Магнитный и электродинамический отклик неплоских наноструктур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Булаев Денис Викторович

г

I

МАГНИТНЫЙ И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ ОТКЛИК НЕПЛОСКИХ НАНОСТРУКТУР

Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 2003

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Маргулис Виктор Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Вугальтер Григорий Абрамович

заседании диссертационного совета Д 212.166.01 в конференц-зале Нижегородского государственного университета имени Н.И.Лобачевского по адресу: 603950, г.Нижний Новгород, пр.Гагарина, 23, корп.З

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета имени Н.И.Лобачевского.

доктор физико-математических наук, профессор Кревчик Владимир Дмитриевич

Ведущая организация: Институт физики микроструктур РАН

Защита диссертации состоится

часов на

Автореферат разослан _ _2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.01 доктор физ.-мат. наук, профессор

Е.В.Чупрунов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Совсем недавно, в наноструктурах был открыт целый ряд замечательных физических эффектов, имеющих фундаментальное значение: целый и дробный квантовый эффект Холла, эффект Ааронова — Бома, квантование кондак-танса в квантовых проволоках. Помимо чисто академического интереса такие системы представляют весьма значительный интерес с точки зрения практического использования наноструктур. Возрастание плотности электронных состояний при уменьшении размерности электронного газа обуславливает принципиальное преимущество применения квантово-размерных наноструктур для лазеров [1]. Наиболее интересными приложениями наноэлектроники в будущем являются квантовые вычисления и квантовые компьютеры. Сейчас интенсивно ведутся разработки альтернативных концепций устройств квантового компьютера [2].

Интерес к экспериментальным [3] и теоретическим [4] исследованиям искривленных наноструктур резко возрос в последнее время. Это обусловлено двумя основными причинами. Во-первых, создание нанообъектов с идеальными прогнозируемыми формами является очень трудной задачей [5]. В связи с этим исследование влияния отклонений от идеальной формы наноструктур на их различные физические свойства является актуальным. Во-вторых, наноструктуры с нетривиальной кривизной обладают необычными спектральными, магнитными, транспортными и оптическими свойствами [4]. Таким образом, предполагается возможным применение этих систем в электронных устройствах нового поколения.

Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование магнитного и электродинамического отклика электронного газа ряда наноструктур, таких как сфероидальные наноструктуры, поверхности постоянной отрицательной кривизны, двумерное квантовое кольцо и квантовая точка на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) подобрать подходящие модели для описания геометрического и потенциального конфайнмента в наноструктурах;

2) получить аналитические формулы для энергетического спектра, магнитного и электродинамического отклика электронной системы;

3) проанализировать эффекты, возникающие в магнитном и электродинамическом отклике;

4) исследовать зависимость магнитного и электродинамического отклика от величины магнитного поля и температуры, изучить влияние поверхностной кривизны на физические свойства наноструктур;

5) рассмотреть различные способы описания термодинамических систем (изолированные системы и находящиеся в контакте с термостатом) и исследовать влияние способа описания термодинамики системы на магнитный и электродинамический отклик неплоских наноструктур;

6) получить необходимые для сравнения с экспериментом параметры кривых, описывающих отклик наноструктур (температурная зависимость, положение и амплитуда скачков и осцилляции, высота и ширина ступеней квантования холловской проводимости).

Методы исследования. Для исследования степени несферичности сфероидальных наноструктур и влияния магнитного поля на электронный энергетический спектр, а также для изучения внутризонных оптических переходов использовалась теория возмущений, позволяющая получить простые, удобные ^ля,ана"^иза формуд^^кекватно

3 ' 1,;:&л1кп екл {

; С.Петербург

1>Э 101

описывающие поведение исследуемых структур. В диссертации для изучения магнитного отклика двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны использовался подход, основанный на методе представления рассматриваемых величин в виде ряда Фурье. Для исследовании холловской проводимости двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны использовался метод Стреды [6], а для изучения незатухающих токов в двумерном квантовом кольце применялся подход, впервые предложенный Байерсом и Янгом [7].

Научная новизна работы.

1.,Впервые исследовано влияние несферичности наноструктуры на магнитный момент. Показано, что спектральные и магнитные свойства сфероидальных наноструктур существенно зависят от соотношения между поправками в спектре, характеризующими степень несферичности системы и влияние магнитного поля на спектр наноструктуры.

2. Впервые изучено поглощение электромагнитного излучения двумерного электронного газа на наносфере. Установлен резонансный характер поглощения.

3. Впервые доказано, что в случае низких температур на кривой поглощения электромагнитного излучения наносферой имеются скачки двух типов, обусловленные вырождением электронного газа.

4. Впервые установлено, что кривизна поверхности приводит к уменьшению ширины плато холловской проводимости и к изменению положений порогов ступеней.

5. Впервые исследован магнитный отклик двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Установлено существование области магнитных полей, в которой магнитный момент имеет только слабую монотонную зависимость от поля. В сильных магнитных полях зависимость магнитного момента от поля является осцилляционной и не периодической по обратному полю, как в случае плоской поверхности.

6. Предложена оригинальная модель квантового кольца и квантовой точки на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Исследован энергетический спектр, магнитный момент и незатухающие токи в квантовом кольце и квантовой точке на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Впервые изучено влияние кривизны поверхности на спектральные, магнитные и транспортные свойства рассматриваемых наноструктур. Установлена связь между магнитным моментом и незатухающим током в этих наноструктурах.

Практическая значимость работы.

Рассчитанные эффекты резонансного поглощения электромагнитного излучения наносферой становятся доступными для экспериментального наблюдения и технологического применения по мере развития техники экспериментов по изучению оптических переходов электронов в нанооболочечных структурах и технологии получения этих наноструктур [8]. Последние достижения в области исследования сфероидальных наноструктур (см. [А6] и [А7]), подтверждают интерес к изучению магнитных и оптических свойств этих структур.

Результаты расчета магнитных и транспортных свойств исследуемых в работе наноструктур могут быть использованы как для экспериментальной проверки влияния кривизны поверхности на квантовый эффект Холла и магнитный момент, так и для изучения новых возможностей физики и технологии наноструктур [5]. Исследование электронных состояний в квантовом кольце и квантование холловской проводимости двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны становится предметом интереса экспериментаторов, о чем свидетельствуют, в частно-

сти, доклады, представленные на конференциях [А8-А11].

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Поведение энергетического спектра и магнитного момента сфероидальных наноструктур существенно зависит от соотношения между поправками в спектре, характеризующие степень несферичности системы и влияние магнитного поля на спектр наноструктуры.

2. Поглощение электромагнитного излучения наносферой носит резонансный характер, причем число резонансных пиков увеличивается с наложением однородного магнитного поля и существенно зависит от взаимной конфигурации вектора магнитного поля и волнового вектора фотона. При низких температурах в конфигурации Фарадея на кривой поглощения имеются четыре, а в конфигурации Фойхта — шесть резонансных пиков.

3. На резонансной кривой поглощения имеются скачки, обусловленные вырождением газа. Положение скачков на резонансной кривой в случае изолированной сферы может изменяться с увеличением температуры.

4. Однородное магнитное поле приводит к увеличению числа скачков на кривой поглощения. В случае низких температур на кривой поглощения имеются скачки двух типов. Положение скачков этих типов различным образом зависит от частоты электромагнитного излучения и величины магнитного поля.

5. Кривизна поверхности двумерного электронного газа приводит к уменьшению ширины плато холловской проводимости и к изменению положений порогов ступеней холловской проводимости. Влияние кривизны поверхности на магнитный отклик двумерного электронного газа сводится к двум особенностям: существование области магнитных полей, в которой магнитный момент имеет только слабую монотонную зависимость от поля, а при увеличении поля появляется осцилляционная зависимость не периодичная по обратному полю.

6. Кривизна поверхности обуславливает уменьшение расстояния между максимумами осцилляций типа де Гааза — ван Альфена магнитного момента двумерного квантового кольца, а также уменьшение амплитуды и периода осцилляций типа Ааронова — Бома. Кривизна поверхности и проникновение магнитного поля в проводящую область кольца приводят к нарушению пропорциональности магнитного момента и незатухаю-morn токз Амплитуда и "период" осцилляций неззтухзющего токз в к&знтовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны меньше чем в случае плоской поверхности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 4-й и 5-й международных конференциях "Fullerenes and Atomic Clusters" (Санкт-Петербург, 1999 г. и 2001 г.), на международной зимней школе по физике полупроводников (Санкт-Петербург, 2003 г.), на IV всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2002 г.), на международной конференции "Оптика, оптоэлектроника и технологии" (Ульяновск, 2001 г.), на двенадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2002 г.), на межрегиональной научной школе для студентов и аспирантов "Материалы нано-, микро- и оптоэлектроники: физические свойства и применение" (Саранск, 2002 г.), на II международной научно-технической конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики", (Саранск, 1999 г.), на научной конференции Мордовского государственного университета "Огаревские чтения" (Саранск, 1998 г.), а так же на семинаре по теории конденсированного состояния в

университете города Базеля (Швейцария, 2003 г.) и на семинаре кафедры теоретической физики Нижегородского государственного университета (2003 г.).

