Спектральные свойства некоммутирующих семейств операторов и квантовые стохастические уравнения в моделях с Ферми полями

Рощин, Роман Альбертович

Спектральные свойства некоммутирующих семейств операторов и квантовые стохастические уравнения в моделях с Ферми полями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Рощин, Роман Альбертович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Спектральные свойства некоммутирующих семейств операторов и квантовые стохастические уравнения в моделях с Ферми полями»

Автореферат диссертации на тему "Спектральные свойства некоммутирующих семейств операторов и квантовые стохастические уравнения в моделях с Ферми полями"

Российская Академия Наук Математический институт имени В. А. Стеклова

На правах рукописи

Рощин Роман Альбертович

Спектральные свойства некоммутирующих семейств операторов и квантовые стохастические уравнения в моделях с Ферми полями

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в отделе Математической физики Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Научные руководитель — член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук И. В. Волович.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

Ведущая организация — Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова.

нии диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д. 8, Математический институт им В. А. Стеклова РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

-. . -Л

Автореферат разослан: 2005 г.

профессор В. И. Манько;

кандидат физико-математических наук В. Е. Тарасов.

Защита состоится У*»^* 2005

года в ' 1 час. на заседа-

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

125SG-70

Общая характеристика работы

Актуальность темы:

В последние годы усилился интерес к исследованию математических вопросов квантовой теории. Необычные свойства зацепленных квантовых состояний, играющих фундаментальную роль в квантовой теории, исследуются начиная с 1930-х годов в работах А. Эйнштейна, Б. Подольского, Н. Розена, Э. Шредингера, Д. Белла, Д. И. Блохинцева и многих других. Математические основы квантовой теории были заложены в работах Фон Неймана.

Важно, что в последние годы проводятся также активные экспериментальные исследования квантовых эффектов (атомы в ловушках, квантовые точки). Многообещающими представляются работы по квантовым компьютерам и квантовой криптографии. Так, в 1981 г. Р Фейнман (R. Feynman) предложил использовать существенно квантовые явления для совершенствования вычислительных методов. В 1985 г. Д. Дойч (D. Deutsch) предложил одно из определений математической модели квантового компьютера. В рамках предложенной вычислительной модели (и развивающих её моделей) были достигнуты значительные результаты. Так, П. Шор (P. Shor) предложил быстрые (полиномиально сложные) алгоритмы дискретного логарифмирования и разложения числа на простые множители; лучшие же классические алгоритмы решения этих задач имеют экспоненциальную сложность. Различные эффективные квантовые алгоритмы были предложены и изучались А. Китаевым , Л. Гровером (L. К. Grover) и многими другими авторами. В работах А. С. Холево , Г. Г. Амосова, М. Городецки (M. Horodecki) , П. Городецки (P. Horodezki) и многих других авторов были изучены свойства квантовых каналов связи. В работах Ч. Беннета (Ch. Bennett), Ж. Брас-сарда (G. Brassard), H. Гизина (N. Gisin) и других были раз-

РОС. НАЦИОНАЛ' Н-БИБЛИОТЕКА

работаны и изучались протоколы квантовой криптографии.

Достижения квантовой теории информации усилили интерес как к математическим аспектам основ квантовой теории, так и к проведению более совершенных экспериментов. Теоретические аспекты проблемы и их связь с квантовой теорией информации изучались в работах И. В. Воловича, В. И. Мань-ко , В. А. Андреева , В. Е. Тарасова , JI. Аккарди (L. Accardi) и других авторов. Были поставлены эксперименты, посвященные проверке неравенств Белла: А. Аспект (A. Aspect) , В. Титтель (W. Tittel) , А. Цейлингер (А. Zeilinger) и многие другие.

Разработаны и практически реализованы некоторые алгоритмы квантовой криптографии, такие как протокол А. Эк-керта (А. К. Eckert), основанный на невозможности представления квантовых корреляций математическим ожиданием классических случайных величин. И. В. Воловичем были исследованы корреляции зацепленных квантовых состояний с учётом зависимости от пространственных переменных и получено модифицированное уравнение Белла, которое изучается в данной работе.

Большое значение имеет практическое применение результатов квантовой теории информации, то есть построение реальных устройств, реализующих математические модели квантовых вычислений и квантовой криптографии. В рамках нескольких подходов построены прототипы квантовых вычислительных устройств. Однако проблема масштабирования этих устройств не решена, и её быстрого решения не ожидается.

Очевидно, что методы анализа динамики открытой квантовой системы во внешних полях важны для практического построения моделей квантовой теории информации.

Метод стохастического предела - эффективный инструмент анализа открытых квантовых систем. Динамика квантовых систем на временах, больших по сравнению с 1 /А2, где Л - кон-

станта связи, изучалась в многочисленных работах, начиная с работ H.H. Боголюбова, JI. ван Хова, И. Пригожина. В работах JI. Аккарди (L. Accardi), Ю.Г. Jly (Y.G. Lu), И.В. Воловича был разработан метод стохастического предела, позволяющий стандартным образом получать уравнения, описывающие такую предельную динамику.

Метод стохастического предела позволяет изучать динамику квантовой системы, взаимодействующей с окружением, в специальном предельном режиме (стохастическом пределе, пределе слабой связи): константа связи А —> О, время t оо, так что f/A2 = т = const, или, другими словами, динамику системы в перемасштабированном времени т.

При этом оказывается, что предельная динамика системы описывается уравнениями с квантовым белым шумом, или квантовым стохастическим уравнением. Достоинство метода состоит в том, что в таком режиме физически существенные особенности динамики рассматриваемой квантовой системы, такие, например, как распад квантового состояния, сохраняются, а (причинно нормально упорядоченные) уравнения, определяющие эту динамику, становятся интегрируемыми. Результаты исследования систем, взаимодействующих с Бозе полем, полученные с помощью метода стохастического предела в работах JI. Аккарди, И. В. Воловича, С. В. Козырева, К. Имафуку (К. Imafuku), А. Н. Печеня и других авторов, весьма успешны. Метод стохастического предела применялся для уменьшения декогеренции в модели квантового компьютера путем контроля параметров этой системы. Математические аспекты метода стохастического предела исследовались в работах О. Г. Смолянова, А. М. Чеботарева и других авторов.

Темой настоящей диссертационной работы является исследование двух математических проблем, связанных с фундаг ментальными проблемами квантовой теории и квантовой теории информации: во-первых, свойств квантовых корреляци-

онных функций некоммутативных семейств операторов, во-вторых, квантовой динамики открытых систем, взаимодействующих с полем Ферми. Актуальность этой темы следует из вышесказанного: практической значимости исследований фундаментальных проблем квантовой теории, применений в квантовой теории информации и их современного развивающегося состояния.

Цель работы:

Построение необходимых и достаточных условий представимости корреляционных функций некоммутирующих семейств операторов; изучение динамики открытых квантовых систем, взаимодействующих с полем Ферми, в стохастическом пределе.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Показано, что задача представления квантовых корреляционных функций некоммутативного семейства операторов с дискретным спектром классическими корреляционными функциями эквивалентна задаче линейного программирования, и установлены необходимые и достаточные условия её разрешимости.

2. Построены случайные процессы, равномерно приближающие решение модифицированного уравнения Белла с точностью б < 0.0086 в интервале параметра 2/7Г < г < 1/^2-

3. Получена и изучена квантовая корреляционная функция операторов проекции спина для системы двух дирковских фермионов, находящихся в синглетном состоянии, с учётом пространственной зваисимости, в частности, вычислена 1-ая релятивистская поправка.

