Хаотическое движение атомов в периодических полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правахрукописи

Аргонов Виктор Юрьевич

ХАОТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ АТОМОВ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2005

Работа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте Дальневосточного отделения РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук СВ. Пранц

доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ В.В. Юдин

кандидат физико-математических наук, А.В. Безвербный

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, г. Владивосток

Защита состоится 4 мая 2005 года в 13:00 на заседании

диссертационного совета Д 212.056.08 государственном университете по адресу: 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8.

при Дальневосточном

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета

Автореферат разослан 25 марта 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.056.08 кандидат физико-математических наук

И.В. Соппа

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. К настоящему времени сформировалось направление исследований, связанное с нелинейной динамикой взаимодействия лазерного излучения со свободными атомами. Существует множество теоретических и экспериментальных работ по управлению механическим движением атомов с помощью поля. В первую очередь, это работы по лазерному охлаждению (замедлению) атомов и удержанию их в малых областях пространства. Помимо этого, теоретически предсказаны и экспериментально обнаружены такие эффекты, как нагрев (ускорение) атомов, лазерное отклонение атомных пучков, группирование по скоростям, каналирование и др. [1,2, 3].

В отличие от уже ставших классическими работ по лазерному охлаждению и пленению атомов в свободном пространстве, исследование самосогласованного взаимодействия поля с внутренними степенями свободы атома обычно предполагает режим так называемой сильной связи в высокодобротном резонаторе, в котором происходит многократный обмен возбуждением между атомом и полевой модой (осцилляции Раби). В результате развития экспериментальной техники во многих лабораториях мира созданы микрорезонаторы, в которых чувствительность регистрации атомного движения практически достигает стандартного квантового предела. Уже появились работы, где регистрируется движение одиночного атома в поле единственного фотона [4]. Практически важна возможность не только наблюдать изменение квантовых состояний атома, но и непосредственно влиять на этот процесс. В настоящее время использование захваченных в ловушках атомов и ионов в качестве логических элементов считается одним из наиболее перспективных направлений в создании квантового компьютера.

Взаимодействие атомов с излучением представляет интересное поле исследования для нелинейной динамики. Существует широкий круг работ по исследованию диссипативного хаоса в квантовых генераторах (см., например, [5]). В работе [6] впервые был теоретически обнаружен гамильтонов хаос в полуклассической модели Дикке взаимодействия большого числа атомов с собственным полем излучения. Дальнейшее исследование гамильтонова хаоса в более реалистичных ситуациях, в том числе, с учётом движения атомов, межатомных корреляций [7], параметрического возбуждения [8] и др. позволило описать механизмы возникновения хаоса и различные нелинейные динамические эффекты в микроволновом диапазоне, в котором отдачей при излучении и поглощении фотонов можно пренебречь. Для корректного описания нелинейной динамики атомов в поле стоячей световой волны видимого диапазона в условиях сильной связи требуется учёт всех степеней свободы — механических, внутриатомных и полевых.

Цель работы. Теоретическое и численное исследование нелинейной динамики взаимодействия внутренних (электронных) и внешних (механических) степеней свободы одиночного атома с полем стоячей световой волны.

В качестве объекта исследования выбраны атомы, взаимодействующие с лазерным полем в высокодобротных резонаторах и в свободном пространстве. Задачи работы:

• исследование гамильтоновой динамики атомно-полевой системы в высокодобротном резонаторе: вывод уравнений движения, поиск аналитических решений в частных случаях, обнаружение и исследование динамического хаоса и его конкретных проявлений во внешних и внутренних степенях свободы атома;

• учёт диссипативных процессов в уравнениях движения атомно-полевой системы, изучение атомного движения под действием диссипативных сил, исследование влияния ляпуновской неустойчивости на механическое движение;

• исследование корреляций внутренних степеней свободы с движением атома, поиск элементов самоорганизации, регулярных и хаотических аттракторов. Поиск аналитических решений в частных случаях, исследование бифуркаций аттракторов при изменении параметров и начальных условий.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту.

• В гамильтоновой и диссипативной динамике атомно-полевой системы при определённых условиях возникает динамический хаос, проявляющийся во внешних степенях свободы как хаотическое блуждание атома в стоячей волне. Хаотическое блуждание атома имеет аномальные статистические свойства (обнаружены полёты Леви).

• Зависимость времени выхода атома из заданной области поля от параметров системы и начальных условий может быть фрактальной с ярко выраженным самоподобием и дробной хаусдорфовой размерностью.

• В гамильтоновой динамике системы осцилляции Раби движущегося атома имеют вид сигнала с частотной и/или амплитудной модуляцией. Вдали от атомно-полевого резонанса при совпадении величин доплеровского сдвига и расстройки возникает резонанс Доплера-Раби.

• В диссипативной динамике системы возникает синхронизация осцилляции внутренних и внешних степеней свободы атома, проявляющаяся в фазовом пространстве системы в виде предельных циклов различных периодов со сложной структурой бассейнов притяжения, включая явление риддлинга.

• При изменении параметров системы для предельных циклов

существуют нетривиальные многокаскадные бифуркационные сценарии, включающие появление циклов нечётных периодов и переход к странному хаотическому аттрактору, порождаемому механическим движением. Научная и практическая значимость. Полученные результаты могут быть полезны для разработки новых методов одновременного управления механическим движением и внутренним состоянием атомов. Многообразие режимов синхронизации, простота переключения между ними и различие в спектрах атомной флуоресценции для циклов разных периодов могут быть использованы для разработки новых способов кодирования информации. Новые возможности управления внутренними состояниями атомов могут быть использованы для обработки квантовой информации и в квантовых компьютерах.

Научная значимость работы подтверждается фактом цитирования опубликованных результатов другими исследователями. Диссертационная работа поддержана следующими грантами.

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 01-0206020, № 99-02-17269, № 03-02-06895, № 02-02-17796).

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Математические методы в нелинейной динамике» (проект № 4.17 «Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах»).

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты № 0З-Ш-Г-02-008 «Диссипатиная динамика холодного атома в поле стоячей световой волны», № 04-Ш-Г-02-46 «Хаос, фракталы и странные аттракторы во взаимодействии движущегося атома с классическим полем излучения в резонаторе», № 05-1П-Г-02-005 «Синхронизация и бифуркации внутренних и внешних степеней свободы атомов в лазерном поле»).

Достоверность результатов обеспечивается использованием современных апробированных методов теоретического и численного анализа, отладкой численных методов в смежных задачах и сравнением полученных результатов с известными ранее.

Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, докладывались ранее на различных, в том числе международных, научных конференциях: "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (Минск, 2001), "Progress in Nonlinear Science" (Нижний Новгород, 2001), "International Quantum Electronic Conference" (Москва, 2002), "I конкурс научных работ молодых ученых ДВО РАН" (Владивосток, 2002, лауреат), "Dynamical Chaos in Classical and Quantum Physics" (Новосибирск, 2003), "Frontiers in Nonlinear Physics" (Нижний Новгород, 2004), "Региональная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по физике"

(Владивосток, 2004), "II конкурс научных работ молодых ученых ДВО РАН" (Владивосток, 2004, лауреат).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 статей, в том числе, в журналах "Physical Review А", "Журнал экспериментальной и теоретической физики", "Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики", "Journal of Russian Laser Research", "Proceedings of SPIE", а также в сборниках международных научных конференций и в сборниках трудов ТОН ДВО РАН.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований, включает 37 рисунков. Общий объем диссертации составляет 115 страниц. Во Введении обосновывается актуальность темы, описывается её общенаучный контекст.

Первая глава «Управление движением атомов с помощью электромагнитного поля: обзор литературы» содержит обзор основных публикаций, посвященных тематике диссертации. Здесь описываются экспериментальные достижения по управлению механическим движением и внутренним состоянием атомов, а также экспериментальные и теоретические работы по изучению нелинейных динамических эффектов (в том числе, динамического хаоса) в квантовых генераторах и моделях взаимодействия атомов с собственным полем излучения.

Во ВТОРОЙ главе «Гамильтонова динамика атомно-полевой системы» исследована базовая модель взаимодействия внутренних и внешних степеней свободы атома с полем стоячей световой волны в высокодобротном

резонаторе.

В первом параграфе выводятся уравнения движения системы. Двухуровневый атом, взаимодействующий в высокодобротном резонаторе с полем стоячей световой волны описывается обобщённым гамильтонианом стандартной модели Джейнса-Каммингса

Н = —— + + fta>f(ä+ä + -i-)-ftiJ0(ä+ö_ + äo+)coskfx, (l)

где первый член имеет смысл кинетической энергии, второй — внутренней энергии атома, третий - энергии поля, четвёртый - энергии атомно-полевого взаимодействия. Из этого гамильтониана выводится полуклассическая система уравнений для средних значений физических величин

которая самосогласованным образом описывает динамику механических

степеней свободы атома (координаты 4*Ьг<х> и импульса ржР>/Лк(), внутриатомных и полевых степеней свободы (переменные I ■< <г, >, и =< и >=< а *<г. + ост, >, у э< V >= | < о - д<г, > ). Система имеет два интеграла движения, связанные с сохранением энергии и длины вектора Блоха

ос 5

V/=—ргЛ эи2 + уг + Ыг2 . (3)

Величина

5

и ш -и соъ § - — г (4)

имеет смысл эффективной потенциальной энергии атома. Параметрами системы служат нормированная частота отдачи при поглощении и испускании фотонов расстройка резонанса между полевой

модой и атомным переходом б = (о)г - со,)/П0 и число возбуждений

#5л + (г + 1)/2, где п =< а* а > — число фотонов в стоячей волне.

Во втором параграфе для случая точного атомно-полевого резонанса (5 = 0) находятся аналитические решения системы (2). При точном резонансе атом движется в пространственно периодическом потенциале -форма которого повторяет форму стоячей волны (рис. 1а). Решения для координаты и импульса атома записываются в терминах эллиптических

-ллллллллл/

-3 с_I___,_,__.__:

О 10 20 30 40 30 Б0

«; д^лд/л/у ^

О 10 20 30 40 50 60

и °ЛААЛАЛАЛЛАЛДЛЛАЛААА

-з,- ,

0 10 20 30 40 30 Б0

4(4

Рис. 1. Эффективная потенциальная энергия движущегося атома при различных расстройках атомно-полевого резонанса. Везде N = 10, а = 0,001.

(а) 5 = 0.002

(ь)

8 = 0.4

(в)

5 = 2

функций Якоби. В зависимости от начального импульса, атом либо колеблется в потенциальной яме, либо летит сквозь резонатор с периодически осциллирующей скоростью Осцилляции его внутренней энергии z при этом имеют форму частотно-модулированного сигнала с постоянной амплитудой.

В третьем параграфе исследуются корреляции осцилляции внутренних степеней свободы атома (осцилляции Раби) с его механическим движением. В предельных случаях больших расстроек |5|» |ар| и быстрых атомов |5|«|а/?| получены приближённые аналитические решения

описывающие осцилляции Раби как сигналы с амплитудной модуляцией (см., напр , рис. 2а). Показано, что, как и при резонансе, вдали от резонанса в

2 3 4 5 6 X

Рис 2 Нерезонансные осцилляции Раби и резонанс Доплера-Раби для различных значений начального импульса и внутренней энергии г — 0 (сплошные линии, осцилляции большой амплитуды) и г = — 1 (штриховая линия на фрагменте (в) и осцилляции малой амплитуды влизи минимума на остальных фрагментах) Везде 5 = 32, N = 10, а = 0,001

стоячей волне формируется пространственно периодический потенциал

У (О

2 Ыг

-сое 3

3 (6)

однако его период в два раза меньше (рис. 1в), и форма является гармонической лишь в пределе |5|» |а/?| - эффект, известный из работ А. П. Казанцева [1].

При увеличении расстройки амплитуда осцилляций падает, однако при равенстве модулей расстройки и безразмерной скорости атома наблюдается резонанс Доплера-Раби. Если рассматривать стоячую волну как сумму двух встречных бегущих волн, то в системе отсчёта, связанной с движущимся атомом, их частоты, ео1,а>г, из-за эффекта Доплера будут различны. Расстройки резонанса между атомным переходом и бегущими волнами равны = (й>, - а>а )/П0 = 8 - ар0,8г = (а>2 - со, )/П0 = 8 + ар0. Условие |б| = |ар| приводит к резонансу атома с одной из бегущих волн. Численное исследование подтвердило, что при этом появляются гармонические осцилляции Раби большой амплитуды (рис. 2в).

В четвёртом параграфе исследуется хаос и фрактальные свойства в механическом движении атома. Вычисление максимального показателя Ляпунова показало, что при определённых параметрах и начальных условиях система (2) имеет неустойчивые решения. В определённом диапазоне значений начального импульса обнаружен эффект хаотического блуждания атома в поле стоячей волны, когда атом случайным образом то захватывается в потенциальных ямах, то выходит из них и летит сквозь резонатор (рис. За).