Лрчное участие автора. Личный вклад автора в работу заключается в участии в разработке методов и подходов исследования, в решении поставленных задач, а также в аналитическом исследовании полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты работы отражены в 16 публикаций, из них 5 журнальных статей [А1-А5] и 11 работ в сборниках материалов и тезисах конференций [А6-А16].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы из 155 наименований. Объем диссертации составляет 160 страниц. В диссертации приведено 53 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, содержится постановка задачи исследования, приводятся методы исследования, содержание работы по главам, а также описываются исследуемые в диссертации наноструктуры. Это структуры, конфайнмент в которых является чисто геометрическим (наносфера, квантовый эллипсоид вращения, поверхность постоянной отрицательной кривизны), а также наноструктуры, имеющие смешанный геометрический и потенциальный конфайнмент (двумерное квантовое кольцо и квантовая точка на поверхности постоянной отрицательной кривизны).

Первая глава содержит обзор имеющихся научных результатов в области диссертационного исследования. В этой главе приводится описание современных технологий создания реальных наноструктур, исследованию магнитных и электродинамических свойств которых посвящена диссертационная работа. Проводится сравнительный анализ экспериментальных данных и теоретических исследований в исследуемой области, описываются и анализируются известные теоретические методы и подходы исследований. Кроме того, в Главе 1 указываются оставшиеся нерешенными проблемы, и, в связи'с этим, формулируются конкретные задачи диссертационного исследования.

Во второй главе исследуется электронный энергетический спектр и магнитный отклик сфероидальных наноструктур.

Раздел 2.1 посвящен изучению спектральных свойств гамильтониана электрона, движущегося по поверхности эллипсоида вращения. Эта модель может быть применена к исследованию нанооболочечных структур [8], геометрия которых близка к эллипсоиду вращения. Если полуоси эллипсоида отличаются незначительно друг от друга, то влияние несферичности может быть проведено в рамках теории возмущений. В случае, когда геометрический конфайнмент структуры намного сильнее магнитного конфайнмента, влияние магнитного поля на энергетический спектр электронов наноструктуры с хорошей точностью может быть учтено также с помощью теории возмущений. В работе детально рассмотрено три случая: (1) деформационная поправка к энергии и магнитная поправка одного порядка, (2) деформационная поправка много больше магнитной поправки, (3) деформационная поправка много меньше магнитной поправки. Необходимо отметить, что деформационная поправка определяется степенью эллипсоидальности наноструктуры /3 = 1 — R/d, где R, d — главные полуоси эллипсоида вращения. Для всех трех случаев в рамках теории возмущений получены аналитические формулы для электронного энергетического спектра эллипсоида вра-

щения, проведен подробный анализ зависимости энергии электронов от магнитного поля и от геометрических параметров системы.

В Разделе 2.2 исследуется магнитный отклик сфероидальных наноструктур. При нулевой температуре магнитный момент эллипсоида вращения найден для всех рассматриваемых случаев: в случае (1) (когда то > 0)

М_

в случае (2) в случае (3)

= (10 - то)(/о + т0 + 1), (1)

Ц- = |т0| - т0, (2)

/fs

^ = то)(1о + т0 + 1) - Щ(10 4- I)2 -ßB ö

5 тр(тр + 1)(2тр + 1) - 10{10 + l)(2f0 + 1) - 6(l0 - m0)(ll + l0 - 1) 3 (2/o - l)(2i0 + 3) ' ( )

где b = \e\BR2/hc = Ф/2Фо, — \e\h/2m*c — эффективный магнетон Бора, /о, mo — орбитальное и магнитное квантовые числа верхнего занятого электронами уровня. В случае квантовой сферы расчеты показывают, что если в спектре сферы ограничиться линейными членами по полю, то формула для магнитного момента сферы совпадает с (1), если же считать спектр с точностью до членов второго порядка малости по полю, то магнитный момент сферы находится по формуле (3).

Необходимо отметить, что формулы (1), (2) и (3) справедливы как для случая постоянного химического потенциала /г, так и для случая постоянного числа частиц N. Принципиальное различие этих случаев заключается в следующем. При ß = const магнитный момент носит ступенчатый характер (Рис. 1), так как с изменением поля верхний занятый или нижний не занятый уровень может пересечь энергию Ферми. Это обстоятельство приводит к изменению квантовых чисел 1о и то и скачку магнитного момента, причем число скачков или ступенек строго ограниченно. Если же N = tuiibi, то квантовые числа /о и тц не меняют сзосго значения с ростом поля, так как в рассматриваемом интервале изменения магнитного поля нет случайного вырождения (пересечения) уровней. Вследствие этого, зависимость магнитного момента носит непрерывный и монотонный характер (для случаев, когда деформационная поправка одного порядка и много больше магнитной поправки, магнитный момент от поля не зависит, а для случая, когда магнитная поправка много больше деформационной — линейно зависит от поля).

На Рис. 1 при Т = 0.1 К видны четкие ступени магнитного момента, обусловленные пересечением химического потенциала и энергетических уровней верхней занятой электронами оболочки сферы, а температура в 1 К полностью замывает эти ступени.

Рассмотрим поведение магнитного отклика эллипсоида вращения в случае, когда деформационная поправка больше магнитной. В этом пределе энергию Ферми может пересечь лишь один уровень, и, следовательно, число ступеней в зависимости магнитного момента от поля не больше единицы. В случае, когда деформационная поправка к спектру много меньше магнитной, при постоянном ц зависимость М{Б) носит пилообразный характер. И, наконец, при одинаковом порядке поправок в продольном поле

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 103 Ф/Ф0

Рис. 1. Магнитный момент электронов сферы радиуса R = 3.5 х Ю-8 см в зависимости от магнитного поля при постоянном химическом потенциале ц = 34.22 эВ.

характер зависимости магнитного момента от поля сравним со случаем большой магнитной поправки относительно деформационной, с той лишь разницей, что в формуле (1) не учитывается линейный член по полю.

Третья глава посвящена исследованию оптических переходов электронов, находящихся на поверхности наносферы. Рассмотрены как случай изолированной сферы, так и случай сферы, находящейся в термостате. Отбросив нерезонансный член в поглощении, для вырожденного газа величину поглощения наносферой можно представить в виде

Л =П/ —Лш/тл мш - Mfl + M]*a(t +1) г0 (дД е ) 1 + т2[ш-п(г + 1)]2

где Го = е2т/Зет*R2л/Щш), R — радиус сферы, т — феноменологическое время релаксации, e(w) — вещественная часть диэлектрической проницаемости, О = h/m*R2, ш — частота электромагнитного излучения, I — орбитальное квантовое число, fo{E) — функция распределения Ферми — Дирака.

В Случае постоянного химического потенциала системы, при нулевой температуре, на кривой поглощения имеется один резонансный пик при ы = П(2о + 1), где 1о — орбитальное квантовое число верхнего занятого электронами уровня. Интенсивность пика определяется орбитальным квантовым числом верхней занятой оболочки 1о, радиусом сферы R и временем релаксации г. При увеличении температуры высота этого пика уменьшается, и появляются новые резонансные пики из-за электронных переходов с уровня Ei0-i на Ei0, а также с уровня J3|0_2 на J3j0_i или с jEi0+i на Ei0+ 2 и так далее (Рис. 2).

При нулевой температуре на кривой поглощения имеются резкие скачки, возника-

ю/П

Рис. 2. Возникновение новых резонансных пиков на кривой поглощения с ростом температуры; Я = Ю-5 см, г = 5 х Ю-11 с, ц = 5.15 х Ю-15 эрг.

ющие при пересечении электронных энергетических уровней с уровнем р — hui. Положение скачков зависит от величины химического потенциала и номера электронного уровня.

Различие поведения поглощения между случаями fi = const и N = const, в основном, есть следствие двух обстоятельств. Во-первых, при постоянном числе частиц верхний занятый электронами энергетический уровень может быть частично заполненным при нулевой температуре, что сказывается на интенсивности пика. Во-вторых, химический потенциал при постоянном числе частиц зависит от температуры. Из-за этого в области линейной зависимости ц(Т) интенсивность пика при ш = Q(lo + 1) практически не зависит от температуры, в отличии от сферы в термостате. Так как при заполненной верхней электронной оболочке химический потенциал возрастает с увеличением температуры, то с ростом температуры скачки сдвигаются в высокочастотную область. Заметим, что в случае р = const положение скачков не зависит от температуры.

Раздел 3.2 посвящен исследованию влияния слабого магнитного поля на электронные переходы в наносфере. Рассмотрены два выделенных по симметрии случая: конфигурация Фарадея (волновой вектор фотона параллелен однородному магнитному полю) и конфигурация Фойхта (волновой вектор фотона перпендикулярен магнитному полю).

