Проявления гамильтонова хаоса в классической и волновой динамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Макаров Денис Владимирович

ПРОЯВЛЕНИЯ ГАМИЛЬТОНОВА ХАОСА В КЛАССИЧЕСКОЙ И ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКЕ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

- 3 ИЮЛ 2014

Владивосток — 2014

005550325

Работа выполнена в Федеральном государственном учреждении науки Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева Дальневосточного отделения Российской академии наук

Научный консультант: Пранц Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессо

Официальные оппоненты: Дзюба Владимир Пименович

доктор физико-математических наук ФГБУН Институт автоматики и процессов упра ления ДВО РАН, главный научный сотрудник

Сазонов Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессо НИЦ "Курчатовский институт", ведущий научны сотрудник

Соколов Валентин Васильевич

доктор физико-математических наук, профессо ФГБУН Институт ядерной физики им, Г.И. Бу кера СО РАН, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учр

ждение науки Институт прикладной физики РА

Защита состоится 3 октября 2014 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.056.08 на базе Дальневосточного Федерального Университета по адресу: г. Владивосток, ул. Суханова 8-41.

. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДВФУ, а также на сайте www.dvfu.ru.

Автореферат разослан 23 июня 2014 года. .

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.056.08, к.ф.-м.н., доцент

Фролов Анатолий Михай

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Осознание того, что даже динамические системы с малым числом степеней свободы могут демонстрировать хаотическое и непредсказуемое поведение произвело в прошлом столетии переворот в головах физиков. Само по себе явление хаоса можно рассматривать как некий особый режим динамики, качественно отличающийся не только от регулярного интегрируемого движения, но и от нормальной диффузии. Действительно, простейшее статистическое описание хаотической динамики с использованием, например, обычного уравнения Фоккера-Планка нередко дает некорректную картину из-за свойственной хаосу перемежаемости. Применение же методического аппарата аномальной кинетики часто оказывается достаточно затруднительным, когда мы сталкиваемся с более-менее реалистичными моделями. Таким образом, несмотря на колоссальный интерес к хаосу в последние десятилетия, вопрос об эффективном описании хаотической динамики по прежнему остается открытым. Все это заставляет нас с большим вниманием относиться к выявлению механизмов возникновения хаоса в каждой конкретной ситуации, к анализу его проявлений на фазовых портретах, в надежде дать хотя бы огрубленное описание хаотического движения или сделать это движение более контролируемым. Если говорить о хаосе в гамильтоновых системах, то теорема Лиувилля лишь в малой степени облегчает решение возникающих перед нами задач. Более того, в гамильтоновых системах гораздо сложнее, чем в диссипативных, добиться контроля над хаотической динамикой.

Одной из важнейших проблем в современной физике является вопрос о квантовом хаосе - поведении квантовых систем, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение. Известно, что по мере усиления квантовых эффектов динамика системы все сильнее и сильнее отклоняется от классической картины. Как следствие в глубоком квантовом режиме поведение системы не обнаруживает практически никаких следов хаоса. Вместе с тем, всегда существует некоторый переходный режим, в котором и влияние квантовых эффектов, и влияние хаоса является существенным. Именно этот режим представляет наибольшую сложность для описания. Согласно принципу оптико-механической аналогии, данная проблема также возникает в различных задачах, связанных с распространением волн в неоднородных средах. К их числу относится дальнее распространение звука в океане, подверженное волновому хаосу, являющемуся математическим аналогом квантового хаоса. Хаос является серьезным ограничителем для практического использования дальнего распространения звука, например, в целях акустической то-

мографии или для подводной акустической связи. Ситуация дополнительно осложняется тем обстоятельством, что неоднородность океана в горизонтальной плоскости, ответственная за возникновение хаоса, является стохастической. Поэтому детальное исследование механизмов возникновения хаоса, а также его проявлений при низких частотах акустического сигнала, обладающих наименьшим поглощением в морской воде, имеет принципиально важное значение. Отметим, что теория лучевого и волнового хаоса в акустических волноводах может быть напрямую применена к волноводам других типов, например к оптическим.

Другой физической задачей, где исследование хаоса имеет первостепенную важность, является динамика холодных атомов в оптических решетках. Развитие методов манипуляции ансамблями холодных атомов представляет ценность с точки зрения приложений, связанных с созданием квантового компьютера. Так, например, квантовые рэтчеты с холодными атомами можно рассматривать как перспективный метод транспортации квантовых состояний в заданную область. В полуклассическом режиме, возникающем при достаточно большой высоте оптического потенциала, перевод атомов из локализованного в делокализованное состояние сопряжен с разрушением динамических барьеров в фазовом пространстве. Одним из возможных решений проблемы является создание в фазовом пространстве хаотического слоя с заданными свойствами. В глубоком квантовом режиме хаос может появляться совсем в другом обличии. Динамика атомарного конденсата Бозе-Эйнштейна может быть описана в приближении среднего поля с помощью уравнения Гросса-Питаевского, которое является нелинейным и, как следствие, может иметь неустойчивые решения.

Основные цели работы можно сформулировать следующим образом:

1. Выявление основных свойств лучевого и волнового хаоса при дальнем распространении звука в океане.

2. Исследование проявлений хаоса в динамике взаимодействующих и невзаимодействующих холодных атомов в нерезонансных оптических решетках.

3. Построение моделей классических и квантовых гамильтоновых рэтчетов, допускающих генерацию направленного транспорта при минимальных значениях амплитуды возмущения.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследование условий возникновения хаоса при воздействии волнообразного возмущения с быстрыми осцилляциями по координате на нелинейную колебательную систему;

2. Развитие теории вертикального лучевого резонанса в акустике океана;

3. Исследование соответствия между лучевой и волновой картиной в условиях волнового хаоса с помощью теории Флоке;

4. Исследование структуры классического фазового пространства и се связи с квантовой (волновой) динамикой при воздействии случайного возмущения;

5. Исследование взаимодействия между внутренними и внешними степенями свободы в динамике двухкомпонентного атомного конденсата Бозе-Эйнштейна в оптической решетке при наличии линейной связи между компонентами.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Статистический анализ собственных функций оператора эволюции на конечное время, описывающего квантовую динамику системы со случайным возмущением, позволяет найти квантовые состояния, соответствующие зонам устойчивости по Ляпунову на конечном времени в классическом фазовом пространстве, если последние удовлетворяют условию инвариантности на конечном времени. Формальная аналогия соответствующих уравнений позволяет перенести данный подход на задачи о распространении волн в случайно-неоднородных волноводах. Применение указанного подхода к задаче о распространении звука в подводном звуковом канале в Японском море позволило установить, что одним из главных факторов, отвечающих за стабильность акустических сигналов, распространяющихся под малыми углами к оси канала, является образование слаборасходящегося пучка.

2. Возникновение хаоса при воздействии волнообразного возмущения на классическую гамильтонову систему связано с селективным усилением нелинейного резонанса в определенной области фазового пространства. При этом переход к глобальному хаосу может быть связан либо с перекрытием резонансов, либо с бифуркациями эллиптических и гиперболических точек доминирующего нелинейного резонанса в данной области фазового пространства.

3. При воздействии возмущения в виде плоской волны с адиабатической модуляцией волнового числа на ансамбль классических частиц, движущихся в поле периодического потенциала, возможно возникновение эффекта гигантского ускорения частиц вдоль резонансных каналов в фазовом пространстве.

4. При распространении звука в глубоком океане, с понижением частоты сигнала происходит подавление проявлений вертикального лучевого резонанса в волновой картине акустического поля, что сопровождается качественными изменениями в спектральных свойствах оператора эволюции на конечное расстояние.

5. Находящийся в оптической решетке двухкомпонентный конденсат Бозе-Эйнштейна, в котором разные компоненты соответствуют различным состояниям сверхтонкой структуры и связаны внешним электромагнитным полем, может демонстрировать спонтанную синхронизацию осцилляций Раби, происходящих в различных узлах оптической решетки.

Научная новизна: Основные результаты работы являются новыми, что подтверждается их публикацией в ведущих мировых научных журналах. Среди полученных новых результатов выделим следующие:

• Разработан новый квазидетерминированный подход для анализа квантовых систем, находящихся под воздействием случайного возмущения.

• Предложена новая схема классического рэтчета, в котором генерация направленного транспорта достигается за счет наложения возмущения в виде суперпозиции плоских волн, каждая из которых обеспечивает разрушение динамических барьеров в определенной области фазового пространства, создавая таким образом асимметричный по импульсу хаотический слой.

• Предложена новая схема квантового рэтчета с холодными атомами, погруженными в оптическую решетку. Схема обеспечивает генерацию направленного атомного транспорта при воздействии малого возмущения, состоящего из суперпозиции двух дополнительных оптических решеток с широкополосной амплитудной модуляцией.

