Асимптотическая устойчивость решений линейных и нелинейных гиперболических уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук (ИППИ РАН)

На правах рукописи УДК 517.94

Копылова Елена Андреевна

Асимптотическая устойчивость решений линейных и нелинейных гиперболических уравнений в частных производных

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1% ПАР 2913

005051000

Москва - 2013

005051000

Работа выполнена в Лаборатории N- 4 - Добрушинской математической лаборатории - Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук ( ИППИ РАН).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ильин Алексей Андреевич, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, старший научный сотрудник

доктор физико-математических наук, профессор Радкевич Евгений Владимирович, кафедра дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор

доктор физико-математических наук, профессор Рудаков Игорь Алексеевич Брянский государственный технический университет, профессор

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук (ИПМех РАН)

Защита состоится << 28 » мая 2013 г. в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.077.03 при учреждении Российской академии наук Институте проблем передачи информации им. A.A. Харкевича (ИППИ РАН) по адресу: 127994, г. Москва, ГСП-4. Большой Каретный переулок, 19, стр. 1. (ст. м. «Цветной бульвар»).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППИ РАН.

Автореферат разослан «' ' » марта 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.077.03 при ИППИ РАН кандидат физико-математических наук

А.Н. Соболевский

1 Общая характеристика работы

I.1 Актуальность темы

Предметом исследования настоящей диссертации является дисперсионное убывание и асимптотическая устойчивость решений линейных и нелинейных гиперболических уравнений в частных производных.

I. Дисперсионное убывание волновых процессов известно давно из повседневного опыта со звуковыми волнами и волнами на воде. Для волновых уравнений с постоянными коэффициентами математическое обоснование строгого принципа Гюйгенса выводится из явной формулы Кирхгофа. Для общих гиперболических уравнений в частных производных теория дисперсионного убывания возникла в 1960-х годах в работах Б. Вайнберга, П. Лакса, К. Моравец и Р. Филипса по теории рассеяния, где рассматривались начальные данные с компактными носителями, и убывание решении доказывалось в локальных энергетических нормах.

Однако такие результаты оказались недостаточными для теории асимптотической устойчивости решений нелинейных гиперболических уравнений. А именно, потребовалось убывание решений в весовых соболевских нормах для начальных данных с носителем во всем пространстве. Такое убывание для трехмерного уравнения Шредингера впервые было получено в работе А. Йснсена и Т. Като1 и распространено на другие размерности А. Йенсеном и Г. Ненсиу. Убывание в весовых нормах интенсивно использовалось в последние 20 лет в работах по асимптотической устойчивости для уравнений Шредингера. С другой стороны, для волновых уравнений и уравнений Клейна-Гордона подобные результаты оставались неизвестными. Наши исследования [1, 3, 79, 17-19], изложенные в главах I - III диссертации, заполняют этот пробел. Кроме того, автором получено дисперсионное убывание для уравнения Дирака [11], для уравнения Шредингера с магнитным потенциалом [13, 19], а также для дискретных моделей [4, 20, 23].

II. Солитонным решениям принадлежит особая роль при изучении эволюционных уравнений ввиду того, что зачастую они довольно легко находятся численно или аналитически и, кроме того, играют ключевую роль при изучении долговременного поведения решений этих уравнений. Впервые это обнаружили в 1965 году Н. Забуский и М. Крускал для уравнения KdV в результате численного моделирования2. В 1967 году К. Гарднер, Д. Грин, М. Крускал

'А. Jensen, Т. Kato, Spectral properties of Schrödinger operators and time-decay of the wave functions, Duke Math. J. 46 (1979), 583-üll.

2N.J. Zabuskv, M.D. Kruskal, Interaction of "solitolis" ill a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Physical Review Letters 15 (1965), 240-243.

и Р. Миура показали, что метод обратной задачи рассеяния позволяет решить уравнение KdV аналитически3. Выяснилось, что любое решение этого уравнения с достаточно гладкими быстроубывающими начальными данными сходится к конечной сумме солитонов, движущихся вправо, и дисперсионной волны, движущейся влево. Эти результаты были затем распространены на другие интегрируемые уравнения в работах А. Итса, Е.Я. Хруслова, Л.Б. Шабата, В.Е. Захарова и других4. Обзор этих исследований можно найти в книге В. Экхауса и А. Ванхартена0.