4. Изучены уравнения квантовой динамики двухуровневой системы, взаимодействующей с полем Ферми, в стохастическом пределе. Метод решения уравнений такого типа, известный для систем, взаимодействующих с полем Бозе, обобщён для случая системы, взаимодействующей с полем Ферми. В результате применения этого метода получено явное решение для усреднения оператора эволюции по вакуумному состоянию поля Ферми.

5. Проведено исследование перенормированных степеней поля квантового белого шума. Показано, что перенормированные степени поля белого шума стремятся, в смысле корреляторов, к новому полю белого шума.

Методы исследования: В диссертации используются методы функционального анализа, теория обобщенных функций, метод стохастического предела, теория операторов, метод линейного программирования, теория квантовых случайных процессов.

Теоретическая и практическая ценность:

Настоящяя работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в главе 1, в том числе могут быть использованы для анализа надёжности систем квантовой криптографии. Результаты главы 2 могут быть использованы для сравнения с экспериментальными данными о корреляции спинов высокоэнергетических Ферми частиц. Результаты главы 3 могут быть использованы для анализа характеристик открытых квантовых систем, взаимодействующих с Ферми полями, например времен когерентности носителей квантовой информации; а также при исследовании стационарных неравновесных открытых квантовых систем, например, электрической проводимости наносистемы. Результаты главы 4 обосновывают необходимость использования альтернативных методов пере-

нормировки степеней белого шума (таких, например, как перенормировки коммутационных соотношений).

Апробация работы: Результаты работы докладывались автором на конференции молодых ученых МГУ, 2001, на международной конференции "Foundation of Probability and Physics - 2", Векше (Швеция), 2002, на международной конференции "Classical and Quantum Levy Processes: Theory and Applications", Левико Терме (Италия), 2003, на семинарах отдела математической физики Математического Института им. В.А. Стекло-ва, на международной конференции "Open Quantum Systems", Вена (Австрия), 2005.

Публикации: Основные результаты, перечисленные выше, опубликованы в работах [1, 2, 3, 4].

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 117 страниц. Библиография включает 73 наименования.

Содержание работы

Во введении формулируются цели исследования, а также описывается структура диссертационной работы.

В главе 1 построены необходимые и достаточные условия представимости квантовых корреляционных функций классическими корреляционными функциями, а также построено решение, равномерно приближающее решение модифицированного уравнения Белла.

Зафиксируем некоторый набор наблюдаемых А„ - самосопряжённых операторов в конечномерном гильбертове пространстве Н, где v принадлежит некоторому множеству индексов Т. Пусть множество индексов Т также конечно. Обозначим серез Р(Т) множество всех подмножеств Т, так что

элемент s £ Р{Т) есть подмножество Т: s = {vi,..., щ}. Определим также:

V := {s G Р(Т)| [А„, АД = О to, ц € а}

Состояние \ф) квантовой системы описывается квантовыми корреляционными функциями наблюдаемых. Рассмотрим следующую проблему, поставленную И. В. Воловичем в связи с исследованием корреляционных функций зацепленых состояний:

Проблема 1. Существуют, ли вероятностное пространство (П, Т, Р) и семейство случайных величин £„ : fi Spec Av, такое что Vs € V выполнено равенство:

{xl>\AVlA^...AVk\ip) — Е • • •

Здесь Е - математическое ожидание классической случайной величины.

Известная теорема фон Неймана утверждает, что в том случае, если все операторы А„ попарно коммутативны, то представление такого вида существует. Известный пример Белла показывает, что существует (попарно некоммутативное) семейство наблюдаемых и состояние, в котором квантовые корреляции непредставимы классическими.

В диссертации показано, что справедлив следующий основной результат (Теорема 1.4.2):

Теорема 2. Решение указанной проблемы существует если и только если

Gmm ii 1 ^ Gmax

Определим входящие в формулировку теоремы обозначения. Для упрощения обозначений предположим, что Spec Аи = {eVtQ, е^д}. Это предположите не затронет существа основного результата.

Здесь Стт = тшС(о|), йтах — тахС(а)), О - область в шбо шеО

К2'*, N - количество элементов в Т, - линейная функция. Для точного определения области О введём обозначения для компонентов точки и € К2". А именно, будем нумеровать компоненты или одним индексом, пробегающим набор 2м значений: и = (а;*), £ = 1,..., 2м, или набором из N индексов: ш = (ш^...^), где каждый индекс принимает 2 значения: I, = 0,1. Между одним общим индексом £ и индексами 1г устанавливается взаимооднозначное соответствие формулой £ = 1 + Обозначим с^ -

Используя эти обозначения, область О может быть задана как:

I = ^ зеУ )

Функция С? задана как й(и>) :=

Таким образом, приведённая выше теорема позволяет свести проблему представления квантовых корреляционных функций классическими корреляционными функциями к хорошо изученной и конструктивно разрешимой проблеме линейного программирования, т.е. к максимизации или минимизации линейной функции в области, заданной системой линейных уравнений и неравенств (симплексе).

Рассмотрим важный частный случай: модифицированное уравнение Белла, возникающий при рассмотрении операторов проекции спина в пространственных областях.

Задача 3 (модифицированное уравнение Белла). При каких О < г < 1 существуют такие вероятностное пространство (С1, Т, ц) и семейства случайных величин

е.,1»»:П->{-1,+1}, (1)

что

Е£а = Ещ = 0 (2)

Е£аг)0 = гсоз{а-Р) (3)

Решение этой задачи являлось первоначальной целью исследования. Известно, что при г > 1/\/2 модифицированное уравнение Белла не имеет решения, а при г < 2/тг решение может быть явно построено. Модифицированные уравнения Белла возникают как важный частный случай Проблемы 1 при специальном выборе состояния и наблюдаемых. Эти вопросы исследовались Б. Ларсеном, С. В. Бочкаревым, Д. В. Прохоренко и другими авторами.

Рассмотрим теперь случай, когда индекс и б Т пробегает непрерывное множество значений (например, Т - отрезок). Определение Проблемы 1 естественным образом обобщается на такой случай. Сформулированная в диссертации Теорема 1.5.2 придаёт точный смысл возможности исследования общей, "непрерывной" Проблемы 1 путем её дискретизации и сведения к семейству дискретных проблем. Показано что дискретизации непрерывной Проблемы 1 позволяют построить решение, равномерно приближающее-решение исходной проблемы, в следующем смысле:

Определение 4. Будем говорить, что вероятностное пространство (О, Т, ¡л) и семейства случайных величин

&,»>/» :П-+{-1,+1} (4)

равномерно приближают решение модифицированного уравнения Белла с точностью не менее е, если для всех а, /3 выполнены неравенства:

|££«|<е, \Ещ\<е (5)

\ЕЬщ~гсов(а-/?)[< 6 (6)

Теоремы 1.4.2,1.5.2 и результаты численных расчетов, проведенных на основе этих теорем позволяют утверждать, что:

Утверждение 5. Существуют семейства случайных величин, равномерно приближающие решение модифицированного уравнения Белла с точностью не менее чем 0.0086 в интервале значений параметра 1 /-у/2 > г > 2/7Г.

В главе 2 получены квантовые корреляционные функции системы 2-х дираковских частиц, находящихся в зацепленном состоянии, в релятивистском случае.

