Квантовый хаос в атомных и молекулярных системах во внешнем периодическом поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Г I О

- С МЛН

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

*

На правах рукосипи УДК 53:01

Коловский Андрей Радиешгч

Квантовый хаос в атомных н молекулярных системах во внешнем периодическом поле

01.04.02 - Теоретическая физика-

Автореферах дпесертацпи на сопсклтгпе ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск - 1995

Работа выполнена в Институте физики им. Л.В. Киренского Сибирского отделения Российской Академии наук.

Официальные оппоненты:

Самсон Андрей Михайлович

доктор физико-математических наук, Институт физики им. Б.Й.Степанова АН Беларуси, г.Минск.

Слабко Виталий Васильевич

доктор физико-математических наук, Красноярский государственный технический университет.

Краснов Игорь Васильевич

доктор физико-математических наук, Вычислительный центр, Сибирское отделение РАН.

Ведущая организация: Институт ядерной физики

им. Г.И.Будкера СО РАН, г.Новосибирск.

на заседании специализированного совета Д.004.61.01 при Красноярском государственном университете.

Адресс: 6600С2, Красноярск, пр. Свободный 79, КГУ, физический факультет-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан '¿Л 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Защита состоится ?

1995 г. в \-Ч часов

Ю.Ю. Логипов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В конце 60-х годов в теоретической физике произошло открытие, сравнимое по своему влиянию на наше понимание Природы, разве что с открытием теории относительности и квантовой механики. В классической механике был обнаружен хаотический тип движения. Наконец-то понято, откуда в природе берется Случай и мы впервые имеем возможность езязать воедино детерменистический и статистический подходы к описанию мира.

Как и всякое революционное открытие, открытие Хаоса заставило частично пересмотреть и дополнить многие области физики и, в частности, как это не парадоксально может показаться на первый взгляд, квантовую механику. Действительно, квантовая механика была построена в начале нашего века на фундаменте классической. Однако, в то время физикам был известен лишь регулярный тип движения, который, как стало сейчас ясно, является скорее исключением, чем правилом Природы. Соответственно, все теоретически исследованные объекты микромира также принадлежали к классу регулярных систем. Такое положение, когда целая область знаний ограничивалась лишь "исключениями из правила", не могло продолжаться долго, что н привело к возникновению нового направления в физике теории "квантового хаоса". В самом грубом подходе можно дать определение квантового хаоса как раздела'квантовой механики, посвященного свойствам квантовых объектов, которые имеют хаотическую динамику в классическом пределе. При этом анализ системы как правило проводится в квазиклассической области параметров, где мы можем ожидать аналогий с классической динамикой системы.

С момента оформления квантового хаоса в самостоятельное направление прошло уже более 20 лет, большое количество обзоров и книг было написано на эту тему и сейчас мы наблюдаем процесс». дробления квантового хаоса на отдельные, более пли менее самостоятельные, "подпаправления". Одному, из этих поднаправлений - хаотической динамике квантовых систем под действием йерподнчесхого возмущения - посвящена данная работа.

Научная новизна работы. Под действием периодического возмущения в классической нелинейной системе возникают нелинейные резонансы на частотах, кратных от собственной частоты системы. При превышении некоторого порогового значения возмущения, взаимное влияние нелинейных резонансов приводит к установлению в системе хаотического режима движения. При этом, в зависимости от конкретных свойств системы, можно выделить два предельных случая. Случай, когда в системе имеет место конечное число нелинейных резонансов (как следствие, объем хаотической компоненты является конечным), и случай бесконечного числа нелинейных резонансов и бесконечного объема хаотической компоненты.

В квантовом случае основное внимание исследователей до сих пор было сосредоточено на изучении проявлений хаоса в системах с бесконечным или очень большим числом нелинейных резонансов. Пример системы этого класса мы находим в известной модели ротатора под действием периодической последовательности ¿-импульсов

Я = £ + СС,80Х;6(*-:гп), ¡ = (1)

А п Оа

, Система (1), несомненно, наиболее изучена с позиций квантового хаоса п является "эталоном" при квантовом анализе систем с бесконечным объемом хаотической компоненты.

