Электродинамический отклик в наноструктурах

Миронов, Владимир Александрович

Электродинамический отклик в наноструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Миронов, Владимир Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саранск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Электродинамический отклик в наноструктурах»

Автореферат диссертации на тему "Электродинамический отклик в наноструктурах"

На правах рукописи

005004136

МИРОНОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ ОТКЛИК В НАНОСТРУКТУРАХ

Специальность 01.04.05 - Оптика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 ДЕК 2011

Саранск - 2011

005004136

Работа выполнена на кафедре теоретической физики в Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Маргулис Виктор Александрович

доктор физико-математических наук, профессор

Малыханов Юрий Борисович

доктор физико-математических наук, профессор

Кузьмичев Николай Дмитриевич

Пензенский государственный университет

Защита состоится 21 декабря 2011 г. в 14— часов на заседании диссертационного совета Д 212.117.13 при Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева по адресу: 430005, г. Саранск, ул. Большевистская, 68а, ауд. 243.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Отзывы на автореферат просим направлять по адресу: 430005, г. Саранск, ул. Большевистская, 68а, Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева, диссертационный совет Д 212.117.13.

Автореферат разослан « ("7"» ноября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.117.13 доктор технических наук, профессор

/ С.А. Панфилов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В настоящее время достижения в области паноэлектроники и информационных технологий стали возможными за счет использования зарядов и спинов электронов. Современные технологии позволяют контролировать инжек-цию и движение электронов в различных полупроводниковых структурах, посредством его спиновой степени свободы. Внимание к этим структурам обусловлено также и уникальными физическими свойствами ряда низкоразмерных систем. Так, в этих системах были открыты интересные физические эффекты, имеющие фундаментальное значение: целый и дробный квантовые эффекты Холла, эффект Ааронова - Бома в квантовых кольцах, квантование кондактанса в квантовых проволоках. Наноэлектронпые устройства, созданные на базе нпзкоразмерных систем, обладают целым рядом неоспоримых преимуществ перед микроэлектронными устройствами, например компактность, энергосбережение, быстродействие. Также в [1] отмечается, что возрастание плотности электронных состояний при уменьшенин размерности электронного газа обуславливает принципиальное преимущество применения квантово-размерных структур для лазеров. Поэтому в последнее время интерес к экспериментальным и теоретическим исследованиям наноструктур резко возрос. Кроме того, наноструктуры с нетривиальной кривизной обладают необычными магнитными, транспортными и оптическими свойствами. Так, объекты, имеющие цилиндрическую симметрию, представляют уникальную возможность для изучения квантовых интерференционных эффектов таких, например, как незатухающий ток и эффект Ааронова - Бома. Учет различных видов взаимодействия в электронном газе, например спин-орбитального взаимодействия, приводит к появлению интересных особенностей в свойствах наноструктур. Очевидно, что электронные свойства наноструктур должны быть исследованы до появления технологии их производства. В связи с этим, исследование физических свойств электронов в низкоразмерпых структурах является весьма актуальной задачей.

Цель диссертационной работы заключается в теоретическом исследовании электродинамического отклика электронного газа ряда квантовых наноструктур, таких как квантовое кольцо, квантовая яма, точка и двумерный электронный газ. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Выбрать подходящие модели для описания потенциала, удерживающего электроны, в рассматриваемых наноструктурах.

2. Получить удобные для аналитического и численного исследования явные выражения для электродинамического отклика электронов в наноструктурах.

3. Исследовать физические эффекты, возникающие в электродинамическом отклике электронной системы наноструктур, и сравнить их с экспериментом.

4. Исследовать зависимость электродинамического отклика от напряженности магнитного и электрического полей, химического потенциала, температуры и других параметров системы.

5. Проанализировать влияние спин-орбитального взаимодействия на электродинамический отклик в наноструктурах.

6. Получить необходимые для сравнения с экспериментом параметры кривых, описывающих отклик наноструктур (температурная зависимость, положение, форма, высота резонансных пиков и изломов в поглощении, периоды осцилляций магнитного отклика).

7. Провести сравнение полученных результатов для отклика наноструктур с учетом спин-орбитального взаимодействия с данными экспериментальных исследований.

Методы исследования.

Для исследования внутризонных оптических переходов используется стандартный метод, предложенный Фрелихом и основанный на теории возмущений. Для нахождения электронного энергетического спектра квантовой ямы и точки в скрещенных магнитном и электрическом полях используется метод линейного преобразования координат, позволяющий сильно упростить задачу. Для исследования магнитного отклика наноструктур используется подход, предложенный Румером п основанный на применении преобразования Лапласа, а также подход Ландау - преобразование отклика в ряд Фурье с помощью известной формулы суммирования Пуассона.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими основными результатами теоретического исследования:

1. Показано, что поглощение электромагнитного излучения рассматриваемых наноструктур носит резонансный характер.

2. Выявлено, что при низких температурах резонансные пики внутризон-ного поглощения вырожденного электронного газа содержат изломы.

3. Показано, что периоды осцилляций магнитного отклика, положения и интенсивности пиков поглощения сильно зависят от соотношения между напряженностью магнитного поля и параметрами потенциала кон-файнмента.

4. Выявлены осцилляции магнитного отклика с изменением напряженности электрического ноля в квантовых ямах и точках. Исследованы осцилляции магнитного отклика при изменении электрического и магнитного полей. Найдены периоды осцилляций как в магнитном, так и в электрическом поле.

5. Найдены аналитические выражения для магнитного отклика одномерного кольца и двумерного электронного газа с учетом спин-орбитального взаимодействия как для случаев постоянного химического потенциала, так и для случая постоянного числа электронов.

0. Показано, что учет спин-орбитального взаимодействия в магнитном отклике приводит к возннкновению непериодических осцилляций с изменяющейся амплитудой. Проведено сравнение полученных результатов с данными экспериментальных исследований отклика.

Практическая значимость работы.

Результаты диссертационной работы позволяют описать и объяснить ряд экспериментальных данных по электродинамическому отклику: наложение осцилляций типа Аароиова - Бома и де Гааза - ван Альфена в квантовых кольцах, число резонансных пиков па кривых поглощения электромагнитного излучения, зависимость амплитуды осцилляций магнитного отклика от магнитного поля, а также появление дополнительных скачков в магнитном отклике в присутствии спин-орбитального взаимодействия. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными может дать ценную информацию о параметрах электронного конфайнмента и электронного энергетического спектра в рассматриваемых наноструктурах, а также константе спин-орбитального взаимодействия. Анализ резонансной структуры коэффициента поглощения электромагнитного излучения может быть использован при разработке новых инфракрасных датчиков на базе изученных систем.

Основные научные положения, выносимые на защиту.

1. Поглощение электромагнитного излучения квантовым кольцом конечной ширины носит резонансный характер, причем число резонансных пиков в общем случае равно двум. При низких температурах на резонансной кривой поглощения имеются изломы, обусловленные вырождением газа. Положение изломов на резонансной кривой может изменяться с изменением параметров системы. Изломы значительно сглаживаются при небольшом увеличении температуры.

2. Кривая поглощения электромагнитного излучения двойной квантовой ямой носит резонансный характер. Число резонансных пиков равно двум. При низких температурах на резонансной кривой поглощения имеются изломы. Положение изломов и высота резонансных пиков могут изменяться с изменением параметров системы.

3. Магнитный отклик квантового кольца конечной ширины в сильных магнитных полях испытывает осцилляции де Гааза - ван Альфсна, на которые накладываются осцилляции типа Ааронова - Бома с периодом равным одному кванту потока, которые образуют их тонкую структуру, в области же слабых полей осцилляции магнитного отклика имеют период равный двум квантам потока, а в области промежуточных полей осцилляции имеют характер биений.

4. Магнитный отклик квантовых точек и ям в электрическом поле испытывает осцилляции, которые периодичны по квадрату напряженности электрического поля. Отклик квантовой ямы как в случае сильных полей, так и в случае слабых полей, испытывает периодические осцилляции типа до Гааза. - ван Альфена. Магнитные осцилляции квантовой точки периодически осциллируют по обратному полю только в случае сильного магнитного квантования.

5. Зависимость магнитного отклика двумерного электронного газа и одномерного квантового кольца с учетом спин-орбитального взаимодействия от магнитного поля имеет характер непериодических осцилляций с изменяющейся амплитудой. Отклик двумерного газа в случае постоянного числа электронов в системе испытывает периодические осцилляции по обратному магнитному полю.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на 17-й и 18-й международной конференции "Nanostructures: Physics and Technology"

(Минск, 2009 г., Санкт-Петербург, 2010 г.), на X Российской конференции по физике полупроводников (Нижний Новгород, 2011), на XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (Саранск, 2006 г.), на научной конференции Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева "XXXVI Ога-ревские чтения" (Саранск, 2007 г.), на 6-й, 7-й и 8-й Всероссийской молодежной научной школе "Материалы нано-, микро- и оптоэлектроники: физические свойства и применение" (Саранск, 2007-2009 гг.).