Стационарное уравнение Дирака имеет вид:

Здесь х 6 К3, М - масса частицы, р,- — — гЬ-^г, ф - столбец из 4-х функций (фа{х)), а = 1,2,3,4, 7м - 4 х 4 матрицы (матрицы Дирака), удовлетворяющие условию

7М7" + 7 V =

где (х,и = 0,1,2,3, а (т^") = <Иад{1, — 1,-1, — 1) - метрика Минковского. Пусть

* = (Ф^(®1,®2)) = 4 (г+Ы^-Ы - Ф^Мы)

есть волновая функция двух дираковских частиц в состоянии с полным угловым моментом, равным 0. Здесь а, ¡3 = 1,2,3,4, XI, хч £ К3, ф±(х) - решения стационарного уравнения Дирака специального вида, а именно решения с энергией е, полным моментом j = 1/2, чётные, с проекцие полного углового момента на ось г, равным = ±1/2. Такие условия однозначно (с точностью до константы) определяют решение в классе дважды дифференцируемых ограниченных функций.

Пусть 3рт(0, а) = Ро £¡=1~ оператор проекции спина частицы на ось, заданную единичным вектором а = (а,) в области 0. Здесь = -7°7'75, 75 = -г'7°717273- Изучается квантовая корреляционная функция

/(01,02, а, Ь) = (Ф |8рщ(0ь а) ® 8рш(02, Ъ)| ¥) .

Она может быть представлена как:

/(01,02, а, Ь) = / (7)

Мхо2 ^

дХ]{х 1, ж2) называется спиновой корреляционной матрицей. Получен явный (но громоздкий) вид <7у, а также асимптотическое разложение по степеням где Р задано энергией е = \/М2с* + Р2(?:

(8)

Доказано следующее

Предложение 6. Первые члены асимптотического разло-спиновой корреляционной матрицы (7) при -Л* —> О имеют вид: (8), где д^ даётся выражением:

40) = -¿2 ДоЫ'ЯоЫЧ,- ■ (9)

о ' выражением:

+ ю) + В*(п)В:1(г2)6,з) . (10)

Здесь (ZtJ(e,ip)) определено как

(cos2 9 — cos 2<р sin2 в — sin 2¡p sin2 в —cos y sin 29

— sin2<£>sin20 cos2 в + cos 2ip sin2 в — sin <p sin 29

- cos ip sin 26 - sin ip sin 26 — cos 29

(11)

Через (r„ 9„ tpi) обозначены сферические координаты вектора X¡ÉÜ3.

В частности, из нерелятивистского выражения Х2)

может быть получена квантовая корреляционная функция модифицированного уравнения Белла (Задача 3).

В главе 3 рассмотрена квантовая система, взаимодействующая с полем Ферми, с гильбертовым пространством Н = С2 <g> J>(i2(®3)) и гамильтонианом Н — Н0 + Щпи где

Н0 = ЕР®1 + 1® JSku0{k)a\ak,

Е > О, Р - проектор на единичный вектор в С2, и>о(к) = \/к2 + т2, т > 0, а\ и a¡¡ - операторы рождения и уничтожения в фермионном пространстве Фока, удовлетворяющие каноническим антикоммутационным соотношениям: + а^а* = S(k — к'). Гамильтониан взаимодействия имеет вид

VM = J d3k (g(k)D ® a\ + g(k)rf ® afc) ,

где D - оператор в С2, g(k) - основная функция из пространства Шварца. Оператор эволюции в представлении взаимодействия имеет вид U(t) = eitH°e~,tH. Определим также a(t) :— f d3kg(k)eita(k\ cj(k) = ш0{к) - E.

Справедлива теорема (Аккарди, Волович, Лю, )•

Теорема 7. 1. В смысле корреляторов ае (t/^2) —> Щ при А —> 0, где Щ - операторы рождения и уничтожения белого шума Ферми.

8. В смысле корреляторов существует предел при А -> О

оператора эволюции Ит[М/А2).

А-Ю

3. Щ удовлетворяет квантовому стохастическому уравнению с белым шумом Ферми

~ = + (12)

понимаемому в смысле обобщенных функций по 4.

Для случая Бозе техника причинного нормального упорядочивания позволяет решать уравнения вида (12) для предельного оператора эволюции. В главе 3 эта техника обобщена на случай систем, взаимодействующих с полем Ферми.

В диссертации показано, что техника причинного нормального упорядочивания должна быть модифицирована по сравнению с случаем Бозе. Этот основной результат, сформулированный в Теореме 3.5.1, состоит в следующем. Определим оператор в соотношением:

... Ь£Ф0 = (-!)"« ■ • • №.

Обозначим й = еи,е, 7- = Д,¿ег1^к\д(к)\2е^Ч

Теорема 8. Причинно нормально упорядоченное уравнение (12) имеет вид:

ад = -» (р%ъь + бьЩ - .

Причинно нормально упорядоченное уравнение может быть эффективно решено. Так, например, уравнение для вакуумного среднего оператора эволюции имеет вид:

С учётом начального условия Щ = 1 его решение имеет вид Щ =

В главе 4 проведено исследование, мотивированное, в первую очередь, интересом к построению моделей, квадратичных по полям белого шума. Рассмотрим бозонное пространство Фока Тв(Ь2(Ш^))- Пусть аЦх), а(у) - операторы рождения и уничтожения в нем, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям а{х)а){у) — а[(у)а{х) = 6(х — у). Пусть / - основная функция Шварца в Еп+т+1, ф - основная функция Шварца в М. Обозначим

К"'т(/, ф) := У ¿х1... с\хп ¿уг... ¿ут ¿гх

ха\хх)... а\хп)а(у1)... а(ут)/(хь ..., хп; уь... ут; г)ф(г).

иустъ/е{хи...,хп,у1,...,ут,г) ..., *..., §).

Определим

■= е^К^иф).

Пусть / трансляционно инвариантна,т.е.

/(®1) • • •. Хп+т+х) = /(XI + о,..., хп+т+1 + а)

и имеет компактный носитель по относительному аргументу, т.е. функция Р, определенная как

Р{г1, ■ • •, гт+п) := /(О, П,Г1+Г2,...,Г1 +----К гп+т),

имеет компактный носитель.

Пусть В1(д), Вт(д) - операторы свободного бозонного поля, удовлетворяющие следующим стандартным коммутационным соотношениям:

[В1 В\] = [Вт, Вп] = О, [Вт(г), В1(г')] = 5{г - зГ)6^.

Тогда справедлива следующая теорема (Теорема 4.6.2).

Теорема 9. В смысле корреляторов имеют место следующие предельные соотношения:

\imK?>n{f,g) = 0,

jimK^iftg) = c(f)^m(g), т> О,

limK^(f,g) = c(f)Bn(g), п> О,

где c(f) - некоторый функционал от f.