• Впервые дано подробное описание режимов динамики двухкомпонент-ного конденсата Бозе-Эйнштейна с линейной межкомпонентной связью, погруженного в оптическую решетку.

• Впервые подробно исследованы механизмы перехода от хаоса к регулярности, происходящие при понижении частоты в акустических полях в глубоком океане.

Практическая значимость диссертационной работы определяется возможными приложениями полученных результатов. В частности, результаты исследования волнового хаоса в акустике океана, в особенности касающиеся механизмов подавления хаоса, могут быть использованы для построения новых методов акустической томографии океана, сохраняющих эффективность в условиях лучевого хаоса. Результаты, полученные при исследовании волнового хаоса в периодически-неоднородных акустических волноводах могут быть использованы при разработке нового поколения оптических волокон на основе периодически-сегментированных оптических волноводов. В работе предложено несколько новых схем для классических и квантовых рэтчетов, которые могут быть использованы для манипуляции холодными атомами. Результаты исследований двухкомпонентного конденсата Бозе-Эйнштейна представляют ценность с точки зрения создания макроскопических перепутанных состояний, которые могут быть использованы в квантовых вычислениях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных и россиийских конференциях: XV сессия Российского акустического общества, совмещенная с III Нижегородской акустической сессией (Нижний Новгород, 2004), XI школа-семинар им. акад. JT.M. Брсховских, совмещенная с XVII сессией Российского акустического общества (Москва, 2006), научная школа "Нелинейные волны" (Нижний Новгород, 2006, 2008 и 2010), международная конференция "Nonlinear Dynamics in Quantum Systems" (Красноярск, 2009), международная конференция "Tunneling and Scattering in Complex Systems — From Single to Many Particle Physics" (Германия, Дрезден, 2009), международная конференция "Dynamics Days Europe" (Великобритания, Бристоль, 2010), XIII школа-семинар им. акад. Л.М. Бреховских, совмещенная с XXIII сессией Рооссий-ского акустического общества (Москва, 2011), международная конференция "Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geosphcres" (Владивосток, 2011), международная конференция "Wave Chaos from the Micro- to the Macroscalc" (Германия, Дрезден, 2012), конференция "Физика ультрахолодных атомов" (Новосибирск, 2012), XIV школа-ссминар им. акад. Л.М. Бреховских, совмещенная с XXVI сессией Российского акустического общества (Москва, 2013), международная конференция "ICONO/LAT" (Москва, 2013), международная конференция "International Conference on Quantum Technologies" (Москва,

2013), международная конференция "Advances in Quantum Chaotic Scattering: From (Non-)Linear Waves to Few-Body Systems" (Германия, Дрезден, 2013).

Помимо этого, результаты работы неоднократно докладывались на семинарах по нелинейной динамике в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И.Ильичева ДВО РАН, а также семинарах лаборатории физики нелинейных процессов Института Физики им. JI.B. Киренского СО РАН (г.Красноярск).

Диссертационная работа была выполнена при поддержке грантов РФФИ 09-02-01257-а, 09-05-98608-р_восток_а, 12-05-33022-мол_а_вед, грантов Президента РФ МК-9007.2006.5, МК-4324.2009.5, в которых соискатель являлся руководителем. Помимо этого, соискатель являлся стипендиатом фонда "Династия" (конкурс молодых ученых-кандидатов наук, работающих в области фундаментальной физики), а также Фонда содействия отечественной науке. Соискатель является обладателем медали Российской Академии наук с премией для молодых ученых, полученной за цикл работ "Динамический хаос в физических процессах в океане" (совместно с М.Ю. Улейским и М.В. Будян-ским, 2006 год), обладателем премии имени академика В.И. Ильичева ДВО РАН для молодых ученых за серию работ "Хаос при распространении звука в океане", а также обладателем медали имени академика JI.M. Бреховских от Российского акустического общества.

Личный вклад. Все представленные в диссертации новые результаты получены автором, либо при его прямом участии. Автор осуществлял постановку задач, выбор методов исследования, обработку и анализ полученных результатов. Автором лично разработана часть вычислительных программ, использованных в численном моделировании.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 23 печатных изданиях, 1 из которых представляет собой монографию, опубликованную международным издательством World Scientific на английском языке, 22 — изданы в журналах, рекомендованных ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации 228 страниц текста с 66 рисунками. Список литературы содержит 283 наименование.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной дисссртационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи

8

работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Первая глава посвящена обзору текущего состояния в тех областях теории гамильтонова хаоса, которые в наибольшей степени относятся к представленной работе.

Вторая глава посвящена исследованию классических систем, движение которых описывается гамильтонианом следующего вида:

V2

Н = ^ + U{x)+scosy(x,t), (1)

где р - импульс часицы, М - ее масса, константа е удовлетворяет неравенству £ -С U0, где U0 высота потенциала U{x) (если U0 = оо, е может иметь произвольное конечное значение). Нестационарное возмущение в данном случае представляет собой плоскую волну, фаза которой дается формулой

ф = кх + svt + ip(x, fit), /i < y/i. (2)

Направление фазовой скорости возмущения задается параметром s, который принимает значения 1 или -1. Нас интересует случай, когда волновое число к является достаточно большим. Тогда возмущение быстро осциллирует вдоль траектории частицы всюду, за исключением некоторой области, где выполняется следующее резонансное условие:

dib кр , р

- = - + + + (3)

где использовано обозначение т = fit. Данное условие может выполняться тогда, когда скорость частицы v близка к фазовой скорости волны

^inst . 1.1 / / , \

V = fph = --—, kinst = к + (рх, v¡nst = sv + pup т. (4)

Вблизи резонанса (3), движение описывается уравнениями движения в га-мильтоновой форме

<1ф дН dT 2 дН

^ = т = -сй = П5тф-Г = ~дф> (5)

с гамильтонианом

X2

Я = — + П2 cos гр + Ftp. (6)

Традиционный подход при исследовании этой системы уравнений заключается в привлечении адиабатического приближения. Это означает, что динамика рассматривается при "замороженных" значениях х, р и г, которые рассматриваются как медленно-меняющиеся параметры. Если f22 > \F\, фазовый

портрет в плоскости (ф — Т) содержит область финитного движения, которая, собственно, и соответствует попаданию в резонанс (3).

Важным свойством резонанса (3) является то, что каждое прохождение траектории через него сопровождается скачком переменной действия и, как следствие, энергии. Величина этого скачка обладает острой чувствительностью к малым изменениям начальных условий. Таким образом, все траектории, пересекающие сепаратрисную петлю, принадлежат хаотическому слою в фазовом пространстве переменных х и р. Вероятность попадания в резонанс пропорциональна площади, окружаемой ссиаратрисной петлей, и достигает максимального значения, если условие (3) выполняется вблизи гладкого экстремума невозмущенного потенциала. Это позволяет найти значение энергии, в окрестности которого возникает хаотический слой

V2 2 е

Etes = m + M + i/extr' Piea = MUph' (7)

Способность резонанса (3) селективно разрушать динамические барьеры в заданной энергетической полосе может быть использована в задачах, связанных с переводом системы из локализованного в делокализованное состояние. К числу таких задач относится создание эффекта рэтчета, т. е. генерация направленного баллистического транспорта при воздсствии переменного возмущения на ансамбль частиц, локализованный в поле пространственно-периодического потенциала. Для активации частиц с малыми энергиями необходимо разрушить сдерживающие их инвариантные кривые, т. е. хаотический слой должен быть односвязным и покрывать все фазовое пространство. Односвязности хаотического слоя можно добиться без увеличения амплитуды возмущения, комбинируя два возмущения вида плоской волны: первое вызывает хаотическую диффузию в области малых энергий, а второе приводит к образованию асимметричного по импульсу хаотического слоя вблизи сепаратрисы, тем самым не только обеспечивая перевод частиц в баллистический режим, но и задавая направление потока частиц. Следуя этим рассуждениям, рассмотрим нестационарное возмущение потенциала, имеющее следующий вид

V = £i COSÄTiZCOSI/ii + £2[(1 — Ос) COs(fc2X + i^i) + QCOs(fc2X — (8)

где = c2 = 0.02, ki = 10, к? = 6, = 2, z^ = 6. При таком выборе возмущения практически вся область финитного движения погружена в хаотическое море. Все частицы, принадлежащие хаотическому морю, могут в процессе диффузии пересечь сепаратрису и попасть в область инфинитного движения. При этом несимметричность хаотического слоя способствует преобладанию полетов в направлении х = — оо при а < 0.5 и х = сю при а > 0.5.

