Квантовый хаос при взаимодействии нелинейных резонансов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

А/}

На правах рукописи УДК 530.145:530.182

Берман Геннадий Петрович

КВАНТОВЫЙ ХАОС ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСОВ

(01.04.03 - радиофизика, включал квантовую радиофизику)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ъ о?.£9

Сра&и-с^рсе -исимлшм

Москва - 1989

у

Работа выполнена в Институте физики им. Д.В.Киренского СО АН СССР

Официальные оппоненты: Чириков Борис Валерианович

Татарский Валерьян Ильич

Федоров Михаил Владимирович

Ведущая организация

член-корреспондент АН СССР (Институт ядерной физики СО АН СССР, г.Новосибирск) член-корреспондент АН СССР (Институт физики атмосферы АН СССР, г.Москва)

доктор физико-математических наук (Институт обшчй физики АН СССР г.Москва)

Институт прикладной физики АН СССР, г.Горький.

Защита состоится "_" _1989 г. в_чао.

на заседании Специализированного совета Д-003.49.02 при Институте общей физики М СССР, Москва, ул. Вавилова, 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института общей флэшей АН СССР.

Автореферат разослан * "_1989 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических неук

Е.А.Заболотская

6. Ж.Я!

-. .-А^ууьпость темы. В последние годи большое внимание уделяет-ггсязизу^едфо явления стохастичностя в динамических с;?стомах. Сто-ластйчнасть в данном случае означает яеустойчирнй, нерегулярный раним движения, не связанный с наличие« внешних случайных сил, а возникающий вслздетвис слоглого взаимодействия различных степеней свобода либо влияния внешних регулярных полей. Возникшая по существу е.'.чъ в работах А.Пуанкаре проблема стохастичности динамических систем является актуальной и ваяной в настоящее время, поскольку переход от регулярного движения к случайному является типичным свойством нелинейных динамических систем, которое необходимо учитывать в различных фундаментальных и прикладных доследованиях. Достижения современней теории стохастичности динамических систем используются в задачах физики, химии, биологии и т.д.

Особый интерес кал в теоретическом отношении, так и с точки зрения приложений, связан с изучением стохастически« свойств квантовых динамических систем. Согласно существующей терминологии зта область исследований носит название "квантовый хаос". 2 теоретическом отношении речь в общем случав идет о нелинейных квантовых системах с разрушенными интегралами движения, необходимость игу-чения которых возникает в различных областях естествознания. Благодаря появлению мощных источников когерентного излучения, методов селективного возоуздения атомов и молекул, техники сверхкоротких импульсов, спектроскопии высиг.ого разрешения в последние года началось интенсивное экспериментальное исследование поведе- • ния квантовых динамических систем, обладающих свойстеом стохас-тичности. Таким образом, изучение нелинейных квантсвых систем в области параметров квантового хаоса является ва;шой и актуальной задачей как в отношении дальнейшего развития теории динамических систем, так и с точки зрения применения результатов теории в интенсивно развивающихся прикладных исследованиях по квантовой радиофизике, нелинейной оптгаез, физике твердого тела, теории элементарных частиц и т.д. Б связи с этим возникает проблема развития адекватных методов анализа квантового хаоса, удобных для физических приложение и описания с помощь» этих меюдов характерных особенностей возникающих здесь явяелий.

В диссертации представлены исследования по проблеме квантового хаоса, проЕедякнне на основе развития теории нелинейного резонанса и взаимодействия нелинейных резонансоэ в квантовых дина- 3 -

мкческих системах. Основное вниманке уделяется следующим вопросам: построение квазнклассической нестационарной теории возмущений для квантовых динамических систем, стохастических в классическом пределе; построение теории квантового нелинейного резонанса и взаимодействия квантовых нелинейных резонансов; поведение корреляционных функций в области сильного взаимодействия квантовых нелинейных резонансов; квантовый хаос в представлении Вигне-ра; стохастичность в полуклассических системах гамильтоновского типа; хаотические пространственные структуры в квантовых системах с конкурирующим взаимодействием.

Цель работы состоит в теоретическом исследовании явлений, возникающих в области параметров квантового хаоса, обусловленных взаимодействием нелинейных резонансов.

Объекты исследования. Основные исследования проведены на моделях, допускающих аналитический анализ, возможность проведения численного эксперимента, а также выявляющих существенную роль взаимодействия нелинейных резонансов в процессах, ответственных за переход к квантовому хаосу, В основном использованы модели нелинейного квантового осциллятора и квантового ротатора, взаимодействующих с внешним регулярным во времени полем, содержащим различное число частот (главы 1-5), к с само согласованным полем излучения (глава 6). В главе 7 использована дискретная квантовая модель Френкеля-Конторовой.

Научная новизну работы состоит в следующем.

Для квантовых систем, обладавших в классическом предела свойством стохастичности, впервые определена "квантовая граница сто-хасгичности", отделяющая существенно квантовую область движения системы от области параметроз, в которой на конечных временах • квантовая динамика близка к стохастическое движению соответствующей классической системы. Показано, что время применимости классического рассмотрения в области параметров квантового хаоса является логарифмически малым по величине параметра квазиклассичности.

На основе введения понятий квантового нелинейного резонанса (КНР) и взаимодействия КНРов и определения их основных характеристик, развит конструктивный подход, позволивший описать динамичес-кио и спектральные свойства в области параметров квантового хаоса, и применимый на больших временах.

