИХОРЕВ Александр Андреевич

НЕКОТОРЫЕ КВАНТОВО - СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В НЕОДНОСВЯЗНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Б.И.Садовников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор A.C. Вшивцев, доктор физико-математических наук профессор Е.Е. Тареева

Ведущая организация : Математический институт им. В.А. Стеклова

Защита состоится марта 1998 г. в . час. на заседании Диссертационного Совета К 053.05.18 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова ( г. Москва, Ленинские горы, физический факультет, ауд. С ФА___).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 26" Февраля 1998г.

Ученьтй секретарь

Диссертационного Совета К 053.05.18 д.ф.-м.н.

П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В последние годы топологические понятия активно используются в теории калибровочных полей. Изучение таких известных явлений как эффект Ааронова - Бома, эффект Мейснера и возникновение вихревой фазы в сверхпроводниках, а также исследование, развивающихся в последнее время, суперсимметричных калибровочных теорий, приводит к обобщенной постановке весьма характерной задачи о поведении квантово - статистической системы локализованной в неодносвязном пространстве. Неодносвязпость является топологическим свойством пространства и всегда реально обусловлена существованием внешнего калибровочного ноля.

Оказывается, что модели данного типа обладают общими специфическими свойствами и представляют иптерес для исследования, особенно в областях теории сверхпроводимости и теории суперструн.

А именно, в теории сверхпроводимости общеизвестно разрушительное влияние магно-нонов на сверхпроводящее состояние. Тем не менее, неоднократно проводились исследования, имеющие своей целью выявлепие каких-либо возможностей созидательного влияния магнонов на сверхпроводимость. Интерес к проблеме усиливался в связи с открытием широкого класса кристаллических ВТСП соединений обладающих магпитпой подсистемой.

Магнитная подсистема таких ВТСП кристаллов представляет собой набор упорядоченных цепочек из сонаправленных магнитных моментов, обусловленных, кале орбитальными токами в атомных оболочках, так и собственными магнитными моментами электронов. При этом пространство локализации кристаллической системы оказывается пронизанным трубками магнитного потока, в случае антиферромагнетика магнитные потоки имеют

встречные направления. Иными словами, в терминах геометрии калибровочных полей, пространство локализации кристалла, содержащего магнитную подсистему, оказывается неодносвязным пространством. Следовательно, динамику электронов проводимости, в данном случае, необходимо описывать с учетом неодносвязности пространства. При условии, что неодносвязность обусловлена существованием калибровочного ( электромагнитного ) поля.

Кроме того, неодносвязность пространства локализации сверхпроводящей системы может быть искуствеино создана посредством внешнего калибровочного поля, например, сверхпроводящее кольцо охватывающее внешний магнитный поток заданной величины.

Таким образом, остается открытым очень важный вопрос: какова действительная роль магнонного спектра в образовании фермионного конденсата и в чем заключается то главное условие, при котором эта роль положительна? В поисках ответа на этот вопрос в диссертационной работе исследуется фермион-бозонная система многих частиц, локализованная в неодносвязном пространстве.

С другой стороны, на первый взгляд уже совсем в иной области - в теории суперструн - мы также имеем фермион-бозояную (или спинорно-векторную) систему, во имеющую не статистический, а полевой характер. Спинорные и векторные переменные суперструпы представляют собой систему полей, заданных в пространстве локализации самой струны. Но сами по себе эти три понятия, т.е. струна и ее спинорные и векторные переменные, остаются разрозненными.

Поэтому представляет интерес синтетическое построение, на основании результатов как теории суперструн, так и суперсимметричных теорий Янга-Миллса, такой калибровочной модели суперструны, в которой мировая поверхность замкнутой струны ограничивает поток калибровочного поля и, следовательно, становится топологически нетривиальным обьектом, обуславливающим неодносвязность пространства. И здесь мы снова имеем, теперь уже не фемион-бозонную систему многих частиц, а спинорно-векторную систему полей, заданных в неодносвязыом пространстве и, одновременно, обуславливающих его неодносвязность.