Недавние численные эксперименты0 показывают, что решения общих неинтегрируемых нелинейных волновых уравнений с начальными данными конечной энергии при больших временах распадаются на конечное число слабо взаимодействующих солитонов и убывающую дисперсионную волну. Теория асимптотической устойчивости солитонов для неинтегрируемых нелинейных уравнений Шредингера возникла в работах Соффера-Вайнштейна (1985-1992) и Буслаева-Перельман-Сулем (1991-2003). Однако обобщение на релятивистские уравнения оставалось открытой проблемой вплоть до 2010 года из-за отсутствия соответствующей теории дисперсионного убывания для соответствующих линеаризовапных уравнений. Необходимость такого обобщения связана с проблемами релятивистской теори поля, поставленными в програмных работах Гейзенберга 7,s, посвященных квантовополевой теории элементарных частиц в контексте теории нелинейных гиперболических уравнений в частных производных. В этом контексте элементарные частицы интерпретируются как солитоны, и проблема их устойчивости рассматривается как проблема асимптотической устойчивости солитонов 9. Именно эта проблема асимптотической устойчивости солитонов решается впервые в предложенной диссертации для неинтегрируемых нелинейных релятивистских волновых уравнений.

3C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Method for solving the Korteweg-deVries equation, Physical Review Letters 19 (1967), 1095Ц1097.

4A.S. Fokas, V.E. Zakharov (Editors), Important developments ill soliton theory, Springer, Berlin, 1993.

5W. Eckhaus, A. van Harten, The inverse scattering transformation and the theory of solitons. An introduction. Amsterdam: North-Holland. 19S1.

6A. Komech. N.J. Mauser, A. Vinnichenko, On attraction to solitons in relativistic nonlinear wave equations, Russ. J. Math. Phys. 11 (2004), no. 3, 289-307.

7W. Heisenberg, Der derzeitige Stand der nichtliiiearen Spiriortheorie der Elementarteilchen, Acta Phys. Austriaca 14 (1961), 328-339.

8W. Heisenberg, Introduction to the unified field theory of elementary particles, Interseience Publishers, London-New York-Sydney, 1966.

9D. Anderson, G. Derrick, Stability of time dependent particle like solitons in nonlinear field theories, J. Math. Phys 11 (1970), 133G-134G and 12, 945-952.

1.2 Цель работы

I. Для линейных уравнений Клейна-Гордона с потенциалом получить долговременное убывание решений в весовых соболевских нормах.

И. Доказать асимптотическую устойчивость солитонного многообразия и получить солитонную асимптотику для релятивистского нелинейного волнового уравнения с потенциалом типа Гннзбурга-Ландау.

III. Построить примеры нелинейных уравнений с необходимыми спектральными свойствами линеаризованной динамики.

1.3 Методы исследования

I. Дисперсионное убывание. Наши методы доказательства долговременного убывания решений уравнения Клейна-Гордона в весовых нормах представляют собой развитие теории С. Агмона1", А. Иенсена и Т. Като 1 и М. Мюраты 11 для уравнения Шредингера с убывающим степенным образом потенциалом. Эта теория основана на изучении аналитических свойств и асимптотик резольвент соответствующих уравнений.

Ключевую роль в этой теории играют принцип предельного поглощения, означающий существование предельных значений резольвенты на вещественной оси, и убывание резольвенты при больших значениях спектрального параметра. Предполагаемые условия отсутствия точечного спектра и резонанса в концевой точке непрерывного спектра обеспечивают ограниченность усеченной резольвенты в этой точке. При этих условиях дисперсионное убывание проекции решения Рсф{Ь) на непрерывный спектр доказывается при помощи спектрального представления Фурье-Лапласа

00

PcTp(t) = ^т J e~iut + ¿O) - R(lj - iO)]ipadw, t G R, (1.1)

o

где через R(Q обозначена резольвента оператора Шредингера Н = — Д + V:

ñ(0 = (tf-cr\ СеС\[0,оо). (1.2)

Данный подход непосредственно неприменим к уравнению Клейна-Гордона, так как соответствующая резольвента не убывает при больших значениях

10S. Agmoli, Spectral properties of Sclircjdinger operator and scattering theory, Ann. Scuula No тт. Sup. Pisa, Ser. IV 2 (1975), 151-218.