В заключении перечисляются основные результаты диссертации.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Рощин Р. А., Обобщение спектральной теоремы на случай семейств некоммутирующих операторов и задача линейного программирования, Труды МИАН, т.245, стр. 241-250

(2004)

[2] Accardi L., Roschin R. A., Volovich I.V., Stochastic Golden Rule for the System Interacting with Fermi Field, QP-PQ: Quantum Probability and White Noise Analysis, 18, pp. 28-41

(2005)

[3] Accardi L., Roschin R. A., Renormalized Squares of Boson Fields, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 8, No. 2, pp. 307-326 (2005)

[4] Roschin R. A., Volovich I. V., Relativistic corrections to spin correlators and Bell's theorem, in: Foundations of Probability and Physics-2 (005) Conference Procedings Vaxjo University Press., 533-545 (2003)

Принято к исполнению 10/11/2005 Исполнено 14/11/2005

Заказ № 1213 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (095) 975-78-56 (095) 747-64-70 www.autoreferat.ru

№25621

РНБ Русский фонд

2006z4 29038

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рощин, Роман Альбертович

Введение

1 Обобщение спектральной теоремы на случай семейств некоммутирующих операторов и задача линейного программирования.

1.1 Введение.

1.2 Обозначения и точная постановка проблемы.

1.3 Дискретный случай. Специальный вид решений.

1.4 Представление квантовых корреляционных функций и задача линейного программирования.

1.5 Случай семейства операторов с дискретным спектром и непрерывной зависимостью от индекса.

1.6 Более общая формулировка.

1.7 Пример: модифицированное уравнение Белла.

1.8 Решение проблемы 8).

Введение диссертация по математике, на тему "Спектральные свойства некоммутирующих семейств операторов и квантовые стохастические уравнения в моделях с Ферми полями"

2.2 Уравнение Дирака.50

2.3 Пространственная зависимость корреляционной функции . . 52

2.4 Вычисление спиновой корреляционной матрицы.56

2.5 Результаты.58

2.5.1 Вычисление gf).58

2.5.2 Вычисление .60

Jij

2.6 Заключение.61

3 Метод решения квантовых стохастических уравнений уравнений с белым шумом Ферми. 62

3.1 Введение.62

3.2 Модели открытых квантовых систем.63

3.2.1 Наблюдаемые, квантовая динамика и представление Шрёдингера.63

3.2.2 Алгебра наблюдаемых, состояние и их явная реализация.64

3.2.3 Понятие открытой квантовой системы.65

3.2.4 Представление взаимодействия.66

3.2.5 Свободные Ферми и Возе поля.67

3.2.6 Гауссовы состояния поля.70

3.2.7 "Маленькая система". Дипольное взаимодействие. . . 70

3.3 Квантовый белый шум. 72

3.4 Стохастический предел.73

3.4.1 Сходимость в смысле корреляторов. Теорема существования стохастического предела.74

3.4.2 Стохастическое золотое правило. Нормально упорядоченная форма стохастического уравнения Шредингера. Случай Бозе.77

3.5 Формулировка основных результатов.79

3.6 Доказательство.81

3.6.1 Замечания о технике доказательства.81

3.6.2 "Квази-коммутационные" правила для bt и Ut.83

3.6.3 Нормально упорядоченное уравнение для Ut.85

3.6.4 Уравнение Ланжевена.85

3.6.5 Каноническая форма уравнения Ланжевена.88

3.6.6 Кинетическое уравнение.90

3.7 Вывод перестановочных правил (3.29) с помощью интегрального уравнения.91

3.8 Заключение.92

4 Ренормализованные степени белого шума. 94

4.1 Введение.94

4.2 Сглаженные произведения операторов рождения и уничтожения .95

4.3 Унитарные преобразования пространства Фока, согласованные с регуляризацией.99

4.4 Некоторые свойства вакуумных средних .100

4.5 Существование предела функций Вайтмана.103

4.6 Предел сглаженных "степеней" операторов рождения и уничтожения.105

4.7 Заключение Литература

Введение

Актуальность темы, цели исследования.

В последние годы усилился интерес к исследованию математических вопросов квантовой теории. Необычные свойства зацепленных квантовых состояний, играющих фундаментальную роль в квантовой теории, исследуются начиная с 1930-х годов в работах А. Эйнштейна (A. Einstein), Б. Подольского (В. Podolsky), Н. Розена (N. Rosen) [1], Э. Шредингера (Е. Shroedinger) [2], Д. Белла (J. Bell) [3], Д. И. Блохинцева [4] и многих других. Математические основы квантовой теории были заложены в работах Фон Неймана [5] (см. также [6, 7, 8, 9, 10]).

Важно, что в последние годы проводятся также активные экспериментальные исследования квантовых эффектов (атомы в ловушках, квантовые точки). Многообещающими представляются работы по квантовым компьютерам и квантовой криптографии. Так, в 1981 г. Р. Фейнман (R. Feynman) [11] предложил использовать существенно квантовые явления для совершенствования вычислительных методов. В 1985 г. Д. Дойч (D. Deutsch) предложил [12] одно из определений математической модели квантового компьютера. В рамках предложенной вычислительной модели (и развивающих её моделей) были достигнуты значительные результаты. Так, П. Шор (Peter Shor) предложил [13, 14] быстрые (полиномиально сложные) алгоритмы дискретного логарифмирования и разложения числа на простые множители; лучшие же классические алгоритмы решения этих задач имеют экспоненциальную сложность. Различные эффективные квантовые алгоритмы были предложены и изучались А. Китаевым [15], JI. Гровером (L. К. Grover) [16] и многими другими авторами. В работах А. С. Холево [17], Г. Г. Амосова, М. Городецки (М. Horodecki) [18], П. Горо-децки (P. Horodezki) [19] и многих других авторов были изучены свойства квантовых каналов связи. В работах Ч. Беннета (С. Н. Bennett), Ж. Брас-сарда (G. Brassard) [20], Н. Гизина (N. Gisin) [21] и других были разработаны и изучались протоколы квантовой криптографии.

Достижения квантовой теории информации усилили интерес как к математическим аспектам основ квантовой теории, так и к проведению более совершенных экспериментов. Теоретические аспекты проблемы и их связь с квантовой теорией информации изучались в работах И. В. Воловича [22, 23, 24], В. И. Манько [25, 26, 27, 28], В. А. Андреева [28], В. Е. Тарасова [10], JI. Аккарди (L. Accardi) [29] и других авторов. Были поставлены эксперименты, посвященные проверке неравенств Белла: А. Аспект (A. Aspect) [30], В. Титтель (W. Tittel) [31], А. Цейлингер (A. Zeilinger) [32] и многие другие, см., например, обзоры А. Аспекта [33] и А. Шимони (A. Shimony) [34].

Большое значение имеет практическое применение результатов квантовой теории информации, то есть построение реальных устройств, реализующих математические модели квантовых вычислений и квантовой криптографии. Предлагаются различные физические механизмы реализации этих моделей; подробный обзор и обсуждение перспектив применения того или иного механизма можно найти в монографии К. А. Валиева и А. А. Кокина [36]. Резюмируя, можно сказать, что в рамках нескольких подходов построены прототипы квантовых вычислительных устройств. Однако проблема масштабирования этих устройств не решена, и её быстрого решения не ожидается.

Итак, с одной стороны, налицо несомненные достижения: в квантовой теории алгоритмов получены результаты, подтверждающие, что если определённый класс управляющих воздействий на квантовую систему практически возможен, то возможно принципиально более эффективно ре-ализоват ь некоторые классические алгоритмы (разложения числа на простые множители и дискретного логарифмирования Шора, поиска Гровера). Разработаны и практически реализованы некоторые алгоритмы квантовой криптографии, такие как протокол А. Эккерта (А. К. Eckert) [37], основанный на нарушении неравенств Белла. С другой стороны, очевидно недостаточное количество практически воплощенных приложений квантовой теории информации.