Целью работы является

развитие математических методов исследования динамики квантово-статистических и полевых систем в неодносвязных пространствах.

Научная новизна

В диссертации впервые применен метод компенсации "опасных" диаграмм Н.Н.Боголюбова для исследования сверхпроводящей системы с учетом электрон-бозонных взаимодействий обусловленных магнитными моментами электронов проводимости. Ранее метод компенсации Н.Н.Боголюбова применялся только к системам описываемым гамильтонианом Фрелиха. Но гамильтониан Фрелиха учитывает только взаимодействие бозон-ных возбуждений с суммарной плотностью электронов проводимости. Таким образом, из двух фундаментальных свойств электрона, таких как заряд и связанный со спином магнитный момент, модель Фрелиха учитывает только одно свойство - наличие заряда. Маг-питпая подсистема при этом исключается из рассмотрения.

Для того чтобы учесть второе фундаментальное свойство электрона - магнитный момент - необходимо дополнить модель Фрелиха электрон-бозошгым взаимодействием четвертого порядка по фермионпым операторам, что будет соответствовать взаимодействию полей электронной намагниченности. Но тогда надо компенсировать "опасные" диаграммы, описывающие рождение из вакуума не только двух (бивершшш), но и четырех (тетра-вершины) электронных квазичастиц. И вместо одного уравнения компенсации бивершин, решение которого привело, в 1957 году, к теоретическому обоснованию модели БКШ, мы будем иметь систему из двух уравнений. Второе уравнение названной системы - уравнение компенсации тетравершин - оказывается теспо связанпым, с одной сторопы, с магнитной подсистемой самого образца, а, с другой стороны, с наличием внешнего поля калибровочного электромагнитного потенциала, т.е. с неодносвязпостью пространства локализации сверхпроводника.

Далее, в диссертационной работе построена и исследована новая калибровочная модель в рамках теории суперструн. Основная предпосылка предлагаемой модели состоит в том, что мировая поверхность замкнутой струны ограничивает поток калибровочного поля Янга-Миллса, играющего роль векторных переменных суперструны, связанных со спинор-

ним полем преобразованием суперсимметрии. При этом мировая поверхность становится топологически нетривиальным объектом и обуславливает неодносвязность спинорного пространства, которое является пространством локализации струны.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой части диссертационной работы вводится в рассмотрение калибровочная модель в рамках теории сверхпроводимости. Модель описывает фермион-бозонную систему многих частиц, имеющую неодносвязную область локализации и находящуюся во внешнем поле негомотошюго нулю калибровочного вектор-потенциала А . Иными словами, циркуляция поля А по любому замкнутому пути, принадлежащему области локализации системы, постоянна и отлична от нуля. Таким образом, физическим прототипом модели является неодносвязный образец охватывающий внешний магнитный поток определенной величины.

На основе метода Н.Н.Боголюбова, ставится задача совместной компенсации "опасных" диаграмм, соответсвующих рождению из вакуума двух (бивершины) и четырех (тетра-вершипы) электронных квазичастиц.

Гамильтониан модели имеет вид:

Н — На + Н1 + Нч

где

Яо = Е {(£ - еА)2/2т - £Р}(№кк + NIк) + 5>.(£)Ь±Д,

к к,9

-задает спектр невзаимодействующих фермионных и бозонпых возбуждений.

Ях= £ ФЧОМ + тХ^ + э.с.

М,"

-задают электрон-бозонные взаимодействия второго и четвертого порядков по фермион-пым операторам. Здесь

К = *1+< К =¿У-*

, а"к - операторы рождения и уничтожения фермионных возбуждений, , Ьк,, - операторы рождения и уничтожения нормальных мод связанных фонон-магнонных колебаний.