Рис. 3. (а) Хаотическая траектория атома с полётами Леви и (б) функция распределения Р по длинам полетов Ь в дважды логарифмическом масштабе для б = 0,01, N=10, а = 0,001

Исследование показало, что распределение по длинам полётов (рис. 3б) имеет степенной характер (наблюдаются так называемые полёты Леви). При численном моделировании были зарегистрированы полёты с максимальными длинами до нескольких миллиметров. Эффект хаотического блуждания

может интерпретироваться как последовательность случайных переходов атома между резонансным (рис. 1а) и нерезонансным (рис. 1в) потенциалами при умеренных расстройках атомно-полевого резонанса (рис. 1б).

Выявлен фрактальный характер хаотического блуждания. Для наблюдения атомных динамических фракталов предложен простой мысленный эксперимент, в котором измеряется время выхода Т атома из выделенной малой области поля. Вычисления показали, что зависимость Т от начальных условий и параметров системы является фрактальной с ярко выраженным самоподобием и бесконечно большим числом особых точек (рис. 4). Показано, что существует два физически различных механизма

Рис. 4. Фрактал в зависимость времени выхода атома из резонатора Г от его начального импульса р„ ДЛЯ 5 = 0,4, N = 10, а = 0,001 Фрагменты (б) и (в) демонстрируют последовательные увеличения участка функции фрагмента (а).

появления бесконечных времён выхода. Оба множества начальных импульсов, приводящих к бесконечным временам, представляют собой кантороподобные одномерные фракталы с одинаковой хаусдорфовой размерностью О, = 0,84, однако мощность их различна: одно из множеств счётно, другое несчётно.

В третьей главе «Диссипативная динамика атомно-полевой системы: уравнения движения и механические эффекты» модель обобщается на случай потерь энергии и внешней лазерной накачки, исследуются механические

эффекты, порождаемые диссипацией.

В первом параграфе выводятся диссипативные уравнения движения атомно-полевой системы. Для этого в гамильтониан (1) включается дополнительный член, отвечающий за внешнюю лазерную накачку полевой моды. Из нового гамильтониана выводится полуклассическая система из семи дифференциальных уравнений, описывающих самосогласованную динамику атомных и полевых переменных с учётом внешней накачки и феноменологически введённого спонтанного излучения атома и утечки фотонов из выделенной моды. Если накачка достаточно велика, поле в стоячей волне можно считать постоянным и система сводится к виду

де - коэффициент спонтанной атомной релаксации, п - число фотонов в стоячей волне. Диссипативная система (7) отличается от гамильтоновой (2) наличием релаксационных членов и новым параметром п вместо N. Кроме того, переменные и и V теперь описывают только дипольный момент атома, так как поле считается постоянным. Интенсивное постоянное поле стоячей волны может быть создано двумя встречными лазерными пучками в свободном пространстве.

Во втором параграфе рассматривается движение атома под действием диссипативной механической силы, которую иногда называют силой трения. Сила трения определяется как временная производная модуля среднего импульса, взятая с обратным знаком. Усреднение производится за время движения между двумя соседними узлами стоячей волны. Вычисления показали, что при прочих равных условиях сила трения нелинейно зависит от мгновенного импульса атома и может быть как положительной, так и отрицательной. В хорошем соответствии с известными результатами [1] нами обнаружены эффекты ускорения и замедления атомов, а также эффект группирования по скоростям.

В третьем параграфе рассматривается влияние ляпуновской неустойчивости на механическое движение атома. Показано, что при определённых условиях возникает эффект хаотического блуждания атома, аналогичный гамильтоновому случаю. Диссипативное хаотическое блуждание также порождает фракталы в зависимости времени выхода Т из заданной области поля от параметров системы, однако конкретный вид фракталов существенно отличается от гамильтонового случая. В четвёртой главе «Диссипативная динамика атомно-полевой системы: синхронизация, аттракторы, бифуркации» исследуется явление синхронизации внутренних и внешних степеней свободы атома в диссипативной динамике.

В первом параграфе обсуждаются физические механизмы, приводящие

в диссипативной системе к установлению одинаковой частоты осцилляций для всех переменных системы. В режиме насыщения динамика системы становится строго периодической, что проявляется в фазовом пространстве в виде предельного цикла, который при изменении параметров может испытывать дискретные изменения периода (рис. 5а, 5б).

Рис. 5. Аттракторы при 5 = 24, ут = 0,3, а = 0,01: (а) предельные циклы периода 1 (штриховая линия: л=3000, сплошная линия: /1=10000), (б) предельный цикл периода 3 (л=14846), (в) хаотический странный аттрактор (л = 24000).

Во втором параграфе приводится аналитическое подтверждение синхронизации и приближённые решения для квазигармонического предельного цикла периода 1. В частности, в случае баллистического движения с установившейся средней скоростью р1 координату атома можно аппроксимировать линейной функцией и решения имеют вид

Решения (8) справедливы только для относительно малого числа фотонов,

п«6'-стр' /4. Численные эксперименты для п = 100, 5 = 32, показали хорошее соответствие с аналитическими предсказаниями

В третьем параграфе исследуется структура бассейнов притяжения аттракторов. Показано, что при фиксированных параметрах различные начальные условия могут приводить к различным предельным циклам В частности, для бассейнов притяжения циклов периодов 1 и 3 обнаружено явление риддлинга. Построение карты периодов синхронизации в зависимости от начальных условий (рис. 6) показало, что существуют

Рис 6 Карта периодов синхронизации Цветом показаны начальные условия, приводящие к предельным циклам — периода 1, Ц — периода 2, ц - периода 3 Фрагмент (б) исслюстрирует десятикратное увеличение участка фрагмента (а) Везде разбиение

200 х 200 точек, 5 = 24, п = 17500, у. = 0,3, а = 0,01

области начальных условий, где точки, принадлежащие бассейнам притяжения разных циклов, случайным образом перемешаны Увеличение таких областей (рис. 6б) не позволило обнаружить каких-либо регулярных структур. В строгом смысле, риддлинг бассейнов притяжения означает, что в сколь угодно малой окрестности точек бассейна притяжения одного аттрактора существуют точки бассейна притяжения другого аттрактора Это явление, известное в литературе для странных и хаотических аттракторов, для регулярных предельных циклов обнаружено, насколько нам известно, впервые.

В четвертом параграфе исследуются бифуркации аттракторов при изменении параметров системы. Построение бифуркационной диаграммы (рис. 7а) показало, что существует несколько каскадов бифуркаций на пути к странному хаотическому аттрактору (рис. 5в) Увеличение одного из таких

70

Ро

Ре

каскадов (рис. 7б) позволило обнаружить бифуркации по крайней мере трёх различных типов, в том числе бифуркации, связанные с появлением и уничтожением циклов нечётных периодов. Вообще при численном анализе обнаружены циклы периодов от 1 до 12. При сильных полях в системе появляются странные хаотические аттракторы. Аттрактор, изображённый на рис. 5в имеет фрактальную размерность 0Р * 2,7.