10

Для количественной оценки транспорта рассмотрим динамику ансамбля из

Рис. 1: Зависимость среднего смещения частиц {Ах) от времени для разных значений а (Макаров, Улейский. Письма в ЖЭТФ. 2006)

10000 частиц с гауссовым начальным распределением по переменным импульса и координаты, с центром в точке х = 0, р = 0 и дисперсиями ах = ар = 0.1, т. е. изначально все частицы находятся вблизи устойчивого состояния покоя. На Рис. 1 изображены зависимости среднего смещения частиц от времени, при а = 0, а — 0.5 и а = 1. При £ > 2000 достаточно большое количество частиц успевает пересечь сепаратрису и линии, соответствующие а = 0 и а = 1 симметрично расходятся вниз и вверх. Таким образом, в обоих этих случаях возникает поток, направление которого определяется асимметрией хаотического слоя, обусловленной резонансами (3). В то же время при а = 0.5 среднее смещение частиц остается практически равным нулю.

Присутствие адиабатической фазовой модуляции возмущения способно резко изменить поведение системы, в особенности ее транспортные свойства. Чтобы показать это, рассмотрим гамильтониан

Р2

Н = —— совх + есов (кх + г/£), (9)

где £ < 1. Положим, что волновое число возмущения к является медленно-меняющимся параметром к = где ц <С у/ё. Физически такой вид мо-

дуляции соответствует медленному изменению ориентации внешней силы по отношению к оси х. Условие (3) в данном случае оно имеет вид

+ ^ + (Ю)

Согласно (10), резонансная область в фазовом пространстве расположена вдоль линии, описываемой уравнением

1 ( ¿к \

= + (И)

Рис. 2: (а) Средний импульс и (6) дисперсия импульса как функции времени (Makarov, Uleysky, Physical Review E, 2007)

Адиабатическое изменение резонансного значения импульса также приводит к эффективному преодолению динамических барьеров в фазовом пространстве и делокализации частиц. Как уже отмечалось выше, наиболее оптимальные условия для захвата в резонанс возникают вблизи точек экстремума невозмущенного потенциала, где sino: = 0. Тогда подставляя (11) в неравенство \F{x,p,r)\ < ек2, представляющее собой критерий существования резонансной области в пространстве ф ф, и полагая sinx = 0, мы получаем

-i

. ек2 Р < — М

/с 7"

, ек2

214 к

-К

(12)

Неравенства (12) ограничивают зону действия резонанса (10). Заметим, что зона эта достаточно велика ее размеры по х и по р имеют порядок ц~2 и /л-1, соответственно.

В качестве примера рассмотрим случай периодической модуляции волнового числа возмущения

к = к{1 4- acosp,t), |a| < 1, /í<Cl.

(13)

Критерий (12) удовлетворяется при |х| < 50000 в достаточно широком интервале по г с центром при г = 2-кт, где т = 0,1,2,.... Это предполагает существование таких траекторий, который, однажды попав в резонанс, попадают в него и на последующих периодах маятника, до тех пор, пока т остается достаточно близким к 2пт. Такие частицы двигаются вдоль линий, описываемых (11), демонстрируя при этом баллистические полеты с увеличивающейся скоростью. Существование таких баллистических полетов подтверждается численным моделированием. Была рассчитана эволюция ансамбля частиц с начальным гауссовым распределением с центром в точке х = 0,

12

р = 0. Рис. 2 представляет зависимость от времени для среднего импульса и дисперсии импульса для £ = 0.04. к = 12, и = 4, а = 0.75, /л = 27г/1000. Мы видим, что возникает направленный поток частиц в направлении х —> —оо. Средний импульс растет немонотонно и резкие ускорения сменяются замедлениями, также достаточно резкими. Ускорения возникают в те моменты, когда "медленная"фаза т близка к 2пт, что вполне соответствует предсказаниям приведенного выше анализа. Каждый акт ускорения сопровождается скачком дисперсии импульса. Рис. 3 показывает, что ускоряющиеся частицы образуют своего рода струи вдоль резонансной линии (11), которая обрезается в соответствии с критерием (12). Стоит отметить, что подвергнувшиеся сильному ускорению частицы не возвращаются в резонансную область вновь. Сам по себе захват частицы в резонансный канал является случайным и достаточно редким событием, о чем наглядно свидетельствует тот факт, что лишь малая доля ансамбля частиц претерпевает ускорение на Рис. 3.

О 200000 400000

Рис. 3: Распределение частиц в фазовом пространстве для моментов времени: (а) t = 3200, (б) t = 5200, (в) t = 9200. Резонансный канал обозначен линией (Makarov, Uleysky. Physical Review E, 2007)

Теория резонанса (3) представляет совершенно иной подход к описанию динамики, нежели теория обычного нелинейного резонанса. Таким образом, возникает вопрос: каким образом два вышеупомянутых подхода соотносятся друг с другом и где пролегает граница, по пересечении которой один из них становится неприменим, тогда как другой остается работающим? Для этого рассмотрим гамильтониан

Я = HQ(I) + eF(I, 0, t) sin kx(I, ti), (14)

где F(t) = F(t + T). Запишем выражение для Фурье-амплитуд функции Fsinfcrc, соответствующих нелинейному резонансу Iuj = mv = 2пт/Т:

Т/2

= J dt ехР Щ{1, t) + к. с. (15)

-Г/2

Выражение для IЩ может быть найдено путем интегрирования методом стационарной фазы, при этом соответствующие условия стационарности совпадают с условием резонанса (3). В результате решение дастся суммой

г) ~ ^ у 1/2 + к. с, (16)

47Г ^—'

]

где и'. = <Ш¡йт, ■д] - ^'-ая точка стационарной фазы. ф3 равно + или

1д:1 - кх{$]). Из (16) следует, что функция Н^т{1) имеет особенность в точках гладкого экстремума потенциала, где и'х = 0. Это предполагает сильное уширение нелинейных резонансов, если они оказываются близки в фазовом пространстве к зоне резонанса (3). Прямым следствием этого уширения может являться усиление перекрытия нелинейных резонансов и возникновение глобального хаоса. С другой стороны, нелинейные резонансы, не поддерживаемые резонансами (3), должны быть очень слабыми.

Однако, при воздействии резонанса (3) возможен и более интересный сценарий хаоса. При селективном усилении резонансных Фурье-амплитуд, обусловленном резонансом (3), также возрастают и производные этих амплитуд по действию, т. е. сгЯ(,т(/)/с1/ и ¿2Я,т(/)/Я2. Если выполняется нера-ВеНСТВ0 я2д/

< с , (17)

д2Нг

дР

дI2

происходят бифуркации периодических орбит нелинейного резонанса. В этом случае нелинейный резонанс кратности I : т приобретает два сателлита. При дальнейшем росте £ размножение периодических лучевых орбит продолжается. Чтобы понять следствия, к которым приводят бифуркации, рассмотрим пример из акустики океана. В малоугловом приближении динамика звуковых лучей описывается уравнениями в гамильтоновой форме

¿г ф ди(г) дУ(г,г)

— = р — =--—--(18)

¿г ' с/г дг дг

где 2 глубина, г - горизонтальная координата, функции и (г) и У(г, г) определяются пространственными изменениями скорости звука

щг) = г) = (19)

со с0

В математическом смысле уравнения (18) эквивалентны уравнениям частицы с единичной массой в поле нестационарного потенциала. Они соответствуют гамильтониану

Я = ^ + и (г) + У(г, г), (20)

С точки зрения дальнего распространения звука, одним из важнейших факторов горизонтальной изменчивости являются внутренние волны, являющиеся главной причиной лучевого хаоса. Высокие моды внутренних волн приводят к так называемой тонкой структуре профиля скорости звука, проявляющейся в виде мелкомасштабных глубинных осцилляций. Чтобы исследовать основные механизмы влияния тонкоструктурного возмущения на лучевую динамику, можно обратиться к идеализированной модели подводного звукового канала, с опорным профилем скорости звука

(21)

и возмущением, включающим в себя единственную моду

5с(г, г) = есо^-е-22/'8 эт эт &гг, В

(22)

где е -С 1, кг и кТ вертикальное и горизонтальное волновые числа возмущения, соответственно. Используем следующие значения параметров: со = 1480 м/с, а = 0.5 км"1, Ъ = 0.557, г) = 0.6065, В = 1 км, кг = 2ж/200м~1, кг = 2-7Г/5000 м-1, В силу математической аналогии, возмущение (22) вли-

-0.06 -0.04 -0.02 О 0.02 0.04 0.06 -0.06 -0,04 А.02 0 0.02 0.04 0.06 0.6 —.-.-.-.-.---,—, —-------------— 0.6

-0.06 0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 „ -0.06 -0,04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

Рис. 4: Рождение хаотического слоя в окрестности вертикального лучевого резонанса при А2 = 0.2 км и Аг = 5 км. (а) е = 0.0001, (б) £ = 0.0002, (в) е = 0.00035, (г) е = 0.0005 (Вировлянский, Макаров, Пранц. УФН, 2012)