Личный вклад.

Личный вклад автора в работе заключается в участии в разработке методов и подходов исследования, а также в аналитическом исследовании полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.

Публикации.

Основные результаты работы отражены в 14 научных работах, из них 5 статей в ведущих рецензируемых научных журналах и 9 тезисов докладов на всероссийских и международных конференциях.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 113 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, включающего 103 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы, описываются используемые методы теоретического исследования и используемые приближения, а также основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводится литературный обзор работ, непосредственно относящихся к теме диссертационного исследования.

Во второй главе изучается электродинамический отклик электронного газа, находящегося в квантовом кольце конечной ширины в магнитном поле. Удерживающий потенциал квантового кольца моделируется радиальным потенциалом, как предложено в [2].

Раздел 2.1 посвящен исследованию оптических переходов электронов, на-

ходящихся в квантовом кольце. В случае вырожденного электронного газа коэффициент внутризонного поглощения для широких квантовых колец можно представить в виде суммы парциальных коэффициентов поглощения

Рис. 1. Зависимость парциального коэффициента поглощения от частоты электромагнитного излучения. Т = 0.01 К, р0 = 1/3., ц = 5 • 10~14 erg, т = 10~п s, п = 1, cdo = 5 ■ 1012s-\ üjc/d0 = 0.1.

г = rnin+1)

p - 2Г ---Т2Г Mbnm,){l - MEnm + ГЩ +

o Síw(l + -Н[Г2 - w/2 - wc/2J )

+o nlnt\o{W+/of /01^ £Л^».-)!1 - + Ш

fiw(l + "H|S2 - ui/2 + wc/2J )

где Гц = тте2тп$/(4c^/e(Q)m*), т - феноменологическое время релаксации, - частота электромагнитного излучения, /о(-Е) - функция распределения Ферми, шс - циклотронная частота, ш = л/4и>1 + , о;0 - характеристическая частота удерживающего потенциала, п3 - концентрация электронов, т* - эффективная масса электрона, е(П) - вещественная часть диэлектрической проницаемости, для которой в рассматриваемой области частот, по предположению, дисперсия отсутствует.

Анализ коэффициента поглощения показывает, что существуют два резонанса в точках fii2 ^ ш/2 шс/2. Они соответствуют переходам (п,т) —> (п+1, т± 1). Таким образом, расстояние между пиками равно циклотронной частоте.

При низких температурах на графиках поглощения существуют изломы кривой, обусловленные пересечениями уровня /л-Ш с энергетическими уровнями электронов. Из условия возникновения изломов ц — hfl = Епт находим, что они возникают на кривой поглощения при частотах электромагнитного излучения

т) = ^ - (п + 1/2V - + (2)

соответственно, для левого и правого пиков. Отметим, что изменение химического потенциала р и среднего радиуса кольца р0 приводит к изменению положения изломов. Изломы сильно сглаживаются даже при малом увеличении температуры.

В Разделе 2.2 исследуется магнитный отклик н незатухающий ток квантового кольца конечной ширины. При температуре Т ф 0 магнитный отклик электронов кольца, когда химический потенциал ц = const, можно представить в виде суммы монотонной и осциллирующей частей М = Mmon + Mosc, где

Мтоп ис ...

—Г" - ~ZT-2ll ' /4 6huJo

Mosc 8^+fajopgKTy. sin [тгтгро/2]

Й2^3 sh [2n2nT/{riu)}

(2nn 2\ n -l 1

x C0S I Iuj^ + 0' ~ 2np0 ' ~

1 f fj, + hu}0pl cos [2тпг(р + fea.'0p§)/(^'2)]

-2тт T^

^sh[2ir2nT/(hu)2)} [ h2u)L02 sin [тгпш/^г

w3 cos [тггш/ш2] sin [2тт(ц + /kJoPo)/(^2)] 1 foju)2 sin2 [7mo)/w2] J

yU + hw0pl cos [27гга(/1 +

^ sh [27г2пГ/(^з)] I /rW3 sin [жни/из]

cos [я-пы/ыз] sin [2vn(p + Йш0Ро)/(^з)] 1 flLOU)3 sin2 [7ГПО)/ыз] J

где р*в - эффективный магнетон Бора, ы2,з = Показано, что неза-

тухающий ток кольца линейно связан с магнитным откликом.

Из формулы (4) следует, что осцилляционная компонента магнитного отклика представляет собой сумму трех компонент. В общем случае, периоды осцилляции этих слагаемых являются функциями магнитного поля. Однако в двух предельных случаях: сильного магнитного квантования (шс а>0) и сильного размерного квантования (шс «С о;0) периоды осцилляций не зависят от поля и их можно иайти в явном виде.

В случае сильного размерного квантования период осцилляций магнитного отклика квантового кольца равен 2Ф0, где Ф0 = 2тг/гс/е - квант магнитного потока.

В случае сильного магнитного квантования период осцилляций первого и третьего слагаемых в (4) равен

Что же касается второй суммы, то она осциллирует только по полю В с периодом равным кванту потока ДФ = Ф0. Следовательно, в сильных полях магнитный отклик кольца испытывают осцилляции по 1 /В типа де Гааза -ван Альфена, и данные осцилляции отличаются от стандартных смещением химического потенциала на величину Й^оРо- Второе осциллирующее слагаемое в (4) дает тонкую структуру осцилляций де Гааза - ван Альфена (рис. 2). Отметим, что в квантовых кольцах [3] экспериментально были обнаружены осцилляции магнетосопротивления (в частности, наложение осцилляции Ааронова - Бома на осцилляции Шубникова - де Гааза), которые подтверждают полученные в работе результаты, поскольку как поведение магнитного отклика, так и поведение магнетосопротивления определяется плотностью состояний электронного газа в наноструктуре.

Отметим, что в области промежуточных полей (ис ~ ш0) осцилляции имеют характер биений.

В третьей главе исследуется электродинамический отклик двойной квантовой ямы, а также квантовых ям и точек в скрещенных магнитном и электрическом полях.

Раздел 3.1 посвящен изучению оптических переходов электронов, находящихся в двойной квантовой яме. Отбросив малый нерезонансный член в поглощении, для вырожденного газа коэффициент внутризошюго поглоще-

(5)

ф/ф0

Рис. 2. График зависимости магнитного отклика для случая сильных полей от магнитного потока. Т = 1К, р0 = 1/3, ц = 5.44-10~13сгд, ¡¿о = 5 • 10125-1.

ния можно представить в виде суммы Г = Г (п), где

£М = Л>Г1 1 + ехр((/х - ЕпЛ/Т) ,, Г0 Ш П 1 + ехр((/л - £„,, - Ш)/Т)

п + 1 + 2з(-1)"уЕсхр(-/?/2)[(п+ !)£„(/?) -

1 + г2[П-Ш0(1 + 5(77п + ??п+1))]2 ' и

Г0 = е2п3ЬхЬут/тп*су/Ид, в = ±1, Ьх и Ьу - размеры системы вдоль осей Ох и Оу, соответственно, /3 = 2а2/11, 10 — ^Н/(тп*ш0), Ап = 1/\/2Пп\у/ъ, Т]п ~ А1 схр(-а2/11)Нп(а/10)[Нп+1(а/10) - 2ггЯи_х(а//0)]/2, 2а - расстояние между минимумами потенциалов одиночных ям. Функция Нп(х) является полиномом Эрмита.

На кривой поглощения имеются два резонансных пика при П = о>о[1 + э(т]п + т/п+1)], которые соответствуют переходам (п,а) —> (и + 1, —в).

При низких температурах на графиках поглощения существуют изломы кривой, обусловленные пересечениями уровня /и — Ш с энергетическими уровнями электронов, при частотах электромагнитного излучения П = ц/К — и;0(п+ 1/2 — вЦп). При увеличении химического потенциала (г происходит смещение изломов и увеличение высоты резонансных пиков.

В Разделе 3.2 исследуется магнитный отклик квантовой ямы и точки в скрещенных магнитном и электрическом полях при постоянном химическом

Ü12345678 S_1 x Ю12

Рис. 3. Графики зависимости коэффициента поглощения от частоты падающего излучения, п = 3, т* — 0.067m0, lü0 = 5 ■ 1012s-1, г = 5 • 10~12s, ц = 2 • 10~14erg, Т = О К.

потенциале.

Магнитный отклик обеих систем вдоль направления магнитного поля В можно представить в виде суммы монотонной по магнитному полю и осциллирующей частей, М = Mmon + Mosc. Монотонная часть отклика для квантовой ямы и точки имеет вид, соответственно,

= m"ujc(ß + g0) Mb 6TTÄ2W0 ' 1 '

Mmon = Uciß + gp) ß*B

где со = е2Е2/(2т*Шд), E - напряженность электрического поля. Подчеркнем, что монотонная часть отклика квантовой ямы (7) отнесена к единице площади.

