Квантовые проявления классического хаоса в ядерных системах

Чеканов, Николай Александрович

Квантовые проявления классического хаоса в ядерных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

Чеканов, Николай Александрович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Харьков МЕСТО ЗАЩИТЫ

1991 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.16 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Квантовые проявления классического хаоса в ядерных системах»

Автореферат диссертации на тему "Квантовые проявления классического хаоса в ядерных системах"

од

ьаЗ

Харьковский государственный университет

На правах рукописи

Чеканов Николай Александрович

КВАНТОВЫЕ ПРОЯВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОГО ХАОСА В ЯДЕРНЫХ СИСТЕМАХ

01.04.16 - физика ядра и элементарных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков - 1993

. Работа выполнена в Харьковском физико-техническом институте

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бережной Юрий Анатольевич < ХГУ, г.Харьков)

доктор физико-математических наук, профессор Коломиэц Владимир Михайлович ( ИЯИ АН Украины, г.Киев)

доктор физико-математических наук, профессор Шульга Николай Федорович ( ХФГИ , г.Харьков)

Ведущая организация: Институт теоретической физики ,г.Киев

Защита состоится ''1993 г. в/5^асов на заседании специализированного совета Д 053.06.01 Харьковского государственного университета (310108, Харьков-108, пр.Курчатова, 31, ауд. 301) С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке ХГУ

Автореферат разослан

1993 г.

Ученый секретарь совета -

доктор физико-математических наук /утШ/ Н.А.Азаренков

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность теш. В последнее время огромный интерес вызывают исследования нелинейных явлений в различных динамических системах. Причиной такого внимания является существование новых, так называемых хаотических (в отличие от регулярных) типов движения, приводящих к случайности и непредсказуемости будущего в строго детерминированных системах. Изучение хаотической динамики впервые открытой Пуанкаре в конце прошлого века возобновилось лишь в начале 60-х годов после появления работ Колмогорова, Арнольда, Мозера, Хенона и Хейлеса, Лоренца.

В последние десять лет исследования хаотических режимов движения интенсивно ведутся и расширяются в различных областях естественных наук. Существование детерминированной случайности п нелинейных динамических системах привело к постановке проблемы квантового хаоса, что, в частности, инициировало поиск квантовых проявлений классического хаоса.

Исторически сложилось так,' что результаты исследования ядер- ' них спектров в рамках статистической теории развитой в теже 60-е годы и основанной на предположении о случайности процессов в ядре исключительно из-за его сложности неожиданно предвосхитили последние результаты, полученные в теории нелинейных динамических систем. Как известно, в статистической теории ядерных спектров постулируется идентичность статистических свойств спектра атомных ядер и собственных значений случайной матрицы, которая представляет гамильтониан ядра. Одним из основных результатов этой теории является то, что функции распределения расстояний между соседними уровнями имеют вигнеровский вид, из которого следует эффект расталкивания ближайших энергетических уровней. Теоретические выводы неплохо подтвердились при соответствующей обработке экспериментальных данных по ядерным спектрам.

Поэтому полученные недавно аналогичные результаты в хаотических динамических системах с несколькими степенями свобода призывают, по крайней мере, попытаться искать причины успеха статистической теории атомных ядер в самом характере движения нуклонов ядра, обосновывая статистическую гипотезу не сложностью системы, а существованием принципиально новых типов нуклонного движения, определяемых свойствами ядерного взаимодействия.

■Изучение хаотической динамики нуклонов может пролить свет на проблему сосуществования двух противоположных классов ядерных моделей, один из которых представляет ядро как каплю жидкости, а второй рассматривает ядро как газ слабо взаимодействующих частиц. Тогда эффективность предсказания модели из того или иного класса в сильной степени будет определяться регулярным или хаотическим режимом нуклонного движения. Например, проявления оболочечной структуры в ядерных спектрах может быть связано не только с принципом Паули, а с регулярным характером ядерной динамики.

Наличие хаотических режимов в движении нуклонов должно существенно отразиться в процессах рассеяния на атомных ядрах, что, по-видимому, проявляется в сечениях в виде известных эриксоновс-ких флуктуаций.

Все это без сомнения представляет важный и интересный предмет исследования в ядерной физике для построения последовательной теории динамики атомных ядер . Кроме того, изучение нелинейных явлений в движении ядер затрагивает ряд общих вопросов, связанных с проблемой классического и квантового хаоса в произвольной динамической системе.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование в атомных ядрах квантовых проявлений классического хаоса в энергетических спектрах и волновых функциях на примере простых реалистических ядерных моделей.

В диссертации решаются следующие основные задачи:

1.Проведение аналитических и численных исследований возможности существования новых хаотических режимов движения в атомных ядрах.

2.Развитие метода нормальных форм Биркгофа-Густавссна для квантования классических двумерных гамильтонианов с целью изучения свойств энергетических спектров в квазиклассическом приближе-г

нии.

3.Исследование влияния классического хаоса на статистические свойства энергетических спектров и волновых функций для и

- инвариантных гамильтоновых систем.

4.Поиск других особенностей в свойствах энергетических спектров и волновых функций классически неинтегрируемнх квантовых систем, которые можно трактовать как квантовый хаос п атомны! ядрах.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы коллективные квадрупольные поверхностные колебания изотопов криптона

7Д-80

Кг с параметрами гамильтонианов, извлеченных из экспериментальных данных, и динамика ядра углерода в виде линейной системы из трех а -частиц с реалистическим потенциалом аа-взаимодействия. В этих ядерных гамильтоновых системах с двумя степенями свободы установлено существование хаотических режимов движения. Показано, что теоретические предсказания критической энергии перехода от регулярного даннения к хаотическому с помощью простого критерия отрицательной гауссовой кривизны поверхности потенциальной энергии хорошо согласуется с ее численными расчетами с помощью сечений Пуанкаре.

Обнаружено новое явление ( детально исследованное для квадру-

польных поверхностных колебаний изотопов Кг ), которое заключается в восстановлении регулярного характера дагсения при

высоких энергиях. Вероятно такой сложный переход регулярность-хаос-регулярность (Н-С-Н ) имеет место для динамических систем с локализованной областью неустойчивости.

Исследованы также' и установлены некоторые ноше свойства трехчастичной линейной цепочки с произвольным парным взаимодействием.

На основе выполненной модификации нормальной формы Биркгофа-Густавсона с использованием канонических преобразований с произ-■ вольной валентностью дан новый вариант квантования классических многомерных систем. В рамках развитого подхода получены простые -.аналитические формулы для энергетического спектра гамильтониана . квацрупольных»поверхностных колебаний. ( Последний относится к . кл&йсу. гамильтонианов инвариантных относительно преобразований . дискретной группы "С37. .). /'

.Показано, что в регулярной области энергий квазиклассические формулы с хорсшей точностью воспроизводят квантовый спектр, а при переходе в хаотическую область энергий, точность их предсказания катастрофически ухудшается. Указано, что причиной неприменимости квазкклассических формул для спектра в хаотической области энергий являются возникающие квазипересечения уровней вблизи критической энергии перехода к хаосу.

Для изучения квантовых проявлений классического хаоса впервые ' были вычислены и проанализированы статистические свойства энепге-тических спектров Сзу I инвариантного гамильтониана. Показано,, что функции распределения расстояний между соседними уровнями имеют пуассоновский вид в.той- области энергий, где классическое движение регулярное, и вигнеровский вид в хаотической области энергий.