Найден вид унитарного преобразования необходимого для совместной компенсации би-и тетравершин. С помощью унитарных операторов:

и, = ехр{5;1к(а\Ха0+-а0ка1к)} к

и2 = ехр {1/4 £ Хь(а)+а°Ха1у+ - а°а1,«°-*«})}

9

преобразование исходного гамильтониана осуществлялось по формуле:

п = ни^,

где вначале совершается преобразование Боголюбова, а затем преобразование обеспечивающее возможность компенсации тетравершин.

Далее получена система уравнений совместной компенсации "опасных" би- и тетравершин, с учетом вектор-потенциала А , для гамильтониана содержащего электрон-бозонные взаимодействия Н\ и Нг .

Найдено нетривиальное гладкое решение полученпой системы нелинейных интегральных уравнений, для которого энергия одночастичного электронного возбуждения 0 (к) -положительна при всех значениях импульса.

Соответствующий найденному решению эффект должен иметь место в образце с преобладанием магпопного спектра над фононным. Магнонный спектр считается преобладающим, если модель адекватно описывается гамильтонианом электрон-бозонпого взаимодействия, в котором слагаемые квадратичные по фермионным операторам представляют собой не сумму, как в гамильтониане Фрелиха, а разность электронных плотностей с различной равновесной проекцией спина. Такое взаимодействие реализуется в том случае, когда электроны взаимодействуют с магнонами, взаимодействуют посредством собственного

магнитного момента, тогда плотности электронов с различными равновесными направлениями спинов войдут в результирующее взаимодействие с противоположными знаками, т.е.:

тлдпоп к $ а

Наряду с указанными разностными взаимодействиями в общий гамильтониан входят, естественно, и суммарные фононные взаимодействия:

рНопоп , ,

1=1-,

Магнонный спектр (или разностное взаимодействие) будем считать преобладающим над фононным спектром (суммарным взаимодействием), если в уравнении компенсации бивершин результирующее ядро, определяемое выражением:

отрицательно.

Кроме того, магнитная подсистема обуславливает также электрон-бозонное взаимодействие #2 , четвертого порядка по фермионным операторам. Порожденное данным взаимодействием уравнение компенсации тетравершин оказывается особенно актуальным и существенно связанным с первым уравнением, только в том случае, когда дисперсионная зависимость электронов проводимости анизотропна, т.е. при условии:

£(к) ф £{-к).

В настоящей работе , в качестве источника указанной анизотропии , вводится только внешнее ( негомотопное нулю ) калибровочное поле вектор-потенциала А . При этом пространство локализации исследуемой системы становится неодносвязным и неизбежно содержит топологически нетривиальную нить или трубчатую поверхность ограничивающую магнитный поток. Вне трубки потока магнитное поле отсутствует и поле вектор-потенциала А является безвихревым, по его нельзя обратить в ноль с помощью калибровочного преобразования, т.е. любой охватывающий поток замкнутый путь негомотопеп нулю.

Величина вектор-потенциала вне трубки потока определяется требованием его непрерывности па границе потока, как это имело место при описании эффекта Ааронова-Бома.

Фактически, вместо асимметрии направлений импульса к и — к , мы имеем здесь асимметрию напрвлений момента импульса. Например, при рассмотрении системы в которой сверхпроводящий образец представляет собой кольцо, с некоторым поперечным сечением, охватывающее соосный ему длинный соленоид, касательная к окружности кольца компонента импульса является квантовым числом тождественным моменту импульса.

Итак, после устранения, таким образом, неоднозначности вектор-потенциала, энергия электронов проводимости определяется выражением:

£(к) = (к-еА)2/2т-£Р ,

где постоянный вектор еА - определяет смещение Ферми-сферы в импульсном пространстве.

Если теперь применить для описания системы метод Н.Н.Боголюбова без учета тетра-вершин, т.е. "выключить" взаимодействие четвертого порядка Н? , то после канонического (и, и) - преобразования электроных операторов знакопеременная энергия электронов проводимости £(к) - трансформируется в энергию электронных квазичастиц следующим образом:

ак) = е{к)(и1-"1) .