яет на динамику лучей также, как и возмущение в виде плоской волны с большим волновым числом на нелинейную колебательную систему. Лучевой аналог резонанса (3) называется вертикальным лучевым резонансом. Условие

вертикального лучевого резонанса можно переформулировать следующим образом:

р0 = \р(га,Е)\ = ^. (23)

лг

где г& - глубина оси подводного звукового канала. Проследим как происходит зарождение хаотического слоя при малых значениях амплитуды возмущения е. Рисунок 4 иллюстрирует эволюцию сечения Пуанкаре с ростом г. Вертикальный лучевой резонанс приводит к уширению нелинейного резонанса 15:2. В результате, этот резонанс оказывается заметен на сечении Пуанкаре даже при чрезвычайно малых значениях е. При г = 0.0001 цепочка островов, соответствующая резонансу 15:2, выглядит как обычная резонансная цепочка в невырожденных гамильтоновых системах (рис. 4(а)). При £ = 0.0002 этого уже сказать нельзя островки "вытягиваются" вдоль радиальной координаты (рис. 4(6)). Это "вытягивание" приводит, в конечном счете, к бифукациям особых точек. Результат бифуркаций представлен на рис. 4(в), где мы видим появление двух цепочек-сателлитов с таким же числом островов. Таким образом, нелинейный резонанс 15:2 становится трехкратно вырожденным. При дальнейшем росте е на месте сепаратрис вырожденных резонансов образуется хаотический слой. Данный пример свидетельствует о том, что хаос в условиях вертикального резонанса может развиваться по сценарию, характерному для вырожденных гамильтоновых систем, т. е. через последовательность бифуркаций особых точек, с последующей потерей их устойчивости.

Третья глава посвящена исследованию особенностей волнового хаоса в идеализированной модели подводного звукового канала, описываемой формулами (21) и (22). Основное внимание сосредоточено на проявлениях вертикального лучевого резонанса в волновой картине акустического поля. Рассмотрим структуру фазового пространства при различных значениях вертикальной длины волны возмущения Аг. Как следует из Рис. 5, с уменьшением хаотический слой смещается вглубь фазового пространства. При Аг = 200 м он занимает область, соответствующую наиболее пологим, почти горизонтальным лучам. Однородность слоя предполагает эргодичность хаотической диффузии внутри него.

Перейдем к анализу волновой динамики. В малоугловом приближении акустическое поле описывается параболическим уравнением

г <9Ф 1 <92Ф !1Т. . т/, ,, т

= + № + (24)

где волновая функция Ф связана с акустическим давлением и с помощью формулы и ос Фехр(гк0г)/у/г. Если неоднородность вдоль трассы является слабой, то иногда бывает удобно представить решение параболического

16

Рис. 5: Сечения Пуанкаре, рассчитанные для Л2 = 2000 м (а), Аг = 1000 м (6), Аг = 500 м (в), и А2 = 200 м (г) (Макают. РгагйБ, У1гоу1уап5ку, гавкуаку, монография, 2010)

уравнения (24) в виде разложения по нормальным модам нсвозмущенного волновода. При выполнении условия

к0(Ет - Еп) = кг, (25)

где Ет и Еп собственные значения задачи Штурма-Лиувилля, происходит резонансная перекачка акустической энергии между модами тип, что является волновым аналогом резонансного однофотонного поглощения. Интенсивность резонансных межмодовых переходов (25) определяется модулем соответствующего матричного элемента возмущения. В представленной работе показано, что при выполнении хотя бы одного из условий

кг = к0\рГп(г) + р„(г)], кг = к0[рт(г) - рп(г)}, (26)

где рт[г, Е) = у/2[Ет — О (г)}, происходит значительное усиление межмодовых переходов за счет вертикальных колебаний возмущения. Более того, в зависимости от того, выполняются или нет приведенные условия, мы можем говорить об усилении или подавлении взаимодействия мод под влиянием вертикальных осцилляций неоднородности. При малых частотах акустического сигнала и достаточно больших значениях кг условие (25) может выполняться одновременно с (26) только в случае мод с большими номерами. Это означает, что взаимодействие первых мод является слабым, что качественно противоречит лучевой картине. Таким образом, понижение частоты должно привести к значительному ослаблению проявлений лучевого хаоса в структуре волнового поля. Для проверки приведенных этого утверждения нами были проведены расчеты акустического поля путем численного решения параболического уравнения (24). Вертикальная длина волны возмущения Аг была взята

17

Рис. 6: Акустическое поле в волноводе при Аг = 200 м. Частота сигнала: 200 Гц (левый рисунок), 50 Гц (средний рисунок), 20 Гц (правый рисунок) (Макаров, Коньков. Улейский, Акустический журнал, 2008)

равной 200 метров, что предполагает сильный хаос приосевых лучей и, как следствие, сильное и нерегулярное взаимодействие первых мод волновода. Структура акустического поля в случае тонального сигнала с частотой 200 Гц приведена на левой панели Рис. 6. Поле имеет ярко выраженный диффузионный характер, при этом все зоны конвергенции и тени сильно размыты. Нерегулярная интерференционная структура свидетельствует о некоррелированности набегов фаз вдоль лучей, формирующих поле в каждой точке, что является атрибутом лучевого хаоса. Таким образом, структура волнового поля качественно согласуется с лучевой картиной. Совершенно по иному выглядит поле при 50 Гц. Периодичность зон высокой интенсивности вдоль оси канала указывает на конструктивную интерференцию первых мод волновода. При 20 Гц структура поля не содержит никаких признаков хаоса и является полностью регулярной.

В математическом смысле периодически-неоднородный волновод эквивалентен квантовой системе с периодическим нестационарным возмущением. Вследствие этого мы можем привлечь для исследования волновой динамики теорию Флоке. Оператор Флоке Р является оператором сдвига

РЩг,г) = Ф(г,г + Аг). (27)

Сопоставляя проекции собственных функций оператора Флоке на классическое фазовое пространство с фазовыми портретами, построенными с помощью отображения Пуанкаре, можно отследить каким образом те или иные особенности классической лучевой динамики отражаются в волновой картине. Для построения проекции собственной функции на классическое фазовое пространство может быть использовано преобразование Хусими. При частотах сигнала 100 и 200 Гц, хаотическое море проявляется в появлении расплывшихся мод Флоке, подобных изображенным на Рис. 7(а) и (б). Такие моды ответственны за быстрое уширение волнового пакета но глубине,

18

Рис. 7: Примеры Хусими-образов мод Флоке для = 200 м. Значения частоты: (а) / = 100 Гц, т = 11, (6), (д) и (е) / = 200 Гц, (в) и (г) / = 50 Гц (Макагоу, Рга^, У1гоу1уапзку, Zaslavsky, монография, 2010)

Рис. 8: Слева: мода Флоке, принадлежащая хаотическому слою, справа: расположение нулей соответствующей ей функции Хусими. Случай А2 = 200 м (Kon'kov, Makarov, Sosedko. Uleysky, Physical Review E, 2007)

проиллюстрированное на левой панели Рис. 6. Тем не менее, в данном случае нельзя говорить о полном соответствии с лучевой картиной. Многие из мод Флоке, принадлежащих хаотическому морю, состоят из последовательности восьми хорошо упорядоченных пиков, как изображено на Рис. 7(в) (е). Расположение цепочек, как и число пиков, указывает на их связь с периодическими орбитами нелинейного резонанса 8:1. Кроме того, нули функции Хусими принадлежат отдельным кривым и почти равноудалены друг от друга, что, следуя критерию Лебефа-Вороса, также означает регулярность данных мод Флокс (см. Рис. 8). Согласно сечению Пуанкаре, изображенному на Рис. 5(г), все периодические орбиты резонанса 8 : 1 неустойчивы по Ляпуно-

Рис. 9: Расположение периодических орбит с периодом 8АГ = 40 км в фазовом пространстве: (а) все орбиты данного периода , (б) самые устойчивые из них (Makarov, Kon'kov, Uleysky, J. Sib. Fed. Univ., 2010)

ву. В таком случае волновые функции с регулярными пиками следует отнести к так называемым "шрамам". Для того, чтобы поверить это, попробуем рассчитать все периодические орбиты с периодом, равным 8АГ = 40 км. Рисунок 9(а) говорит о существовании множества таких орбит с крайне нерегулярным распределением по фазовому пространству. Образование такого количества неустойчивых периодических орбит является следствием каскада бифуркаций. Однако, следует принять во внимание, что вклад любой периодической орбиты в спектр зависит от ее устойчивости. На рисунке 9(6) выделены наиболее устойчивые из орбит, изображенных на рисунке 9(а). Мы видим, что положения восьми из них совпадают с пиками мод Флоке. Вокруг каждой из этих восьми орбит существует также кластер из менее устойчивых орбит. Поскольку характерный размер каждого кластера имеет порядок кд~ , отдельные орбиты не способны давать независивые вклады в плотность состояний вследствие интерференции. Отсюда следует, что каждый кластер дает единый вклад в спектр. Иными словами, интерференция ослабляет влияние каскада классических бифуркаций. Данный эффект является одним из главных механизмов подавления следов лучевого хаоса в волновой картине.