Темой настоящей диссертационной работы является исследование двух математических проблем, связанных с фундаментальными проблемами квантовой теории и квантовой теории информации: во-первых, свойств квантовых корреляционных функций некоммутативных семейств операторов, во-вторых, квантовой динамики открытых систем, взаимодействующих с полем Ферми. Актуальность этой темы следует из вышесказанного: практической значимости исследований фундаментальных проблем квантовой теории, применений в квантовой теории информации и их современного развивающегося состояния.

Краткое содержание диссертации.

Первая проблема, изучаемая в настоящей диссертационной работе, связана с понятием зацепленного состояния. В соответствии с аксиоматикой квантовой теории [5], квантовой системе сопоставляется гильбертово пространство ТС. (Чистому) состоянию квантовой системы сопоставляется луч в Н. Композитной квантовой системе, то есть системе, состоящей из двух разных систем ТС\ и ТС2, сопоставляется тензорное произведение (возможно, симметризованное или антисимметризованное) гильбертовых пространств исходных систем: ТС = ТС\ <8> ТС2

В зависимости от структуры вектора ф относительно разбиения ТС чистые состояния композитной системы можно разделить на факторизуемые и зацепленные1.

Определение 0.0.1. Состояние ф е ТС\ (8> ТС2 называется фактори-зуемым, если существуют вектора фх £ ТС\ и Ф2 € ТС2, такие что ф = фг ® ф2- В противном случае состояние ф называется зацепленным.

Зацепленные состояния составляют неотъемлимую часть формализма квантовой теории. Большинство квантовых алгоритмов (например, упоминавшиеся выше алгоритмы Шора и Гровера, протокол Эккерта) существенным образом опираются на возможность квантовой композитной системы находиться в зацепленном состоянии.

Как было установлено фон Нейманом [5], в квантовой механике имеется два способа изменения состояний - унитарная эволюция в соответствии с уравнением Шредингера и мгновенная редукция при измерении.

Поведение зацепленных состояний при раздельном измерении состояния каждой из составляющих её подсистем с точки зрения классической ин

JB англоязычной литературе принят термин entangled state, в русскоязычной встречаются термины зацепленное, перемешанное, перепутанное состояние. В настоящей работе всюду будет применяться термин "зацепленное состояние". туиции неожиданно. Этот факт был впервые отмечен в работе Эйнштейна-Подольского-Розена [1], где он использовался для обоснования неполноты квантовой теории. Математическая формулировка того, каким именно свойством, очевидным с точки зрения классической интуиции, не обладают некоторые квантовые зацепленные состояния была впервые приведена в работе Белла [3]. Пусть каким-либо образом приготовленная физическая система разделяется на две невзаимодействующие части. Пусть, затем, производится измерение какой-либо физической величины в каждой из подсистем. Можно предположить, что для реальных физических систем результат измерения в одной подсистеме может зависеть только от исходного состояния системы, но не от результата второго измерения.

В работе [3] построена простая квантовомеханическая модель, в которой приведённое выше предположение оказывается неверным. Для доказательства этого факта можно использовать неравенство Клаузера-Хорна-Шимони-Холта (Clauser-Horne-Shimony-Holt, CHSH) [38].

Корреляционная функция проекций спинов вдоль некоторых направлений для двух систем может быть представлена как cos(a — /5). Здесь а и (3 характеризуют направления, вдоль которых измеряются проекции спинов. Математическая задача заключается в исследовании возможности представления этой функции в виде математического ожидания двух случайных процессов cos (а-(3) = Е£аЩ, (0.1)

Здесь Е - математическое ожидание классической случайной величины. заданных на вероятностном пространстве (Л,^", Р), £«,77/3 : О, —> {—1,+1}. Соотношение (0.1) называется уравнением Белла. Д. Белл показал [3], что это уравнение не имеет решений. И.В. Воловичем [22] было показано, что учёт пространственных характеристик рассматриваемых систем меняет ситуацию. В частности, в простейшем случае двух пространственно разделенных областей в [23] было показано, что квантовая корреляционная функция имеет вид rcos(a — /3), где параметр г, 0 < г < 1, зависит от конфигурации областей. Поэтому появляется необходимость в исследовании модифицированного уравнения Белла rcos(a — (3) — E^aV/3

Задача (модифицированное уравнение Белла). При каких 0 < г < 1 существуют такое вероятностное пространство (П, JF, /i) и семейства случайных величин Q {-1,+1}, (0.2) что

E£a = Erip = о, (0.3)

Е £аЩ = г cos(ex - (5). (0.4)

Решение этой задачи являлось первоначальной целью исследования. Известно, что при г > 1/\/2 модифицированное уравнение Белла не имеет решения, а при г < 2/тг решение может быть явно построено. Модифицированные уравнения Белла возникают как важный частный случай Проблемы 1.2.1 при специальном выборе состояния и наблюдаемых.

Теорема 1.5.2 придаёт точный смысл возможности исследования общей, "непрерывной" Проблемы 1.2.1 путем её дискретизации и сведения к семейству дискретных проблем. Показано что дискретизации непрерывной проблемы позволяют построить решение, равномерно приближающее решение исходной проблемы.

Определение. Будем говорить, что вероятностное пространство (Q, Т, ц) и семейства случайных величин

0.5) равномерно приближают решение модифицированного уравнения Белла с точностью не менее е, если для всех а, (3 выполнены неравенства:

ЕЫ<£, \Ещ\<е, (0.6)

E^aVf3-rcos(a-p)\ <6. (0.7)

Теоремы 1.4.2, 1.5.2 и результаты численных расчетов, проведенных на основе этих теорем, позволяют утверждать, что:

Утверждение. Существует решение в интервале значений параметра 1/л/2 >г> 2/тх, равномерно приближающее решение этой задачи с точностью не менее чем 0.0086.

В Главе 2 получены квантовые корреляционные функции системы 2-х Ферми частиц, находящихся в зацепленном состоянии, в релятивистском случае.

Пусть Ф = (Фа/3(хьх2)) - волновая функция двух Дираковских частиц в состоянии с полным угловым моментом, равным 0, см. (2.12). Здесь а,(3 = 1,2,3,4, Х\,Х2 € R3. Пусть Spin(0, а) - оператор проекции спина частицы на ось, заданную единичным вектором а в области О. Изучается квантовая корреляционная функция

01,02, а, Ъ) = <Ф | Spin (Ox, а) ® Spin(02, b)| Ф) .

Она может быть представлена как: г 3 f(Oi, 02, а, Ь) = / dxtdx2 Y] aibjgij(x\,x2).

9ij(xl, Ж2) называется спиновой корреляционной матрицей. Получен явный (но громоздкий) вид gij, а также асимптотическое разложение по степеням где Р задано энергией е = у/М2с^ + Р2с2: дфъх2) = д§\хъх2) + ( jj- ) д§\хъх2) + о

Получены явные выражения для д^\хi,x2) и д^(х\,х2). В частности, из нерелятивистского выражения д^ (xi, х2) может быть получена квантовая корреляционная функция модифицированного уравнения Белла.

Вопрос о представлении корреляционных функций семейства коммутирующих операторов как математического ожидания классических случайных величин решён известной спектральной теоремой фон Неймана [5]. Проекции спинов двух частиц вдоль некоторых напрвлений образуют семейство, вообще говоря, некоммутирующих операторов. Таким образом, мы приходим к задаче об обощении теоремы фон Неймана на случай некоммутативных семейств операторов [22].