Для систем с бесконечным числом взаимодействующих ИЙРов (максимально развитый квантовый хаос) рассмотрен вопрос о поведении во времени квантовых корреляционных функций, дающих вклад в процесс квантовой диффузии. Показано, что экспонслциалышй закон затухания корреляционных функций на малих временах.(при развитой стохастичности в классическом пределе) изменяется в дальнейшем ка степенной, с наличием в общем случае постоянной составляющей. Установлена связь между законом затухания квантовых корреляционных функций и статистикой спектра квазиэнергкй - параметром расталкивания квазиэнергетических уровней.

В представлении Вигнера показана определяющая роль дискретности фазового пространства по действии в процессах квантового ограничения диффузии (КОД) в кьазиклассической области параметров.

Определены условия реализации и характерные особенности динамического хаоса в полуклассических системах гашльтоновского типа (ансамбло атомов, взаимодействующих с полем излучения и с внешним когерентным полем), и пространственного хаоса в одномерных дискретных квантовых системах с конкурирующий взаимодействием.

Научная и практическая значимость. Определение квантовой границы стохастичности представляет значительный интерес для последующих теоретических н экспериментальных исследований проблемы квантового хаоса. Сфорглулировая новый подход в теории нелинейных квантовых систем, обладающих свойством стохастичвости, позволяющий определять характерные динамические и спектральные свойства в области параметров квантового хаоса. Полученные результаты по свойствам кваа«энергетических функций и спектра ква-зкэкергий в области квантового хаоса представляют интерес для спектроскопии квазнэнаргетичесшх состояний атомов и молекул в рядберговской области. Результаты-по исследованию квантовых корреляционных функций могут быть использованы при анализе процессов взашлодействия нелинейных квантовых систем (атомы, молекулы) с внешним когерентным полем и с полем излучения; для определения роли корреляционных эффектов при описании таких систем в рамках кинетического подхода. Проведенные исследования по определению свойств пространственных хаотических структур и их устойчивости представляют интерес для изучения фазовых переходов з квантовых системах с конкурирующим взаимодействием.

Основ;;»? положения, выносимче на зашту:

1. для кг-антовых динамических систем, стохастических в классическом пределе, времена применимости классического рассмотрения является логарифмически машаш по параметру квазиклассичностя. Квантовая граница стсхастичноети определяет область парамэтров,

в коуоро.*! на конечных Бременах динамика квантовой системы ол/зка к классическому стохастическому двюаешао.

2. построенная теории, ьзадчодействия квантовых нелинейных рсгонансов позволяет определит'з динамические и спектральные свойства квантовых систем в области параметров квантового хаоса.

3. 1'еэультага анализа поведения во времени квантовых корреляционных функций дают возможность определить характерные свойства диффузии энергии г корреляционные эффекты в области развитого квантового хаоса.

•4. Рассмотрение кештового хаоса в представлении Вигнера позволяет списать свойства квантовых траекторий, определяющих • диффузионные процессы в модели квантового ротатора, и основные закономерности квантового ограничения диффузии.

5. В ансамбле атсмоз, взаимодействующих с полей излучения и с внешним резонансным полем, переход к хаосу метет осущзств-лятьоя вследствие взаимодействия нелинейных резонансов, в том числе и в области малых величин константы взаимодействия атомов с полем излучения.

6. Метод нелинейной динамики, использующий понятия нелинейного резонанса и взаимодействия нелинейных резонансов, дает возможность описать характерный свойства хаотических пространственных структур и частотного спектра малых колебаний атомов в одномерных дискретных квантовых системах с конкурирующим взаимодействием. (

Совокупность научных полежзпий и полученных в диссертации результатов позволяет сформулировать новое перспективное направление в теории стохастичности динамических систем - взаиюдой- . . сгвие нелинейных резонансов в динамических системах с квантовым хаосом.

Апробация работы'. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на советско-американском симпози>мэ по теории солито-пов и Международной рабочей группе по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев; 1979); Всесоюзном самшире "Автостохас-

тические яздзния и системы" (Горький, 1^60); ссмгнаро по математическим задачам нелинейной оптики (Дивногорек, 1980); УШ Ваьи-лояской коьфзренц,:и по нелинейной оптике (Новосибирск, ¿984); сэ-•¿инаре на XX Уральской зимней школе-сгадюгиумо фгзиков-тзореатов (Пермь, 1984); Научной сессии Отделения общей физики и астрсноиик и Отделения ядерноУ физики АН СССР (Москва, 29-30 октября 198S); Всесоюзной конференции "генорм-груша-30' (Дубна, J986); Меж,чуна-родной рабочей груме "Нелинвйныз и. турбулентные процессы в физике" (Киев, 1987); семинарах "Проблемы квантовой опгшек" (Дубна, 1987,1988); В^есоазпом семлл&ре "Неоднородные ?лектронлые состояния" (Новосибирск, 1987).

Личное участие. Автору принадлежат постановка задач (и участие в постановке совместно с Г.К.Заславским) по всэм проблемам, рассмотренным и диссертации; разработка математических методов анализа, получение ос.юыих аналитических результатов и оценок. До гасти результатов глав 1-5,7 под руководством аитора защипни доз кандидатские диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из взеде-ния, семи глав я заключенья. Пошый объем диссертации - 292 страницу машинописного текста, вклшея 50 рясуякоз (49 страниц) и список литературы - 242 наименования (25 страниц).