Осциллирующую часть Mosc представим в виде суммы двух членов М08С/ц*в T(Mi + M^jYi. Для осциллирующей части магнитного отклика квантовой ямы слагаемые имеют вид

_ т* соэ а у, (-1)п8т[27гя(?о + ¿¿)/(^1,2)] 1'2 = ТГ~ ^ 8Ь[27г2ПТ/(Й^'1!2)] 8т(7тш2,1/^1,2)

-1± ТТП

+ ^ йб[2тт(ео + 1,2)]Т

Ш1,2 - £¿2

2 —

а для квантовой точки

д _ 2тт ул (-1)"8т[2тгп(Е0 + м)/(^1,2)] 1,2 _ ш ^ 8Ь[27Г2ПТ/(Г|Ш1,2)] эт^пс^,1/^1,2)

±Щ±Л <^[27гп(£0 + Т ^^Т1'2 <ЛЕ[7гпш2,1М,2]

пш 1,2 Ч)

(10)

Осциллирующая часть магнитного отклика квантовой ямы (9) (также как и монотонная часть) отнесена к единице площади.

Из (9) и (10) видно, что в общем случае период осцилляций магнитного отклика рассматриваемых систем зависит как от магнитного, так и от электрического полей. Периоды осцилляций магнитного отклика квантовой ямы и точки по квадрату напряженности электрического поля для первого и второго слагаемых имеют вид, соответственно,

(Д£2Ь = (и)

Анализ показывает, что магнитный отклик квантовой ямы как в случае сильного магнитного квантования, так 11 в случае сильного размерного квантования, испытывает периодические осцилляции по 1/Б типа де Гааза - ван Аль-фена. Магнитные осцилляции квантовой точки схожи со случаем ямы, но их периодичность по обратному полю имеет место только в случае сильного магнитного квантования.

В четвертой главе проведено исследование магнитного отклика наноструктур с учетом спин-орбитального взаимодействия (СОВ) в модели Рашбы как для случая постоянного химического потенциала, так и для случая постоянного числа электронов в системе. Отмстим, что последний случай наиболее интересный, поскольку именно он реализуется в большинстве экспериментов по измерению намагниченности наноструктур, например в [4,5].

Раздел 4.1 посвящен изучению магнитного отклика двумерного электронного газа (ДЭГ) с СОВ. Исследованы случаи как постоянного химического потенциала, так и постоянного числа электронов в системе. Найдены зависимости отклика от величины магнитного поля для Т ^ 0. Исследование показывает, что зависимость магнитного отклика от напряженности магнитного поля при постоянном химическом потенциале имеет характер непериодических осцилляций с изменяющейся амплитудой. Для случая постоянного числа электронов амплитуда осцилляций отклика также является изменяющейся, однако осцилляции являются периодичными по фактору заполнения и = N/D (где N - число электронов в системе, D - кратность вырождения энергетического уровня), а значит и по обратному полю. Анализ показывает, что учет СОВ в вычислении отклика приводит к появлению скачков и при нечетных значениях фактора заполнения. Это соответствует результатам экспериментальных работ [5-7], в которых исследовалась намагниченность двумерной электронной системы на основе AlGaAs/GaAs - гетероструктуры. Сравнение экспериментальных результатов Wilde и соавторов [G] с нашими результатами для магнитного отклика при Т = 0 и N = const с учетом СОВ показывает, что вычисленный нами магнитный отклик хорошо воспроизводит основные характерные черты экспериментальных результатов, такие как зависимость амплитуды осцилляций от магнитного поля, наличие дополнительных скачков в намагниченности (на фоне основных, предсказанных Пайерлсом [8]) при нечетных значениях фактора заполнения.

В Разделе 4.2 исследуется магнитный отклик и незатухающий ток одномерного квантового кольца с учетом СОВ для случая как постоянного химического потенциала, так и постоянного числа электронов в кольце. Исследование показывает, что зависимость магнитного отклика от напряженности магнитного поля в обоих случаях имеет характер пилообразных осцилляций с изменяющейся амплитудой. Обнаружено, что спиновое расщепление приводит к появлению дополнительных скачков в магнитном отклике. Кроме того, результаты показывают, что учет спин-орбитального и зеемановского расщепления уровней при вычислении отклика приводит к нарушению периодичности осцилляций. Показано, что поскольку магнитный отклик линейно связан с незатухающим током, то такой же характер осцилляций испытывает и незатухающий ток. Поэтому можно сравнить расчеты незатухающего тока в кольце с экспериментальными результатами, полученными для одиночно-

го полупроводникового кольца [9]. Сравнение показывает, что незатухающий ток при N = const, вычисленный на основе параметров эксперимента [9], имеет тот же порядок, что и экспериментальное значение.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам работы:

1. Найдено аналитическое выражение для коэффициента поглощения электромагнитного излучения кольцом конечной ширины в магнитном иоле. Показан резонансный характер поглощения излучения кольцом. Установлено, что поглощение электромагнитного излучения сильно зависит от магнитного поля, причем в общем случае, на кривой поглощения имеются два резонансных пика, однако, при некоторых значениях параметров системы возможно исчезновение одного пика.

2. Исследованы изломы на кривой поглощения электромагнитного излучения, связанные с вырождением электронного газа. Установлена зависимость положения изломов на кривой от параметров системы.

3. Получено аналитическое выражение для коэффициента поглощения электромагнитного излучения двойной квантовой ямой. Показан резонансный характер поглощения излучения, причем на кривой поглощения имеются два резонансных пика и изломы. Установлено, что положения изломов и высота резонансных пиков зависит от параметров системы.

4. Найдено явное аналитическое выражение для магнитного отклика квантового кольца конечной ширины. Подробно изучена зависимость отклика от химического потенциала, температуры, напряженности магнитного поля, и других параметров системы. Показано, что малые отклонения идеальной формы от кругового кольца дают малые поправки в ос-цилляционную картину зависимости магнитного отклика от магнитного поля. В случае неизолированного квантового кольца незатухающий ток линейно связан с магнитным откликом.

5. Исследованы осцилляции магнитного отклика кольца, а также их периоды в различных предельных случаях. В частности, в сильных магнитных полях на осцилляции де Гааза - ван Альфена накладываются осцилляции с периодом равным одному кванту потока типа Ааронова -Бома, которые образуют их тонкую структуру. В области слабых полей осцилляции магнитного отклика имеют период равный двум квантам

потока, а в области промежуточных полей осцилляции имеют характер биений.

6. Получены аналитические выражения для магнитного отклика квантовых ям и точек в скрещенных магнитном и электрическом полях. Подробно изучена зависимость отклика от напряженности как магнитного поля, так и электрического поля.

7. Исследованы осцилляции магнитного отклика, квантовых ям и точек, а также найдены их периоды в различных предельных случаях. Магнитный отклик в электрическом поле испытывает осцилляции, которые периодичны по квадрату напряженности электрического поля. Отклик квантовой ямы как в случае сильных полей, так и в случае слабых полей, испытывает периодические осцилляции типа де Гааза - ван Аль-фена. Магнитные отклик квантовой точки периодически осциллирует по обратному полю только в случае сильного магнитного квантования.

8. Найдены явные аналитические выражения для магнитного отклика двумерного электронного газа и одномерного квантового кольца с учетом спин-орбиталыюго взаимодействия как для случая постоянного химического потенциала, так и для случая постоянного числа электронов. Подробно изучена зависимость отклика от температуры, напряженности магнитного поля, константы спин-орбитального взаимодействия и других параметров системы.

9. Показано, что зависимость магнитного отклика рассматриваемых наноструктур от магнитного поля имеет характер непериодических ос-цилляций с изменяющейся амплитудой. Установлено, что учет спин-орбитапьного взаимодействия в отклике приводит к появлению дополнительных скачков в его зависимости от поля. Отклик двумерного газа в случае постоянного числа электронов в системе испытывает периодические осцилляции по величине обратного магнитного поля.

10. Проведено сравнение полученных теоретических результатов магнитного отклика с экспериментальными данными. Показано, что вычисленный магнитный отклик хорошо воспроизводит основные характерные черты экспериментальных результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[А1] Маргулис В. А. Магнитный момент кольца Волкано / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // ФТТ. - 2008. - Т. 50. - С. 148.

[А2] Маргулис В. А. Орбитальный магнитный момент квантовой ямы и квантовой точки в скрещенных магнитном и электрическом полях / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // ФТТ. - 2010. - Т. 52. - С. 1544.

[A3] Маргулис В. А. Магнитный момент двумерного электронного газа с учетом еппн-орбптального взаимодействия / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // ЖЭТФ. - 2009. - Т. 135. - С. 752.

[А4] Margulis V. A. Magnetic moment of an one-dimensional ring with spin-orbit interaction / V. A. Margulis, V. A. Mironov // Physica E. - 2011. - V. 43. -P. 905.

[A5] Маргулис В. А. Электродинамический отклик квантовго кольца / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2007. — № 4. — С. 137.

