Слабый квантовый хаос в наноструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ
|
Малышев, Александр Игоревич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Нижний Новгород
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Малышев Александр Игоревич
СЛАБЫЙ КВАНТОВЫЙ ХАОС В НАНОСТРУКТУРАХ: ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА
(01.04.07 - физика конденсированного состояния)
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Нижний Новгород. 2006 г.
Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета ГОУ ВПО "Нижегородский государственный университет им. I I.И. Лобачевского"
Научный руководитель
доктор физико-математических наук, профессор Де.миховаши Валерий Яковлевич
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Сергей Петрович
доктор физико-математических наук, профессор Маргулис Виктор Александрович
Ведущая организация
Институт физики микроструктур РАН, г. Нижний Новгород
Защита состоится 13 декабря 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д212.166.01 при, государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского" по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23, корп. 3 (НИФ'ГИ).
С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.
Автореферат разослан «/3 » ноября 2006 г.
Отзывы направлять по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23, корп. 3, физический факультет ННГУ
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, ^у
профессор А.И. Машин
/
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы
Изучение явлений квантового хаоса одна из актуальных проблем теории конденсированного состояний и. в частности, физики микро- и наноструктур. В этой области активно ведутся как теоретические так и экспериментальные исследования. Так. например, необходимо отметить эксперименты с резонаторами различной формы, квантовыми биллиардами и коралнмн, опыты с ультрахолодными атомами в магнито-оптпчеекпх ловушках, атомами водорода в сильном магнитном поле и многими другими системами, так или иначе .демонстрирующими хаотическое поведение (см.. например, книгу Штокмаиа [1]).
Активно развивается и теория квантового хаоса: теория случайных матриц или, например, теория периодических орбит Гутцвиллера стали уже широко известны. Одним из значительных достижений, несомненно, можно считать предсказание явления динамической локализации в системах, возбуждаемых внешним переменным полем. Это явление было впервые исследовано в модели квантового ротатора с ¿-толчками [2], а совсем недавно был сделан расчет динамической локализации о отклике хаотической системы (квантовой точки) на внешнее излучение [3]. Заметим, что и регулярном случае для расчета линейного отклика используется известная формула Кубо. , ,
В классических гамильтоновскнх системах динамический хаос связан с разрушением сепаратрис нелинейных резонансов [4]. В случае слабого хаоса нерегулярная динамика имеет место лишь в узких стохастических слоях, образовавшихся на месте сепаратрис. Слабый хаос в квантовых системах первоначально исследовался, в рамках модели.-гармонического осциллятора с толчками [5, 6]. В частности, в работе [б] был исследован эффект подавления квантовой диффузии внутри стохастической паутины, пронизывающей все фазовое пространство. Слабый квантовый хаос также изучался в работах [7, 8], в вырожденной гамилътоновской системе — заряженная частица, движущаяся в постоянном однородном магнитном поле и поле продольной знуковой монохроматической волны. В этой системе, в частности, изучалась квантовая диффузия и локализация состояний на стохастической паутине.
Одним из ярких проявлений слабого хаоса в классических системах является диффузип Арнольда, теоретически предсказанная в 1904 г. в работе [9]. Суть этого универсального динамического явления заключается и следующем. В, 2Дг-Л1ерном фазовом пространстве резонаисы, определяемые соотношением (т • и?) = О, где £ — это набор частот, а вектор т имеет целочисленные компоненты, образуют (2Л'— 1)-мерные поверхности. В то же' нремн КАМ-иоверхпости являются Л'-мернмми [10]. Для того, чтобы резонансные поверхности не Пыли изолированы друг от друга инвариантными
иипсрхносгнмп. необходимо чтобы их размерности отличались более чем ни слштиу. т.е. должно быть Л" > 2. Таким образом, пересечение стохастических слоен различных резонапсон является общим свойством систем с числом степеней свободы, большим двух. Пересекаясь друг с другом, рсзонансы образуют в фазовом пространстве единую всюду плотную "паутину". Медленно диффундируя вдоль стохастических слоен этой сети, за достаточно долгое прем л система может уйти от споего начального состояния очень далеко.
Впервые диффузия Арнольда наблюдалась в численных экспериментах Чирикопа с сотрудниками [11], а позже подробно, п том числе аналитически. научалась в многих работах (см.. например, обзор [4]). Позднее была замечена связь диффузии Арнольда с задачей динамики трех гравитационно взаимодействующих тел, динамики галактик и движения элементарных частиц в ускорителе (см., например, кн. [12]). а также с задачей о сильно возбужденном атоме водорода. находящемся н скрещенных электрическом н магнитном поляк [13]. Диффузия Ариольда л.т классической частицы, движущейся в трехмерном канале, одна и г раниц которого промодулпро-вана в двух взаимно перпендикулярных направлениях, рассматривалась в монографии ЛихтенОерга и Либермана [10].
В работе [11] было проведено кпазнклассическое квантование модели диффузии Арнольда, называемой моделью стохастической накачки. При рассмотрении системы, состоящей из двух пар елабосвязаниых осцилляторов, которые слабо взаимодействуют друг с другом, авторы показали, что такая квазикласснческая модель полностью эквивалентна задаче о распространении волнового пакета в одномерном случайном потенциале.
Все известные нам исследования диффузии Дрнольда имеют п своей основе се классическую модель. Однако необходимо понять, каково влияние диффузии Арнольда на поведение квантовой системы. Ответ на этот вопрос далеко не тривиален, поскольку ранее предполагалось, что квантовые эффекты могут полностью подавить экспоненциально слабую диффузию даже в квазнклассическом режиме.
С развитием нанотехнологнй и общей миниатюризацией современных устройств актуальной задачей лпляется изучение самых разных эффектов квантового хаоса, которые так или иначе могут проявляться в этих системах. Одним из таких интересных эффектов как раз и является квантовал диффузия Арнольда.
Цели и задачи работы
Цель работы состоит ,в изучении особенностей проявления диффузии Аршин.да в квантовых системах на примере двух моделей с 2.5 степенями свободы. В связи с этим в работе решаются следующие задачи:
1. проводится расчет диффузии Арнольда в соответствующих классических системах для того, чтобы сделан» возможным сравнение пол уча-
емых результатом и классической п квантовой областях:
2. определяется область параметров задачи, в которой может иметь моего квантовая диффузия Арнольда, — такие значения параметром, при которых с одной стороны обеспечивается етохастичиость на резонап-сах. а с другой стороны соседние резонансы дал очи от момента их перекрытия:
3. проводится решение стационарного уравнения Шрёдннгера для состояний, отвечающих резонансу с»паи двух степеней свободы, после чего проводится нх классификация и изучение структуры волновых функций и энергетического спектра:
4. проводится решение нестационарного уравнения Шрёдннгера для различных начальных условий с целыо построения оператора эволюшш системы за один период внешнего поля;
5. находятся собственные функции и собственные значения оператора эволюции — квазиэнергетическне функции н спектр квазизнергнй, изучаются нх свойства с точки зрения проявления в системе слабого квантового хаоса;
6. проводится сравнение диффузии Арнольда в классическом и квантовом случаях, выявляются их сходстра и различия;
7. обсуждается механизм динамической локализации, известной ранее для систем с меньшей размерностью, определяются ее параметры.
Научная новизна диссертации
Данная работа является первым исследованием квантовой диффузии Арнольда — особого типа динамики квантовых систем с числом степеней свободы Аг > 2. Такое исследование проводится впервые с использованием чисто квантового языка. В диссертации проведено рассмотрение двух систем с двумя степенями свободы, помешенных во внешнее поле — двумерной квантовой точки и двумерного канала с гофрированной границей. Согласно общепринятой терминологии в таком случае говорят о 2.5 степени свободы. Лля указанных слоем впервые рассчитан коэффициент квантовой диффузии Арнольда вдоль резонансом связи. Установлено, что в некоторой области параметров характер ею зависимости от интенсивности взаимодействия двух степеней свободы близок к соответствующей классической величине. Выяснено также, что на достаточно больших временах наблюдения квантовал диффузия Арнольда останавливается, что связано с проявлением динамической локализации в системе с Дг = 2.5. в отличие от известной ранее для модели'ротатора с ¿-толчками [2], где «V = 1.5, Отмечено, что в условиях, когда м классический стохастический слой резонанса связи попадает лишь несколько квантовых состояний, квашован
лнфф\'зпя Арнольда подаилнекя. что связано с переходом черен "i раиип\ Шуряка" [lGj.