где функция

2 2 "г - "г

- отрицательна внутри Ферми-сферы и положительна вне ее. Иными словами, здесь при всех значениях поля е.А , поверхности £(к) — 0 и (и| —г?) = 0 совпадают. Изменение поля еА вызывает синхронное смещение названных поверхностей так, что эпергия электронных квазичастиц ((к) остается неотрицательной при всех значениях импульса.

Введем два определения:

1. Решения , уравнения компенсации бивершин, для которых сферы £(к) = О и (и| — и|) = 0 совпадают и смещаются синхронно при изменении вектора еЛ , будем называть синхронными решениями.

2. Решения и к, VI, , уравнения компенсации бивершин, для которых сферы £(—к) = О и (и1- — и|) = 0 совпадают и смещаются синхропно при изменении вектора еА , будем называть асинхронными решениями.

Следовательно, в случае асинхронного решения, поверхности £(к) = 0 и —и|) = О смещаются асинхронно и переходят друг в друга при зеркальном отражении относительно плоскости проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору А ,(см. рис.).

Оказывается, что при введении в рассмотрение электрон-бозонного взаимодействия #2 , (четвертого порядка по фермионным операторам) и совместной компенсации "опасных" би- и тетравершин, с учетом внешнего поля А , энергия электронных квазичастиц определяется выражением:

о(к) = (иI - у») т+ш - 1>?у,)2 е(о ,

/

где функции: и¡¡,Ук - выражаются через решение Хкч , уравнения компенсации тетравершин, (второго уравнения системы) . Функции (з(к) и - представляют собой, соответственно, симметричную и антисимметричную части функции:

В отсутствии поля А решение уравнения компенсации тетравершин тривиально:

Пт Хкд = 0.

|А|—»0

Перечисление возможных вариантов решения поставленной задачи компенсации "опасных" диаграмм.

Возможны следующие конфигурации исследуемой модели и соответствующие решения полученной системы уравнений :

{—Преобладающий спектр — ф онониый —Взаимодействие Нх — существует (суммарное) —Взаимодействие Нъ — не существует

Первое уравнение имеет гладкое(сверхпроводящее) и разрывпое(нормальное) синхронные решения. Второго уравнения не существует. Внешнее поле А - вызывает только смещение Ферми-сферы и не влияет на величину энергетической щели отвечающей сверхпроводящему состоянию.

Данный случай был исследовал в оригинальной работе Н.Н.Боголюбова в 1957 году, результат исследования, при сопоставлении с полуфеиоменологической теорией БКШ, явился обоснованием созданного Н.Н.Боголюбовым метода компенсации "опасных" диаграмм в теории свехпроводимости.

{—Преобладающий спектр — магнонный —Взаимодействие Нх — существует (разностное) —Взаимодействие Нг — не существует

Ядро первого уравнения, в силу преобладания магнонпого спектра, отрицательно. Поэтому существует только разрывпое синхронное решение. Второго уравнения не существует. Сверхпроводимости нет.

{—Преобладающий спектр — ф онониый

-Вза имодействие Н1 — существует (суммарное)

— Взаимодействие Н2 — существует

{

В случае преобладания фононного спектра, гладкое и разрывное решения первого уравнения всегда остаются синхронными, а амплитуда решения второго уравнения возрастает с ростом поля А , так что при некотором критическом значении внешнего поля А энергия одночастичного возбуждения (¿(к) - перестанет быть положительно определенной и, следовательно, сверхпроводящее состояние исчезнет. Здесь система уравнений компенсации адекватно описывает существование критического значения тока, так как в сверхпроводнике ток пропорционален вектору А . В остальном данный случай эквивалентен случаю 1

( —Преобладающий спектр — магнониый 4. < —Взаимодействие Н\ —существует (разностное) I —Взаимодействие Н? — существует

Если поле А - превышает некоторое критическое значение, то первое уравнение имеет разрывное синхронное и гладкое асинхронное решения. Первое и второе уравнения, в данном случае, взаимно связаны. Разрывному синхронному решению первого уравнения соответствует тривиальное решение второго уравнения. Гладкому асинхронному решению первого уравнения соответствует нетривиальное решение второго уравнения, имеющее вид прямоугольного импульса (со сглаженными фронтами), сосредоточенного над областью П , импульсного пространства, ограниченной сферой Ферми и зеркально отраженной сферой ( см. рис.).