Другими словами, в первом случае в квантовом спектре наблюдается явление кластеризации энергетических уровней, тогда" как во

втором ( когда классическая динамика хаотическая ) обнаружен эффект расталкивания соседних уровней аналогичный тому, который имеет место для собственных значений случайной матрицы из гауссо-вого ортогонального ансамбля (ГОА).

Подобные результаты были получены для инвариантного

гамильтониана, классический аналог которого, в частности, описывает взаимодействующие поля Янга-Миллса. На примере этой динамической системы показано первостепенное значение учета внутренней симметрии гамильтониана при анализе статистических свойств энергетических спектров.

Кроме того, исследована зависимость функций распределения расстояний между соседними уровнями для спектра Сзу инвариантного гамильтониана в области перехода регулярнссть-хаос-рсгуллрнос-ть. Впервые показана перестройка этих функций распределения от пуассоновского вида к вигнеровскому и опять к пуассоновскому в полном соответствии с типом классического движения. Полученные

результаты для Сзу , Сду. симметричных динамических систем

доказывают существования взаимосвязи между характером классического движения и статистическими свойствами квантовых энергетических спектров.

Проявления классического хаоса обнаружено и в поведении волновых функций, статистические свойства которых исследованы для тех же Сзу ,Сду двумерных гамильтоновых систем. Вычислены методом диагонализации и исследованы функции распределения коэффициентов разложения волновой функции по собственным состояниям двумерного осциллятора. Показано, что регулярные волновые функции локализованы на небольшом числе базисных состояний, а хаотические волновые функции практически случайно распределены по всем базисзшм состояниям.

Полученные два класса функций распределения существенно отли-

чаются друг от друга, отражая тем самым корреляции мевду статистическими свойствами волновой функции индивидуального состояния и режимом классической динамики. Однако распределения коэффициентов хаотической волновой функции (вероятно из-за небольшой доли регулярного движения ) немного отличается от гауссовой кривой, которая теоретически предсказывалась в квазиклассическом приближении. Показано, что поведение и абсолютная величина энтропии - количественной меры распределенности волновой функции - тоже универсальным образом зависит от характера классического движения.

Детально-исследованы изменения энтропии и квантовых чисел в процессе перехода регулярность-хаос для двухпараметрического семейства гаильтонианов, обладающих Сзу симметрией. Показано, что по мере включения неинтегрируемого возмущения ( путем варьирования параметров гамильтониана ) квантовые числа, используемые для классификации интегрируемой части гамильтониана, для состояний, энергии которых приближаются к классической критической энергии перехода к хаосу, начинают сильно флуктуировать. Это свидетельствует о разрушении квантовых чисел в переходной области.

Обнаружена четко выраженная корреляция мевду поведением квантовых чисел, формирующих оболочечную структуру, и структурой классического фазового пространства. Установлено также, что газ-рушение оболочечной структуры тесно связано с возникновением множественных квазипересечений энергетических уровней в области перехода регулярность-хаос.

Обнаруженные множественные квазипересечения в квантовом спектре для Сзу ,С4у инвариантных гамильтонианов с двумя степенями свободы является новым квантовым проявлением классического хаоса для неинтегрируемых гамильтоноЕнх систем. Показано, что эти квазипересечения не изолировали в точке, а случаются вдоль линий

(

в параметрическом пространстве.

Для увеличения эффективности численного исследования энергетических поверхностей в пространстве параметров гамильтониана вместо диагонализации предложен самосогласованный метод решения стационарного уравнения Шредингера в -координатном пространстве.

Практическая и научная ценность результатов. В последние годы во многих областях естественных наук ведутся интенсивные исследования различных аспектов хаотической динамики, распространение которых в область ядерной физики сделано в настоящей диссертации.

Полученные в диссертации результаты показывают," что в ядерных системах существуют хаотические режимы движения, которые приводят к радикальным изменениям в энергетических спектрах и волновых функциях соответствующих квантовых систем. Поэтому результаты настоящей диссертации имеют значение для включения понятия квантового хаоса в теорию атомного ядра. Эти результаты можно использовать при планировании экспериментов, для анализа экспериментальных да-ных и получения из такого анализа информации о структуро атомных ядер и механизме ядерного взаимодействия.

Разрпботпншо методы и получонпыо результаты носят общий ха-рактор и могут быть применены при исследовании произвольных нолинейных динамических систем.

На защиту выносятся следующие результаты.

1.Результаты исследования классического фазового пространства, показывающие существование новых хаотических движений для квадрупольных поверхностных колебаний в атомных ядер и в коллективной модели ядра углерода в виде линейной За-системы.

2.Полученные свойства линейной цепочки из трех частиц с произвольным парным взаимодействием и применимость критерия отрицательной гауссовой кривизны для исследованных систем.

3.Обнаруженный в гамильтоновых двумерных системах при некоторых условиях переход регулярность-хаос-регулярность, указывающий

на восстановление регулярного* характера классического движения при высоки энергиях.

4.Модификация ыетода нормальных фор: Биркгофа-Густавсона и развитие на этой основе метода квантования двумерных гамильтонианов, а также результаты исследования фазового пространства с помощью приближенных интегралов движения.

5.Результаты исследования Е^фективностн предсказания и применимости полученных на основе развитого метода квантования квазик-дассическнх форыул для внергетического спектра С37 инвариантного гамильтониана.

6.Установленную корреляцию между характером классического движения и статистическими свойствами энергетических • спектров С37 и Сду инвариатных гамильтонианов, которые в хаотической области энергий идентичны статистике собственных значений случайной матрицы из ГОА. Решающую роль симметрии динамических систем при построении функций распределения расстояний мезду соседними энергетическими уровнями.

7.Наличие корреляций мезду статистическими свойствами волновых функций ( функций распределения коэффициентов разложения волновой функции по базисным состояниям и энтропии как меры степени распределенности волновой функции по базисным состояниям ) и типом классического движения для.тех же Сзу и С4у инвариантных гамильтонианов.

8.Результаты расчета и анализа квантовых характеристик гамиль-тоновых систем в области перехода от регулярного движения к хаотическому. Результаты исследования зависимости энтропии, квантовых чисел и других квантовых величин в этой переходной области.

9.Новое проявление классической неинтегрируемости в виде множественных квазипересечений энергетических уровней для двумерных гамильтоновых систем в процессе перехода регулярность-хаос.

Ю-

10.Предложенный метод самосогласованного решения стационарного уравнения Шредакгера в координатном пространстве.

Апробация результатов работы и публикации.

Исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены в теоретическом отделе Харьковского физико-технического инстстута. Часть из них выполнена с сотрудниками Л?Ф и ЛВТА ОИЯИ (г.Дубна) .

Материалы диссертации опубликованы в 20 научных работах. Основные результаты диссертации представлялись на Международное совещание по теории мадочастичных и кварк-адронных систем (1987), на 38-м (1988) и на 39-м ( 1989 ) Всесоюзных совещаниях по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра и докладывались на Мездународном семинаре "Геометрические аспекты квантовой механики" ( 1988 ), 4-м Международном совещании по аналитическим вычислениям в физических исследованиях ( 1990 ), 6,8-м Мевдународпом совещании " Нелинейные эволюционные уравнения и динамические системы ", Всесоюзном семинаре по электромагнитным взаимодействиям ( 1989 ), на семинарах в.ЛТФ и ЛВТА ОИЯИ (г.Дубна ), ИТФ АН Украины и ИЯИ АН Украины( г.Киев ), ХГУ. и ХФТИ ( г.Харьков )..

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, приложения и списка цитируемой литературы ( 214.наименований ). Диссертация содержит 44 рисунка и 2 таблицы. Общий объем работы 2Б2 машинописных страниц.