Практическая значимость
Результаты. 1Ш(1Ж('Ш1!,|с< в данной работе, являются новыми, орпгиналь-1!ммп и важны с точки зрения развития обшей теории квантового хаоса. Их анализ может быть полезен для дальнейших как теоретических, гак и экспериментальных исследований, связанных с поведением мезоскопнчес-кнх систем ио внешних полях.
Основные научные положения, выносимые на защиту
1. Впервые аналитически и численно исследовано универсальное я пленке — квантован диффузия Арнольда - - в двумерных системах, подверженных воздействию внешнего периодического во времени ноля. Результаты развитого подхода могут быть использованы для описании мезоекопическнх систем, находящихся в электромагнитных полях большой амплитуды, т.е. в сильно нелинейных системах.
2. Проведены расчеты для двух мезосконических систем -- двумерной квантовой точки и двумерного канала с гофрированной границей, облучаемых переменным электромагнитным полем. При этом найдены стационарные электронные состояния, построены операторы эволюции систем за период внешнего поля, исследованы квазпэнсргетпчес-кне состояния, а также динамика конкретных начальных условий.
3. В исследованных квазиклассических системах стационарные сосгоп-ния на резопапсах связи имеют следующую структуру. Энергетический спектр представляет собой последовательность групп уровней с внутренней структурой, подобной спектру Матье. Прнсенарэтрпсиые состояния имеют наибольшую дисперсию распределения в базисах не-возмушенных систем.
1. Проведенный анализ распределений электронной плотности для канала с гофрированной границей показал, что состояниям, попавшим в резонанс, можно поставить в соответствие группы классических резонансных траекторий.
5. При анализе временной динамики систем под действием внешнего переменного поля уже на этапе построения оператора эволюции можно отметить более высокую интенсивность переходов между ирисенарат-рнснымн состояниями различных групп уровнен. чем между состояниями. отвечающими центрам рсзонансов. пли слабовозмушснпымп состояниями, не попавшими в резонанс.
fi
С. В двух унизанных выше моделях рассчнчаны коэффициенты квантовой диффузии Арнольда вдоль резонансон связи для широкого набора параметров споем. Показано, что но всех случаи* значения квантового коэффициента диффузии оказываются иаодин-два порядка ниже
, классических результате».
7. Квантовая диффузии Арнольда проявляется и квазпкласснчсской области и в отличии от классической диффузии, имеет порог по амплитуде возмущения. Этот результат напрямую связан с количеством квантовых состояний, попадающих в область классического стохастического слоя. Квантовая диффузия может проявляться, лишь когда эго число много больше елшпшы. Б противном случае квантовые эффекты иолность подавляют диффузионную динамику волновых пакетов.
8. Обнаружен и исследован эффект остановки квантовой диффузии Арнольда через определенный промежуток времени вследствие динамической локализации. Это явление связано с тем. что получаемый в результате расчетов квазиэнергетнческий спектр системы является дискретным, число эффективно занятых в эволюции квазиэнергетн-чеекпх состояний конечно, а также и с тем. что они имеют конечную величину дисперсии распределения по группам стационарных состояний (вдоль резонанса связи). В данном случае динамическая локализация имеет место в системах с числом степеней свободы N = 2.5. в то время как в исследовавшейся ранее модели ротатора с периодическими толчками У = 1.5 [2].
Апробация результатов
По результатам исследований, отраженных в диссертации, опубликовано 13 научных работ. Основные положения и результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
1. Международная конференция "Progress in Nonlinear Science" {H. Новгород, 2 6 июля 2001 г.).
2. Всероссийская Школа "Нелинейные волны - 2002'" (Н. Новгород, 2-0 марта 2002 г.).
3. Международная конференция '■Dynamical Chaos in Classical and . Quantum Physics" (НЯФ им. Г.И. Б\'дкера. Новосибирск, 4-0 августа 2003 г.)
4. Вторая Летняя научная школа ФНП "Династия" (пос. Московский. Моск. обл-гь. 17 21 июли 2005 г.)
5. VI X Нижегородские сессии молодых ученых (Н. Новгород, 2001-2005
п.). ■
Структура диссертации
.'I нссертаипя состоит ил Введения. трех Глав. Заключении. Приложении и списка литературы па об наименований. Объём диссертации составляет 105 сгранин. В диссертации приведено 25 рисунков.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении рассматривается актуальность работы, формулируются её цели н положения, выносимые па защиту. Обсуждаются методы и подходы к репюншо поставленных задач, описывается новизна, практическая значимость н апробации работы.
В первой Главе приводится обзор работ, послуживших отправной точкой к исследованиям, изложенным в диссертации. Так в разделе 1.1 кратко излагается теория классической диффузии Арнольда, перечисляются основные модели, на примере которых она изучалась. В разделе 1.2 подробно рассмотрена система из двух взаимодействующих осцилляторов, на один из которых действует внешнее переменное электрическое поле. В обзор вошли результаты работ Чирикова [4], Лпбермана и Лихтенберга [10] и др. В заключении первой Главы (разд. 1.3) кратко обсуждается физика наноструктур, помещенных во внешнее поле, с точки зрения расчета электромагнитного отклика в условиях слабого хаоса.
Во второй Главе рассматривается динамика электрона в двумерной квантовой точке — квантовом аналоге системы двух взаимодействующих классических осцилляторов, обсуждавшейся ранее в известной работе Чирикова [4]. Соответствующий одноэлектронный гамильтониан имеет вид
Я = + _ {tXy _ foX(vosUxt + cosii2f)- (1)
где ¡t и /о — малые параметры (там, где отдельно это не оговорено, выполняется соотношение /о//' — 0.01).
Заметим, что квантован точка, имеющая форму квадрата, слегка растянутого вдоль одной диагонали, со сглаженными углами и описываемая уравнением хл¡А + ул{А — ft.ty — const, может быть изготовлена, например, методом электронной литографии. Оценки характерных размеров такой точки вместе с другими параметрами приведены в заключении второй главы.
Раздел 2.1 посвящен нахождению стационарных состояний системы дпух взаимодействующих нелинейных осцилляторов (при = 0) с целью изучения структуры квантового резонанса связи. В этом случае волновая функция ищется » виде ряда по функциям невзаимодействующих осцилляторов. Режим резонанса связи соответствует ситуации, когда оба осциллятора находится па одном энергетическом уровне 7/«. а их частоты равны
4 г
-2-1012
ч
Рис. 1: Фрагмент энергетического спектра системы (1) при /о — 0 в единицах Ло^ дли ц = Ю-4 и п0 = -146. Показаны пять групп по 121 уровню в каждой группе.
Фрагмент энергетического спектра системы двух взаимодействующих осцилляторов показан на рис. 1. Он представляет собоИ последовательность отдельных групп уровнеП, каждая из которых подобна спектру Матье [15]: нижние уровни расположены практически эквидистантно, гочка сгущении уровней' соответствует классической сепаратрисе нелинейного резонанса, а уровни, расположенные выше, практически вырождены двукратно,и соответствуют классическим "пролетным" состояниям. Расстояние между соседними группами составляет (Ло — безразмерна» постоянная Планка). В соответствии с такой структурой спектра стационарные состояния на резонансе связи удобно характеризовать с помощью номера группы q и номера уровня внутри каждой группы В этом случае энергетический спектр системы может быть записан н следующем виде:
Лои-тг + Е^, \ (2)
где есть Матье-подобный спектр группы с номером q.
Ла.чес в разделе 2.2 рассматрено поведение системы двух взаимодействующих осцилляторов при условии, что на один из них действует периодическая по времени сила. Начальные условия были выбраны на резонансе связи и посередине между резонансами а>го осциллятора на частотах Яь таким образом, выполнялось равенство и.' — (П| Ч-П'2)/2; 'частоты внешней силы были выбраны соизмеримыми:Я^/Па = 5/С. ■ •
В частности, п. 2.2.1 посвящен построению оператора эволюции снс-
о
томы но внешнем поли, что очень удобно в случае, могла гамильтониан зависит от времени периодически [12]. Важно, что такой подход лает возможность изучать эволюцию состояний на больших временах.
