Динамический хаос в высоковозбужденных состояниях квантового ангармонического осциллятора тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

даскии государственный университет

СХ сг;

ю

Е

о

На правах рукописи

Минабудинова Сания Анасовна

динамический хаос в высоковозбужденных состояниях квантового ангармонического осциллятора

01.04.08 - Физика и химия плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 1997

Работа выполнена в Омском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Югай К.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корр. РАН Творогов СЛ.; кандидат физико-математических наук, доцент Струюш В.И.

Ведущая организация: Институт теплофизики СО РАН

Защита состоится ^ и/сЛ Я 1997 г. в . (Я час. на заседании диссертационного совета К 064.36.03 в Омском государственном университете (6440077, г.Омск, пр. Мира, 55а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан £ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

В.Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема динамического хаоса в квантовых системах приобретает в последние годы особую важность в связи с бурным развитием нелинейной физики и вызывает огромный интерес как теоретиков, так и экспериментаторов. Это обусловлено несколькими причинами. Во-первых, хаотичность как общее свойство нелинейных динамических систем приводит к практической непредсказуемости их поведения и потому требует нового подхода к описанию движения. Во-вторых, различие в способах описания классических и квантовых систем приводит к необходимости разработки особых методов исследования динамического хаоса в квантовых системах. И, наконец, проявление динамического хаоса в самых разнообразных физических системах - от нелинейного маятника до лазера - побуждает исследователей более детально изучать природу этого явления, прибегая к построению адекватных математических моделей на пути создания общей теории динамического хаоса.

Перспективным и весьма актуальным является исследование динамического хаоса в плазме, в частности, бесстолкновительной, поскольку ее особенности сочетают в себе многообразие нелинейных задач, связанных как с динамикой отдельных частиц, так и с динамикой нелинейных сред.

В низкотемпературной частично ионизованной плазме взаимодействие с внешними или собственными электрическими и магнитными полями играет определяющую роль. Большой интерес вызывает проблема исследования влияния высокочастотного излучения на процессы диссоциации и ионизации нейтральной компоненты плазмы. При этом, естественно, возникает вопрос о выборе модели и методов исследования. Наиболее полным и адекватным является метод кван-товомеханнческого описания микроскопических систем (атом или молекула во внешнем поле) в сочетании со статистическим подходом, использующим макроскопическое описание на языке функции распрс-

деления для ансамбля систем.

Особый интерес в связи с этим представляет описание высоковозбужденных состояний атомов и молекул, поскольку они во многом определяют излучательные, химические и другие свойства плазмы.

В качестве математической модели квантовой частицы рассматривается модель квантового ангармонического осциллятора.

Цель работы заключалась в исследовании аналитическими и численными методами некоторых проявлений динамического хаоса в квантовых системах на примере квантового ангармонического осциллятора в высоковозбужденных состояниях.

Для достижения этой цели в работе были поставлены следующие задачи.

1. Расчет методами численного моделирования спектра квазиэнергии квантового ангармонического осциллятора, взаимодействующего с внешним гармоническим электрическим полем.

2. Исследование влияния параметров поля на высоковозбужденные состояния осциллятора, в частности, на их уширение.

3. Описание броуновского движения осциллятора в энергетическом пространстве с помощью стохастических дифференциальных уравнений; определение коэффициента диффузии броуновских частиц.

Научная новизна.

1. Показано, что в высоковозбужденных состояниях квантового ангармонического осциллятора во внешнем гармоническом электрическом поле динамический хаос может проявляться лишь при определенных значениях параметров поля - частоты и амплитуды напряженности.

2. Обнаружены пересечения уровней квазиэнергии, которые наблюдаются в очень широком диапазоне значений квантового числа.

3. Впервые выдвинута и развивается идея о влиянии динамического хаоса на уширение состояний вблизи границы диссоциации.

4. Предложено описывать высоковозбужденные состояния на языке стохастических дифференциальных уравнений исходя из представле-

ний о броуновском движении в энергетическом пространстве.

Научная и практическая значимость.