■ Во введении обоснована актуальность проводимых исследований, сформулирована цель диссертационной работы и основные положения выносимые на защиту. Представлена структура диссертации и кратко изложено ее содержание по главам.

В первой главе на примере двух реалистических ядерных моделей показано, что в атомных ядрах ( рассматриваемые как нелинейные гамильтоновы системы с двумя степенями свободы ) при определенных условиях существуют новые хаотические режимы движения. Изучена

также хаотическая классическая динамика двумерной системы, описываемой Сду инвариантным гамильтонианом.

В разд.1.1 приведены стандартные метода идентификации индивидуальных хаотических траекторий с помощью вычислений автокорреляционной функции или показателей Ляпунова. Однако эти метода требуют большого объема численных расчетов при определении доли фазового пространства занятого экспоненциально неустойчивыми траекториями. Поэтому для гшгыльтоновых систем с двумя степенями свобода рассмотрен быстрый эвристический метод предсказания классического хаоса, который основан на изучении геометрии соответствующей поверхности потенциальной энергии ( ППЭ ). В таком методе классический хаос связывается с наличием отрицательной гауссовой кривизны на ППЭ, приводящей к локальной неустойчивости фазовой траектории попадающей в эту область. Критическая энергия перехода от регулярного движения к хаотическому определяется минимальным значением потенциальной энергии на линии нулевой гауссовой кривизны. Критерий начала хаоса по отрицательной гауссовой кривизне ( ОГК ) не является строгим, так как в общем случае локальная потеря устойчивости регулярного движения не обязательно приводит к глобальной неустойчивости. Однако в совокупности с численными расчетами сечений Пуанкаре критерий ОГК значительно облегчает анализ нелинейного движения, а для исследуемых наш динамических систем этот критерий обеспечивает надежное теоретическое предсказание начала хаоса.

В разделе 1.2 рассмотрена простейшая модель ядра углерода в виде линейной цепочки из трех а-частиц с реалистическим али-бод-меровским аа-взаимодействия. Гамильтониан этой системы имеет вид н = \ ^ Р± + у(х1-х2) + + УО^-х'.,), (1)

( 1=1,2,3 ).

Здесь ^ и канонически сопряженные координаты и импульсн 1-Й а-частицы, а потенциал Али-Бодмера определяется следующим образом

У(х) = а ехрС-а^2) + Ь ехр(-а2х2) , (2).

-2 -2 а=50О МэВ, Ь=-130 МзВ. а1=0,49 Фм , ^=0,226 Фм .

Показано, что реалистический потенциал Али-Бодмера качественно согласуется с эффективным потенциалом,полученным на основе широко используемых сейчас нуклон-нуклонных сил Скирма.

Подробно изучена классическая динамика 3 а -системы путем численного решения уравнений движения Гамильтона. С помощью анализа сечений Пуанкаре показано, что в этой системе возникают хаотические режимы движения ( см. рис.1) и критическая энергия перехода к хаосу хорошо согласуется с теоретическими предсказаниями по критерию ОГК.

'»(о)».".' ¿'{пШ

п Ь с

Рис. 1. Сечения Пуанкаре в плоскости ( ру , у ) при х=0 для гамильтониана (1) при Е=0.3Еа (а); 5-0.4Е.г (б); и Е--0.5Е<1 (в), где Еа - энергия диссоциации За-систеш.

Отмечены особенности развития классического хаоса по мере роста энергии в За-системе, связанные с использованием реалистического неполиномиальяого потенциала. Изучены также некоторые общие свойства линейной трехчастичной цепочки с произвольным парным взаимодействием.

В разд. 1.3 получен общий вид для ППЭ квадрупольных поверхностных колебаний сферической капли вещества. Показано, что гамильтониан такой системы является инвариантным относительно преобразований дискретной группы Сзу и имеет вид

Н = \ (р2 + р|) + Е Сщп (х2 + у2)1"* <х*у - 3У3)11 # (3) пн-п ^ 1

( т,п - неотрицательные целые числа )

где коллективные переменные х,у "определяются отклонениями от сферической поверхности ядра, С^ - параметры. Изучен характер классической динамики для двухпараметрического семейства Сзу инвариатных гамильтонианов в четвертом порядке по канонически сопряженным переменным.

Представлены результаты численного исследования квадрупольных

74-80

поверхностных колебаний изотопов криптона Кг с реалистическими параметрами коллективного гамильтониана, ППЭ которых изображены на рис.2.

Численно с помощью сечений Пуанкаре вычислены критические энергии перехода к хаосу и сравнены с их теоретическими значениями, определенными по критерию ОГК.

В разд. 1.4 продолжено изучение квадрупольных поверхностных

74-76

колебаний поверхности изотопов криптона и для ядер Кг при

энергиях, значительно превосходящих седловую ( Е > 10 Е^ ), найдено, что регулярный характер движения восстанавливается.

Рис. 2. ППЭ изотопов криптона (Пунктирная линия обозначает линии нулевой гауссовой кривизны ).

Показано, что для всех изотопов имеется узкая переходная область энергий, в которой характер классического движения изменяется от регулярного к хаотическому ( см. рис.3).

. Рис. 3. Сечения Пуанкаре при различных значениях

тл.

анергии для центрального минимума Кг :

а) полученные численным интегрированием уравнений движения; с помощью нормальных форм для гамильтониана (3);

б) 6-го порядка по переменным и в) эквивалентного, 4-го.

Исследована и обсуждена связь обнаруженного перехода регулярность-хаос-регулярность ( И-О-Н ) с изме- нением знака и величины гауссовой кривизны соответствующих ШЭ. Сделан вывод, что явление восстановления регулярного движения имеет место для любой динамической системы с локализованной областью неустойчивости движения (см.рис.5, 1-я колонка). .

Изучено влияние на ' характеристики классического движения высших степеней деформации колеблющейся поверхности в коллективном гамильтониане.

Детально исследована также классическая динамика СА7 инвариантного гамильтониана

н = §(р2+р|) + ¡^У2) + ь^у2 + с^+у2)2^ (4) ( а,ъ - параметры )

который описывает, например, взаимодействующие поля Янга-Миллса ( см. рис.б, 1-я колонка). Численно изучена структура классического фазового пространства и определены условия возникновения хаотических двг-еппй в отоЗ системе. Полученные результаты сравнены с известными результатами из других работ.

Вторая глава посвящена применению метода нормальных форм Еиркгофа-Густавсона для изучения в квазиклассическом приближении коллективной динамики в ядерных моделях, рассмотренных выше.

В разд.2.1 описана процедура приведения классического многомерного гамильтониана к нормальной форме > Еиркгофа-Густавсона. Получены в аналитическом виде нормальные формы Еиркгофа-Густавсона и приближенные интегралы движения для гамильтонианов квадру-польных поверхностных колебаний и линейной За-системы.

Показано, что аналитический приближенный интеграл

движения для изотопа криптона Кг как видно из рис.3 б ,в.

хорошо воспроизводит полученную с помощью сечений Пуанкаре структуру фазового пространства, но только для энергий не превышающих критическую энергию перехода от регулярного движения к хаотическому.

В par.д. 2.2 предложена модификация нормальной формы Биркгофа-Густавссна, основанная на подходящем выборе канонически сопряженных переменных с использованием канонических преобразований с произвольной валентностью. В частности, для гамильтониана квадру-польных поверхностных колебаний взятого в виде

Н= + ^з^+у2) + btfV-iy3) + о(х2+у2)2> (5)

найдены такие канонические преобразования Q-, 2 = (y-ip2) ± i(x-ip1)

(6)

Р1)2 = (y-ip2) + i (x-ip1 )

с валентностью.равной мнимой единице. Для гамильтониана (5) получена модифицированная нормальная форма Биркгофа- Густавсона.

