Линейный и квадратичный оптический отклик периодических квантовых ям тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

1 13

На правах рукописи УДК 621.378.4

Авраменко Владимир Григорьевич

ЛИНЕЙНЫЙ И КВАДРАТИЧНЫЙ ОПТИЧЕСКИЙ ОТКЛИК ПЕРИОДИЧЕСКИХ КВАНТОВЫХ ЯМ

Специальность 01.04.21 - лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007 ,

/* /П

ЦСУ

003052113

Работа выполнена на кафедре квантовой электроники физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Никулин Александр Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Емельянов Владимир Ильич

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Виноградов Алексей Петрович

Ведущая организация: Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН

Защита состоится « 22 » марта 2007 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.31 при Московском государственном университете им. М. В Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, ул. Академика Хохлова, д.1, Корпус нелинейной оптики, аудитория им. С. А. Ахманова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан «2/ »(^¿у-'^'/М 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.31, доцент

. Ильинова

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию взаимодействия лазерного излучения с периодическими квантовыми ямами (ПКЯ) — слоистыми наноструктурами (сверхрешетками), в которых квантовые ямы разделены барьерными слоями из материала с широкой запрещенной зоной, что позволяет пренебречь перекрытием волновых функций электронов в соседних квантовых ямах. В работе изучается как линейный, так и квадратичный оптический отклик этих структур.

Актуальность такого исследования обусловлена, в первую очередь, необходимостью разработки теоретических методов и моделей для объяснения экспериментальных результатов, полученных за последнее десятилетие в ходе исследований генерации оптической второй гармоники в ПКЯ, в частности, в ПКЯ-структурах — ЭЮг- Технология изготовления последних позволяет получать структуры с несколькими десятками периодов и сверхтонкими квантовыми ямами (слоями аморфного кремния), парциальная толщина которых достигает субнанометровых значений — при сохранении однородности структуры вдоль слоев. Нелинейно-оптические методы, основанные на использовании генерации второй гармоники, обладают высокой чувствительностью к наличию в исследуемых объектах границ раздела и других неоднород-ностей с характерными пространственными масштабами, лежащими в нано-метровом и субнанометровом диапазонах. Для исследования ПКЯ-структур со сверхтонкими квантовыми ямами были успешно использованы такие высокоэффективные методы, как спектроскопия и интерферометрическая спектроскопия генерации второй гармоники. В рамках существующих теоретических моделей адекватная интерпретация полученных экспериментальных данных либо затруднена, либо невозможна вообще в силу, по крайней мере, двух обстоятельств. Во-первых, в субнанометровом диапазоне толщин размерный эффект в резонансном квадратичном отклике ПКЯ, наблюдаемый в эксперименте, обнаруживает существенное отличие от теоретического результата, получаемого в рамках простейшей микроскопической модели (которая, в то же время, вполне удовлетворительно описывает соответствующий размерный эффект в наноМетровом диапазоне толщин). Во-вторых, при расчете электромагнитного полд, распространяющегося в ПКЯ-структуре на частотах накачй^и^втфой гармоники, требуется корректный учет существенной нелокальностц оптического отклика квантовых ям в направлении, перпендикулярном границам раздела. Отмеченные обстоятельства делают актуальным рассмотрение соЬтветственно микроскопического аспекта проблемы (кванто-

вомеханический расчет линейной и квадратичной нелокальной проводимости сверхтонкой квантовой ямы) и ее макроскопического аспекта (электродинамический расчет распространения излучения в слоистой среде с сильной нелокальностью в направлении, перпендикулярном к слоям). Наконец, в контексте интерпретации экспериментальных данных актуальным является и феноменологический аспект — определение набора параметров, которые характеризуют отклик системы на макроскопическом уровне, могут быть найдены из количественного анализа экспериментальных зависимостей и сохраняют свой физический смысл (в качестве феноменологических параметров) и за пределами применимости использованных микроскопических моделей.

Таким образом, являясь целью диссертационной работы, теоретическое изучение генерации второй гармоники при распространении света в периодических квантовых ямах состоит в рассмотрении следующих вопросов:

— квантовомеханическая задача о расчете резонансного вклада в тензоры линейной и квадратичной нелокальной проводимости при учете дополнительных физических факторов, влияющих на размерное квантование поперечного движения электронов в сверхтонких квантовых ямах;

— электродинамическая задача о распространении излучения на частотах накачки и второй гармоники в слоистой среде с существенной нелокальностью линейного и квадратичного отклика слоев в направлении, перпендикулярном границам раздела;

— параметризация квадратичного отклика ПКЯ-структуры — определение совокупности эффективных параметров, которые могут быть найдены из количественного анализа экспериментальных данных и которые сохраняют свой физический смысл в качестве феноменологических характеристик отклика и вне рамок использованных микроскопических моделей.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые

— изучено влияние (а) возмущения кристаллического потенциала вблизи границ квантовой ямы и (б) непрямозонного характера закона дисперсии дпя электронных состояний в объеме полупроводника на размерный эффект в резонансном квадратичном оптическом отклике ПКЯ-структуры со сверхтонкими квантовыми ямами;

— в резонансном двухуровневом приближении, с точностью до членов, линейных по тангенциальной к границам раздела компоненте волнового

вектора, включительно, по пучены аналитические выражения для тензоров линейной и квадратичной нелокальной проводимости квантовой ямы;

— формализм матриц распространения оптического излучения в слоистой среде обобщен на случай слоев с существенно нелокальным откликом в направлении, перпендикулярном границам раздела;

— на основе обобщения формализма токовых экранов предложен способ параметризации квадратичного оптического отклика ПКЯ-структуры.

Научно-практическая ценность работы состоит в том, что полученные в работе результаты могут быть использованы, во-первых, для качественной интерпретации и количественного анализа данных нелинейно-оптических экспериментов, во-вторых, при планировании новых экспериментов и, в-третьих, при дальнейшем теоретическом исследовании нелинейно-оптического отклика наноструктур.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Учет по отдельности как возмущения кристаллического потенциала вблизи границ квантовой ямы, так и непрямозонного характера закона дисперсии для электронных состояний в объеме полупроводника позволяет с количественным согласием описать размерный эффект, наблюдаемый в квадратичном отклике ПКЯ-структур — БЮг со сверхтонкими квантовыми ямами.

2. В рамках резонансного приближения для модели прямоугольной ямы, члены первого порядка в мультипольном разложении тензора линейной проводимости отдельной квантовой ямы по степеням компоненты волнового вектора, тангенциальной к границам раздела, дают пренебрежимо малый вклад в линейный отклик всей ПКЯ-структуры на частотах накачки и второй гармоники (по сравнению с членами нулевого порядка), в то время как аналогичные члены нулевого и первого порядка в мультипольном разложении тензора квадратичной проводимости отдельной квантовой ямы дают сравнимые по величине вклады в квадратичный отклик всей ПКЯ-структуры.

3. Матричный метод позволяет описать распространение оптического излучения на частотах накачки и второй гармоники в слоистой среде с

существенной нелокальностью линейного и квадратичного отклика в перпендикулярном к границам раздела направлении; величины, определяющие отклик каждого слоя — элементы обобщенной матрицы распространения и компоненты обобщенного вектора нелинейных источников — для факторизуемых тензоров линейной и квадратичной нелокальной проводимости задаются аналитически.

4. При уменьшении толщины квантовой ямы с 1 нм до 0.25 нм квантово-размерный сдвиг резонансной частоты в спектре квадратичного отклика ПКЯ-структуры Si — SiC>2 (~0.1 эВ в энергетических единицах) на порядок превышает сдвиг, обусловленный электромагнитным взаимодействием между квантовыми ямами в структуре (~0.01 эВ).

5. Роль феноменологических параметров, которые характеризуют линейный и квадратичный оптический отклик ПКЯ-структуры и подлежат экспериментальному определению, играют коэффициенты, связывающие моменты пространственного распределения поляризации внутри квантовой ямы в перпендикулярном к границам раздела направлении со значениями компонент локального электрического поля на ее границах.