Проведенные исследования позволяют глубже понять свойства динамического хаоса в квантовых системах. Результаты, полученные в работе, могут использоваться для изучения особенностей спектров сильновозбужденных атомов и молекул, взаимодействующих с лазерным излучением, в частности, в низкотемпературной слабоионизо-ванной плазме.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. В высоковозбужденных состояниях квантового ангармонического осциллятора, взаимодействующего с внешним гармоническим электрическим полем, наблюдаются эффекты, являющиеся проявлениями динамического хаоса в квантовых системах. Это отражается в высокой степени чувствительности уровней квазиэнергии к величине внешнего поля, а также в выявленной картине их пересечений, наблюдающихся в широком диапазоне значений квантового числа.

2. Уширение состояний квантового ангармонического осциллятора вблизи границы диссоциации не связано ни с одним из известных механизмов уширения и может быть обусловлено динамическим хаосом в высоковозбужденных состояниях.

3. Теоретическая модель броуновского движения в энергетическом пространстве. Для описания квантового хаоса может быть использован метод стохастических дифференциальных уравнений, а именно уравнения диффузионного типа применительно к броуновскому движению осциллятора.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на XI Symposium And School on High Resolution Molecular Spectroscopy (Moscow - Nizhnii Novgorod, 1993), Международной конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики" (Саранск, 1997), Вави-ловской конференции по нелинейной оптике (Новосибирск, 1997).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений, изложена на 104 страницах машинописного текста, содержит 12 рисунков и список цитируемой литературы из 150 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, обозначены цель и задачи работы, ее научная новизна. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены общие вопросы теории динамического хаоса в классических и квантовых системах. Проведен обзор наиболее важных проблем, возникающих при исследовании проявлений хаоса. Указаны основные математические модели, используемые для этих целей, а также проанализированы имеющиеся к настоящему времени результаты по изучению особенностей структуры энергетических спектров и свойств волновых функций квантовых систем в присутствии динамического хаоса. Приведены некоторые закономерности, обнаруженные при сопоставлении поведения нелинейных классических и соответствующих квантовых систем. Особое внимание уделено вопросам, связанным с исследованием хаоса в динамике квантового ангармонического осциллятора, взаимодействующего с внешними полями, в частности, с сильным и сверхсильным полем лазерного излучения. Отмечены некоторые особенности влияния параметров поля на свойства спектра квазиэнергии (например, квазипересечения уровней) в квазиклассической области. Весьма ограничено число работ по исследованию динамики подобных систем в области высоковозбужденных состояний, непосредственно примыкаюьцих к границе диссоциации. Пока остается открытым вопрос о связи динамического хаоса с такими процессами, как диссоциация и иониза.-ция.

Модель броуновского движения используется для описания систем с развитым хаосом, когда физические величины, характеризующие

их динамику, становятся стохастическими переменными. В этом случае функция распределения для ансамбля систем удовлетворяет уравнению диффузионного типа, например, уравнению Фоккера - Планка. Наиболее детально изучена в этом смысле классическая и квантовая динамика ротатора с импульсным периодическим внешним воздействием (ротатор с толчками). Отмечены некоторые особенности поведения этой системы, в частности, обнаруженный в ходе численных экспериментов эффект насыщения во времени средней энергии.

Таким образом, анализ опубликованных данных позволяет сделать вывод о том, что исследования квантовых систем в области высоковозбужденных состояний представляют большой интерес как с точки зрения общетеоретических аспектов проблемы динамического хаоса, так и в плане практического использования результатов исследований при изучении физических микро- и макроскопических систем.

Вторая глава посвящена исследованию проявлений динамического хаоса в высоковозбужденных состояниях квантового ангармонического осциллятора, взаимодействующего с Внешним гармоническим электрическим полем.

В качестве математической модели для изучения взаимодействия атомов и молекул с внешним полем используется ангармонический осциллятор с нелинейностью вида г3 и xi. Рассмотрение его динамики ставит своей целью описание энергетических спектров в области сильного возбуждения.

Оператор Гамильтона такой системы имеет вид

где а и ¡3 - параметры нелинейности, F(t) = -е£0 sin wt - внешнее гармоническое поле.

Нестационарное уравнение Шредингера проинтегрировать аналитически не представляется возможным. Однако если гамильтониан удовлетворяет условию периодичности 11 (t + Т) = II{i), где

Т = 2ж/из - период поля, то целесообразно использовать метод квазиэнергии и квазиэнергетических состояний, удовлетворяющих условию

М*>* + Т) = ехр {-1ЕТ/П)фЕ{х^). (2)

Квазиэнергетические состояния Фе и квазиэнергии Е являются собственными функциями и собственными значениями некоторого эффективного гамильтониана Н:

НфЕ(х,0) = ЕфЕ{х, 0) (3)

и играют ту же роль, что и стационарные состояния с определенной энергией для случая независящего от времени гамильтониана.