Получена также модифицированная нормальная форма для Сду симметричного гамильтониана (4), исследование классической динамики которого проведено в разд. 1.4 ( см. сечения Пуанкаре, изображенные на рис.6, 1-я колонка).

В разд. 2.3 обсуждены способы квантования многомерных классических гамильтоновых систем и развит новый вариант квантования на основе модифицированной нормальной формы Биркгофа-Густавсона. По классической модифицированной нормальной форме с использованием правила соответствия Вейля, которое ради удобства проведения

аналитических вычислений на ЕЕШСЕ запишем з виде

П 1+з) , (7)

(V =1,2 )

Восстановлена квантовая нормальная форма для гамильтониана квадрупольных поверхностных колебаний (5). Получена квазиклассическая формула для его энергетического спектра

йг-0,1.2,3,... ; ь= ±ы, ±(n-2), ... о или 1.

которая в частном случае (с=0) дает приближенную формулу для спектра известного гамильтониана Хенона-Хейлеса.

В разд. 2.4 проведено сравнение предсказываемых кваяитлясси-ческих стктроп с точными квантог^ки спектрами для гтшльтонташг квадруполышх поверхностных колебаний (5). Результаты сравнения показаны на рис.4. Как видно из этого рисунка квантование с помощью нормальных форм Биркгофа-ГустаЕссна применимо только в области энергий, где классическое движение регулярное.

В третьей главе исследованы квантовые проявления классического хаоса в статистических свойствах энергетических спектров и волновых функций. Детально изучены динамические системы с двумя степенями свободы, предстаглящзе квадрупольпые поверхностные колебания и взшплоде^ствующяг поля Яяга-Миллса, ошснваемые Сзу и Сду инвариантными- гамильтонианами (5),(4), соответственно. Показана четкая взаимосвязь кезду характером классического движения ( регулярным или хаотическим ) и как формой функций распреде-

Ъ2 2 2

Е(Н,Ь) = N+1+ — [ 7Ь - 5№+1) +1 ] 12

(8)

о 2 2

+ - [ 3 (N+1 ) - Ь +1 ], 2

0.2

^ 0,1

0,0

" а I 1

- V*- V* i

— " '4

i i ^ ^кр к л / \лм i i V 1

4 6 8 10 12 14 ш

4 6 8 10 12 14 16 Е

Рис. 4. Разность АЕ между квантово-механическими уровнями энергии и квазиклассическими (2.62) для гамильтониана (2.49) со следующими значениями параметров: Ь=0.13247; 0=0.00135;"^ =10 (а); Ь=0.1; с=0.; ¿¡^ =8-3; Ей =16.7 (б). Верхние линии - значения расстояний мевду соседними уровнями энергий, Ей - энергия диссоциации.

ления расстояний между соседними энергетическими уровнями ( пуас-соновской или вигнеровской ), так и видом функций распределения амплитуд волновых функций. Дополнительно эта взаимосвязь подтверждена обнаруженной перестройкой упомянутых выше функций распределения в зависимости от типа классического движения для Gj^ симметричной системы в случае сложного перехода регулярность-хаос-регулярность.

В разд.3.1 обсувдена аналогия между основными результатами в теории случайных матриц и последшзми результатами, полученными в теории нелинейных динамических систем. Как известно, функции распределения расстояний между собственными значениями простейшей случайной матрицы из ГОА имеет виГнеровский вид

р(х) = | х ехр(- | х), (9)

где величина х равна отношению расстояния между ближайшими собственными значениями к среднему их значению. Из выражения (9) следует оФГюкт расталкивания ( р(х)-0, если х-0 ) собственных значений, которий обнаружен также для квантовых спектров неинтег-рируемых систем, хаотических в классическом пределе.

В этом разделе обсуждена также гипотеза об универсальном законе флуктуаций энергетических спектров для динамических систем, хаотических в классическом пределе.

В разд.3.2 числено получены квантовые спектры Сду и Сзу инвариантных гамильтонианов . (4),(5) и исследованы их статистические свойства. Изучены групповые свойства гамильтонианов, введен базисный набор функций, реализующий неприводимые представления данной дискретной группы. Проанализированы последовательности энергетических уровней, соответствующие всем неприводимым представлениям.

/ . • .

Энергетические спектры и волновые функции можно эффективно ' получить методом диагонализации соответствующих гамильтоновых матриц,в следующем базисе

|N,L,J> = - { |N,L> + j|U,-L> }, j=±1, 1^0, (10) r v2

где • ортонормированный базис |N,L> определяется с помощью соотношений (6) как

■ _1 N-Ь N+L ■ N+L N-L 2 л -я- А -Ö-

|N,L> = [ ( - )!',( -)!] Q2ä Q, |0>,

2 2

(11)

^|0> = Р2|0> =0,

где главное квантовое число N=0,1,2,3,..., а орбитальное квантовое число L=N,N-2, ... 1 или 0. Показано ( см. рис.5,6 ), что в обеих динамических системах соседние уровни,квантового спектра в хаотической области обнаруживают свойство расталкивания, а функции распределения расстояний между ближайшими энергетическими уровнями имеют вигнеровский вид в полном соответствии с гипотезой об универсальном законе флуктуаций энергетических спектров. Аналогичные функции распределения для соседних уровней в области энергий, где классическое движение регулярное, хорошо аппроксимируются пуассоновским распределением

р(х) = ехр(-х) , (12)

р(Х) - 1, если X -» 0.

...--

рис.5.Корреляция между характером классического движения и статистическими свойствами квантового спектра в переходе Н-С-И для гамильтониана (5) (Ъ2/с=13). а) - карты Пуанкаре;

б)-распределение расстояний между соседними уровнями р(х) ;

в)-дисперсия 2"(Ь). Внизу ЕКр1=90. (1-я регулярная область). Посредине Е^ =1.8, ЕКр2 =1895 (хаотическая область) Вверху Е^ =14.2 ( 2-я регулярная область ).

рис.6.Сечения Пуанкаре (колонка 1) для гамильтониана (4); логарифмы функций распределения расстояний между соседними уровнями ( колонка 2 ) с соответствующий дисперсиями ( колонка 3 ) для квантового аналога гамильтониана (4). Сплошные линии изображают логарифм функции распределения Пуассона и соответствующую дисперсию, штриховые - Вигнера.

Показана ванная роль учета симметрии гамильтониана при изучении статистических свойств энергетических спектров.

' Обнаружены такие четкие корреляции между типом классического движения и формой функции распределения расстояний между соседними уровнями "для сложного перехода регулярность-хаос-регулярность, где пуассоновская кривая переходит в вигнеровскую, а затем во второй регулярной области опять перестраивается в пуассоновскю (см. рис.5).

Обсувдены некоторые численные детали расчета энергетических спектров методом диагонализации.

В разд.3.3 изучены статистические свойства волновых функций для рассмотренных выше динамических систем и показано, что статистические свойства волновой функции, описыващей индивидуальное состояние, существенно зависят от характера классического движения.

Численными расчетами установлено, что функции рчспределсния р(х) коэффициентов разложения х(1) полновой функции

|Е> = £ x(i) |i> (13)

по базисному набору |1>={ N,L,j } в хаотической области энергий качественно близки к ожидаемой гауссовой кривой и резко отличаются от подобных функций распределения в регулярной области энергий. Таким образом, "хаотическая" волновая функция примерно равномерно распределена по -базисному набору, а регулярная волновая фуккция локализована.на небольшом числе базисных состояний (рис.7).