Апробация результатов работы проводилась на международных конференциях: "Nonlinear Optics at Interfaces" (Наймеген, Голландия, 2001), "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (Санкт-Петербург, 2005), "Week of Doctorial Students" (Прага, Чехия, 2005), а также семинарах кафедры квантовой электроники физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях в специализированных ведущих научных журналах: "Вестник МГУ. Серия 3 Физика. Астрономия", "Applied Physics В", "Journal of Optical Society of America B", "Physical Review В". По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ (6 статей и 2 тезиса доклада).

Личный вклад автора

Все результаты диссертационной работы получены автором лично. Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы. Объем работы составляет 124 страницы, включая 17 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 83 наименования, включая 6 авторских публикаций.

Содержание диссертации

Во Введении показана актуальность темы диссертационной работы, описаны ее цели и задачи и приведено краткое содержание работы по главам.

Глава I представляет собой обзор литературы по методам описания нелокального электромагнитного отклика периодических квантовых ям (ПКЯ) и эффектам размерного квантования, возникающим в этих структурах. В §1 рассмотрена модель прямоугольной ямы (МПЯ) для описания размерных эффектов в отдельных КЯ, а также приведены общие выражения для тензоров линейной и квадратичной проводимости слоистой среды, полученные в пренебрежении корреляциями электронов в системе с дополнительным предположением об однородности среды в плоскости, параллельной ее границам. В §2 рассмотрен метод матриц распространения оптического излучения для описания распространения плоской электромагнитной волны в многослойных структурах с локальным электромагнитным откликом слоев, а также описан метод учета нелокальности отклика слоев, основанный на решении интегрального уравнения для локального поля внутри каждого слоя. В §3 рассмотрены способы параметризации нелокального отклика одномерных систем с помощью d-параметров Фейбельмана, а- и Ь-параметров Рудника и Штерна, а также тензора проводимости токового экрана Келлера [I]1.

Глава II посвящена исследованию оптического отклика отдельной КЯ на заданное поле накачки.

В § 1 сформулированы основные задачи и перечислены основные приближения, используемые при их решении. Во-первых, МПЯ необходимо адаптировать к случаю КЯ сверхмалых толщин (меньше 1 нм), когда размерный эффект, предсказываемый стандартной МПЯ, оказывается существенно более сильным, чем наблюдаемый в нелинейно-оптическом отклике ПКЯ-структур [2]2. Выделенность МПЯ для описания микроскопических свойств КЯ обусловлена тем, что эта модель позволяет получить аналитические выражения для тензоров проводимости.

Во-вторых, в рамках МПЯ необходимо свести общие выражения в квадратурах для тензоров линейной и квадратичной нелокальной проводимости слоистых сред [З]3 к простым выражениям, которые позволят рассчитывать

1[1] Ole Keller , Sheet-model description of the linear optical response of quantum wells, J.Opt.Soc.Am.B 12,987 (1995)

2 [2]. О A. Акципетров, A. В Заяц и др , Генерация резонансной второй гармоники в периодических квантовых ямах Si/Si02, ЖЭТФ 109, 1240 (1996)

3 [33 - О Keller , Random-phase-approximation study of the response fvmction describmg optical second-harmomc génération from a métal selvedge, Phys Rev В 33, 990 (1986)

резонансный отклик КЯ аналитически.

При описании микроскопических свойств КЯ предполагается, что движение носителей заряда в плоскости, параллельной границам слоев, является движением свободной частицы с некоторой эффективной массой. При расчетах тензоров проводимости используется двухуровневое приближение.

В §2 предложены две модифицированные МПЯ, которые раздельно учитывают следующие факторы, влияющие на зависимость ширины запрещенной зоны в полупроводниковых слоях от их толщины: (а) возмущение кристаллического потенциала вблизи границ раздела и (б) непрямозонный характер закона дисперсии для электронных состояний в объеме полупроводника.

В обоих случаях, по-прежнему, предполагается, что движение носителей заряда в КЯ в плоскости ее границ является свободным, а в направлении, перпендикулярном границам, квантуется. Для вычисления энергии размерно-квантованных уровней в случае (а) предлагается использовать потенциал прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками, модифицированный 5-возмущениями вблизи ее границ:

и{г) =

-д-5(й/2-е-И),

I I ^

оо, |г| > -

|г| < й/2

(1)

1-11 соэЬ ( (кг - ко)^П21(теАс)

- 11 собЬ (кг у^2/(теАу)

где <1 - толщина слоя КЯ, £ и д - параметры модели

В случае (б) непрямозонный дисперсионный в направлении, перпендикулярном границам КЯ, моделируется соотношениями:

Ес(кг) = До/2 + Д, Е,(кг) = -Д0/2 - Д

где нижний индекс "с" обозначает зону проводимости, а "у" - валентную зону, те = 9.1 • 10~28 г - масса электрона, До - ширина зоны проводимости полупроводника, а ДС1У и ко - параметры модели.

Показано, что при надлежащем выборе значений параметров обе модели позволяют с количественным согласием описать размерный эффект в сверхтонких ПКЯ Б! — БЮг (см. рис. 1).

В §3 и §4 рассчитаны тензоры линейной и квадратичной нелокальной проводимости КЯ соответственно. При расчетах общие выражения для тензоров линейной и квадратичной проводимости, а(дх,и>, г, г') и Т.(дх, 2ш, г, г', г"),

1.8 1.6

И

со

1.2 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

с1, нм

Рис. 1: Размерный эффект в КЯ — 3102- Точками показаны значения разности энергий резонансных уровней (Д12), определенные из эксперимента по генерации второй гармоники в ПКЯ — 8102, Для различных толщин слоев кремния (<£). Сплошная линия - аппроксимация размерного эффекта в рамках МПЯ с учетом приграничных возмущений (До = 1.28 эВ, £ = 0 05 нм, д = 1.1 эВ-нм-1); пунктирная кривая - МПЯ с модифицированным законом дисперсии (Д0 = 0.43 эВ, Ду = 0.7 эВ, Дс = 0.65 эВ, к0 = 17.7 нм-1). Для сравнения на вставке приведены зависимости, полученные в рамках стандартной МПЯ конечной глубины (сплошная линия) и МПЯ с бесконечно высокими стенками (пунктирная линия).

раскладываются в мультипольный ряд по степеням компоненты (¡х волнового вектора поля накачки, тангенциальной к границам КЯ, с точностью до квадрупольного члена:

<т{дх,ш, г, г') = г') + г') + ... , (4)

£(<Ь, 2ш, г, г") = г") + 1дхс1^2и)(г, г1, г") + ... , (5)

где (1 - толщина КЯ.

Выражения для дипольных (черта вверху) и квадрупольных (черта внизу) членов получены в рамках МПЯ в двухуровневом приближении для двух

случаев: (а) отклик обусловлен внутризонными переходами (что характерно для КЯ металлического типа, например, КЯ GaAs — AlxGai_xAs) и (б) отклик обусловлен межзонными переходами (что характерно для КЯ полупроводникового типа, например, КЯ Si — SiC^). Показано, что в случае (а) зависимость компонент тензоров проводимости от частоты накачки имеет лоренцев вид, а в случае (б) является комплексным логарифмом. Координатные зависимости компонент тензора линейной проводимости факторизуются.

Исследованы свойства симметрии тензоров проводимости. Показано, что если КЯ имеет плоскость симметрии, параллельную ее границам, то выполняются соотношения:

rd/2 rd/2 rd/2 rd/2 rd/2

/ / a^(z,z')dzdz'= / / / >{z,z',z")dzdz'dz" = 0, (6)

J-d/2 J-d/2 J-d/2 J-d/2 J-d/2

rd/2 rd/2 rd/2 rd/2 rd/2

/ / a^{z,z')dzdz', / / E{2lJ)(z,z',z")dzdz'dz" Ф0, (7)

J-d/2 J-d/2 J-d/2 J-d/2 J-d/2

откуда следует, что квадрупольные члены тензора квадратичной проводимости вносят существенный вклад в квадратичный отклик симметричной КЯ

Глава III посвящена исследованию распространения оптического излучения в ПКЯ-структурах с учетом квадратичной нелинейности отклика отдельных КЯ.