ООДЕРХАНКЕ деОНРГАЩИ

Эо Введении дается общая характеристика проблеш квантового хаоса, называется цель работы, обсуждается зе актуальность, теоретическая и практическая значимость, перспективность проводимых исследований. Дается общая характеристика работы и чратг.ое содержание по главам. Приводятся основные положения, янносише не. защиту з сведения об апробации.

Первая глава дизеертаиди посещена псстроегзсэ квазякласск-ческой нестационарной теории возмгеепий для квантовых динамических систем, стохастических в хлассичееком пределе. Метод основал на с -числовом проектировании операторов и операторных функций на базис когерентных состояний. Для нелинейных нестационарных гамильтонианов достаточно произвольного вида в квазиклассзческом пределе получено замкнутее с -числовое уравнение ;для наблюдаемых средних е когерентных состояниях (§2), проведен &нал/з гремен приме-

нишстл разложений по при наличка нэлинеЗности (§3). Результаты теории ксполь'позан'а в §4 при рассмотрении квазиклассической теории воьмущений для нелинейного резонанса в когерентных состояниях, который образуется при взаимодействии нелинейного квактсво-го осциллятора с внеашы периодическим во времени полем. Поскольку негкшзГаюегь осцалляуора предполагается малой, то в резонанс захватывается большее чиг.ло уровней ££ " 4 . В классическом пределе гакой ?ип движения называется нелинейным резонансом (ИР), характеризующийся параметрам: шириной но действию (расстоянием мех-ду сепгратрисакк) и частотой фазевнх колебаний в окрестности резонанса. В §4 определены квантовые поправки в НР в когерентных состояниях и времена применимости квазиклаосического рассмотрения, которые оказываются порядка 7 £ Тн . Основными резуль-

татами первой глазы являются установление экспоненциального закона роста ьо времени кэантовых поправок для физических средних в квантовых системах, стохастических в классическом пределе, и определение для таких систем "квантовой границы стоудотичкости" (области параметров квантового хаоса) - области характерных параметров, лри которых движение квантовой системы на конечных временах близко к стохастическому движению соответствующей классической системы. С этой целью в §5 рассмотрена динамика квантового нелинейного осциллятора., возбуждаемого периодической последовательностью о -импульсов. Такал система содержит бесконечное число взаимодействующих НРоз, и в классическом пределе при условии их сильного взаимодействия (перекрытии): К > Кс ( К - параметр сто-хаотичности, Кс - граница глобального хасса) происходит переход к хаосу в основной области фазового пространства. В квазиклассическом приближении получены квантовые отображения дая средних в когерентных состояниях (§5), провидено дополнительное усреднение по начальной патрице плотности и показано, что времена применимости классического рассмотрения прц условии стохасткзации движения в классическом пределе ограничены логарифмически малыми временами

^ёпСх/^) ( ~ параметр квазиклассичностк, имеющий

смысл числа уровней, вовлекаемых в динамику за время действия ил-пульса внешнего пеля) (§6). Наличие времени связано с отличием динамика при классическом и квантовом рассмотрении, к нэ зависит от способа построения решения. Определена область параметров пзантового хаоса (§7), которая может быть представлена в виде: X > К > К с » гке "Р^06 неравенство означает наличие глобальной

отохастчгшости в классическом пределе, .гезое - наличие времени примоншости классическом рассмотрения для квантовой системы.

Вторая глава. В связи с логарифмически палым временами применимости квазиклассичсекого рассмотрения, ьо второй главе разливается теорля КНР (который является обобщением на квантовнй случай понятия НР) л теория взаимодействие! пШ'ов. В связи с этим в §2 вводится удобное для последующего анализа квантового хаоса квантовомеханическое представление "утол-действив", которое при Ь -О соответствует рассмотрен*«) задачи в переменных "угол-действие". Используя это представление, в ?3 получено укороченное уравкокие типа Шредлягера для описания динамических и спектральных свойств изолированного КНР и двух взаимодействующих КНРов -простейшей динамической квантовой системы, обладающей при %-0 свойством стохастгчности. Тнкив уравнения получены в §3 для модели квантового нелинейного осциллятора, возбуждаемого внешним регулярном во времени полем, содержащим одну и две частоты. Показано (§3), что условием применимости укороченных уравнений является приближение умеренней нелинейности, что и оправдывает прямоне-нио метода для анализа квантового хаоса в каазиклассичзской области (ридберговские состояьия). В вводится гамильтониан изолированного КНР. и проводится подробный анализ его динамических и спектральных характеристик. Показано, что КНР характеризуется эффективной шириной 'ьЕ. = (Ч/Ъ') У¿\¡У 'л частотой фазовых колебашй в окрестности резонанса - У2\'И (имекщнх классические аналоги в области ; - безрззма^ные параметры возмущения к нелинейности). Наличие у КНР хорошо определенной граншы ( ЗД ) позволило в дальнейшем рассматривать его как элементарную ячейку обрамзанля квантового хаоса. Частота ("Уу) в случае КНР фактически ягмяется сбобцэнием частоты Раби V) на случай захвата в резонанс большого числа (~?ГЬ ) уровней. В §5 на основе представления "угол-действие" развлт метод ренормировки при построении квазиэнергетглеских функций и спектра ква-зионергий двух взаимодействующих КНРов при условии- относительно слабого их взаимодействия: К < Кс (К. - параметр Чиряков а перекрытия НРов; Кс - критическое значение параметра К ). Процедура ренормировки позволила свести задачу о згаьмодейотвии КНРов к исследованию свойств ренормированного гамильтониана (§5) к по-