Показано, что в дипольном приближении в конфигурации Фарадея переходы возможны только между уровнями соседних оболочек (I' = I ± 1) с магнитными квантовыми числами, отличающимися на единицу (m' = т ±1).

После несложных преобразований, поглощение в случае конфигурации Фарадея

можно представить в виде суммы четырех слагаемых

Г„ = И + Г2 + Г3 + Г4, (4)

где

гн = £ (г _ е-*>/т) £ £ /о(я,.т)[1 - МЕ,,т + м) х

1=0 т~~1

{,1±т + 1 )(1 ± ш + 2)_(г ± о;с/2П)2_

Х (21 + 1)(21 + 3) 1 + т2[ш-П(; + 1)та;с/2]3'

1=0 т=-1

х (2г-1)(2/ + 1) 1 + т2(а1 + Шт^/2)2

(Го = е2г/4ст*Д2-у/е(ш)). Можно показать, что на кривой поглощения имеются четыре пика, причем расстояние между первым и вторым, а также между третьим и четвертым равно циклотронной частоте, и положение пиков линейно зависит от поля (Рис. 3).

Рис. 3. Зависимость поглощения наносферой от частоты излучения и магнитного поля; Д = Ю-5 Т = О К, т = Ю-10 с, ц = 5.22 х Ю-15 эрг, 1о = 7 (конфигурация Фарадея). Показан второй пик и возникновение первого пика с увеличением магнитного поля. На рисунке видны скачки первого типа.

В частном случае конфигурации Фойхта, когда вектор поляризации фотона параллелен магнитному полю, переходы возможны только между уровнями соседних оболочек (/' = I ± 1) с одинаковыми магнитными квантовыми числами (т' = тп). Таким образом, на кривой поглощения возникают только тг-компоненты резонансных пиков.

>

В этом случае, опустив нерезонансный член и отбросив экспоненциально малый член ~ ехр(—ftw/T), поглощение можно представить в виде

ГУ Ü ^ Л l2[(l + I)2 - т2] /о(Д»,т)[1 - /о(Д|,т + Ml /«

Г°_ "hh-i 4(¿ + l)2-l l + r»[w-n(i + l)P • u

В конфигурации Фойхта при произвольном направлении вектора поляризации относительно магнитного поля поглощение электромагнитного излучения наносферой имеет вид

Г = cos2 «Г* + sin2 аГ„, (6)

где Г л- определяется формулой (5), Га — формулой (4), а а — угол между вектором поляризации фотона и магнитным полем. Отметим, что кривая поглощения содержит ^ шесть резонансных пиков: два пика — ^-компоненты (возникают вследствие электрон-

) ных переходов т —> т) и четыре пика — <т-компоненты резонансных пиков (возникают

вследствие электронных переходов m-»m±l) (Рис. 4).

0.16

coja

Г/Г0

0.46

0.75

8.5

Рис. 4. Зависимость поглощения наносферой от частоты излучения и магнитного поля; Я = Ю-5 см, Т = ОК, г = Ю~10 с, р. = 5.12 х Ю-15 эрг, а = 7г/4, 10 = 7 (конфигурация Фойхта).

Таким образом, в случае конфигурации Фарадея на кривой поглощения будут только сг-компоненты, а в случае фойхтовской конфигурации кроме сг-компонент наблюдаются 7г-компоненты резонансных пиков, причем в частном случае, когда а = 0, а-компоненты исчезают, и остаются только 7Г-компоненты, то есть возможны только переходы т—> т.

Для всех рассмотренных конфигураций магнитного поля и вектора поляризации фотона, на кривой поглощения имеются скачки двух различных типов. Скачки первого типа обусловлены пересечениями уровня ц — Ьш с энергетическими уровнями электронов. Их положение зависит от частоты электромагнитного излучения и величины магнитного поля (Рис. 3). Скачки второго типа возникают вследствие пересечений энергетических уровней электронов с химическим потенциалом ц, и положение

11

этих скачков зависит только от магнитного поля (условие возникновение этих скачков = ^¡.т)- Скачки первого типа возникают сериями. Каждая серия скачков соответствует пересечениям уровней отдельной оболочки с /г — и количество скачков в каждой серии равно количеству уровней в соответствующей оболочке. Серия скачков с номером 1о — 1 возникает в области первого и второго резонансов в фарадеевском случае, и в области первого, второго и третьего резонансов в фойхтовском случае. Остальные серии возникают на правом крыле последнего резонансного пика. Скачки второго типа существенны только для третьего и четвертого пиков в конфигурации Фарадея, и для четвертого, пятого и шестого резонансных пиков в конфигурации Фойхта. Отметим, что скачки обоих типов существенно замываются даже довольно низкой температурой.

В четвертой главе исследуются плотность электронных состояний, квантовый эффекта Холла и магнитный момент двумерного электронного газа, находящегося на поверхности постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле.

В Разделе 4.1 получена аналитическая формула для плотности электронных состояний на поверхности постоянной отрицательной кривизны, проанализированы особенности в плотности состояний. Используя формулу Стреды [6], полученную на основе теории линейного отклика, холловская проводимость двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны при нулевой температуре может быть представлена в виде

<Txy(SF, 0) _

сто

Ъ+\~ Vb2-eF

(7)

где его = е2/Л, sf = 2m*a2EF/h2, b = eBa2/hc, а — радиус кривизны поверхности, [х] — целая часть числа х. Как видно из (7), зависимость холловской проводимости от магнитного поля является ступенчатой (Рис. 5).

Кривизна поверхности приводит к сдвигу положения скачков в зависимости <тху{В) в область больших магнитных полей (Рис. 5), а в зависимости аху{ц) — в область меньших значений ц. Ширина плато ступеней в зависимости <тху(В) для поверхности постоянной отрицательной кривизны меньше ширины плато ступеней для плоской поверхности на величину Фо/47га2. В зависимости сгху{ц) кривизна поверхности уменьшает ширину плато, причем разность в ширине плато линейно зависит от номера верхнего занятого уровня Ландау.

В Разделе 4.2 исследуется магнитный момент электронов, находящихся на поверхности постоянной отрицательной кривизны. В случае нулевой температуры, если ниже уровня Ферми лежит как дискретный так и непрерывный спектр, то есть при ер > Ь2, магнитный момент можно записать в виде М(Т = 0)[£р>ь2 — —/¿в(те5Ь/127гт*а2), где S — площадь поверхности. Как видно из этой формулы в области eF > b2 зависимость М(В) является монотонной.

При 6f < b2 (в этом случае ниже энергии Ферми лежит только дискретный спектр) магнитный момент имеет вид

М(Т = 0) Мв

^ й- à Ê-к »:=1

Г<Ь2

+J_(b _ Y, cos 2 Kk{b - Vti^TÏ) -

ж K

2.0

«Р

-V,

ек 1-5

1.0

плоская пов.

а= 10"5 см - -

а = 5*10"6 см......

10 15 20

В(Тл)

Рис. 5. Холловская проводимость в зависимости от магнитного поля; Т = 0 К, Ер = 5 х Ю-13 эрг.

--у/Ь2 - еР{Ь - ч/Ь2-ег)£ вт21гк{Ь - - еР) 1. (8) * к= 1 )

Как видно из (8), в области ер < Ь2 в зависимости М(В) присутствует монотонная часть, линейно зависящая от поля, а три суммы ответственны за образование пилообразных пиков.

График зависимости М(В) показан на Рис. 6. Монотонная зависимость М(В) соответствует случаю, когда ниже уровня Ферми лежат как дискретная часть спектра, так и непрерывная. При увеличении магнитного поля, нижняя граница непрерывного спектра пересекает уровень Ферми, и тогда ниже этого уровня лежит только дискретный спектр. В этом случае монотонная зависимость магнитного момента от поля сменяется осцилляционной. Как видно из этого рисунка, при ег < б2 монотонная часть магнитного момента много меньше амплитуд пилообразных осцилляций. Скачки в зависимости магнитного момента от поля возникают при пересечении уровня Ферми энергетическими уровнями электронов. Так как ниже уровня Ферми лежит конечное число электронных уровней, количество скачков в зависимости магнитного момента от поля будет ограничено и равно количеству электронных уровней, лежащих ниже уровня Ферми. Исходя из анализа полученных формул и численного исследования установлено, что при увеличении кривизны поверхности область монотонной зависимости магнитного момента увеличивается, уменьшается расстояние между скачками и амплитуда осцилляций в зависимости от магнитного поля.

Пятая глава посвящена исследованию влияния кривизны поверхности на энергетический спектр, магнитный момент и незатухающий ток в двумерном квантовом кольце и квантовой точке.

£0 А

В(Тл)

Рис. 6. Магнитный момент электронов на поверхности постоянной отрицательной кривизны в зависимости от магнитного поля, а = 10~в см, 5 = 3 х Ю-9 см2, Ер = 2 х Ю-13 эрг.

В Разделе 5.1 изучаются спектральные свойства электронов в этих наноструктурах. В работе предложена модель двумерного квантового кольца на поверхности постоянной отрицательной кривизны, в которой движение электронов на поверхности ограничено следующим потенциалом конфайнмента:

V(r) = Air2 + ^f[l-(r/2a)2

•Vo.