В четвертой главе мы представляем подход, позволяющий анализировать квантовые системы со слабым случайным возмущением с помощью теории детерминированных динамических систем. Предлагаемый подход направлен на отслеживание проявлений зон устойчивости по Ляпунову на конечном времени, которые могут существовать в классическом фазовом пространстве, в квантовой динамике. На классическом уровне основу предлагаемого подхода составляет одношаговое отображение Пуанкаре. Оно позволяет выявить области устойчивости, которые соответствуют множествам в фазовом пространстве, отображающимся самим в себя в процессе эволюции между

£ = и £ = ¿о + т. Одношаговое отображение Пуанкаре задастся формулами

Рг+х = р{Ь = т; ри я*), х{+]_ = = г; ри х{), (28)

где p(í = т; рг,хг) и х(£ = т; — решения уравнений движения, соот-

ветствующих некоторой отдельной реализации случайного возмущения, для начальных условий р(1 = 0) = р{, х(Ь = 0) = х{, шаг отображения г может быть выбран произвол!,но. Принимая во внимание аналогию с обычным отображением Пуанкаре, можно сформулировать главное свойство одношагового отображения Пуанкаре: каждая точка в фазовом пространстве, принадлежащая траектории отображения (28), образующей в фазовом пространстве сплошную замкнутую кривую, соответствует начальной точке для решения уравнений движения, которое сохраняет устойчивость по Ляпунову вплоть до ( = т. Обратное утверждение, в общем случае, неверно, т. е. одношаговое отображение Пуанкаре дает достаточное условие устойчивости, которое не является при этом необходимым. Из этого следует главный недостаток одношагового отображения Пуанкаре - оно дает заниженную оценку размеров области устойчивости. Общие свойства фазовых портретов одношагового отображения Пуанкаре допускают аналитическое описание с использованием теории нелинейного резонанса.

Квантовым аналогом одношагового отображения Пуанкаре является оператор сдвига, задаваемый выражением

С(т) Ф(х) = Ф(х,01,=г, (29)

где Ф(х) = Ф(х, Ь = 0). В дальнейшем мы будем называть оператор С? оператором эволюции на конечное время или кратко ОЭКВ. По определению ОЭКВ описывает трансформацию волновой функции в процессе эволюции между моментами времени ( = 0 и ( = г. Каждая реализация возмущения порождает свою реализацию ОЭКВ. В дальнейшем наше внимание будет приковано к статистическим свойствам ОЭКВ и их связи с поведением системы в классическом пределе. Впервые ОЭКВ был использован А.Р. Коловским в задаче о диффузии квантовой частицы.

Следует отметить аналогию между ОЭКВ и оператором Флоке, описывающим эволюцию квантовых систем с периодической зависимостью от времени. Главное отличие заключается в том, что действие ОЭКВ ограничено интервалом 0 < Ь ^ г, в то время как у оператора Флоке таких ограничений нет. Как и оператор Флоке, ОЭКВ может быть представлен в виде матрицы при использовании некоторого ортогонального базиса. Наиболее естественным выбором такого базиса являются собственные функции невозмущенной системы, являющиеся решением соответствующей задачи Штурма-

21

Лиувилля. Собственные функции и собственные значения ОЭКВ удовлетворяют уравнению

0Фт(х, t) = е"'{т^Фт(х, t). (30)

Одной из наиболее нрезентативных характеристик, указывающих на степень проявления классического хаоса в квантовой динамике, является распределение межуровневых расстояний, определяемых как

s = em+i - em. (31)

регулярная динамика предполагает пуассоновское распределение межуровневых расстояний. Глобальный эргодический хаос предполагает иную картину - волновые функции перекрываются в фазовом пространстве, что приводит к "расталкиванию" ближайших уровней. Как следствие, межуровневые расстояния распределены по закону Вигнера-Дайсона. В промежуточном режиме смешанного фазового пространства, в котором сосуществуют области регулярной и хаотической динамики, распределение межуровневых расстояний может быть аппроксимировано, например, формулами Броди

P{s) = (/3+ 1 )a0s0 exp{-a^+1) (32)

или Берри-Робника

P(s) =

V? erfc (jY^s^j + (2vrvc + exp

exp(—urs), (33)

где ьт и ис относительные фазовые объемы регулярного и хаотического движения, соответственно, ут + ис = 1. Значение параметра Броди /3, соответствующее наилучшей аппроксимации, должно меняться с ростом г от 0 до 1, отражая наступление хаоса. Если же говорить, о распределении Берри-Робника, то оно явным образом зависит от доли фазового пространства с регулярной динамикой. Таким образом, аппроксимируя распределение межуровневых расстояний с помощью формулы Берри-Робника (33), можно получить оценку площади области устойчивости в классическом пределе на основе квантовых вычислений.

В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о распространении звука в случайно-неоднородном подводном звуковом канале. Волновым аналогом ОЭКВ является оператор эволюции акустического поля вдоль ограниченного волноводного сегмента, который может быть без труда определен с помощью принципа оптико-механической аналогии:

адад = Ф(г, ои, (34)

где Ф(г) = Ф(л, г = 0). Для краткости назовем оператор (34) аббревиатурой ОЭКР (оператор эволюции на конечное расстояние).

22

В качестве первого примера рассмотрим модель подводного звукового канала в Японском море. Важной особенностью данного волновода является наличие гладкого минимума длины цикла луча как функции переменной действия. Если траектория луча в волноводе, согласно принципу оптико-механической аналогии, является аналогом колебаний частицы в потенциальной яме, то длина ее цикла представляет собой аналог периода колебаний. Наличие гладкого минимума приводит к образованию так называемого сла-борасходящегося пучка. Модель возмущения скорости звука, обусловленного внутренними волнами, была построена с использованием натурных данных по профилям температуры, плотности и солености в Японском море. В конечном итоге было обнаружено, что возмущение скорости звука можно достаточно правдоподобно представить как произведение

г) = Ыг)ВД (35)

где Ух(г) — гладкая функция, существенно отличная от нуля при 0 < г < 100 м, а Ь^г) - стохастический процесс с автокорреляционной функцией вида

(61(г)61(г'))=ехр(-|г-г'|/г), (36)

где радиус корреляций г взят равным 10 км, что является достаточно типичным значением для глубокого океана.

Рис. 10 демонстрирует фазовые портреты, соответствующие трем разным реализациям возмущения скорости звука. На всех них наблюдается смешанная структура фазового пространства, с сосуществованием регулярных и хаотических областей. Фазовые портреты, соответствующие одним и тем же значениям шага отображения т в основном отличаются только расположением островов устойчивости по переменной угла, в то время как их общая структура весьма похожа. Главный остров устойчивости расположен вблизи точки л = 2о, р = 0 и соответствует пологим лучам, пересекающим ось подводного звукового канала под минимальными углами. По мере увеличения т происходит усиление перекрытия нелинейных лучевых резонансов, и острова устойчивости постепенно поглощаются хаотическим морем. Однако малая область устойчивости в окрестности г = го, р = 0 выживает даже при значениях т порядка сотен километров, превращаясь в цепочку островов. Эта цепочка соответствует гладкому минимуму длины цикла луча, т. е. связана с образованием слаборасходящегося пучка, который сохраняет устойчивость. Действительно, наличие экстремума длины цикла луча означает локальное вырождение соответствующей гамильтоновой системы с образованием так называемого нсзакручивающегося тора. Известно, что нсзакручивающиеся торы обладают исключительной способностью сохранять устойчивость но Ляпунову, что и проявляется в данном случае.

23

-0,2 -0,1 0 0.1 0,2 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 -0.2 -0,1 0 0.1 0.2

-0,2 -0,1 0 0.1 0.2 -0,2 -0.1 0 0,1 0,2 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 -0.1 -0.05 0 0,05 0 1

Р

Рис. 10: Лучевые фазовые портреты, построенные с помощью одношагового отображения Пуанкаре для модели подводного звукового канала в Яновском море. Каждый столбец соответствует отдельной реализации возмущения поля скорости звука. Значение шага отображения т изображено в левом нижнем углу каждого портрета (Makarov, Kon'kov, Uleysky, Petrov, Physical Review E, 2013)

Были рассчитаны ансамбли реализаций ОЭКР для модели подводного звукового канала в Японском морс. Полученные распределения межуровне-вых расстояний аппроксимировались с помощью формулы Берри-Робника (33). Так им образом была получена зависимость доли фазового пространства, соответствующей устойчивому движению, как функция расстояния т. Результаты представлены на Рис. 11, где мы видим, что vr быстро спадает на

24

0.1S -1-

0 SO ion

ISO 200 250 ЭОО 350

x, km

Рис. 11: Доля фазового пространства, соответствующего устойчивому движению, как функция т для различных акустических частот - оценка с помощью распределения Берри-Робника для модели подводного звукового канала в Японском море (Makarov.

