Исследование статистических свойств хаотических нелинейных колебаний в гамильтоновых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

1 I

Улейский Михаил Юрьевич

Исследование статистических

свойств хаотических нелинейных колебаний в гамильтоновых системах

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1

Владивосток 2005

Работа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте им. В. И. Ильичева ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

С. В. Пранц

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН М. А. Гузев

доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ В. В. Юдин

Ведущая организация: Институт прикладной математики РАН

им. М. В Келдыша

Защита состоится 28 сентября 2005 года в 13:00 на заседании Диссертационного совета Д 212.056.08 при Дальневосточном государственном университете по адресу 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета

Автореферат разослан ^^ ¿¿/й-»-*«*_ 2005 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.056 08 кандидат физико-математических наук

И. В. Соппа

Ш6-1

Общая характеристика работы

Актуальность исследования

Открытие и познание динамического хаоса в простых детерминированных системах является одним из главных достижений современной механики. Тот факт, что малые изменения начальных условий могут привести к значительной (часто экспоненциально растущей) разнице в конечных результатах имеет далеко идущие практические последствия, например, для прогнозирования. В системах с хаосом описание динамики в терминах отдельных траекторий становится неудовлетворительным, более эффективно статистическое описание. Теория Колмогорова Арнольда Мозсра, современная эргодическая теория (Н. Крылов, Д. Аносов, Я. Синай), теория нелинейного резонанса (В. Чириков), теория стохастического слоя (В. Мельников, Г. Заславский) нашли многочисленные приложения в физике, химии, биологии, экономике и т. д. В настоящее время сформировалось некое общее представление о нелинейной динамике процессов различной физической природы, основанное на строгом теоретическом анализе, лежащих в их основе математических моделей и на результатах численных экспериментов.

С точки зрения фундаментальной науки особый интерес представляют га-мильтоновы системы, которые, в отличие от диссииативных, являются чисто динамическими. Типичными (и, следовательно, практически важными) являются гамильтоновы системы с неоднородным перемешиванием в фазовом пространстве. Такие системы обладают аномальными статистическими свойствами, обусловленными наличием разного рода структур в фазовом пространстве, и их изучение является актуальной задачей современной нелинейной динамики. "Наведение мостов" идёт одновременно с двух сторон. Чистые математики пытаются установить общие динамические, топологические и статистические закономерности поведения гамильтоновых систем разных классов, вводить новые меры, пытаясь количественно охарактеризовать движение с неоднородным перемешиванием, и новые методы. Физики и прикладные математики теоретически и численно исследуют конкретные гамильтоновы системы, являющиеся, как нравшт бонео шт менее сложными моделями

природных процессов, устанавливают закономерности в их поведении, находят порядок в хаосе и пытаются выяснить насколько структурно устойчивыми (грубыми) являются такие системы но отношению к действию малого шума. Связь классического динамического хаоса с квантовой механикой одна из наиболее интересных проблем современной физики (Г. Заславский, В. Чириков, М. Berry, G. Casati, М. Gutzwiller и др.). Изолированные ограниченные квантовые системы не могут проявлять экспоненциально чувствительную зависимость от начальных условий как классические системы в силу унитарности своей эволюции. Возникает вопрос: каков механизм возникновения классического хаоса из квантовой механики?

Цель работы

Теоретическое и численное исследование нелинейной динамики гамильто-новых систем с полутора степенями свободы в пространственно-временных периодических и случайных полях на примерах механического нелинейного осциллятора Морса, звуковых лучей в подводном акустическом волноводе и адвекции пассивных примесей в плоском гидродинамическом потоке с точечным вихрем и струйным течением. Теоретическое и численное исследование нелинейной динамики гамильтоновых систем с бесконечным числом степеней свободы на примере фундаментальной модели резонаторной квантовой электродинамики.

Объекты исследования

• Нелинейный механический осциллятор в поле периодической и случайной во времени и в пространстве внешней силы.

• Звуковые лучи в океанических периодически- и случайно-неоднородных акустических волноводах различного тина.

• Пассивные примеси в периодическом и случайном нолях скоростей, созданных вихрем и течениями.

• Атомы и фотоны в высокодобротном резонаторе.

Задачи работы

• Исследование динамических и статистических свойств периодически возбуждаемых нелинейных гамильтоновых систем с полутора и бесконечным числом степеней свободы на примерах моделей из механики, подводной акустики, гидродинамики и квантовой электродинамики.

• Исследование динамических и статистических свойств указанных систем с полутора степенями свободы при наличии случайной составляющей возбуждающей силы.

• Исследование квантово-классического соответствия в гамильтоновой динамике взаимодействия атомов и фотонов в резонаторе.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту

• Новый метод обнаружения шумоиндуцированных зон устойчивости в фазовом пространстве маломерных гамильтоновых систем.

• Новый численный метод обнаружения неустойчивых периодических орбит.

• Зависимость потери акустической энергии от вертикальной структуры неоднородности подводного акустического канала.

• Фрактальная структура рассеяния пассивных примесей в периодическом и случайном двумерном поле скоростей и кластеризация пассивных примесей в случайном поле скоростей.

• Бесконечномерная нелинейная система уравнений для амплитуд вероятностей сильно связанной атомно-полевой системы и проявления га-мильтонова хаоса в трансляционных (хаотическое рассеяние и атомные фракталы) и внутренних степенях свободы атома (хаотические осцилляции Раби).

• Соответствие квантовых характеристик (квантовая энтропия и воспроизводимость состояний атомно-полевой системы) с классической мерой хаоса — максимальным показателем Ляпунова.

Научная и практическая значимость

Полученные результаты могут оказаться полезными в теории динамического хаоса а гамильтоновых системах с неоднородным перемешиванием и в различных приложениях с соответствующими моделями. В частности, результаты, нолученные с моделью лучевого хаоса могут быть полезны для целей акустической томографии океана, а результаты по хаотической адвекции пассивных примесей - для объяснения лагранжева перемешивания и транспорта водных масс, тепла, загрязнения и т. д. в вихревых структурах океана. Результаты но квантовому хаосу с атомами и фотонами представляются полезными для планирования экспериментов по устойчивости и неустойчивости квантовой эволюции, передачи и обработки квантовой информации и для создания квантовых компьютеров.

Научная значимость работы подтверждается фактом цитирования опубликованных результатов другими исследователями. Диссертационная работа поддержана следующими грантами.

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 01-0206021, К» 99-02-17269, № 03-02-06896, № 02-02-17796).

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математические методы в нелинейной динамике" (проект № 4.17 "Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах").

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты № 03-Ш-А-02-124 "Квантовые фракталы", № 04-Ш-А-02-45 "Квантовый хаос во взаимодействии атомов с фотонами", № 04-Ш-А-02-051 "Атомные фракталы в резонаторной квантовой электродинамике", № 05-Ш-Г-02-141 "Корреляция квантовых состояний атома и света с движением атома в резонаторе", № 05-Ш-А-02-100 "Декогсрентность атомов в собственном иоле излучения", № 05-Ш-Г-07-075 "Акустическая томография протяжённых океанических трасс в условиях сильного лучевого хаоса", № 05-Ш-Г-04-011 "Хаотическое рассеяние и аномальная диффузия в модели адвекции пассивных примесей топографическим вихрем с детср-

минированным и случайным возмущениями", "Исследование механизмов возникновения фракталов и динамических ловушек в зоне топографического вихря и их роль в неоднородном распределении массивных примесей", "Влияние внутренних волн на сверхдальнее распространение звука в океане и проблема лучевого хаоса в подводных звуковых каналах").

• Федеральная целевая программа "Исследование природы Мирового океана". Проект "Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере".

Достоверность результатов

Обеспечивается использованием современных анробированных методов теоретического и численного анализа, отладкой численных методов в смежных задачах и сравнением полученных результатов с известными ранее.

Апробация результатов

Результаты, представленные в диссертации, докладывались ранее на различных, в том числе международных, научных конференциях: "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (Минск, 2001), "Progress in Nonlinear Science" (Нижний Новгород, 2001), "International Quantum Electronic Conference" (Москва, 2002), "I конкурс научных работ молодых ученых ДВО РАН" (Владивосток, 2002, лауреат), "Dynamical Chaos in Classical and Quantum Physics" (Новосибирск, 2003), "Frontiers in Nonlinear Physics" (Нижний Новгород, 2004), "Региональная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по физике" (Владивосток, 2004), "II конкурс научных работ молодых ученых ДВО РАН" (Владивосток, 2004, лауреат).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 17 статей.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 125 наименований, включает 82 рисунка. Общий объем диссертации составляет 159 страниц.

Основное содержание работы

Во введении показана актуальность темы, обсуждаются принципы и подходы к предмету исследования.

В первой главе дан обзор литературы но проблемам гамильтонова хаоса и проблеме соответствия классического хаоса и квантовой механики.

