Долговременная асимптотика и аттракторы нелинейных гамильтоновых волновых уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

<6 0£ ЪJF ^

■ ' л; '

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.94

КОМЕЧ АЛЕКСАНДР ИЛЬИЧ

ДОЛГОВРЕМЕННАЯ АСИМПТОТИКА И

АТТРАКТОРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук •

Санкт-Петербург -.1998

Оглавление

0.1. Введение .................V." . ...............6

0.1.1. Мотивировка исследования................................6

0.1.2. Обозначения и определения.................8

0.1.3. Основные результаты......................................10

0.1.4. О методах исследования....................................13

0.1.5. Комментарии...................................15

0.1.6. Об известных результатах .... . . . . ...............18

0.1.7. Открытые проблемы......................................20

I Одномерные уравнения 21

1. Струна с нелинейным осциллятором 22

1.1. Введение ........................................22

1.2. Основные результаты . ..................................26

1.3. Существование динамики и априорные оценки ................28

1.3.1. Существование динамики..................................28

1.3.2. Непрерывность динамики..................................32

1.3.3. Сохранение энергии...........................32

1.4. Релаксация для приведенного уравнения........................34

1.4.1. Примеры....................................................34

1.4.2. Доказательство релаксации для приведенного уравнения 47

1.5. Долговременная асимптотика ............-............48

1.5.1. Переходы к стационарным состояниям............48

1.5.2. Затухающие блуждания .... .... ... ...........50

1.5.3. Транзитивность . ...............................50

2. Струна с конечным числом нелинейных осцилляторов 52

2.1. Введение ............................................................52

2.2. Основные результаты..............................................56

2.3. Существование динамики и априорные оценки . . ...........57

2.4. Стационарные состояния..........................................58

2.5. Долговременная асимптотика ....................................63

2.6. Притяжение к компактному множеству..........................64

2.6.1. Релаксация на бесконечности . . . . =г......................65

2.6.2. Рассеяние энергии в бесконечность" 7\ . ...............67

2.6.3. Лемма о релаксации........................................68

3. Нелинейная струна с пространственно-локализованной нелинейностью 69

3.1. Введение и основные результаты ................................69

3.2. Существование динамики и априорные оцейки : . V". .... 71

3.3. Стационарные состояния..........................................73

3.4. Долговременная асимптотика....................................74

3.4.1. Компактное притягивающее множество ................74

3.4.2. Доказательство теоремы 1.3..............................75

3.5. Притяжение к компактному множеству..........................75

3.6. Притяжение в среднем ......... . . .....................76

3.6.1. Рассеяние энергии в бесконечность......................77

3.6.2. Нелинейная задача Гурса..................................77

3.6.3. Доказательство притяжения в среднем..................79

II Трехмерные системы 81

4. Скалярное поле с частицей 82

4.1. Введение ............................................................82

4.2. Основные результаты..............................................86

4.3. Существование динамики и априорные оценки ................89

4.4. Рассеяние энергии в бесконечность . . . .......................92

4.5. Асимптотики типа Льенара-Вихерта в волновой зоне..........94

4.6. Релаксация ускорения и скорости частицы......................97

4.7. Долговременная асимптотика ....................................98

4.7.1. Притяжение к множеству солитонов ....................99

4.7.2. Притяжение к множеству стационарных состояний . . 99

4.7.3. Сходимость к стационарным состояниям . .......101

4.8. Линеаризация в стационарной точке...............101

4.9. Убывание для линеаризованной системы............104

4.10. Асимптотическая устойчивость стационарных состояний . . 107

4.11. Скорость сходимости к стационарным состояниям......108

4.12. Строгий принцип Гюйгенса ...................110

4.13. Дополнение: Плотности винеровского типа...........112

5. Система Максвелла-Лоренца 113

5.1. Введение ..............................113

5.2. Основные результаты.......................116

5.3. Рассеяние энергии в бесконечность...............119

5.4. Асимптотики типа Льенара-Вихерта в волновой зоне.....121

"V

5.5. Релаксация ускорения и скорости частицы ...........124

5.6. Долговременная асимптотика ..................125

5.6.1. Притяжение к множеству солитонов ..........125

5.6.2. Притяжение к множеству стационарных состояний . . 126

5.6.3. Сходимость к стационарным состояниям........127

5.7. Дополнение. Существование динамики.............128

5.7.1. Линейная динамика Максвелла . ............128

5.7.2. Представления Льенара-Вихерта ............131

5.7.3. Гладкие аппроксимации поперечных полей.......132

5.7.4. Нелинейная динамика Максвелла-Лоренца.......133