В §1 сформулированы основные задачи и перечислены основные приближения, используемые при их решении. Во-первых, метод матриц оптического распространения [4]4 необходимо обобщить на случай многослойных структур с существенно нелокальным откликом (как линейным, так и нелинейным) в направлении, перпендикулярном границам слоев. С одной стороны, обобщенный метод должен корректно учитывать нелокальность отклика слоев, а с другой стороны, метод не должен приводить к возрастанию вычислительных затрат при увеличении числа слоев в структуре (к чему приводит метод расчета, основанный на решении интегрального уравнения для локального поля внутри квантовой ямы).

Во-вторых, в рамках обобщенного метода необходимо рассчитать спектры интенсивности излучения второй гармоники, генерируемого ПКЯ-структурой Si — ЗЮг, и на основе сравнения этих спектров с экспериментальными данными вычислить энергии резонансных переходов в КЯ Si — SiC>2.

В Главе III существенно используется предположение об однородности КЯ в плоскости, параллельной ее границам, так как это требование является обя-

4[4]. D.S. Bethune, Optical harmonic generation and mixing in multilayer media- analysis using optical transfer matrix techniques, J.Opt.Soc.Am.B 6, 910 (1989)

зательным при использовании интегрального уравнения для локального поля внутри квантовой ямы, на решении которого базируется обобщенный метод.

В §2 исследуется распространение оптического излучения в многослойной структуре с чередующимися слоями с локальным и нелокальным откликом в отсутствие нелинейных источников тока.

Для описания распространения поля в такой структуре предлагается обобщенный метод матриц распространения оптического излучения. Основная идея метода состоит в следующем. Рассмотрим п-ый слой структуры, в отклике которого выделим локальную компоненту (зададим ее диэлектрической функцией которую для простоты будем считать постоянной внутри

слоя: = е^) и нелокальную компоненту (зададим ее тензором прово-

димости г')).

Вклад в локальное поле внутри слоя дают токи внутри п-го слоя и токи во всех остальных слоях структуры. Такая система эквивалентна КЯ с тензором проводимости г1), выращенной в бесконечном слое диэлектрика (проницаемость е^) и эффективными токовыми экранами, помещенными на обеих ее границах. Вклад токовых экранов в локальное поле внутри КЯ определяется амплитудами волн, падающих на КЯ справа и слева. Таким образом, локальное поле (а = в,р определяет поляризацию волны накачки) внутри п-го слоя удовлетворяет интегральному уравнению:

/а/2 л<г/2

/ ди(г, г') ■ аМ(г', г") ■ , (8)

(1/2 ^-¿/2

и, следовательно, определяется амплитудами прямой (Е^а) и обратной ') волн на левой и правой границах слоя соответственно. В уравнении (8) Яы{г, г') - функция Грина волнового уравнения в бесконечном слое с диэлектрической проницаемостью е^", а Т^(г) - блочный вектор:

Т1а)(*) = (еЙ? ехр (г + й/2) ехр (<¿/2 - г)) , (9)

где в!4? и ё^а'1 - вектора поляризации прямой и обратной волн в среде с диэлектрической проницаемостью

Решая уравнение (8) и рассчитывая амплитуды расходящихся от слоя волн и Ё^а), приходим, в итоге, к матричному соотношению, связывающе-

му амплитуды прямой и обратной волн на противоположных границах слоя-

( fM \ » ( \

=м-- • (Ю)

»

Матрица М^ является обобщением стандартной матрицы распространения оптического излучения в слое с локальным откликом. Расчет поля в структуре с чередующимися слоями с локальным и нелокальным откликом сводится к перемножению стандартных и обобщенных матриц оптического распространения. В §2 описаны процедура расчета коэффициента отражения от ПКЯ-структуры, процедура расчета собственных мод в ПКЯ-структуре, и приведено сравнение результатов расчета коэффициента линейного отражения, полученных в рамках предложенного метода, стандартного метода матриц распространения и метода токовых экранов.

В §3 рассматривается распространение поля на частоте второй гармоники. В этом случае матричное уравнение, связывающее амплитуды волн на частоте приобретает следующий вид:

( Е(г'г) \ »qw ( \ »(„)

I 1 = • I _(n;i) + T2"iQ, (11)

\ ) \ J

где обобщенный вектор нелинейных источников Тг"'а выражается через амплитуды волн на частоте накачки:

1 2и,а — ¿-J " "Л ' * '

/3,7=s,P

В §3 получены соотношения, связывающие компоненты тензора S^f,'^ с компонентами тензоров линейной и квадратичной проводимости слоя.

Соотношение (11) позволяет рассчитывать квадратичный отклик структуры в полной аналогии со стандартным методом матриц распространения. В §3 получены выражения для амплитуд расходящихся от ПКЯ-структуры волн на частоте второй гармоники.

В §4 в рамках формализма обобщенных матриц распространения и с использованием найденных в резонансном приближении тензоров линейной и квадратичной проводимости квантовых ям рассчитаны спектры интенсивности излучения второй гармоники, генерируемого ПКЯ-структурой Si — SiC>2, для различных значений числа КЯ в структуре: 30, 40, 50 и 70. Толщины слоев кремния в этих структурах равны: 0.25, 0.5, 0.75 и 1 нм соответственно. На основании сравнения рассчитанных зависимостей с экспериментально

Энергия фотонов второй гармоники, 2 йса, эВ а 2.7 2.8 2.9 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

2.7 2.8 2.9 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 Энергия фотонов второй гармоники, 2 йа>, эВ

б

Энергия фотонов второй гармоники, 2 йсо, эВ

Рис. 2: Спектры интенсивности излучения второй гармоники (ВГ), генерируемого ПКЯ-структурой — БЮг. Рис. 2(а): аппроксимация экспериментально измеренных спектров. В рамках указаны параметры микроскопической модели, Д12 и т, которые обеспечивают наилучшее согласие. Рис. 2(6): спектры интенсивности ПКЯ-структур — БЮг ((I = 5 нм, Д12 = 1.4 эВ, т = 0.016 пс) с различным числом слоев N.

измеренными спектрами [5]5, были определены микроскопические параметры структур: энергия резонансных переходов в КЯ, Д^, и время релаксации электронной подсистемы, т. Результаты сравнения и значения параметров микроскопической модели представлены на рис. 2(a). Рассчитанные спектральные зависимости находятся в согласии с экспериментальными данными в области спектра вблизи резонанса.

Для исследования влияния электромагнитного взаимодействия между различными КЯ структуры на ее квадратичный нелинейно-оптический отклик были рассчитаны спектры излучения второй гармоники, генерируемого ПКЯ-структурами Si — SiC>2 с различным числом КЯ, которое варьировалось от 1 до 75; при этом толщина слоев кремния была одинаковой и равной 0.5 нм. Как видно из рис. 2(6), электромагнитное взаимодействие приводит к тому, что левое (относительно положения резонанса) крыло спектра немного поднимается, а правое опускается. Положение резонанса немного сдвигается (для больших чисел КЯ) в красную область спектра. "Электромагнитный" сдвиг (~ 0.01 эВ) существенно меньше сдвига, обусловленного квантово-размерными эффектами (~ 0.1 эВ).

Глава IV посвящена параметризации линейного и квадратичного оптического отклика ПКЯ-структур.

В §1 сформулированы основные задачи и перечислены основные приближения, используемые при их решении. Главной задачей является получение соотношений, которые связывают величины, определяющие распространение излучения в ПКЯ-структурах с квадратичной нелинейностью (обобщенная матрица распространения и обобщенный вектор нелинейных источников) с некоторым набором эффективных параметров, характеризующих микроскопические свойства отдельных КЯ в структуре. Эти параметры, во-первых, должны иметь прозрачный физический смысл, а во-вторых, должны являться наблюдаемыми величинами, которые возможно определить из спектров отклика ПКЯ-структур.

Обобщенная матрица распространения и обобщенный вектор нелинейных источников параметризуются с точностью до членов порядка (dur/c)2, включительно. С одной стороны, пренебрежение квадратичными членами приводит к существенной ошибке: в случае линейного отклика ошибка может проявляться при большом числе КЯ в структуре, а в случае квадратичного отклика ошибка проявляется уже для одной симметричной КЯ, так как

5[5]. V. G. Avramenko, Т. V. Dolgova, A. A. Nikulin et al., Subnanometer-scale size effects in electronic spectra of Si/Si02 multiple quantum wells' Interferometric second-harmonic generation spectroscopy, Phys.Rev В 73, 155321 (2006).