[А6] Margulis V. A. Magnetic moment of a two-dimensional electron gas in the presence of spin-orbit interaction / V. A. Margulis, V. A. Mironov // Nanostructures: Physics and Technology. 17th International Symposium. — Minsk, Belarus: June 22-26, 2009. - P. 302.

[A7] Margulis V. A. Magnetic moment of one-dimensional ring with spin-orbit interaction / V. A. Margulis, V. A. Mironov /'/ Nanostructures: Physics and Technology. 18th International Symposium. — Saint Petersburg, Russia: June 21-26, 2010.-P. 216.

[A8] Маргулис В. А. Впутризонное поглощение электромагнитного излучения в двойной квантовой яме / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // X Российская конференция но физике полупроводников. — Нижний Новгород: 19-23 сентября 2011.- Р. 95.

[А9] Миронов В. А. Магнитный момент кольца Волкано / В. А. Миронов // Материалы XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева. - Саранск: 17-21 апреля 2006. - С. 148.

[AlO) Миронов В. А. Поглощение электромагнитного излучения в квантовом кольце / В. А. Миронов, В. А. Маргулис // "Материалы nano-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение": сб. тр. 6-й Всерос. молодеж. науч. шк,— Саранск: 2-5 октября 2007.-С. 33.

[All] Миронов В. А. Поглощение электромагнитного излучения в квантовом кольце / В. А. Миронов // XXXVI Огаревские чтения: материалы науч. копф.: в 3 ч. Ч. 2. Естественные науки. — Саранск: 3-8 декабря 2007. — С. 174.

[А12] Миронов В. А. Магнитный момент двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием / В. А. Миронов, В. А. Маргулис // "Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение": сб. тр. 7-й Всерос. молодеж. науч. шк. — Саранск: 7-10 октября 2008. — С. 33.

[А13] Миронов В. А. Магнитный момент двумерного электронного газа с учетом спин-орбитального взаимодействия / В. А. Миронов // "Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение": сб. тр. 8-й Всерос. молодеж. науч. шк. — Саранск: 5-8 октября 2009. — С. 23.

[А14] Миронов В. А. Магнитный момент квантовой ямы и точки в скрещенных магнитном и электрическом нолях / В. А. Миронов // "Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение": сб. тр. 8-й Всерос. молодеж. науч. шк. — Саранск: 5-8 октября 2009. - С. 35.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Алферов Ж. Двойные гетероструктуры: концепция и применения в физике, электронике и технологии / Ж. Алферов // УФН.— 2002.— Т. 172,- С. 1068.

[2] Tan W. С. Electron states in a two-dimensional ring - an exactly soluble model / W. C. Tan, J. C. Inkson // Semicond. Sei. Technol.- 1996,-V. 11.-P. 1635.

[3] Быков А. А. Магнетотранспортные свойства кольцевого баллистического интерферометра на основе GaAs квантового колодца с высокой концентрацией двумерного электронного газа. / А. А. Быков, А. К. Бакаров, JI. В. Литвин, А. И. Торопов // Письма в ЖЭТФ.- 2000,- Т. 72,-

C. 300.

[4] Meinel I. Magnetization of the fractional quantum Hall states / I. Meinel, T. Hengstmann, D. Grundier. D. Heitmann /'/ Phys. Rev. Lett. — 1999. — V. 82. - P. 819.

[5] Schwarz M. P. Sawtoothlike de Haas-van Alphen oscillations of a two-dimensional electron system / M. P. Schwarz, M. A. Wilde, S. Groth,

D. Grundier, С. Heyn, D. Heitmann // Phys. Rev. В. - 2002,- V. 65,-P. 245315.

[6] Wilde M. A. Experimental evidence of the ideal de Haas-van Alphen effect in a two-dimensional system / M. A. Wilde, M. P. Schwarz, С. Heyn, D. Heitmann, D. Grundler /'/ Phys. Rev. В. - 2006,-V. 73. - P. 125325.

[7] Specht M. Magnetization and energy gaps of a high-mobility 2D electron gas in the quantum limit / M. Specht, S. A. J. Wiegers, L. P. Levy, M. Y. Simmons, D. A. Ritchie, A. Cavanna, B. Etienne, G. Martinez, P. Wyder // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 79. - P. 3238.

[8] Peierls R. E. Zur theorie des diamagnetismus von leitungselektronen. II Starke magnetfelder / R. E. Peierls // Z. Phys. - 1933. - V. 81. - P. 186.

[9] Mailly D. Experimental observation of persistent currents in GaAs-AlGaAs single loop / D. Mailly, C. Chapelier, A. Benoit // Phys. Rev. Lett. - 1993. -V. 70. - P. 2020.

Подписано в печать 17.11.11. Объем 1,25 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1718. Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Миронов, Владимир Александрович

Введение

Обозначения

Глава 1 Литературный обзор

1.1 Оптические внутризонные переходы в наноструктурах.

1.2 Магнитный отклик наноструктур

Глава 2 Электродинамический отклик квантового кольца

2.1 Поглощение электромагнитного излучения квантовым кольцом в магнитном поле.

2.2 Магнитный отклик двумерного квантового кольца.

Глава 3 Электродинамический отклик квантовой точки и квантовых ям

3.1 Поглощение электромагнитного излучения двойной квантовой ямой.

3.2 Магнитный отклик квантовой ямы и точки в скрещенных магнитном и электрическом полях.

Глава 4 Магнитный отклик наноструктур с учетом спин-орбитального взаимодействия

4.1 Магнитный отклик двумерного электронного газа.

4.2 Магнитный отклик одномерного квантового кольца.

Введение диссертация по физике, на тему "Электродинамический отклик в наноструктурах"

В настоящее время достижения в области электроники и информационных технологий стали возможными за счет использования зарядов и спинов электронов. Интегральные микросхемы используются для обработки данных посредством заряда электронов в полупроводниках, в то время как носители информации, например "жесткие диски", используют спин электронов в различных материалах. Современные технологии позволяют контролировать инжекцию и движение электронов в различных полупроводниковых структурах посредством их спиновой степени свободы. Это привело к появлению новой области в физике - полупроводниковая спиновая электроника (или спинтроника), использующая спиновые состояния электронов в полупроводниковых материалах. Применяемые в настоящее время полупроводники в интегральных микросхемах, транзисторах и лазерах, такие как кремний и арсе-нид галлия ((ЗаАя), являются веществами, в которых энергия электрона, при движении во внешнем магнитном поле слабо зависит от направления спина. Тем не менее, в структурах субмикронных размеров, содержащих 102 — 109 электронов и проявляющих металлические, полупроводниковые или диэлектрические свойства, обменные взаимодействия имеют более выраженный характер и наличие спина у электрона становится все более ощутимым. Внимание к этим структурам обусловлено также и уникальными физическими свойствами ряда низкоразмерных систем. Так, в этих системах были открыты интересные физические эффекты, имеющие фундаментальное значение: целый [1] и дробный [2] квантовые эффекты Холла, эффект Ааронова-Бома в квантовых кольцах [3], квантование кондактанса в квантовых проволоках [4] и ряд других.

Наноэлектронные устройства, созданные на базе низкоразмерных систем обладают целым рядом неоспоримых преимуществ перед микроэлектронными устройствами, такими как компактность, энергосбережение, быстродействие и т.д. Как отмечается в [5], возрастание плотности электронных состояний при уменьшении размерности электронного газа обуславливает принципиальное преимущество применения квантово-размерных структур для лазеров. Так же одними из наиболее интересных приложений являются квантовые вычисления и квантовые компьютеры, которые сейчас интенсивно разрабатываются [6,7]. В ряде работ предложены возможные конструкции квантового интерференционного транзистора, квантового переключателя [8,9], они, в свою очередь, могут использоваться в качестве структурных элементов квантовых приборов электроники будущего.

Развитие технологий создания полупроводниковых гетероструктур с заранее заданными параметрами, а так же успехи в литографии позволили создавать наноструктуры с различными удерживающими электронными потенциалами. К числу таких структур относятся квантовые ямы, точки, кольца, а также более экзотические - квантовые цилиндры и браслеты. Поэтому в по- ■ следнее время интерес к экспериментальным и теоретическим исследованиям наноструктур резко возрос. Кроме того, наноструктуры с нетривиальной кривизной обладают необычными магнитными, транспортными и оптическими, свойствами. Так, объекты, имеющие цилиндрическую симметрию, представляют уникальную возможность для изучения квантовых интерференционных эффектов таких, например, как незатухающий ток и эффект Ааронова - Бома. Учет различных видов взаимодействия в электронном газе, например спин-орбитального взаимодействия, приводит к появлению интересных особенностей в свойствах наноструктур.

Необходимо отметить, что теоретическое исследование электродинамических свойств наноструктур является сложной проблемой, особенно, если система обладает сложным потенциалом конфайнмента и находится во внешних полях. Поэтому большинство теоретических исследований в этой области, как правило, ограничиваются лишь немного модифицированными стартовыми выражениями, а далее применяются численные методы, которые не всегда позволяют выявить физическую природу различных явлений, а также проанализировать все их особенности.