"M. Murata, Asymptotic expansions in time for solutions of Schrödinger-type equations, J. Fund. Anal. 49 (1982), 10-5G.

спектрального параметра. Проиллюстрируем это на примере трехмерных свободных уравнений (п = 3):

¡) Резольвента свободного уравнения Шредингера представляет из себя интегральный оператор с ядром

егу/й\х-у{

п) Резольвента свободного уравнения Клейна-Гордона является интегральным оператором с ядром

¡1кс(ш,Х-у)=[ п +-Г-Г-—Г -,.„2 м

х-г6(х-у) 0 ) Атг\х — у\ \-ги' ы ,

и область интегрирования в формуле (1.1) нужно заменить на |ы| > т. Главные сингулярности для обеих резольвент в концевых точках непрерывного спектра имеют одинаковый характер: при ш —» 0 для Дэ, и \[и7=рт при и> —» ±т для Яка- Соответственно, вклад от низких частот в интеграл (1.1) убывает как ¿~3/2 в обоих случаях. Рассмотрим теперь вклад в этот интеграл от высоких частот. В случае уравнения Шредингера этот вклад убывает как ~ с любым N > 0. Это убывание легко доказывается при помощи интегрирования по частям, так как производные — у) убывают как \и>\~к12 при и> —> оо. С другой стороны, функция Нка(ы,х — у) не убывает при больших и, кроме того, дифференцирование по ш не улучшает ее убывание. Следовательно, для уравнения Клейна-Гордона интегрирование по частям ничего не дает.

Это различие имеет глубокую математическую природу. Оно означает, что умножение на , при больших N улучшает гладкость решений уравнения Шредингера, но не улучшает гладкость решений уравнения Клейна-Гордона.. Это соответствует различному характеру распространения волн для релятивистских и нерелятивистских уравнений:

¡) главная сингулярность решений уравнения Шредингера сосредоточена в точке £ = 0 и исчезает па бесконечности при f ^ О из-за бесконечной скорости распространения.

и) в случае уравнения Клейна.-Гордона сингулярности решений движутся с конечной скоростью, поэтому они сохраняются при всех временах.

Следовательно, метод Агмона - Йенсена - Като доказательства убывания высокочастотной компоненты решения требует существенной модификации. Наш подход к решению данной задачи основан на "ослабленной" версии строгого принципа Гюйгенса, борцовских разложениях резольвенты и соответствующих представлениях решения в виде сверток.

II. Асимптотическая устойчивость солитонов. Асимптотическая устойчивость солитонного многообразия означает, что решение уравнения с начальными данными, близкими к одному из солитонов, при больших временах асимптотически представляет собой сумму некоторого, возможно другого, со-литона (с другой траекторией и скоростью) и убывающей в весовых нормах дисперсионной волны, являющейся решением соответствующего свободного линейного уравнения.

Для доказательства асимптотической устойчивости солитонов мы применяем современную стратегию, развивающуюся в последних работах по теории нелинейных гиперболических уравнений. Эта стратегия основана на методах симплектической геометрии в гильбертовом пространстве для гамильтоновых систем и спектральной теории несамосопряженных операторов и состоит из следующих шагов:

• симплектическая проекция на солитонное многообразие в гильбертовом пространстве

• разделение динамики на движение вдоль солитонного многообразия и в трансверсальном направлении

• убывание для трансверсальной линеаризованной динамики

• модуляционные уравнения для солитонных параметров

• нормальные формы Пуанкаре

• критерий излучения Ферми

• метод мажорант.

Эти методы представляют собой современное развитие теории устойчивости Ляпунова. Принципиальное значение имеет тот факт, что симплектическая проекция позволяет исключить неустойчивые направления, соответствующие нулевому дискретному спектру линеаризованной динамики.