отклик такой КЯ в первом порядке по du/с равен нулю. С другой стороны, члены третьего и более высоких порядков не вносят существенного вклада в оптический отклик ПКЯ-структур.

В Главе IV (также как и в Главе III) используется предположение об однородности КЯ в плоскости, параллельной ее границам, так как это предположение лежит в основе обобщенного метода матриц распространения оптического излучения, в рамках которого и параметризуется отклик ПКЯ-структуры.

В §2 предложен способ параметризации линейного отклика отдельной КЯ. Для этого в тензоре линейной проводимости, a(qx,uj, z, z'), с помощью разложения (4) выделяется явная зависимость от тангенциальной компоненты волнового вектора, дх, а, следовательно, и от угла падения волны накачки в Этот тензор используется при расчете обобщенной матрицы оптического распространения с точностью до членов порядка (dw/c)2, методом, описанным в Главе III. В итоге, в матрице распространения выделяется явная зависимость от угла падения волны накачки:

ма

m—1

(13)

где Ма зависит от поляризации волны накачки а = s,р. Компоненты матриц М^'0^,^",!^) и М<Г>(0) зависят от угла падения в известным образом. В §2 получены явные выражения для этих матриц.

Параметры и где т = 1 ,.Ма, полностью определяют ли-

нейный отклик отдельной КЯ. Они зависят от частоты и не зависят от угла падения излучения накачки. Они могут быть выражены через коэффициенты, связывающие нулевой (Pif'0^) и первый (РЦ?'1') моменты пространственного пространственного распределения поляризации внутри КЯ в перпендикулярном к границам раздела направлении:

1 Гл!2

Pi"'m) = — / zmji%)dz, т = 0,1, (14)

-гш J-d/2

где J^(z) - ток внутри КЯ, со значениями компонент локального поля на границах КЯ. Явные выражения параметров

и через компо-

ненты тензора линейной проводимости приведены в Приложении 3.

В §3 предложена параметризация линейного отклика ПКЯ-структуры как

»

целого. Зная матрицу распространения М^, можно рассчитать поле внутри

ПКЯ-структуры, а также амплитуды отраженной и прошедшей через структуру волн. Таким образом, в предположении об одинаковости всех КЯ внутри структуры параметры и {/¿т2}, т — 1 ..Ма, задают и отклик ПКЯ-

структуры как целого.

Подход аналогичен расчету отклика реальных фотонных кристаллов, когда отклик слоев параметризуется с помощью значения эффективного коэффициента преломления слоев, причем этот параметр считается одинаковым для "одинаковых" слоев фотонного кристалла.

Параметры могут быть определены из экспериментально измеренной зависимости энергетического коэффициента отражения от ПКЯ-структуры от угла падения излучения накачки, Щв}), j = 1 .-/V. Для определения параметров и необходимо минимизировать (по значениям параметров) квадратичную невязку:

3=1

(15)

где

дама»

, , {/-¿"о}) - коэффициент отражения от ПКЯ-структуры, рассчитанный методом, описанным в Главе III, с использованием матрицы распространения (13).

В §3 получены численные оценки значений параметров и

т = 1 ,.Ма, с использованием тензоров проводимости, найденных в двухуровневом приближении в Главе II. Показано, что отклик ПКЯ-структуры на в-поляризованное излучение накачки носит нерезонансный характер, а отклик на р-поляризованное излучение задается единственным параметром который по своему физическому смыслу близок к ¿¿^-параметру Фейбельмана. Также показано, что учет членов разложения порядка (йш/с)2 приводит лишь к незначительному уточнению результатов расчета линейного отклика ПКЯ-структур, не превышающему несколько процентов.

В §4 предложен способ параметризации квадратичного отклика отдельной КЯ. Для этого используются разложения (4) и (5) при расчете обобщенного вектора нелинейных источников

м0

* = мт (V > (1б)

т=1

где т = 1...М/3, - вектор, компоненты которого известным образом

зависят от частоты ш и угла падения в волны накачки , П^^Г' (0) является (из-

вестным) произведением амплитуд волн на левой границе п-ой КЯ на частоте накачки

Совокупность параметров rf£'m\ т = l...M/з, определяет квадратичный отклик КЯ. Они зависят от частоты и не зависят от угла падения излучения накачки. В §4 показано, что они линейно выражаются через коэффициенты, которые связывают нулевой и первый моменты поляризации внутри КЯ на удвоенной частоте (см. (14)) с компонентами локального поля на границах КЯ на частоте накачки.

Вид разложения (16) зависит от геометрии нелинейно-оптического отклика, обозначаемой в (16) верхним индексом ¡3 6. В работе рассматриваются следующие геометрии: s(in) —p(out), р{гп) —p(out), а также mixed(in) — s(out).

Явные выражения параметров г)ш'т\ т = 1 ...Мд, через компоненты тензоров линейной и квадратичной проводимости приведены в Приложении 3.

В §5 предложен способ параметризации квадратичного отклика ПКЯ-структуры как целого. Как и в случае линейного отклика, предполагается одинаковость всех КЯ структуры. Таким образом, квадратичный отклик всей структуры также задается набором параметров r¡¿'m\ т — 1... Мр, зная которые, можно рассчитать распределение поля внутри структуры, а также амплитуды расходящихся от ПКЯ-структуры волн на частоте 2и>.

Параметры r¡¿'m\ т = 1 ...Мр, могут быть определены из экспериментально измеренной зависимости энергетического коэффициента (квадратичного) отражения от ПКЯ-структуры от угла падения излучения накачки, R(0.,),

^¿ШГ (17)

где l¡j{0}) и Í2w(#j) - интенсивности волн накачки и второй гармоники соответственно.

Для определения параметров Tjif'"^ необходимо минимизировать квадратичную невязку:

D<P(№m)}) = ¿¿ [icj(Mem)})i2 - m)]2, (is)

где - коэффициент квадратичного отражения от ПКЯ-

структуры, рассчитанный с использованием обобщенного вектора нелинейных источников (16).

бпод геометрией отклика подразумевается комбинация поляризаций излучения накачки (in) и волны второй гармоники (out). Под волной с поляризацией mixed, понимается суперпозиция s- и р-поляризованных волн.

В §5 получены численные оценки значений параметров , т = 1 ...Мр, с использованием тензоров проводимости, найденных в двухуровневом приближении в Главе II. Показано, что квадратичный отклик ПКЯ-структуры в геометрии р(гп) — р(оиЬ) определяется двумя (комплексными) параметрами, а в геометриях з(т) — р{ои{) и тгхей{т) — - одним (комплексным)

параметром. Кроме того, показано, что квадрупольная компонента тензора квадратичной проводимости, дает вклад в отклик, сравнимый

(а в некоторых случаях и превышающий) со вкладом дипольной компоненты, Ё^.г'.г»).

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В Приложении 1 получено выражение для матрицы (см. уравне-

ние 8) и рассчитана функция Грина г') в случае трехслойной структуры.

В Приложении 2 рассмотрено решение интегрального уравнения (8) в случае факторизуемого тензора линейной проводимости КЯ.

В Приложении 3 приведены явные выражения параметров, определяющих линейный и квадратичный отклик КЯ (^ш",^', {/¿¡Й} и через компоненты тензоров линейной и квадратичной проводимости КЯ.

Основные результаты работы

1. Предложены две микроскопические модели, которые раздельно учитывают факторы, влияющие на зависимость ширины запрещенной зоны в полупроводниковых слоях от их толщины и, как следствие, на размерный эффект в оптическом отклике ПКЯ: (а) возмущение кристаллического потенциала вблизи границ раздела и (б) непрямозонный характер закона дисперсии для электронных состояний в объеме полупроводника. Показано, что обе модели способны удовлетворительно описать размерный эффект, наблюдавшийся в экспериментах по генерации второй гармоники ПКЯ-структурами Б! — ЗЮ2 в субнанометровом диапазоне толщин слоев кремния.