Данная работа посвящена изучению систем с конечным объемом хаотической компоненты. Нашей основной моделью выступает так называемая модель двух взаимодействующих резонансов

- Р

Я = у + собесом0 , 0 < $ < 2тг . (2)

В этой системе реализуется всего два нелинейных резонанса - минимальное возможное число для возникновения хаотического режима - и мы можем рассматривать систему (2) как "эталон" для систем с конечным объемом хаотической компоненты. В работе показано, что проявление хаоса в системах с конечным объемом хаотической компоненты существенно отличается от его проявлений в системах с бесконечным объемом.

Ч

Цель и практическая значимость работы. Цель

работы состоит в исследованини квантовых проявлений хаоса в системах с ограниченным объемом хаотической компоненты. При этом мы не ограничиваемся изучением лишь модели (2). В работе проведен анализ ряда конкретных физических систем, которые являются традиционными объектами эксперимен'гальных исследований в квантовой оптике и радиофизике. Это дипольная молекула в поле СВЧ или ИК излучения, атом в стоячей лазерной волне и некоторые другие системы. Последнее обстоятельство определяет практическую значимость работы.

Аппробация диссертации. Основные результаты работы докладывались автором и обсуждались на школах и конференциях Chaos and Quantum Physics (Les Houches, 1989), Dynamics Days'90 (Düsseldorf, 1990), Dynamics Days'93 (Poznan, 1993), Simposium on Foundation of the Modern Physics'93 (Cologne, 1993), Workshop on Quantum Chaos (Krakow, 1994), Sitges Conference on Statistical Mechanics (Sitges, 1994), а также на теоретических семинарах в университетах Kasexslautern (Prof. J.Korsch), Augsburg (Prof. P.Hängi), Essen (Prof. F.Haake) и ИЯФ в Новосибирске.

Объем раООТЫ. Диссертация изложена на 166 страницах текста и содержит 49 рисунков. Библиография включает 111 наименований.

Структура и содержание работы

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения, Приложения и списка литературы. Обзоры по тематикам глав отнесены во Введения к главам, основные выводы - в Заключениям к главал^

Введение. Во1 введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы и кратко излагается содержание глав.

Глава 1. При классическом подходе к задаче о поведении нелинейной системы под действием периодического возмущения фундаментальную роль играет понятие нелинейного резонанса, который

возникает при совпадении частоты внешнего поля с собственной частотой (или кратным от собственой частоты) системы. Выделение нелинейных резонансов является первым и необходимым этапом классического анализа системы. (В системе (2) имеет место два нелинейных резонанса: представляя потенциальную энергию системы в виде cos в cos(cji) = (l/2)[cos(0 — wt) + cos(0 -t- ut)] из условия совпадения частот d9/dt — и находим, что центры нелинейных резонансов соответствуют значениям I = ±о>.)

Представляется интересным обобщить понятие нелинейного резонанса на квантовый случай. При этом исходная постановка проблемы о поведении квантовой системы под действием периодического поля выглядит' традиционным образом: имеется система энергетических уровней и мы шггерисуемся динамикой населенностей уровней, поведением различных наблюдаемых величин (например поляризации] и т.д. В этом смысле задача не отличается от задачи о поведении двух- или трехуровневой системы в когсоентном поле. Ключевое отличие состоит в том, что анализ проводится в квазиклассической области параметров, где конечноуровневое приближение неприменимо. Отказ от конечноуровневого приближения позволяет исследовать динамику системы более полно, и обнаружить режим движения, аналогичный нелинейному резонансу в классической физике.

Пункты 1.2 - 1.4 главы 1 содержат необходимые предварительные сведения по нелинейному резопансу. Оригинальную часть главы составляют пункты 1.5 - 1.8. Здесь мы проводим сравнение динамики средних для квантового и классического нелинейных резонансов и рассматриваем явление квантового нелинейного резонанса в специфической системе ("вращающаяся двухуровневая система"). Предсказан новый физический эффект - динамическая ориентация молекул внешним переменным полем, который находит свое объяснение: через концепцию квантового нелинейного резонанса.

Глава 2. Вторая глава диссертации посвящена подробному исследованию системы двух нелинейных резонансов. Параметром, определяющим степень влияния резонансов друг на друга, является параметр перекрытия резонансов Чирнкова К, который соответствует отношению ширин резонансов к расстоянию между ними. В используемых в (2) безразмерных переменных К — \/2/ш. При пре-

вышении параметром К критического значения Ксг ~ 1 в системе происходит переход к хаотическому режиму движения. Исследованию этого режима движения в системе (2) с позиций классической механики посвящены пункты 2.2 и 2.3.