Рис. 7. Бифуркационная диаграмма для различных диапазонов числа фотонов п. Ьи -раздвоение предельных циклов периодов 1 и 3; 3, 5, 7 — циклы периодов 3, 5, 7; 6 — бифуркация удвоения периода при переходе 3 -» б. 5 = 24, у. - 0,3, а = 0,01.

В пятом параграфе обсуждается возможность экспериментального наблюдения синхронизации по спектрам атомной флуоресценции. Показано, что выражение для дипольного момента в лабораторной системе координат имеет вид

Используя приближённые решения (8) для цикла периода 1 в баллистическом движении, легко получить, что атомный дипольный момент осциллирует с частотами - квазистационарная скорость атома в режиме

насыщения, _/ = 0, 1, 2, ... . Дипольные моменты баллистических атомов с предельными циклами периодов имеют частотные компоненты

В общем случае дипольные моменты атомов осциллируют с частотами есть частота трансляционных

колебаний атома в размерных единицах. Спектры излучения для хаотических атомов будут сплошными. Эти заключения хорошо согласуются с результатами численного моделирования. Результаты вычисления фурье-спектров дипольного момента в различных режимах приведены рис. 8.

Рис. 8. Спектры флуоресценции атомов, захваченных в потенциальных ямах и осциллирующих при 5 и 24, = 0,3, а = 0,01 в режиме: (а) предельного цикла периода 1, л ш 10000, (б) предельного цикла периода 3, л = 14846, (в) хаотического странного аттрактора, л = 24000.

В Заключении диссертации подведены итоги исследования, перечислены полученные результаты и выводы, а также приведён перечень грантов, которыми поддержана работа.

Основные результаты и выводы, полученные в дисс ертации.

• Выявлено, что в гамильтоновой и диссипативной динамике атомно-полевой системы при определённых условиях возникает динамический хаос. Обнаружен новый эффект хаотического блуждания атома в стоячей волне. Исследованы статистические свойства хаотического блуждания, обнаружены полёты Леви.

Впервые обнаружены атомные динамические фракталы в зависимости времени выхода атома из заданной области поля от параметров системы и начальных условий.

• Выявлен характер корреляций осцилляции Раби с движением атома. Вдали от атомно-полевого резонанса для быстрых атомов в гамильтоновой системе обнаружен резонанс Доплера-Раби.

• В диссипативной динамике системы обнаружена синхронизация осцилляции внутренних и внешних степеней свободы атома, проявляющаяся в фазовом пространстве системы в виде предельных циклов различных периодов со сложной структурой бассейнов притяжения, включая явление риддлинга.

• Показано, что при изменении параметров системы для предельных циклов существуют нетривиальные многокаскадные бифуркационные сценарии, включающие появление циклов нечётных периодов и переход к странному хаотическому аттрактору, порождаемому механическим движением.

Цитируемая литература.

1. Казанцев А. П., Сурдутович Г. И., Яковлев В. П. Механическое действие света на атомы. - М.: Наука, 1991.

2. Миногин В. Г., Летохов В. С. Давление лазерного излучения на атомы. -М. Наука, 1986.

3. Коэн-Тануджи К.Н., Филипс У.Д., Чу С. Нобелевские лекции по физике 1997 // УФН. 1999. Т. 169, №3. С. 271-321.

4. Hood С. J., Lynn Т. W., Doherty А. С, Parkins A. S., Kimble H. J. // Science. 2000. Vol. 287. P. 1447-1453.

5. Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. - М.: Наука, Физматгиз, 1999.

6. Белобров П. И., Заславский Г. М., Тартаковский Г. X. // ЖЭТФ. 1976. Т. 71, №5(11). С. 1799-1812.

7. Prants S. V., Kon'kov L. E. // Phys. Lett. A. 1997. Vol. 225. P. 33-38. Prants S. V., Kon'kov L. E., Kirilyuk I. L. // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60. P. 335-346.

Prants S. V. // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61. P. 1386-1389.

8. Пранц С. В., Коньков Л. Е. // ЖЭТФ. 1999. Т. 115. С. 740-753. loussoupov V. L, Kon'kov L. E., Prants S. V. // Physica D. 2001. Vol. 155. P. 311-322.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

1. Sirotkin (Argonov) V. Yu., Prants S. V. Dynamics of Interaction Between Internal and External Degrees of Freedom of an Atom in the Resonance Standing-Wave Light Field //Journal of Russian Laser Research. 2000. Vol. 21. P. 585-602.

2. Prants S. V. Sirotkin (Argonov) V. Yu. Effects of Rabi Oscillations on the Atomic Motion in a Standing-Wave Cavity // Physical Review A. 2001. Vol. 64, №3. Art. 033412.

3. Sirotkin (Argonov) V. Yu., Prants S. V. Random Walking of a Two-Level Atom in a Standing-Wave Field // Proc. SPIE. Vol. 4750, ed. by Bagayev S. N. et al. Washington, 2002. P. 97-103.

4. Sirotkin (Argonov) V. Yu., Prants S. V. Semiclassical Nonlinear Dynamics of the Strongly-Coupled Atom-Field System with Atomic Center-of-Mass

Motion // Frontiers of Nonlinear Physics, ed. by Litvak A G. Nizhny Novgorod: Inst. of Applied Phys., 2002. P. 602-607.

5. Аргонов В. Ю. Нелинейная динамика движения холодного атома в пространственно периодическом поле стоячей световой волны // Океанологические Исследования. Сб. трудов ТОЙ ДВО РАН, отв. ред. Кулинич Р. Г. Владивосток: Дальнаука, 2003. - С. 133-139.

6. Prants S. V., Argonov V. Yu. Atomic Fractals in Cavity QED [Электронный ресурс] / E-print archive. 2002. Physics/0206005. -http://xxx.lanl.gov/abs/physics/0206005.

7. Аргонов В. Ю. Пранц С. В. Фракталы и хаотическое рассеяние атомов в поле стационарной стоячей световой волны // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2003. Т. 123, № 5. С. 946961.

8. Аргонов В. Ю. Пранц С. В. Нелинейная динамика атома в резонаторе: Фракталы, полёты Леви, странные аттракторы // Нелинейные динамические процессы: к 80-летию со дня рождения Уно Копвиллема, отв. ред. Пранц С. В. Владивосток: Дальнаука, 2004. С. 101-122.

9. Аргонов В. Ю. Пранц С. В. Синхронизация и бифуркации внутренних и внешних степеней свободы атома в стоячей световой волне // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2004. Т. 80, № 4. С. 260-264.