2. В резонансном приближении рассчитаны тензоры линейной и квадратичной нелокальной проводимости квантовых ям для двух случаев: (а) когда резонансная пара размерно-квантованных уровней электронной энергии лежит в зоне проводимости и (б) когда уровни из резонансной пары лежат в валентной зоне и зоне проводимости. Показано, что в

мультипольном разложении тензоров проводимости по степеням компоненты волнового вектора, тангенциальной к границам раздела, члены первого порядка вносят вклад лишь в резонансный квадратичный отклик, отсутствуя в резонансной составляющей линейного отклика.

3. Метод матриц распространения оптического излучения в слоистой среде обобщен на случай слоев с существенно нелокальным откликом в направлении, перпендикулярном границам раздела. Показано, что вычисление компонент обобщенных матриц распространения сводится к решению интегрального уравнения для локального поля внутри отдельного нелокального слоя; для квантовых ям с факторизуемым тензором линейной нелокальной проводимости интегральное уравнение, в свою очередь, сводится к алгебраическому. В рамках предложенного формализма описано распространение излучения на частотах накачки и второй гармоники в ПКЯ с произвольным числом слоев.

4. В рамках формализма обобщенных матриц распространения и с использованием найденных в резонансном приближении тензоров линейной и квадратичной проводимости квантовых ям рассчитаны спектры интенсивности излучения второй гармоники, генерируемого ПКЯ-структурой

— ЭЮг, для различных (субнанометровых) значений толщины слоев кремния. Показано, что при уменьшении толщины квантовой ямы с 1 нм до 0.25 нм квантово-размерный сдвиг резонансной частоты в спектре квадратичного отклика ПКЯ (в энергетических единицах - порядка 0.1 эВ) существенно превышает сдвиг, обусловленный электромагнитным взаимодействием между квантовыми ямами в структуре (порядка 0.01 эВ). Рассчитанные спектральные зависимости находятся в согласии с экспериментальными данными.

5. С точностью до членов, квадратичных по тангенциальной компоненте волнового вектора, включительно, величины, которые определяют распространение излучения в ПКЯ-структурах с квадратичной нелинейностью (обобщенная матрица распространения и обобщенный вектор нелинейных источников), выражены через набор эффективных параметров, которые связывают нулевой и первый моменты поляризации внутри квантовой ямы с компонентами локального поля на ее границах. Показано, что значения этих параметров могут быть найдены из зависимостей от угла падения коэффициентов линейного и квадратичного отражения от ПКЯ-структур.

Основные результаты опубликованы в работах:

[1] Dolgova Т. V., Avramenko V. G., NikuhnA. A., Marowsky G., PudoninF. A., Fedyamn A. A., Aktsipetrov 0. A. Second-harmonic spectroscopy of electronic structure of Si/Si02 multiple quantum well// Book of abstracts of Conference on Nonlinear Optics at Interfaces, Nijmegen, The Netherlands, October 16-19, 2001

- N2.

[2] Dolgova Т. V., Avramenko V. G., Nikuhn A. A., Marowsky G., Pudonin F. A., Fedyamn A. A., Aktsipetrov 0. A. Second-harmonic spectroscopy of electronic structure of Si/Si02 multiple quantum well// Appl. Phys. В - v. 74 - pp. 671-675.

[3] Avramenko V. G., Nikuhn A. A. Method of calculation of non-linear optical response of multiple quantum wells// Technical Digest of International Conference on Coherent and Nonlinear Optics, St. Petersburg, Russia, May 11-15, 2006 - IFM26.

[4] Avramenko V. G., Nikulin A, A. Si/Si02 multiple quantum wells, electronic and optical properties// WDS'05 Proceedings of Contributed Papers. Part III -

2005. - pp. 489-494.

[5] Avramenko V. G, Dolgova Т. V., Nikuhn A. A., Fedyamn A. A., Aktsipetrov 0. A., Pudonin F. A., Sutyrm A. G., Prokhorov D. Yu., Lomov A. A. Subnanometer-scale size effects in electronic spectra of Si/Si02 multiple quantum wells: interferometric second-harmonic generation spectroscopy// Phys. Rev. В -

2006. - v. 73 - № 15 - p. 155321.

[6] Avramenko V. G., Nikuhn A. A. Method of calculation of non-linear optical response of multiple quantum wells// Proc. of SPIE - 2006. - v. 6259 -p. 625906.

[7] Avramenko V. G. Generalized optical transfer-matrix technique' application to the nonlinear response of multiple quantum wells// J. Opt. Soc. Am. В - 2006.

- v. 23 - № 9 - pp. 1872-1881 (2006).

[8] Авраменко В. Г., Никулин А. А. Матричное описание распространения оптического излучения в многослойных структурах с нелокальным откликом// Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия - 2006. - № 3 -с. 78-79.

Подписано к печати Тираж {00 Заказ 2{

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение

Глава I

Обзор методов расчета оптического отклика периодических квантовых ям

1. Отклик квантовой ямы на заданное поле иакачки.

1.1. Эффекты размерного квантования.

1.2. Тензоры нелокальной проводимости.

2. Распространение оптического излучения в слоистых средах.

2.1. Метод матриц распространения.

2.2. Интегральное уравнение для локального поля.

3. Феноменологическое описание нелокального оптического отклика.

3.1. Параметризация линейного отклика.

3.2. Параметризация квадратичного отклика.

Глава II

Квантовомеханический расчет линейной и квадратичной нелокальной проводимости квантовой ямы

1. Постановка задачи и описание используемых приближений.

1.1. Решаемые задачи.

1.2. Используемые приближения.

2. Эффекты размерного квантования в сверхтопких полупроводниковых квантовых ямах.

2.1. Приграиичпое возмущение потенциала.

2.2. Непрямозонный закон дисперсии.

2.3. Сравнение микроскопических моделей.

3. Тензор линейной нелокальной проводимости.

3.1. Общие свойства тензоров проводимости.

3.2. Впутризонпые электронные переходы.

3.3. Межзонпые электронные переходы.

4. Тензор квадратичной нелокальной проводимости.

4.1. Виутризонные электронные переходы.

4.2. Межзонные электронные переходы.

Глава III

Матричный метод описания распространения оптического излучения в периодических квантовых ямах с квадратичной нелинейностью

1. Постановка задачи н описание используемых приближений.

1.1. Решаемые задачи.

1.2. Используемые приближения.

2. Распространение поля на частоте излучения накачки.

2.1. Квантовая яма в эффективном поле окружения.

2.2. Обобщенная матрица распространения.

2.3. Сравнение с другими методами.

3. Распространение поля на частоте второй гармоники.

3.1. Обобщенный вектор нелинейных источников.

3.2. Квадратичный отклик периодических квантовых ям.

4. Генерация оптической второй гармоники периодическими квантовыми ямами — БЮг.

4.1. Характеристика образцов и методов их исследования.

4.2. Результаты аппроксимации и их обсуждение.

Глава IV

Феноменологическое описание оптического отклика периодических квантовых ям

1. Постановка задачи и описание используемых приближений.

1.1. Решаемые задачи.

1.2. Используемые приближения.

2. Параметризация обобщенной матрицы распространения.

2.1. Разложение обобщенной матрицы распространения.

2.2. в-поляризованное излучение накачки.

2.3. р-поляризованное излучение накачки.

3. Феноменологическое описание линейного оптического отклика периодических квантовых ям.

3.1. Параметризация линейного отклика.

3.2. Определение параметров по спектрам коэффициента линейного отражения.

3.3. Численные оценки параметров.

4. Параметризация обобщенного вектора нелинейных источников

4.1. Разложение обобщенного вектора нелинейных источников

4.2. Геометрия отклика ¿(т) — р{оиЬ).

4.3. Геометрия отклика тгхей(т) — ¿(ог^).

4.4. Геометрия отклика р(гп) — р(оЫ).

5. Феноменологическое описание квадратичного нелинейно-оптического отклика периодических квантовых им.

5.1. Параметризация квадратичного отклика.

5.2. Определение параметров по спектрам коэффициента нелинейного отражении.

5.3. Численные оценки параметров.