Здссь Ai,Aa — параметры потенциала конфайнмента, характеризующие эффективный радиус г о и ширину кольца. С другой стороны, ширина кольца определяется энергией Ферми и частотой потенциала конфайнмента ш0. Сдвиг в потенциале кольца Vo выбран таким образом, чтобы V(ro) = 0. Данная модель квантового кольца является довольно гибкой. В частных случаях модель может описывать различные физические системы: одномерное кольцо (го = const, ыо —► оо) и двумерную квантовую точку (го = 0).

В работе показано, что дискретный спектр квантового кольца на поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет вид

- huir.

ь * 2 2

, KjJC ТП ШоГо

+ —m--—

N+f)

О)

где тп е г, п = 0,1,2,..., М = у/т2 + (т*ш0г^/2й)2, шт = у/[шс - Лт/2т*а2]2 + ш2. Квантовое число п характеризует радиальное движение электронов в кольце, а т —

орбитальное движение. Энергетические уровни с одинаковым квантовым числом п образуют подзоны.

Для изолированного двумерного квантового кольца на поверхности постоянной отрицательной кривизны магнитный момент имеет вид М = Еп.т'^»."/»!®»''")' где

Мп, п цв

те т*

т --!-(2п + 1 + М)

(10)

есть вклад состояния (п,т) в магнитный момент кольца.

В(Тл)

Рис. 7. Магнитный момент двумерного квантового кольца в зависимости от магнитного поля; N = 1000, г0 = 800 нм, ш0 = 1.5 х 1012 с"1, Т = 0 К.

На Рис. 7 представлена зависимость М(В) двумерного квантового кольца на поверхности постоянной отрицательной кривизны и на плоской поверхности при нулевой температуре. Как видно из этого рисунка магнитный момент двумерного квантового кольца имеет сложный осцилляционный характер типа "биений"; осцилляции типа Ааронова — Бома (АБ) накладываются на осцилляции типа де Гааза — ван Альфена (дГвА). Амплитуда осцилляций типа АБ уменьшается, а амплитуда осцилляции типа дГвА увеличивается с увеличением магнитного поля. В пределе слабых магнитных полей амплитуды двух типов имеют одинаковые порядки, и наложение этих осцилляций приводит к сложной осцилляционной зависимости М{В). В пределе больших магнитных полей амплитуда осцилляций типа АБ намного меньше амплитуды осцилляций типа дГвА (Рис. 7).

Одним из проявлений кривизны поверхности является уменьшение расстояния между минимумами подзон. Это приводит к уменьшению расстояния между максимумами осцилляций типа дГвА (см Рис. 7). Кроме того, в пределе низких магнитных полей число подзон ниже энергии Ферми больше для поверхности постоянной отрицательной кривизны. Таким образом, в этом пределе увеличивается число осцилляций, а, следовательно, уменьшается максимальная амплитуда осцилляций при увеличении кривизны поверхности.

Другим проявлением кривизны поверхности является зависимость гибридной ча-

стоты шт от радиуса кривизны поверхности и магнитного квантового числа. Это приводит к ослаблению зависимости энергетических уровней от магнитного поля и к уменьшению расстояния между соседними уровнями. Первое обстоятельство приводит к уменьшению амплитуды осцилляций типа АБ, второе — к уменьшению периода этих осцилляций.

Незатухающий ток в двумерном кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны может быть представлен в виде [7) I = 1п,т/о{Е„,т), где, учитывая формулу (10), вклад состояния (п,т) в незатухающий ток имеет вид

(Н)

Здесы гт = л/2йМ/т*ь}т — эффективный радиус состояния с магнитным квантовым числом т [9]. Первое слагаемое в (11) есть аналог классического тока в кольце радиуса гт в магнитном поле, второе слагаемое, обусловленное проникновением магнитного поля в проводящую область кольца, нарушает линейную зависимость магнитного момента и незатухающего тока. Как видно из (11), только в области слабых полей (шс < и>о) вклад состояния в незатухающий ток пропорционален вкладу этого состояния в магнитный момент системы.

Показано, что незатухающий ток кольца является осциллирующей функцией магнитного поля. Амплитуда осцилляций существенно уменьшается с увеличением магнитного поля. Как отмечалось выше, кривизна приводит к уменьшению периода и амплитуды осцилляций магнитного момента. Как видно из (11), для незатухающего тока кривизна приводит к еще большему уменьшению амплитуды осцилляций, по сравнению с магнитным моментом.

В Заключении сформулированы основные выводы по результатам работы:

1. Получены аналитические формулы для электронного энергетического спектра и магнитного момента эллипсоида вращения в магнитном поле. Подробно рассмотрены различные случаи соотношения деформационной и магнитной поправки к спектру. Показано, что соотношение между величинами этих поправок изменяет спектральные и магнитные свойства сфероидальных наноструктур.

2. Показано, что поглощение электромагнитного излучения наносферой носит резонансный характер. Рассмотрены различные случаи конфигурации однородного магнитного поля и волнового вектора фотона: конфигурация Фарадея и конфигурация Фойхта. Показано, что в конфигурации Фарадея на кривой поглощения имеются четыре, а в конфигурации Фойхта — шесть резонансных пиков.

3. Исследованы скачки на резонансной кривой поглощения наносферы, обусловленные вырождением газа. Установлено, что на кривой поглощения имеются скачки двух рпов, положения которых совершенно различным образом зависят от частоты электромагнитного излучения и величины магнитного поля.

4. Исследованы плотность электронных состояний, квантовый эффект Холла и магнитный момент двумерного электронного газа, находящегося на поверхности постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле. Доказано квантование холловской проводимости двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Показано, что кривизна поверхности приводит к изменениям положений порогов и уменьшению величины плато ступеней холловской проводимости. Установлено, что влияние кривизны поверхности на магнитный отклик системы сводится к

двум особенностям: существование области полей, в которой магнитный момент имеет только слабую монотонную зависимость от поля; при увеличении поля появляется осцилляционная зависимость, причем осцилляции не являются строго периодическими по обратному полю как в случае плоской поверхности.

5. Получены явные, аналитические формулы для энергетического спектра, магнитного момента и незатухающих токов в двумерном квантовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Показано, что кривизна поверхности приводит к уменьшению расстояния между максимумами осцилляций типа де Гааза — ван Аль-фена, к уменьшению амплитуды и периода осцилляций типа Ааронова — Бома.

6. Найдена связь между магнитным моментом кольца и незатухающим током, возникающим в этом кольце. Показано, что кривизна поверхности и проникновение магнитного поля в проводящую область кольца приводят к нарушению пропорциональности магнитного момента и незатухающего тока.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Al. D.V. Bulaev, V.A. Geyler, V.A. Margulis. Magnetic response for an ellipsoid of revolution in a magnetic field // Physical Review B. — 2000. — Vol. 62, no. 17. — Pp. 11517-11526.

A2. Д.В. Булаев, B.A. Гейлер, B.A. Маргулис. Электродинамический отклик нано-сферы // ФТТ. - 2002. - Т. 44, № 3. - С. 471-472.

A3. Д.В. Булаев, В.А. Маргулис. Поглощение электромагнитного излучения электронами наносферы // ФТТ. — 2002, — Т. 44, № 9,- С. 1557-1567.

А4. Д.В. Булаев, В.А. Маргулис. Электродинамический отклик наносферы, помещенной в магнитное поле // ФТТ. — 2003. — Т. 45, № 2. — С. 349-358.

А5. Bulaev D. V., Geyler V. A., Margulis V. A. Quantum Hall effect on the Lobachevsky plane // Physica B. - 2003. - Vol. 337, no. 1-4. - Pp. 180-185.

A6. D.V. Bulayev, V.A. Geyler, V.A. Margulis. Magnetic response of the C70 fullerene structure: an ellipsoid of revolution model // 4th Biennial International Workshop in Russia "Fullerenes and Atomic Clusters". — St. Petersburg, Russia: October 4-8 1999,— Abstracts of Invited Lectures and Contributed Papers. — P. 165.

A7. D. V. Bulaev, V.A. Geyler, V.A. Margulis. Electrodynamic response of a nanosphere 11 5th Biennial International Workshop in Russia "Fullerenes and Atomic Clusters". — St. Petersburg, Russia: July 4-8 2001. — Abstracts of Invited Lectures and Contributed Papers. - P. 301.

A8. Д.В. Булаев. Электронные состояния в двумерном квантовом кольце на плоскости Лобачевского // Международная зимняя школа по физике полупроводников. — С.-Петербург: Февраль 28 - Март 3 2003. — Научные сообщения молодых ученых. — С. 4-5.

А9. Д.В. Булаев. Влияние кривизны поверхности на квантовый эффект Холла двумерного электронного газа // Тезисы докладов IV всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и полупроводниковой onmo- и нано-электронике. — Санкт-Петербург: 3-6 декабря 2002. — С. 54.