Впервые подобная стратегия была применена Соффером, Вайнштейном и Буслаевым для нелинейных уравнений Шредингера. Мы развиваем эту стратегию для релятивистского нелинейного волнового уравнения, для которого асимптотическая устойчивость солитонов пе была установлена в течение долгого времени. Одна из причин заключается в том, что не было известно достаточно быстрое убывание решений линейных уравнений Клейна-Гордона с потенциалом (см., например, дискуссию во введении работы С. Куканьи12). Поэтому первым нашим результатом в этом направлени было доказательство быстрого убывания в весовых соболевскнх нормах ( ~ i~3/2 в одномерном случае) для проекции решения на непрерывный спектр при условии отсутствия собственных значений и резонансов в концевых точках непрерывного спектра [1, 7, 12, 16].

,2S. Cuccagna, On asymptotic stability in 3D of kinks for the ф4 model, Transactions of AMS 360 (2008), no. 5, 2581-2G14.

Кроме того, несмотря на приведенную выше общую схему получения асимптотической устойчивости, многие утверждения и их доказательства для рассматриваемого нами уравнения существенно отличаются в связи со спецификой релятивистских уравнений, а некоторые являются абсолютно новыми. В частности, мы получили новые оценки, характеризующие скорость распространения нелинейных возмущений для уравнения Клейна-Гордона, являющиеся релятивистской версией оценок В. Буслаева и К. Сулем 13, используемых для доказательства асимптотической устойчивости солитонов нелинейного уравнения Шредингера. Также мы получили релятивистскую версию оценок решений в L^-L00 нормах.

Эти оценки, а также убывание в весовых энергетических нормах решений линеаризованного уравнения играют ключевую роль в получении соответствующих неравенств для мажорант. Они позволяют также получить убывание трансверсальной компоненты линеаризованного на солитоне уравнения, что означает излучение энергии в бесконечность, обеспечивающее асимптотическую устойчивость солитонного многообразия.

1.4 Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

I. Впервые получено долговременное убывание в весовых энергетических нормах для решений линейного уравнения Клейна-Гордона с убывающим степенным образом потенциалом.

II. Впервые доказана асимптотическая устойчивость солитонного многообразия и получена солитонная асимптотика для релятивистского нелинейного волнового уравнения.

III. Впервые построены примеры нелинейных уравнений, для которых удается найти все спектральные свойства линеаризованной динамики.

1.5 Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы специалистами в области дифференциальных уравнений в частных производных и математической физики, в области теории функций, а также в спектральной теории операторов.

13V.S. Buslaev, С. Suleni, On asymptotic stability of solitary waves for nonlinear Schrödinger equations, Ann. Inst. Henri Гитсатс, Anal. Non Linéaire 20 (2003), no. 3, 413-475.

1.6 Апробация диссертации

Автор выступал с докладами но теме диссертации на следующих научных семинарах:

• Научный семинар кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессора М.И. Вишика (2008-2011 гг.)

• Научный семинар добруппшской математической лаборатории ИППИ РАН под руководством профессора P.A. Минлоса и гл. н. с. М.Л. Бланка (20082013 гг.)

• Научный семинар кафедры дифференциальных уравнений мехапико-мате-матического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессора В.В. Жикова и профессора Е. В. Радкевича (2013 г.)

• Научный семинар "Асимптотические методы математической физики и механики" ИПМех РАН под руководством академика В.П. Маслова и профессора С.Ю. Доброхотова (2013 г.)

• Научный семинар по актуальным проблемам математической физики математического центра Мюнхенского технического университета под руководством профессора Г. Шпона (2009-2011 гг.)

• Научный семинар факультета математики Венского университета под руководством профессора Г. Тешля (2011 г.)

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих научных конференциях:

• Минисимпозиум "Глобальные аттракторы в нелинейных гамильтоновых системах", Международный исследовательский центр, Банф, Канада, 2007.

• 5-й Европейский математический конгресс, Амстердам, Голландия, 2008.

• Минисимпозиум "Солитонная асимптотика и смежные вопросы математической физики", Математический институт в Обервольфахе, Германия, 2008.