10.Argonov V. Yu., Prants S. V. Synchronization, riddling, bifurcations, strange attractors, and fractals in nonlinear dynamics of an atom in a standing light wave // Frontiers in Nonlinear Physics, ed. by Litvak A. G. and Zakharov V. E. Nizhny Novgorod: Inst. of Applied Phys., 2005, 6p.

11.Argonov V. Yu., Prants S. V. Synchronization of internal and external degrees of freedom of atoms in a standing laser // Physical Review A. 2005. Vol. 71, №5.

Личный вклад автора. Диссертант выполнил научное исследование в соответствии с задачами, поставленными научным руководителем доктором физико-математических наук Пранцем СВ. и под его непосредственным руководством. Основные результаты диссертации опубликованы в соавторстве с научным руководителем доктором физико-математических наук Пранцем СВ.

Аргонов Виктор Юрьевич

ХАОТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ АТОМОВ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 15.03.2005. Формат 60x84/16. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ ^Ц-

Отпечатано в ТОЙ ДВО РАН 690041, Владивосток, ул. Балтийская, 43

01.04

} ш

Введение

Глава I Управление движением атомов с помощью электромагнитного поля: обзор литературы

Глава II Гамильтонова динамика атомно-полевой системы

§ 1 Уравнения движения.

§ 2 Динамика системы при точном атомно-полевом резонансе.

§ 3 Осцилляции Раби вне резонанса и резонанс Доплера-Раби.

§ 4 Хаос и фрактальные свойства механического движения атома.

§ 4.1 Хаотическое блуждание атома и полёты Леви.

§ 4.2 Исследование хаотического движения методом отображения Пуанкаре

§ 4.3 Фрактальные свойства движения атома.

Глава III Диссипативная динамика атомно-полевой системы: уравнения движения и механические эффекты

§ 1 Уравнения движения.

§ 2 Движение атома под действием силы трения

§ 3 Хаос и фрактальные свойства в механическом движении атома.

§ 3.1 Диссипативное хаотическое блуждание атома.

§ 3.2 Диссипативные фракталы

Глава IV Диссипативная динамика атомно-полевой системы: синхронизация, аттракторы, бифуркации

§ 1 Синхронизация.

§ 2 Приближённые аналитические решения

§ 3 Структура бассейнов притяжения аттракторов.

§ 4 Бифуркации при изменении параметров.

§ 5 Спектры флуоресценции.

Данная работа находится на стыке двух быстро развивающихся научных дисциплин: физики взаимодействия атомов с когерентным электромагнитным излучением и теории нелинейных колебаний.

Теоретическое и экспериментальное исследование взаимодействия атомов с лазерным полем, помимо чисто академического интереса, имеет сегодня большое практическое значение. Если первоначально основным приложением было создание сверхнизких температур атомного движения, то сейчас большой интерес представляет непосредственное управление движением атомов, атомный лазер, излучающий когерентные пучки атомов, квантовый компьютер на плененных атомах и ионах. Особую важность приобрела проблема одновременного управления как внешними (механическими), так и внутренними степенями свободы атомов, когда требуется учёт эффектов, связанных как с механическим движением, так и с динамикой внутренней энергии и дипольного момента атома.

Взаимодействие атомов с полем излучения и лазерная оптика представляют интересное поле исследования для нелинейной динамики. Помимо успехов в лазерной технике и в экспериментах с холодными атомами, последние деся-тиления были ознаменованы быстрым развитием вычислительной техники. Стало возможным широкое применение численных методов анализа нелинейных уравнений, позволяющих выявлять закономерности, не допускающие точного аналитического описания.

Существование неинтегрируемых систем дифференциальных уравнений было открыто в конце 19 века. Принципиальное значение для этого имели работы А. Ляпунова и А. Пуанкаре. Исследование проблем устойчивости, изначально рассматривавшееся математиками как чисто техническая задача, привело в 1892 году к фундаментальному открытию. В работе [1] Пуанкаре доказал, что в задаче трех тел могут возникать неустойчивые орбиты с чрезвычайно сложным поведением. Новое явление, вноследствие названное динамическим или детерминированным хаосом, заключалось в том, что совершенно детерминированная система из малого числа уравнений может в отсутствие какого-либо случайного возмущения иметь решения со стохастическими свойствами (см., напр., [2, 3, 4, 5]). Такие решения не являются ни периодическими, ни квазииериодическими, и, как правило, не могут быть описаны аналитическим выражением. На больших временных масштабах детерминированное хаотическое движение практически не отличается от случайного, так как из-за неустойчивости ошибка предсказания экспоненциально растёт.

Развитие теории нелинейных колебаний в 20 веке (в значительной степени связанное с именами отечественных учёных Мандельштама, Андронова, Витта, Боголюбова, Колмогорова, Понгрягина, Чирикова, Арнольда и др.) позволило, помимо явления динамического хаоса, выявить "обратную сторону" нелинейного мира — возможность самоорганизации. Первым, наиболее простым и фундаментальным её проявлением стали автоколебагшя [6] устойчивые периодические процессы, самостоятельно возвращающиеся к своему выделенному ритму после воздействия внешнего возмущения. В работах отечественных и зарубежных учёных конца 20-х - начала 30-х гг., фактически, был заложен фундамент таких междисциплинарных направлений, как теория катастроф, синергетика, теория диссинативных систем. В 30-х гг. советскими учёными был проведён ряд оригинальных радиотехнических экспериментов, призванных на практике проиллюстрировать новые теоретические достижения (см. напр. [7, 8]). Начиная с этого времени, теория нелинейных колебаний перестаёт быть исключительно разделом математики. Помимо механических явлений, она находит приложения в электронике, химии, биологии, экологии и даже в гуманитарных науках.

Основные результаты, полученные в этой главе, опубликованы в работах (95, 96].

Заключение

В рамках полуклассического подхода теоретически и численно исследована гамильтонова и диссипативная динамика взаимодействия внутренних и внешних степеней свободы двухуровневого атома с полем стоячей световой волны. Обнаружен и описан ряд новых динамических эффектов.

Отметим обнаружение и изучение в гамильтоновой и диссипативной системах детерминированного хаоса. Был обнаружен новый эффект хаотического блуждания атома в поле периодической стоячей волны с аномальными статистическими свойствами (а именно, полётами Леви и алгебраическими "хвостами" функций распределения) и фрактальными свойствами. Обнаружение динамических атомных фракталов, позволившее выявить скрытый порядок в хаотической динамике атомно-полевой системы, стало, насколько нам известно, новым результатом в теории взаимодействия атомов с лазерным излучением.

В гамильтоновом случае обнаружен и описан эффект усиления осцилляций Раби при совпадении расстройки резонанса с доплеровским сдвигом, названный резонансом Донлера-Раби.