Kon'kov, Uleysky, Petrov, Physical Review E, 2013)

первых 100 150 км, отражая сокращение областей устойчивости вследствие перекрытия лучевых нелинейных резонансов. Затем доля областей устойчивости становится почти постоянной. Это может служить свидетельством вклада долгоживущих островов устойчивости, возникающих в окрестности слаборасходящегося пучка. Отметим, что кривые, соответствующие 250, 360 и 500 Гц проходят очень близко друг к другу, в то время как кривая, соответствующая 100 Гц лежит гораздо выше них и проявляет сильные флуктуации, которые не сглаживаются даже при значительном увеличении числа реализаций ОЭКР. Повышенные значения vr свидетельствуют о динамической локализации.

Здесь важно упомянуть, что данный метод оценки доли области устойчивости vr является довольно грубым, поскольку предположения, лежащие в основе формулы Берри-Робника (33) выполняются в рассматриваемом случае только приближенно. Как следствие, полученные результаты скорее дают качественное, нежели количественное описание, в особенности при низких частотах сигнала. В этом смысле более предпочтительным выглядит анализ собственных функций, поскольку собственные функции содержат информацию о характере динамики сами по себе, без привлечения каких-то дополнительных предположений. Мы можем охарактеризовать степень хаотичности, присущую собственной функции ОЭКР. оценив число главных компонент (ЧГК) в разложении собственной функции по нормальным модам невозмущенного волновода. ЧГК n-ой собственной функции вычисляется по формуле

И ц

О 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70

(а) V У- (б)

(в) (г)

0 ! 0 20 30 40 50 60 70 о 10 20 30 40 50 60 70

Рис. 12: Распределение собственных функций в плоскости д-гл где параметр ц определяется по формуле (38) ий- число главных компонент (37). Значения расстояния: (а) г = 10 км, (б) г = 35 км, (в) г = 100 км, (г) г = 350 км. Частота акустического сигнала 100 Гц (Makarov, Kon'kov, Uleysky, Petrov, Physical Review Б, 2013)

где М число рассматриваемых волноводных мод. Чтобы ассоциировать собственную с определенной геометрией распространения, можно использовать параметр ц

м

И=^\Стп\2т. (38)

ТП = 1

Распределение собственных функций в плоскости ¡1 V при звуковой частоте 100 Гц имеет достаточно нетривиальную структуру. Эта структура является исключительно регулярной при т = 10 км и т = 35 км, что показано на рисунках 12(а) и 12(6). Модовые нелинейные резонансы проявляют себя как своеобразные "сталагмиты". Каждый такой "сталагмит" прорисовывается семейством хорошо различимых почти вертикальных (с легким наклоном) линий. Следует особо подчеркнуть, что некоторые следы "сталагмитов" выживают даже на расстояниях г порядка сотен километров, вопреки глобальному перекрытию лучевых нелинейных резонансов. Удивительная живучесть "сталагмитов" при больших г указывает на существование собственных состояний, локализованных вблизи периодических орбит одношагового отображения Пуанкаре. Данное явление можно понимать как подавление делокали-зации, обусловленной лучевым хаосом.

Статистический анализ собственных функций ОЭКР, как и анализ собственных значений, позволяет оценить долю фазового пространства, соответствующую устойчивому движению г\, если рассмотреть кумулятивную

26

о-1-1-1-1-1-1-

О 50 100 ISO 200 250 300 350 Т, КМ

Рис. 13: Доля собственных функций ОЭКР с сильной локализацией как функция расстояния. В качестве критерия сильной локализации выступает неравенство и ^ 2 (Makarov, Kon'kov, Uleysky, Petrov, Physical Review E, 2013)

функцию распределения

где р(у') плотность распределения гл Очевидно, что регулярные собственные функции должны характеризоваться малыми значениями V (за исключением собственных функций, соответствующих не перекрывающмся модо-вым нелинейным резонансам). Зависимость доли сильно локализованных собственных функций F(2) от расстояния г изображена на Рис. 13. Как мы видим, в случае / = 100 Гц доля сильно локализованных собственных функций гораздо выше, чем при более высоких частотах. Также отметим, что кривые, соответствующие частотному интервалу 250-500 Гц очень близки друг к другу. Все они испытывают резкий обвал при малых т, а затем убывание F(2) становится очень медленным. Наличие "тяжелого хвоста" у зависимости ^(2) от т напрямую связано с наличием долгоживущих островов устойчивости в окрестности слаборасходящегося пучка. Все это указывает на первостепенную роль слаборасходящегося пучка в стабильности приосевого распространения звука в Японском море, что было обнаружено в экспериментах.

В качестве следующего примера рассмотрим ПЗК с биэкспоненциаль-ным профилем скорости звука (21) и возмущением

v

(39)

1

5c(r,z) =£с0—е 2z!zth sin 7(г, г)^(г),

-0.2 0 0.2 -0.2 0 0.2 Р Р

Рис. 14: Примеры фазовых портретов, построенных с помощью одношагового отображения Пуанкаре для подводного звукового канала с биэкспоненциальным профилем скорости звука и возмущением (40). Значения параметров: (а) V = 5, т = 100 км, (б) V = 5, г = 500 км, (в) V = 20, т = 10 км, (г) у = 20, т = 30 км (Вировлянский, Макаров, Пранц, УФН, 2012)

Возьмем следующие значения параметров возмущения: е = 0.0014 и = 1 км. Функция £(г) представляет собой сумму 10000 гармоник со случайными фазами. Волновые числа гармоник распределены в интервале от 27г/100 км-1 до 27г/1 км"1 с плотностью, убывающей как к~2. На функцию £(г) наложено условие нормировки < £2 >= 1.

Рисунок 14 демонстрирует примеры лучевых фазовых портретов отображения (28). При v = 5 осцилляции возмущения по глубине являются достаточно медленными и лучевой хаос развивается с ростом г в соответствии со сценарием, связанным с перекрытием резонансов. Площадь области регулярного движения медленно уменьшается с ростом т, так что небольшой остров устойчивости сохраняется даже на расстояниях порядка сотен километров от источника. В случае v = 20 вертикальные осцилляции возмущения являются сильными. Соответственно, на развитие хаоса большое влияие оказывает вертикальный лучевой резонанс. При этом все области устойчивости исчезают достаточно быстро их нет уже при т = 30 км. Для отслеживания перехода от устойчивости к хаосу в волновой динамике, проведем аппроксимацию полученного распределения межуровневых расстояний с помощью распределения Броди (32). Зависимость параметра Броди, соответствующего наилучшей аппроксимации, от т при частоте сигнала 200 Гц, изображенная на рис. 15, в целом соответствует нашим ожиданиям: ¡3 в среднем растет

О 100 200 300 400 500 X. км

Рис. 15: Параметр Броди 0 как функция т. Пустые кружки соответствуют / = 200 Гц и V = 5. черные кружки - / = 200 Гц и V = 20, пустые квадраты - / = 600 Гц и V = 20 (Вировлянский, Макаров, Пранц, УФН, 2012)

с увеличением т, причем при v = 20 этот рост происходит быстрее, нежели при у = 5. При этом, правда, стоит отметить, что лучевое отображение (28) все же предполагает гораздо более высокий темп роста /3: глобальный лучевой хаос наступает уже при значениях г порядка 20-30 км, в то время как /3 приближается к единице лишь при т ~ 500 км. Столь сильное замедление роста /3 можно связать с тем, что волновые поправки к приближению геометрической оптики обычно существенно ослабляют проявления лучевого хаоса в волновой картине за счет динамической локализации. Казалось бы, при более высокой частоте 600 Гц мы вправе ожидать более резкого перехода от пуассоновской к вигнеровской статистике ввиду ослабевания динамической локализации. Однако, при частоте 600 Гц рост параметра ¡3 прекращается при г ~ 120 км, после чего начинается медленное падение /3, связанное с появлением все большего и большего количества вырожденных собственных состояний оператора С!. Природа такого поведения становится понятной, если принять во внимание, что возникновение лучевого хаоса при наличии быстрых осцилляций возмущения с глубиной сопряжено с бифуркациями периодических орбит. Вблизи точек бифуркации, как было показано в работах М. Берри с соавторами, происходят сильные флуктуации спектральной плотности, причем амплитуда этих флуктуаций нарастает с увеличением частоты сигнала. Таким образом, статистика спектра оператора С при наличии сильных вертикальных осцилляций возмущения противоречит гипотезе универсальности Бохигаса-Джаннони-Шмита и связанным с ней представлениям теории случайных матриц. При частоте 200 Гц этот эффект является малозначительным и не оказывает большого влияния на зависимость параметра Броди /3 от г, поскольку с ростом длины волны влияние бифуркаций ослабевает за счет интерференции.