В пунктах 2.4 - 2.8 мы рассматриваем проявления хаоса в системе (2) с позиций квантовой механики: динамика населенностей уровней, . структура собственных квазиэнергетических функций системы и динамика квантовомеханических средних (наблюдаемых). В главе 2 показано, что основное проявление хаоса в системе (2) состоит в "двумерной делокализации" собственных квазиэнергетических функций системы, которая происходит при превышении параметром К своего критического значения. Данное явление двумерной делокализации находит свое отражение в поведении наблюдаемых. В работе показано, что в хаотическом режиме динамика наблюдаемых представляет собой очень сложный квазипериодннескнй процесс, близкий по своим свойствам к случайному процессу.

Пункты 2.9 - 2.11 содержат анализ конкретных физических систем, "подпадающих" под модель (2). В первую очередь это дипольпая молекула в поле линейно поляризованного излучения микроволнового диапазона:

Я = ВЪ2 - йЕ СОЭ0 ««(сЛ) . (3)

В гамильтониане (3) В - вращательная постоянная молекулы, Ь -оператор момента вращения, й - величина дппольного момента молекулы, 0 - угол между вектором дипольного момента и направлением поляризации поля. Поскольку проекция момента на направление вектора Е является интегралом движения системы, то трехмерная система (3) описывается двумерной моделью (2), где связь между параметрами молекулы и безразмерныш! параметрами модели (отмечены штрихами) приближенно задается следующими формулами:^-' = Ни(ВЕй)~1!2, Ь' = (Ее1/В)1/2. Таким образом, переход к хаосу в системе (3) происходит при значении шсг = (2ВЕй)1^2/?1. При этом*; чтобы иметь возможность наблюдать режим квантового хаоса, значение безразмерной постоянной Планка Тг1 должно быть много меньше единицы (реально, Н' < 0.1). Последнее условие означает, что интенсивность поля должна быть относительно высокой.

Помимо дппольной молекулы в СВЧ поле глаза с одержит-анализ

динамики двухатомной молекулы в интенсивном ИК поле, резонансном колебательной степени свободы, и молекулы в поле модулированного лазерного излучения, резонансного выделенному колебательному или электронному переходу ("вращающаяся двухуровневая система"). Последняя система является на наш взгляд наиболее приемли-мым объектом для экспериментального исследования режима квантового хаоса в системах обсуждаемого типа.

Глава 3. Третья глава диссертации посвящена "расширенной" модели двух взаимодействующих резонансов, когда фазовое пространство системы есть плоскость, а не цилиндр:

2

Н = у + cos х cos(u;t) , —оо < х < оо . (4)

Интерес к этой системе обусловлен тем, что здесь мы сталкиваемся с явлением хаотической диффузии. Явление диффузии составляет одно из наиболее ярких проявлений хаотического типа движения в классических системах. Простейший пример хаотической диффузии мы находим в модели ротатора под действием периодической последовательности «5-импульсов (1). Если начальное условия для ротатора определены с конечной точностью Д/(0), Д#(0), то при классическом подходе модель (1) приводит к диффузионному росту неопределенности углового момента: Д/2(<) = t/2T.

Начиная с пионерской работы [G.Casati, B.V.Chirikov, F.M.Izrailev, J.Ford. Lcct. Notes Phys. 93, 334 (1979)] явление диффузии интенсивно исследуется и в квантовом случае. Было найдено, что в квантовом случае, из-за эффектов интерференции, диффузия достигает насыщения. Это означает, что спустя некоторое время неопределенность углового момента перестает расти. Подобное изменение процесса диффузии было обнаружено во многих других квантовых системах, таких как ридберговский атом в микроволновом поле, квантовый контакт Джозефсона, пучек атомов в стоячей волне, и т.д. Рассматриваемая модель (4) принадлежит к другому классу хаотических систем, где мы имеем дело с диффузией координаты, а не импульса. Исследования систем этого класса в квантовом случае находятся в самом начале.