Ллн построения оператора эволюции необходимо решить нестационарное уравнение Шрёдингера для различных начальных условий за одни период поля. Этому поснятен п. 2.2.2. Здесь показано, что в резонансном приближении наиболее важными оказываются переходы между состояниями .■9 н соседних групп уровней. За интенсивность этих переходов отвечают матричные элементы Их анализ показывает, что переходы меж-
ду прнсепаратрнсными состояниями соседних групп имеют качественно иной характер по сравнению с эволюцией начальных условий па центре резонанса связи или вне его.
Интересно, что анализ свойств квазиэнергетическнх функций (п. 2.2.3) — собственных функций оператора эволюции — показывает наличие некоторой доли функций, обладающих большой дисперсией распределения по группам состояний спектра. Именно такие функции обеспечивают квантовую диффузию Арнольда вдоль резонанса связи.
Чтобы характеризовать эволюцию состояний во времени, в п. 2.2.4 рассчитано значение дисперсии энергии (АН)2 = Ь'^А'*, характеризующей протяженность состояния вдоль резонанса связи (по как функции времени измеряемого в числе периодов внешнего поля Д\ Здесь Д^ — дисперсия распределения состояния по группам уровней. На рпс. 2 изображена зависимоегь Д^(ЛГ) для трех различных начальных условий: кривая (1) соответствует начальному условию в центре резонанса связи, (2) — начальному условию на одном из налсепаратрисных состояний, а кривая (3) — начальному условию, выбранному на одном из сепаратрнсных уровней. Ланный график указывает на качественное различие между эволюциями во времени данных начальных условий: для под- и налсепаратрисных состояний величина Д* квазнпериодически осциллирует около некоторого значения, а для состояний на сепаратрисе резонанса связи величина Д^ после некоторого времени начинает' немонотонно, но тем не менее устойчиво, расти. Линейная аппроксимации функции (Д//)2((), указывает на скорость лнффузнн. т.е. на ее коэффициент.
Рассчитанные классический н квантовый коэффициенты диффузии оказываются близки по порядку величины для одних и тех же значений /( (см. рис. 3), однако в квантовом случае эта величина всегда ниже, чем в классическом. Замечено, что квантовал диффузия Арнольда имеет место лишь при условии, что число энергетических стационарных состояний, попадающих и область классического стохастического слоя, достаточно велико; впервые это было отмечено в работе Шурика [16]. Так нами обнаружено, что при /* > 1.2о-10~4 число уровней в сепаратрпсной области порядка пли больше 10, поэтому можно говорить о квантовой стохастнзашнг. А при ,7 = 3* 10"г> уже можно говорить о достижении ''границы Шурика1' —
Ю
д;
18 i
500 N
1000
75
100
1///Z
Рис. 2: Зависимость дисперсии энергии от времени для = 1.25 • 10""* для различных начальных условий: кривая Í — начальное условие в центре резонанса свяли, 2 — па одном M.t надсеиаратрисных состояний, 3 — вблизи квантовой сепаратрисы резонанса связи.
Рис. 3: Значения квантового (прерывистая линия) и классического (сплошная лини«) коэффициентов диффузии Арнольда в зависимости от параметра взаимодействия /i.
области знамений параметров, при нахождении внутри которой классическое хаотическое движение вдоль резонанса связи полностью подавляется квантовыми эффектами.
Дальнейший анализ (и. 2.2,5) показал, что на временах порядка fo л; 10:t7^ диффузионное поведение эволюции прекращается во всей области параметров взаимодействия //. Вместо этого величина Д^ начинает осциллировать вокруг некоторого среднего значения Период этих оснидлнипб ог параметра // зависит немонотонно, изменяясь от 103r до Ю'Х. Таким образом, в системе проявляется динамическая локализация, подобная андерсеновской локализации в случайном потенциале.
Третья Глава посвящена изучению динамики электрона и л нумер-ном канале, ширина которого периодически меняется (ем. рис. 4). помешенном в переменное электрическое поле. Отметим, что структуры подобного типа исследуются и экспериментально (см.. например, [17]), и теоретически: работу [18] посвящена классической динамике и транспорту в таком канале, а в работе [19] изучаются ппзкоэпергетичеекпе квантовые состояния.
Раздел 3.1 посвящен изучению классической диффузии Арнольда в описанном канале. В классическом случае и отсутствие внешнего ноля в периоды между абсолют но упругими соударениями част ива движется прямолинейно, и се динамику удобно изучать с помощью отображении, евн-
Ж Д \ А / ^
Ч Ы \ A-U, \ /' \ i
V 1 V ! V \/ >-1=';<
Рис. 1: Пример траектории частицы d двумерном напало с гофрированной границей.
зываюшпх между собой последовательные значения углов отражения о„. отмеряемых от вертикали, и координат точек отражения от гофрированной границы г„;
j a„+i =в а„ — 2 arctg(o sin хп ),
\x»+i — х» + tga„+1(2íí + a(cosa-„ +cos*„+i)), ;
г де d — ширина канала, а а — амплитуда гофрировки.
Фазовое пространство системы содержит множество резонансов связи двух степеней свободы, которые характеризуются рациональным .соотношением между временем движения поперек канала (туда и обратно) Гу и временем пролета одного периода гофрировки вдоль канала Тх. Для их характеристики используется параметр »/ — Tx¡Ty ==
Мри помещении всей системы во внешнее поле V(y,t) ~ —/oï/(cosnji+ cosOîf) становится возможной диффузия Арнольда вдоль резонансов связи. Для того, чтобы обеспечить стохастичность на сепаратрисах отдельных резонансов и в то же время избежать их перекрытия, полагаем выполненным соотношение а//о = З0~3 1.
В работе проведен расчет коэффициента классической диффузии Aj>-нольда вдоль резонансов связи ?j — 1, r¡ — 1/2 и ?/ — 1/3.
Раздел 3.2 посвящен решению задачи о нахождении квантовых стационарных состояний внутри канала. Для этого удобно перейти к криволинейным координатам х ~'х и у = у/(1 + feosx), где е = a/d. При этом границы канала становятся плоскими, а граничные условия простыми: t>(x.O) = = О. Гамильтониан же приобретает дополнительные слагаемые, зависящие от координат и содержащие операторы дифференцировании [20]. Если амплитуда гофрировки а мала по сравнению с шириной канала tf, в уравнении ШрёлНигера можно оставить лишь слагаемые первого порядка no F, Таким образом, в нашем случае имеем
+ .
Н)
Л & „ - г>а 0- • 1 • ш&\ -:
2 {2СОКХ0? " 2vmnXd^y ~ - 2 COSХ ~ НШХд7)
Здесь и далее опущен значок "тильда" над координатами х п у. а также
безразмерные эффек Iивная .масса и постоянная Планка положены равными елннпне.
В отсутствие возмущения (f = 0) энергетический спектр системы имеет нпл = ((» + к)2 + тг5»»2/^-) /2. где —сс < и < ос. гп =
1.....ос. а А- ■-■- квазиволновой вектор. изменяющийся в пределах первой
зоны Бриллю.-ша —1/2 < А* < 1/2. Волновал функция при этом
Рассмотрим резонанс связи I/ — 1. определяемый условием ~ В квазнклассической области можно принять «:„0 яа пп и а-'„1о яа 1Г2ти/<Р. Аналогичное резонансное условие выполняется также и для отрицательных яо- когда —п0 яй 7г2»яо/с/2, что соответствует движению частицы в противоположном направлении. Поскольку предполагается |п{ I, тунне-лироваинем с резонанса с « > 0 на парный ему с к < 0 можно пренебречь, что позволяет рассмат ривать их отдельно друг от друга.
Для положительного значения т?о п —1/2 < к < 1/2 (но к ф 0) найдено, что спект р состоит из последовательности групп уровней с Мат ье-подобной структурой. Эт и группы отделены одна от другой на В целом, свойства спектра такие же,-что и в системе двух связанных осцилляторов (см. рис. 1 и комментарий к нему), однако уровни, расположенные над точкой сгущения в каждой группе, иевырождены даже при нулевой гофрировке.
Состояния с к = 0 и к = ±1/2 не имеют классического аналога, поскольку здесь определяющую роль играет Прзгговское взаимодействие поли, бегущих в противоположных направлениях, В самом деле, в центре и на краях зоны Бриллюэна, где групповая скорость запуляется ОЕ/Ок = 0. ряд Фурье для елоховской функции Фк(■'',.(/) — (^„^„л^ })) содержит слагаемые с положительными и отрицательными п в равной мерс. В результате функция г* (•>'■?./) является либо четной, либо нечетной стоячей волной. В связи с этим спектр системы в этих точках состоит из двух серий групп уровней с Матье-подобноЙ структурой, причем каждая серия уровней характеризуется определенной четностью. При к — 0 надсепарат-рисные состояния практически вырождены двукратно, что отличает эту точку зоны Бриллюэна от всех остальных.