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008.

• Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию академика В. А. Садовничего, МГУ, Москва, 2009.

• Добрушинская международная конференция, ИППИ РАН, Москва, 2009.

• XVI Международный конгресс математической физики, Прага, Чехия, 2009.

• Международная конференция "Современные проблемы анализа и преподавания математики", посвященная 105-летию академика С.М. Никольского, МГУ, Москва, 2010.

• 8-я Международная конференция AIMS по динамическим системам, дифференциальным уравнениям и приложениям, Дрезден, Германия, 2010.

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2010.

• Международный математический конгресс, Хайдерабад, Индия, 2010.

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения в математической физике", посвященная 65-летию А.И. Комеча, Москва, 2011.

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная академику И.Г. Петровскому, МГУ, Москва, 2011.

• 3-я Международная конференция по спектральной теории, посвященная памяти М. Ш. Бирмана, Петербург, 2011.

• Международная конференция "50 лет ИППИ РАН", Москва, 2011.

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2012.

• Международный симпозиум "Анализ, теория операторов и математическая физика" Икстапа, Мексика, 2012.

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и приложения", посвященная 90-летию М.И. Вишика, Москва, 2012.

• 6-й Европейский математический конгресс, Краков, Польша, 2012.

• Международная конференция "Спектральная теория и дифференциальные операторы", Грац, Австрия, 2012.

Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 1 монографии и 25 статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 162 страницах. Список литературы содержит 83 наименования. В работе имеется 11 поясняющих иллюстраций.

2 Основное содержание работы

2.1 Введение

Во введении приводится краткий исторический обзор исследований, формулируются основные результаты, полученные в диссертации и излагаются методы их доказательства.

2.2 Часть I

В первой части работы (главы I - III) излагаются результаты и методы линейной теории рассеяния для уравнения Шредингера

гф = Нф{х,Ь) := (-Д + V{x)Wx,t), х € К", (2.4)

и уравнения Клейна-Гордона

ф(х, t) = (Д - m2 - V(x)) ф(х, t), х € Ж", m > 0, (2.5)

где п = 1,2, 3. Все производные здесь и ниже понимаются в смысле распределений. Для целей данной диссертации главное значение имеет случай n = 1. Случай п > 4 в диссертации не рассматривается. Заметим, что случай п > 4 аналогичен случаю п = 3 для нечетных п и случаю п = 2 для четных п. Запишем уравнение (2.5) в матричной форме:

гФ(<) = (2.6)

где

*">=($)• (2,)

Будем предполагать, что потенциал V(x) - вещественная функция, удовлетворяющая оценке

|V(x)| + |W(x)| < С{ 1 + \x\)-ß, х 6 R", (2.8)

где ß > 3 при п = 3 и ß > 5 при п = 1,2. Мы рассматриваем так называемый "регулярный случай" в терминологии А. Иенссна и Т. Като 1 или "сингулярный случай" в терминологии М. Мюраты и, когда усеченная резольвента оператора Шредингера H = —Д + V^a;) ограничена в концевой точке Л = 0 непрерывного спектра. Другими словами, точка А = 0 не является ни собственным значением, ни резонансом для оператора H. Это условие выполняется для потенциала общего положения.

Определение 2.1 Для произвольных s, a G К обозначим через //® = Н°(Кп) весовые Соболевские пространства с конечными нормами

\\Ф\\щ = ||(*nV)^lk* < оо, (х) = (1 + |*|2)1/2, (2.9)

где L2 = L2{R").

Будем обозначать L2a = Заметим, что при условии (2.8) умножение на V(a;) является ограниченным оператором из Н\ в H¿+p для любого s £ IR. Введем фазовое простраство для задачи (2.6):

Определение 2.2 Еа - комплексное гильбертово пространство /У* (В II" векторных функций Ф — (ф, п) с конечными нормами

Цф|к = 1Мк + Ищ<°о. (2.Ю)

Будем обозначать Е — Eq.