Необходимые и достаточные условия представимости корреляционных функций некоммутирующих семейств операторов в виде математических ожиданий классических случайных величин построены в главе 1.

Зафиксируем некоторый набор наблюдаемых Av - самосопряжённых операторов в конечномерном гильбертове пространстве 7Y, где v принадлежит некоторому множеству индексов Т. Пусть множество индексов Т также конечно. Обозначим через Р(Т) множество всех подмножеств Т, так что элемент s € Р(Т) есть подмножество Т: s = {щ,., щ}. Определим

V:={se Р(Т)| [Л, АД = 0 Vi/,ц G 5} .

Состояние квантовой системы описывается квантовыми корреляционными функциями наблюдаемых (1.1). Рассмотрим проблему (Проблема 1.2.1):

Проблема. Существует ли вероятностное пространство (Q, Т, Р) и семейство случайных величин : Q Spec Av, такие что Vs G V выполнено равенство: ф\А Аиъ ' ' ' -A-Vk

Известная теорема фон Неймана (Теорема 1.2.2) утверждает, что если все операторы Av попарно коммутативны, то представление такого вида существует. Пример Белла [3] показывает, что существует (попарно некоммутативное) семейство наблюдаемых и состояние, в котором квантовые корреляции непредставимы классическими.

Для упрощения обозначений предположим, что БресД, = {е^о, €v,i}-Это предположение не затронет существа основного результата.

В диссертации показано, что справедлив следующий основной результат (Теорема 1.4.2):

Теорема. Решение указанной проблемы существует если и только если

Grain — 1 ^ Gmax ■

Определим входящие в формулировку теоремы обозначения. Здесь о n

Gmin = minG^o;), Gmax = maxG(o;), О - область в г , N - количешеО шеО ство элементов в Т, G(uj) - линейная функция. Для точного определения области О введем обозначения для компонентов точки и € М .А именно, будем нумеровать компоненты или одним индексом, пробегающим набор 2м значений: и — (cut), £ — или набором из N индексов: и = где каждый индекс принимает 2 значения: k = 0,1. Между одним общим индексом £ и индексами 1г устанавливается взаимооднознач

Функция G задана как G(u) :=

Таким образом, приведённая выше Теорема 1.4.2 позволяет свести проблему представления квантовых корреляционных функций классическими корреляционными функциями к хорошо изученной и конструктивно разрешимой проблеме линейного программирования, т.е. к максимизации или минимизации линейной функции в области, заданной системой линейных ограничений и неравенств (симплексе).

Вторая проблема, изучаемая в настоящей диссертационной работе, связана с динамикой открытых квантовых систем. Разработано несколько методов изучения квантовой динамики, таких как операторный метод [43], метод континуального интеграла [9, 44], теория возмущений [45, 46], метод стохастического предела [47]. Всякая физическая система неизбежно взаимодействует со своим окружением. Интенсивность и характер такого взаимодействия могут быть самыми разными, более того, часто, для простоты рассмотрения, при анализе физической задачи таким взаимодействием пренебрегают. При построении физических моделей устройств, преное соответствие формулой £ = 1 + 0Х 2l/ji.

Используя эти обозначения, область О можно задать как: образующих или передающих квантовые состояния, учёт взаимодействия системы с окружением важен по двум причинам.

Первой причиной является эффект распада квантового состояния с течением времени. Классическим примером распада квантового состояния можно считать 2-х уровневую квантовую систему, дипольно взаимодействующую с бозонным полем. Известно, что если бозонное поле находится в вакуумном состоянии, то по прошествии некоторого времени to, зависящего от расстояния между энергетическими уровнями и от интенсивности взаимодействия с полем, исходная квантовая система с вероятностью, экспоненциально близкой к 1, также перейдёт в основное состояние (т.е. состояние с меньшей энергией) вне зависимости от исходного состояния. Следовательно, если в начале в 2-х уровневой системе была закодирована какая-то информация, то через время to эта информация будет потеряна. Таким образом, любые преобразования, связанные с использованием этой закодированной информации, должны закончится за время t to, поэтому эффект распада особенно важен при построении масштабируемых квантовых вычислительных схем.

Второй причиной, по которой учет взаимодействия системы с окружением играет важную роль, является необходимость управления квантовой системой. От системы, осуществляющей некоторую операцию с квантовым состоянием, мы требуем, например, возможности начать эту операцию в произвольный момент времени. Кроме того, в квантовых вычислениях желательно иметь возможность выбирать, какую именно операцию (из определенного набора) мы желаем осуществить. Для масштабируемых квантовых систем возможность выбора времени начала и типа управляющего воздействия ещё более важна.

Следовательно, методы анализа динамики открытой квантовой системы во внешних полях важны для практического построения моделей квантовой теории информации.

Метод стохастического предела - эффективный инструмент анализа открытых квантовых систем. Динамика квантовых систем на временах, больших по сравнению с 1/А2, где Л - константа связи, изучалась в многочисленных работах, начиная с работ Н.Н. Боголюбова [48, 49], Л. ван Хо-ва [50], И. Пригожина [51]. В работах JI. Аккарди (L. Accardi), Ю.Г. Jly (Y.G. Lu), И.В. Воловича [47] был разработан метод стохастического предела, позволяющий стандартным образом получать уравнения, описывающие такую предельную динамику.

Метод стохастического предела позволяет изучать динамику квантовой системы, взаимодействующей с окружением, в специальном предельном режиме (стохастическом пределе, пределе слабой связи): константа связи А —» 0, время t —► сю, так что t/X2 — т = const, или, другими словами, динамику системы в перемасштабированном времени т.

При этом оказывается, что предельная динамика системы описывается уравнениями с квантовым белым шумом, или квантовым стохастическим уравнением. Достоинство метода состоит в том, что в таком режиме физически существенные особенности динамики рассматриваемой квантовой системы, такие, например, как распад квантового состояния, сохраняются, а (причинно нормально упорядоченные) уравнения, определяющие эту динамику, становятся интегрируемыми. Результаты исследования систем, взаимодействующих с Бозе полем, полученные с помощью метода стохастического предела в работах J1. Аккарди, И. В. Воловича, С. В. Козырева, К. Имафуку (К. Imafuku), А. Н. Печеня и других авторов [47, 52, 53, 54, 55], весьма успешны. В работе И. В. Воловича [56] метод стохастического предела применялся для уменьшения декогеренции в модели квантового компьютера путем контроля параметров этой системы. Математические аспекты метода стохастического предела исследовались в работах О. Г. Смолянова [57], А. М. Чеботарева [58] и других авторов.

В диссертации рассмотрена квантовая система, взаимодействующая с полем Ферми, с гильбертовым пространством Ti = С2 <8> ^rp(L2(M3)) и гамильтонианом Н — Щ + XVint, где

Щ = ЕР®1 + 1® Jd3kuj0(l)alak ,

Е > О, Р - проектор на единичный вектор в С2, ио(к) — у/к2 + га2, т > О, й[ и ajt - операторы рождения и уничтожения в фермионном пространстве Фока, удовлетворяющие каноническим антикоммутационным соотношениям: йка\+ = 5(к — к'). Гамильтониан взаимодействия имеет вид

Vi„t = J d*k (g{k)D <g> 4 + g(k)Dt ® , где D - оператор в С2, g(k) - основная функция из пространства Шварца (см., например, [59]). Оператор эволюции в представлении взаимодействия имеет вид U(t) = егШ°е~гШ. Определим также a(t) := f d3kg(k)eztu}(h\ и (к) = coo (к) — Е.