Таким образом, задача сводится к построению эффективного гамильтониана Н, что позволяет определить спектр квазиэнергии квантового ангармонического осциллятора.

Найденный эффективный гамильтониан имеет вид

Н = 7(«*«)1 + + 7) аЧ + ¿/(а - а1) + т}, (4)

где Да; = щ — и, а константы 7,/,?? определяются параметрами задачи аДш,£0-

Для квазиклассической области получено интегральное уравнение

/,т За/2 + Да;./ + Е ■ - / . -= 2тгМ1, (5)

* /^-М^ + л^-я)2

решением которого и является искомый спектр квазиэнергии.

Для его нахождения была составлена программа численого решения уравнения (5), реализованная в среде Турбо Паскаль.

Основное внимание было уделено исследованию влияния параметров поля - частоты и амплитуды напряженности - на свойства квазиэнергетического спектра. Все параметры задачи, использовавшиеся при расчетах, представлены в безразмерном виде. Нормировочными коэффициентами при этом выступали следующие величи-

ны: ш = 4,13 • 1016Гч, £0 = 5,14 • 10* В ¡см, а = 1,84-1026э5/сж3, Р = 3,47 • 103*эВ{см\ х = 0,53 • 10~8см.

Квазиэнергия нормировалась на энергию диссоциации Ев, рас-счет которой дал значение Ей = 3,4 эЛ.

Квантовое число при рассчетах варьировалось от 105 до 1014, поскольку предварительно выполненная оценка с помощью условия применимости квазиклассического приближения дала следующее ограничение, накладываемое на значения квантового числа : N > 103.

Результаты численного расчета квазиэнергии как функции амплитуды напряженности поля для различных значений частоты поля и квантового числа представлены на рис.1. Видно, что зависимость Ех{г0) носит нелинейный характер и с увеличением квантового числа приобретает все более усложняющийся характер, о чем могут свидетельствовать столь различные степени монотонности кривых Ем{£0) и их беспорядочное, хаотичное перепутывание. Анализ имеющихся результатов позволил сделать вывод о том, что уровни квазиэнергии весьма чувствительны к величине наложенного на рассматриваемую систему возмущения.

Рис. 1 Квазиэнергия Ец(£„), рассчитанная для: различных значений частоты поля w = 0,08(1), ш = 0,09(2), и = 0,0975(3), и» = 0,10(4), ш = 0,1025(5), ы = 0,11 (6), w = 0,12(7) и квантового числа a)N = 10®; 6)N = 10".

Влияние частоты шля на квазиэнергию отражено на рис.2. Обращает на себя внимание тенденция усиления осцилляции квазиэнергии по частоте по мере роста квантового числа, а также ослабление проявления резонансных свойств в окрестности резонансной частоты ы = 0,10.

0.9996

•9"&.06 0.08 0.10 0.12 0Л4

СО

0.99994 0.99986 0.99978

0.

9997^

тттш\л/6 лМАЛЛАЛЛ*

ЧАЛАЛЛЛАЯ /\Л/\ЛАЛ/\г

06 0.08 0.10 0.12 0.14

со

Рис. 2 Зависимость квазкэкергии ох частоты поля ы для различных значений амплитуды напряженности поля £0 = 0,05(1), Е0 = 0,10(2), £0 = 0,15(3), £0 = 0,20(4), £0 = 0,30 (5), £0 = 0,40 (6) и квантового числа а)N = 10{; 6)И = 107; е)ЛГ = 10е; г)ЛГ = 1011.

На рис.3 представлена квазиэнергетическая поверхность Ек(и),£0) для N = 106.

Рис. 3 Квазиэкергетическая поверхность Ец(ш,£0).

На рис.4 показаны квазипересечения уровней квазиэнергии, наблюдаемые в чрезвычайно широком диапазоне значений квантового числа - от 10s до 109, что является, вообще говоря, нетривиальным результатом. Использование метода интерполяции кубическими сплайнами показало, что в области N от 106 до 10й зависимость £tv( N) может быть приближенно описана многочленом третьей степени (рис.5).