Глава I. Первая глава посвящена дисперсионному убыванию для уравнения Шредингера (2.4). Как уже отмечалось выше, мы ограничиваемся рассмотрением "регулярного" случая, наиболее важного для приложений из-за "хорошего" долговременного убывания, в то время как в основополагающих работах С. Агмона10, А. Йенсена и Т. Като 1 и М. Мюраты11, посвященных этому уравнению, рассмотрена общая спектральная ситуация, что приводит к довольно громоздким построениям. Мы впервые излагаем полные доказательства ключевых оценок

а) убывания резольвенты при больших энергиях (А.2') из работы Агмона10

б) принцип предельного поглощения при малых энергиях.

Оценка (А.2') в работе Агмона сформулирована в качестве замечания, и ее доказательство в математической литературе отсутствует. Мы приводим адаптированные доказательства всех необходимых в диссертации результатов для наиболее важного "регулярного" случая.

В "регулярном" случае резольвента Я(С)> определенная в (1.2), обладает следующими свойствами, играющими ключевую роль при доказательстве дисперсионного убывания уравнения Шредингера, а также и уравнения Клейна - Гордона:

Лемма 2.3 1) R(С) является голоморфной функцией от ( е С \ ([0, оо) U E(V)) со значениями в ЦН^КЩ); где Е(К) = {ljj € [Vo,0] : j = 1,2,...} -дискретный спектр оператора Н.

2) Для всех вещественных С > 0 имеет место сходимость (принцип предельного поглощения):

R(DZie) -> Я(С±гО), 5 -» 0+

в пространстве С[Н~1, Н\а) с сг > 1/2.

3) При к = 0,1, 2/ а > 1/2 -(- к; s = 0.1 и I = — 1, 0,1 справедливы асимптотики

1|Д№)(С)11я;^'=0(|СГ^), ICI-00, СеС\[0,оо). (2.11)

4) При Ç —> О, Ç € С \ [О, оо) справедливы асимптотики

Г Л(С) =л + о(с1/2), п = 1,3

(2.12)

[ Д(С) = ^ + Blog-4 + 0(log-2C), п = 2

в пространстве L{H~l, //Аст) с а > 5/2, где А и В Е C(Hq1, Hq) - некоторые интегральные операторы.

Основным результатом первой главы является следующая теорема

Теорема 2.4 В "регулярном случае" справедливы следующие долговременные асимптотики для решений уравнения Шредингера (2.4) ■' при а > 5/2

Г о(|*|"3/2). п= 1,3

II = <

{ OClÉl-Mog-2 |i|), п = 2

t dhoo (2.13)

для начальных данных i/>o = V'(O) € L2. Здесь через Рс обозначен проектор Рисса на непрерывный спектр оператора Н.

Теорема 2.4 доказывается при помощи свойств 1) - 4) резольвенты R(Q и спектрального представления Фурье-Лапласа (1.1).

Глава II. Во второй главе излагаются обобщения результатов первой главы на уравнения Клейна-Гордона (2.6), полученные в работе автора [1] и совместных работах [10-18]. Эти обобщения являются нетривиальными из-за различного характера распространения волн для релятивистских и нерелятивистских уравнений и требуют новых методов и подходов. Аналогично (1.3) резольвенту 1Z(lo) = {TL — w)_1 оператора Л можно выразить через резольвенту R:

/ ujR{bj2-m2) iR(cj2-m2) \ ад = • (2.14)

\ —г(1 + U>2R(lü2 - т2)) LOR{UJ2 - т2) )

Обозначим Г := (-сю, -т) U (т,оо). Из свойств 1) - 4) резольвенты R и формулы (2.14) вытекают следующие свойства резольвенты 11:

Лемма 2.5 i) Резольвента lZ(u) является мероморфной функцией от lü е

С \ Г со значениями в С-(Е. Е);

Н) Справедлив принцип предельного поглощения:

lZ(u ± ге) —> 1Z{lú ± гО), £ 0+, ибГ в пространстве С(Еа, Е-а) с а > 1/2:

iii) Для Jfc = 0,1,2 и а > 1/2 + к справедливы асимптотики

ll^'HII^.^) = о(1). И-»00. w € с\г (2-15)

iv) Для любого а > 5/2 в пространстве L{Ea,E-a) справедливы асимптотики при и> —» ±т, о; € С \ Г:

( А* + 0{{ш т т)1/2), п = 1, 3 Щи) = { (2-16)

{ ^+ B±log"1(w::F m) + 0(log-2(w^m)), п = 2

где А±, В± € С(Еа,Е-а), а > 5/2 - некоторые интегральные матричные операторы.