Энергия одночастичного возбуждения:

я(к) = (и* - VI) £.(*) + т - {(¡) ,

I

при таком решении остается положительно определенной во всем импульсном пространстве.

А именно, функция:

ttk) = (ul-vl)£(k) ,

в случае асинхронного решения для u*, Vh , принимает отрицательные значения в области fi , но в этой области функция:

(u*-v>)<0 ; keil ,

обусловленная решением Хкя , второго уравпения, отрицательна и, следовательно, энергия Q(k) - неотрицательна.

Итак, нами установлено, что при включении в модель Фрелиха электрон-бозопного взаимодействия четвертого порядка и совместной компенсации "опасных" би- и тетравер-шин, при наличии источника анизотропии импульсного пространства, происходит взаимная смена ролей магнонов и фононов. Если в модели Фрелиха сверхпроводящее решение существует только для фононов, а для магнонов существует только нормальное решение, то в исследованной системе би- и тетра- взаимодействий теоретически возможной является ситуация, при которой сверхпроводящее решение существует толко для магпопов, а для фононов - только нормальное.

Но главное различие здесь состоит в том, что во втором случае необходим источник анизотропии импульсного пространства - внешнее поле А , величина которого должна превышать некоторое критическое значение, для того чтобы указанная смена ролей магнонов и фононов имела место.

Если же внешнее поле А выключить, то импульсное пространство станет изотропным, тогда взаимодействие Н2 никак себя не проявляет, решение второго уравнепия тривиально, а решение первого уравпения нормально, и в том же самом образце, с преобладанием магнонного спектра, сверхпроводящее состояние исчезнет даже при сколь угодно низкой температуре. Данный вывод следз'ет из первого уравнения имеющего отрицательное ядро. Здесь мы имеем как раз ту ситуацию, когда магнитная подсистема образца, т.е. его маг-нонный спектр, подавляют сверхпроводимость.

Поэтому физическую гипотезу, возникшую на основании найденных решений, можно сформулировать следующим образом. Для существования сверхпроводимости в образце с преобладанием магнонного спектра над фононным, необходим источник анизотропии импульсного пространства. Таким источником является негомотопное нулю калибровочное

поле вектор-потенциала А , при этом область локализации образца должна быть неодно-связной и непрерывной. Сверхпроводящее состояние в такой системе существует в виде замкнутого тока охватывающего внешний магнитный поток определенной величины.

Кроме того, такие параметры системы как число носителей, уровень Ферми, эффективные константы электрон-бозонных взаимодействий второго и четвертого порядков и сама величина магнитного потока (т.е. поля А ) должны удовлетворять условиям разрешимости системы уравнений компенсации бивершип и тетравершпн.

Во второй части диссертационной работы, в рамках теории суперструн, осуществлен переход от статистической - к полевой формулировке исследуемой модели.

Таким образом, в полевой формулировке предыдущей модели задача о динамике фер-мион - бозонной системы многих частиц трансформируется в задачу о динамике спинорно-векторной системы полей, локализованных в неодносвязном пространстве и , одновременно, обуславливающих его неодносвязность. Для описания динамики системы полей используется регулярное представление алгебры Ли группы движений спинорного многообразия, что позволяет ввести граничные условия для функции состояния на мировой поверхности замкнутой струны. В статистической формулировке модели, в силу использования вторичного квантования и построения вектора состояния в представлении чисел заполнения, последовательное введение граничных условий на цилиндрической поверхности, ограничивающей магнитный поток, не представляется возможным.