В связи с этим возникает задача диссертационного исследования: получить, удобные для дальнейшего анализа, аналитические формулы для электродинамического отклика наноструктур с различными потенциалами кон-файнмента; проанализировать эффекты, возникающие в магнитном отклике и коэффициенте поглощения электромагнитного излучения электронной системы; исследовать зависимость электродинамического отклика от напряженности магнитного поля, параметров потенциала конфайнмента и других параметров системы; получить необходимые для сравнения с экспериментом параметры кривых, описывающих отклик наноструктур (температурная зависимость, положение, форма, высота резонансных пиков и изломов в поглощении, периоды осцилляций магнитного отклика); учесть влияние спин-орбитального взаимодействия на электродинамический отклик в наноструктурах и проанализировать особенности в зависимости отклика от параметров системы.

Начиная исследование с квантового кольца конечной ширины, который моделируется потенциалом, рассмотренным в работе [10], в диссертации делается переход к квантовым точкам, ямам, двумерному электронному газу и одномерному кольцу. Потенциал модели [10] успешно использовался для объ-> яснения биений в осцилляциях Ааронова-Бома, которые экспериментально наблюдались в двумерном полупроводниковом кольце [11]. Для описания потенциала конфайнмента квантовых точек и ям используется параболический потенциал, который имеет ряд преимуществ. Во-первых, экспериментально создаются структуры с подобным потенциалом [12-14]. Во-вторых, в соответствии с [15,16] электрон-электронное взаимодействие не влияет в этом случае на электронные переходы, что существенно для исследования электродинамического отклика. В-третьих, даже в присутствии внешнего магнитного и электрического полей параболический потенциал приводит к квадратичному гамильтониану, спектр которого легко получить в явном виде, что дает возможность получения явных формул для описания различных свойств системы и детального исследования полученных зависимостей. В работе исследовались случаи, когда рассматриваемые системы помещались в магнитное и электрическое поля, которые могут изменять электронный конфайнмент, а следовательно, и изменять физические свойства наноструктур. В четвертой главе диссертационной работы исследуются свойства наноструктур с учетом спин-орбитального взаимодействия в модели Рашбы [17]. Этот случай наиболее интересен потому, что дает возможность управления константой спин-орбитального взаимодействия внешним электрическим полем [18,19].

Во всех разделах для описания электронных состояний в наноструктурах используется модель независимых электронов и приближение эффективной массы. Использование такой модели в теоретических исследованиях обусловлено тем, что она позволяет получить простые аналитические выражения для электронного спектра наноструктур, даже при наличии внешних полей и далее найти явные аналитические выражения для свойств наноси-стем. Это играет важную роль в понимании физических свойств реальных систем.

В диссертации для исследования магнитного отклика наноструктур используется подход, предложенный Румером и основанный на применении преобразования Лапласа, а также подход Ландау - преобразование отклика в ряд Фурье с помощью известной формулы суммирования Пуассона. Эти'методы позволили получить простые формулы для магнитного отклика в виде однократного ряда Фурье, что позволило провести детальное аналитическое исследование кривых зависимости магнитного отклика от магнитного поля, химического потенциала, температуры и параметров потенциала конфайн-мента.

1. Показано, что поглощение электромагнитного излучения рассматривавмых наноструктур носит резонансный характер.

4. Обнаружены осцилляции магнитного отклика с изменением напряженности электрического поля в квантовых ямах и точках. Исследованы осцилляции магнитного отклика при изменении электрического и магнитного полей. Найдены периоды осцилляций, как в магнитном, так и в электрическом поле.

6. Показано, что учет спин-орбитального взаимодействия в магнитном отклике приводит к возникновению непериодических осцилляций с изменяющейся амплитудой. Проведено сравнение полученных результатов с данными экспериментальных исследований отклика.

Результаты диссертационной работы позволяют описать и объяснить ряд экспериментальных данных по электродинамическому отклику: наложение осцилляции типа Ааронова - Бома и де Гааза - ван Альфена в квантовых кольцах, число резонансных пиков на кривых поглощения электромагнитного излучения, зависимость амплитуды осцилляций магнитного отклика от магнитного поля, а также появление дополнительных скачков в магнитном отклике в присутствии спин-орбитального взаимодействия. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными может дать ценную информацию о параметрах электронного конфайнмента и электронного энергетического спектра в рассматриваемых наноструктурах, а также константе спин-орбитального взаимодействия. Анализ резонансной структуры коэффициента поглощения электромагнитного излучения может быть использовано при разработке новых инфракрасных датчиках на базе изученных систем.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [А1-А14], а так же докладывались на 17-й и 18-й международной конференции "Nanostructures: Physics and Technology" (Минск, 2009 г., Санкт-Петербург, 2010 г.), на X Российской конференции по физике полупроводников (Нижний Новгород, 2011), на XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (Саранск, 2006 г.), на научной конференции Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева "XXXVI Огаревские чтения" (Саранск, 2007 г.), на 6-й, 7-й и 8-й Всероссийской молодежной научной школы "Материалы нано-, микро- и оптоэлектроники: физические свойства и применение" (Саранск, 2007-2009 гг.).

Основные положения, выносимые на защиту:

3. Магнитный отклик квантового кольца конечной ширины в сильных магнитных полях испытывает осцилляции де Гааза - ван Альфена, на которые накладываются осцилляции типа Ааронова - Бома с периодом равным одному кванту потока, которые образуют их тонкую структуру, в области же слабых полей осцилляции магнитного отклика имеют период равный двум квантам потока, а в области промежуточных полей осцилляции имеют характер биений.

4. Магнитный отклик квантовых точек и ям в электрическом поле испытывает осцилляции, которые периодичны по квадрату величины электрического поля. Отклик квантовой ямы, как в случае сильных полей, так и в случае слабых полей, испытывает периодические осцилляции типа де Гааза - ван Альфена. Магнитные осцилляции квантовой точки периодически осциллируют по обратному полю только в случае сильного магнитного квантования.

Личный вклад автора в работу заключается в участии в разработке методов и подходов исследования, а также в аналитическом исследовании полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.

В Главе 1 приводится обзор известных исследований по тематике диссертации. Описываются общепринятые подходы и методы исследований. Формулируются задачи диссертационного исследования.

Глава 2 посвящена изучению электродинамического отклика электронного газа, находящийся в квантовом кольце конечной ширины в магнитном поле. Найдено аналитическое выражение для коэффициентов поглощения электромагнитного излучения кольцом для случая, когда вектор поляризации фотонов перпендикулярен магнитному полю. Детально исследованы положение и число резонансных пиков, а также расстояния между пиками поглощения. Изучены изломы на кривой поглощения, обусловленные вырождением электронного газа. Так же получены явные аналитические выражения для магнитного отклика и незатухающего тока. Изучена зависимость магнитного отклика от магнитных полей и температуры. Найдены периоды осцилляций и рассмотрены предельные случаи сильных и слабых полей.

В Главе 3 изучен электродинамический отклик двойной квантовой ямы, а также квантовых ям и точек в скрещенных магнитном и электрическом полях. Найдено аналитическое выражение для коэффициента поглощения электромагнитного излучения двойной ямой, когда вектор поляризации фотонов перпендикулярен поверхности ямы. Детально исследованы положение и число резонансных пиков, а также расстояния между пиками поглощения. Изучены изломы на кривой поглощения. Так же получены явные аналитические выражения для магнитного отклика квантовых ям и точек. Исследованы осцилляции магнитного отклика при изменении электрического и магнитного полей. Найдены периоды осцилляций как в магнитном, так и в электрическом поле, рассмотрены предельные случаи сильного магнитного и размерного квантования.

Глава 4 посвящена исследованию магнитного отклика наноструктур с учетом спин-орбитального взаимодействия. Получено явное аналитическое выражение для отклика двумерного электронного газа и одномерного квантового кольца с учетом спин-орбитального взаимодействия. Исследованы случаи постоянного химического потенциала и постоянного числа электронов. Изучена зависимость магнитного отклика от магнитных полей и температуры. Получено и изучено соотношение между откликом и незатухающим током в кольце. Проведено сравнение полученных результатов с данными экспериментальных исследований.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю В.А. Маргулису за неоценимую помощь при подготовке диссертации, а также A.B. Шорохову, М.А. Пятаеву и И.А. Кокурину за консультации и помощь в расчетах.

Обозначения

А - векторный потенциал электромагнитного поля В - вектор индукции магнитного поля с - скорость света в вакууме е - заряд электрона g - электронный g-фaктop а - эффективная константа спин-орбитального взаимодействия

Шо ~ масса свободного электрона т* - эффективная масса электрона

Т - температура

Н - постоянная Планка цв = \e\hf2moc - магнетон Бора ц*в = \е\Н/2т*с - эффективный магнетон Бора

Фо = 27гс/г/|е| - квант магнитного потока

I - химический потенциал ис = \еВ\/т*с - циклотронная частота

Ер - энергия Ферми о(Е) = 1/(1 + ехр[(.Б — ц)/Т]) - функция распределения Ферми

Заключение диссертации по теме "Оптика"

Основные результаты исследований:

1. Найдено аналитическое выражение для коэффициента поглощения электромагнитного излучения кольцом конечной ширины в магнитном поле. Показан резонансный характер поглощения излучения кольцом. Установлено, что поглощение электромагнитного излучения сильно зависит от магнитного поля, причем в общем случае на кривой поглощения имеются два резонансных пика, однако, при некоторых значениях параметров системы возможно исчезновение одного пика.