А10. Булаев Д. В. Магнитный отклик двумерного квантового кольца на плоскости Лобачевского // Тезисы докладов XXXIII всероссийского совещания по физике низких температур. — Екатеринбург: 17-20 июня 2003. — С. 284-285.

All. Bulaev D. Effect of the surface curvature on the magnetic response of 2D quantum rings 11 International Conference on Theoretical Trends in Low-Dimensional Magnetism. - Florence, Italy: 23-25 July 2003. - Abstracts. - P. 31.

A12. Д.В. Булаев, B.A. Маргулис. Поглощение электромагнитного излучения нано-сферой в магнитном поле // Труды международной конференции "Оптика, оптоэлектроника и технологии". — Ульяновск: 25-29 июня 2001. — С. 105.

А13. Д.В. Булаев, В.А. Гейлер, В.А. Маргулис. Плотность электронных состояний и квантовый эффект Холла на плоскости Лобачевского // Труды двенадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи",- Самара: 29-31 мая 2002.-С. 15-17.

А14. Д.В. Булаев. Магнитный момент электронов на плоскости Лобачевского// Сборник трудов межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов "Материалы нано-, микро- и оптоэлектроники: физические свойства и применение". — Саранск: 11-13 ноября 2002. — С. 45.

AI5. О.Г. Костров, Д.В. Булаев. Спектр фуллерена Сво в магнитном поле // Тезисы докладов II международной научно-технической конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики". — Саранск: 16-19 июня 1999. — С. 139.

А16. В.А. Маргулис, Д.В. Булаев. Спектр и магнитный момент фуллеренов // XXVII Огаревские чтения. Материалы научной конференции Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева. — Саранск: 15-19 декабря 1998. — С. 109-110.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Ж. Алферов // УФН. - 2002. - Т. 172. - С. 1067.

¡2] R. Сотрапд Ц Nanotechnology. - 2001. - Vol. 12. - P. 85.

[3] M.L. Leadbeater, C.L. Forden, T.M. Burke, J.H. Burroughes, M.P. Grimshaw, D.A. Ritchie, L.L. Wang, M. Pepper // /. Phys.: Condens. Matter. - 1995. -Vol. 7. - P. L307.

[4] Л.И. Магарилл, Д.А. Романов, A.B. Чаплик 11 ЖЭТФ. - 1998. - T. 113. -C. 1411.

[5] V. Y. Prinz, V.A. Seleznev, A.K. Gutakovsky, A.V. Chehovskiy, V.V. Preobrazhenskii, M.A. Putyato, T.A. Gavrilova // Physica E. — 2000. -> Vol. 6. - P. 828.

[6] P. Stfeda // J. Phys. C. - 1982. - Vol. 15. - P. L717.

[7] N. Byers, C.N. Yang // Phys. Rev. Lett. - 1961. - Vol. 7. - P. 46.

[8] S. Westcott, I. Jackson, C. Radloff, N. Halas // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 66. - P. 155431.

[9] W.-C. Tan, J.C. Inkson // Phys. Rev. B. - 1999. - Vol. 60. - P. 5626.

Подписано в печать 26.08.03. Объем 1,00 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1263.

Типография Издательства Мордовского университета 430000 Саранск, ул. Советская, 24

№13 3 6 5

*

i

«

i

Введение

Обозначения

Глава 1 Литературный обзор

1.1 Сфероидальные наноструктуры.

1.2 Поверхность постоянной отрицательной кривизны.

1.3 Двумерное квантовое кольцо на поверхности постоянной отрицательной кривизны.

Глава 2 Сфероидальные наноструктуры

2.1 Электронный энергетический спектр

2.2 Магнитный отклик.

Глава 3 Поглощение электромагнитного излучения наносферой

3.1 Оптические переходы электронов наносферы.

3.2 Оптические переходы электронов наносферы в магнитном поле.

Глава 4 Поверхность постоянной отрицательной кривизны

4.1 Плотность электронных состояний и квантовый эффект Холла

4.2 Магнитный момент

Глава 5 Двумерное квантовое кольцо на поверхности постоянной отрицательной кривизны

5.1 Электронный энергетический спектр

5.2 Магнитный отклик и незатухающие Заключение Список литературы Приложение А

Двадцать лет назад низкоразмерные наносистемы открыли новую область исследований в физике твердого тела. Современная технология производства позволяет создать структуры субмикронных размеров, содержащих 102 — 109 электронов и проявляющие металлические, полупроводниковые или даже диэлектрические свойства. Такие системы нельзя описывать обычными средствами квантовой механики нескольких частиц: хотя уравнение Шредингера для полной многочастичной волновой функции и может быть написано, из него сложно получить информацию, поскольку его трудно решить даже численно. С другой стороны, мощные методы статистической механики также мало полезны для таких систем, поскольку флуктуации макроскопических величин могут быть сравнимы с их средними значениями. Область физики конденсированного состояния, исследующая такие объекты, получила название квантовой мезоскопики. Другими словами, квантовая мезоскопика работает с системами, которые достаточно велики по сравнению с атомами и большинством молекул, но все еще слишком малы, чтобы пренебрегать специфическими квантовыми свойствами каждого из электронов. Интерес к мезоскопическим системам постоянно возрастает. Внимание к этим структурам обусловлено уникальными свойствами ряда низкоразмерных систем. Совсем недавно, в мезоскопических системах были открыты замечательные физические эффекты, имеющие фундаментальное значение: целый [1] и дробный [2] квантовый эффект Холла, эффект Ааронова — Бома в квантовых кольцах [3], квантование кондактанса в квантовых проволоках [4]. Помимо чисто академического интереса, такие системы представляют весьма значительный интерес с точки зрения практического использования мезоско-$ пических структур. Совершенно очевидно, что эти структуры обладают целым рядом неоспоримых преимуществ перед современными электронными устройствами: компактность, энергосбережение, быстродействие и т.д. Следствие существования возрастания плотности электронных состояний при уменьшении размерности электронного газа обуславливает принципиальное преимущество применения квантово-размерных мезо-скопических структур для лазеров [5]. Одними из наиболее интересных приложений мезоскопики в будущем являются квантовые вычисления и квантовые компьютеры. Сейчас интенсивно ведутся разработки альтернативных концепций устройств квантового компьютера [6].

Например, одноэлектронный транзистор может применяться как & элемент памяти в виде нано-флэш памяти, то есть наноразмерный аналог обычного элемента флэш-памяти.

Магнитные элементы памяти могут использоваться в качестве устройств энергонезависимой памяти, которые применяются в электронике для ускорения загрузки персональных компьютеров. Основополагающий принцип заключается в том, что магнетизм является неотъемлемым свойством материала устройств памяти, и устройства имеют большие времена запоминания без необходимости затраты энергии для сохранения памяти. Особый интерес вызывают спиновые устройства памяти, работающие на принципе туннельного соединения. Отметим, что записывающие головки, основанные на туннельном соединении, представляют собой уже существующие разработки.

Диоды, основанные на резонансном туннелировании, нашли различные применения, такие как аналого-цифровые преобразователи с частотой 10-100 ГГц, генераторы квантовых импульсов (для часовых устройств), сдвиговые регистры и элементы памяти со сверхнизким потреблением энергии.

Быстрые логические устройства, работающие на основе квантования потока магнитного поля, могут использоваться в технологии цифровых сверхпроводящих электронных схем. Эта технология позволяет достигнуть гигагерцового предела для микроэлементов. Таким образом, такие устройства могут найти свое применение в области микроэлектроники, где обычные кремниевые устройства (из-за ограниченности литографической технологии) не дают сравнимых частот, и где применение криогенной техники будет оправдано. Другим применением этих устройств является высокоскоростные аналого-цифровые преобразователи.

Ключевой проблемой нанотехнологии является прецизионное нано-структурирование материалов. Для создания квантовых приборов электроники будущего необходимо не только научиться создавать элементы с характерными нанометровыми размерами, но и добиться атомной гладкости поверхности элементов и прецизионности в воспроизведении всех размеров. Природа дает нам пример выполнения этих требований при самоформировании молекул и молекулоподобных объектов типа углеродных трубок. В твердотельной технологии известен ряд методов получения структур с наперед заданными свойствами. Самыми распространенными и наиболее эффективными технологиями являются молекулярно-лучевая эпитаксия, оптическая и электронно-лучевая литография. В последнее время, благодаря прогрессу в технологии, стало возможным получение искривленных двумерных слоев [7-9] и нанообъектов различной формы [10]. Суть предложенного в этих работах метода заключается в следующем. При помощи молекулярно лучевой эпитаксии выращивается однородная по площади гетероструктура, толщина слоев которой задается с точностью до атомного монослоя. При отсоединении ультратонких напряженных слоев от подложки пленка приобретает в зависимости от граничных условий новую равновесную форму с минимумом упругой энергии пленки. Эта оригинальная технология позволяет получать нанотрубки, квантовые рулоны, кольца и спирали с контролируемыми формами и размерами.