лу-тть ряд интересных а важных результатов. Общая картгаа чроцес- . са взаимодействия КНРов на языке кБазиэнергетЕческкх функций выглядит следующий образом. Воздействие на нелинейную квактовут систему внешнего резонансного возмущения приводит к образованию КНРов различных порядков с Матье-подобнкм спектром 1сзазиэнергий, расположенных меаду перзичныш резонаксами, что в конечном итоге приводит к реяормированио* картина расположения квазизкергегичсс-ких фуякпиЛ в виде "клювов" на диаграмме (ЯД ; п - "цен'|?р тяжесть къязиэнвргетгческой фунгат.и, I - ее среднеквадратичная ширина; . Каждому неразрушенному КНР Ш. -го порядка соответствует свой га -й клюз на диаграмме (п,1 ). Показано, что в общем случае ренормировка имеет конечное число шагов за счет существенной кваКтовости резенааоов высокого порядка. Получен« условие К когда все вторичные рьзонансы является квантовых®, и процедура ренормировки обрывается на первом шаге. В §6 рассмотрена структура квазизнергетичеоких функций двух взаимодействующие КНРов в 'критической области существования квантового хаоса Кс). Показано, что разрушение реформированной структуры при переходе к кванговоигу хаосу сопрозоядаегся делокализэцией квазкэнергетдаэс-ких функций (увеличение ¿ ), связанной с разрушением вторичных резонанссв, и появлением нерегулярности в их структуре. Гаксй нерегулярный характер долокализации квазиэнергетических функций является квантовым проявлением классического хаоса. В §7 проведан статистический анализ кгоэиэнергетичесох функций и спектра к£.а-зиэноргий в области максимального хаоса. Анаяиз распределений фурьс-амшштуд далокализоваккых квазиэноргегкчееккх функций, соответствующих разрушенным КНРам и расстояний между ближайшими уровнями квазиэнергий, показывает наличие корреляций, связанных как с судествованязм зам&тнор дели устойчивей компоненты движения в ограниченном фазовом пространстве классической систола*, так и с квантовыми корреляционными эффектами, привоглщими к ограничению классического хаоса. В §3 рассмотрены динамические свойства сис-.теш двух вааимодействугацих КНРов. Показано, что при перекрытии КНРов и достаточно большом параметре квазиклассичности Ш2;

^¡Х - число уровней кевезмущэнмй системы, вовлеченных з динамику) происходит типичное для стохастического движения быстрое затухание корреляционных функций матрицы плотности с малым остаточным уровнем корреляций (порядка нескольких процентов). В случае,

когда КНРы перекрываются, ко параметр квазилласскчности кал ( < 50), затухаме ко.зреляичонни}: функций практически отсутствует, и дакание является существенно квантовым. Частотный спектр в рзмтме кванаогс^о хаоса близок к непрерывному спектру стохастического движения; эволюция волнового пакета практически не зависит 07 начального эасзленая. Анализ квантовой диффузии показывает, чтс в области квантового хаоса динамика сродней эивргик системы на конечных временах хороко согласуется с классической диффузией. Времэна соответствия классической и кзагаовсй диффуоил могут превышать зрэ.л-1 распл:шашя пакета до всей доступной области фазового пространства.

Третья глава посвящена теоретическому анализу нел'лейной квантовой системы, з которой КНР и взаимодействие КНРсв могут быть реализованы в области глубокой кэазиклассики, что, согласно результатам второй главы, позволяет реализовать в этом случае движение, б/лзкое к стохастическому движению классической системы. Б качестве физического объекта исследования рассмотрены электроны, находящиеся нзд поверхностью телш в постоянном пр'лтамахкрм и перпендикулярно поляризованном к поверхности резонансном. СШ полях. В этом случае движение электрона с с>?юргией < I эЗ (энергии проникиоьоотя электрона за поверхность гелия) представляет собой нолшейнне колебания вблизи погорхпсстк. Система является эффективно одномерной, к представляет собой обобщенна (за счет вхлючения прижимаючего поля} модели, предложенной ранзэа[1] . Проведенный а §§2,3 класс1гческий и квактозомехакическйй (на основе результатов второй глава) влатаз показывает, что в случаэ отсутствия. прляимяю'гего поля условие. КЕазиклассичнэсти ( ) взаимодействующих КЯРов % области заселения рпдбэргогских состоянии

40) фактически не шлюляяется. Приведены оценки, показывающие, что путем изменения величины прихимакдаго поля мояно варьировать число уровней, захваченных в каздый из КИГов, что позволяет изучать в такой системе переходной режим от квантовой динамики взаимодействия КИРов к двяганяю, близкому к классическому хаосу с

^етвеотая глава посвяшсна изучении динамики корреляционных функций в области сильного взаимодействия КНРоб. В качество исходных выбраны модели ниллнейного квантового осциллятора и квантового ротатора, возбуждаемых периодической последовательностью ^ -имкульсов. Одним из преимуществ ьабранных систем является

- Л -

бесконечное число взаимодействующих первичных КНРов, что приводит к максимально разьигому- хаосу. Кроме того, в таких системах юн товые корреляционные вф^ектц проявляются в наиболее явьом видз, поскольку на них не накладываются классические остаточные корреляции, связанные с конечной областью фазового п;зостраяства но действию у. со срааштально большой областью устойчивой компоненты деиквнкя (как в случае двух взаимодействующих КН?ов). Б §§й-1 анализ гопедения квантовых коррэляиионных функций на временах