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию взаимодействия лазерного излучения с периодическими квантовыми ямами (ПКЯ) — слоистыми наноструктурами (сверхрешетками), в которых квантовые ямы разделены барьерными слоями из материала с широкой запрещенной зоной, что позволяет пренебречь перекрытием волновых функций электронов в соседпнх квантовых ямах. В работе изучается как линейный, так и квадратичный оптический отклик этих структур.

Актуальность такого исследования обусловлена, в первую очередь, необходимостью разработки теоретических методов и моделей для объяснения экспериментальных результатов, полученных за последнее десятилетие в ходе исследований генерации оптической второй гармоники в ПКЯ, в частности, в ПКЯ-структурах — ЭЮг- Технология изготовления последних позволяет получать структуры с несколькими десятками периодов и сверхтонкими квантовыми ямами (слоями аморфного кремния), парциальная толщина которых достигает субнапометровых значений — при сохранении однородности структуры вдоль слоев. Нелинейно-оптические методы, основанные на использовании генерации второй гармоники, обладают высокой чувствительностью к наличию в исследуемых объектах границ раздела и других неоднородностей с характерными пространственными масштабами, лежащими в ианометровом и субнапометровом диапазонах. Для исследования ПКЯ-структур со сверхтопкими квантовыми ямами были успешно использованы такие высокоэффективные методы, как спектроскопия и интерферометрическая спектроскопия генерации второй гармоники. В рамках существующих теоретических моделей адекватная интерпретация получепных экспериментальных данных либо затруднена, либо невозможна вообще в силу, по крайней мере, двух обстоятельств. Во-первых, в субнапометровом диапазоне толщин размерный эффект в резонансном квадратичном отклике ПКЯ, наблюдаемый в эксперименте, обнаруживает существенное отличие от теоретического результата, получаемого в рамках простейшей микроскопической модели (которая, в то же время, вполне удовлетворительно описывает соответствующий размерный эффект в ианометровом диапазоне толщин). Во-вторых, при расчете электромагнитного поля, распространяющегося в ПКЯ-структуре на частотах накачки и второй гармоники, требуется корректный учет существенной нелокальности оптического отклика квантовых ям в направлении, перпендикулярном границам раздела. Отмеченные обстоятельства делают актуальным рассмотрение соответственно микроскопического аспекта проблемы (квантовомеханический расчет линейной и квадратичной нелокальной проводимости сверхтонкой квантовой ямы) и ее макроскопического аспекта (электродинамический расчет распространения излучения в слоистой среде с сильной иелокалыюстыо в направлении, перпендикулярном к слоям). Наконец, в контексте интерпретации экспериментальных данных актуальным является и феноменологический аспект — определение набора параметров, которые характеризуют отклик системы на макроскопическом уровне, могут быть найдены из количественного анализа экспериментальных зависимостей и сохраняют свой физический смысл (в качестве феноменологических параметров) и за пределами применимости использованных микроскопических моделей.

Таким образом, являясь целью диссертационной работы, теоретическое изучение генерации второй гармоники при распространении света в периодических квантовых ямах состоит в рассмотрении следующих вопросов: квантовомеханическая задача о расчете резонансного вклада в тензоры линейной и квадратичной нелокальной проводимости при учете дополнительных физических факторов, влияющих на размерное квантование поперечного движения электронов в сверхтонких квантовых ямах; электродинамическая задача о распространении излучения на частотах накачки и второй гармоники в слоистой среде с существенной нелокаль-постыо линейного и квадратичного отклика слоев в направлении, перпендикулярном границам раздела. параметризация квадратичного отклика ПКЯ-структуры — определение совокупности эффективных параметров, которые могут быть найдены из количественного анализа экспериментальных данных и которые сохраняют свой физический смысл в качестве феноменологических характеристик отклика и вне рамок использованных микроскопических моделей.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях в специализированных ведущих научных журналах: "Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия", "Applied Physics В", "Journal of Optical Society of America B", "Physical Review В", и докладывались па международных конференциях: "Nonlinear Optics at Interfaces" (Наймегеп, Голландия, 2001), "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (Санкт-Петербург, 2005), "Week of Docto-rial Students" (Прага, Чехия, 2005), а также семинарах кафедры квантовой электропики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ (6 статей [16,21,69,73,74,75] и 2 тезиса доклада).

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы. Объем работы составляет 124 страницы, включая 17 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 83 наименования, включая 6 авторских публикаций.

Основные результаты Главы IV можно сформулировать следующим образом:

1. С точностью до членов, квадратичных по тангенциальной компоненте волнового вектора, включительно, величины, которые определяют распространение излучения в ПКЯ-структурах с квадратичной нелинейностью (обобщенная матрица распространения и вектор нелинейного отклика), выражены через набор эффективных параметров, которые связывают моменты поляризации внутри отдельной КЯ с компонентами локального поля на ее границах. Показано, что значения этих параметров могут быть найдены из угловых зависимостей коэффициентов линейного и квадратичного отражения от ПКЯ-структур.

2. Эффективные параметры рассчитаны с использованием найденных в резонансном приближении тензоров линейной и квадратичной проводимости квантовых ям. Для различных комбинаций поляризации излучения накачки и второй гармоники выделены группы параметров, определяющих отклик ПКЯ-структуры в наибольшей степени. Показано, что линейный отклик ПКЯ-структуры на ¿-поляризованное излучение имеет нерезонансный характер, а резонансный отклик на р-поляризоваипое излучение определяется одним (комплексным) параметром. Квадратичный отклик

ПКЯ-структуры в геометрии р(т)—р(оиЬ) определяется двумя (комплексными) параметрами, а в геометриях ¿(гп) — р(оиЬ) и т1хе<1(т) — з(оиЬ) -одним (комплексным) параметром.

3. Показано, что в мультиполыюм разложении тензоров проводимости по степеням компоненты волнового вектора, тангенциальной к границам раздела, члены первого порядка вносят вклад лишь в резонансный квадратичный отклик, отсутствуя в резонансной составляющей линейного отклика.

Заключение

1. Предложены две микроскопические модели, которые раздельно учитывают факторы, влияющие па зависимость ширины запрещенной зоны в полупроводниковых слоях от их толщины и, как следствие, на размерный эффект в оптическом отклике ПКЯ: (а) возмущение кристаллического потенциала вблизи границ раздела и (б) непрямозонный характер закона дисперсии для электронных состояний в объеме полупроводника. Показано, что обе модели способны удовлетворительно описать размерный эффект, наблюдавшийся в экспериментах по генерации второй гармоники ПКЯ-структурамн — ЭЮг в субнанометровом диапазоне толщин слоев кремния.

2. В резонансном приближении рассчитаны тензоры линейной и квадратичной нелокальной проводимости квантовых ям для двух случаев: (а) когда резонансная пара размерно-квантованных уровней электронной энергии лежит в зоне проводимости и (б) когда уровни из резонансной пары лежат в валентной зоне и зоне проводимости. Показано, что в мультиполь-пом разложении тензоров проводимости по степеням компоненты волнового вектора, тангенциальной к границам раздела, члены первого порядка вносят вклад лишь в резонансный квадратичный отклик, отсутствуя в резонансной составляющей линейного отклика.

3. Метод матриц распространения оптического излучения в слоистой среде обобщен па случай слоев с существенно нелокальным откликом в направлении, перпендикулярном границам раздела. Показано, что вычисление компонент обобщенных матриц распространения сводится к решению интегрального уравнения для локального поля внутри отдельного нелокального слоя; для квантовых ям с факторизуемым тензором линейной нелокальной проводимости интегральное уравнение, в свою очередь, сводится к алгебраическому. В рамках предложенного формализма описано распространение излучения на частотах накачки и второй гармоники в ПКЯ с произвольным числом слоев.

4. В рамках формализма обобщенных матриц распространения и с использованием найденных в резонансном приближении тензоров линейной и квадратичной проводимости квантовых ям рассчитаны спектры интенсивности излучения второй гармоники, генерируемого ПКЯ-структурой 81 —БЮг, для различных (субнанометровых) значений толщины слоев кремния. Показано, что при уменьшении толщины квантовой ямы с 1 им до 0.25 им квантово-размерный сдвиг резонансной частоты в спектре квадратичного отклика ПКЯ (в энергетических единицах - порядка 0.1 эВ) существенно превышает сдвнг, обусловленный электромагнитным взаимодействием между квантовыми ямами в структуре (порядка 0.01 эВ). Рассчитанные спектральные зависимости находятся в согласии с экспериментальными данными.