В пункте 3.2 показано, что при классическом подходе динамика системы (4) прекрасно описывается дискретной моделью случайных

лужданий на одномерной решетке и, следовательно, неопределенность в положении частицы растет линейно со временем. В кванто-¡ом случае динамика расширенной модели двух взаимодействующих »езонансов полностью определяется собственными квазиэнергетиче-кими функциями системы и значениями квазиэпергий, которые, в :илу наличия в системе (4) трансляционной инвариантности, образует зонную структуру. Пункты 3.3 и 3.5 посвящены анализу зонйой :труктуры квазиэнергетического спектра с привлечением диабати-[еского представления и статистических методов. Процесс кванто-юй диффузии в модели (4) исследуется в пункте 3.4. Показано, что |ффекты туннелирования в координатном и фазовом пространстве фиводят к ускорению классической диффузии, и неопределенность I положении частицы растет со временем (асимптотически) квадратичным образом.

Глава 3 не ограничивается анализом лишь модели (4). В пунктах 3.6 - 3.7 проведен анализ двух конкретных физических систем - заряженная частицы в поле стоячей СВЧ волны и двухуровневый 1Том в стоячей лазерной волне, где явление квантовой хаотической щффузии по координате может быть исследовало экспериментально. Наконец, пункт 3.8 посвяшен классическому анализу поступательной шнамикп дииольной молекулы в стоячей СВЧ волне. (Анализ вра-пательной динамики был проведен ранее, в главе 2.)

Глава 4. Анализ всех спсте^г," рассматриваемых в первых трех главах, проведен в гамильтоновом (бездиссипатшшом) приближении. Иными словами, квантовая система предполагается полностью изолированной от окружающего мира. Учету влияния диссипации (в более широком смысле учету влияния окружения) па динамику системы двух взаимодействующих резонансов посвящена глава. 4.

В пунктах 4.2 - 4.3 на основе модели (2) рассматривается задача о поведении дииольных молекул, находящихся в равновесной среде буферного газа, под воздействием внешнего- переменного В ре-

зультате столкновений с атомами буферного газа и: ириг отсутствии внешнего поля молекулы релаксируют в состояпйё термодийамиче-ского равновесия с буферным газом. Мы интересуемая равновесным состоянием системы в присутствии внешнего пола1. При этом параметры поля выбраны так, чтобы удовлетворить-условиЮ хаотической

динамики молекул (/(' < 1, и < и;сг, см. гл. 2). В этом смысле мы можем говорить о неком "хаотическом стационарном сос тоянии" или. более корректно, о стационарном состояниии при условии квантового хаоса. В пункте 4.3 показано, что в этом состоянии спектр наведенной поляризации системы содержит аномально большое число гармоник внешнего поля. В противоположном случае л > ~сг (регулярный режим) в спектре наведенной поляризации присутствует практически лишь одна (первая) гармоника.

Вопрос, рассматриваемый во второй части главы 4, важен скорее с фундаментальной, чем прикладной стороны. Здесь мы на примере модели (2), которая является типичной нелинейной системой (проявляющей как регулярный так и хаотический типы движения), исследуем переход от квантовой к классической динамике в открыто] системе. В пунктах 4.4 - 4.5 обсуждаются универсальные свойства "окружения", при которых может быть получено замкнутое уравнение движения для открытой классической или квантовой системы Аргументируется, что наиболее естественным образом замкнутое уравнение возникает.в предположении о хаотической динамике окружения. В случае слабой диссипации это уравнение имеет вид

В уравнении (5) p(t), Н - матрица плотности и гамильтониан систе мы, V - оператор взаимодействия системы с окружением (el соответствует энергии взаимодействия), г г время затухания корреляционных функций для переменных окружения. В пункте 4.6 показано что уравнение (5) позволяет рассматривать переход от квантовой ] классической динамике не как формальный переход по h, а как перехс по параметру взаимодействия системы с окружением. Условия этог перехода сформулированы в пункте 4.7 и в упрощенном виде соо: ветствуют неравенству eV(rfi)1/2 > ЙП, где через Tift мы обозначил] характерный энергетический квант системы. Результаты численны расчетов свидетельствуют, что при выполнении последнего услов1 квантовая динамика системы [т.е. динамика, рассчитанная на ochoi квантового уравнения движения (5)] полностью совпадает с класснч ской динамикой, расчптанной на осиове уравнения движения открь той классической системы [dp[t)/dt = {Ы, p(t)}+e2T{V, {У, pit)}}. р{\

dp(t)

at

(5)

to.