В соответствии с такой структурой спектра каждое состояние вновь характеризуем.двумя индексами — номером группы и номером состояния внутри группы я: ЕЧК(к) — л1>и{к)ц + Е^(к), где СС1Ь Матье-иодибиыЙ спектр группы уровней.
Волновые функции, отвечающие резонансным состояниям, имеют очень интересную и сложную структуру. Для того, чтобы сделать ее более наглядной, в диссертации построены распределения вероятностей для собственных векторов гамильтониана (-1) с различными а- и <} — 0 по пе-возмушениому базису (о), а также распределении плотности вероятное-111 !<■ ■'''•.'/} Г" длл 1Ч'Х жо состояний в (г,/^-пространстве. Замечено, что
crenel и. лолошпзамми состояний в ненозмушенпом базисе возрастает с приближением к сепаратрисе резонанса. В частности. присенарастрисиое состояние имеет наиболее широкое распределение. Именно присопаратрне-ные состояния, как наиболее делокализованные в исходном базисе, обеспечивают наличие в системе слабого хаоса и. в частности, диффузию Арнольда.
Анализ распределения плотности вероятности в (.г,^-пространстве позволяет каждому состоянию внутри резонанса поставить в соответствие группу классических траекторий, начальные условия для которых располагаются на замкнутых кривых, огибающих центр резонанса в фазовом пространстве. Структура распределения плотности вероятности для состояния. взятого из присепаратрнсной области, также напоминает классическую неустойчивую траекторию. Распределения плотности вероятности для пары надсепаратрисиых состояний практически однородны, что лишь подчеркивает тот факт, что данные состояния являются слабовозмущенными. Анализ показал, что те же самые замечания справедливы и для резонансов ц — 1/2 и ц — 1/3.
На 'этапе изучения временной динамики состояний (разд. 3.3) в первую очередь строится оператор эволюции; анализ его структуры указывает на большую интенсивность переходов между присепаратрисными состояниями соседних групп уровней, чем между другими состояниями.
Далее в диссертации рассчитывается коэффициент квантовой диффузии Арнольда D\q для резонанса »7=1. Рассчитать такие коэффициенты для резонансов tj — 1/2 и ;/ — 1/3 оказалось невозможным, ввиду отсутствия самой диффузии. Оба эти резонанса несколько уже, чем т/ = 1, что и квантовом случае приводит к тому, что в резонанс вовлечено всего несколько состояний, отчего число состояний, попадающих в стохастический слой, при наибольшей допустимой амплитуде гофрировки оказывается порядка одного-двух. При большей амплитуде происходит перекрытие этих резонансов с резонансамн на частотах Qt и Q-2. Таким образом, мы сразу оказываемся на границе Шуряка [1С], следовательно, при текущей геометрии канала режим слабого хаоса на данных резонансах практически недостижим: регулярный режим сменяется на полный хаос в крайне узком интервале параметров модели.
Также, как и в модели двух взаимодействующих осцилляторов, величина коэффициента квантовой диффузии D\q оказывается на полтора-два порядка ниже классического результата. Необходимо отметить также, что зависимости D\4 и D\ от величины гофрировки в области 10 < 1 /< 20 практически линейны и имеют одинаковый наклон. При l/s/o < 10 расчет коэффициента квантовой диффузии был крайне затруднен необходимостью учета громадного числа состояний (в виду большой ширины всех рассматриваемых резонансов н близости границы их перекрытия). При 1 j\/а > 20 участок линейного роста дисперсии Л^ отсутствовал. Последнее обстоятельство, очевидно, опять-таки связано с достижением гра-
м
ницм Шурика — и стохастическим слое резонанса оказывается слишком мало квантовых состояний.
В заключении третьей Главы (разд. 3.4) приведены возможные параметры реальной полуметаллнческой структуры, па примере которой возможно экспериментальное наблюдение квантовой диффузии Арнольда и динамической локализации н электромагнитном отклике. Гак. если взять канал шириной (I = 1 мкм с периодом гофрировки 1 — 2 мкм. го безразмерная величина а — 0.01 будет от печать амплитуде гофрировки порядка 3.2 им. т.е. в несколько моноагомных слоев. Соответственно дли эффективной массы электрона т ~ 0.1шг уровень 7*(| — 400 имеет энергию Е,,,, ~ 0.61 эВ. а частота перехода между ближайшими уровнями есть и,'„„/27г ~ 7-10 ГГц. В этих единицах период внешнего ноля равняется 1.1 х 10~п с, а безразмерная амплитуда возмущения /о = 10 соответствует напряженности электрического ноля Е ~ 0.24 В/см. Заметим, что для таких параметров время остановки пнффузии, равное приблизительно 200 периодам внешнего поля, имеет порядок 2.2 не. Очевидно, для наблю дения эффекта время жизни электрона должно быть на порядок больше. Последнее условие можно удовлетворить в полиметаллических структурах типа ГН или ЭЬ, где при температуре — 1 К длина свободного пробега составляет порядка 1 мм, а время жизни около 10 не.
В Заключении сформулированы выводы, сделанные по результатам работы:
1. На примере двух двумерных систем, подверженных воздействию внешнего периодического во времени ноля — квантовой точки и канала с гофрированной границей — впервые исследовано универсальное динамическое явление —■ квантовая диффузия Арнольда.
2. Ллн указанных систем найдены стационарные электронные состояния, построены операторы эволюции систем за период внешнего поля. исследованы квазиэиергетические состояния, а также динамика конкретных начальных условий. Результаты развитого подхода могут быть использованы для описания мезосконических систем, находящихся в электромагнитных полях большой интенсивности, 1.е. в сильно нелинейных системах.
3. Найденные стационарные состояния па резонапенх связи в обеих системах имеют следующую структуру. Энергетический спектр представляет собой последовательность групп уровней с внутренней структурой, подобной спектру Матье. Прнсепаратрнсные состояния имеют наибольшую дисперсию распределения в базисах невозмущеп-ных систем.
4. Распределения плотности вероятности состояний, попавших в резонанс. для канала с гофрированной границей имеют структуру, иолво-
лмкчиую поставить им нинигшит1 группы классических резонанс-iiwx траекторий.
На этапе расчета временной динамики систем под дейст пнем внешнею переменного поля анализ матричных элементов оператора эволюции указывает на более высокую интенсивность переходов междч присе-паратрисиымп состояниями различных групп уровней, нежели между состояниями, отвечающими центрам резонансов, или слабовозмушен-ными состояниями, не попавшими в резонанс.
G. Для обеих изучаемых моделей рассчитаны коэффициенты квантовой диффузии Арнольда вдоль резонансов связи. Показано, что в некотором диапазоне параметров двух систем зависимость коэффициентов квантовой и классической диффузии от параметра, отвечающею за интенсивность взаимодействия двух степеней свободы...носит сходный характер, при этом по всех случаях значения квантового коэффициента диффузии оказываются на одии-два порядка .ниже классических результатов. .- : ,
7. Подтверждено, что в отличии от классической диффузии квантовая диффузия Арнольда имеет порог по амплитуде возмущения, т.к. проявляется лишь в квазиклассическом режиме. Этот факт связан с количеством квантовых состояний, попадающих в область классического стохастического слоя. Квантовая диффузия может проявляться, лишь когда это число много больше единицы. В противном случае квантовые эффекты полность подавляют диффузионную динамику.
8. Обнаружено также, что квантовая диффузия Арнольда вследствие динамической локализации через определенный промежуток времени останавливается. Явление остановки диффузионного роста дисперсии объясняется тем, что получаемый в результате расчетов квазнэнер-гетнческий спектр системы является дискретным, число эффективно занятых в эволюции квазнэнергетическнх состояний конечно, а также и с тем, что они имеют конечную величину дисперсии распределения по группам стационарных состояний (вдоль резонанса связи). Важно, что в данном случае динамическая локализация проявляется в системах с числом степеней свободы Л" = 2.3, в то время как в случае ротатора с периодическими толчками N ~ 1.5.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1] Ш ктмам Х.-Ю.. /й.антоьыя хаос: Ныдатс, М., Фмзматлит, 2001.