рис.Т. а) функция распределения коэффициентов разложения волновой функции по базису (10) для перехода И-С-И в гамильтониане (5). Штриховая линия -нормированное распределение Гаусса, б)Величина коэффициентов разложения х(1) в зависимости от номера базисного состояния 1. ( для состояния к=86 ).

Показано, что тип классической динамики в полной мере определяет поведение энтропии - количественной меры распределенности волновой функции

в = - Е |Х(±)|2 хп|х(±)|2 , (14)

которая для хаотических состояний практически постоянная, а для регулярных состояний энтропия и меньше по величине и имеет немонотонную зависимость от энергии, что иллюстрируется рис.8.

78 86 « «г ю т евк

рис.8. Зависимость энтропии Б от номера состояния к для сложного перехода И-С-И в гамильтониане (5) а) первая регулярная область , в) область энергий, соответствующая хаотическому классическому движения, с) вторая регулярная область. Параметры ь и о такие же , как и для рис.Т.

Кроме того, подобные корреляции обсуждаемых функций распределения и энтропии и их трансформация в соответствии с изменением характера классического движения выявлены в окрестности перехода регулярность-хаос- регулярность для динамической Сду-системы.

В четвертой главе продолжено исследование Сду и Сзу симметричных гамильтоновых систем'(4),(5). зависящих от двух параметров, и детально изучены особенности в поведении энергетических спектров и волновых функций, появляющиеся в процессе перехода регулярность-хаос. Проанализировано обнаруженное явление множественного возникновения квазипересечений энергетических уровней в окрестности критической энергии перехода к классическому хаосу. Обсужден метод численного решения стационарного уравнения Шредкн-гера в координатном пространстве методом понижения размерности.

' В разд. 4.1 исследованы процесс разрушения оболочечной структуры, определяемой квантовыми числами

N=<0,^+ Q2P2>, Q2P2> (15)

невозмущенного гамильтониана, и изменения в поведении энтропии (14) по мере роста неинтегрируемого возмущения.

. Показано, что при'приближении энергии произвольного квантового состояния к критической классической энергии перехода к хаосу нарушается квазипериодическая зависимость энтропии от энергии, что свидетельствует о разрушении оболочечной структуры, и наблюдается монотонное увеличение энтропии с выходом на плато при энергиях значительно превосходящих критическую. Показано также разрушение аналогов классических интегралов движения, что приводит к невозможности классифицировать состояния квантовыми числами (15) (рис.9).

Таким образом, получена устойчивая корреляция мезду существованием оболочечной структуры и фазовым портретом классической динамики, определяемым известной теоремой KAM.

\7~77° I

*) 5)

рис.9. Зависимость отклонений ЛЫ=Ы-<К> и АЬ=Ь-<Ь> от номера квантового состояния к : а)я=3.9 б) ш=13. Здесь я=ъ2/с, а точки о обозначают величины отклонений АН к АЬ в зависимости от номера квантового состояния.

Вблизи перехода регулярность-хаос обнаружены множественные квазипересечения энергетических уровней, которые являются причи-' ной разрушения квантовых чисел.

В разд. 4.2 изучено поведение энергетических уровней одинаковой симметрии в зависимости от параметров для двухпараметрических семейств С ду и С37 инвар-латных гамильтонианов (4), (5). Тщательно численно исследованы кьазилерссочения в окрестности перехода регуляркость-хаос ( см. рис.10 ).

1и

-а-й—'-ЙГ

8*1 со

о.)

6то

рис.10. Энергетические спектры гамильтониана-(5) в зависимости от значения параметра Ь.:а) квазиклассический спектр, вычисленный по формуле (8) и б) точный квантовый спектр. Квадратики отмечают квазипересечения.

Показано, что любая пара сблизилщхся энергетических уровней численно пересекается не в изолированной точке, а вдоль параллельных линий в параметрическом пространстве ( рис.11 ).

рис.11 .Лини'л максимального сближения пар энергетических урогшой а зависимости от параметров (1>,с). Пчрн от^еч^-ш цифрами : 1) для к=71 и 72, 2) для к=40 и 41, 3) для к-60 и 61, для к=34 и 35, 5) для к=39 и 40, 6) для к-47 и 48. Прямые 1, 2 и 3 соответствуют максимальному сближению (квазипересечению) при энергиях ниже критической энергии Е^ , а прямые 4, 5 и б - выше критической энергии Е^ перехода к хаосу. Кривые, соответствующие разным значениям тс, обозначают границы параметров, отвечающих различной топологии ППЭ ГЕ.'Д£льтониана (5).

В рамках теории возмущений 1* с помочью прямых численных рзсчетоз проведен анализ поведения квапипересекаицихся уровней и их волновых функций з окрестности этих линий в пространстве параметров.

Множественное возникновение квазипересечений в квантовом спектре вблизи анергий перехода к классическому хаосу обнаружено для всех типов енергетических уровней Сзу и С4у симметричных динамических систем (см. рис.12 ).

рис.12.Энергетический спектр гамильтониана (5) в зависимости, от значения параметра Ь ( А^тип ) и гамильтониана (4) от значения параметра Ь (Ь/с=999) (справа). Выдвинута гипотеза, что возникновение множественных квазипересечений в окрестности перехода регулярность-хаос является универсальным квантовым проявлением хаоса для классически неин-тегрируемых систем.

В разд. 4.3 рассмотрен самосогласованный метод расчета энергетического спектра и волновых функций стационарного уравнения Шредингера в координатном пространстве на примере двумерной динамической системы, описываемой Сзу инвариантным гамильтонианом (5). Предложено вместо диагонализации гамильтоновой матрицы в осцилляторном базисе решать бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений от одной переменной, к которой

< «

всегда можно свести уравнение Шредингера. Например, для состояний Е-типа соответствующая система в полярных координатах имеет вид Ь1{и1}-р{и4+ г^} =0,

Й2{и2}+р{и5- и.,} =о,

54{и4)+р{и7- и,} =о, (16)'

65(и5)-р{ид" О,} =о, .......... ^ ,

где дифференциальный оператор определяется следующим

образом

1)ь = ^ + 2[Е " И7)

(1г

ит(г) -= --р + сг4 - . (18)

и 2г ^ 8г

В отличие от метода диагонализации, гдо в качестве базиса используются как правило осцилляторные функции, в самосогласованном численном приближении "обрезание" базисной системы функций производится по одной (угловой) переменной, а по другой (радиальной) ведется точное численное интегрирование. Это приводит к согласованию базисных функций с видом гамильтониана й к уменьшению ресурсов ЭВМ. Приведены две вычислительные схемы реализации предлагаемого метода.

В заключении приведем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Показано существование и детально изучены новые хаотические режимы ДЕИненил в атомных ядрах на пргаере двух ядерных моделей : а) коллективные ч^а.';1"упс.шюй поверхностные колебания

7 4-80

изотопов кряптсн;1 Кг, параметры гамильтонианов которых получены из экспериментам-них данных и б) ядро углерода в виде линейной Згт-цепочки с реалистическим потенциалом взаимодействия между а-частицачи.

не«

- 2. Исследованы некоторые общие свойства линейной системы, состоящей из трех частиц с произвольным■потенциалом взаимодействия и показано, что гамильтониан такой системы в кубическом приближении принимает известную форму Хенона-Хейлеса только для Сзу - ■ инвариантных гамильтонианов.