Четвертая глава завершается задачей о генерации направленного потока холодных атомов, находящихся в потенциальном поле оптической решетки. Ключевая идея, лежащая в основе предлагаемого нами подхода, заключается в комбинировании детерминированного и стохастического возмущений. Стохастическая составляющая используется для разрушения динамических барьеров, в то время как детерминированная обеспечивает контролируемое нарушение пространственно-временных симметрии, что является необходимым условием для создания направленного потока атомов в нужном направлении. Помимо этого, должным образом подобранное детерминированное возмущение позволяет уменьшить уровень шума, требуемый для разрушения динамических барьеров в фазовом пространстве. В случае большой расстройки атомно-полевого резонанса, движение ансамбля невзаимодействующих атомов в поле оптического потенциала описывается уравнением Шредингера следующего вида:

ЭФ П2 <Э2Ф

где ЙГейс = 0.1. Нами предлагается следующая конфигурация оптического потенциала:

и(х,€) = - совх + е[/(Ь) втх - + А) совх], (42)

где £ 1, я - параметр, принимающий значения 1 или —1 и ¡{Ь) - так называемый гармонический шум. Гармонический шум представляет собой двумерный случайный процесс Орнштейна-Уленбека, описываемый системой стохастических дифференциальных уравнений

/ = у, у =-Ту- ш02/ + уД^т, (43)

где Г положительная константа, определяющая ширину спектральной полосы гармонического шума, £(4) дельта-коррелированный гауссов белый шум с единичной дисперсией. При Г —> 0, У{х, £) ->■ Бт(:г + 8ша1). Статистический анализ собственных функций ОЭКВ для случая Г = 0.1 показал, что уже при t > 107Г динамические барьеры в фазовом пространстве, в основном ; разрушены.

Слабый шум предполагает, что просачивание атомов сквозь динамические барьеры в фазовом пространстве будет медленным. С другой стороны, слишком сильный шум приводит к сильным фазовым флуктуациям возмущения, подавляя когерентность между модулирующими сигналами /(£) и + Поскольку именно эта когерентность играет ключевую роль в разрушении пространствснно-врсмснных симметрии, можно ожидать ослабления

30

0.05 0

-0,05

■о

5 -o.i -0,15 -OS -0,25

.5

Рис. 16: Зависимость усредненного по ансамблю реализаций потока ,7en<j = J(t = 2007т) от параметра гармонического шума Г (Makarov, Kon'kov, Physics Letters A, 2013)

направленного транспорта. Из этих соображений следует, что должен быть некоторый промежуточный интервал значений Г, соответствующий наиболее эффективной генерации направленного транспорта. Чтобы найти этот интервал, численно найдем зависимость усредненного потока при £ = 2007т от Г. Результат представлен на Рис. 16. Как и предполагалось, зависимость ./РпН(Г) является немонотонной. Наиболее эффективная генерация баллистического транспорта происходит при 0.3 < Г < 0.6. Особо отметим, что в чисто детерминированном случае Г = 0 направленный транспорт практически отсутствует. Это указывает на важность роли шума в процессе активации баллистического потока атомов.

Пятая глава посвящена задаче о динамике двухкомпонентного конденсата Бозе-Эйнштейна с линейной межкомпонентной связью. В рассматриваемом нами случае конденсат состоит из атомов одного вида, но принадлежащих двум разным состояниям сверхтонкой структуры. Линейная связь между компонентами обеспечивается внешним микроволновым электромагнитным полем, частота которого настроена в резонанс с переходом между состояниями сверхтонкой структуры. Рассмотрен случай, когда кондснсат помещен в оптическую решетку. При использовании приближений среднего поля и сильной связи динамика конденсата описывается системой связанных ОДУ

,в,ап J 2 №1,

гп-— = - —(а„_1 + а„+1) + д\ап\ ап--— Ъп,

аъ I I глл\

АЬп ./., ^ л Ш 1 ;

= --^(Оп-1 + оп+1) + д\Ьп\ Ьп--— аП1

где ап и Ьп комплексные амплитуды волновой функции конденсата на узле п. 7 коэффициент туннелирования между соседними узлами, который мы возьмем равным 2, при этом будет рассматриваться нормировка переменных, соответствующая Н = 1. Предполагается, что коэффициент нелинейности, от-

вечающий за взаимодействие между атомами, принадлежащими разным состояниям, равен нулю, что в эксперименте может быть достигнуто с помощью резонанса Фешбаха. Рассмотрим начальное условие следующего вида:

-.2

= 0) = А ехр

п "4^2

соэттрп, Ъп = 0,

(45)

где ре [0:2], —N < п < Ы, а = 10, а множитель А определяется условием

— n

нормировки £„=-лг \ап\2 = 1

10 20 30 40 50

Рис. 17: Слева: синхронизация осцилляций Раби, соответствующих узлам решетки п = 0 (штриховая линия), п = 30 (толстая сплошная линия) и га = 50 (тонкая сплошная линия). Справа: типичный фазовый портрет, описывающий осцилляции Раби внутри отдельного узла решетки. Начальное состояние с р = 0 (Шеувку, Макагоу, ЛИЛ, 2014)

Обратим внимание на режим умеренной нелинейности Еы = Ш = 1, где энергия межатомного взаимодействия. Обнаружено, что в случае

начального состояния с р = 0 происходит спонтанная синхронизация осцилляций Раби, происходящих на разных узлах оптической решетки. Поведение разности населенностей на отдельных узлах показано на Рис. 17 (левая панель). На нем мы видим, что по прошествии некоторого времени внутренняя динамика на узлах полностью синхронизируется. Фазовые портреты в плоскости 2„-(рп, где

\ап\2~\Ьп\2 . .

= ащ апЪ*п) построенные для отдельных узлов решетки, находящихся внутри области синхронизации, являются очень похожими друг на другу и выглядят так, как это показано на Рис. 17 (правая панель). Главная особенность этих портретов это наличие предельного цикла, расположение которого в фазовом пространстве практически совпадает для большинства синхронизированных узлов. Размер области синхронизации испытывает сильные пульсации, амплитуда которых нарастает со временем. Само по себе наличие пульсаций означает, что некоторые узлы решетки выходят из синхронизированного режима, а потом попадают в него снова. Такое поведение является следствием волнообразных возбуждений внутри области синхронизации.

32

0.25 -'-----

0.2 | Ъ 0.15 < | ;

7 ол 1 \\

0.05 | :':

„I_я Ил __

20 10 0 10 20 п

Рис. 18: Слева: разность населенностей как функция времени в режиме умеренной нелинейности, р = 1. Справа: квадрат модуля волновой функции, соответствующей первой (штриховая линия) и второй (сплошная линия) компонентам смеси при t = 5007г. Начальное состояние с р = 1 (Шеувку, Макагоу, ЛИЛ, 2014)

0 50 100 150 200 0 50 100 150 200

1Ул 1/тс

Рис. 19: Зависимость от времени разностей населенностей, соответствующих узлам п = О (левая нанель) и п = 4 (правая панель). Начальное состояние с р = 1 (Шеувку, Макагоу,

JRLR1 2014)

Начальное состояние с р = 1 демонстрирует качественно иное поведение. Как показано на левой панели Рис. 18, полная разность населенностей

п п

испытывает колебания с ненулевым средним по времени. Другими словами, первая компонента смеси доминирует над второй. Это указывает на возникновение внутреннего самозахвата. Внутренний самозахват сопровождается пространственным самозахватом с образованием локализованных состояний. Примеры таких состояний представлены на правой панели Рис. 18. На рисунке 19 изображена зависимость от времени для разностей населенностей на узлах, которые соответствуют центральному (левая панель) и правому (правая панель) локализованным состояниям на Рис. 18 (правая панель). В обоих случаях, после некоторого хаотического переходного периода, разность населенностей становится постоянной, указывая на полное доминирование одной из компонент. Это означает, что данные локализованные состояния представляют из себя несмешивающиеся солитоны, состоящие только из одной компоненты.

В заключении приведены основные результаты работы, которые заключаются в следующем:

1. Выявлены особенности воздействия волнообразного возмущения с быстрыми осцилляциями по координате на классическую динамику нелинейной гамильтоновой системы:

• Показано, что в этом случае может происходить селективное резонансное разрушение устойчивости в определенном интервале энергии частицы. Это явление, вкупе с нарушением симметрии, может быть использовано для разрушения динамических барьеров в фазовом пространстве и генерации направленного баллистического транспорта, при этом требуемая амплитуда возмущения является достаточно малой.