(2j Casati (J,, ('hinkov 13. V.. Izra.ilev F.M., ami Ford J., Stochastic lnhavior of n цтпЛмт jfoutnlum undtr a periodic perturbation, Ler.l. Notes Pliys.. 93 // Ivi. by (!. .). l ord — Merlin: Springer-VW1 ад. |<)7i), |>. 33-1.
Il>
j.'î] Uns ko D.M.. Skvtirt suv M. Л. ami Кга\1м>\ Dynamic Locali:atien> in Quantum
J hit*? .-I naUjtica! 'ilnortf. Pii\V. Hev. Letl.. 90. O'M.NO] (2U03).
[t] ( hirikov MA',, .1 ( '»ii'O'sd/ In^labilily of Many Dun < nsmnal Oscillai or .S'y,ч/г w, !1 i ) у >, Hep.. 52. (19710-
[Щ Herman V.Yu.. Rnbaev Л.Л.. Zasbvsky (Î.M., Th< prohh m of quantum chaof, m a liektd htinnot'ic oscillator. Nonlinearily. 4. ~>13-'>№ ( 1991 К
[(»] Dana I., Quantum suppression of diffusion on stochastic ireb, Phvs. Rev. Left., 7JÏ. !609-1612 (1991).
[7] Demikliovskn Y'.Ya.. Kamenrv D.L and Luna-Acosta fJ,A.. Quantum так <7»<;«> in a thçtixrait sf/.4/(j», Phys. Rev. E. 59. 291 (1999).
[is] Demikhovskii Y.Ya., Kameiiev I),L. Localization of quant и m slates ut thr cyclotron resonance, Pliys. Lett. A, 228. 391 (1997).
[9] Арнольд В.П.. О неустойчивости динамических систем со многими стегиннмч сы>-Соды, ДАН ССС:Р, 156. 9 (19fi4).
[10] Лих гепберг А., ЛмЛерман М.. Регцяярпин и стохастическая динамика, М., Мир, 1 OS 1.
[11] Cîadivak G.V.. Izrailev F.M., f'liirikov B.V., Proc. 7lh Jul, conf, on nonlinear oscillation*, Hcrllu, II-l. 313 (197.ri).
[12] Rciihl L.E., The Transi/ion to Chaos, Hpnnger-YeiTag. New-York. 1902.
[13] Milrzewski J. von, Diercksen G.H.F., l'zer T., Computation of the Arvol'd liVi for th< Hydrogen Atom in Crossed Electric and Magnetic Field.*, Pins. Rev. Lett., 76, 2.S9Q (1996).
[11] Lei tuer D.M., Wolynes P.O., Quantization of the Stochastic Pump Model of Arnold Diffusion, Phys. Rev. Lett., 79, 55 (1997).
[15] Я Mise С., Эмдс Ф., Леш Ф„ Специальные функции. М., Паука, 1968.
[10] Шуряк Э.В.. Нс.итсЛныП резонанс в ньаитмъи системах* ЖЭТФ, 71. 2039 ; 1976),
[17] Kouwetihoven 1,1*. it ai. 'Transport through о finit< onr-dunt nsional crystal, Plivs. Rev-Lett.. 05, 361 (1990),
[ISj Lnna-Acosla G.A.. Na K., Rt»irld L.B. ami Krokhin A.A.. Hand structure and qininttim Poincart Giclions of « classic« Il y chaotic qi tanttnn rippled channel, Phys. Rev. i'„ 53, 3271 (1996).
[19] Lnna-ArwI-a CI.A., Krokhiti А.А., Rodrip;»te:ï M,A., Heniattdez-Tejcda P.H., Cla^-hal chaos and ballistic transport in a metatropic chanml. Phys. Rev. IL 54, 1MÎ0 (1996).
t—Oj ЛемпхопскмП В.Л.. Потапенко (МО., С .aniiiiiii A.M.. ich'mpontiyi} спектр ь системах с периодически модцлироьашюП пе>е>сртностш, ФТГ1, 17. 213 ( 1983).
СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. l)i-!itiklio\'»kit V.Ya.. Izrailcv F.M. ami MalvMiev Л.I.. Mauiff ¿lotion of Л mot V Diffusion n, Quantum Sysh Phys. Ho v. Lett.. 88. IVIKII (2002); arXSv: quant-ph/OHm^.
2. Dciiiikliuvskn \',Yii.. lzrail<jv F.M. and Malyslicv Л,),, Quantum ,1 nxd'd diffwiot> hi « »implt voulitnar .ч/лч/гш. Phys. Rev. F.. «6. 03621! ('2002): arXiv: tiua»t-pli/020~itJ02.
3. Дом hxs met; lift Ю!.. .Малышев Л.П.. Иьантоьая диффузия Арнольда б нанял- с /офриро-оанноя spa ничей <> присутстоии переменного плектр ическо^о ноля, Известил ву;юн. Нрпкляднан нелинейна« динамика, т. 12. вып. 5. стр. .4. 2001.
-1. Demikhovskii V.Ya.. Iziailev F.M. aiul Malyshev А.1.. Quantum Atnol'd diffusion in « ripphd travrguidi. Phys, Lett. A, vol. 352, p. 491 (20001); arXiv; quant-pii/0-5072.rj 1.
5. Deinikliovskii \r.Ya.. Izrailpv F.M. and Maly.shev A.I.. Sonlimar dectron dynamics in « rippled chaunrl u.*ilh linx-dt prudent eltctric field: Quantum A mol d diffusion, (направлено n Pbysira E); aiXiv: cotjd-inat/0()10390.
f>. Шандор Д.С., Малышев А.П., Распространение jyna с мни а « двумерном жфрираьан* ном нал поводе. Стр\кт\ра и свойства твердых тел. с. 75: Изд-во ИНГУ. И.Новгород. 2003.
7. Denrildiovskit V.Ya.. Izrailcv F.M. and Malyshev A.].. Quantum Amot'd diffusion* Prof, of the Int. Conf. ''Progress in Nonlinear Science", vol. II, p. iiSl, 2002.
8. ДемиховсшШ В.П.. Малыше» А.И., Диффузия Арнольда в классическом и ъъашпоьом пределах, VI Нижегородская Сессия молодых ученых, тезисы докладов; И.Hum «род, 2001, стр. 23.
9. Oernikhovskij V.Ya., Iztailev F.M. ami Malyshev Л.1., Quantum Arnol'd diffusion. Int. Cotif. "Progress in Nonlinear Science": Abstracts, 2001. p. 128.
10. Малышев Л.П., Особенности диффузии Арнольда б квантовых системах, VII Нижегородская Сессия молоды к ученых, тезисы докладов: Н.Новгород, 2002. сгр. -18.
11. Малышев Л.П., Диффузия Арнольда 6 простой динамической системе, VIII Нижегородская Сессия молодых ученых, тезисы докладов: Н.Новгород. 2003, с. S3.
12. Малышев А.И., К нон том)я диффузия Арнольда е канале с гофрированной границей. IX Нижегородская Сессия молодых ученых, тезисы докладов: П.Новгород. 2001. стр. 28.
13. Малышев Л.П.. /Сьантовая диффузия Арнольда в канале перемен nail толщины, X Нижегородская Сессия молодых ученых, тезисы докладов: И.Новгород. 2005. стр. 31.
is
Малышев Александр Игоревич
СЛАБЫЙ КВАНТОВЫЙ ХАОС В НАНОСТРУКТУРАХ: ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА
(01.04.07 — физика конденсированного состояния)
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Подписано в печать 07.11.2006 г. Формат 60x84^
Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1 Заказ №1368. Тираж 100 экз.
Отпечатано в типографии Нижегородского гуманитарного центра 603122, Н.Новгород, ул. Ванеева, 203. Лицензия ИД №00023 от 14 августа 1999 г.
Введение
1 Классическая диффузия Арнольда
1.1 Классическая диффузия Арнольда.
1.2 Модель двух связанных осцилляторов.
1.-3 Наноструктуры в электромагнитном поле.
2 Динамика электрона в квантовых точках в переменном электрическом поле
2.1 Квантовый резонанс связи в модели взаимодействующих осцилляторов
2.2 Эволюция состояний во внешнем переменном поле .
2.2.1 Оператор эволюции
2.2.2 Резонансное приближение.