проведен в базисе когерэнтных состояний (для модели нелинейного кзактового осциллятора),. Рассмотрен предельный переход точш.'х квантовых выражений в области квантового хаоса к класси-чеокслу пределу. Г[ол'/чтя зналиические оценки, иоказываицке, чго экспоненциальный характер затухания квантовых корреляций на временах. Т в области параметров квантового хаоса, изменяется для больших времен на степенной закон затухания (°< Т'//г). Дальнейший анализ, проведенкьй в отой главе, оснозан на модели квантового ротатора. В §5 введена обобщенная корреляционная функция (ОКО), позволяющая еычислять зависимость от времени произ-волышх средних. Для ОКФ з §§5,6 получено с -числовое рекуррентное выражение, и определено время примеотюсти классического рассмотрения, которое совпадает с Ть . Показано, что ОКФ в общем случае имеет постойную составляющую и зависящую от времени компоненту. Аналитически показано, что в частном случае вклад постоянной составляющей отсутствует. Показано, что при квантовомека-няческом рассмотрении эволюции во времени средней энергии следует различать два типа временных корреляций: I) возникающих при усреднении чисто фазовых динамических переменных; 2) смешанных, возникающих при усреднении операторных функций от комбинаций операторов действия и фазы, ответственных за явление квантового ограничения диффузии (КОД) [2] . Установлена с-зязь между законом затухания квантовых корреляций и статистикой спектра квазиэнергий - законом поведения функции распределения расстояний между ближайшими уровнями квазиэнергий. Показано (§?), что динамика затухания квантовых корреляций может быть достаточно хорошо описана некоторой эмпирической формулой, имеющей скейлинговую структуру, и позволяющей описать явление КОД.

Пятая глава посвящена анализу процесса диффузии энергии в система с бесконечным числом взаимодействующих КНРов (модель кван-

тового ротатора) в г.редстазлеыш Вигкера. Такой подход имеет ряд оуцествешшх прешчуч.эств при статистическом описании движенья в области параметров квантового хаоса. В §2 рассмотрено пррсбразо-вание Зейля произвольного оператора, заданного в представлении, "уюл-дейстъие", введенного во второй главе. Используя результаты §2, в §3 полученс- дяокретяоз отображение для функции ¿Зигнеоа для модели ротатора з предстздлешга "/гол-действие*. Полазано, что переход к классическому пределу соответствует эволюция функция Лиуьилоя с уравнениями движения, соответствующими стандартному отображению Чярикова. В §4 получены квантовые отображения, описывавдие эволзщяю квантовой сдстемп п являющиеся обобщением "классической модели квантовой стохастичности" . Показано, что отличие в поведении во времени квантовых корреляционных Функций от классических обусловлено двумя факторами: I) дискретностью фазового пространств.', по действию в квантовом случае; 2) наличием в квантовых отображениях дополнительного (по сравнению с классическим случаем) квазт случайного процессч. Показано, что в квазиклассической области (с£. »1 ) первый фактор является определяющим при анализа, процесса квантовой дкффузаи анергии. В §5 дополнительно рассмотрен вопрос о влиянии дискретности фазового пространства на поведение фазовых корреляционных функций. Показано, что дискретность фазоього пространства приводит к усилению корреляционных эффектов. В §6 изучена динамика кззактошх траекторий г> квазиклассической области, и построена функция распределения времен замыкания траекторий. Используя формализм квантовых траекторий, описаны как явление КОД с определением характерных времен процесса, совпадающих с полученным? разеэ [2,з]из свойств локализации квазкэнэргетических функций, так и квантовый резонанс -■квадратичный рост во времени (** Сг ) средней энергии системы. Развитый .в этой главе подход к изучению динамики системы б облас-' ти параметров квантового хаоса фактически яэлаэ\;ея вариантом ква-з1шлассического приближения в случае, когда в классическом пределе имеет место стсхастизеция движения. При таком подходе в качестве исходного выбираются не классические траектории двгстоьия, а траектории, учитывающие дискретность квантового фазоЕого цроет-ранства по действию, что позволяет описать такое эажьое свойство системы ка;: КОД.

В аестой г.чапе рассмотрены условия возтткновенм хаоса в ло-

- ТЗ -

лукласеичэской гашльтсновой скс?еме, состоящей им ансамбля много уровнсгых атомов, взаимодействующих с собственным полем излучения (которое рассматривается з классическом одномодовом приблоте-нки) и с внешним когерентным пслем. íaIvoe рассмотрение приводит к аффективному классическому гамильтониану с нелинейным взаимодействием атомов с полем, что позволяет проводить анализ условий возникновения хаоса в рамках классической теории взаимодействия НРов. В §§2,3 поручена основаце уравнения для. описания ансамбля многоуровневых атомов, взаимодействующих с полем излучения к с внешним когерентным полем. Изучается возможность стохастического возбуждения атоычой потстетеш з область выссколг халдах уровней. Показано, что в режиме сильного взаимодействия НГоь в основной об пасти фазового пространства (<А ; Л - константа взаимо-