0.9995^

0.99965

0.99985

0.99975

N

12

Рис, 4 Ква,зипересеченкя уровней = 10« (!),#= 10'(2),

Рис. 5 Зависимость квалиэнергик Е^ от квантового числа. N.

N = 10* (3),Л' = 10э (4).

Численным путем определены приближенные значения некоторых параметров задачи, при которых в высоковозбужденных состояниях квантового ангармонического осциллятора проявляется динамический хаос. Для амплитуды напряженности электрического поля это значение порядка 2 ЛФ В ¡см и выше, для квантового числа - более

Третья глава посвящена проблеме уширения состояний квантового ангармонического осциллятора с точки зрения взаимосвязи этого явления с динамическим хаосом.

Предварительно даны характеристики основным механизмам уширения спектральных линий - радиационному, доплеровскому, ударному - и приведены соответствующие им функции распределения вероятности поглощения или испускания фотона по частоте, которые определяют форму спектральной линии. Отмечено, что ушире-

105.

ние спектральной линии обусловлено изменением состояний атомных частиц, излучающих или поглощающих фотоны.

Рассмотрение хаотических эффектов в квантовых системах приводит к выводу о возможности уширения энергетических состояний, обусловленного динамическим хаосом. Это уширение состояний также должно приводить к уширению соответствующих спектральных линий, появляющихся при переходах с этих возбужденных состояний.

Результаты численного решения задачи о нахождении спектра квазиэнергии квантового ангармонического осциллятора представлены на рис.2. Нх анализ приводит к следующим выводам:

1. Зависимость квазиэнергии от частоты поля существенно различна для случаев N = 106,107 и N > 108.

2. Контуры Ем(ш) асимметричны относительно резонансной частоты и = 0,10.

3. Для квантового числа N = 108 и выше наблюдаются осцилляции квазиэнергии по частоте, причем для данного состояния по мере возрастания напряженности поля амплитуда и частота таких осцилляции увеличиваются. С увеличением N в целом расширяется интервал частот, в пределах которого имеют место осцилляции квазиэнергии.

4. По мере роста квантового числа диапазон возможных значений квазиэнергии для одних и тех же интервалов изменения частоты и амплитуды напряженности поля постепенно сужается, а квазиэнергия приближается к своему пределу - энергии диссоциации. Такой итог вполне закономерен, поскольку рассматриваемые значения квазиэнергии принадлежат области преддиссоциационных состояний, для которой характерна высокая плотность уровней. Это неизбежно приводит к хаотической картине их квазипересечений (рис.4).

Наблюдаемое уширение состояний, очевидно, не может быть обусловлено взаимодействием с другими частицами, поскольку рассматривается изолированный осциллятор, помещенный во внешнее поле. По той же причине следует исключить возможность действия эф-

фекта Доплера. Таким образом, полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что причина уширения состояний квантового осциллятора может быть обусловлена динамическим хаосом в высоковозбужденных состояниях.

В четвертой главе рассмотрены некоторые статистические свойства энергетического спектра квантового ангармонического осциллятора в состояниях динамического хаоса.

В области высоковозбужденных состояний квантовый ангармонический осциллятор переходит в хаотический режим. Хаотическая картина уровней свидетельствует о том, что энергия системы как физическая величина становится стохастическим процессом. В этом случае возможно статистическое описание динамики системы в терминах функции распределения по ансамблю систем. Средние по ансамблю значения, вычисленные с помощью функции распределения, можно связать с наблюдаемыми физическими величинами. Описывающие эволюцию системы уравнения - стохастические дифференциальные уравнения - составляют основу стохастических методов, применяемых для исследования систем с развитым динамическим хаосом.

Для описания эффекта насыщения роста средней энергии квантового ангармонического осциллятора в работе использован метод стохастических дифференциальных уравнений. С этой целью динамика осциллятора рассматривалась как движение броуновской частицы в энергетическом пространстве высоковозбужденных состояний, принадлежащих квазиклассической области, т.е. той области, где проявляется динамический хаос. Энергия системы является при этом стохастической переменной, и стохастическое движение частицы описывается уравнением Ито

dE = a{E,i)dt + b{E,í)d\V{t),

где первое слагаемое представляет собой детерминированный член, а второе слагаемое - стохастический член - содержит случайный

винеровский процесс W(t).