Справедлива теорема (Аккарди, Волович, Лю, [47]):

Теорема. 1. В смысле корреляторов а£ {t/А2) —> Щ при А —> 0; где Щ -операторы рождения и уничтожения белого шума Ферми.

2. В смысле корреляторов существует предел при А —» 0 оператора эволюции Щ:— \im U(t/X2).

3. Ut удовлетворяет квантовому стохастическому уравнению с белым шумом Ферми = -г (Ъ <g) b\ + <8) b*) Ut, (0.8) понимаемому в смысле обобщенных функций по t.

Для случая Бозе техника причинного нормального упорядочивания [47] позволяет решать уравнения вида (0.8) для предельного оператора эволюции. В главе 3 настоящей работы эта техника обобщена на случай систем, взаимодействующих с полем Ферми.

Обозначим Ut = eute, 7- = /^оо da f d3k\g(k)\2eiaw^.

Теорема. Причинно нормально упорядоченное уравнение (0.8) имеет вид: dtUt = -г (DWtbt + Db\Ut} - 7-D*DUt •

Причинно нормально упорядоченное уравнение может быть эффективно решено. Так, например, уравнение для вакуумного среднего оператора эволюции имеет вид: -7-D*D(Ut).

С учётом начального условия £/0 = 1 его решение имеет вид {Ut) =

В главе 4 проведено исследование, мотивированное, в первую очередь, интересом к построению моделей, квадратичных по полям белого шума. Рассмотрим бозонное пространство Фока .Fb^O^3))- Пусть а* (ж), а(у) - операторы рождения и уничтожения в нем, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям а{х)а)(у) — аЦу)а(х) = 5{х — у). Пусть / - основная функция Шварца в ф - основная функция

Шварца в R. Обозначим х а){хi). (J{xn)a(yi). а(ут)/(хъ ., хп\ уъ . ут; г)ф(г).

Пусть f€(x 1, .,xn,yi,.,ym,z):= -^f ., f,., ^f; f). Определим

К?'т(/,ф) := е^К^^ф).

Пусть / трансляционно инвариантна и имеет компактный носитель по относительному аргументу.

Пусть Вт(д) - операторы свободного бозонного поля, удовлетворяющие следующим стандартным коммутационным соотношениям:

Bl В{] = [Вт, Вп] = О, [Bm(z), Bl(z')} = 5(z - z')5n,m.

Тогда справедлива следующая теорема (Теорема 4.6.2).

Теорема. В смысле корреляторов имеют место следующие предельные соотношения: imK™'n(f,д) = 0, m ^ О, п^О, е->о га > 0, е—>0 е—>0 где с(/) - некоторый функционал от /.

Научная новизна. Основные результаты, выносимые на защиту. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Впервые показано, что задача представления квантовых корреляционных функций некоммутативного семейства операторов с дискретным спектром классическими корреляционными функциями эквивалентна задаче линейного программирования.

2. Построены случайные процессы, равномерно приближающие решение модифицированного уравнения Белла с точностью е < 0.0086 в интервале параметра

2/?г < г < 1/л/2.

3. Получена квантовая корреляционная функция операторов проекции спина для системы двух дираковских фермионов, находящихся в сингл етном состоянии, с учётом пространственных и релятивистских поправок.

Научная и практическая ценность.

Обоснованность и достоверность.

Достоверность полученных результатов обоснована их формальным выводом на основе ранее известных результатов и правил формальной логики.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. На конференции молодых ученых МГУ (2001)

2. На международной конференции "Foundation of Probability and Physics - 2", Векше (Швеция), 2002

3. На международной конференции "Classical and Quantum Levy Processes: Theory and Applications", Левико Терме (Италия), 2003

4. На семинарах отдела математической физики Математического Института им. В.А. Стеклова, 2004, 2005

5. На международной конференции "Open Quantum Systems", Вена (Австрия), 2005

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 4 статьи [60, 61, 62, 63], сделано 4 доклада.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из четырёх глав, введения, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

Результаты работы докладывались автором на конференции молодых ученых МГУ, 2001, на международной конференции "Foundation of Probability and Physics - 2", Векше (Швеция), 2002, на международной конференции "Classical and Quantum Levy Processes: Theory and Applications", Левико Терме (Италия), 2003, на семинарах отдела математической физики Математического Института им. В.А. Стеклова, на международной конференции "Open Quantum Systems", Вена (Австрия), 2005.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю И. В. Воловичу, а также Л. Аккарди за постоянное внимание и помощь во время работы над диссертацией, Д. В. Прохоренко за плодотворные обсуждения и ценные комментарии, и всему коллективу отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН за помощь и поддержку в написании данной работы.

Заключение

В настоящей работе изучены две актуальные математические проблемы квантовой теории информации: свойства квантовых корреляционных функций некоммутативных семейств операторов и квантовая динамика открытых систем, взаимодействующих с полем Ферми.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Рощин, Роман Альбертович, Москва

1. Einstein A., Podolsky В., and Rosen N., Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete Phys. Rev. 47, 777780 (1935)

2. Shrodinger E., Discussion of probability relations between separated systems, Proc. Camb. Phil. Soc. 31, 555-563 (1935)

3. Bell J. S., On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox, Physics 1, 195-200 (1965)

4. Блохинцев Д. И., Принципиальные вопросы квантовой механики, 2-е изд. М.: Наука. (1987)5. фон Нейман И., Математические Основы Квантовой Механики, М.: Наука (1964)

5. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, М.: Наука (1987)

6. Макки Дж., Лекции по математическим основам квантовой механики, М.: Мир (1963)

7. Сигал И., Математические проблемы релятивистской физики, М.: Мир (1968)

8. Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы.-М.: МГУ (1990)

9. Тарасов В. Е., Квантовая механика. Лекции по основам теории. М: Вузовская книга (2000)

10. Feynman R. P., Simulating physics with computers, International Journal of Theoretical Physics, 21(6/7): pp. 467-488 (1982)

11. Deutsch D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer. Proceedings of the Royal Society of London A400, pp. 97-117 (1985)

12. Shor P. W., Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring, Proc. 35nd Annual Symposium on Foundations of Computer Science (Shafi Goldwasser, ed.), IEEE Computer Society Press, 124-134 (1994)

13. Shor P. W., Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer, SI AM J. Computing 26, pp. 1484-1509 (1997).

14. Китаев А., Шень А., Вялый M., Классические и квантовые вычисления, М.: МЦНМО (1999)

15. Grover L. К., Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack, Phys. Rev. Lett. 79, pp. 325-328 (1997)

16. Холево А. С., Введение в квантовую теорию информации, М.: МЦНМО (2002).