В диссипативном случае обнаружен и описан эффект синхронизации внутренних и внешних степеней свободы атома. В фазовом пространстве системы для различных значений параметров и начальных условий обнаружена большая серия притягивающих множеств, включающая как устойчивые предельные циклы различного периода, так и хаотические странные аттракторы. Выявлены различные типы бифуркаций предельных циклов при изменении параметров системы. Следует отметить нетривиальную структуру бассейнов притяжения как хаотических, так и регулярных притягивающих множеств. В частности, для циклов периодов 1 и 3 было обнаружено явление ри/уушн-га, или изрешечивания, бассейнов притяжения, состоящее в том, что в сколь угодно малой окрестности точки одного бассейна (конкретно, цикла периода 3) есть точка, принадлежащая другому бассейну притяжения (цикла периода 1). Этот эффект, известный в литературе для хаотических и странных аттракторов, для устойчивых предельных циклов, насколько нам известно, обнаружен впервые.

Помимо этого, мы обнаружили ряд уже известных регулярных динамических эффектов, что позволило сопоставить наши результаты с результатами других авторов, полученными различными методами, и удостовериться в их правильности. В частности, наше описание таких механических эффектов, как ускорение и замедление атомов с иомощыо ноля, группирование атомов по скоростям и зависимость силы трения от скорости хорошо согласуется качественно и количественно с теоретическими работами А. П. Казанцева и ДР

Помимо уже упомянутых наших основных работ [91, 92, 94, 95, 96], результаты исследования опубликованы в статьях [101, 102, 103, 104, 105].

Работа выполнена при поддержке:

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 01-0206020, № 99-02-17269, № 03-02-06895, № 02-02-17796)

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математические методы в нелинейной динамике" (проект № 4.17 "Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах")

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты №

03-Ш-Г-02-008 "Диссииатиная динамика холодного атома в поле стоячей световой волны", № 03-III-A-02-124 "Квантовые фракталы", № 04-Ш-Г-02-46 "Хаос, фракталы и странные аттракторы во взаимодействии движущегося атома с классическим полем излучения в резонаторе", №

04-III-A-02-45 "Квантовый хаос во взаимодействии атомов с фотонами", № 05-Ш-Г-02-005 "Синхронизация и бифуркации внутренних и внешних степеней свободы атомов в лазерном поле", № 05-III-A-02-100 "Декоге-рентность атомов в собственном поле излучения").

1. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.

2. Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. М. -Л.: Изд-во АН СССР, 1950.

3. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярное и стохастическое движение. М.: Мир, 1984. 528 с.

4. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988. - 368 с.

5. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. - 432 с.

6. Андронов А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука. 1981. 568 с.

7. Мандельштам Л. И., Папалекси Н. Д., Андропов А. А., Витт А. А., Горелик Г. С., Хайкин С. Э. Новые исследования нелинейных колебаний.

8. М.: Гос. изд-во по вопросам радио, 1936.

9. Бендриков Г. А., Горелик Г. С. Применение Брауновской трубки к исследованию движения изображающей точки на плоскости переменных Ван-дер-Поля // ЖТФ. 1935, Т. 5, № 4, С. 620-626.

10. Аскарьян Г. А. Воздействие градиента поля интенсивного электромагнитного луча на электроны и атомы // ЖЭТФ. 1962. Т. 42, № 6. С. 1567-1570.

11. Летохов В. С. Сужение донлеровской линии в стоячей световой волне // Письма в ЖЭТФ. 1968. Т. 7, № 9. С. 348-351.

12. Letokhov V. S., Pavlik В. D. Spectral line narrowing in a gas by atoms trapped in standing light wave // Appl. Phys. 1976. Vol. 9, № 2. P. 229237.

13. Казанцев А. П., Сурдутович Г. П., Яковлев В. П. Механическое действие света на атомы. М.: Наука, 1991. - 190 с.

14. Казанцев А. П. Ускорение атомов резонансным полем //' ЖЭТФ. 1972. Т. 63, № И. С. 1628-1634.

15. Казанцев А. П. Ускорение атомов светом // ЖЭТФ. 1974. Т. 66, № 5. С. 1599 1612.

16. Frish О. R. Experimenteller Nachweis des Einsteinschen Strahlungsriickstasses // Ztschr. Pliys. 1933. Bd. 86. S. 42-48.

17. Ashkin A. Atomic beam deflection by resonance-radiation pressure /7 Phys. Rev. Lett. 1970. Vol. 25, № 19. P. 1081 1088.

18. Schieder R., Walt her H., Woste L. Atomic beam deflection by the light of a tunable dye laser // Opt. Comm. 1972. Vol. 5, № 5. P. 337 -340.

19. Jacquinot. P., Liberman S., Picque J. L., Pinard Л. High resolution spectroscopic application of atomic beam deflection by resonant light // Opt. Comm. 1973. Vol. 8, № 2. P. 163-165.

20. Hansch T. W., Schawlow A. L. Cooling of gases by laser radiation /,/ Opt. Comm. 1975. Vol. 13, № 1. P. 68-71.

21. Letokhov V. S., Minogin V. G., Pavlik B. D. Cooling and trapping of atoms and molecules by a resonant laser field // Opt. Comm. 1976. Vol. 19. № 1. P. 72-75.

22. Летохов В. С., Миногин В. Г., Павлик Б. Д. Охлаждение и пленение атомов и молекул резонансным световым полем // ЖЭТФ. 1977. Т. 72, № 4. С. 1328-1341.

23. Андреев С. В., Балыкин В. И., Летохов В. С. Миногин В. Г. Радиационное замедление и монохроматизация пучка атомов натрия до 1,5 К во встречном лазерном луче // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 34, № 8. С. 463-467.

24. Phillips W., Metcalf Н. Laser deceleration of an atomic beam /7 Phys. Rev. Lett, 1982. Vol. 48, № 9. P. 596-599.

25. Raab E. L., Prentiss A., Cable A. et al. Trapping of neutral sodium atoms with radiation pressure // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 59, № 23. P. 2631 2634.

26. Шварцшильд Б. Сфокусированный лазерный луч создаёт оптическую ловушку для нейтральных атомов // Физика за рубежом. Сер. А (исследования). М.: Мир, 1988. С. 127-135.

27. Balykin V. I., Letokhov V. S., Minogin V. G„ Zueva Т. V. Collimation of atomic beams by resonant laser radiation pressure // Appl. Phys. 1984. Vol. 35, № 3. P. 149-153.

28. Павлик Б. Д. Холодные и ультрахолодные атомы. Киев: Наукова думка, 1993.

29. Bezverbny A. V. Influence of the Spatial Rotation of a Polarization Plane on the Radiative Friction Force in Light Fields with Polarization Gradients // JETP Letters. 2001. Vol. 74, № 3. P. 144-148.