6. Добавление 137

6.1. С-инвариантные уравнения........ . . . .........137

6.1.1. Группа [/(1). Периодические асимптотики.......138

6.1.2. Группа II(к). Квазипериодические асимптотики . . . 139

6.1.3. Группа Пуанкаре. Солитоно-подобные асимптотики . 139

6.2. О связях с задачами математической физики .........141

6.2.1. Квантовые стационарные состояния...........141

6.2.2. Боровские переходы между стационарными состояниями 142

6.2.3. Корпускулярно-волновая двойственность Л. де Бройля 142

6.2.4. Элементарные частицы и алгебры Ли .........142

Литература 143

Резюме 0.0.1. Рассматривается долговременная .асимптотика всех решений конечной энергии некоторых классов нелинейных волновых уравнений, являющихся бесконечномерными гамилътоновыми системами. Устанавливается долговременная сходимость рассматриваемых решений к стационарным состояниям в топологии Фреше, определяемой локальными энергетическими полунормами. Это означает, что множество стационарных состояний является точечным аттрактором в данной топологии. Сходимость доказывается в части I для одномерных нелинейных волновых уравнений с нелинейными членами, сосредоточенными в одной точке, в нескольких точках и на конечном отрезке, и в части II - для трехмерного скалярного волнового уравнения, связанного с частицей, и для системы Максвелла-Лоренца с зарядом. Эта сходимость представляется парадоксальной ввиду обратимости и консервативности гамильтоновых уравнений. Исследование мотивировано выделенной ролью стационарных состояний во многих явлениях, описываемых нелинейными гамилътоновыми волновыми уравнениями.

0.1. Введение

Главная цель данной диссертации - исследование долговременной асим-тотики всех решений конечной энергии некоторых классов нелинейных га-ми льтоновых волновых уравнений и систем.

0.1.1. Мотивировка исследования

Вызывает удивление совершенно особая роль стационарных состояний во многих явлениях, описываемых гамильтоновыми нелинейными волновыми уравнениями. Процесс образования этих состояний внушает мысль о том, что любое решение соответствующих уравнений стремится к некоторому своему стационарному пределу при t оо. Для краткости назовем такое поведение системы стабилизацией. Оно означает, что множество стационарных состояний является точечным аттрактором соответствующего уравнения. Однако это стремление представляется весьма парадоксальным и несовместимым с обратимостью и консервативностью гамильтоновых уравнений. Систематическое исследование стабилизации для нелинейных гамильтоновых волновых уравнений и является основной темой диссертации.

Проблематика такого сорта существует давно в самых разных областях. Например, в классической электродинамике это проблема радиационного трения [34, 82], в квантовой теории это проблема боровских переходов [9] и корпускулярно-волновой двойственности Л. де Бройля, в газо- и гидродинамике это проблема устойчивости ударных волн. Отметим также работу [85], связывающую парадокс репродукции генов с квантовыми боровскими переходами.

Радиационное трение имеет важное теоретическое значение, поскольку оно наблюдается экспериментально во многих практически важных ситуациях (например, в связи со спектром торможения рентгеновского излучения, с синхротронным излучением и т.п.). Ему посвящено много физических работ (см. работы [5, 34, 82] и имеющиеся там ссылки). Однако точная математическая формулировка этого феномена до сих пор не существовала по разным причинам. Радиационное трение означает, что движущийся с ускорением заряд излучает электромагнитную волну, которая уносит энергию. В результате ускорение стремится к нулю, что трактуется как некое эффективное трение. Главная трудность в теоретическом описании этого феномена - существенная нелинейность взаимодействия поля с частицей. Из-за этой нелинейности корректное рассмотрение проблемы для точечной частицы невозможно. Поэтому почти сто лет назад Г.Лоренц предпринял

исследование этой проблемы для "размазанного" заряда. Для учета нелинейного самодействия заряда он раскладывает траекторию частицы в ряд Тэйлора, что приводит к дифференциальному уравнению бесконечного порядка [64, 82]. Точное исследование этого уравнения до сих пор не проведено. Обрыв разложения Тэйлора на члене Ч (£) приводит к необратимому уравнению третьего порядка, которое позволяет объяснить излучение энергии для периодических движений заряда [34, 82]. Однако это не привело к точным результатам, и породило новые вопросы [5, 23, 34, 82]. Частичное решение проблемы радиационного трения дается в настоящей диссертации для систем поле-частица в случае одной частицы в общем контексте исследования стабилизации для нелинейных гамильтоновых волновых уравнений. До сих пор стабилизация не рассматривалась как естественное свойство нелинейных гамильтоновых волновых уравнений. Это и дало импульс к настоящему исследованию. В главах 1-Ш мы устанавливаем стабилизацию для трех классов одномерных нелинейных уравнений, а в главах IV и V - для нелинейных систем поле-частица. В главе IV рассматривается скалярное поле, а в главе V - электромагнитное. В Добавлении к диссертации обсуждаются возможные обобщения и связи с задачами математическое физики.