Во второй главе диссертации рассматривается динамика одномерного нелинейного осциллятора в пространственно-временном поле внешней силы как с периодической зависимостью от координаты и времени, так и при наличии мультипликативного шума. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид

Н = Н0 + еНх{?), £<1, (1)

где невозмущённая часть Но = р*/2+1!(д) описывает движение частицы единичной массы в потенциале {/(<?). В первом параграфе этой главы изложена традиционная теория нелинейного резонанса и приводится описание структуры резонансных цепочек в фазовом пространстве. Параграфы 2 4 посвящены исследованию свойств осциллятора в случае, когда возмущение имеет вид "бегущей волны"

Я, = У(9)сов(*0 + Л/). (2)

Показано, что при наличии пространственных осцилляции возмущения и системе дополнительно появляется резонанс

т& + С1 + кр(1,&)= 0, (3)

где /ид переменные действия и угла, соответственно, т целое число. Условие (3) выполняется только при некотором р = р1Кь. Влияние резонанса (3) будет тем сильнее, чем больше времени траектория проводит в окрестности р1СЬ, и является максимальным, если р1с,ч равно максимальному или

минимальному значению импульса вдоль траектории. Исходя из этого, определены области фазового пространства, наиболее подверженные влиянию резонанса (3). Численные расчеты свидетельствуют о значительном увеличении ширины резонансных цепочек и хаоса именно в этих областях. Показано, что эффект от резонанса (3) будет расти в увеличением П и к. Заметим, в отсутствие пространственных осцилляций ширина резонансных цепочек, напротив, резко падает с ростом П.

В третьем параграфе показано, что вдали от зоны резонанса (3) при увеличении к резонансные цепочки уменьшаются по ширине, что приводит к подавлению хаоса. С помощью метода усреднения также ноказано, что влияние быстрых пространственных осцилляций можно учесть, вводя дополнительную добавку к потенциальной энергии, пропорциональную р~2. Полученные результаты продемонстрированы численно на примере осциллятора Морса.

В четвёртом параграфе второй главы рассматривается случай стохастического возмущения

(4)

где £(<?,/) — случайная функция и г с нормированными первым и вторым моментами: (¿¡) =0, (£2) = 1/2. Для поиска устойчивых областей в фазовом пространстве вводится отображение

<И+1=я(<И>РГ,То), ...

(5)

Р1+1 = р(яьрн То),

где функции ?(<37,Р/;0 и г) являются решением системы уравнений

Гамильтона с гамильтонианом (1) при начальных условиях <у(0) = ф, р(0) = р/. Данное отображение эквивалентно отображению Пуанкаре, если случайную функцию § (/) заменить кусочно-непрерывной периодической функцией + пТо) = £(/) при 0 < ? ^ Го. Показано, что взаимодействие шума с системой имеет резонансный характер. При чисто временном шуме это приводит к формированию в фазовом пространстве зон устойчивости, в которых локальный показатель Ляпунова близок к нулю. Выявлено, что время жизни этих зон устойчивости порядка периода фазовых колебаний. Показано, что при шуме, зависящем как от пространственной, так и временной координаты, наличие резонансов типа (3) приводит к разрушению зон устойчивости.

Данные результаты продемонстрированы численно с помощью отображения (5) на примере осциллятора Морса.

В третьей главе диссертации теория пространственного нелинейного резонанса и теория шумоиндуцированных зон устойчивости в фазовом пространстве, развитая в предыдущей главе, применяются к задаче о распространении звука в подводных звуковых каналах в приближении геометрической акустики. В первом параграфе третьей главы приводится краткая характеристика современного состояния проблемы, а также вводится гамильтониан задачи

2 со со

Здесь р тангенс угла скольжения луча, г — глубина, Дс(г) = с(г) — со, с (г) — профиль скорости звука, со некоторая опорная скорость звука, 5с(г, г) — возмущение профиля, г расстояние вдоль трассы распространения звука. Очевидно, что траектория луча в волноводе эквивалентна движению точечной частицы в потенциальной ямс, роль которой исполняет профиль скорости звука с(г). Горизонтальная координата г играет роль времени.

Параграфы 2-5 посвящены исследованию волноводов с периодической неоднородностью вида

5с(г,г) = есоУ(г)со8(*гг+*,г)- (7)

Во втором параграфе рассмотрен случай глубокого океана. В зависимости от величины = 2п/кг свойства данного волновода сильно меняются. При кг = 0 фазовое пространство состоит из цепочек резонансных островов. Имеется узкий изолированный стохастический слой вблизи границы отражения, связанный с тем, что вблизи этой границы производная <ИО//1Е (О - длина цикла луча) обращается в нуль. Высвечивание лучей, т. с. касание изначально водными лучами поглощающего дна, вблизи сепаратрисы существует, но оно связано не с хаотичностью, а просто с фазовыми колебаниями действия. При появлении медленных вертикальных осцилляций (Аг = 2 км) нрисепаратрис-ная область теряет устойчивость, что приводит к быстрому высвечиванию лучей из неё. При уменьшении А; до 1 км хаотический слой еще более уширяется. приводя к ещё более сильному высвечиванию. Это связано с тем, что

крутые лучи с рШах — = 0,2 попадают в резонанс с вертикальными ос-цилляциямн неоднородности, описываемый формулой (3). При дальнейшем уменьшении А- до 0,5 км стохастический слой смещается еще ниже по действию, в то время как лучи с большим значением действия вновь становятся устойчивыми. Наконец, при Л? = 0,1 км стохастическая область начинается с I — 0, но присенаратрисная область является устойчивой и высвечивание практически отсутствует.

В параграфах 3 5 рассмотрен случай океана глубиной 1 км. Обнаружено, что и в этом случае структура фазового пространства в значительной степени определяется резонансом с вертикальными осцилляциями неоднородности. Главным отличием этой модели от глубоководного волновода является сохранение высвечивания наиболее крутых лучей даже при малых Д^. Это объясняется высокой степенью нелинейности траекторий наиболее крутых лучей, что влечет за собой сильный эффект от резонанса (3) и, как следствие, хаос.

К' КМ

Рис. 1: Зависимость коэффициента высвечивании лучей из мелководного волновода от пергикальносо периода неоднородности.

В четвертом параграфе эффект высвечивания эффект достижения дна водными лучами с последующим поглощением рассмотрен более подробно. Исследована зависимость коэффициента высвечивания пе, равного отношению числа лучей, покинувших волновод, к полному числу лучей, от пространственных масштабов неоднородности. Показано, что эта зависимость имеет максимум при резонансном соотношении Аг = р1СДг (см. Рис. 1), где pra, ~ 0,13, что соответствует достаточно крутым лучам. В этом случае ширина хаотического слоя максимальна. Пик функции лс(Аг) тем выше и острсс, чем меньше значения Xz и Хг. Полученный результат указывает на основополагающую роль резонанса (3) в формировании потерь звуковых сигналов, обусловленных высвечиванием. С помощью карт высвечивания и карт изменения действия исследована топология зон высвечивания в фазовом пространстве. Обнаружено наличие каналов быстрого высвечивания, установлена их связь с шириной хаотического слоя.

В пятом параграфе рассмотрено влияние хаотической динамики лучей на измеряемые характеристики акустического ноля, главным образом, на времена прихода лучей. Продемонстрирована возможность определения горизонтального периода неоднородности но распределению времен прихода. Показано, что уширснию прилегающего к сепаратрисе хаотического слоя, обусловленному влиянием резонанса (3), соответствует уменьшение временного интервала принимаемого сигнала. Это связано с высвечиванием крутых лучей, формирующих раннюю часть принимаемого импульса. Кроме того, значение переменной действия для лучей, принадлежащих хаотическому слою, хаотически зависит от времени прихода, что указывает на сильное нерегулярное взаимодействие высоких мод (Рис. 2).

В шестом параграфе рассмотрен глубоководный волновод со случайном неоднородностью, описываемой формулой

8c{z,r) = ec0V{z)X(z)Y(r), (8)

где X(z) сумма вертикальных мод ноля внутренних волн, Y(r) случайная функция. Основное внимание в этом параграфе уделено выяснению влияния вертикальной структуры поля внутренних волн на когерентную кластеризацию образование устойчивых пучков лучей с близкими временами прихода

274 274,5 ^ £ 275 275,5

Рис. 2 С1рук1ура принимаемого сшнада н координатх нремя прихода деАсшие (а) и нормированная функция распределения нероя г нос/и (й) на рассюянии 4(1(1 км 01 неч очника и медконодиом ио.шоиоде и нрис\1с1иие неоднородное!и с нарамефами Хг = I км Хг = 0,13 км.

Отображение (5) из второй главы использовано для выявления зон устойчивости в фазовом пространстве. В результате показано, что при малом числе вертикальных мод ноля внутренних волн зоны устойчивости, равно как и когерентные кластеры, сохраняются, хотя структура зон устойчивости существенно усложняется. В частности, возможно образование островов с множественными эллиптическими точками, что указывает на сложный характер фазовых колебаний (левая половина Рис. 3). В случае нескольких вертикальных мод внутренних волн границы островов могут принимать "изрезанный'' нид (правая половина Рис. 3). В (шюрикчшо параграфа указано, что ж-лод-ствие наличия зон устойчивости зависимость коэффициента высвечивания (л амплитуды возмущения может иметь ступенчатый вид.

В четвертой главе описывается адвекция пассивных примесей в плоском гидродинамическом потоке, состоящем из точечно! о вихря, постоянного тс-

-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1

Ix Ix

Рис. 3: Карты отображении (5) с d= 100 км ,ия модели глубоководною подводного звукового канала. Слева одна вертикальная мода ноля внутренних волн, е = 0,004. Справа пять вертикальных мод поля внутренних ваш, е = 0,005.