классическая функция распределения, { } - скобки Пуассопа].

Результаты, выносимые на защиту

Проведен спектральпый анализ п анализ поведения средних -для вантового нелинейного резонанса. Подробно рассмотрена частная щзическая система - молекула под действием высокочастотного по-:я. резонансного выделенному колебательному пли электронному пе-еходу. - где реализуется явление изолированного квантового нели-ейного резонанса. Теоретически предсказано явление динамической рпентации молекул внешним полем.

С позиций квантовой механики рассмотрена одна из простейших юделей классического хаоса - модель двух взаимодействующих ре-онапсов (2). Подробно исследована структура квазиэнергетпческих ¡ункшш системы. В частности, исследовано явление двумерной дело-ализашш квазнэнергетичеекпх фупкцпй при переходе от регулярно-о к хаотическому режиму. Показано, что этот эффект имеет своим ледствием существенное увеличение числа линий в спектре наблюда-мых. Проведен сравнительный анализ поведения квантовых II клас-ичеекпх средних. Показано, что при условии квантового хаоса дп-амнка средних для системы (2) представляет собой квазислучайный роцесс. Рассмотрен ряд физических систем (дипольпая молекула в "ВЧ поле, молекула под действием умеренного и сильного ИК поля), де ревизуется явление взаимодействия двух квантовых нелинейных езонансов. Показано, что в этих системах переход от регулярного к аотическому режиму отражается в спектре наведенной полярпзадин а качественном уровне.

Предложепа простая динамическая система - расширенная модель вух взаимодействующих резонансов (4), в которой имет место диффузия по координате. Показано, что данная динамическая модель южет служить основанием для известной статистической модели лучайных блужданий на одномерной решетке. Проведен квантово-[ех;шнчоскнй анализ системы (4). Показано, что в квантовом слу-ае классическая диффузия ускоряется из-за эффектов тунпелирова-ия (в координатном и фазовом пространстве). Рассмотрена зонная

структура спектра квазиэнергий системы и предложен нестандартный метод се статистического анализа. Предложены и проанализированы две физические системы заряженная частица в стоячей электромагнитной волне и двухуровневый атом в стоячей лазершн: волне, в которых явление квантовой диффузии по координате може-j быть исследовано экспериментально. Рассмотрена поступательна; динамика молекулы в поле стоячей СВЧ волны и показана принцн пиальная возможность мониторинга пучка молекул этим полем.

Получено выражение для стационарного значения матрицы плот ности многоуровневого квантового объекта под действием интенсив ного периодического возмущения в присутствии процессов столкно вительной релаксации. Данное выражение использовано для анали за стационарного состояния молекул в газовой среде под действием СВЧ поля. Показано, что при переходе к режиму квантового xaoci молекула начинает переизлучать аномально большое число гармони внешнего поля.

Проведен критический анализ вывода уравнения движения откры той классической н квантовой систем. Показано, что предположен» о бесконечности числа степеней свободы термостата (окружения) hi является необходимым и замкнутые уравнения движения могут быт] получены также в случае "хаотического термостата" с конечным чи слом степеней свободы. В рамках полученных уравнений численн рассмотрен переход от квантовой к классической динамике в модел (2) по параметру взаимодействия системы с окружением. Получеш конкретное условие, при котором квантовая динамика системы (2) сс впадает с ее классической динамикой. Данное условие аналитическ обобщено на случай произвольной квазиклассической системы.

Публикации по теме диссертации

1. Берман Г.П., Заславский Г.М., Коловский А.Р. Взаимодействи квантовых нелинейных резонансов //ЖЭТФ. - 1981. - 81. C.50G-516.

2. Вегшап G.P., Zaslavsky G.M., Kolovsky A.R. On the spectrum of tin

system of interacting quantum nonlinear resonances //Phys. Lett. 1982. - A87. - P. 132-156.

i. Berman G.P.. Kolovsky A.R. Structure and stability of the quasiener-gy spectrum of two interacting quantum nonlinear resonances //Phys. Lett. - 1983. - A95. - P.15-18.