4. Найдено явное аналитическое выражение для магнитного отклика квантового кольца конечной ширины. Подробно изучена зависимость отклика от химического потенциала, температуры, напряженности магнитного поля, и других параметров системы. Показано, что малые отклонения идеальной формы от кругового кольца дают малые поправки в осцилля-ционную картину зависимости магнитного отклика от магнитного поля. В случае неизолированного квантового кольца незатухающий ток линейно связан с магнитным откликом.

5. Исследованы осцилляции магнитного отклика кольца, а также их периоды в различных предельных случаях. В частности, в сильных магнитных полях на осцилляции де Гааза - ван Альфена накладываются осцилляции с периодом равным одному кванту потока типа Ааронова - Бома, которые образуют их тонкую структуру. В области слабых полей осцилляции магнитного отклика имеют период равный двум квантам потока, а в области промежуточных полей осцилляции имеют характер биений.

7. Исследованы осцилляции магнитного отклика квантовых ям и точек, а также найдены их периоды в различных предельных случаях. Магнитный отклик в электрическом поле испытывает осцилляции, которые периодичны по квадрату напряженности электрического поля. Отклик квантовой ямы как в случае сильных полей, так и в случае слабых полей, испытывает периодические осцилляции типа де Гааза - ван Альфена. Магнитные отклик квантовой точки периодически осциллирует по обратному полю только в случае сильного магнитного квантования.

8. Найдены явные аналитические выражения для магнитного отклика двумерного электронного газа и одномерного квантового кольца с учетом спин-орбитального взаимодействия как для случая постоянного химического потенциала, так и для случая постоянного числа электронов. Подробно изучена зависимость отклика от температуры, напряженности магнитного поля, константы спин-орбитального взаимодействия и других параметров системы.

9. Показано, что зависимость магнитного отклика рассматриваемых наноструктур от магнитного поля имеет характер непериодических осцилля-ций с изменяющейся амплитудой. Установлено, что учет спин-орбитального взаимодействия в отклике приводит к появлению дополнительных скачков в его зависимости от поля. Отклик двумерного газа в случае постоянного числа электронов в системе испытывает периодические осцилляции по величине обратного магнитного поля.

Список публикаций по теме диссертации

А1] Маргулис В. А. Магнитный момент кольца Волкано / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // ФТТ. - 2008. - Т. 50. - С. 148.

А2] Маргулис В. А. Орбитальный магнитный момент квантовой ямы и квантовой точки в скрещенных магнитном и электрическом полях / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // ФТТ. - 2010. - Т. 52. - С. 1544.

A3] Маргулис В. А. Магнитный момент двумерного электронного газа с учетом спин-орбитального взаимодействия / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // ЖЭТФ. - 2009. - Т. 135. - С. 752.

А4] Margulis V. A. Magnetic moment of an one-dimensional ring with spin-orbit interaction / V. A. Margulis, V. A. Mironov // Physica E. — 2011. — V. 43. — P. 905.

A5] Маргулис В. А. Электродинамический отклик квантового кольца / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2007. — № 4. — С. 137.

Аб] Margulis V. A. Magnetic moment of a two-dimensional electron gas in the presence of spin-orbit interaction / V. A. Margulis, V. A. Mironov // Nanostructures: Physics and Technology. 17th International Symposium. — Minsk, Belarus: June 22-26, 2009. - P. 302.

A7] Margulis V. A. Magnetic moment of one-dimensional ring with spin-orbit interaction / V. A. Margulis, V. A. Mironov // Nanostructures: Physics and Technology. 18th International Symposium. — Saint Petersburg, Russia: June 21-26, 2010.-P. 216.

A8] Маргулис В. А. Внутризонное поглощение электромагнитного излучения в двойной квантовой яме / В. А. Маргулис, В. А. Миронов // X Российская конференция по физике полупроводников. — Нижний Новгород: 19-23 сентября 2011. - Р. 95.

А9] Миронов В. А. Магнитный момент кольца Волкано / В. А. Миронов // Материалы XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева. — Саранск: 17-21 апреля 2006. - С. 148.

А10] Миронов В. А. Поглощение электромагнитного излучения в квантовом кольце / В. А. Миронов, В. А. Маргулис // "Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение": сб. тр. 6-й Всерос. молодеж. науч. шк. — Саранск: 2-5 октября 2007.-С. 33.

All] Миронов В. А. Поглощение электромагнитного излучения в квантовом кольце / В. А. Миронов // XXXVI Огаревские чтения: материалы науч. конф.: в 3 ч. Ч. 2. Естественные науки. — Саранск: 3-8 декабря 2007.— С. 174.

А12] Миронов В. А. Магнитный момент двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием / В. А. Миронов, В. А. Маргулис // "Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение": сб. тр. 7-й Всерос. молодеж. науч. шк. - Саранск: 7-10 октября 2008. - С. 33.

А13] Миронов В. А. Магнитный момент двумерного электронного газа с учетом спин-орбитального взаимодействия / В. А. Миронов // "Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение": сб. тр. 8-й Всерос. молодеж. науч. шк. — Саранск: 5-8 октября 2009. - С. 23.

А14] Миронов В. А. Магнитный момент квантовой ямы и точки в скрещенных магнитном и электрическом полях / В. А. Миронов // "Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение": сб. тр. 8-й Всерос. молодеж. науч. шк. — Саранск: 5-8 октября 2009. - С. 35.

Заключение

В диссертации проведены теоретические исследования поглощения электромагнитного излучения в квантовом кольце и двумерной квантовой яме; магнитного отклика и незатухающего тока квантового кольца, ямы и точки, а также двумерного электронного газа и одномерного кольца с учетом спин-орбитального взаимодействия.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Миронов, Владимир Александрович, Саранск

1. von Klitzing К. New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance / K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper // Phys. Rev. Lett. 1980. - V. 45. - P. 494.

2. Tsui D. C. Two-dimensional magnetotransport in the extreme quantum limit / D. C. Tsui, H. L. Stormer, A. C. Gossard // Phys. Rev. Lett.— 1982. V. 48. - P. 1559.

3. Aharonov Y. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory / Y. Aharonov, D. Bohm // Phys. Rev. 1959. - V. 115. - P. 485.

4. Buttiker M. Four-terminal phase-coherent conductance / M. Buttiker // Phys. Rev. Lett. 1986. - V. 57. - P. 1761.

5. Алферов Ж. Двойные гетероструктуры: концепция и применения в физике, электронике и технологии / Ж. Алферов // УФН.— 2002.— Т. 172. С. 1068.

6. Hines А. P. Quantum walks, quantum gates, and quantum computers / A. P. Hines, P. С. E. Stamp // Phys. Rev. A. 2007. - V. 75. - P. 062321.

7. Brion E. Error correction in ensemble registers for quantum repeaters and quantum computers / E. Brion, L. H. Pedersen, M. Saffman, K. Molmer // Phys. Rev. Lett. 2008. - V. 100. - P. 110506.

8. Гейлер В. А. Квантовое кольцо в магнитном поле и выпрямитель, основанный на квантовой интерференции / В. А. Гейлер, И. Ю. Попов // Письма в ЖЭТФ. 2001. - Т. 27. - С. 7.

9. Pavlov B. S. Possible construction of a quantum multiplexer / B. S. Pavlov, I. Y. Popov, V. A. Geyler, 0. S. Pershenko // Europhys. Lett. — 2000.— V. 52. P. 196.

10. Tan W. C. Electron states in a two-dimensional ring an exactly soluble model / W. C. Tan, J. C. Inkson // Semicond. Sci. Technol.— 1996.-V. 11.-P. 1635.

11. Liu J. Correlations between Aharonov-Bohm effects and one-dimensional subband populations in GaAs/AlxGa\^xAs rings / J. Liu, W. X. Gao, K. Ismail, K. Y. Lee, J. M. Hong, S. Washburn // Phys. Rev. B.- 1993.-V. 48. P. 15148.

12. Dahl C. Dimensional resonances in elliptic electron disks / C. Dahl, F. Brinkop, A. Wixforth, J. P. Kotthaus, J. H. English, M. Sandaram // Solid State Comm. 1991. - V. 80. - P. 673.

13. Meurer B. Single-electron charging of quantum-dot atoms / B. Meurer, D. Heitmann, K. Ploog // Phys. Rev. Lett. 1992. - V. 68. - P. 1371.