нения и малого переменного течения. Функция тока (играющая роль гамильтониана) для этой задачи имеет вид

Ч>(х,у, t) = ln x/x2+y2 + ех+£х/( т), (9)

где х, у нормированные координаты в конфигурационном пространстве, играющие роль обобщённой координаты и импульса, е нормированная скорость постоянного потока, £ нормированная скорость переменного потока, т нормированное время, /(т) переменное течение. Фазовый портрет невозмущённой системы (¿j = 0) приведён на Рис. 4. В большинстве расчётов исиользовались значения параметров £ = 0,5 и § = 0,1. В первом параграфе четвёртой главы рассмотрен случай периодического возмущения /(т) = sin г. Предложен новый метод поиска периодических орбит, основанный на картах действия, онисанных в третьей главе. Идея метода заключается в одновременном расчёте функций ^¡„(¡q,^) (изменение действия за п оборотов дли траектории с начальными условиями /о, 1?о) 11 ТГ„(/о,$о) (время, за которое траектория делает п оборотов). Периодические орбиты типа т : п находятся из условий Д1п = 0, Т„ = 2лт, где т = 1,2,— С помощью этого метода

1

>> О

-1

-2

-4

-3

-2

X

-1

О

1

Рис. 4: Фазовый портрет адвективной модели при отсутствии внешнего возмущения (4 = 0) Сепаратриса выделена жирной линией. Стрелками показано направление потока в её окрестности.

установлено существование двух типов орбит: резонансных (эллиптические и гиперболические точки) и нерезонансных (образующихся в окрестности сепаратрисы). Также показано, что эллиптические и гиперболические точки существуют даже при весьма глубоком перекрытии резонансов, хотя и теряют устойчивость. На Рис. 5 приведена функция Т2(/о,$о). Отмечены начальные условия, соответствующие разным тинам орбит: 1:2 (полуцелый неперекры-тый резонанс), 1:1 (перекрытый резонанс), 2:2 (нерезонансная орбита).

Также исследованы свойства хаотического рассеяния частиц с начальными условиями, расположенными вдали от вихря (на прямой уо = —6). В случае возмущённой системы частицы могут захватываться вихрем, делая несколько оборотов вокруг центра. На Рис. 6 приведены графики функций Т(хо) (время, за которое частицы с начальными координатами (хо,Уо = —6) достигают прямой уо =6) и п(лго) (число пересечений траекторией положительного луча оси Одг). Видно, что обе эти функции фрактальны. Этот фрактал состоит из набора эпистроф (последовательностей отрезков с фиксированным

ев

О 90 180 270 360

0 2 4 6 8

Т/7С

Рис 5 Фмжция Тт(/, I?) в 1екарювоы (с.1ева) и полярном (справа) представлении Белым цветы показана зона вылета Жирные линии Тг(/, 1?) = 2л и 4л. топкие линии ДЛ(/,¡9) = 0. Точки их пересечения: кручи периодические траектории резонанса 1:2 (черный круг эллиптическая точка, белый гиперболическая), ромбы орбиты 1:1. звездочки орбша 2.2

и. д пшы которых убывают н геометрической прогрессии). Показатель прогрессии <у спя иш с показателем Ляпунова седлош>(1 точки А. соотношением ц = На концах каждого отрезка образуется аналогичная эпистрофа

на уровне н + 1. Дополнительно существуют строфы: один либо два отрезка, находящиеся на уровне п + 2 или н + З в каждом промежутке между дву-

x0

-4,65 -4,6 -4,55 -4,5 -4,45 -4,4 -4,35 10 8 6 4 2 0

150

H

100 50

-4 35

Рис 6' Фрактальная структура рассеяния Нижняя половина зависимость времени вылета от начальной координаты, верхняя зависимость числа оборотов, совершаемых частицей вокруг центра вихря, от начальной координаты.

мя отрезками эпистрофы. Функция T(xq) на каждом отрезке непрерывна и имеет U-образный вид, асимптотически стремясь к бесконечности на краях. Фрактальность функции рассеяния также подтверждается и косвенными данными: статистика времён рассеяния имеет степенной хвост.

Во втором параграфе рассмотрен случай стохастического возмущения /(г) = £(т), аналогичного рассмотренному во второй и третьей главах. Показано, что рассеяние в этом случае по-прежнему является фрактальным и, по крайней мере при малых п, сохраняет эпистроф о-строфическую структуру, хотя соотношение, связывающее q и А, выполняется менее строго. Статистика времён также имеет длинные степенные хвосты. С помощью отображения {ri) показано наличие долгоживущих зон устойчивости в центральной области вихря

В пятой главе рассматривается задача о взаимодействии двухуровневого

атома со стоячей квантованной электромагнитной волной в высокодобротном микрорезонаторе, как пример гамильтоновой системы с бесконечным числом степеней свободы. В первом параграфе описывается стандартная модель Джсйнса Каммингса, описывающая такое взаимодействие. Во втором параграфе вводится исследуемый гамильтониан, отличающийся от гамильтониана Джейнса Каммингса учётом трансляционной степени свободы атома

ft = ^р2 + )?Ьфа&1+Па>га*&-НОъ(а'&-+а&Л cosk/x, (10) 2та 2 V /

где р и J? операторы импульса и координаты атома, Ь± г операторы Паули, а+, а операторы рождения и уничтожения фотона в нолевой моде, та масса атома, й)а частота атомного перехода, (Of частота ноля,kj волновой вектор поля, По вакуумная частота Раби. Раскладываем вектор состояния электронно-полевой подсистемы но энергетическим состояниям атома |1) и |2) и фоковским состояниям поля |л)

№> = LM0M+M')IM>), ,

л=0 (и)

an{t) = <*,(/) + «/ЗД, МО = p{t) + irj(t),

где а„ и Ь„ — амплитуды вероятностей найти атом в возбужденном и основном состояниях с п фотонами в моде поля, а а„, f}„, р„ и rj„ вещественные и мнимые части этих амплитуд. Рассматривая трансляционную степень свободы атома классически, после соответствующих преобразований можно получить бесконечномерную систему уравнений

00

х=%р, р = -2sinx V7i +1 (<*np„+i +/3„tj„+i), n=о

g g

йп = ~ - VS+Tib+i cos*, pn+i = 2*1"+1 ~ Vn + l&cosjr, ^ g g

$n = ^CCn + Vn+lpn+lCOSX, ffn+1 = --p„+l + Vn+lOnCOSX,

и = 0,1,—

Здесь точкой обозначено дифференцирование по нормированному времени т = £V, x = kf(X),p=(p) /{hkf) средние значения координаты и импульса атома, соответственно, £ = hkJ/(maClo) безразмерная частота отдачи, 5 =

(й)у — й)а)/Оо расстройка. Также в этом параграфе приводятся величины чистоты состояния

/>(т)=Тгр2(т), (13)

где ра есть редуцированная матрица плотности

л=0

/ оо оо ^

ИМ2 I <Ь„

п=0 п=0

Ра =

1,аЛ £>„|2

\п=0 п=О

(14)

линейной энтропии

5/, = 1 — Тгр2 = I —Р, (15)

энтропии фон Неймана

Ян = -Тг(ра1пра) = -Д^пА, -А21пА2, (16)

где ¿1,2......собственные числа матрицы ра, а также воспроизводимости

Дт, к,Лк) = |СР(т, к^Ч^т, к+Д/с))|2, (17)

где к: — какой-либо параметр системы, а Ак его малая вариация, выраженные через переменные системы (12).

В третьем параграфе рассмотрен случай взаимодействия атома с полем, находящимся в когерентном состоянии. Показано квантово-классическос соответствие между поведением среднеквадратичного отклонения чистоты состояния ар = и показателем Ляпунова (см. Рис. 7). Нерс1}лярныс колебания ар наблюдаются в том интервале расстроек, |5|<1, где Я>0. Предложено несколько схем обнаружения хаоса в эксперименте. Рассмотрим монокинетичсский пучок атомов, двигающихся под уиюм к оси резонатора х. Будем измерять атомную инверсию населённости на выходе из зоны взаимодействия. Перед тем, как атомы влетят в резонатор, необходимо приготовить их в определённом состоянии, скажем, в возбуждённом. Но атомы не будут находится точно в заданном состоянии, всегда будет некоторая дисперсия Дг«,. Значения инверсии населённости г^и измеряются детекторами

0,14

0,06

Ср

0,06

0,08

0,12

0,1

0,03 X

0,02

0,01

0,05

0,04

0

-2

-1

О

1

2

8

Рис. 7: Квантово-классическое соответствие между зависимостями среднеквадратичного отклонения чистоты состояния Ор и максимального показателя Ляпунова А от расстройки 5.

в фиксированный момент времени. Если параметры системы соответствуют регулярному динамическому режиму, то и зависимость гои^ш будет гладкой. В хаотическом режиме начальная неопределённость будет быстро расти и приведет за разумное время к полной неопределённости выходной инверсии населённости. На Рис. 8 изображена зависимость г(т) = 2оие от Второй мысленный эксперимент заключается в следующем. Будем помещать атомы с различными начальными импульсами ро в точку х = 0 и измерять время достижения ими границ резонатора (в простейшем случае резонатора с длиной, равной одной длине волны ноля, это точки дг= —л/2 и х = Зл/2). График такой зависимости для параметров, соответствующих хаотическому режиму, приведен на Рис. 9. На этом же рисунке приведена зависимость т(г) числа поворотов, совершаемых атомом. Обе эти зависимости являются фрактальными и но структуре напоминают фрактал в задаче адвекции (см. Рис. 6).

Показано, что поведение воспроизводимости также может служить индикатором неустойчивости системы. На Рис. 10 приведены зависимости воспроизводимости при вариации расстройки Д8 = Ю-4 для различных режимов

1 . б)

.¿12! Л .1, Ш \и 1 Чш / VI шМ&

Фщ |Рм/ ШР 1 р

41

-1

-0,5

0,5

1П

Рис. 8 Зависимость выходного значения атомной инверсии населённости гот от входного г,„ при а) т = 200, б) т = 400.