2.2.3 Структура квазиэнергетических функций
2.2.4 Эволюция квантовых состояний.
2.2.5 Динамическая локализация.
2.3 Краткие итоги Главы 2.
3 Квантовая диффузия Арнольда в двумерном канале с гофрированной границей
3.1 Классическая диффузия Арнольда в двумерном канале с гофрированной границей.
3.2 Квантовые стационарные состояния на резонансе связи
3.3 Эволюция квантовых состояний.
3.4 Краткие итоги Главы 3.
Актуальность работы
Изучение явлений квантового хаоса — одна из актуальных проблем теории конденсированного состояния и, в частности, физики микро-и наноструктур. В этой области активно ведутся как теоретические так и экспериментальные исследования. Так, например, необходимо отметить эксперименты с резонаторами различной формы, квантовыми биллиардами и коралями, опыты с ультрахолодными атомами в магнито-оптических ловушках, атомами водорода в сильном магнитном поле и многими другими системами, так или иначе демонстрирующими хаотическое поведение (см., например, книгу Штокмана [1]).
Активно развивается и теория квантового хаоса: теория случайных матриц или, например, теория периодических орбит Гутцвилле-ра стали уже широко известны. Одним из значительных достижений, несомненно, можно считать предсказание явления динамической локализации в системах, возбуждаемых внешним переменным полем. Это явление было впервые исследовано в модели квантового ротатора с 8-толчками [2, 3], а совсем недавно был сделан расчет динамической локализации в отклике хаотической системы (квантовой точки) на внешнее излучение [4]. Заметим, что в регулярном случае для расчета линейного отклика используется известная формула Кубо.
В классических гамильтоновских системах динамический хаос связан с разрушением сепаратрис нелинейных резонансов [5]. В случае слабого хаоса нерегулярная динамика имеет место лишь в узких стохастических слоях, образовавшихся на месте сепаратрис. Слабый хаос в квантовых системах первоначально исследовался в рамках модели гармонического осциллятора с толчками [6, 7]. В частности, в работе [7] был исследован эффект подавления квантовой диффузии внутри стохастической паутины, пронизывающей все фазовое пространство. Квантовый хаос внутри такой паутины также интенсивно изучался в рамках обобщенной модели Харпера с толчками [8, 9]. Слабый квантовый хаос также изучался в работах [10, 11], в вырожденной гамиль-тоновской системе — заряженная частица, движущаяся в постоянном однородном магнитном поле и поле продольной звуковой монохроматической волны. В этой системе, в частности, изучалась квантовая диффузия и локализация состояний на стохастической паутине.
Одним из ярких проявлений слабого хаоса в классических системах является диффузия Арнольда, теоретически предсказанная в 1964 г. в работе [12]. Впервые это явление наблюдалось в численных экспериментах Чирикова с сотрудниками [13], а позже подробно, в том числе аналитически, изучалось в работах [5, 14, 15]. Позднее была замечена связь диффузии Арнольда с задачей динамики трех гравитационно взаимодействующих тел [16, 17], динамики галактик [18] и движения элементарных частиц в ускорителе [19], а также с задачей о сильно возбужденном атоме водорода, находящемся в скрещенных электрическом и магнитном полях [20]. Диффузия Арнольда для классической частицы, движущейся в трехмерном канале, одна и границ которого промо-дулирована в двух взаимно перпендикулярных направлениях, рассматривалась в монографии Лихтенберга и Либермана [21].
В работе [22] было проведено квазиклассическое квантование модели диффузии Арнольда, называемой моделью стохастической накачки. При рассмотрении системы, состоящей из двух пар слабосвязанных осцилляторов, которые слабо взаимодействуют друг с другом, авторы показали, что такая квазиклассическая модель полностью эквивалентна задаче о распространении волнового пакета в одномерном случайном потенциале.
Все известные нам исследования диффузии Арнольда имеют в своей основе ее классическую модель. Однако необходимо понять, каково влияние диффузии Арнольда на поведение квантовой системы. Ответ на этот вопрос далеко не тривиален, поскольку ранее предполагалось, что квантовые эффекты могут полностью подавить экспоненциально слабую диффузию даже в квазиклассическом режиме.
С развитием нанотехнологий и общей миниатюризацией современных устройств актуальной задачей является изучение самых разных эффектов квантового хаоса, которые так или иначе могут проявляться в этих системах. Одним из таких интересных эффектов как раз и является квантовая диффузия Арнольда.
Цели и задачи работы
Цель работы состоит в изучении особенностей проявления диффузии Арнольда в квантовых системах на примере двух моделей с 2.5 степенями свободы. В связи с этим в работе решаются следующие задачи:
1. проводится расчет диффузии Арнольда в соответствующих классических системах для того, чтобы сделать возможным сравнение получаемых результатов в классической и квантовой областях;
2. определяется область параметров задачи, в которой может иметь место квантовая диффузия Арнольда, — такие значения параметров, при которых с одной стороны обеспечивается стохастичность на резонансах, а с другой стороны соседние резонансы далеки от момента их перекрытия;
3. проводится решение стационарного уравнения Шрёдингера для состояний, отвечающих резонансу связи двух степеней свободы, после чего проводится их классификация и изучение структуры волновых функций и энергетического спектра;
4. проводится решение нестационарного уравнения Шрёдингера для различных начальных условий с целью построения оператора эволюции системы за один период внешнего поля;
5. находятся собственные функции и собственные значения оператора эволюции — квазиэнергетические функции и спектр квазиэнергий, изучаются их свойства с точки зрения проявления в системе слабого квантового хаоса;
6. проводится сравнение диффузии Арнольда в классическом и квантовом случаях, выявляются их сходства и различия;
7. обсуждается механизм динамической локализации, известной ранее для систем с меньшей размерностью, определяются ее параметры.
Научная новизна диссертации
Данная работа является первым исследованием квантовой диффузии Арнольда — особого типа динамики квантовых систем с числом степеней свободы N > 2. Такое исследование проводится впервые с использованием чисто квантового языка. В диссертации проведено рассмотрение двух систем с двумя степенями свободы, помещенных во внешнее поле — двумерной квантовой точки и двумерного канала с гофрированной границей. Согласно общепринятой терминологии в таком случае говорят о 2.5 степени свободы. Для указанных систем впервые рассчитан коэффициент квантовой диффузии Арнольда вдоль резонансов связи. Установлено, что в некоторой области параметров характер его зависимости от интенсивности взаимодействия двух степеней свободы близок к соответствующей классической величине. Выяснено также, что на достаточно больших временах наблюдения квантовая диффузия Арнольда останавливается, что связано с проявлением динамической локализации в системе с N = 2.5, в отличие от известной ранее для модели ротатора с 5-толчками [2], где N = 1.5. Отмечено, что в условиях, когда в классический стохастический слой резонанса связи попадает лишь несколько квантовых состояний, квантовая диффузия Арнольда подавляется, что связано с переходом через "границу Шуряка" [23]. Практическая значимость
Результаты, изложенные в данной работе, являются новыми, оригинальными и важны с точки зрения развития общей теории квантового хаоса. Их анализ может быть полезен для дальнейших как теоретических, так и экспериментальных исследований, связанных с поведением мезоскопических систем во внешних полях.
Основные научные положения, выносимые на защиту
1. Впервые аналитически и численно исследовано универсальное явление — квантовая диффузия Арнольда — в двумерных системах, подверженных воздействию внешнего периодического во времени поля. Результаты развитого подхода могут быть использованы для описания мезоскопических систем, находящихся в электромагнитных полях большой амплитуды, т.е. в сильно нелинейных системах.
2. Проведены расчеты для двух мезоскопических систем — двумерной квантовой точки и двумерного канала с гофрированной границей, облучаемых переменным электромагнитным полем. При этом найдены стационарные электронные состояния, построены операторы эволюции систем за период внешнего поля, исследованы квазиэнергетические состояния, а также динамика конкретных начальных условий.
3. В исследованных квазиклассических системах стационарные состояния на резонансах связи имеют следующую структуру. Энергетический спектр представляет собой последовательность групп уровней с внутренней структурой, подобной спектру Матье. При-сепаратрисные состояния имеют наибольшую дисперсию распределения в базисах невозмущенных систем.
4. Проведенный анализ распределений электронной плотности для канала с гофрированной границей показал, что состояниям, попавшим в резонанс, можно поставить в соответствие группы классических резонансных траекторий.