действия атомов с полем излучения) происходи! установление кваск-стациокарнсй функции распределения засоленностей уровней; при этом эффективное возбуждение высоколежащих уровней происходит в области гараметров стохастической неустойчивости одноьременно о генерацией в система салосогласозанногс поля излучения с характерными амплитудами, превышающими амплитуду внешнего поля. Показано также, что наличие внешнего резонансного поля, действующего одновременно на нескольких переходах, увеличивает скорость развития локальной неустойчивости и привода к росту энергии атомной под-систеш. Кьазистадионарпая функция распределения устанавливается в этом случае зн?лаггелыю сыстрэо (по сравнения со случаем воздействия внешнего поля, рззспансного одному переходу), и происходит суиеетвеипоэ зозбуздогшв выспкололсащих уровней. Б §§4-6 для ансамбля даухурог-овых агоиов показано, что возможно существенное вонигмЪв порога ( Л 1) адохастизатш движения в основной области фазового пространства. Это достигается в определенной области параметров (С- ~ ь)с ~ Д ) за счет отстройки Д частоты внешнего поля от частоты перехода в двухуровневом атоме ( С -резонансная частота Раби, о)с - кооперативная частота). В этом случае в системе выделяются НРы, сильное взаимодействие которых реатизу&тся в области параметров, реальных для наблюдение явления стохастичности в условиях вксперимента.

Седьмая глава госвящена исследованию ро;д НР и взаимодействия НРоь при описания структурных переходов ооразмзрносчь-яесо-размерность-хаос в одномерных дискретных квантовых системах с, кон-

курирующим взаимодействием. Анализ проводится км: з г,агшое когерентных состояний (одлоузельних и коллективных), так и в рамках самосогласованного оп.тсакия проотраяствег.ш;.х структур и спектра малых колебаний ч когерентных состояниях и в приближении самосогласованных Кононов при отлрчкой от нуля температуре. В качестве модели для проведения аналитических и численных расчетов использована дискретная квантовая модель Фринкэля-Коиторовой. В этом случае в квазивлассдческой области квантовые, отображения, описывающие возможные пространственные структуры, имеют вид стандартного отображения с учетом порэнорьаро'вкк параметра стохастичносаи К. за счет квактознх и температурах флуктуаиий. И в этом случае, однако, анализ возможных пространственных структур удобно проводить, используя понятия НР и взаимодействия НРоз. Основное внимание уделено исслодованм- свойств хаотических пространственных структур и соотз'ггетвующего им частотного спектра малых колебаний. Фактически рассмотрений подход представляет процедуру квазикласскческогс кгавтоьзлг^. в длскр&пмх моделях классических равновесных структур, гостоящи! из регулярных я случайных участков солитоннсго типа, и является обобщением квазшслассяческого квантования континуальных решений солитоняого типа. В §2 приведэ-иы характерные параметры, возникающие при рассмотрении системы .в континуальном приближении. В §3 в квазиклассическом приближении развит метод квантовзьия пространственных структур в когерентных состояниях при Т= О . Получены замкнутые уравнения для определения положений равновесия атомов структуры и спектра малых колебаний. В §4 решения полученных уравнений анализируются методом нелинейной динамики в приближении изолированного НР (что оказывается эквивалентном континуальному приближению) в одноузелькых когерентных состояниях. Показано, что эффектом кваятовости является эффективное уменьшение потенциала взаимодействия атомов с полем.

■ Рассмотрэние структур в коллзктгакых когерентнчх состояниях позволило получить крлтерий разрушения соразмерной фазы за счет квантовых флучтуагргй, который в приближении изолированного НР совпадает с результатом континуального подхода. В §6 рассматриваются самосогласованные структуры в когерентных состояниях при условии сильного взаимодействия НРов, иогда эффекты дискретности существенны. ТаксЯ подход позволяет определять характерные свойства хаотических пространственных структур и спектра малых колебаний атомов в таких структурах. В рассмотрены самосогласованные хно-

тячеекио структуры в дискретной цепочке с учетом кванювости и конечной температуры, состоящие из областей с солитонной составляющей и соразмерной фазой. Характерной особенностью спектра малых колебаний хаотических структур является (как к в случае когерентных состояний, §6) наличие щели и разрывный хзрактер га-вискмости ^2 типа "дьявольской лестницы". Показано, что с увеличением температуры (параметра квантовости) разрушение случайной солитонной структуры, связанное с "размягчением" спектра малых колебаний, происходит локально-собственный вектор низкочастотного колебания, определяющий щель в спектре, локализован в области разрушающегося солитона. Обсуддаются преимущества методов нелинейной динамики, использующих понятие НР при изучении пространственного хьоса в дискретных квантовых системах с конкурирующим взаимодействием.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, указаны возможные приложения и дальнейшие пути развития теоретических исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Развит подход, позволяющий анализировать динамику средних в кваяиклассическом приближении для квантовых динамических систем, стохастических в классическом пределе:

а) показана логарифмическая малость времени применимости классического раземотрения по параметру квазиклассичности;

б) определена "квантовая граница стохастичности" - область параметров, в которой на конечных временах динамика квантовой системы близка к классическому стохастическому движению.

2. Построена теория квантового нелинейного резонанса п взаимодействия квантовых нелинейных резонансов, позволяющая проводить анализ квантового хаоса на больших временах:

а) на основе представления "утол-действие" построен квантовый нелинейный резонанс, характеризующийся эффективной шириной и характерной частотой фазовых колебаний, имеющих классические аналоги;

б) определены динашческие и спектральные характеристики системы двух взаимодействующих квантовых нелинейных резонансов как в области их слабого взаимодействия, так и в области развитого

хаоса в классическом предвлэ; е) развит метод ренормализации при построении киазкояергатячэс-ких функций и спектра квазизнергии системы двух взаимодействующих квантовых нелинейных резонансов. Найден квантовый предел ренор.гаровки классического фазового пространства, связанный с существованием резонансов высокого порядка; г) показано, что переход в область максимального квантового хаоса связан с делоквлизацией квазиэнергетических функций и появлением случайной компоненты з их структуре.