14. Sikorski C. Spectroscopy of electronic states in InSb quantum dots / C. Sikorski, U. Merkt // Phys. Rev. Lett. 1989. - V. 62. - P. 2164.

15. Kohn W. Cyclotron resonance and de Haas-van Alphen oscillations of an interacting electron gas / W. Kohn // Phys. Rev. 1961. - V. 123. - P. 1242.

16. Li Q. P. Electrodynamic response of a harmonic atom in an external magnetic field / Q. P. Li, K. Karrai, S. K. Yip, S. D. Sarma, H. D. Drew // Phys. Rev. B. — 1991. — V. 43.-P. 5151.

17. Bychkov Y. A. Oscillatory effects and the magnetic susceptibility of carriers in inversion layers / Y. A. Bychkov, E. I. Rashba //J. Phys. C: Solid State Phys. 1984. - V. 17. - P. 6039.

18. Nitta J. Gate control of spin-orbit interaction in an inverted ^0.53^0.47^5/1710.52^^0.48^5 heterostructure / J. Nitta, T. Akazaki, H. Takayanagi, T. Enoki // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78. - P. 1335.

19. Nitta J. Electrical manipulation of spins in the Rashba two dimensional electron gas systems / J. Nitta, T. Bergsten, Y. Kunihashi, M. Kohda // Appl. Phys. 2009. - V. 105. - P. 122402.

20. Brey L. Optical and magneto-optical absorption in parabolic quantum wells / L. Brey, N. Johnson, B. J. Halperin // Phys. Rev. B.— 1989.- V. 40.-P. 10647.

21. Maksym P. A. Quantum dots in a magnetic field: role of electron-electron interactions / P. A. Maksym, T. Chakraborty // Phys. Rev. Lett. — 1990.— V. 65.-P. 108.

22. Merkt U. Energy spectra of two electrons in a harmonic quantum dot / U. Merkt, J. Huser, M. Wagner // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43. - P. 7320.

23. Demel T. Nonlocal dynamic response and level crossings in quantum-dot structures / T. Demel, D. Heitmann, P. Grambow, K. Ploog // Phys. Rev. Lett. 1990. - V. 64. - P. 788.

24. MacDonald A. H. Cyclotron resonance in two dimensions: electron-electron interactions and band nonparabolicity / A. H. MacDonald, C. Kallin // Phys. Rev. B. 1989. - V. 40. - P. 5795.

25. Karrai K. Magnetoplasma effects in a quasi-three-dimensional electron gas / K. Karrai, H. D. Drew, M. W. Lee, M. Shayegan // Phys. Rev. B. 1989. -V. 39. - P. 1426.

26. Allen S. J. Dimensional resonance of the two-dimensional electron gas in selectively doped GaAs/AlGaAs heterostructures / S. J. Allen, H. L. Stormer, J. C. M. Hwang // Phys. Rev. B. 1983. - V. 28. - P. 4875.

27. Alsmeier J. Voltage-tunable quantum dots on silicon / J. Alsmeier, E. Batke, J. P. Kotthaus // Phys. Rev. B. 1990. - V. 41. - P. 1699.

28. Meurer B. Single-electron charging of quantum-dot atoms / B. Meurer, D. Heitmann, K. Ploog // Phys. Rev. Lett. 1992. - V. 68.- P. 1371.

29. Fröhlich H. Electrons in lattice fields / H. Fröhlich // Adv. in Phys. 1954. — V. 3. - P. 325.

30. Басс Ф. Г. Циклотронно-фононный резонанс в полупроводниках / Ф. Г. Басс, И. Б. Левинсон // ЖЭТФ. 1965. - Т. 49. - С. 914.

31. Баканас Р. К. Циклотронно-фононное поглощение в вырожденных полупроводниках / Р. К. Баканас // ФТТ. 1970. - Т. 12. - С. 3408.

32. Liu С. Т. Magneto-optics of a quasi-zero-dimensional electron gas / С. Т. Liu, К. Nakamura, D. С. Tsui, К. Ismail, D. A. Antoniadis, H. I. Smith // Appl. Phys. Lett. 1989. - V. 55. - P. 168.

33. Madhav A. V. Electronic properties of anisotropic quantum dots in a magnetic field / A. V. Madhav, T. Chakraborty // Phys. Rev. В. 1994.— V. 49.-P. 8163.

34. Булаев Д. В. Электродинамический отклик наносферы / Д. В. Булаев, В. А. Гейлер, В. А. Маргулис // ФТТ. 2002. - Т. 44. - С. 471.

35. Галкин Н. Г. Внутризонное поглощение электромагнитного излучения квантовыми наноструктурами с параболическим потенциалом конфайн-мента / Н. Г. Галкин, В. А. Маргулис, А. В. Шорохов // ФТТ. 2001. — Т. 43.-С. 511.

36. Быков А. А. Микроволновое фотосопротивление в двойной квантовой яме при больших факторах заполнения / А. А. Быков, Д. Р. Исламов, А. В. Горан, А. И. Торопов // Письма в ЖЭТФ. 2008. - Т. 87. - С. 563.

37. Елесин В. Ф. Высокочастотный нелинейный отклик двухъямных наноструктур / В. Ф. Елесин, И. Ю. Катеев // ФТТ. 2005. - Т. 39. - С. 1106.

38. Boebinger G. S. Measurement of Fermi-surface distortion in double quantum wells from in-plane magnetic fields / G. S. Boebinger, A. Passner, L. N. Pfeiffer, К. W. West // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43. - P. 12673.

39. Arapov Y. G. Spectrum of Landau levels of a double quantum well in an inclined magnetic field / Y. G. Arapov, V. N. Neverov, G. I. Harus,

40. N. G. Shelushinina, M. Y. Yakunin // Low Temperature Physics. — 2009. — V. 35,- P. 133.

41. Merzbacher E. Quantum mechanics / E. Merzbacher. — New York: Wiley, 1970.-635 pp.

42. Banerjee K. Anharmonic oscillators and double wells: closed-form global approximants for eigenvalues / K. Banerjee, J. K. Bhattacharjee // Phys. Rev. D. 1984. - V. 29. - P. 1111.

43. Zhou F. Energy splitting in symmetric double-well potentials / F. Zhou, Z. Cao, Q. Shen // Phys. Rev. A. 2003. - V. 67. - P. 062112.

44. Петров А. Г. Межуровневе оптические переходы в квантовых ямах / А. Г. Петров, А. Я. Шик // ФТП. 1993. - Т. 27. - С. 1047.

45. Landau L. Paramagnetism of metals / L. Landau // Z. Phys. — 1930. — V. 64.-P. 629.45. de Haas W. J. / W. J. de Haas, P. M. van Alphen // Leiden Commun. — 1930,-V. 212.-P. 215.

46. Лифшиц И. M. К теории магнитной воисприимчивости металлов при низкой температуре / И. М. Лифшиц, А. М. Косевич // ЖЭТФ. — 1955. — Т. 29. С. 730.

47. Peierls R. Е. Zur theorie des diamagnetismus von leitungselektronen. II Starke magnetfelder / R. E. Peierls // Z. Phys. 1933. - V. 81. - P. 186.

48. Zawadzki W. Oscillatory magnetization of two-dimensional electron gas / W. Zawadzki // Solid State Comm. 1983. - V. 47. - P. 317.

49. Filina L. I. Magnetic moment of a three-dimensional quantum well in a quantizing magnetic field / L. I. Filina, V. A. Geyler, V. A. Margulis, О. B. Tomilin // Phys. Rev. A. 1998. - V. 244. - P. 295.

50. Абрикосов А. А. Основы теории металлов / А. А. Абрикосов. — M.: Наука, 1987. 520 с.

51. Cheung H. F. Persistent currents in small one-dimensional metal rings / H. F. Cheung, Y. Gefen, E. K. Riedel, W. H. Shih // Phys. Rev. B. 1988. -V. 37. - P. 6050.

52. Meyr Y. Magnetic-field and spin-orbit interaction in restricted geometries: Solvable models / Y. Meyr, 0. Entin-Wohlman, Y. Gefen // Phys. Rev. B. — 1990.-V. 42.-P. 8351.

53. Гейлер В. А. Магнитный момент параболической квантовой ямы в перпендикулярном магнитном поле / В. А. Гейлер, В. А. Маргулис, И. В. Чу-даев // ЖЭТФ. 1996. - Т. 109. - С. 762.

54. Geyler V. A. Specific heat of quasi-two-dimensional systems in a magnetic field / V. A. Geyler, V. A. Margulis // Phys. Rev. В. 1997.- V. 55.-P. 2543.

55. Ajiki H. Electronic states of carbon nanotubes / H. Ajiki, T. Ando //J. Phys. Soc. Jpn. 1993. - V. 62. - P. 1255.

56. Гейлер В. А. Магнитный отклик двумерного вырожденного электронного газа в наноструктурах с цилиндрической симметрией / В. А. Гейлер,

57. B. А. Маргулис, А. В. Шорохов // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - С. 1450.

58. Зегря Г. Г. Квантование магнитной индукции в 21)-системе в условиях квантового эффекта Холла / Г. Г. Зегря // ФТП.- 1999.- Т. 33.1. C. 1144.