Основная предпосылка предлагаемой модели состоит в том, что мировая поверхность замкнутой струны ограничивает поток калибровочного поля Я ига - Миллса, компоненты которого играют роль векторных переменных суперструны и связаны со спинорным полем преобразованием суперсимметрии. При этом мировая поверхность замкнутой струны обуславливает неодносвязность спинорного пространства, которое является пространством локализации струны.

Оказывается, что преобразование суперсимметрии приобретает, в указанной модели, конкретный геометрический смысл. А именно, геометрические размеры струны и определенное внутри ее мировой поверхности калибровочное поле изменяются самоподобно , т.

е. суперсимметрия действия оказывается связанной со свойством самоподобия системы.

Далее, с помощью регулярного представления алгебры Ли группы движений спинор-ного многообразия, найдены ( дифференциальные ) уравнения движения относительно введенной волновой функции , для которых решается задача на собственные функции и собственные значения, отвечающие стационарпым состояниям исследуемой системы.

Требование однозначности функции состояния приводит к целочисленпости потоков компонент калибровочного поля внутри мировых поверхностей замкнутых струп.

Из дифференциальных операторов рождения и уничтожения, являющихся элемептами вышеупомянутой алгебры Ли, построен оператор Гамильтона, определенный в гильбертовом пространстве функций состояния.

Найдены энергетические уровни, соответсвующие стационарным состояниям. Вычислен коэффициент самоподобия системы калибровочное поле - струна. Дается возможная интерпретация результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1. На основе метода H.H. Боголюбова в теории сверхпроводимости исследована сверхпроводящая система, с учетом электрон-бозонных взаимодействий обусловленных магнитными моментами электронов проводимости, локализованная в неодпосвязном пространстве.

2. Получена система нелинейных интегральных уравнений, выражающая условия совместной компенсации электронных диаграмм, приводящих к расходимости в энергетической теории возмущений, и соответствующих рождению из вакуума двух и четырех электронных квазичастиц.

3. Найдено гладкое решение полученной системы уравнений, отвечающее сверхпроводящему состоянию в замкнутом неодносвязном образце охватывающем внешний магнитный поток определенной величины, при условии, что в данном образце магноппый спектр преобладает над фононным.

4. Построена новая калибровочная модель в рамках теории суперструн, обладающая рядом уникальных свойств и приводящая к новой интерпретации преобразований суперсимметрии.

5. На основе регулярного представления группы движений спинорного многообразия найдена система дифференциальных уравнений и оператор Гамильтона, описывающие построенную модель.

6. Найден спектр инстантонных решений полученной системы уравнений, вычислены собственные значения оператора Гамильтона, совпадающие со спектром масс элементарных фермионов с электрослабым взаимодействием.

ПУБЛИКАЦИИ:

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. A.A. Вихорев, М.А. Савченко, Б.И. Садовников

"Эффект обменного усиления в La^CuO^ ".

Вестник МГУ , 1994 , т. 35 , N 3 , с. 51 - 55

2. A.A. Вихорев, М.А. Савченко, Б.И. Садовников

"Коллективные электронные возбуждения в сверхпроводящих системах с четырехфер-мионными взаимодействиями."

Доклады Академии Наук , 1995 , т. 344 , N 1 , с. 36 - 39

3. Е.Р. Алабердип, A.A. Вихорев, М.А. Савченко, Б.И. Садовников

"К методу Н.Н.Боголюбова в теории сверхпроводимости."

Теоретическая и Математическая Физика , 1996 , N 1 , т. 107 , с. 129 - 141

4. A.A. Вихорев, Б.И. Садовников

"Калибровочная модель в теории суперструн."

Вестник МГУ , 1996 , т. , N 5 , с. 3 - 8

5. A.A. Вихорев, М.А. Савченко, A.B. Стефанович

"Эффект обменного усиления в высокотемпературных сверхпроводящих системах."

Доклады Академии Наук , 1994 , т. 338 , N 3 , с. 340 - 343