движения атома. Виден быстрый распад воспроизводимости в случае хаотического режима, причём величина 1 — /(т) растёт приблизительно экспоненциально с показателем примерно равным показателю Ляпунова. В случае регулярного движения атома воспроизводимость практически не убывает.

В четвертом параграфе рассмотрен случаи фоковского ноля (точно определенное число фотонов). В этом случае бесконечномерная система (12) редуцируется к системе из десяти уравнении. Для этой системы также существует

46 46,2 Р° 46,4 46,6

4 3

S2

1

О 800

600

Н

400

200

Рис. 9' Аюмный фрактал при 5 = 0,4 и начальной инверсии населённости z(0)= 1. Сверху зависимость числа поворотов т от начального импульса ро, снизу - зависимость времени вылета Г от pq.

сильная зависимость z(т) = Zout от z¡n и фрактальность функции Т(ро), описанные выше.

В заключении диссертации подведены итоги исследования, перечислены полученные результаты и выводы, а также приведён перечень грантов, которыми поддержана работа.

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации

• Предложен новый метод обнаружения шумоиндуцированных зон устойчивости в фазовом пространстве маломерных гамильтоновых систем и новый численный метод обнаружения неустойчивых периодических орбит.

• Показано, что потерн акустической энергии из волновода зависят от вертикальной структуры неоднородности профиля скорости звука и обнару-

3,2 46,4

-12 ---'---'-------

О 50 100 150 200 250 300 350 400

Т

Рис 10: Зависимости воспроизводимости од времени т при различных начальных условиях Расстройка S = 0,4. начальный импульс ро = 25. Жирная линия z(0) = — 1 (хаотический режим), тонкая линия z(0) = 1 (хаотический режим), пунктирная линия — г(0) = 0 (регулярный режим).

жена кластеризация лучей в случайном поле внутренних волн в океане.

• Показано, что хаотическое рассеяние пассивных примесей в периодическом и случайном двумерном ноле скоростей открытого несжимаемого потока имеет фрактальную структуру, установлена взаимосвязь топологических и динамических характеристик и обнаружены шумоиндуциро-ванные кластеры пассивных примесей.

• В рамках резонаторной квантовой электродинамики получена система уравнений для амплитуд вероятностей, описывающая взаимодействие двухуровневого атома с выделенной модой квантованного поля в идеальном резонаторе с учетом эффекта фотонной отдачи.

• Показано, что в соответствующей гамнльтоновой системе с бесконечным числом степеней свободы возможны различные динамические режимы: регулярные осцилляции, полёты и проявления гамильтонова хаоса как

в классическом атомном движении (хаотическое рассеяние и атомные фракталы), так и в квантовых степенях свободы (хаотические осцилляции Раби). Показано, что сугубо квантовые характеристики (квантовая энтропия и воспроизводимость состояний атомно-полевой системы) коррелируют с классической мерой хаоса — максимальным показателем Ляпунова. Тем самым установлено квантово-классическое соответствие в резонаторной квантовой электродинамике.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. A nonlinear oscillator with two degrees of freedom in a laser field // Journal of Russian Laser Research. 2001. Vol. 22. № 1. P. 69-81.

2. Макаров Д.В., Пранц C.B., Улейский М.Ю. Структура пространственного нелинейного резонанса лучей в неоднородном подводном звуковом канале // Доклады АН. 2002. Т. 382. № 3. С. 394-396.

3. Будянский М.В., Улейский М.Ю., Пранц С.В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // Доклады АН. 2002. Т. 386. № 5. С. 686-689.

4. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. Chaotic absorption of coherent laser light by an anharmonic molecule. In: "Fundamental Aspects of Laser-Matter Interaction and Physics of Nanostructures" (eds. A.V. Andreev et al) // Washington: Proc. SPIE. 2002. Vol. 4748. P. 89-96.

5. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. A driven nonlinear oscillator with a few degrees of freedom: chaos and controllability in the light absorption. "Progress in Nonlinear Science", vol. 2. "Frontiers of Nonlinear Physics", ed. by A.G. Litvak, Nizhny Novgorod, 2002. P. 608-613.

6. Макаров Д.В., Улейский М.Ю., Пранц С.В. О возможности определения характеристик внутренних волн но данным распределения, времен прихода лучей в подводном звуковом канале в условиях хаоса // Письма в Журнал технической физики. 2003. Т. 29. № 10. С. 70 76.

7. Prants S.V., Ulcysky M.Yu. Atomic fractals in cavity quantum electrodynamics // Physics Letters A. 2003. Vol. 309 № 5 6. P. 357 362.

8. Uleysky M., Kon'kov L., Prants S. Quantum chaos and fractals with atoms in cavities // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.

2003. Vol. 8. № 3/4. P. 329 347.

9. Makarov D.V., Uleysky M.Yu., Prants S.V. Ray chaos and ray clustering in an ocean waveguide // Chaos. 2004. Vol. 14. № 1. P. 79 95.

10. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Hamiltonian fractals and chaotic scattering by a topographical vortex and an alternating current // Physica D.

2004. Vol. 195. № 3 4. P. 369 378.

11. Будянский M.B., Улейский М.Ю., Пранц C.B. Хаотическое рассеяние, транспорт и фракталы в простом гидродинамическом потоке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 126 № 5(11). С. 1167 1179.

12. Макаров Д.В., Улейский М.Ю. Влияние локальных вариаций профиля скорости звука на динамику лучей в подводном звуковом канале в условиях хаоса. Докл. 10-й научной школы-семинара ак. Л. Бреховских"Акустика океана", совмещенной с XIV сессией РАО. Москва, 2004. С. 137 140.

13. Макаров Д.В., Улейский М.Ю. Когерентные лучевые кластеры в неоднородном подводном звуковом канале. Докл. 10-й научной школы-семинара ак. Л. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XIV сессией РАО. Москва, 2004. С. 141 144.

14. Prants S.V., Uleysky M.Yu. On the quantum (in)stability in cavity QED. [Электронный ресурс] / E-print archive. 2005. quant-ph/0504180 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0504180).

15. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. Quantum Chaos and Quantum Fractals with Atoms and Photons in a Microcavity. In: Proc. 20th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, cd. by A. Luo. Long Beach, California, USA, 2005. 6 p.

16. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Chaotic scattering in a simple Hamil-tonian system modeling transport in a topographic eddy. In: Proc. Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference, ed. by Dick H. van Campen. Eindhoven, Netherlands, 2005. 7 p.

17. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. Quantum control and quantum chaos in cavity QED. In: Proc. Intern. Conf. Physics and Control 2005, ed. by A. Fradkov. St. Petersburg, Russia, 2005. 6 p.

Личный вклад автора

Диссертант выполнил научное исследование в соответствии с задачами, поставленными научным руководителем доктором физико-математических наук Пранцем С. В. и иод его непосредственным руководством. Часть результатов получена совместно с Д. В. Макаровым и М. В. Будянским. Основные результаты диссертации опубликованы в соавторстве с научным руководителем доктором физико-математических наук Пранцем С. В., а также с Д. В. Макаровым и М. В. Будянским.

Содержание диссертации

ГЛАВА I Гамильтонов хаос в классических и квантовых системах 8

§ 1 Гамильтонов хаос .................................. 8

§2 Проблема квантового хаоса и квантово-классического соответствия .11 § 3 Гамильтонов хаос с атомами и фотонами в резонаторе............. 13

ГЛАВА II Динамика одномерного нелинейного осциллятора в пространственно-временном поле внешней силы 17

§ 1 Динамика нелинейного осциллятора в поле периодической во времени и в

пространстве внешней силы ............................ 17

§ 2 Резонансное влияние пространственных осцилляций возмущения на динамику нелинейного осциллятора .......................... 21

§ 3 Случай быстрых пространственных осцилляций возмущения. Метод усреднения.......................................... 27

§ 4 Динамическое описание влияния мулыипликалшшого шума на 1амилыомо-

ву систему..................................33

ГЛАВА III Динамика звуковых лучей в пространственно-неоднородных

акустических волноводах 40

§ 1 Гамильтонов формализм для описания динамики лучей в нерегулярных волноводах ............................................................................40

§ 2 Глубоководный акустический волновод...................43

§ 3 Мелководный волновод........................51

§ 4 Высвечивание лучей из мелководного волновода...............58

§ 5 Времена прихода звуковых лучей..................................................65

§ 6 Распространение лучей в случайно-неоднородных акустических волноводах 72

ГЛАВА IV Хаотическое рассеяние частиц в плоском гидродинамическом потоке 82

§ 1 Модель с периодическим возмущением...................... 84

§ 1.1 Формулировка задачи........................... 84

§ 1.2 Стационарный случай............................ 84

§ 1.3 Хаотическое инвариантное множество потока.............. 86

§ 1.4 Поиск периодических орбит........................ 90

§ 1.5 Фрактальная структура рассеяния .................... 93

§ 2 Модель со стохастическим возмущением..................98

§2.1 Численное моделирование случайной функции ......... 99

§ 2.2 Шумоиндуцированное рассеяние ....................103

§ 2.3 Шумоиндуцированные кластеры..................108

ГЛАВА V Гамильтонов хаос в резонаторной квантовой электродинамике115 § 1 Модель Джейнса - Каммингса для двухуровневого атома в квантованном

поле идеального резонатора ............................116

| 2 Квантово-классический атомно-полевой гибрид................118

§ 2.1 Квантовые степени свободы......................119

§ 2.2 Трансляционная степень свободы....................121

§ 2.3 Квантовые динамические величины....................122

§ 3 Когерентное поле ..................................124

§3.1 Регулярное и хаотическое движение атома............124

§ 3.2 Запутанность и квантово-классическое соответствие.........125

§ 3.3 Квантово-классическое соответствие для хаотического движения атома128 § 3.4 Воспроизводимость квантового состояния в режимах регулярного и

хаотического движения атома.......................131

§ 3.5 Атомные фракталы.............................134

§ 4 Фоковское поле....................................136

§ 4.1 Хаос в фоковском поле .......................137

§ 4.2 Фоковский фрактал.............................140

РНБ Русский фонд

2006-4 10376

Улейский Михаил Юрьевич

Исследование статистических свойств

хаотических нелинейных колебаний в гамильтоновых системах

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 04.07.05. Формат 60x84/16. Уч.-изд.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 50.