59. Tan W. С. Magnetization, persistent currents, and their relation in quantum rings and dots / W. C. Tan, J. C. Inkson // Phys. Rev. B. 1999. - V. 60. -P. 5626.

60. Kim N. Electronic structure of a magnetic quantum ring / N. Kim, G. Ihm, H. S. Sim, K. J. Chang // Phys. Rev. B. 1999. - V. 60. - P. 8767.

61. Ihm G. Oscillating magnetization of quantum wells and wires in tilted magnetic fields / G. Ihm, M. L. Falk, S. K. Noh, J. I. Lee, S. J. Lee // Phys. Rev. B. 1992. - V. 46. - P. 15530.

62. Шикин В. Б. Квазиодномерный электронный газ в магнитном поле / В. Б. Шикин // ЖЭТФ. 1992. - Т. 101. - С. 1599.

63. Berggren К. F. Magnetic depopulation of ID subbands in a narrow 2D electron gas in a GaAs : AlGaAs heterojunction / K. F. Berggren, T. J. Tornton, D. J. Newson, M. Pepper // Phys. Rev. Lett.- 1986. — V. 57.-P. 1769.

64. Чаплик А. В. Электронные свойства квантовых точек / А. В. Чаплик // Письма в ЖЭТФ. 1989. - Т. 50. - С. 38.

65. Wang X. F. Magnetotransport in a two-dimensional electron gas in the presence of spin-orbit interaction / X. F. Wang, P. Vasilopoulos // Phys. Rev. B. 2003. - V. 67. - P. 085313.

66. Luo J. Effects of inversion asymmetry on electron energy band structures in GaSb/InAs/GaSb quantum wells / J. Luo, H. Munekata, F. F. Fang, P. J. Stiles // Phys. Rev. В. 1990.- V. 41.- P. 7685.

67. Васильев Ю. В. Влияние спин-орбитального взаимодействия на циклотронный резонанс двумерных электронов / Ю. Б. Васильев, С. Д. Сучал-кин, С. В. Иванов, Б. Я. Мельцер, П. С. Копьев // Письма в ЖЭТФ.— 2004. Т. 79. - С. 674.

68. Wilde М. A. Experimental evidence of the ideal de Haas-van Alphen effect in a two-dimensional system / M. A. Wilde, M. P. Schwarz, C. Heyn, D. Heitmann, D. Grundler // Phys. Rev. B. 2006. - V. 73. - P. 125325.

69. Wilde M. A. Direct measurements of the spin and valley splittings in the magnetization of a Si/SiGe quantum well in tilted magnetic fields / M. A. Wilde, M. Rhode, C. Heyn, D. Heitmann, D. Grundler // Phys. Rev. B. 2005. - V. 72. - P. 165429.

70. Ruhe N. Simultaneous measurement of the de Haas-van Alphen and the Shubnikov-de Haas effect in a two-dimensional electron system / N. Ruhe, J. I. Springborn, C. Heyn, M. A. Wilde, D. Grundler // Phys. Rev. B.— 2006. V. 74. - P. 235326.

71. Schwarz M. P. Sawtoothlike de Haas-van Alphen oscillations of a two-dimensional electron system / M. P. Schwarz, M. A. Wilde, S. Groth, D. Grundler, C. Heyn, D. Heitmann // Phys. Rev. B.- 2002.- V. 65.-P. 245315.

72. Levy L. P. Magnetization of mesoscopic copper rings: Evidence for persistent currents / L. P. Levy, G. Dolan, J. Dunsmuir, H. Bouchiat // Phys. Rev. Lett. 1990. - V. 64. - P. 2074.

73. Chandrasekhar V. Magnetic response of a single, isolated gold loop / V. Chandrasekhar, R. A. Webb, M. J. Brady, M. B. Ketchen, W. J. Gallagher, A. Kleinsasser // Phys. Rev. Lett. 1991. - V. 67. - P. 3578.

74. Mailly D. Experimental observation of persistent currents in GaAs—AlGaAs single loop / D. Mailly, C. Chapelier, A. Benoit // Phys. Rev. Lett. — 1993. — V. 70.-P. 2020.

75. Kleemans N. A. J. M. Oscillatory persistent currents in self-assembled quantum rings / N. A. J. M. Kleemans, I. M. A. Bominaar-Silkens, V. M. Fomin, V. N. Gladilin, D. Granados, A. G. Taboada, J. M. Garcia,

76. P. Offermans, U. Zeitler, P. С. M. Christianen, J. С. Maan, J. Т. Devreese, P. M. Koenraad // Phys. Rev. Lett. 2007. - V. 99. - P. 146808.

77. Rabaud W. Persistent currents in mesoscopic connected rings / W. Rabaud, L. Saminadayar, D. Mailly, K. Hasselbach, A. Benoit, B. Etienne // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 86. - P. 3124.

78. Шенберг Д. Магнитные осцилляции в металлах / Д. Шенберг. — М.: Мир, 1986. 678 с.

79. Ландау JI. Д. Теоретическая физика: в 10 т. / JI. Д. Ландау, Е. М. Лиф-шиц. М.: Наука, 1976. - Т. V. - 584 с.

80. Румер Ю. Б. К теории магнетизма электронного газа / Ю. Б. Румер // ЖЭТФ. 1948. - Т. 18. - С. 1081.

81. Демиховский В. Я. Физика квантовых низкоразмерных структур /

82. B. Я. Демиховский, Г. А. Вугальтер. — М.: Логос, 2000. — 248 с.

83. Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их применения / А. М. Переломов. — М.: Наука, 1987. — 269 с.

84. Абрамович М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

85. Ансельм А. И. Введение в теорию полупроводников / А. И. Ансельм. — М.: Наука, 1978.-615 с.

86. Esaki L. New phenomenon in magnetoresistance of bismuth at low temperature / L. Esaki // Phys. Rev. Lett. 1962. - V. 8. - P. 4.

87. Малкин И. А. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем / И. А. Малкин, В. И. Манько. — М.: Наука, 1979. — 320 с.

88. Гейлер В. А. Магнитный момент квазиодномерной наноструктуры в наклонном магнитном поле / В. А. Гейлер, В. А. Маргулис, О. Б. Томи-лин // Письма в ЖЭТФ. 1996. - Т. 63. - С. 549.

89. Burnett J. H. Photoluminescence excitation spectroscopy of Be-remotely-doped wide parabolic GaAs/'AlxGa\-xAs quantum wells / J. H. Burnett, H. M. Cheong, W. Paul, P. F. Hopkins, A. C. Gossard // Phys. Rev. B.-1993. V. 48. - P. 7940.

90. Fritze M. Interband spectroscopy of a quasi-three-dimensional electron gas in wide parabolic (Al, Ga)As quantum wells / M. Fritze, W. Chen, A. V. Nurmikko, J. Jo, M. Santos, M. Sheyegan // Phys. Rev. В. 1993.-V. 48.-P. 15103.

91. Синявский Э. П. Электроиндуцированная люминесценция в параболических квантовых ямах в магнитном поле / Э. П. Синявский, С. М. Соков-нич // ФТТ. 2000. - Т. 42. - С. 1685.

92. Reimann S. M. Electronic structure of quantum dots / S. M. Reimann, M. Manninen // Rev. Mod. Phys. 2002. - V. 74. - P. 1283.

93. Kyriakidis J. Voltage-tunable singlet-triplet transition in lateral quantum dots / J. Kyriakidis, M. Pioro-Ladriere, M. Ciorga, A. S. Sachrajda, P. Hawrylak // Phys. Rev. В. 2002. - V. 66. - P. 035320.

94. Meinel I. Magnetization of the fractional quantum Hall states / I. Meinel, T. Hengstmann, D. Grundler, D. Heitmann // Phys. Rev. Lett. — 1999.— V. 82. P. 819.

95. Splettstoesser J. Persistent current in ballistic mesoscopic rings with Rashba spin-orbit coupling / J. Splettstoesser, M. Governale, U. Zulicke // Phys. Rev. B. 2003. - V. 68. - P. 165341.

96. Chen H. Y. Some unique magnetic properties of nanoscale quantum rings subjected to a Rashba spin-orbit interaction / H. Y. Chen, P. Pietilainen, T. Chakraborty // Phys. Rev. B. 2008. - V. 78. - P. 073407.

97. Wilde M. A. Inversion-asymmetry-induced spin splitting observed in the quantum oscillatory magnetization of a two-dimensional electron system / M. A. Wilde, D. Reuter, C. Heyn, A. D. Wieck, D. Grundler // Phys. Rev. B. 2009. - V. 79. - P. 125330.

98. Прудников А. П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — М.: Наука, 1981. — 800 с.

99. Прудников А. П. Интегралы и ряды. Дополнительные главы / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — М.: Наука, 1986.— 800 с.

100. Прудников А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 664 с.