Формально основной темой диссертации является изучение долговременного поведения решений нелинейных гамильтоновых волновых уравнений типа

й{х^) = Аи(х^) +/(х,и(х,г)), (0.1.1)

и некоторых систем близкой структуры. Линеаризация нелинейных задач в сочетании с теорией возмущений является мощным средством изучения многих нелинейных задач. Однако задачи долговременного поведения не могут быть решены в рамках линеаризованного подхода, если траектория не остается близкой к некоторому известному решению. Именно так обстоит дело, например, в проблемах радиационного трения, боровских переходов и многих других задачах. Поэтому в настоящее время назрела необходимость в независимом от теории возмущений качественном изучении долговременного поведения нелинейных задач.

Мы ограничиваемся исследованием решений конечной энергии. Стабилизация означает долговременную сходимость всех траекторий конечной энергии к стационарным состояниям. Принципиальное значение имеет топология в которой осуществляется эта сходимость к аттрактору. Это метризу-емая топология Фреше, определяемая локальными энергетическими полунормами. Эта топология представляется оптимальной, т.к. сходимость по глобальной энергетической норме вообще говоря невозможна ввиду сохра-

нения энергии для гамильтоновых уравнений. Оснбвные результаты диссертации означают, что подобная сходимость имеет место для некоторых классов нелинейных гамильтоновых волновых уравнений и систем.

Решения бесконечной энергии здесь не рассматриваются, и для них долговременная асимптотика сильно зависит от поведения начальных данных на бесконечности.

Для классической системы Максвелла-Лоренца (б! 1.19) задача долговременного поведения изучалась в [4], [5], [23], [64], [87], [89].

0.1.2. Обозначения и определения

Мы рассматриваем некоторые классы уравнений вида (0.1.1) при п = 1 и некоторые системы близкой структуры при п — 3. Все производные здесь и ниже понимаются в смысле распределений, и 6 ШД с? > 1 и f(x,u) = и), где У(х,и) некоторая вещественная функция, называемая потенциалом. Тогда (0.1.1) является формально гамильтоновой системой с гамильтонианом

Щщй)= + (0.1.2)

•>2 2

Результаты глав 1-Ш касаются одномерных уравнений (0.1.1) с пространственно-локализованной нелинейностью, т.е. /(х,и) = 0 при \х\ >сопз1. Результаты глав IV и V касаются, соответственно, волнового уравнения

о

и системы Максвелла в Ш, , взаимодействующих с частицей. Эти системы являются гамильтоновыми системами, близкими по структуре к трехмерным уравнениям (0.1.1) с некоторыми гладкими нелокальными членами взаимодействия вместо /(х,и(х, ¿)). Мы рассматриваем задачу Коши для уравнения (0.1.1) с начальными условиями

и\^о = и°{х), й\ы0 = у°(х), ж€1Ып. (0.1.3)

Обозначим = (п(-,£),й(-,£)), У0 = (и°,у°) и запишем задачу (0.1.1), (0.1.3) в виде

у(*) = у(увд) при г е ш, Г(0) - у0. (0.1.4)

Введем фазовое пространство состояний "конечной энергии" для задачи (0.1.4). Через | • | обозначим норму в Ь2(КП, Ж,^), и через | • ¡д, Я > 0 - норму в где Вц - шар {^еГ: \х\ < Я}. Я^ЕТ,!^) обозначает

пополнение пространства функций и(х) € С^Ш™, Ш!1) по норме [62].

Определение 0.1.1. г) £ - гильбертово пространство пар (и(х),у(х)) €Е Н^ПГ, И*) © Ь2{ЕГ, Ш/*) с конечной нормой

||(«,г;)||£ = |У«| + М. (0.1.5)

п) £р - пространство Е с топологией, определяемой локальными энергетическими полунормами

Ц(г4^)||л=|Уг4|д + Ня + Нл, йбК (0.1.6)

Через обозначается сходимость в этом пространстве.