Ол печатано в ТОЙ ДВО РАН 690041. г. Владивосток, ул. Балтийская, 43.

Введение

ГЛАВА I Гамильтонов хаос в классических и квантовых системах

§ 1 Гамильтонов хаос

§ 2 Проблема квантового хаоса и квантово-классического соответствия.

§ 3 Гамильтонов хаос с атомами и фотонами в резонаторе.

ГЛАВА II Динамика одномерного нелинейного осциллятора в пространственно-временном поле внешней силы

§ 1 Динамика нелинейного осциллятора в поле периодической во времени и в пространстве внешней силы.

§ 2 Резонансное влияние пространственных осцилляций возмущения на динамику нелинейного осциллятора.

§ 3 Случай быстрых пространственных осцилляций возмущения. Метод усреднения.

§ 4 Динамическое описание влияния мультипликативного шума на гамильтонову систему.

ГЛАВА III Динамика звуковых лучей в пространственно-неоднородных акустических волноводах

§ 1 Гамильтонов формализм для описания динамики лучей в нерегулярных волноводах

§ 2 Глубоководный акустический волновод.

§ 3 Мелководный волновод.

§ 4 Высвечивание лучей из мелководного волновода.

§ 5 Времена прихода звуковых лучей.

§ 6 Распространение лучей в случайно-неоднородных акустических волноводах

ГЛАВА IV Хаотическое рассеяние частиц в плоском гидродинамическом потоке

§ 1 Модель с периодическим возмущением.

§ 1.1 Формулировка задачи.

§ 1.2 Стационарный случай.

§ 1.3 Хаотическое инвариантное множество потока.

§ 1.4 Поиск периодических орбит.

§ 1.5 Фрактальная структура рассеяния.

§ 2 Модель со стохастическим возмущением.

§ 2.1 Численное моделирование случайной функции.

§ 2.2 Шумоиндуцированное рассеяние.

§ 2.3 Шумоиндуцированные кластеры.

ГЛАВА V Гамильтонов хаос в резонаторной квантовой электродинамике

§ 1 Модель Джейнса - Каммингса для двухуровневого атома в квантованном поле идеального резонатора.

§ 2 Квантово-классический атомно-полевой гибрид.

§ 2.1 Квантовые степени свободы.

§ 2.2 Трансляционная степень свободы.

§ 2.3 Квантовые динамические величины.

§ 3 Когерентное поле.

§ 3.1 Регулярное и хаотическое движение атома.

§ 3.2 Запутанность и квантово-классическое соответствие.

§ 3.3 Квантово-классическое соответствие для хаотического движения атом а

§ 3.4 Воспроизводимость квантового состояния в режимах регулярного и хаотического движения атома.

§ 3.5 Атомные фракталы.

§ 4 Фоковское поле.

§ 4.1 Хаос в фоковском поле.

§ 4.2 Фоковский фрактал.

Диссертация посвящена теоретическому и численному исследованию основных закономерностей динамического хаоса в гамильтоновых системах на примерах из механики, гидродинамики, лучевой акустики и квантовой электродинамики. Выбор примеров обусловлен стремлением продемонстрировать разнообразие нелинейных процессов, которые можно описать в рамках единого подхода.

Открытие и изучение динамического хаоса в простых детерминированных динамических системах стало одним из главных достижений науки второй половины XX века. Проще всего определить динамический хаос в терминах экспоненциальной чувствительности к малым изменениям начальных условий. Если фазовое пространство системы ограничено, то экспоненциально быстро разбегающиеся по одному или нескольким направлениям траектории будут возвращаться в окрестность своего начального положения, что приводит к перемешиванию траекторий в ограниченном пространстве. Динамика называется хаотической, если экспоненциальная чувствительность проявляется почти для всех начальных условий и их вариаций. Отсюда следует практически важный вывод — хаос ограничивает прогнозируемость поведения даже сравнительно простых систем. Неизбежные неточности знания начальных условий в хаотической системе могут экспоненциально быстро нарастать, и через промежуток времени, обратно пропорциональный средней скорости разбегания траекторий (максимальный показатель Ляпунова), начальная неточность достигает неприемлемой для сколь либо разумного прогноза величины.

Пуанкаре, занимаясь проблемой трех тел в небесной механике, установил, что сложное поведение траекторий, чувствительная зависимость от начальных условий и бесконечное множество периодических орбит связано с существованием гомоклинической структуры — бесконечного разнообразия траекторий в окрестности неустойчивой точки равновесия, среди которых наряду со счетным множеством периодических траекторий имеются и хаотические. Как писал Пуанкаре: "Поражаешься, сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить". Фактически, Пуанкаре была поставлена проблема описания нового типа движения, впоследствии названного динамическим хаосом. Динамический хаос стал тем мостом, который связал давно известные и, казалось бы, несовместимые друг с другом типы движения — регулярное и полностью случайное.

Гамильтоновы системы, в отличие от диссипативных, являются чисто динамическими, поскольку диссипация всегда связана с некоторым шумом. Можно выделить четыре их класса. Регулярные, полностью интегрируемые системы, движение которых является устойчивым (квази)периодическим с дискретным спектром. Поскольку почти любое возмущение разрушает интегрируемость, то такие системы исключительны. Их антиподами являются системы Аносова, движение в которых отличается полным и однородным перемешиванием и является идеально хаотическим. Такие системы структурно устойчивы, но не слишком реалистичны. Существуют гамильтоновы системы со слабым возмущением, так называемые КАМ-системы (по фамилиям Колмогорова, Арнольда и Мозера). Слабое возмущение деформирует инвариантные торы с иррациональными числами вращения и разрушает торы с рациональными числами вращения, на месте которых образуются экспоненциально узкие стохастические слои. Для двух и менее степеней свободы разрушенные торы лежат между инвариантными, и траектории оказываются зажатыми между ними. Если число степеней свободы больше двух, то узкие стохастические слои могут соединяться и соответствующие траектории могут сколь угодно далеко уйти от своих невозмущенных значений (диффузия Арнольда). Наконец, четвертый класс составляют типичные гамильтоновы системы с неоднородным фазовым пространством, в котором существуют обширные области с регулярным и хаотическим движением.

Наглядный образ фазового пространства гамильтоновой системы с малым числом степеней свободы дает сечение Пуанкаре — множество следов направленных траекторий, запечатленных с некоторым характерным периодом времени на определенной плоскости переменных системы. На Рис. 38 изображено сечение Пуанкаре на координатной плоскости пассивных частиц, адвектируемых точечным топографическим вихрем на фоне нестационарного течения. Для модели хаотической адвекции, рассмотренной в третьей главе, фазовое пространство совпадает с конфигурационным. Стало быть, точки на Рис. 38 могут представлять реальные положения частиц красителя в кювете, где удалось создать соответствующий двумерный поток. Фазовое пространство содержит множество "островов", движение внутри которых строго регулярное. Внешние "острова" погружены в "море" хаоса и окружены цепочками "островов" меньшего размера, те, в свою очередь, окружены "островами" еще меньшего размера. Иерархия "островов" прослеживается на всех масштабах увеличения разрешения. Хаотические траектории с неупорядоченным набором точек на сечении Пуанкаре не могут проникать через границы "островов". Влияние "островов" нельзя исключить, просто уменьшая на соответствующую величину фазовый объем хаэтического "моря". Их роль гораздо важнее. Вблизи внешних границ "островов" имеются так называемые зоны "прилипания", в которых траектории могут подолгу застревать, кардинально изменяя статистические свойства движения. Диффузия становится аномальной, корреляции не распадаются экспоненциально, а типичная траектория отличается перемежаемостью — чередованием регулярных и хаотических осцилляций. Динамическое, статистическое и кинетическое описания гамильтоновых систем являются важнейшими задачами современной нелинейной динамики.

В первой главе кратко обсуждаются современные проблемы теории гамильтонова хаоса в классических и квантовых системах, имеющие непосредственное отношение к теме диссертации.

Во второй главе развивается теория одномерного нелинейного осциллятора в пространственно-временном поле внешней силы, который может служить прототипной моделью множества физических явлений, в том числе и рассматриваемых в диссертации. Развитая теория позволяет выявлять в фазовом пространстве системы зоны устойчивости, которые присутствуют даже в случае широкополосного шума.