5. С точностью до членов, квадратичных по тангенциальной компоненте волнового вектора, включительно, величины, которые определяют распространение излучения в ПКЯ-структурах с квадратичной нелинейностью (обобщенная матрица распространения и обобщенный вектор нелинейных источников), выражены через набор эффективных параметров, которые связывают нулевой и первый моменты поляризации внутри квантовой ямы с компонентами локального поля па ее границах. Показано, что значения этих параметров могут быть найдены из зависимостей от угла падения коэффициентов линейного и квадратичного отражепня от ПКЯ-структур.

В заключение я хотел бы поблагодарить моего научного руководителя Никулина A.A. за эффективную координацию моей научной деятельности и неоценимую помощь в подготовке материалов для написания диссертационной работы. Я хотел бы также поблагодарить весь состав лаборатории Нелинейной оптики наноструктур и фотонных кристаллов за многочисленные научные дискуссии, существенно способствовавшие написанию работы.

1. Херман М. Полупроводниковые сверхрешетки. — М.: Мир, 1989. — 238 с.

2. Акципетров О. А., Головкина В. Н., Заяц А. В., Мишина Е. Д., Мурзи-на Т. В., Никулин А. А., Рубцов А. Н., Федянин А. А. Генерация анизотропной второй оптической гармоники в Si: ЭЮг-сверхрешетках // ДАН. — 1995.-т. 340.-с. 171-174.

3. Aktsipetrov О. A., Fedyanin A. A. Dc-elcctric-field-induced second-harmonic generation in Si Si02 multiple quantum wells // Thin Solid Films. — 1997. — v. 294. - pp. 235-237.

4. Savkin V. V., Fedyanin A. A., Pudonin F. A., Rubtsov A. N., Aktsipetrov 0. A. Oscillatoric bias dependence of dc-clcctric field induced second harmonic generation from Si — Si02 multiple quantum wells // Thin Solid Films. — 1998. — v. 336.-pp. 350-353.

5. Liu A. Local-field effect on the linear optical intersubband absorption in multiple quantum wells 11 Phys. Rev. B. — 1994. — v. 50.- pp. 8569-8576.

6. Chen X., Keller 0. Photon drag in single and multiple two-level quantum wells // Phys. Rev. B. 1997. - v. 55. - pp. 15706-15719.

7. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. — М.: Наука, 1967. — 492 с.

8. Keller О., Liu A. Local-field calculation of the optical diamagnetic response of a metallic quantum well 11 Phys. Rev. B. 1994. - v. 49. - pp. 2072-2085.

9. Келдыш JI. В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла // ФТТ. 1962. - т. 4. - с. 2265-2267.

10. Chang L. L., Esaki L., Howard W. E., Ludeke R. The growth of GaAs-GaAlAs superlattice //J. Vacuum Sci.Technol.— 1973.— v. 10.— pp. 11-16.

11. Dingle R., Wiegmann W., Henry С. H. Quantum states of confined carriers in very thin alxgai-xas-g&as-alxgai-xas heterostructures // Phys. Rev. Lett. — 1974. v. 33. - pp. 827-830.

12. Плотников А. Ф., Пудонин Ф. А., Стопачинский В. Б. Сверхтонкие гете-роструктуры Si/Si02 // Письма в ЖЭТФ. 1987. - т. 4G. - с. 443-446.

13. Акципетров О. А., Заяц А. В., Мишина Е. Д., Рубцов А. Н., Федянин А. А. Генерация резонансной второй гармоники в периодических квантовых ямах Si/Si02. // ЖЭТФ. — 1996. — т. 109.-с. 1240-1248.

14. Бродски М. Аморфные полупроводники, — М.: Мир, 1982. —420 с.

15. Feng Z.-C. Semiconductor Interfaces and Microstructures. — World Scientific Publishing, Singapore, 1992. 320 pp.

16. Давыдов А. С. Квантовая механика. — M.: ГИФМЛ, 1963. — 748 с.

17. Lockwood D. J., Lu Z. H., Baribeau J.-M. Quantum confined luminescence in Si/Si02 superlattices 11 Phys. Rev. Lett. 1996. - v. 76.- pp. 539-541.

18. Zayats A., Keller O., Golonzka O., Repeyev Y., Vinogradov E. Optical transitions and nonlinearities in amorphous Si/Si02 quantum structure // Proc. of SPIE. v. 2139. - 1994. - pp. 309-320.

19. Dolgova Т. V., Avramenko V. G., Nikulin A. A., Marowsky G., Pudonin F. А., Fedyanin A. A., Aktsipetrov О. A. Second-harmonic spectroscopy of electronic structure of Si/Si02 multiple quantum well // Appl. Phys. B. — 2002. — v. 74. — pp. 671-675.

20. Пекар С. И. Метод эффективной массы электрона в металле // ЖЭТФ.— 1946.-т. 16.-е. 933-936.

21. Ihm J., Lam Р. К., Cohen M. L. Electronic structure of the 001] inas-gasb superlattice // Phys. Rev. B. 1979.- v. 20.-pp. 4120-4125.

22. Мененков П. Исследование электронного спектра Si/Si02 квантовых ям в модели одномерного потенциала: Дипломная работа // МГУ,Физический факультет, Кафедра Квантовой Радиофизики. — 1998.

23. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. — 1964. — v. 136.-pp. B864-B871.

24. Kohn W., Sham L. J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. 1965. - v. 140.- pp. A1133-A1138.

25. Kohn W. Nobel lecture: Electronic structure of matter—wave functions and density functional 11 Rev. Mod. Phys. 1999. - v. 71.-pp. 1253-1266.

26. Stott M. J., Zaremba E. Linear-response theory within the density-functional formalism: Application to atomic polarizabilities // Phys. Rev. A. — 1980. — v. 21.-pp. 12-23.

27. Runge E., Gross E. K. JJ. Density-functional theory for time-dependent systems // Phys. Rev. Lett. — 1984. — v. 52.- pp. 997-1000.

28. Weber M. G., Liebsch A. Theory of second-harmonic generation by metal over-layers // Phys. Rev. В.- 1987.- v. 36.-pp. 6411-6414.

29. Weber M., Liebsch A. Density-functional approach to second-harmonic generation at metal surfaces // Phys. Rev. B. — 1987. — v. 35. — pp. 7411-7416.

30. Liebsch A. Second-harmonic generation at simple metal surfaces // Phys. Rev. Lett. 1988. - v. 61. - pp. 1233-1236.

31. Lang N. D., Kohn W. Theory of metal surfaces: Charge density and surface energy 11 Phys. Rev. В.- 1970.-v. 1.- pp. 4555-4568.

32. Shulte F. K. A theory of thin metal films: electron density, potentials and work function 11 Surf. Sci. 1976. - v. 55. - pp. 427-444.

33. Brack M. The physics of simple metal clusters: self-consistent jellium model and semiclassical approaches // Rev. Mod. Phys. — 1993. —v. 65. —pp. 677-732.

34. Stroucken Т., Knorr A., Thomas P., Koch S. W. Coherent dynamics of ra-diatively coupled quantum-well excitons // Phys. Rev. B. — 1996. — v. 53. — pp. 2026-2033.

35. Feibelman P. J. Surface electromagnetic fields // Prog. Surf. Sci.— 1982.— v. 12. pp. 287-407.

36. Келдыш Л. В., Ильинский Ю. А. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом. — М.: МГУ, 1989. — 304 с.

37. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики. T.III. Квантовая механика (перелятивистская теория). — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.— 797 с.

38. Keller О. Random-phase-approximation study of the response function describing optical second-harmonic generation from a metal selvedge // Phys. Rev. B. 1986. - v. 33. - pp. 990-1009.

39. Liu A., Keller O. Local-field study of the optical second-harmonic generation in a symmetric quantum-well structure // Phys. Rev. B. — 1994. — v. 49. — pp. 13616-13623.