3. Обнаружено в неинтегрируемых гамильтоновых системах новое явление - восстановление регулярного характера движения при больших энергиях. Другими словами, для гамильтоновых двумерных динамических систем с локализованной областью неустойчивости классического движения имеет место переход регулярность-х'аос-регуляр-.ность.Н-С-Н, (детально исследованный для поверхностных колеба-

74-76

ний изотопов криптона Кг).

4. Показано, что аналитический метод предсказания классического хаоса по критерию отрицательной гауссовой кривизне (ОГК) поверхности потенциальной энергии- для исследованных ядерных систем хорошо согласуется с прямыми численными расчетами с помощью сечений Пуанкаре. 'Для гамильтонианов, ППЭ которых имеет, несколько локальных минимумов, предложено критерий ОГК дополнить анализом приближенных интегралов движения, получаемых в рамках метода нормальных форм Биркгофа-Густавсона.

5. Предложена модификация нормальной формы Биркгофа-Густавсона и на ее основе дан новый вариант квантования двумерных классических гамильтоновых.систем. Показана полезность канонических преобразований с произвольной валентностью.

6. Получены аналитические квазиклассические формулы для спектра квадрупольных поверхностных колебаний при помощи развитого метода квантования. Показано, что зти формулы с большой точностью воспроизводят квантовый спектр е области энергий, где классическое движение регулярное, а в области классического хаоса их предсказание резко ухудшается.

7. Показано, что классический хаос отчетливо проявляется в статистических свойствах квантового спектра, которые идентичны статистическим свойствам собственных значений случайной матрицы из гауссового ортогонального ансамбля; В частности, функция распределения расстояний мевду соседними энергетическими уровнями С37 (квадрупольные поверхностные колебания ядер) и СД7 (взаимодействующие классические поля Янга-Миллса) инвариантных гамильтонианов имеет пуассоновский или вигнеровский виды в зависимости от типа - регулярного или хаотического- классического движения.

8. Обнаружено также, что статистические свойства спектра гамильтониана квадрупольных поверхностных колебаний претерпевают

в полном соответствии с гипотезой об универсальном законе флуктуации энергетических спектров перестройку в зависимости от характера классического движения при условиях, когда имеет место сложный переход Н-С-И.

9. Изучены групповые свойства Сзу и Сд7 гамильтонианов и показана рстгшцал роль симметрии гамильтонианов на статистические свойства их энергетических спектров; эффект расталкивания соседних уровней наблюдается только для последовательности уровней, принадлежащей какому-нибудь одному из представлений группы исследуемого гамильтониана.

10. Показано, что статистические свойства волновых функций

С37 и Сду - инвариантных гамильтонианов коррелируют с типом классического движения. Получены резко отличающиеся функции распределения для регулярных и хаотических волновых функций, и это разлше четко прослежено на сложном переходе Н-С-й.

11. Установлено, что энтропия - количественная мера степени распределенности волновой функции - токе коррелирует с классическим режимом движения; в хаотической области энергий энтропия практически постоянна, а в регулярной области энтропия меньше по

величине и немонотонна, что связано с высокой и зависящей от состояния степенью локализации волновой функции.

12. На примерз двухпараметрического семейства гамильтонианов по мере роста неинтегрируемого возмущения исследован процесс разрушения оболочечной структуры энергетического спектра, определяемой квантовыми числами интегрируемой части гамильтониана. Обнаружена устойчивая корреляция между структурой классического фазового пространства и существованием оболочечной структуры. Показано, что причиной разрушения квантовых чисел - аналогов классических интегралов движения - являются квазипересечения энергетических уровней в области перехода регулярность-хаос.

13. Обнаружено новое квантовое проявление классического хаоса - возникновение множественных квазипересечений в энергетическом спектре двумерных гамильтоновых систем в области перехода от. регулярного движения к хаотическому. Показано, что- эти квазипересечения имеют место не в изолированных точках, а вдоль линий в пространстве параметров гамильтониана.

14. Предложен численный метод решения стационарного уравнения Шредингера с самосогласованным выбором базисных функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю. Чеканов H.A. О существовании хаоса в линейной За -системе// В Материалах Мевдунар. сов. по теории малочастичных и кварк-адронных систем.-М.: Наука, 1987-C.25.

2. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю. Чеканов H.A. Некоторые динамические свойства линейной трехчастичной цепочки// Препринт ХФТИ 88-36, Харьков- 1988-5С.

3. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., - Тарасов В.Н., Чеканов H.A. Стохастическая динамика квадрупольных колебаний изотопов крипто-

на//Преприкт ХФТИ 88-43,tí.: ЦНИИатоющформ, 1988-12с.

4. Болотин Ю.Л., Гончар B.D., Тарасов В.Н., Чеканов H.A. Переход регулярность-хаос-регулярность и статистические свойства энергетических спектров// В Материалах международного семинара "Геометрические аспекты квантовой теории Дубна, 2-4 сентября, 1988, стр. 341-352.

5. Болотин Ю.Л., Гончар B.D., Тарасов В.Н., Чеканов H.A. Нелинейные квадрупольные колебания изотопов криптона// Прогр. и тезисы 38 .сов. по ядерн. спектроскопии и и структ. атомн. ядра. -Л.:Наука, 1988-583с.

6. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Чеканов H.A. Стохастическая динамика коллективных движений ядер в потенциалах с несколькими локальными минимумами// Прогр. и тезисы 38 сов. пр ядер, спектроскопии и и структ. атомн. ядра.- Л.:Наука, 1988-226с.

7. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю. Тарасов В.Н., Инопин Е.В., Чеканов H.A. и др. Стохастическая ядерная динамика// ФЭЧАЯ -1989-т. 20, mm. 4 -с. 870-929.

8. Чркяноп H.a. Квазикляссический метод квантования поверхностных квадрупольных колебаний ядра//Прогр. и тезисы 39 сов. по ядер, спектроскопии и структуре атомного ядра.- Л.:Наука, Î988-

9. Bolotîn Yu.L., Gonchar V.Yu., Tarasov V.N., Chekanov N.A. The transition regularity-chaos- regularity and statistical properties of energy spectra// Phys.Lett.-1989-7.A135-p.29-32.

10. ЧеканоЕ H.A. КЕантоЕание нормальной формы Биркгофа-Гус-тавсска// ЯФ-1989-т. 50,вш1,8-с .344-346.

11. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Виницкий С.И., Чеканов H.A. Динамический хаос в линейной За-етстсмс // ЯФ-Х989-т.50,вып.6(12) -с.1563-1570.

12. Bolotln Yu.L., Gonchar V.Yu., Tarasov V.N., Chekanov N.A.

The transition regularlty-chaos-regularity and statistical properties of wave function// Phys.Lett. -1990 -v.A144,n.8,9 -p.459-461.

13. Болотин Ю.Л., Виницкий С.И., Гончар В.Ю., Чеканов Н.А. ir др. Проявление стохастичности в спектрах некоторых гамильтоновых систем с дискретной симметрией// ЯФ-1990-т.52,вып.2(8)-с.588-600.

14. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Тарасов В.Н., Чеканов Н.А. Статистические свойства энергетических спектров простейших электромагнитных систем//ВАНТ, сер. ядерн.-физические исследования-1988-ВЫП.1(9)-С.49-52.

15. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Тарасов В.Н.р Чеканов Н.А. Разрушение оболочечной структуры в процессе перехода регулярность-хаос// ЯФ-1990-Т.52, ВЫП.3(9)-с.669-678.