В третьей и четвёртой главах диссертации исследуются транспортные, фрактальные и статистические свойства динамического хаоса в гамильтоновых системах, которые естественным образом возникают в океанологии при моделировании адвекции пассивных примесей в районах так называемых топографических вихрей в океане и при распространении звука в глубоком океане на дальние расстояния в подводном звуковом канале. В гидродинамике лагранжевы уравнения движения в случае идеальной несжимаемой жидкости можно получить с помощью функции тока по аналогии с гамильтоновыми уравнениями движения для канонически сопряженных переменных в механике. Распространение звука в подводном звуковом канале на дальние расстояния адекватно описывается в приближении геометрической оптики в терминах звуковых лучей. И в том и в другом случае при ряде допущений получаем неавтономные гамильтоновы системы с полутора степенями свободы, в которых роль половинки степени свободы играет время в задаче адвекции и пространственная координата вдоль волновода в акустической задаче. Следует отметить, что эти системы подробно исследовались в работах Д.В. Макарова "Нелинейная динамика лучей в неоднородном подводном звуковом канале" (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук под руководством д.ф.-м.н. С.В. Пранца, защищена в 2004 г.) и М.В. Будянского "Хаотическая адвекция и фракталы в нестационарном плоском потоке" (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук под руководством д.ф.-м.н. С.В. Пранца, представлена к защите в 2005 г.). В настоящей работе рассмотрены новые эффекты и предложены новые методы исследования этих явлений, не вошедшие в упомянутые диссертации.

В чистом виде гамильтоновы системы встречаются, пожалуй, только в небесной механике. В земных условиях любая система подвергается действию шума со стороны своего окружения. Практически важно изучить влияние шума на хаотическую динамику. Автором предложен новый метод обнаружения зон устойчивости в фазовом пространстве гамильтоновых систем, выживающих даже под действием шума, в рамках предложенных моделей исследованы индуцированные шумом транспортные, фрактальные и статистические свойства хаотической адвекции пассивных примесей и хаоса лучей в подводном звуковом канале.

Связь классического динамического хаоса с квантовой механикой — одна из наиболее интересных проблем современной физики [30,69,76,77]. Динамическим хаосом в классической механике называется псевдослучайное поведение динамических систем при отсутствии всякого шума и случайно варьируемых параметров, основным свойством которого является сильная зависимость от начальных условий в ограниченном фазовом пространстве. Считается, что изолированные ограниченные квантовые системы не могут проявлять столь чувствительную зависимость от начальных условий как классические системы в силу унитарности своей эволюции. Возникает вопрос: каков механизм возникновения классического хаоса из квантовой механики? В пятой главе диссертационной работы показывается как классический гамильтонов хаос с чувствительной зависимостью от начальных условий, положительными показателями Ляпунова, фрактальными свойствами фазового пространства и аномальными статистическими характеристиками возникает в сильно связанной атомно-полевой системе с бесконечномерным фазовым пространством. Такая система возникает в квантовой электродинамике одиночного атома, взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем в высокодобротном резонаторе. Изучение фундаментальных принципов атомно-фотонного взаимодействия составляет быстро развивающуюся область резонаторной квантовой электродинамики [67,106,118]. В экспериментальных работах достигнут уровень, когда переход между классическим и квантовым динамическими режимами может наблюдаться напрямую. В этой главе теоретически и численно исследуется нелинейная динамика и квантовый хаос во взаимодействии атома с квантованным полем стоячей световой волны с учетом атомной отдачи при излучении и поглощении фотонов в высокодобротном резонаторе. Установлено квантово-классическое соответствие поведения сугубо квантовых характеристик движения (квантовой энтропии и воспроизводимости состояний) и максимального показателя Ляпунова.

Заключение

В представленной работе на примере гамильтоновых систем различной физической природы (механических, гидродинамических, акустических и квантово-электродинами-ческих) с разным числом степеней свободы (от полутора до бесконечности) развиваются теоретические представления о динамических и статистических свойствах гамильто-нова хаоса. Распространяя теорию нелинейного резонанса на случай пространственно-временного периодического возмущения и стохастического возмущения, мы исследуем фазовое пространство нелинейной динамической системы и обнаруживаем в нём типичные структуры, ответственные за проявление характерных свойств гамильтоновых хаотических систем: аномальную диффузию, степенные характеристики функций распределения, динамические фракталы, динамические ловушки, шумоиндуцированные когерентные кластеры и проч. Эти свойства теоретически и численно исследованы для следующих моделей:

1. одномерный механический нелинейный осциллятор в пространственно-временном поле внешней силы (как периодическом, так и стохастическом);

2. распространение звуковых лучей в пространственно неоднородных океанических акустических волноводах (как периодических, так и стохастических);

3. адвекция пассивных примесей в плоском гидродинамическом потоке несжимаемой жидкости (как периодическом, так и стохастическом);

4. квантовая атомно-полевая система в идеальном резонаторе.

Получены следующие новые результаты.

1. Пространственно-временной хаос

• Обнаружен эффект усиления хаоса в локальных областях фазового пространства под влиянием пространственных осцилляций внешней силы.

• Предложен новый метод обнаружения шумоиндуцированных зон устойчивости в фазовом пространстве маломерных гамильтоновых систем.

2. Лучевой хаос

• Выявлен и описан механизм влияния вертикальной структуры неоднородности волноводного канала на хаотическую диффузию лучей.

• Обнаружена устойчивость когерентных лучевых кластеров при распространении звука в случайно-неоднородном волноводном канале с малым числом вертикальных мод неоднородности.

3. Хаотическая адвекция

• Предложен новый численный метод обнаружения неустойчивых периодических орбит.

• Показано, что хаотическое рассеяние пассивных примесей в периодическом и случайном двумерном поле скоростей открытого несжимаемого потока имеет фрактальную структуру, установлена взаимосвязь топологических и динамических характеристик.

• Численно обнаружены и исследованы когерентные кластеры пассивных примесей в случайном поле скоростей.

4. Квантовый хаос

• В рамках резонаторной квантовой электродинамики получена система уравнений для амплитуд вероятностей, описывающая взаимодействие двухуровневого атома с выделенной модой квантованного поля в идеальном резонаторе с учетом эффекта фотонной отдачи.

• Показано, что в соответствующей гамильтоновой системе с бесконечным числом степеней свободы возможны различные динамические режимы: регулярные осцилляции, полёты и проявления гамильтонова хаоса как в классическом атомном движении (хаотическое рассеяние и атомные фракталы), так и в квантовых степенях свободы (хаотические осцилляции Раби). Предложены мысленные эксперименты для проверки неустойчивости и хаоса в квантовой электродинамике.

• Показано, что сугубо квантовые характеристики (квантовая энтропия и воспроизводимость состояний атомно-полевой системы) коррелируют с классической мерой хаоса — максимальным показателем Ляпунова. Тем самым установлено квантово-классическое соответствие в резонаторной квантовой электродинамике.

Работа выполнена при поддержке:

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 01-02-06021, Л» 9902-17269, № 03-02-06896, № 02-02-17796)

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математические методы в нелинейной динамике" (проект № 4.17 "Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах")

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты № 03-III-A-02-124 "Квантовые фракталы", № 04-III-A-02-45 "Квантовый хаос во взаимодействии атомов с фотонами", № 04-III-A-02-051 "Атомные фракталы в резонаторной квантовой электродинамике", № 05-Ш-Г-02-141 "Корреляция квантовых состояний атома и света с движением атома в резонаторе", № 05-III-A-02-100 "Декогерентность атомов в собственном поле излучения", № 05-Ш-Г-07-075 "Акустическая томография протяжённых океанических трасс в условиях сильного лучевого хаоса", № 05-Ш-Г-04-011 "Хаотическое рассеяние и аномальная диффузия в модели адвекции пассивных примесей топографическим вихрем с детерминированным и случайным возмущениями", "Исследование механизмов возникновения фракталов и динамических ловушек в зоне топографического вихря и их роль в неоднородном распределении пассивных примесей", "Влияние внутренних волн на сверхдальнее распространение звука в океане и проблема лучевого хаоса в подводных звуковых каналах").

• Федеральная целевая программа "Исследование природы Мирового океана". Проект "Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере".

Список статей, опубликованных по теме диссертации

1. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. A nonlinear oscillator with two degrees of freedom in a laser field // Journal of Russian Laser Research. 2001. Vol. 22. 1. P. 69-81.

2. Макаров Д.В., Пранц C.B., Улейский М.Ю. Структура пространственного нелинейного резонанса лучей в неоднородном подводном звуковом канале // Доклады АН. 2002. Т. 382. № 3. С. 394-396.

3. Будянский М.В., Улейский М.Ю., Пранц С.В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // Доклады АН. 2002. Т. 386. № 5. С. 686-689.

4. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. Chaotic absorption of coherent laser light by an anhar-monic molecule. In: "Fundamental Aspects of Laser-Matter Interaction and Physics of Nanostructures" (eds. A.V. Andreev et al) // Washington: Proc. SPIE. 2002. Vol. 4748. P. 89-96.

5. Uleysky M.Yu. and Prants S.V. A driven nonlinear oscillator with a few degrees of freedom: chaos and controllability in the light absorption. "Progress in Nonlinear Science", vol. 2. "Frontiers of Nonlinear Physics", ed. by A.G. Litvak, Nizhny Novgorod, 2002. P. 608-613.

6. Макаров Д.В., Улейский М.Ю., Пранц С.В. О возможности определения характеристик внутренних волн по данным распределения, времен прихода лучей в подводном звуковом канале в условиях хаоса // Письма в Журнал технической физики. 2003. Т. 29. № 10. С. 70-76.

7. Prants S.V., Uleysky M.Yu. Atomic fractals in cavity quantum electrodynamics // Physics Letters A. 2003. Vol. 309 № 5-6. P. 357-362.

8. Uleysky M., Kon'kov L., Prants S. Quantum chaos and fractals with atoms in cavities // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2003. Vol. 8. JV« 3/4. P. 329-347.

9. Makarov D.V., Uleysky M.Yu., Prants S.V. Ray chaos and ray clustering in an ocean waveguide // Chaos. 2004. Vol. 14. № 1. P. 79-95.

10. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Hamiltonian fractals and chaotic scattering by a topographical vortex and an alternating current // Physica D. 2004. Vol. 195. № 3-4. P. 369-378.

11. Будянский M.B., Улейский М.Ю., Пранц С.В. Хаотическое рассеяние, транспорт и фракталы в простом гидродинамическом потоке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 126 JV« 5(11). С. 1167-1179.

12. Макаров Д.В., Улейский М.Ю. Влияние локальных вариаций профиля скорости звука на динамику лучей в подводном звуковом канале в условиях хаоса. Докл. 10-й научной школы-семинара ак. Л. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XIV сессией РАО. Москва, 2004. С. 137-140.

13. Макаров Д.В., Улейский М.Ю. Когерентные лучевые кластеры в неоднородном подводном звуковом канале. Докл. 10-й научной школы-семинара ак. Л. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XIV сессией РАО. Москва, 2004. С. 141-144.

14. Prants S.V., Uleysky M.Yu. On the quantum (in)stability in cavity QED. [Электронный ресурс] / E-print archive. 2005. quant-ph/0504180 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0504180).

1. Макаров Д. В., Пранц С. В., Улейский М. Ю. Структура пространственного нелинейного резонанса лучей в неоднородном подводном звуковом канале // Докл. АН. 2002. Т. 382, tf* 3. С. 394-396.

2. Будянский М. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // Докл. АН. 2002. Т. 386. № 5. С. 686-689.

3. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Детерминированный хаос лучей в неоднородном подводном звуковом канале // Океанологические иследования: сборник докладов конференции молодых ученых. ТОЙ, Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 147-154.

4. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Лучевые кластеры в неоднородных подводных акустических волноводах // Труды Международной конференции "Математические методы в геофизике". Ч. 1. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2003. С. 153-156.

5. Prants S. V., Uleysky М. Yu. Atomic fractals in cavity quantum electrodynamics // Phys. Lett. A. 2003. Vol. 309. № 5-6. P. 357-362.

6. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Когерентные лучевые кластеры в неоднородном подводном звуковом канале // Доклады 10-ой научной школы-семинара акад. Л. М. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XIV сессией РАО. М.: ГЕОС, 2004. С. 138141.

7. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Мартынов М. Ю. Влияние вертикальной структуры неоднородности подводного звукового канала на динамику звуковых лучей // Сборник трудов XV сессии РАО. Т. 2. М.: ГЕОС 2004. С. 140-143.

8. И. Budyansky М. V., Uleysky М. Yu, and Prants S. V. Hamiltonian fractals and chaotic scattering by a topographical vortex and an alternating current // Physica D. 2004. Vol. 195. № 3-4. P. 369-378.

9. Makarov D. V., Uleysky M. Yu. and Prants S. V. Ray chaos and ray clustering in underwater acoustics // Chaos. 2004. Vol. 14. № 1. P. 79-95.

10. Будянский M. В., Улейкий M. Ю., Пранц С. В. Хаотическое рассеяние, транспорт и фракталы в простом гидродинамическом потоке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2004. Т. 126. № 5(11). С. 1167-1179.

11. Абдуллаев С. С., Заславский Г. М. Нелинейная динамика лучей в неоднородных средах // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. tf* 2. С. 524-536.

12. Абдуллаев С. С., Заславский Г. М. Классические нелинейная динамика и хаос лучей в задачах распространения волн в неоднородных средах // УФН. 1991. Т. 161. Л® 8. С. 1-43.

13. Аргонов В. Ю., Пранц С. В. Фракталы и хаотическое рассеяние атомов в поле стационарной стоячей световой волны // ЖЭТФ. 2003. Т. 123. С. 946-961.

14. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985. - 304 с.

15. Белобров П. И., Заславский Г. М., Тартаковский Г. X. Стохастическое разрушение связанных состояний в системе атомов, взаимодействующих с полем излучения // ЖЭТФ. 1976. Т. 71. № 5(11). С. 1799-1812.

16. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.: УРСС, 2002. 406 с.

17. Богданов К. Т., Мороз В. В. Структура, динамика и гидролого-акустические характеристики вод проливов Курильской гряды. Владивосток: Дальнаука, 2000. - 152 с.

18. Будянский М. В., Пранц С. В. Механизм хаотического перемешивания в элементарном детерминированном потоке // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. № 12. С. 51-56.

19. Вадов Р. А. Дальнее распространение звука в мелководной части Охотского моря // Акустический журнал. 2002. Т. 48. № 2. С. 172-177.

20. Вадов Р. А. Поглощение и затухание низкочастотного звука в морской среде. Акустический журнал. 2000. Т. 46. С. 624-631.

21. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. - 181 с.

22. Вечеславов В. В. Подавление динамического хаоса в гамильтоновых системах // ЖЭТФ. 2001. Т. 119. JV« 4. С. 853-861.

23. Вечеславов В. В., Чириков Б. В. Диффузия в гладких гамильтоновых системах // Препринт ИЯФ 2001-59, Новосибирск, 2001. 27 с.

24. Вировлянский А. Л. Лучевой хаос при распространении звука в океане // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2003. Т. 46. № 7. С. 555-571.

25. Гребенников Е. А, Митропольский Ю. А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем. М.: Наука, 1992. 224 с.

26. Забурдаев В. Ю., Чукбар К. В. Эффекты "памяти" в стохастическом транспорте // Письма в ЖЭТФ. 2003. Т. 77. № 10. С. 654-658.

27. Заславский Г. М. Статистика энергетических уровней при разрушении интегралов движения // ЖЭТФ. 1977. Т. 73. Вып. 6.

28. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М. :Наука, 1984. - 271 с.

29. Заславский Г. М, Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368 с.

30. Зырянов В. Н. Топографические вихри в динамике морских течений. М.: ИВП РАН, 1995. - 239 с.

31. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970.

32. Кляцкин В. И. Динамика стохастических систем: курс лекций. М.: Физматлит, 2002. - 240 с.

33. Кляцкин В. И., Гурарий Д. Когерентные явления в стохастических системах // УФН. 1999. Т. 169. № 2. С. 171-207.

34. Кляцкин В. И., Кошель К. В. Простейший пример возникновения кластерной структуры поля пассивной примеси в случайных потоках // УФН. 2000. Т. 170. № 7. С. 771 -778.

35. Козлов В. Ф. Модели топографических вихрей в океане. М.: Наука, 1983. - 200 с.

36. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движений при малых возмущениях гамильтониана // Докл. АН. 1954. Т. 98. С. 527-530.

37. Коньков JI. Е., Пранц С. В. Хаотические вакуумные осцилляции Раб и в резонаторной квантовой электродинамике // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 65. Вып. 11. С. 801-806.

38. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М.: Физматлит, 2001.

39. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.

40. Лоскутов А. Ю., Джаноев А. Р. Подавление хаоса в окрестности сепаратрисы // ЖЭТФ. 2004. Т. 125. № 5. С. 1194-1203.

41. Макаров Д. В. Нелинейная динамика лучей в неоднородном подводном звуковом канале. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Владивосток, ТОЙ ДВО РАН, 2004.

42. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

43. Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 448 с.

44. Пранц С. В. Хаос, фракталы и полёты атомов в резонаторах // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 15. Вып. 12. С. 177-785.

45. Пранц С. В., Коньков JI. Е. Параметрическая неустойчивость и гамильтонов хаос в резонаторной полуклассической электродинамике. // ЖЭТФ. 1999. Т. 115. Вып. 2. С. 740-753.

46. Пранц С. В., Коньков Л. Е. Хаотическое блуждание атома в когерентном поле стоячей световой волны // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73. Вып. 4. С. 200-204.

47. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики: Избр. тр.: В 2 т. М.: Наука, 1972. Т. 2, гл. 33.

48. Скалли М. О., Зубайри М. С. Квантовая оптика. М.: Физматмет, 2003.

49. Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. М.: Наука, Физматгиз, 1999. 368 с.

50. Хакен Г. Лазерная светодинамика. М.: Мир, 1988. 350 с.

51. Чигарев А. В., Чигарев Ю. В. О возможности возникновения стохастической неустойчивости лучей в неоднородных средах // Акустический журнал. 1978. Т. 24. С. 765771.

52. Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. Новосибирск: НГУ, 1977. 82 с.

53. Aref Н. Stirring by chaotic advection // J. Fluid Mech. 1984. Vol. 143. P. 1-21.

54. Arnold V. I. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits // C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. 1965. Vol. 261. P. 17-20.

55. Artuso R., Casati G. and Lombardi R. Periodic orbit theory of anomalous diffusion // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. JV« 1. P. 62-64.

56. Artuso R. and Cristadoro G. Anomalous transport: a deterministic approach // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90. JV« 24. P. 244101.

57. Artuso R., Rebuzzini L. Effects of a nonlinear perturbation on dynamical tunneling in cold atoms // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. Art. 036221.

58. Bardroff P. J., Bialynicki-Birula I., Krahmer D. S., Kurizki G., Мауг E., Stifter P., Schle-ich W. P. Dynamical Localization: Classical versus Quantum Oscillations in Momentum Spread of Cold Atoms // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 20. P. 3959-3962.

59. Berman G. P., Zaslavsky G. M. Condition of stochasticity in quantum nonlinear systems // Physica A. 1978. Vol. 91. P. 450-460.

60. Beron-Vera F. J., Brown M. G. Ray stability in weakly range-dependent sound channels // J. Acoust. Soc. Am. 2003. Vol. 114. P. 123-130.