5. При анализе временной динамики систем под действием внешнего переменного поля уже на этапе построения оператора эволюции можно отметить более высокую интенсивность переходов между присепаратрисными состояниями различных групп уровней, чем между состояниями, отвечающими центрам резонансов, или слабовозмущенными состояниями, не попавшими в резонанс.
6. В двух указанных выше моделях рассчитаны коэффициенты квантовой диффузии Арнольда вдоль резонансов связи для широкого набора параметров систем. Показано, что во всех случаях значения квантового коэффициента диффузии оказываются на один-два порядка ниже классических результатов.
7. Квантовая диффузия Арнольда проявляется в квазиклассической области и в отличии от классической диффузии, имеет порог по амплитуде возмущения. Этот результат напрямую связан с количеством квантовых состояний, попадающих в область классического стохастического слоя. Квантовая диффузия может проявляться, лишь когда это число много больше единицы. В противном случае квантовые эффекты полность подавляют диффузионную динамику волновых пакетов.
8. Обнаружен и исследован эффект остановки квантовой диффузии Арнольда через определенный промежуток времени вследствие динамической локализации. Это явление связано с тем, что получаемый в результате расчетов квазиэнергетический спектр системы является дискретным, число эффективно занятых в эволюции квазиэнергетических состояний конечно, а также и с тем, что они имеют конечную величину дисперсии распределения по группам стационарных состояний (вдоль резонанса связи). В данном случае динамическая локализация имеет место в системах с числом степеней свободы N = 2.5, в то время как в исследовавшейся ранее модели ротатора с периодическими толчками N — 1.5 [2].
Апробация результатов
По результатам исследований, отраженных в диссертации, опубликовано 13 научных работ, из них 5 журнальных статей [24]-[28], 1 статья в сборнике [29], а также 7 работ в сборниках трудов и тезисов конференций [30]-[36]. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
1. Международная конференция "Progress in Nonlinear Science" (H. Новгород, 2-6 июля 2001 г.).
2. Всероссийская Школа "Нелинейные волны - 2002" (Н. Новгород, 2-9 марта 2002 г.).
3. Международная конференция "Dynamical Chaos in Classical and Quantum Physics" (ИЯФ им. Г.И. Будкера, Новосибирск, 4-9 августа 2003 г.)
4. Вторая Летняя научная школа ФНП "Династия" (пос. Московский, Моск. обл-ть, 17-21 июля 2005 г.)
5. VI-X Нижегородские сессии молодых ученых (Н. Новгород, 2001— 2005 гг.).
Краткое содержание работы
Диссертация состоит из Введения, трёх Глав, Заключения, Приложения и списка литературы из 56 наименований. Объём диссертации составляет 105 страниц. В диссертации приведено 25 рисунков.
Заключение
Сформулируем окончательные итоги настоящей работы.
1. На примере двух двумерных систем, подверженных воздействию внешнего периодического во времени поля — квантовой точки и канала с гофрированной границей — впервые исследовано универсальное динамическое явление — квантовая диффузия Арнольда.
2. Для указанных систем найдены стационарные электронные состояния, построены операторы эволюции систем за период внешнего поля, исследованы квазиэнергетические состояния, а также динамика конкретных начальных условий. Результаты развитого подхода могут быть использованы для описания мезоскопических систем, находящихся в электромагнитных полях большой интенсивности, т.е. в сильно нелинейных системах.
3. Найденные стационарные состояния на резонансах связи в обеих системах имеют следующую структуру. Энергетический спектр представляет собой последовательность групп уровней с внутренней структурой, подобной спектру Матье. Присепаратрисные состояния имеют наибольшую дисперсию распределения в базисах невозмущенных систем.
4. Распределения плотности вероятности состояний, попавших в резонанс, для канала с гофрированной границей имеют структуру, позволяющую поставить им в соответствие группы классических резонансных траекторий.
5. На этапе расчета временной динамики систем под действием внешнего переменного поля анализ матричных элементов оператора эволюции указывает на более высокую интенсивность переходов между присепаратрисными состояниями различных групп уровней, нежели между состояниями, отвечающими центрам резонансов, или слабовозмущенными состояниями, не попавшими в резонанс.
6. Для обеих изучаемых моделей рассчитаны коэффициенты квантовой диффузии Арнольда вдоль резонансов связи. Показано, что в некотором диапазоне параметров двух систем зависимость коэффициентов квантовой и классической диффузии от параметра, отвечающего за интенсивность взаимодействия двух степеней свободы, носит сходный характер, при этом во всех случаях значения квантового коэффициента диффузии оказываются на один-два порядка ниже классических результатов.
7. Подтверждено, что в отличии от классической диффузии квантовая диффузия Арнольда имеет порог по амплитуде возмущения, т.к. проявляется лишь в квазиклассическом режиме. Этот факт связан с количеством квантовых состояний, попадающих в область классического стохастического слоя. Квантовая диффузия может проявляться, лишь когда это число много больше единицы. В противном случае квантовые эффекты полность подавляют диффузионную динамику.
8. Обнаружено также, что квантовая диффузия Арнольда вследствие динамической локализации через определенный промежуток времени останавливается. Явление остановки диффузионного роста дисперсии объясняется тем, что получаемый в результате расчетов квазиэнергетический спектр системы является дискретным, число эффективно занятых в эволюции квазиэнергетических состояний конечно, а также и с тем, что они имеют конечную величину дисперсии распределения по группам стационарных состояний (вдоль резонанса связи). Важно, что в данном случае динамическая локализация проявляется в системах с числом степеней свободы N = 2.5, в то время как в случае ротатора с периодическими толчками N = 1.5.
Классическая диффузия Арнольда проявляется как на масштабах Солнечной системы так и в микромире, например, в ускорителях на встречных пучках. Квантовая диффузия Арнольда, по-видимому, также может проявляться во многих многомерных системах, таких как, например, многоатомные молекулы или квантовые биллиарды. Сравнение результатов, полученных для двух различных квантовых систем, свидетельствует об универсальном характере явления квантовой диффузии Арнольда: в том и в другом случаях обнаружены общие черты динамики такие, как насыщение (остановка) диффузии на больших временах, связанное с динамической локализацией, наличие порога по амплитуде переменного поля и т.д. Современные технологии вполне позволяют изготавливать структуры, подобные описанной в заключительных разделах второй и третьей Глав. Этот факт позволяет надеяться, что экспериментальное наблюдение квантовой диффузии Арнольда — лишь вопрос времени.
Автор выражает глубокую благодарность своему соавтору профессору Ф.М. Израйлеву за полезные обсуждения и ценные замечания при подготовке общих статей, а также своему научному руководителю профессору В.Я. Демиховскому за его неоценимую поддержку на всех этапах подготовки настоящей работы и критические замечания, способствовавшие появлению этой рукописи.
1. ИГгокман Х.-Ю., Квантовый хаос: Введение, М., Физматлит, 2004.
2. Casati G., Chirikov B.V., Izrailev F.M., and Ford J., Stochastic behavior of a quantum pendulum under a periodic perturbation, Lect. Notes Phys., 93 // Ed. by G. Casati, J. Ford — Berlin: Springer-Verlag, 1979, p. 334.
3. Chirikov B.V., Izrailev F.M., and Shepelyansky D.L., Dynamical stochasticity in classical and quantum, mechanics, Sov. Sci. Rev., 2C, 209 (1981).
4. Basko D.M., Skvortsov M.A. and Kravtsov V.E., Dynamic Localization in Quantum Dots: Analytical Theory, Phys. Rev. Lett., 90, 096801 (2003).
5. Chirikov B.V., A Universal Instability of Many Dimensional Oscillator Systems, Phys. Rep., 52, 263 (1979).
6. Berman V.Yu., Rubaev A.A., Zaslavsky G.M., The problem of quantum chaos in a kicked harmonic oscillator, Nonlinearity, 4, 543566 (1991).
7. Dana I., Quantum suppression of diffusion on stochastic web, Phys. Rev. Lett., 73, 1609-1612 (1994).
8. Lima R., Shepelyansky D., Fast derealization in a model of kicked rotator, Phys. Rev. Lett., 67, 1377-1380 (1991).
9. Geisel Т., Ketzmerick R., Petschel G., Metamorphosis of a cantor spectrum due to classical chaos, Phys. Rev. Lett., 67, 3635-3638 (1991).