• Показано, что зарождение хаоса связано с локальным усилением обычного нелинейного резонанса, причем такое усиление может сопровождаться бифуркациями особых точек. В последнем случае возникает сценарий хаоса, качественно отличающийся от сценария Чи-рикова, связанного с перекрытием резонансов.

• Если пространственная компонента фазы возмущения подвергается адиабатической модуляции, возможно формирование каналов резонансного ускорения, в которых скорость частицы может увеличиваться на несколько порядков.

• Теория резонанса с быстрыми пространственными осцилляциями возмущения позволяет описать особенности рассеяния звуковых лучей на мелкомасштабных неоднородностях подводного звукового канала.

2. Исследовано соответствие между лучевой и волновой картинами в присутствие вертикального лучевого резонанса на примере периодически неоднородного подводного звукового канала:

• В присутствие быстрых осцилляции возмущения по глубине происходит селективное увеличение определенных матричных элементов возмущения, что способствует усилению перекачки акустической энергии между соответствующими парами мод. При этом другие межмодовые переходы, напротив, резко ослабляются.

• Обнаружено, что моды Флокс, принадлежащие хаотическому слою, обусловленному вертикальным лучевым резонансом, могут иметь достаточно регулярную структуру несмотря на то, что в лучевом

34

пределе динамика внутри хаотического слоя близка к эргодической диффузии. Данный эффект объясняется конструктивной интерференцией кластеров периодических орбит, являющихся продуктом каскада бифуркаций, которыми сопровождается лучевой вертикальный резонанс.

3. Представлен новый подход, позволяющий исследовать проявления классической устойчивости на конечном времени, существующих в системах со случайным нестационарным возмущением, в квантовой или волновой динамике. Этот подход основан на построении оператора эволюции на конечном времени (или конечном расстоянии, если говорить о распространении волн), с последующим статистическим анализом его спектра и сопоставлении с классическим анализом, основанным на одношаговом отображении Пуанкаре.

• Показано, что анализ собственных значений оператора эволюции на конечном времени с привлечением распределения Берри-Робника может привести к неточным результатам в оценке размеров областей устойчивости. Более того, при наличии бифуркаций периодических орбит, анализ собственных значений не обеспечивает даже правильного качественного описания вследствие неуниверсальности спектральной статистики. В этом смысле значительно более надежным является статистический анализ собственных функций оператора эволюции на конечном времени.

• Показано, что слаборасходящисся акустические пучки в Японском море порождают долгоживущие зоны устойчивости в фазовом пространстве, которые, в свою очередь, проявляются в волновой динамике. Это позволяет объяснить высокую стабильность акустических сигналов, распространяющихся под малыми углами к оси канала, что было обнаружено в экспериментах.

• Представлен метод генерации направленного потока атомов при воздействии слабого возмущения, образованного суперпозицией двух дополнительных оптических решеток с широкополосной амплитудной модуляцией. Показано, что данный метод обеспечивает создание направленного атомного транспорта даже при минимальных начальных энергиях атомов.

4. Рассмотрена динамика двухкомпонентного смеси БЭК, погруженной в оптическую решетку, с линейной связью Раби между компонентами.

• Если коэффициент нелинейности, отвечающий за межатомное взаимодействие, превышает некоторое пороговое значение, происходит образование несмешивающихся солитонов, состоящих только из одной компоненты смеси. Образованию несмешивающихся солитонов предшествует кратковременный хаотический режим.

• В случае начального состояния без пространственной модуляции может возникнуть спонтанная синхронизация осцилляций Раби внутри некоторой обширной части оптической решетки. В среднем число синхронизированных узлов нарастает вследствие расплывания конденсата вдоль оптической решетки.

Публикации автора по теме диссертации

1. Makarov D., Prants S., Virovlyansky A., Zaslavsky G. Ray and wave chaos in ocean acoustics: chaos in waveguides. Singapore: World Scientific, 2010. 388 p.

2. Макаров Д. В., Пранц С. В., Улейский М. Ю. Структура пространственного нелинейного резонанса лучей в неоднородном подводном звуковом канале // Доклады Академии наук. 2002. Т. 382, № 3. С. 394-396.

3. Макаров Д. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. О возможности определения характеристик внутренних волн по данным распределения времен прихода лучей в подводном звуковом канале в условиях хаоса // Письма в Журнал технической физики. 2003. Т. 29, № 10. С. 70-76.

4. Makarov D. V., Uleysky M. Yu., Prants S. V. Ray chaos and ray clustering in an ocean waveguide // Chaos. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 79-95.

5. Makarov D., Uleysky M. Specific Poincaré шар for a randomly-perturbed nonlinear oscillator // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006. Vol. 39, no. 3. P. 489-497.

6. Makarov D. V., Uleysky M. Yu., Budyansky M. V., Prants S. V. Clustering in randomly driven Hamiltonian systems // Physical Review E. 2006. Vol. 73, no. 6. art. 066210.

7. Макаров Д. В., Улейский M. Ю. Генерация баллистического транспорта частиц при воздействии слабого переменного возмущения на периодическую гамильтонову систему // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2006. Т. 83, № 11. С. 614 617.

8. Makarov D. V., Ulcysky M. Yu. Giant acceleration in slow-fast space-periodic Hamiltonian systems // Physical Review E. 2007. Vol. 75, no. 6. art. 065201.

9. Kon'kov L. E., Makarov D. V., Sosedko E. V., Ulcysky M. Yu. Recovery of ordered periodic orbits with increasing wavelength for sound propagation in a range-dependent waveguide // Physical Review E. 2007. Vol. 76, no. 5. art. 056212.

10. Макаров Д. В., Коньков JI. Е. Хаотическая диффузия при распространении звука в неоднородном подводном звуковом канале // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, № 2. С. 157-174.

11. Макаров Д. В., Улейский М. Ю. Высвечивание лучей из горизонтально-неоднородного подводного звукового канала // Акустический журнал. 2007. Т. 53, № 4. С. 565-573.

12. Макаров Д. В., Коньков Л. Е., Улейский М. Ю. Соответствие между лучевой и волновой картиной и подавление хаоса при дальнем распространении звука в океане // Акустический журнал. 2008. Т. 54, № 3. С. 439-450.

13. Макаров Д. В. Активация баллистического потока частиц при воздействии слабого неременного возмущения с медленно меняющейся ориентацией // Письма в Журнал технической физики. 2008. Т. 34, № 7. С. 65- 70.

14. Makarov D. V., Ulcysky M. Yu. Local chaos induced by spatial oscillations of a perturbation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2008. Vol. 13, no. 2. P. 400-406.

15. Улейский M. Ю., Соседко E. В., Макаров Д. В. Авторезонансное охлаждение частиц в пространственно-периодических потенциалах // Письма в Журнал технической физики. 2010. Т. 36, № 23. С. 31-38.

16. Chacon R., Ulcysky M. Yu., Makarov D. V. Universal chaotic layer width in space-periodic Hamiltonian systems under adiabatic ac time-periodic forces // Europhysics Letters. 2010. Vol. 90, no. 4. art. 40003.

17. Makarov D. V., Kon'kov L. E., Ulcysky M. Yu. Wave chaos in underwater acoustics // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2010. Vol. 3, no. 3. P. 336-348.

18. Makarov D. V., Sosedko E. V., Uleysky M. Yu. Frequency-modulated ratchet with autorcsonance // The European Physical Journal B. 2010. Vol. 73, no. 4. P. 571-579.

19. Вировлянский A. Л.. Макаров Д. В., Пранц С. В. Лучевой и волновой хаос в подводных акустических волноводах // Успехи физических наук. 2012. Т. 182, № 1. С. 19-48.

20. Makarov D. V., Kon'kov L. Е, Uleysky М. Yu., Petrov P. S. Wave chaos in a randomly inhomogcneous waveguide: spectral analysis of the finite-range evolution operator // Physical Review E. 2013. Vol. 87, no. 1. art. 012911.

21. Maksimov D. N., Chesnokov I. Yu., Makarov D. V., Kolovsky A. R. Lan-dau-Zener tunnelling in 2D periodic structures in the presence of a gauge field: II. Electric breakdown // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2013. Vol. 46, no. 14. art. 145302.

22. Makarov D. V., Kon'kov L. E. Quantum ratchet driven by broadband perturbation // Physics Letters A. 2013. Vol. 377, no. 43. P. 3093-3097.

23. Uleysky M., Makarov D. Dynamics of ВЕС mixtures loaded into the optical lattice in the presence of linear inter-component coupling // Journal of Russian Laser Research. 2014. Vol. 35, no. 2. P. 138-150.

Подписано в печать 19.06.2014 г. Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура "Тайме". Формат 60x84/16. Объём 2,5 уч.-изд.-л. Тираж 120 экз. Заказ № Отпечатано в ТОН ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Балтийская, 43