3. В систомо электронов, находящихся над поверхностью гелия в постоянном прижнчалщем и СВЧ полях, определены условия реализации квантового нелинейного резонанса и квантового хаоса в квазиклассической области и при дополнительном условии захвата в каждый из резонансов большого числа уровней.

4. Найден закон аволщш во времени квантовых корреляционных функций, дающих вклад в диффузию энергии, для случая бесконечного числа сильно взаимодействующих квантовых нелинейных резонансов:

а) показано, что экспоненциальное затухание корреляций, соответствующее области времен применимости классического рассмотре-. ния, переходит на больших временах в степенной закон затухания с наличием в общем случае постоянной составляющей; 6} установлена связь между законом затухания квантовых корреляций и статистикой спектра квазиэнергий.

5. Развит подход для анализа квантового хасса в дредотавле-нии Вигнера в системе квантового ротатора, взаимодействующего с периодическим во времени "ь -образным полем:

а) показано, что в области квазиклассаки процесс квантовой диффузии определяется квантовыми отображениями, учитывающими дискретность фазового пространства по действию; • б) предложенный подход позволил описать в рамках формализма квантовых траекторий как явление квантового ограничения диффузии, так и квантовый резонанс - квадратичный рост во времени ерэд-ней энергии системы; з) показано, что время ограничения квантовой диффузия определяется характерным временем зашкан:и "кваптовых траекторий".

6. Определены условия перехода к хассу вследствие взаимодействия нелинейных резонансов в полуклассической системе гакияь-

' тоновского типа, состоящзй из ансамбля многоуровневых атомов.

взаимодействующих с собственным полем излучения и с внешним резонансным полем. Показана возможность перехода к хаосу при малой величине константы взаимодействия атомов с полем кзлучэния.

7. Методами нелинейной динамики проведен шш характерных свойств хаотических пространственных структур в одномерной дискретной квантовой системе атешз с конкурирующим взаимодействием. Показан локальный характер разрушения хаотических структур за счет низкочастотных колебаний атомов в участках с солитонной компонентой.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Beriraii G.P., £a&laveky G.M. Condition of stcchaeticity in quantum iionlinear вуаtarns // Physica A. - 1976. -V.91. N3,4. - P.450-460.

2. Берман Г.П., Заславский Г.М. Стохастическая неустойчивость нелинейного квантового осциллятора //ДАН СССР. - 1978. -Т.240, #5. - C.I082-I085.

3. Вехтоап G.r., lomin A.M., Zaolaveky G.M. Method of quaaicleu-sical approximation for С -number projection in coherent etubes basis // Phyeica D. - 1981. - V.4, N1,2. - K113-121.

4. Berrcnn G.P., Ioain A.M.. Quaoicleesical perturbation theory for quantum К -system // Phys. lett. A. - 1Э83. - V-95, Я2. - P.79-S1.

5. Берман Г.П., Иомин A.M. О диффузии в квантовых К-системах. -Препринт / ИФ СО АН СССР. - Красноярск, 1981. - И 17ЙФ. -

20 с.

6. Berm&n G.P., Zaalavsky G.1I. auantum mappings and the problem o£ etocfcaeticity ill quantum systems // Physica A. -1982, - V.111, H1. - P.17-44.

7. Берман Г.П., йомин A.M. О квазшсласоическом приближении для нелинейного осциллятора, стохастического в классическом пределе. - Препрклт/ИФ СО .АН СССР. - Красноярск, 1986. ~ К93Ф. -14 с.

8. Берман Г.П., Иомин A.M. Метод нелинейной динамики и пространственные структуры квантовых одномерных цепочек // ЖЭТФ. -1985. - Т.89, выл. 3(9). - С.946-958.

9. Вегшш G.P., Kclovsky А.Н. Correlation function behaviour in quantum systems which are classically chaotic //

. Phyoicn D. - 1S33. - V.8, K1,2. - P.117-141.

10. Eerman G.P., Zaalavsky G.M. Theory of quantum nonlinaar resomrca // Fhjo. Lett. A. - 1977. - 7.61, N5. -

F. 295-296.

11. Берман Г.П., Заславский Г.И., Коловскг"! А.Р. Взаимодействие квантовых нелинейных резояансов // ЖЭТФ. - 1981. - Т.81, вып. 2(8). - С.506-516.

12. Berman G.P., Zaslaveky G.M., Koloveky A.R. On the spectrum of the system of interaction quantum nonlinear resonances // Fhys. Lett. A. - 1962. - V.87, N4. - P. 152-155.

13. Берман Г.П., Заславский Г.М., Коловский А.Р. Взаимодействие резонансов в многоуровневых системах // Тезясы докладов.

XI Всесоюзная конференция по когерентной и нелинейной опти-г тике. Часть I. - Ереван, 1982. - С.421-422. -

14. Берман Г .П., Колоиский А.Р. Динамика нелинейных квантовых систем, стохастических в классическом предела // Тезисы докладов. X Международная токференция по нелинейным кслеба-hskm. - Варна, IP34. - С.31.

15. Взгшзп G.P., KolovaUy А.Я. Structure and stability of ttie quasi-energy spectrum of two interacting quantum nonlinear resonances // Phys. Lett. A. - 1983. - V.95, N1. - P.15-18.