Интерес к экспериментальным [11,12] и теоретическим [13-22] исследованиям искривленных наноструктур резко возрос в последнее время. Это обусловлено двумя основными причинами. Во-первых, создание нано-объектов с идеальными прогнозируемыми формами является очень трудной технологической задачей. Поэтому исследование влияния отклонений от идеальной формы наноструктур на их различные физические свойства является актуальным. Во-вторых, наноструктуры с нетривиальной кривизной обладают необычными спектральными, магнитными, транспортными и оптическими свойствами. Таким образом, предполагается возможным применение этих систем в электронных устройствах нового поколения.

В связи с вышесказанным, тема диссертационного исследования представляется весьма актуальной.

Необходимо отметить, что теоретическое исследование магнитных и электродинамических свойств наноструктур является сложной проблемой, особенно, если система обладает нетривиальной кривизной. Влияние кривизны поверхности на физические свойства наноструктур является относительно малоизученным, а большинство теоретических исследований в этой области, как правило, ограничиваются лишь слегка модифицированными стартовыми выражениями, а далее применяются численные методы. Тем не менее, из-за ограниченности численных расчетов, число электронов рассматриваемое в этих численных исследованиях мало и такие методы исследования не могут применяться для изучения наноструктур, содержащих сотни или тысячи электронов. Кроме того, численные методы не всегда позволяют выявить физическую природу различных явлений, а также проанализировать их особенности.

В связи с этим возникает задача диссертационного исследования: подобрать подходящие модели для описания геометрического и потенциального конфайнмента в наноструктурах; получить аналитические формулы для энергетического спектра, магнитного и электродинамического отклика электронной системы; проанализировать эффекты, возникающие в магнитном и электродинамическом отклике; исследовать зависимость магнитного и электродинамического отклика от величины магнитного поля, температуры и изучить влияние поверхностной кривизны на физические свойства наноструктур; рассмотреть различные способы описания термодинамических систем (изолированные системы и находящиеся в контакте с термостатом) и исследовать влияние способа описания термодинамики системы на магнитный и электродинамический отклик неплоских наноструктур; получить необходимые для сравнения с экспериментом параметры кривых, описывающих отклик наноструктур (температурная зависимость, положение и амплитуда скачков и осцилляций, высота и ширина ступеней квантования холловской проводимости).

Начиная исследование с наноструктур, конфайнмент в которых является чисто геометрическим (наносфера, квантовый эллипсоид вращения, поверхность постоянной отрицательной кривизны), в диссертации делается переход к более сложным структурам (двумерное квантовое кольцо и квантовая точка на поверхности постоянной отрицательной кривизны), имеющим смешанный геометрический и потенциальный конфайнмент. Исследовались случаи, когда рассматриваемые системы помещались в магнитное поле, которое может изменять электронный конфайнмент и, следовательно, изменять физические свойства наноструктур.

Во всех разделах для описания электронных состояний в наноструктурах используется модель независимых бесспиновых электронов в приближении эффективной массы. В диссертационной работе основной задачей является исследование влияния кривизны поверхности на магнитный и электродинамический отклик наноструктур. Поэтому в работе не исследуются многочастичные и спиновые эффекты. В пределе малых магнитных полей модель бесспиновых независимых электронов является хорошим приближением для изучения свойств реальных квантовых структур. В этом пределе электрон-электронное взаимодействие приводит только к сдвигу общей энергии электронов [23], что практически не сказывается на поведении магнитного и электродинамического отклика. Зеемановское расщепление уровней в этом пределе мало и его тоже можно не учитывать.

В случае сильных магнитных полей электрон-электронное взаимодействие, и спиновые эффекты становятся существенными. Хотя предлагаемая модель в этой области изменения полей не может дать точных результатов, она может служить основой для изучения эффектов беспорядка и многочастичных эффектов. Более того, простая модель способствует пониманию некоторых эффектов и дает качественную картину поведения магнитного и электродинамического отклика рассматриваемых структур.

Для исследования степени несферичности сфероидальных наноструктур и влияния магнитного поля на электронный энергетический спектр, а также для изучения внутризонных оптических переходов, использовалась теория возмущений, позволяющая получить простые формулы удобные для анализа, а также хорошо описывающая поведение исследуемых структур.

Для изучения энергетического спектра квантовых колец и квантовых точек на поверхности постоянной отрицательной кривизны применялась стандартная теория спектрального анализа симметрических операторов [24]. Эта теория позволила найти аналитические формулы для энергетического спектра системы и нормированные волновые функции.

В диссертации для исследования магнитного отклика электронов на поверхности постоянной отрицательной кривизны использовался подход, предложенный Ландау и основанный на представлении магнитного момента в виде однократного ряда Фурье. Этот метод позволил получить простые формулы для магнитного отклика, что дало возможность детального аналитического исследования поведения магнитного момента от магнитного поля, температуры, химического потенциала и кривизны поверхности.

Для исследования холловской проводимости электронов на поверхности постоянной отрицательной кривизны (плоскость Лобачевского) использовался метод Стреды [25], а для изучения незатухающих токов в двумерном квантовом кольце применялся подход, впервые предложенный Байерсом и Янгом [26]. Эти методы позволили получить удобные для анализа формулы и детально проанализировать исследуемые свойства систем.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими основными результатами теоретического исследования:

1. Впервые исследовано влияние несферичности наноструктуры на магнитный момент. Показано, что спектральные и магнитные свойства сфероидальных наноструктур существенно зависят от соотношения между поправками в спектре, характеризующими степень несферичности системы и влияние магнитного поля на спектр наноструктуры.

2. Изучено поглощение электромагнитного излучения двумерного электронного газа на наносфере. Установлен резонансный характер поглощения.

3. Доказано, что в случае низких температур на кривой поглощения электромагнитного излучения наносферой имеются скачки двух типов, обусловленные вырождением электронного газа.

4. Установлено, что кривизна поверхности приводит к уменьшению ширины плато холловской проводимости и к изменению положений порогов ступеней.

5. Впервые исследован магнитный отклик двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Установлено существование области магнитных полей, в которой магнитный момент имеет только слабую монотонную зависимость от поля. В сильных магнитных полях зависимость магнитного момента от поля является осцил-ляционной и не периодической по обратному полю, как в случае плоской поверхности.

6. Предложена модель квантового кольца и квантовой точки на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Исследован энергетический спектр, магнитный момент и незатухающие токи в квантовом кольце и квантовой точке на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Впервые изучено влияние кривизны поверхности на спектральные, магнитные и транспортные свойства рассматриваемых наноструктур. Установлена связь между магнитным моментом и незатухающим током в этих наноструктурах.

Рассчитанные эффекты резонансного поглощения электромагнитного излучения наносферой становятся доступными для экспериментального наблюдения и технологического применения по мере развития техники экспериментов по изучению оптических переходов электронов в нанооболочечных структурах и технологии получения этих наноструктур [27]. Последние достижения в области исследования сфероидальных наноструктур (см. [28,29]), подтверждают интерес к изучению магнитных и оптических свойств этих структур.

Результаты расчета магнитных и транспортных свойств исследуемых в работе наноструктур могут быть использованы как для экспериментальной проверки влияния кривизны поверхности на квантовый эффект Холла и магнитный момент, так и для изучения новых возможностей физики и технологии наноструктур [9]. Исследование электронных состояний в квантовом кольце и квантование холловской проводимости двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны становится предметом интереса экспериментаторов, о чем свидетельствуют, в частности, доклады, представленные на конференциях (см. [30-33]).

Основные результаты диссертации опубликованы в [28-43], а так же докладывались на 4-й и 5-й международных конференциях "Fullerenes and Atomic Clusters" (Санкт-Петербург, 1999 г. и 2001 г.), на международной зимней школе по физике полупроводников (Санкт-Петербург, 2003 г.), на IV всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург,

2002 г.), на международной конференции "Оптика, оптоэлектроника и технологии" (Ульяновск, 2001 г.), на двенадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2002 г.), на межрегиональной научной школе для студентов и аспирантов "Материалы нано-, микро- и оптоэлектроники: физические свойства и применение" (Саранск, 2002 г.), на II международной научно-технической конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики", (Саранск, 1999 г.), на научной конференции Мордовского государственного университета "Огаревские чтения" (Саранск, 1998 г.), а так же на семинаре по теории конденсированного состояния в университете города Базеля (Швейцария,

2003 г.) и на семинаре кафедры теоретической физики Нижегородского государственного университета (2003 г.).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Поведение энергетического спектра и магнитного момента сфероидальных наноструктур существенно зависит от соотношения между поправками в спектре, характеризующие степень несферичности системы и влияние магнитного поля на спектр наноструктуры.

2. Поглощение электромагнитного излучения наносферой носит резонансный характер, причем число резонансных пиков увеличивается с наложением однородного магнитного поля и существенно зависит от взаимной конфигурации вектора магнитного поля и волнового вектора фотона. При низких температурах в конфигурации Фарадея на кривой поглощения имеются четыре, а в конфигурации Фойхта — шесть резонансных пиков.