16. Gonchar V.Yu., Chekanov N.A., Markovskl B.L. et al. The program of analytical calculation„ оf the normal Blrkhoff-Gustav-son form// Preprint JINE E11-90-564, Dubna-1990-16p.

17. Bolotln Yu.L., Chekanov N.A., Gonchar V.Yu., et al. Quantum spectra of non-lntegrable classical systems In transition to chaos region// Preprint JINR e4-90-566, Dubna -1990 -16p.

18. Chekanov N.A.., Gonchar V.Yu., Markovskl B.L., Vlnltsky S.I. Normal form and approximate lntegrales of two dimensional Hamlltonlan// Preprint JINR E4-90-565, Dubna-1990-12p.

19. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Тарасов В.Н., Чеканов Н.А. и др. Квантовые проявления классической стохастичности// Препринт ОИЯИ Р4-90-143,Дубна- 1990-28с.

20. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Грановский М.Я., Чеканов Н.А. Стохастическая динамика квадрупольных колебаний атомных ядер и нормальные формы Биркгофа- ГустаЕсона // ВАНТ, сер. ядерн.-физические иссл.-1990- вып.8(16)-с,38-42.

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Чеканов, Николай Александрович, Харьков

[s. >-

J «U

O-i

•'с;дил ученую степень ДОК'ГХ > г

/Г

......i

Орденов Ленина и Октябрьской революции Харьковский физико-

технический институт АН Украины

На правах рукописи

ЧЕКАНОВ Николаи Александрович

УДК 530,1, 539.14

Квантовые проявления классического хаоса в ядерных системах.

Специальность: 01.04.16 - Физика ядра и элементарных частиц

Диссертация на соискание ученой степени доктора сизико-математических наук

Харьков - 1991

СОДЕРЖАНИЕ

Olpo

ВВЕДЕНИЕ.................................... о. о о. о......» 4

ГЛАВА 1 . ХАОТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ В ПРОСТЫХ

ЯДЕРНЫХ СИСТЕМАХ..................................23

1.1. Хаос в гамильтоновых системах. Критерий начала

хаоса по отрицательной гауссовой кривизне..... ........24

1.2. Динамический хаос в линейной З^-системе........37

1.3. Хаотические колебания поверхности атомных ядер. .......58

1.4. Переход регулярность-хаос-регулярность в гамильтоновых системах....................„ . 77

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ

В КОЛЛЕКТИВНО! КВАЗИКЛАССИЧЕСКОИЙ ЯДЕРНОЙ ДИНАМИКЕ.____, 0.. 91

2.1. Метод нормальных форм Биркгофа-Густавсона............. 9Х

2.2. Модифицированная нормальная форма Биркгофа--Густавсона.......................................... Ю5

2.3. Квантовая нормальная форма............................ из

2.4. Результаты численных вычислений.#..................... 125

ГЛАВА 3. КВАНТОВЫЕ ПРОЯВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОГО

ХАОСА В СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

СПЕКТРОВ И ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ..........................140

3.1. Гипотеза об универсальном законе флуктуаций энергетических спектров. ........................... J4I

3.2. Статистические свойства спектров G3v и С^ инвариантных гамильтонианов........................... 150

3.3. Статистические свойства волновых функций

Сз1г и С^у- инвариантных гамильтонианов................. IS8

ГЛАВА 4. ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРА КЛАССИЧЕСКИ

НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ В ОБЛАСТИ ПЕРЕХОДА

РЕГУЛЯРНОСТЬ-ХАОС..............................о... 180

4.1. Разрушение оболочечной структуры в процессе

перехода регулярность-хаос............................. 181

4.2. Квазипересечения в области перехода к хаосу... .......... 199

4.3. Метод численного решения двумерного стационарного уравнения Шредингера. ....... ........................... 215

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................о.................................230

ПРИЛОЖЕНИЕ...................... „.... о... о.... о .......о.....234

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................243

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В последнее время огромный интерес вызывают исследования нелинейных явлений в различных динамических системах. Причиной такого внимания является существование новых, так называемых хаотических (в отличие от регулярных) типов движения, приводящих к полной случайности и непредсказуемости будущего в строго детерминированных системах. Изучение хаотической динамики впервые открытой Пуанкаре еще в конце прошлого века /1/ возобновилось лишь в начале 60-х нынешнего под влиянием появившейся работы Лоренца по долговременному предсказанию погоды /2/.

В последние десять лет исследования хаотических режимов движения интенсивно ведутся и расширяются в различных областях естественных наук /3-5/. Существование детерминированной случайности в нелинейных динамических системах привело к постановке проблемы квантового хаоса, что инициировало, в частности, поиск квантовых проявлений классического хаоса.

Исторически сложилось так, что результаты исследования ядерных спектров в рамках статистической теории развитой в теже 60-е годы /6-7/ и основанной на предположении о случайности процессов в ядре исключительно из-за его сложности неожиданно предвосхитили последние результаты, полученные в теории нелинейных динамических систем. Как известно, в статистической теории ядерных спектров постулируется идентичность статистических свойств спектра атомных ядер и собственных значений случайной матрицы, которая представляет гамильтониан ядра. Одним из основных результатов этой теории является то, что функции распределения расстояний между соседними уровнями имеют вигнеровский вид, из которого

следует эффект расталкивания ближайших энергетических уровней /8/. Теоретические выводы очень хорошо подтвердились при соответствующей обработке экспериментальных данных по ядерным спектрам /7,9/.

Поэтому полученные недавно аналогичные результаты в хаотических динамических системах с несколькими степенями свободы /10-18/ призывают, по крайней мере, попытаться искать причины успеха статистической теории атомных ядер в самом характере движения нуклонов ядра, обосновывая статистическую гипотезу не сложностью системы, а существованием принципиально новых типов нуклонного движения, определяемых свойствами ядерного взаимодействия.

Изучение хаотической динамики нуклонов может пролить свет на проблему сосуществования двух противоположных классов ядерных моделей, один из которых представляет ядро как каплю жидкости, а второй рассматривает ядро как газ слабо взаимодействующих частиц. Тогда эффективность предсказания модели из того или иного класса в сильной степени будет определяться регулярным или хаотическим режимом нуклонного движения. Например, появление оболочек в ядерных спектрах ! можно попытаться связать не столько с принципом Паули, а с | регулярным характером ядерной динамики /19/.

Все это без сомнения представляет важный и интересный предмет исследования в ядерной физике /22/ и к настоящему времени в этой области получены уже некоторые результаты

/17,23-25/. Кроме того, изучение нелинейной динамики атомных ядер затрагивает ряд общих вопросов, связанных с проблемой классического и квантового хаоса /26/ в произвольной динамической системе.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование в атомных ядрах квантовых проявлений классического хаоса в энергетических спектрах и волновых функциях на примере простых, но реалистических ядерных моделей.

В диссертации решаются следующие основные задачи:

2.Развитие метода нормальных форм Биркгофа-Густавсона для квантования классических многомерных гамильтонианов с целью изучения свойств энергетических спектров в квазиклассическом приближении.

3.Исследование влияния классического хаоса на статистические свойства энергетических спектров и волновых функций для Сзг/ . С^г/ - инвариантных гамильтоновых систем.

4.Поиск других особенностей в свойствах энергетических спектров и волновых функций классически неинтегрируемых квантовых систем, которые можно трактовать как квантовый хаос в атомных ядрах.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы коллективные квадрупольные поверхностные колебания изотопов криптона Кг с параметрами гамильтонианов- извлеченных из экспериментальных данных, и динамика ядра углерода в виде линейной системы из трех оС -частиц с реалистическим потенциалом взаимодействия. В этих ядерных гамильтоновых

системах с двумя степенями свободы установлено существование хаотических режимов движения. Показано, что метод теоретического предсказания критической энергии перехода от регулярного движения к хаотическому с помощью простого критерия по отрицательной гауссовой кривизне поверхности потенциальной энергии очень хорошо согласуется с ее численными расчетами с помощью сечений Пуанкаре.