16. Бэрасаз Г.П., Власова 0.$., Израйлев Ф.М. Кзазиэнергетическяэ Оугйсдгт! и спектр квазиэкергиЯ двух £зашяоде{;ствукщгос нелинейных резокаксов в областз классического хаоса // ЖЭТФ, -1987. - Т.93, был. 2(8). - С.470-482.

17. Бэрдан Г.Д., Власова О.Ф., Израйлев Ф.М., КсловсккЙ А.Р. Динамические и спектральные свойства взаимодействующих квантовых нелинейных резонансов: Труды Совещания "Ренорм-грутпга-86". - Дубна: СИЯИ, 1986. - С.233-244.

18. Берман Г.П. О некоторых свойствах квантового хаоса // УФН. -IS87. - T.I52, вып.1. ~ C.I7I-I73.

19. Bernan G.P., Kolovaty А.Н. Renorraalization method for the quantum system of interacting resonances // Fhys. Lett. A. -1987. - V.I25» H4. - P.188-192.

•„О, Berman G.P., Kolovsicy A.H., Zaslavaky G.K. A aonlinear resonance in a eystea of surfa-je-stats electrons // Phys. Lett. A. - 1984. - V.105, И9. - P.483-486.

21. Берман Г.П., Заславский Г.М., Коловский А.Р. Нелинойннй резонанс и стохастичкость в системе поверхностных электронов //

ЕЭТФ. - 1585. - Т.88, вып.5. - C.IE5I-1559.

22. Berman G.P., Kolovsky ¿.It. Dvnamics of classically chaotic quantum systems in Signer representation // Physics D. -

1985. - 7.17, K2. - P.183-1S7.

23. Berman G.P., Izrailev F.M., Kolovaky A.R. Quantum chaos and peculiarities of diffusion in Wignei- representation // Physics A. - 1968. Y.152, K2. - P.273-286.

24. Бермач Г.П., Коловскпй А.P. О диффузии в системе квантового ротатора, возбуждаемого периодической последовательностью

S" -ккаульсов. - Препринт/® СО АН СССР. - Красноярск, . 1985. - А 338Ф. - £.9 с.

25. Белобров П.И., Бермая Г.II., Заславский Г.М., Слчвкнский А.П. О стохастическом механизме возбуадения молекул, взаимодействующих с собственным полем излучения // НЭТФ. - 1979. -

' Т.76, JJ6. - С.1960-1968.

26. Bermen G.P., Zaslavsky G.M. On stochastic behaviour of nulti-level dynamic quantum systems // Pfcysica D. - 19S1- -T.2, N1. - P.25-29.

27. Alekseev K.H., Beria<m G.F. Regular and stochastic oscillations in tbe eystera of atoms interacting with radiation field: Abet, of 21 later. Oonf. Honlioear Oac. - Budapest, Hungery, 1987. P.34.

'28. Алексеев K.H., Бермак Г .П. Динамический хаос при воздейст- . вии внешнего монохроматического излучения на двухуровневую среду с учетом кооперативных аффектов // ЕЗТФ. - 1987. -Т.92, вып.6. - С.1985-1994.

29. Берман Г.П., Иокин A.M. Соразмерная, несоразмерная и хаотическая структуры в одномерной квантовой цепочке атомов, взаимодействующей с внешним пространственно-периодическим полем. - Препринт/!® СО АН СССР. - Красноярск, 1984. -

» 267Ф. - 26 с.

30. Berman G.P., lonin A.M. Structural order and chaos in a one-dimensional quantum chain // Phye. Lett. A. - 1985. -V.107, H7. - P.324-328.

31. Белошапкин В.В., Берман Г.П., Иомин A.M., Третьяков А.Г. Самосогласованная теория пространственных структур и динамических возбуждений в одномерных квантовых системах // 2ЭТФ. -

1986. - Т.90, вып. 6. - С.2077-2089.

32. Beloahapkin V.V., £спдаи G.P., Tret'yakov A.G. Self-consiotent structures in discrete quantum Prenlrel-Konto-rova model nt finite temperature // Phye. Lett.A. - 1987. -V.124-, N1,2. - P.90-94.

33. Белошапкин В.В., Берман Г.П., Третьяков А.Г. Самосогласованные структуры к спектр динамических возбуждений в дискретной квантовой цепочке атомов при конечной температуре // Тезисы докладов. Второй Всесоюзный симпозиум "Неоднородные электронике состояния". - Новосибирск; J987. - C.I74-I77.

34. Борман Г.П., Израйлев Ф.М. О динамике корреляционных функций и ограничении диффузии в области квантового хаоса. -Препринт/ИФ СО АН СССР. - Красноярск, J9S8. - № 497Ф. -

24 с.

35. Берман Г.П., Смокотина-О.Ф. О динамике взаимодействия квантовых нелинейных резокансов в области классической стохастичности. - 11рспр;?лт/ИФ СО АН СССР. - Красноярск, 1980. -

№ 498Ф. - 13 с.

1. Jenson R.V. Stochastic ionization of surface-state electrons // Phys.Rev.Lett. - 1982. - V.49. H12. - P.1365-1368.

2. Chlrikov B.V.. Izrailev F.M., Shepelyansky D.L. Dynamical atochasticity in classical end quantua nechanierua // Soviet Scientific Reviews. - 1981. - V.2C. - P.209-267.

3. Чириков Б.В., ШепелянскиЗ Д.Л. Локализация динамического хаоса в квантовых системах //Изв. ВУЗов. Радиофизика. -1986. - Т.29, ¿'9. - С.1041-1049.

Цитируемая литература