3. На резонансной кривой поглощения имеются скачки, обусловленные вырождением газа. Положение скачков на резонансной кривой в случае изолированной сферы может изменяться с увеличением температуры.

4. Однородное магнитное поле приводит к увеличению числа скачков на кривой поглощения. В случае низких температур на кривой поглощения имеются скачки двух типов. Положение скачков этих типов различным образом зависит от частоты электромагнитного излучения и величины магнитного поля.

5. Кривизна поверхности двумерного электронного газа приводит к уменьшению ширины плато холловской проводимости и к изменению положений порогов ступеней холловской проводимости. Влияние кривизны поверхности на магнитный отклик двумерного электронного газа сводится к двум особенностям: существование области магнитных полей, в которой магнитный момент имеет только слабую монотонную зависимость от поля, а при увеличении поля появляется осцилляционная зависимость не периодичная по обратному полю.

6. Кривизна поверхности обуславливает уменьшение расстояния между максимумами осцилляций типа де Гааза — ван Альфена магнитного момента двумерного квантового кольца, а также уменьшение амплитуды и периода осцилляций типа Ааронова — Бома. Кривизна поверхности и проникновение магнитного поля в проводящую область кольца приводят к нарушению пропорциональности магнитного момента и незатухающего тока. Амплитуда и "период" осцилляций незатухающего тока в квантовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны меньше чем в случае плоской поверхности.

Личный вклад автора в работу заключается в участии в разработке методов и подходов исследования, в решении поставленных задач, а также в аналитическом исследовании полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.

В Главе 1 приводится обзор известных исследований по тематике диссертации. Описываются общепринятые методы и подходы исследований. Формулируются задачи диссертационного исследования.

Глава 2 посвящена изучению энергетического спектра и магнитных свойств сфероидальных наноструктур. Получены аналитические формулы ч^ для спектра и магнитного момента сфероидальных наноструктур в слабом магнитном поле, позволяющие провести анализ зависимости спектра и магнитного момента наноструктуры от величины и направления магнитного поля, геометрических параметров системы. Подробно рассмотрены различные случаи соотношения деформационной и магнитной поправки к спектру.

В Главе 3 изучено поглощение электромагнитного излучения на-носферой как в присутствии магнитного поля так и без него. Детально исследованы положение, форма, число резонансных пиков, а также расстояния между пиками поглощения. Рассмотрены как случай изолированной сферы, так и случай сферы, находящейся в термостате. Изучены ^ скачки на кривой поглощения, обусловленные вырождение электронного газа.

Глава 4 посвящена исследованию плотности электронных состояний, квантового эффекта Холла и магнитного момента двумерного электронного газа, находящегося на поверхности постоянной отрицательной кривизны (плоскость Лобачевского) в магнитном поле. Подробно изучены зависимости холловской проводимости и магнитного момента от магнитного поля, энергии Ферми, температуры и кривизны поверхности. Исследовано квантование холловской проводимости, монотонная и осциллирующая зависимости магнитного момента от магнитного .

В Главе 5 получены явные, аналитические формулы для энергетического спектра, магнитного момента и незатухающих токов для электронов в двумерном квантовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Исследованы зависимости этих характеристик от магнитного поля, температуры, геометрических параметров кольца и кривизны поверхности. Рассмотрены предельные случаи модели: одномерное кольцо и квантовая точка. Исследованы зависимости амплитуд и периодов осцилляций магнитного момента от магнитного поля, температуры и кривизны поверхности. Изучено соотношение между магнитным моментом и незатухающем током в кольце.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю В.А. Маргулису за неоценимую помощь при подготовке диссертации, соавторам работ: В.А. Гейлеру и О.Г. Кострову, а также коллегам А.В. Шорохову и Н.Г. Галкину за помощь в работе.

Обозначения

А - векторный потенциал электромагнитного поля В - вектор индукции магнитного поля с - скорость света в вакууме е - заряд электрона Ер — энергия Ферми fo(E) - функция распределения Ферми — Дирака h - постоянная Планка I — орбитальное квантовое число т — магнитное квантовое число те - масса свободного электрона т* - эффективная электронная масса р - импульс электрона Т - температура ip) — сферические гармоники

1, если х > О, О, если х < О х - химический потенциал fiB = \e\h/2mec — магнетон Бора

Фо = 2-nhc/\e\ - квант магнитного потока ис = \еВ\/т*с - циклотронная частота

Основные результаты исследований:

1. Получена аналитическая формула для электронного энергетического спектра эллипсоида вращения в магнитном поле. Исследована зависимость спектра от магнитного поля и геометрических параметров системы. Показано, что соотношение между величинами этих поправок изменяет спектральные свойства сфероидальных наноструктур. ^ 2. Найдено выражение для магнитного момента сфероидальных наноструктур удобное для анализа. Подробно изучено поведение магнитного момента от температуры, величины и направления магнитного поля относительно оси симметрии наноструктуры (случай эллипсоида вращения). Исследовано влияние несферичности на магнитный отклик наносистемы в различных предельных случаях. Показано, что в различных предельных случаях поведение магнитного момента системы существенно изменяется. Рассмотрены как случай изолированной наноструктуры, так и случай, ^ когда сфероидальная наноструктура сообщается электронами с резервуаром. Показано, что поведение магнитного отклика эллипсоида от величины и направления магнитного поля зависит от выбора способа описания термодинамики системы.

3. Выявлено, что поглощение электромагнитного излучения нано-сферой носит резонансный характер. Исследована зависимость поглощения наносферой от радиуса наносферы, времени релаксации, температуры и числа электронов на наносфере. Рассмотрены случай изолированной сферы и случай сферы, находящейся в термостате. Показано, что выбор способа описания системы существенно сказывается на величине резонансного пика и зависимости его от температуры.

4. Установлено, что однородное магнитное поле приводит к существенному изменению поглощения электромагнитного излучения наносферой. Детально исследованы положение, форма, число резонансных пиков, а также расстояния между пиками поглощения. Рассмотрены различные случаи конфигурации однородного магнитного поля и волнового вектора фотона: конфигурация Фарадея и конфигурация Фойхта. Показано, что в конфигурации Фарадея на кривой поглощения имеются четыре, а в конфигурации Фойхта — шесть резонансных пиков. Установлено, что интенсивности пиков и их положение зависят от магнитного поля, причем эта зависимость различна для пиков, обусловленных различными типами переходов.

5. Исследованы скачки на резонансной кривой поглощения наносферы, обусловленные вырождением газа. Показано, что положения скачков на резонансной кривой в случае изолированной сферы могут изменяться с увеличением температуры. Установлено, что однородное магнитное поле приводит к увеличению числа скачков на кривой поглощения. Показано, что на кривой поглощения имеются скачки двух типов, положения которых совершенно различным образом зависят от частоты электромагнитного излучения и величины магнитного поля.

6. Исследованы плотность электронных состояний, квантовый эффект Холла и магнитный момент двумерного электронного газа, находящегося на поверхности постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле. Показано, что кривизна поверхности приводит к изменениям положений порогов и уменьшению величины плато ступеней холловской проводимости. Установлено, что влияние кривизны поверхности на магнитный отклик системы сводится к двум особенностям: существование области полей, в которой магнитный момент имеет только слабую монотонную зависимость от поля; при увеличении поля появляется осцилля-ционная зависимость, причем осцилляции не являются строго периодическими по обратному полю как в случае плоской поверхности (эффект де Гааза — ван Альфена).

7. Получены явные, аналитические формулы для энергетического спектра, магнитного момента и незатухающих токов в двумерном квантовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Исследованы зависимости этих характеристик от магнитного поля, температуры, геометрических параметров кольца и кривизны поверхности. Рассмотрены предельные случаи модели: одномерное кольцо и квантовая точка. Показано, что кривизна поверхности приводит к уменьшению расстояния между максимумами осцилляций магнитного момента типа де Гааза — ван Альфена, к уменьшению амплитуды и периода осцилляций типа Ааронова — Бома. Найдена связь между магнитным моментом и незатухающим током в кольце. Показано, что кривизна поверхности и проникновение магнитного поля в проводящую область кольца приводят к нарушению пропорциональности магнитного момента и незатухающего тока.

Заключение

В диссертации проведены теоретические исследования спектральных и магнитных свойств сфероидальных наноструктур; поглощения электромагнитного излучения сферическими наноструктурами; плотности электронных состояний, квантового эффекта Холла и магнитного момента электронов на поверхности постоянной отрицательной кривизны; электронного энергетического спектра, магнитного момента и незатухающих токов в двумерном квантовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны.

1. von Klitzing К., Dorda G., Pepper M. 11 Phys. Rev. Lett. — 1980. — Vol. 45. P. 494.