Обнаружено новое явление ( детально исследованное для

квадрупольных поверхностных колебаний изотопов Кг ), которое заключается в восстановлении регулярного характера движения при высоких энергиях. Вероятно такой сложный переход регулярность-хаос-регулярность (11-0-11 ) имеет место для динамических систем с локализованной областью неустойчивости.

Исследованы также и установлены некоторые новые свойства трехчастичной линейной цепочки с произвольным парным взаимодействием.

На основе выполненной модификации нормальной формы Бирк-гофа-Густавсона с использованием канонических преобразований с произвольной валентностью дан новый вариант квантования классических многомерных систем.

В рамках развитого подхода получены простые аналитические формулы для энергетического спектра гамильтониана квадрупольных поверхностных колебаний. ( Последний относится к классу гамильтонианов инвариантных относительно преобразований дискретной группы С3йг ).

Показано, что в регулярной области энергий квазиклассические формулы очень хорошо воспроизводят точный квантовый спектр, а при переходе в хаотическую область энергий точность их предсказания катастрофически ухудшается. Указа-

но, что причиной неприменимости квазиклассических формул для спектра в хаотической области энергий являются возникающие квазипересечения уровней вблизи критической энергии перехода к хаосу.

Для изучения квантовых проявлений классического хаоса впервые были вычислены и проанализированы статистические свойства энергетических спектров Озгг инвариантного гамильтониана. Показано, что функции распределения расстояний между соседними уровнями имеют пуассоновский вид в той области энергий, где классическое движение регулярное, и вигнеровски7'вид в той области энергии, где оно хаотическое.

Другими словами, в первом случае в квантовом спектре наблюдается явление кластеризации энергетических уровней, тогда как во втором ( когда классическая динамика хаотическая ) обнаружен эффект расталкивания соседних уровней аналогично тому, который имеет место для собственных значений случайной матрицы из гауссового ортогонального ансамбля.

Подобные результаты были получены для С инвариантного гамильтониана, классический аналог которого, в частности, описывает взаимодействунщие поля Янга-Миллса. На примере этой динамической системы показано первостепенное значение учета внутренней симметрии гамильтониана при анализе статистических свойств энергетических спектров.

Кроме того, исследована зависимость функций распределения расстояний между соседними уровнями для спектра С^ инвариантного гамильтониана в области перехода регулярность-хаос-регулярность. Впервые показана перестройка этих функций распределения от пуассоновского вида к вигнеровскому и опять к пуассоновскому в полном соответствии с типом класси-

ческого движения. Полученные результаты для »0згг , С^ симметричных динамических систем неоспоримо доказывают существование взаимосвязи между характером классического движения и статистическими свойствами квантовых энергетических спектров.

Проявления классического хаоса обнаружено и в поведении волновых функций, статистические свойства которых исследованы для тех же Сзгг , &4гг двумерных гамильтоновых систем. Вычислены методом диагонализации и исследованы функции распределения коэффициентов разложения волновой функции по собственным состояниям двумерного осциллятора. Показано, что регулярные волновые функции локализованы на небольшом числе базисных состояний, а хаотические волновые функции практически случайно распределены по всем базисным состояниям.

Полученные два класса функций распределения разительно отличаются друг от друга, отражая тем самым корреляции между статистическими свойствами волновой функции индивидуального состояния и режимом классической динамики. Однако функция распределения хаотической волновой функции (вероятно из-за небольшой доли регулярного движения ) немного отличается от гауссовой кривой, которая теоретически предсказывалась в квазиклассическом приближении. Показано, что поведение и абсолютная величина энтропии - количественной меры распределенности волновой функции - тоже универсальным образои зависит от характера классического движения.

Детально исследованы изменения энтропии и квантовых чисел в процессе перехода регулярность-хаос для двухпарамет-рического семейства гамильтонианов, обладающих СзгГ симметрией. Показано, что по мере включения неинтегрируемого возмущения ( путем варьирования параметров гамильтониана )

квантовые числа, используемые для классификщдш интегрируемой части гамильтониана, для состояний, энергии которых приближаются к классической критической энергии перехода к хаосу, начинают сильно флуктуировать. Это свидетельствует о разрушении квантовых чисел в переходной области.

Обнаружена четко выраженная корреляция между поведением квантовых чисел, формирующих оболочечную структуру, и структурой классического фазового пространства, определяемой известной КАМ теоремой. Установлено также, что разрушение оболочечной структуры тесно связано с возникновением множественных квазипересечений энергетических уровней в области перехода регулярность-хаос.

Обнаруженные множественные квазипересечения в квантовом спектре для 031г , С4гг инвариантных гамильтонианов с двумя степенями свободы является новым квантовым проявлением классического хаоса для неинтегрируемых.гамильтоновых систем. Показано, что эти квазипересечения не изолированы в точке, а случаются вдоль линий в параметрическом пространстве.

Для увеличения эффективности численного исследования энергетических поверхностей в пространстве параметров гамильтониана вместо диагонализации предложен метод решения стационарного двумерного уравнения Шредингера путем понижения его размерности непосредственно в координатном пространстве.

Результаты, полученные в диссертации, можно использовать

при планировании экспериментальных исследований, для анализа экспериментальных данных и получения из такого анализа информации о структуре атомных ядер и механизме ядерного взаимодействия.

На защиту выносятся следующие результаты.

2.Полученные свойства линейной цепочки из трех частиц с произвольным парным взаимодействием и применимость критерия

отрицательной гауссовой кривизны для исследованных систем.

3.Обнаруженный в гамильтоновых двумерных системах при некоторых условиях переход регулярность-хаос-регулярность, указывающий на восстановление регулярного характера классического движения при сильном нелинейном взаимодействии.

4.Модификация метода нормальных форм Биркгофа-Густавсона и развитие на этой основе метода квантования многомерных гамильтонианов, а также результаты исследования фазового пространства с помощью приближенных интегралов движения.

5.Результаты исследования эффективности предсказания и применимости полученных на основе развитого метода квантования квазиклассических формул для энергетического спектра 031Г инвариантного гамильтониана.

6. Установленную корреляцию между характером классического движения и статистическими свойствами энергетических спектров С^г и С^гг инвариатных гамильтонианов, которые в хаотической области энергий идентичны статистике

собственных значений случайной матрицы из ГОА. Решающую роль симметрии динамических систем при построении функций распределения расстояний между соседними энергетическими уровнями.

Т.Наличие корреляций между статистическими свойствами волновых функций ( функций распределения коэффициентов разложения волновой функции по базисным состояниям и энтропии как меры степени распределенности волновой функции по базисным состояниям ) и типом классического движения для тех же Сзу и Сцтг инвариантных гамильтонианов.

8.Проведенный расчет и анализ квантовых характеристик гамильтоновых систем в области перехода от регулярного движения к хаотическому. Результаты исследования зависимости энтропии, квантовых чисел и других квантовых величин в этой переходной области. '

10.Предложенный метод решения стационарного уравнения Шредингера в координатном пространстве для двумерных гамильтонианов, у которых поверхность потенциальной энергии имеет несколько локальных минимумов.

Апробация результатов работы и публикации.

Исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены в теоретическом отделе Харьковского физико-технического института. Часть из н