Стохастическому дифференциальному уравнению И то может быть поставлено в соответствие уравнение Фоккера-Планка для функции /(£,2), которое для случая движения броуновской частицы в высоковозбужденных состояниях имеет вид

~дГ~—е (1_е (6)

где коэффициент диффузии броуновских частиц

т = (1-е--).

Решением уравнения (6) является функция распределения

„Г, > 1

Е2

/?2(1 -е-**У

которая характеризует плотность уровней в энергетическом пространстве:

и удовлетворяет следующему условию нормировки:

^¡¡(Е,1)йЕ = 1. Средняя энергия, рассчитанная с ее помощью, определяется как

{Е{1)) = ]Е!{Е,1)АЕ = ^( 1-е-")

или с учетом обозначений Еа = г = £

{£(0) = £о (1 - . (7)

Отсюда ясен смысл коэффициентов а и ¡3: а - величина, обратная времени, /? - некоторая энергия, приходящаяся на одну броуновскую частицу.

Полученная таким образом зависимость описывает эффект насыщения роста средней энергии броуновской частицы во времени (рис.6). В рамках данного подхода коэффициет диффузии является функцией времени (рис.7).

СОСТОЯНИЯХ.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

В Приложении 1 приведена процедура вычисления гамильтониана в задаче о нахождении спектра квазиэнергии.

Приложение 2 содержит программы для рассчета спектра квазиэнергии.

Основные результаты.

1. В работе рассмотрено поведение квантового ангармонического осциллятора с нелинейностью вида г3 и хА во внешнем гармоническом электрическом поле. Методом численного моделирования рас-

<Е(

I

1

Рис.6 Зависимость средней энергии от времени для модели броуновской частицы в высоковозбужденных

Рис.7 Коэффициент диффузии как функция времени для; модели броуновской частицы.

считан спектр квазиэнергии осциллятора как функции параметров поля - амплитуды напряженности и частоты. Показано, что в высоковозбужденных состояниях возникает динамический хаос, который проявляется в высокой степени чувствительности спектра к величине наложенного на систему возмущения, а также в наличии хаотической картины перекрывающихся пересечений уровней квазиэнергии. При этом пересечения уровней как одна из характерных особенностей квантовых хаотических систем носят глобальный характер и наблюдаются в чрезвычайно широком диапазоне значений квантового числа. Обнаружено, что с увеличением квантового числа резонансные свойства системы проявляются слабее. Показано, что в области высоковозбужденных состояний зависимость квазиэнергии от квантового числа может быть приближенно описана многочленом третьей степени.

2. Обнаружено, что вблизи границы диссоциации наблюдается уширение состояний квантового ангармонического осциллятора, при этом контуры зависимости квазиэнергии от частоты являются асимметричными относительно резонансного значения частоты. Это уширение не связано ни с одним из известных механизмов уширения. Высказано предположение, что причина уширения состояний осциллятора обусловлена возникновением в них динамического хаоса.

3. Для описания динамического хаоса в высоковозбужденных состояниях квантового ангармонического осциллятора предложен метод стохастических дифференциальных уравнений, в частности, уравнения диффузионного типа. При этом использована модель броуновского движения частицы в энергетическом пространстве. Показано, что средняя энергия демонстрирует эффект насыщения во времени. Определен явный вид коэффициента диффузии броуновских частиц как функции времени.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Югай К.Н., Минабудинова С.А. Броуновское движение в высоковозбужденных состояниях ротатора. // Изв. вузов. Физика. - 1993. - №2. - С.118-119.

2. Yugay K.N., Minabudinova S.A. Quasi-crossings of energy levels and Brownian motion of the particle in high excited states. / In: "XI Symposium And School on High Resolution Molecular Spectroscopy. Moscow - Nizhnii Novgorod, June 28 - July 7,1993." - P. B9.

3. Югай K.H., Минабудинова С.А. Высоковозбужденные состояния квантового ангармонического осциллятора во внешнем поле. // Вестн. Омского унив. - 1997. - №1. - С.28-31.

4. Минабудинова С.А. Хаотические эффекты в динамике нелинейного осциллятора во внешнем электрическом гармоническом поле. -В сб.: Проблемы и прикладные вопросы физики: Тезисы докладов международной научно-технической конференции. - Саранск, 1997, с.135.