2. Tsui D., Stormer H., Gossard A. 11 Phys. Rev. Lett. 1982. -Vol. 48. - P. 1559.

3. Aharonov Y., Bohm D. // Phys. Rev. 1959. - Vol. 115. - P. 485.

4. ButtikerM. Ц Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 57. - P. 1761.

5. Алферов Ж. Ц УФН. 2002. - Т. 172. - С. 1067.

6. Сотрапд R. Ц Nanotechnology. — 2001. — Vol. 12. — P. 85.

7. Prinz V. Y., Seleznev V. A., Samoylov V. A., Gutakovsky А. К. 11 Microelectronics Engineering. — 1996. — Vol. 30. — P. 439.

8. Prinz V. Y., Seleznev V. A., Gutakovsky A. K. // Surf. Sci. — 1996.- Vol. 361/362. P. 886.

9. Prinz V. Y., Seleznev V. A., Gutakovsky A. K., Chehovskiy A. V., Preobrazhenskii V. V., Putyato M. A., Gavrilova Т. A. 11 Physica E.- 2000. Vol. 6. - P. 828.

10. Prinz V. Y., Griitzmacher D., Beyer A., David C., Ketterer В., Deccard E. 11 Proceedings of 9th International Symposium "Nanostructures: Physics and Technology" — St. Petersburg, Russia: June 18-22 2001. P. 13.

11. Ford C. J. В., Washburn S., Buttiker M., Knoedler С. M., Hong J. M. U Phys. Rev. Lett. 1989. - Vol. 62. - P. 2724.

12. Leadbeater M. L., Fordeti С. L., Burke Т. M., Burroughes J. H., Grimshaw M. P., Ritchie D. A., Wang L. L., Pepper M. // J. Phys.: Condens. Matter. 1995. - Vol. 7. - P. L307.

13. Магарилл JI. И., Романов Д. А., Чаплик А. В. // ЖЭТФ. — 1998.- Т. 113. С. 1411.

14. Batista С. L. S., Li D. // Phys. Rev. В. 1997. - Vol. 55. - P. 1582.

15. Melik-Alaverdian V., Bonesteel N. E., Ortiz G. // Physica E. — 1997.- Vol. 1. P. 138.

16. Haldane F. D. M., Rezayi E. H. // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 31.- P. 2529.

17. Iengo R., Li D. 11 Nucl. Phys. B. 1994. - Vol. 413. - P. 735.

18. Alimohammadi M., Sadjadi H. M. 11 J. Phys. A. 1996. — Vol. 29.- P. 5551.

19. Alimohammadi M., Sadjadi H. M. // J. Phys. A. 1999. — Vol. 32.- P. 4433.

20. Carey A. L., Hannabuss К. C., Mathai V., McCann P. // Commun. Math. Phys. 1998. - Vol. 190. - P. 629.

21. Carey A. L., Hannabuss K., Mathai V. // Lett. Math. Phys. — 1999.- Vol. 47. P. 215.

22. Grosche C. // Int. J. Theor. Phys. 1999. - Vol. 38. - P. 955.

23. Chakraborty Т., Pietilainen P. 11 Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 50.- P. 8460.

24. Данфорд H., Шварц Д. Линейные операторы. Спектральная теория.- М.: Мир, 1966. 1063 с.

25. Stfeda Р. // /. Phys. С. 1982. - Vol. 15. - P. L717.

26. Byers N., Yang C. N. 11 Phys. Rev. Lett. 1961. - Vol. 7. - P. 46.

27. Westcott S., Jackson J., Radloff C., Halas N. 11 Phys. Rev. B.2002. Vol. 66. - P. 155431.

28. Булаев Д. В. Электронные состояния в двумерном квантовом кольце на плоскости Лобачевского // Международная зимняя школа по физике полупроводников. — С.-Петербург: Февраль 28 Март 32003. — Научные сообщения молодых ученых. — С. 4-5.

29. Булаев Д. В. Магнитный отклик двумерного квантового кольца на плоскости Лобачевского // Тезисы докладов XXXIII всероссийского совещания по физике низких температур. — Екатеринбург: 17-20 июня 2003. С. 284-285.

30. Bulaev D. Effect of the surface curvature on the magnetic response of 2D quantum rings // International Conference on Theoretical Trendsin Low-Dimensional Magnetism. — Florence, Italy: 23-25 July 2003.- Abstracts. — P. 31.

31. Bulaev D. V., Geyler V. A., Margulis V. A. Magnetic response for an ellipsoid of revolution in a magnetic field // Phys. Rev. B. — 2000.- Vol. 62, no. 17. Pp. 11517-11526.

32. Булаев Д. В., Гейлер В. А., Маргулис В. А. Электродинамический отклик наносферы // ФТТ. 2002. - Т. 44, № 3. — С. 471-472.

33. Булаев Д. В., Маргулис В. А. Поглощение электромагнитного излучения электронами наносферы // ФТТ. — 2002. — Т. 44, № 9.- С. 1557-1567.

34. Булаев Д. В., Маргулис В. А. Электродинамический отклик наносферы, помещенной в магнитное поле // ФТТ. — 2003. — Т. 45, № 2. С. 349-358.

35. Bulaev D. V., Geyler V. A., Margulis V. A. Quantum Hall effect on the Lobachevsky plane // Physica B. — 2003. — Vol. 337, no. 1-4.- Pp. 180-185.

36. Маргулис В. А., Булаев Д. В. Спектр и магнитный момент фул-леренов // XXVII Огаревские чтения. Материалы научной конференции Мордовского государственного университета им. И.П. Огарева. — Саранск: 15-19 декабря 1998. — С. 109-110.

37. Костров О. Г., Булаев Д. В. Спектр фуллерена Сед в магнитном поле // Тезисы докладов II международной научно-технической конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики". — Саранск: 16-19 июня 1999. С. 139.

38. Булаев Д. В., Маргулис В. А. Поглощение электромагнитного излучения наносферой в магнитном поле // Труды международной конференции "Оптика, оптоэлектроника и технологии". — Ульяновск: 25-29 июня 2001. — С. 105.

39. Zhou Н. S., Honma /., Komiyama Н., Haus J. W. j j Phys. Rev. B. — 1994. Vol. 50. - P. 12052.

40. Averitt R. D., Sarkar D., Halas N. J. 11 Phys. Rev. Lett. — 1997. — Vol. 78. P. 4217.

41. Averitt R. D., Westcott S. L., Halas N. J. 11 Phys. Rev. B. 1998.- Vol. 58. P. R10203.

42. Diao J. J., Chen G. D. 11 J. Phys. D. 2001. - Vol. 34. - P. L79.

43. Jackson J., Halas N. // J. Phys. Chem. B. 2001. — Vol. 105. -P. 2743.

44. Miguez H., Blanco A., Meseguer F., Ldpez C., Yates H. M., Pemble M. E., Fornds V., Mifsud A. 11 Phys. Pev. В. — 1999. — Vol. 59. P. 1563.

45. Yannopapas V., Modinos A., Stefanou N. j j Phys. Rev. B. — 1999.- Vol. 60. P. 5359.

46. Ohtaka K., Suda Y., Nagano S., Ueta Т., Imada A., Koda Т., Bae J. S., Mizuno K., Yano S., Segawa Y. // Phys. Rev. B. 2000.- Vol. 61. P. 5267.

47. Cheung H. F., Gefen Y., Riedel E. K., Shin W. H. 11 Phys. Rev. B. -1988. Vol. 37. - P. 6050.

48. Meir Y., Entin-Wohlman 0., Gefen Y. 11 Phys. Rev. B. 1990. -Vol. 42. - P. 8531.

49. Гейлер В. А., Маргулис В. А., Чудаев И. В. // ЖЭТФ. — 1996. -Т. 109. С. 762.

50. Гэйлер В. А., Маргулис В. А., Томилин О. Б. 11 Письма в ЖЭТФ.- 1996. Т. 63. - С. 549.

51. Geyler V. A., Margulis V. А. // Phys. Rev. В. 1997. - Vol. 55. -P. 2543.

52. Гейлер В. А., Маргулис В. А., Шорохов А. В. // ЖЭТФ. — 1999.- Т. 115. С. 1450.

53. Магарилл Л. И., Романов Д. А., Чаплик А. В. // Письма в ЖЭТФ.- 1996. Т. 64. - С. 421.

54. Tanaka К., Creagh S. С., Brack М. // Phys. Rev. В. 1996. -Vol. 53. - P. 16050.

55. Filina L. I., Geyler V. A., Margulis V. A., Tomilin О. B. // Phys. Lett. A. 1998. - Vol. 244. - P. 295.

56. Магарилл Л. И., Чаплик А. В. // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. -С. 1478.

57. Lin М. F., Shung К. W. К. // Phys. Rev. В. 1995. - Vol. 52. -P. 8423.

58. Chaplik A. V., Magarill L. I., Romanov D. A. // Physica B. — 1998.- Vol. 249. P. 377.

59. Aoki H., Suezawa H. // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 46. - P. R1163.

60. Kim J. H., Vaguer I. D., Sundaram В. 11 Phys. Rev. B. — 1992. — Vol. 46. P. 9501.66 67 [6869 7071