17. Horodecki, M., Shor, P. W., Ruskai, M. В., General Entanglement Breaking Channels, Rev. Math. Phys 15, 629-641 (2003)

18. Horodecki P., Separability criterion and inseparable mixed states with positive partial transposition, Phys. Lett. A232, 333 (1997)

19. Bennett С. H. and Brassard G., Quantum Cryptography: Public-Key Distribution and Coin Tossing, Proceedings of the IEEE International Conference on Computers, Systems, and Signal Processing, Bangalore, India, pp. 175-179 (1984)

20. Titlel W., Rihordy G., Gisin N. Quantum cryptography Physics World. March, pp. 41-45. (1998)

21. Volovich I. V., Quantum Cryptography in Space and Bell's Theorem, in: Foundations of Probability and Physics, Ed. A. Khrennikov, World Sci., pp. 364-372 (2001)

22. Ohya M., Volovich I. V., On Quantum Capacity and its Bound, Infinite Dimensional Analysis and Quantum Probability, 6, No.2, pp. 301-310, (2003)

23. Volovich I. V., Quantum Information in Space and Time and theory of Stochastic Processes. Quantum Information, IV, pp. 187-200 (2002)

24. Man'ko M. A., Man'ko V. I., Vilela Mendes R., Quantum computation by quantum-like systems, Physics Letters A288, 132 (2001)

25. Man'ko V. I., Rosa L., Vitale P., Probability representation in quantum field theory, Phys. Lett. B439, pp. 328-336 (1998)

26. Vilela Mendes R., Man'ko V. I., Quantum control and the Strocchi map, Physical Review A67, 053404 (2003)

27. Andreev V. A. and Man'ko V. I., Two-Particle Spin States and Generalized Bell's Inequalities, JETP Letters, 72, No. 2, 93 (2000)

28. Accardi L., Regoli M., Locality and Bell's inequality, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0007005

29. Aspect A., Dalibard J., Roger G., Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers, Physical Review Letters 49, 1804 (1982)

30. Tittel W. et al., Experimental demonstration of quantum-correlations over more than 10 kilometers, Phys. Rev. A57, 3229 (1997)

31. Greenberger Daniel M., Home Michael A., Shimony Abner, Zeilinger Anton, Bell's theorem without inequalities, Am. J. Phys. 58 (12), 1131 (1990)

32. Aspect A., Bell's inequality test: more ideal than ever, Nature, 398, pp. 189190 (1999)

33. Shimony, Abner. Bell's Theorem. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2005 Edition), Edward N. Zalta (ed.) http://plato.Stanford.edu/archives/sum2005/entries/bell-theorem/

34. Валиев К. А., Квантовая информатика: компьютеры, связь и криптография, Вестник Российской Академии Наук, 70, № 8, с. 688-695 (2000)

35. Валиев К. А., Кокин А. А., Квантовые компьютеры: надежды и реальность, М.-Ижевск: РХД (2001)

36. Eckert А. К., Quantum crypotography based on Bell's theorem, Physical Review Letters, 67, 661 (1991)

37. Clauser J. F., Home M. A., Shimony A., Holt R. A., Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories, Phys. Rev. Lttr., 23, 880-884 (1969)

38. Clauser J. F. and Home M. A., Experimental consequences of objective local theories, Phys. Rev. D10, 526-535 (1974)

39. Rowe M. A., Kielpinski D., Meyer V., Sackett C. A., Itano W. M., Monroe C., and Wineland D. J., Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection, Nature 409, 791 794 (2001)

40. Khrennikov A., Volovich I. V., Local Realism, Contextualism and Loopholes in BelVs Experiments, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0212127

41. Volovich I. V., Bell's Theorem and Locality in Space, http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0012010

42. Рид M., Саймон Б., Методы современной математической физики, М.: Мир (1977)

43. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования./ Поливанов М.К. (ред.). 2-е изд., доп.- М.: Наука (1986)

44. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, М.: Наука (1984)

45. Белокуров В. В., Соловьев Ю. П., Шавгулидзе Е. Т., Теория возмущений со сходящимися рядами для функциональных интегралов по фейнмановской мере, Успехи матем. наук, 52, Ж2, с. 155 (1997)

46. Accardi L., Lu Y. G., Volovich I. V., Quantum theory and its stochastic limit, Berlin, Springer (2002)

47. Боголюбов H. H., Элементарный пример установления статистического равновесия в системе, связанной с термостатом, О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: Изд-во АН УССР, стр. 115-137. (1946)

48. Боголюбов Н. Н., Гуров К., Кинетические уравнения в квантовой механике, ЖЭТФ 17 614-628 (1947)50. van Hove L., Quantum mechanical perturbations giving rise to a transport equation, Physica 21, 517-540 (1955)

49. Пригожин И., Неравновесная статистическая механика, Меркурий-ПРЕСС, Череповец (2000)

50. Accardi L., Kozyrev S. V., Volovich I. V., Dynamics of dissipative two-level systems in the stochastic approximation, Phys. Rev. A56, 2557-2562 (1997)

51. Pechen A. N., Volovich I. V., Quantum multipole noise and generalized quantum stochastic equations, Infinite Dimen. Anal., Quantum Probab., Relat. Top. 5, 441-464 (2002)

52. Печень A. H., Об одном асимптотическом разложении в квантовой теории, Матем. Заметки 75, Вып. 3, 459-462 (2004)

53. Pechen A. N., Quantum stochastic equation for a test particle interacting with a dilute Bose gas, J. Math. Phys. 45, pp. 400-417 (2004)

54. Volovich I. V., Models of Quantum Computers and Decoherence Problem, http://arxiv.org/abs/quant-ph/9902055

55. Smolyanov O. G., Truman A., Shrodinger-Belavkin equations and associated Kolmogorov and Lindblad equations, ТМФ, 120, N2, 973-984 (1993)

56. Chebotarev A. M., Lectures on quantum probability, Sociedad Matematica Mexicana, Aportaciones Matematicas, Vol 14, Mexico (2000)

57. Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М.: Наука (1988)

58. Roschin R. A., Volovich I. V., Relativistic corrections to spin correlators and Bell's theorem, in: Foundations of Probability and Physics-2 (005) Conference Procedings Vaxjo University Press., 533-545 (2003)

59. Рощин P. А., Обобщение спектральной теоремы на случай семейств некоммутирующих операторов и задача линейного программирования, Труды МИАН, т.245, стр. 241-250 (2004)

60. Accardi L., Roschin R. A., Volovich I. V., Stochastic Golden Rule for the System Interacting with Fermi Field, QP-PQ: Quantum Probability and White Noise Analysis, 18, pp. 28-41 (2005)

61. Accardi L., Roschin R. A., Renormalized Squares of Boson Fields, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 8, No. 2, pp. 1-20 (2005)

62. Тирринг В., Курс математической и теоретической физики, Киев: TIMPANI (2004)

63. Морен Кристоф, Методы Гильбертова Пространства, М., Мир, 1965

64. Khrennikov A., Kozyrev S. V., Noncommutative probability in classical systems, http: //xxx. lanl. gov/abs/quant-ph/0211033

65. Volovich I. V., Volovich Ya. I., On Classical and Quantum Cryptography, http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0108133

66. Shor P. W., Capacities of Quantum Channels and How to Find Them, Mathematical Programming, 97, 2003, 311-335

67. Схрейвер А., Теория Линейного и Целочисленного программирования, т. 1, М., Мир (1991)

68. Khrennikov A., Volovich I. V., Einstein, Podolsky and Rosen versus Bohm and Bell, http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0012010 (2002)

69. Берестецкий В. В., Лившиц Е. М., Питаевский Л. П., Квантовая электродинамика, М., Наука, (1980)

70. Тернов И. М., Введение в физику спина релятивистских частиц, М., МГУ (1997)

71. Accardi L., Franz U., Skeide M., Renormalized Squares of White Noise and Other Non-Gaussian Noises as Levy Processes on Real Lie Algebras, Commun. Math. Phys. 228, 123 150 (2002)