61. Blumel R., Reinhardt W. P. Chaos in Atomic Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

62. Brown M. G., Colosi J. A., Tomsovic S., Virovlyansky A. L., Wolfson M. A., Zaslavsky G. M. Ray dynamics in long-range deep ocean sound propagation //J. Acoust. Soc. Am. 2003. Vol. 113. № 5. P. 2533-2547.

63. Casati G., Chirikov B. Quantum chaos: unexpected complexity // Physica D. 1995. Vol. 86. P. 220-237.

64. Cavity Quantum Electrodynamics, ed. by P. R. Berman. New York: Academic Press, 1994.

65. Chandre C., Giraolo G., Doveil F., Lima R., Macor A. and Vittot M. Channeling chaos by the building barriers // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. 7. P. 074101.

66. Chirikov В. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 1979. Vol. 52. № 5. P. 265-379.

67. Denisov S., Flach S. Dynamical mechanismes of dc current generation in driven Hamilto-nian systems // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. № 5. P. 056236.

68. Flach S., Yevtushenko O., and Zolotaryuk Y. Directed current due to broken time-space symmetry // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. № 11. P. 2358-2361.

69. Goetsch P., Graham R. Decoherence by spontaneous emission in atomic-momentum transfer experiments // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54, JY* 6. P. 5345-348.

70. Graham R., Miyazaki S. Dynamical localization of atomic de Broglie waves: The influence of spontaneous emission // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 53, JV« 4. P. 2683-2693.

71. Graham R., Schlautmann M., Zoller P. Dynamical localization of atomic-beam deflection by a modulated standing light wave // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45. P. 19-22.

72. Gutzwiller M. C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York: Springer, 1990.

73. Haake F. Quantum signatures of Chaos. Berlin: Springer, 1991.

74. Harrison R. G. Dynamical instabilities and chaos in lasers // Contemp. Phys. 1988. Vol. 29. № 4. P. 341-371.

75. Hensinger W. K., Haffner H., Browaeys A., Heckenberg N. R., Helmerson K., McKenzie C., Milburn G. J., Phillips W. D., Rolston S. L., Rubinsztein-Dunlop H., Upcroft B. Dynamical tunnelling of ultracold atoms // Nature. 2001. Vol. 412. P. 52-55.

76. Hensinger W. K., Heckenberg N. R., Milburn G. J., Rubinsztein-Dunlop H. Experimental tests of quantum nonlinear dynamics in atom optics //J. Opt. B: Quantum Semiclass. 2003. Opt. 5. P. R83-R120.

77. Hensinger W. К., TYuscott A. G., Upcroft В., Heckenberg N. R., Rubinsztein-Dunlop H. Atoms in em amplitude-modulated standing wave — dynamics and pathways to quantum chaos // J. Opt. B: Quantum Semiclass. 2000. Opt. 2. P. 659-667.

78. Ioussoupov V. I., Kon'kov L. E., Prants S. V. Structural Hamiltonian chaos in the coherent parametric atom-field interaction // Physica D. 2001. Vol. 155, tf* 3/4. P. 311-322.

79. Isichenko M. B. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev. Mod. Phys. 1992. Vol. 64. Л* 4. P. 961-1043.

80. Jaynes E. Т., Cummings F. W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser // Proc. IEEE. 1963. Vol. 5. P. 89-109.

81. Klimes L. Lyapunov exponents for 2-D ray tracing without interfaces // Comm. Nonl. Science. 2003. Vol. 8. № 3-4. P. 401-413.

82. Latka M., West B. W. Nature of Quantum Localization in Atomic and Momentum Transfer Experiments // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 23. P. 4202-4205.

83. Lopes-Castillo A., de Oliveira C. R. Classical electronic autoionization under molecular oscillations // Chaos, Solitons к Fractals. 2004. Vol. 20. P. 937-946.

84. Lorenz E. N. Deterministic non-periodic flow //J. Atmos. Sci. 1963. Vol. 20. № 20. P. 130148.

85. Mitchell K. A., Handley J. P., Tighe В., Delos J. В., Knudson S. K. Geometry and topology of escape. I. Epistrophes // Chaos. 2003. Vol. 13. P. 88 902.

86. Moore F. L., Robinson J. C., Bharucha C., Williams P. E., Raizen M. G. Observation of dynamical localization in atomic momentum transfer: a new testing ground for quantum chaos. // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 2974-2977.

87. Neishtadt A. and Vasiliev A. Phase change between separatrix crossings in slow-fast Hamiltonian systems // Nonlinearity. 2005. Vol. 18. № 3. P. 1393-1406.

88. Okabe Т., Yamada H. Dynamical instability of one-dimensional Morse system // Mod. Phys. Lett. 1999. Vol. 13. Л* 9-10. P. 303-315.

89. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

90. Ott E., Grebogi С., and Yorke J. A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. № 11. P. 1196-1199.

91. Ottino J. M. The kinematics of mixing. Cambridge: Cambridge University Press, 1989. -364 p.

92. Peres A. Stability of quantum motion in chaotic and regular systems // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 30. P. 1610-1615.

93. Physics Fluids. A. 1991. Vol. 3. № 5. Part 2.

94. Prants S. V. Вестник ДВО. 2003. № 2. С. 30-46.

95. Prants S. V., Kon'kov L. E. Dynamical chaos in the interaction of moving atoms with a cavity field // Phys. Lett. A. 1997. Vol. 225. № 1. P. 33-38.

96. Prants S. V., Kon'kov L. E. Homoclinic chaos in vacuum Rabi oscillations of moving two-level atoms // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61, JT« 4. P. 3632-3640.

97. Prants S. V., Kon'kov L. E., Kirilyuk I. L. Semiclassical interaction of two-level moving atoms with a cavity field: from integrability to Hamiltonian chaos // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60, № 3. P. 335-346.

98. Prants S. V., Sirotkin V. Yu. Effects of the Rabi oscillations on the atomic motion in a standing-wave cavity // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 64. № 3.

99. Qasmi H., Barre J., and Dauxois T. Links between nonlinear dynamics and statistical mechanics in a simple one-dimensional model. Электронный ресурс] // E-print archive. 2004. cond-mat/0407662. (http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0407662).

100. Rahav S., Gilary I. and Fishman S. Effective Hamiltonians for periodically-driven systems // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 68. № 1. P. 013820.

101. Raimond J. M., Brune M., Haroche S. Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 565-582.

102. Raimond J. M., Haroche S. // Confined Electrons and Photons ed. by Burstein E. and Weisbuch C. New York: Plenum Press, 1995.

103. Robinson J. С., Bharucha С., Moore F. L., Jahnke R., Georgakis G. A., Niu Q., Raizen M. G., Bala Sundaram. Study of Quantum Dynamics in the TYansition from Classical Stability to Chaos // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, 20. P. 3963-3966.

104. Schanz H., Dittrich Т., and Ketzmerick R. Directed chaotic transportin Hamilto-nian ratchets. Электронный ресурс] // E-print archive. 2004. nlin.CD/0408021. -(http://xxx.lanl.gov/abs/nlin/0408021).

105. Schutz G. M., TVimper S. Elephants can always remember: exact long-range memory effects in a non-Markovian random walk // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. № 4. P. 045101.

106. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic orbits // Differential and Combinatorial Topology. Princeton: Princeton University Press, 1965. P. 63-70.

107. Smirnov I. P., Virovlyansky A. L., Zaslavsky G. M. Sensitivity of ray travel times // Chaos. 2002. Vol. 12, № 3, P. 617-635.

108. Smirnov I. P., Virovlyansky A. L., and Zaslavsky G. M. Wave chaos and mode-medium resonances at long-range propagation in the ocean // Chaos. 2004. Vol. 14. P. 317-332.

109. Tappert F. D., Tang Xin. Ray chaos and eigenrays // J. Acoust. Soc. Am. 1996. Vol. 99. P. 185-195.

110. Virovlyansky A. L. Ray travel times at long ranges in acoustic waveguides //J. Acoust. Soc. Am. 2003. Vol. 113. № 5. P. 2523-2532.

111. J116. Virovlyansky A. L. and Zaslavsky G. M. Wave chaos in terms of normal modes // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 59. P. 1656-1668.

112. Vittot M., Chandre C., Giraolo G. and Lima R. Localized control of non-resonant Hamil-tonian system // Nonlinearity. 2005. Vol. 18. JV® 1. P. 423-440.

113. Vogel W., Welsch D.-G., Wallentowitz S. Quantum Optics: An Introduction. Berlin: Wiley-VCH, 2001.

114. Wilkinson P. В., Fromhold Т. M., Taylor R. P. and Micolich A. P. Effects of geometrical ray chaos on the electromagnetic eigenmodes of a gradient index optical cavity // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 026203. P. 1-7.

115. Wolfson M. A., Tomsovic S. On the stability of long-range sound propagation through a structured ocean // J. Acoust. Soc. Am. 2001. Vol. 109. P. 2693-2703.

116. Yuster Т., Hackborn W. W. On invariant manifolds attached to oscillating boundaries in Stokes flows // Chaos. 1997. Vol. 7. № 4. P. 769-776.

117. Zaslavsky G. M. Physics of Chaos in Hamiltonian Systems. Oxford: Academic Press, 1998.

118. Zaslavsky G. M. Dynamical traps // Physica D. 2002. Vol. 168-169. P. 292-304.

119. Zaslavsky G. M., Edelman M., and Niyazov B. A. Self-similarity, renormalization, and phase space nonuniformity of Hamiltonian chaotic dynamics // Chaos. 1997. Vol. 7. Л* 1. P. 159-181.

120. Zurek W. H. Decoherence, einselection, and quantum origins of the classical // Reviews of Modern Physics. 2003. Vol. 75. P. 715-775.