Замечание Ер ~ линейное топологическое счетно-нормированное пространство. Поэтому топология пространства Ер метризуема [19]. Это означает, что сходимость У^ У эквивалентна сходимости в некоторой метрике •) в пространстве Ер (такая метрика, разумеется, не единственна). Кроме того, пространство Ер является сепарабельным.

Для краткости мы называем сепарабельные метризуемые пространства пространствами Фреше, даже если они не являются полными. В частности, Ер является таким пространством Фреше. Как известно, в таких пространствах компактность подмножества эквивалентна его секвенциальной компактности [19].

Отметим, что гамильтониан % непрерывен на Е и не является непрерывным в топологии Фреше пространства Ер во всех задачах, рассматриваемых в данной диссертации.

Определение 0.1.2. ¿> = {5 6 Е : У(5) — 0} - множество стационарных состояний задачи (0.1.4)-

В каждой главе диссертации мы рассматриваем некоторый класс задач типа (0.1.1), налагая подходящие условия на нелинейный член /(х, и). Для любого начального состояния У0 е Е мы устанавливаем существование и единственность решения У(£) е С(Ж, £), и сохранение энергии

ЩУ(г)) = п(У°) для г е к. (Е)

Наши главные результаты означают долговременное поведение следующих двух типов

Релаксация Для любого начального состояния Уд' £ Е, возможно с некоторой дополнительной гладкостью и убыванием на бесконечности, орбита О (У) = {У(2) : £ € И} предкомпактна в Ер и

У(*) <5 при г ±оо. (0.1.7)

Это по определению означает, что для любой окрестности 0(8) множества в в Ер существует такое Т > 0, что У(£) 6 при £ > Т.

Стабилизация Если, дополнительно, множество S дискретно в некотором смысле, то существуют такие стационарные состояния S± G S, зависящие от решения Y{t), что

Y(t) ^ S± при t ±00. " " (0.1.8)

Замечание Пусть /?(•,•) - любая метрика, задающая топологию Фреше пространства Ер. Тогда сходимость (0.1.7) эквивалентна сходимости в этой метрике

inf p(Y(t), S) 0 при t —> ±00 V-R > 0 (0.1.9)

S ES

ввиду предкомпактности орбиты О (У). Это эквивалентно также сходимости в каждой полунорме

inf ||Y(t) - 5||д 0 при t^ ±00, УЛ > 0. (0.1.10)

S S s

Можно формализовать импликацию (0.1.7)=ф(0.1.8) при помощи следующего определения. Пусть Т - подмножество некоторого топологического пространства Т.

Определение 0.1.3. Т - захватываюшее подмножество в Т, если для каждой непрерывной кривой Y(t) 6 C(IR, J?-") с предкомпактной в Т орбитой 0(Y), из сходимости Y(t) —> Т при t —» 60 следует сходимость Y(t) —> Т при t 00 к некоторой точке T G Т-

Например, замкнутое подмножество Z С IR является захватывающим в IR тогда и только тогда, когда

Z не содержит никакого непустого интервала (ci, С2), (T 1)

что эквивалентно также плотности ]R \ Z в IR. В частности, любое канто-ровское множество в IR является захватывающим подмножеством в IR.

0.1.3. Основные результаты

В настоящее время нет достаточно общего представления о типичном характере долговременного поведения решений нелинейных волновых уравнений. Не существует также и универсального метода анализа такого долговременного поведения. Поэтому мы изучаем здесь модельные задачи, допускающие исследование возможных типов долговременного поведения. Мы рассматриваем пять типов таких задач М1-М5 и представляем результаты в соотвествующих главах диссертации.

Опишем кратко основные результаты диссертации. В части I диссертации мы устанавливаем долговременные асимптотики (0.1.7), (0.1.8) для следующих трех типов Ml—МЗ одномерных волновых уравнений (0.1.1).

Ml В главе I рассматривается сингулярный нелинейный член вида f(x,u) = ê(x)F(u), сосредоточенный в одной точке х = .0. Предполагается, что d > 1

F (и) G С1^, md), F {и) =-VV(u) и V(u) +оо при \и\ оо,

(0.1.11)

Тогда (0.1.7) верно для всех решений У(£) G C(IR, S). Если, дополнительно, Z = {z G IRd : F{z) — 0} - захватывающее подмножество в TRd, то выполняется также и (0.1.8). Для любых двух стационарных состояний S± G S существуют решения Y(t) G C(IR, 8) для которых выполняется (0.1.8).

М2 В главе II рассматривается сингулярный нелинейный член вида f(x,u) = T,k=ià(x ~~ xk)Fk{u)i сосредоточенный в конечном множест