10. Demikhovskii V.Ya., Kamenev D.I. and Luna-Acosta G.A., Quantum weak chaos in a degenerate system, Phys. Rev. E, 59, 294 (1999).
11. Demikhovskii V.Ya., Kamenev D.I., Localization of quantum states at the cyclotron resonance, Phys. Lett. A, 228, 391 (1997).
12. Арнольд В.И., О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы, ДАН СССР, 156, 9 (1964).
13. Gadiyak G.V., Izrailev F.M., Chirikov B.V., Proc. 7th Int. conf. on nonlinear oscillations, Berlin, II-1, 315 (1975).
14. Chirikov B.V., Ford J. and Vivaldi F., Nonlinear Dynamics and the Beam,-Beam Interaction // Ed. by M. Month and J.C. Herrera, A.I.P. Conf. Proc., 57, 323 (1979).
15. Tennyson J.L., Lieberman M.A., Lichtenberg A.J., A.LP. Conf. Proc., 57, 272 (1975).
16. Ferraz-Mello S., Sessin W., Resonances in the Motion of Planets, Satellites and Asteroids, Sao Paolo: Brazil, 1985.
17. Reichl L.E., The Transition to Chaos in Conservative Classical Systems: Quantum Manifestation, Springer-Verlag, New-York, 1992.
18. Binney J., Tremaine S., Galactic Dynamics. — Princeton: Princeton University Press, 1987.
19. Nonlinear Dynamics Aspects of Particle Accelerators, Lecture Notes in Physics. — Berlin: Springer-Verlag, 1986, vol. 247.
20. Milczewski J. von, Diercksen G.H.F., Uzer. Т., Computation of the Arnol'd Web for the Hydrogen Atom in Crossed Electric and Magnetic Fields, Phys. Rev. Lett., 76, 2890 (1996). '
21. Лихтенберг А., Либермаи M., Регулярная и стохастическая динамика, М., Мир, 1984.
22. Leitner D.M., Wolynes P.G., Quantization of the Stochastic Pump Model of Arnold Diffusion, Phys. Rev. Lett., 79, 55 (1997).
23. Шуряк Э.В., Нелинейный резонанс в квантовых системах, ЖЭТФ, 71, 2039 (1976).
24. Demikhovskii V.Ya., Izrailev F.M. and Malyshev A.I., Manifestation of Arnol'd Diffusion in Quantum Systems, Phys. Rev. Lett., 88, 154101 (2002); arXiv: quant-ph/0109147.
25. Demikhovskii V.Ya., Izrailev F.M. and Malyshev A.I., Quantum Arnol'd diffusion in a simple nonlinear system, Phys. Rev. E, 66, 036211 (2002); arXiv: quant-ph/0205062.
26. Демиховский В.Я., Малышев А.И., Квантовая диффузия Арнольда в канале с гофрированной границей в присутствии переменного электрического поля, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 12 (5), 3 (2004).
27. Demikhovskii V.Ya., Izrailev F.M. and Malyshev A.I., Quantum Arnol'd diffusion in a rippled waveguide, Phys. Lett. A, 352, 491 (2006); arXiv: quant-ph/0507254.
28. Demikhovskii V.Ya., Izrailev F.M. and Malyshev A.I., Nonlinear-electron dynamics in a rippled channel with time-dependent electric field: Quantum Arnol'd diffusion, (направлено в Physica E); arXiv: cond-mat/0610390.
29. Шандор А.С., Малышев А.И., Распространение луча света в двумерном гофрированном волноводе, Структура и свойства твердых тел, с. 75: Изд-во ИНГУ, Н.Новгород, 2003.
30. Demikhovskii V.Ya., Izrailev F.M. and Malyshev A.I., Quantum Arnol'd diffusion, Proc. of the Int. Conf. "Progress in Nonlinear Science", vol. II, p. 591, 2002.
31. Демиховский В.Я., Малышев А.И., Диффузия Арнольда в классическом и квантовом пределах, VI Нижегородская Сессия молодых ученых, тезисы докладов: Н.Новгород, 2001, стр. 23.
32. Demikhovskii V.Ya., Izrailev F.M. and Malyshev A.I., Quantum Arnol'd diffusion, Int. Conf. "Progress in Nonlinear Science": Abstracts, 2001, p. 128.
33. Малышев А.И., Особенности диффузии Арнольда в квантовых системах, VII Нижегородская Сессия молодых ученых, тезисы докладов: Н.Новгород, 2002, стр. 38.
34. Малышев А.И., Диффузия Арнольда в простой динамической системе., VIII Нижегородская Сессия молодых ученых, тезисы докладов: Н.Новгород, 2003, с. 83.
35. Малышев А.И., Квантовая диффузия Арнольда в канале с гофрированной границей, IX Нижегородская Сессия молодых ученых, тезисы докладов: Н.Новгород, 2004, стр. 28.
36. Малышев А.И., Квантовая диффузия Арнольда в канале переменной толщины, X Нижегородская Сессия молодых ученых, тезисы докладов: Н.Новгород, 2005, стр. 31.
37. Wilkinson М. and Austin E.J., Dynamics of a generic quantum system under a periodic perturbation, Phys. Rev. A, 46, 64, 1992.
38. DiCarlo L., Marcus C.M. and Harris Jr. J.S., Photocurrent, Rectification, and Magnetic Field Symmetry of Induced Current through Quantum Dots, Phys. Rev. Lett., 91, 246804 (2003).
39. Huibers A.G. et al., Low-Temperature Saturation of the Dephasmg Time and Effects of Microwave Radiation on Open Quantum Dots, Phys. Rev. Lett., 83, 5090 (1999).
40. Заславский Г.М., Сагдеев P.3., Усиков Д.А., Черников А.А., Слабый хаос и квазирегулярные структуры, М., Наука, 1991.
41. Берман Г.П., Коловский А.Р., Квантовый хаос при взаимодействии многоуровневых квантовых систем с полем когерентного излучения, УФН, 162, 95 (1992).
42. Вечеславов В.В., Движение в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса при высокочастотных возмущениях, ЖЭТФ, 109, 2208 (1996).
43. Вечеславов В.В., Формирование стохастического слоя нелинейного резонанса двухчастотным возмущением, ИЯФ СО РАН: препринт 96-24, Новосибирск, 1996.
44. Заславский Г.М., Стохастичносгпъ динамических систем, М., Наука, 1984.
45. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции, М., Наука, 1968.
46. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И., Задачи по квантовой механике, М., Наука, 1981.
47. Демиховский В.Я., Потапенко С.Ю., Сатанин A.M., Электронный спектр в системах с периодически модулированной поверхностью, ФТП, 17, 213 (1983).
48. Luna-Acosta G.A., Na К., Reichl L.E. and Krokhin A.A., Band structure and quantum Poincare sections of a classically chaotic quantum rippled channel, Phys. Rev. E, 53, 3271 (1996).
49. Luna-Acosta G.A., Krokhin A.A., Rodriguez M.A., Hernandez-Tejeda P.H., Classical chaos and ballistic transport in a mesoscopic channel, Phys. Rev. B, 54, 11410 (1996).
50. Luna-Acosta G.A., Menclez-Bermuclez J.A., Izrailev F.M., Periodic chaotic billiards: Quantum-classical correspondence in energy space, Phys. Rev. E, 64, 036206 (2001).
51. Izrailev F.M., Mendez-Bermudez J.A. and Luna-Acosta G.A., Ballistic localization m quasi-one-dimensional waveguides with rough surfaces, Phys. Rev. E, 68, 066201 (2003).
52. Izrailev F.M., Makarov N.M. and Rendon M., Rough surface scattering in many-mode conducting channels: gradient versus amplitude scattering, Phys. Stat. Sol. (b), 242, 1224 (2005).
53. Izrailev F.M., Makarov N.M. and Renclon M., Gradient and amplitude scattering in surface-corrugated waveguides, Phys. Rev. B, 72, 041403 (2005).
54. Kouwenhoven L.P. et al.} Transport through a, finite one-dimensional crystal, Phys. Rev. Lett., 65, 361 (1990).
55. Lent C.S., Leng M., Magnetic edge states in a corrugated quantum, channel, J. Appl. Phys., 70, 3157 (1991).
56. Goldsmith P.F., Quasioptical Systems: Gaussian Beam Quasioptical Propagation and Applications, Wiley-IEEE Press, 1998.