30. Безвербный А. В., Шаповалов А. В. Стохастическая динамика атомов в резонансном световом иоле в квазиклассическом приближении //Оптика и спектроскопия. 2004. Т. 97, № 1. С. 88-95.

31. Chu S., Cohen-Tannoudji С., Phillips W. D. Nobel lectures. // Rev. Mod. Phys. 1998. Vol. 70, P. 685.

32. Rarity J., Weisbuch C. (eds.) Microcavities and Photonic Bandgaps: Physics and Applications. Dordrecht: Kluwer, 1996.

33. Raimond J. M., Brune M., Haroche S. Colloquium: Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity. Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 565-582.

34. Hood C. J., Lynn T. W., Doherty A. C., Parkins A. S., Kimble H. Л. The atom-cavity microscope: single atoms bound in orbit by singlephotons // Science. 2000. Vol. 287. P. 1447-1453.

35. Miinstermann P., Fischer Т., Maunz P., Pinkse P. W. H., Rempe G. Dynamics of single-atom motion observed in a high-finesse cavity /7 Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 3791-3794.

36. Wineland D. J, Monroe C., Itano W. M., Leibfried D., King В. E., Meekhof D. M. Experimental issues in coherent quantum-state manipulation of trapped atomic ions //J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol. 1998. Vol. 103. P. 259-328.

37. Monroe С., Meekfov D. M., King В. E., Itano W. M. and Wineland D. J. Demonstration of a fundamental quantum logic gate // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, P. 4714-4717.

38. Cirac J. I., Zoller P. Quantum Computations with Cold trapped Ions // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74. P. 4091-4094.

39. Cirac J. I., Parkins A. S., Blatt R., Zoller P. Quantum motion of trapped ions // Adv. At. Mol. Phys. 1996. Vol. 37. P. 237.

40. Ye J., Vernooy D. W., Kimble H. J. Trapping of single atoms in cavity QED // Phys. Rev. Lett, 1999. Vol. 83. P. 4987-4990.

41. Гуртовник A. C. // Изв. вузов: Радиофиз. 1958. Т. 1, № 5- 6. С. 83.

42. Kikuchi С., Lambe J., Makhov G., Terhune R. W. Ruby as a Maser Material // Л. Appl. Phys. 1959. Vol. 30, № 7. P. 1061 1067.

43. Makhov G., Gross L. G., Terhune R. W., Lambe Л. Effect of Nuclear Polarization on the Behavior of Solid State Masers / J. Appl. Phys. 1960. V. 31, № 5. P. 936-938.

44. Grasiuk A. Z., Oraevsky A. N. Transient processes in a beam maser // in Proc. of the 4th Int. Congress on Microwave Tubes. Holland, Sheveningen, 1962. P. 446.

45. Грасюк A. 3., Ораевский A. H. // Радиотехн. и электрон. 1964. Т. 9, № 3. С. 524.

46. Haken Н. Analogy between higher instabilities in fluids and laser // Phys. Lett. 1975. Vol. A53. P. 77-78.

47. Lorenz E. N. Deterministic non-periodic flow j j J. Atm. Sci. 1963. Vol. 20, № 20. P. 130-148.

48. Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. М.: Наука, Физматгиз, 1999. 368 с.

49. Хандохин П. А., Ханин Я. И. Автостохастический режим генерации твердотельного кольцевого лазера с низкочастотной периодической модуляцией потерь // Квант, электрон. 1984. Т. 11. № 7. С. 1483 1487.

50. Dangoisse D., Glorieux P., Hennequin D. Chaos in a CO2 laser with modulated parameters: Experiments and numerical simulations // Phys. Rev. 1987. Vol. A36. P. 4775.

51. Белобров П. И., Заславский Г. М., Тартаковский Г. X., Стохастическое разрушение связанных состояний в системе атомов, взаимодействующих с полем излучения // ЖЭТФ. 1976. Т. 71. JV-° 5(11). С. 1799 1812.

52. Jaynes Е. Т., Cummings F. W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser. // Proc. IEEE. 1963. Vol. 51. P. 89-109.

53. Kon'kov L. E., Prants S. V. Quantum chaos in the group-theoretical picture // Journal of Mathematical Physics. 1996. Vol. 37. P. 1204-1217.

54. Кирилюк И. Jl., Пранц С. В. Механизм возникновения гамильтонова хаоса в базовой модели оптики // Оптика и спектроскопия. 2000. Т. 89. № 6. Р. 978-983.

55. Schlicher P.R. Jaynes-Cummings model with atomic motion. // Opt. Comm. 1989. Vol. 70, № 2. P. 97-102.

56. Prants S. V., Yacoupova L. S. The Jaynes-Cummings model with modulated field-atom coupling in resonator quantum electrodynamics // Journal of Modern Optics. 1992. Vol. 39. P. 961-971.

57. Prants S. V., Kon'kov L .E. Dynamical chaos in the interaction of movingatoms with a cavity field // Phys. Lett. A. 1997. Vol. 225, N. 1. P. 33 38.

58. Prants S. V. Control of quantum states in nonstationary cavity QED systems. // Quantum Communication, Computing and Measurement ed. by Hirota O., Holevo A. S., Caves С. M. N. Y.: Plenum Press, 1997. P. 513 520.

59. Prants S. V., Kon'kov L. E., Kirilyuk I. L. Semiclassical interaction of two-level moving atoms with a cavity field: from integrability to Hamiltonian chaos // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60. P. 335 346.r

60. Пранц С. В., Юсупов В. И. Структурный хаос в обратимом спонтанном излучении // Квантовая электроника. 2000. Т. 30. № 7. С. 647 652.

61. Пранц С. В. Структуры и хаос в параметрических осцилляциях Раби и Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 90, № 5. С. 794 799.

62. Ioussoupov V. I., Kon'kov L. Е., Prants S. V. Structural Hamiltonian chaos in the coherent parametric atom-field interaction // Physiea D. 2001. Vol. 155, № 3/4. P. 311-322.

63. Prants S. V. Intermittency and dynamical chaos // Phys. Rev. E. 2000. Vol.61, № 2. P. 1386-1389.

64. Graham R., Schlautmann M., Zoller P. Dynamical localization of atomic-beam deflection by a modulated standing light wave // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45. P. 19-22.

65. Moore F. L., Robinson J. C., Bharucha C., Williams P. E., Raizen M. G. Observation of dynamical localization in atomic momentum transfer: a new testing ground for quantum chaos // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 2974 2977.

66. Bardroff P. J., Bialynicki-Birula I., Krahmer D. S., Kurizki G., Mayr E., Stifter P., Schleich W. P. Dynamical Localization: Classical versus Quantum Oscillations in Momentum Spread of Cold Atoms // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 20. P. 3959 3962.