. Berman G.P.. Zaslavskv G.M., Kolovsky A.R. Dynamics of the nonlinear quantum systems which are chaotic in the classical limit //Proceedings of the X International Conference on Nonlinear Oscillations, Varna, 1984.

i. Berman G.P., Kolovsky A.R., Zaslav.sky G.M. A nonlinear resonance in a system of surface-state electrons //Phys. Lett. - 1984. - A105.

- P.483-486.

i. Берман Г.П., Заславский Г.М., Колозский А.Р. Нелинейный резонанс и стохастичность в системе поверхностных электронов. //ЖЭТФ. - 1985. -88. - С.1551-1559.

'. Berman G.P., Izrailev F.M., Kolovsky A.R., Vlasova O.F. Dynamical and spectral properties of interecting quantum nonlinear resonances //Proceedings of the Conference "Renormalization Group-86", Dub-na, 198G. (Renormalization Group, ed. D.V.Shirkov, D.I.Kazakov, A.A.Vladimirov. - Singapore: World Scientific. - 1937. - P.290-312.)

I. Коловский A.P. Взаимодействие излучения с многоуровневой нелинейной квантовой системой в присутствии процессов релаксации //Опт. Спектр. - 19S6. - 61. - С.700-704.

'. Berman G.P., Kolovsky A.R. Quantum nonlinear resonance with an account of relaxation processes //Physica - 1987. - A141. - P.602-612. .

'. Berman G.P., Izrailev F.M., Kolovsky A.R., Vlasova O.F. Quantum chaos in the system of interacting nonlinear resonances //Proceeding of the III Workshop "Nonlinear and Turbulent Processes in Physics", Kiev. - 1987. - P.180-183.

. Berman G.P., Kolovsky A.R. Renormalization method for the quantum system of interecting resonances //Phys. Lett. - 1987. - A125.

- P. 188-192.

12. Берман Г.П., Коловский А.Р. Квантовый хаос в двухатомной молекуле при взаимодействии с резонансным полем. //ЖЭТФ.

1988. - 95. -С.1552-1561.

13. Kolovskii A.R. Quasicnergy functions of electrons in a semiconductor affected by an external electromagnetic field //Phys. Lett. - 1990. -A143. - P.129-133.

14. Коловский A.P. Восприимчивость слабонелинейной квантово* системы //Опт. Спектр. - 1990. - 69. - С.759-764.

15. Kolovsky A.R. Stationary response of a multilevel quantum system in the regime of quantum chaos //Phvs. Lett. - 1990. - A148. -P.72-77.

16. Kolovsky A.R. Regular and chaotic, dynamics of a molecule affected by an external field //Phys. Lett. -1991. - A157. - P.474-480.

17. Kolovsky A.R. Dynamic orientation of molecules by an external periodic field //Optics Communication. - 1991. - 82. - P.466-472.

18. Берман Г.П., Коловский A.P. Квантовый хаос при взаимодействии многоуровневых квантовых систем с полем когерентног< излучения //УФН. - 1992. - 162. - С.95-141.

19. Kolovsky A.R. The steady-state Tegime for the rotational dynamics of a molecule at the condition of quantum chaos //Phvs. Rev

1993. - A48. - P.3072-3081.

20. Kolovsky A.R., Miyazaki S., Graham R. Quantum modification oi classical diffusion in coordinate space for chaotic systems //Phys, Rev. - 1994. - E49. - P.70-78.

21. Miyazaki S., Kolovsky A.R. Quasienergy-band structure of a periodically driven system with translational symmetry //Phys. Rev.

1994. - E50. -P.910-916.

22. Kolovsky A.R. Number of degrees of freedom for a thermostat. //Pin Rev. E. - 1994. - 50. - P.3569-3576.

23. Kolovsky A.R. A remark on the problem of quantum-classical correspondence in the case of chaotic dynamics. //Europhys. Lett. 1994. - 27. - P.79-84.

24. Kolovskv A.R. Gradient force arid chaotic acceleration of a (lipolc molecule in standing wave. //Phys. Rev. A. - 1995.

Уч.-изд. л. 1,0 , тираж 100 экз. Отдел оперативной полиграфии Красноярского гос. университета 660062 Красноярск, пр.Свободный, 79.