40. Борн M., Вольф E. Основы оптики. — M.: Наука, 1973. — 720 с.

41. Belhune D. S. Optical harmonic generation and mixing in multilayer media: analysis using optical transfer matrix techniques // J. Opt. Soc. Am. B. — 1989.-v. 6.-pp. 910-916.

42. Keller O. Sheet-model description of the linear optical response of quantum wells // J. Opt. Soc. Am. В.- 1995.- v. 12.- pp. 987-996.

43. Денисов В. И. Введение в электродинамику сплошных сред. — М.: МГУ, 1989. 166 с.

44. Joannopoulos J. D., Meade R. D., Winn J. N. Photonic crystals: molding the flow of light. — Princeton University Press, Princeton, 1995.— 156 pp.

45. Bethune D. S. Optical harmonic generation and mixing in multilayer media: extension of optical transfer matrix approach to include anisotropic materials // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. - v. 8. - pp. 367-373.

46. Enoch S., Akhouayri H. Second-harmonic generation in multilayered devices: theoretical tools 11 J. Opt. Soc. Am. В.- 1998,- v. 15.-pp. 1030-1041.

47. Khorasani S., Mehrany K. Differential transfer-matrix method for solution of one-dimensional linear nonhomogeneous optical structures // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. - v. 37. - pp. 91-97.

48. Mehrany K., Rashidian B. Polynomial expansion for extraction of electromagnetic eigenmodes in layered structures // J. Opt. Soc. Am. B. — 2003. — v. 20. — pp. 2434-2441.

49. Eghlidi M. //., Mehrany K., Rashidian B. Modified differential-transfer-matrix method for solution of one-dimensional linear inhoiiiogeneous optical structures // J. Opt. Soc. Am. B.— 2005.-v. 22.-pp. 1521-1528.

50. Eghlidi M. H., Mehrany K., Rashidian B. Improved differential-transfer-matrix method for inhomogeneous one-dimensional photonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 200G. - v. 23. - pp. 1451-1459.

51. Feibelman P. J. Microscopic calculation of electromagnetic fields in refraction at a jellium-vacuum interface // Phys. Rev. B. — 1975.— v. 12.— pp. 1319-1336.

52. Bagchi A. Transverse dielectric response of a semi-infinite metal: Surface effect // Phys. Rev. B.- 1977.-v. 15.-pp. 3060-3077.

53. Bagchi A., Barrera R. G., Rajagopal A. K. Perturbative approach to the calculation of the electric field near a metal surface // Phys. Rev. B. — 1979. — v. 20. pp. 4824-4838.

54. Keller 0. Screened electromagnetic propagators in nonlocal metal optics // Phys. Rev. B. 1986. - v. 34. - pp. 3883-3899.

55. Keller O. Propagator study of the selvedge field in linear and nonlinear nonlocal jellium optics // Phys. Rev. B.- 1988.- v. 38,- pp. 8041-8060.

56. Keller 0. Tensor-product structure of a new electromagnetic propagator for nonlocal surface optics of metals // Phys. Rev. B. —1988. — v. 37. — pp. 1058810607.

57. Keller O. Photon drag in a single-level metallic quantum well // Phys. Rev. B. 1993. - v. 48. - pp. 4786-4798.

58. Khurgin J. Second-order intersubband nonlinear-optical susceptibilities of asymmetric quantum-well structures // J. Opt. Soc. Am. B. — 1989. — v. 6. — pp. 1673-1682.

59. Keller 0. Optical response of a quantum-well sheet: internal electrodynamics // J. Opt. Soc. Am. B.- 1995.-v. 12.-pp. 997-1005.

60. Keller O., Liu A., Zayats A. Characterization of the linear optical properties of multiple quantum well structure in the sheet-model approximation // Opt. Commun.- 1994.- v. 110.- pp. 604-610.

61. Rudnick J., Stern E. A. Second-harmonic radiation from metal surfaces // Phys. Rev. B. 1971. - v. 4. - pp. 4274-4290.

62. Corvi M., Schaich IV. L. Hydrodynamic-model calculation of second-harmonic generation at a metal surface // Phys. Rev. B. — 1986. — v. 33. — pp. 36883695.

63. Schwartz C., Schaich W. L. Hydrodynamic models of surface plasmons // Phys. Rev. В. — 1982.— v. 26.-pp. 7008-7011.

64. Chelikowsky J. R., Cohen M. L. Electronic structure of silicon // Phys. Rev. B. 1974. - v. 10. - pp. 5095-5107.

65. Queeney К. Т., Weldon M. K., Chang J. P., Chabal Y. J., Gurevich А. В., Sapjeta J., Opila R. L. Infrared spectroscopic analysis of the Si/Si02 interface structure of thermally oxidized silicon //J. Appl. Phys. — 2000. — v. 87. — pp. 1322-1330.

66. Chelikowsky J. R., Cohen M. L. Nonlocal pseudopotential calculations for the electronic structure of eleven diamond and zinc-blende semiconductors // Phys. Rev. B. 1976. - v. 14. - pp. 556-582.

67. Avramenko V. G., Nikulin A. A. Si/Si02 multiple quantum wells: Electronic and optical properties 11 WDS'05 Proceedings of Contributed Papers, Part III. 2005. - pp. 489-494.

68. TO. Келдыш Jl. В. Кулоновское взаимодействие в тонких пленках полупроводников и полуметаллов // Письма в ЖЭТФ. — 1979. — т. 29. — с. 716-719.

69. Келдыш JI. В. Поляритоны в тонких полупроводниковых пленках // Письма в ЖЭТФ. 1979. - т. 30. - с. 244-248.

70. Аидрюшин Е. Ф., Силин А. П. Экситоиы в тонких полупровдииковых пленках // Вестник МГУ, Физика твердого тела. — 1980.— т. 22.— с. 26762680.

71. Avramenko V. G., Nikulin A. A. Method of calculation of non-linear optical response of multiple quantum wells // Proc. of SPIE. — v. 6259. — 2006. — p. 625906.

72. Avramenko V. G. Generalized optical transfer-matrix technique: application to the nonlinear response of multiple quantum wells // J. Opt. Soc. Am. В.— 2006.-v. 23.-pp. 1872-1881.

73. Авраменко В. Г., Никулин А. А. Матричное описание распространения оптического излучения в многослойных структурах с нелокальным откликом // Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2006. — с. 78-79.

74. Sanyal М. К., Hazra S., Basu J. К., Datta A. Extraction of density profile for near perfect multilayers // Phys. Rev. B. 1998. - v. 58. - pp. R4258-R4261.

75. Bushuev V. A., Lomov A. A., Sutyrin A. G. Extraction of density profile for near perfect multilayers // Crystallogr. Rep. — 2002. — v. 47. — pp. 683-690.

76. Cowley R. A., Ryan T. W. X-ray scattering studies of thin films and surfaces: thermal oxides on silicon // J. Phys. D: Appl. Phys. — 1987. — v. 20. — pp. 6168.

77. Dura J. A., Richter C. A., Majkrzak C. F., Nguyen N. V. Neutron reflectome-try, x-ray reflectometry, and spectroscopic ellipsometry characterization of thin Si02 on si // Appl. Phys. Lett.- 1998.- v. 73.- pp. 2131-2133.

78. Бломберген H. Нелинейная оптика. — M.: Мир, 1966. — 424 с.

79. Dolgova Т. V., FedyaninA. A., Aktsipetrov О. A., Marowsky G. Optical second-harmonic interferometric spectroscopy of Si(lll) — SiOi interface in the vicinity of E2 critical points // Phys. Rev. В.- 2002.- v. 66.- p. 033305.

80. Aspnes D. E., Studna A. A. Dielectric functions and optical parameters of Si,Ge, GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs, and InSb from 1.5 to 6.0 eV // Phys. Rev. B. 1983. - v. 27. - pp. 985-1009.

81. Gusev D. G., Soboleva I. V., Martemyanov M. G., Dolgova Т. V., Fedyanin A. A., Aktsipetrov 0. A. Enhanced second-harmonic generation in coupled microcavities based on all-silicon photonic crystals // Phys, Rev. B. — 2003.-v. 68.-p. 233303.