67. Robinson J. C., Bharucha C., Moore F. L., Jahnke R., Georgakis G. A., Niu Q., Raizen M. G., Bala Sundaram. Study of Quantum Dynamics in the Transition from Classical Stability to Chaos //' Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 20. P. 3963-3966.

68. Latka M., West B. W. Nature of Quantum Localization in Atomic and Momentum Transfer Experiments // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 23. P. 4202-4205.

69. Graham R., Miyazaki S. Dynamical localization of atomic de Broglie waves: The influence of spontaneous emission // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 53, № 4. P. 2683-2693.

70. Goetsch P., Graham R. Decoherence by spontaneous emission in atomic-momentum transfer experiments // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54, № 6. P. 5345-5348.

71. Hensinger W. K., Truscott A. G., Upcroft В., Heckenberg N. R., Rubinsztein-Dunlop H. Atoms in an amplitude-modulated standing wave dynamics and pathways to quantum chaos //J. Opt. B: Quantum Semi-class. 2000. Opt. 2. P. 659-667.

72. Hensinger W. K., Haffner H., Browaeys A., Heckenberg N. R., Helmerson K., McKenzie C., Milburn G. J., Phillips W. D., Rolston S. L., Rubinsztein-Dunlop H., Upcroft B. Dynamical tunnelling of ultracold atoms // Nature. 2001. Vol. 412. P. 52- 55.

73. Hensinger W. K., Heckenberg N. R., Milburn G. J., Rubinsztein-Dunlop H. Experimental tests of quantum nonlinear dynamics in atom optics Л. Opt, B: Quantum Semiclass. 2003. Opt. 5. P. R83 R120.

74. Artuso R., Rebuzzini L. Effects of a nonlinear perturbation on dynamical tunneling in cold atoms // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. Art, 036221.

75. Reichl L. E. The transition to chaos in conservative classical systems: quantum manifestations. Berlin: Springer-Verlag, 1991.

76. Moore F. L., Robinson J. C., Bharucha C. F., Sundaram В., Raizen M. G. Atom optics realization of the quantum J-kicked rotor // Phys. Rev. Lett, 1995. Vol. 75, № 25. P. 4598-4601.

77. Frey M. Т., Dunning F. B. Realization of the kicked atom // Phys. Rev. A. 1999. Vol. 59, № 2. P. 1434-1443.

78. Williams M. E. К., Sadgrove M. P, Daley A. J., Gray R. N. C., Tan S. M., Parkins A. S., Leonhardt R., Christensen N. Measurements of diffusion resonances for the atom optics quantum kicked rotor //J. Opt. B: Quantum Semiclass. 2004. Opt. 6. P. 28-33.

79. Bienert M., Haug F., Schleich W. P., Raizen M. G. KickedRotor in Wigner Phase Space // Fortschritte der Physik. 2003. Vol. 51, № 4-5. P. 474 -486.

80. Миногин В. Г., Летохов В. С. Давление лазерного излучения на атомы. М.: Наука, 1986.

81. Ott Е. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

82. Будянский M. В., Улейский M. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // Докл. РАН, 2002. Т. 386, № 5. С. 686-689.

83. Bliimel R., Reinhardt W. P. Chaos in Atomic Physics. Cambridge: Cain-bridge University Press, 1997.

84. Shore B. W., Meystre P., Stenholm S. Is a quantum standing wave composed of two traveling waves? // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. Vol. 8. P. 903 910.

85. Пранц С. В. Взаимодействие нелинейных резонансов в квантовой ре-зонаторной электродинамике // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 75, № 2. С. 63-65.

86. Пранц С. В., Коньков JT. Е. Хаотическое блуждание атома в когерентном иоле стоячей световой волны // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73, № 4. С. 200-204.

87. Zaslavsky G. М. Physics of Chaos in Hamiltonian Systems. London: Imperial Colledge Press, 1998.

88. Prants S. V., Sirotkin V. Yu. Effects of Rabi oscillations on the atomic motion in a standing-wavy cavity // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 64, № 3. Art. 033412.

89. Аргонов В. Ю., Пранц С. В. Фракталы и хаотическое рассеяние атомов в ноле стационарной стоячей световой волны ЖЭТФ. 2003. Т. 123, № 5. С. 946-961.

90. Schroeder М. Fractals, Chaos, Power Laws. N. Y.: W. H. Freeman and Company, 1990.

91. Аргонов В. К)., Пранц С. В. Нелинейная динамика атома в резонаторе;: Хаос, фракталы, полёты Леви, странные аттракторы // в сб. трудов ДВО РАН "Нелинейные динамические процессы". Владивосток: Дальнаука, 2004. С. 101-122.

92. Аргонов В. К)., Пранц С. В. Синхронизация и бифуркации внутренних и внешних степеней свободы атома в стоячей световой волне // Письма в ЖЭТФ. 2004. Т. 80, № 4. С. 260-264.

93. Argonov V. Yu. Prants S. V. Synchronization of internal and external degrees of freedom of atoms in a standing laser wave Электронный ресурс]

94. E-print archive. 2004. quant-ph/0409108 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0409108).

95. Huygens Ch. Horologium Oscillatorium. Parisiis: Apud F. Muguet., 1673. English translation: The Pendulum Clocks. Ames: Iowa State University Press, 1986)].

96. Андронов А. А., Витт А. А. К математической теории захватывания // Журн. прикл. физики, 1930, Т. 7, № 4, С. 3-20.

97. Sommerer J. С., Ott Е. A Physical System with Qualitatively Uncertain Dynamics // Nature. 1993. Vol. 365. P. 138 140.

98. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Саратовского Университета, 1999. 368 с.

99. Sirotkin V. Yu., Prants S. V. Dynamics of interaction Between Internal and External Degrees of Freedom of an Atom in the Resonance Standing-Wave Light Field // Journal of Russian Laser Research. 2000. Vol. 21. P. 585 602.

100. Sirotkin V. Yu., Prants S. V. Random Walking of a Two-Level Atom in a Standing-Wave Field // in Proc. SPIE, Vol. 4750. USA, Washingon, 2002.1. P. 97-103.

101. Аргонов В. Ю. Нелинейная динамика движения холодного атома в пространственно периодическом поле стоячей световой волны // в сб. трудов ТОЙ ДВО РАН "Океанологические Исследования". Владивосток: Дальнаука, 2003. С. 133-139.

102. Prants S. V., Argonov V. Yu. Atomic fractals in cavity QED Электронный ресурс] / E-print archive. 2002. Physics/0206005. -(http: //xxx. lanl .gov/abs/physics/0206005).