Главным результатом второй главы является следующая теорема

Теорема 2.6 В "регулярном случае" справедливы следующие долговрельен-ные асимптотики для решений уравнения Клейна-Гордона (2.6) : при а > 5/2

Г 0(|£|"3/2), 1=1,3

IIW) lis-, = <

[ O(|í|-Mog-2|¿|), n =

для начальных данных Ф0 = Ф(0) 6 Еа. Здесь через Vc обозначен проектор Рисса на непрерывный спектр оператора Ti.

Как уже отмечалось выше, мы не можем получить убывание (2.17) из спектрального представления Фурье-Лапласа, так как резольвента и ее производные не убывают при больших значениях ш ( см. асимптотики (2.15)). Наш подход основан на борцовском разложении

Щш) = 71оМ - 7гоМУ7гоМ + TZ0{U)VR0{üj)VU{ÜJ). (2.18)

t ±оо (2.17)

Здесь через обозначена свободная резольвента, соответствующая V =

О, и V = ^ ^ jjj. Применив обратное преобразование Фурье-Лапласа,

мы получим соответствующее представление динамической группы U{t) оператора Клейна-Гордона в виде свертки:

U[t) = U0{t) + i J'Un(t - s)VUn(s)ds - (2.19)

где через Un(l) обозначена свободная динамическая группа, соответствующая V = 0. Иначе данное разложение получается методом последовательных приближений, если потенциал рассматривать как возмущение.

Каждое слагаемое в правой части (2.19) рассматривается отдельно. В трехмерном случае долговременное убывание вида (2.17) для первого слагаемого Uq{1) доказывается при помощи "ослабленной" версии строгого принципа Гюйгенса, обобщающей метод Вайнберга14 для волнового уравнения.

Для второго слагаемого долговременное убывание следует из стандартных оценок для свертки. При этом используется ранее полученное убывание первого слагаемого и условие (2.8) для потенциала.

Долговременное убывание для последнего слагаемого доказываеся при помощи спектрального представления вида (1.1) и техники Иенсена и Като, так как

IIVKoMVIIe^b^ ~ \ш\-2 при И -> оо.

Это оказалось возможным благодаря удачной структуре матрицы V1Zq(lo)V.

В одномерном и двумерном случаях появляются дополнительные сложности ввиду того, что для свободных одномерных и двумерных уравнений Клейна-Гордона, соответствующих V = 0, долговременное убывание вида (2.17) отсутствует. А именно, решение одномерного уравнения убывает как ~ i-1/2, а решение двумерного уравнения убывает как ~ £-1. Следовательно убывание (2.17) для уравнений с потенциалами не может быть получено посредством теории возмущений из соответствующих оценок для свободных уравнений. Такое медленное убывание обусловлено наличием "резонанса" для свободного оператора Шредингера в концевой точке Л = 0 непрерывного спектра. В этом случае мы выделяем слагаемое со слабым убыванием ~ i-1/2 (соответственно ~ i-1) и показываем, что оно не влияет на убывание высокочастотной компоненты, поскольку его спектр сосредоточен в точке Л = 0. После этого "сильное" убывание высокочастотной компоненты доказывается аналогично трехмерному случаю. С другой стороны, в "регулярном случае"

14Б.Р. 13айнГ>ерг, Асимптотические методы в уравнениях математической фишки. М.: Иг)Д-во Моск. ун-та, 1982.

убывание вида (2.17) для низкочастотной компоненты получается при помощи надлежащего уточнения методов Иенсена и Като.

Убывание вида (2.17) позволяет построить оператор рассеяния при помощи стандартного метода Кука. Так как слагаемое У(х)ф(х, £) стремится к нулю при £ —► ±оо, то естественно ожидать, что решение Ф(х,£) уравнения (2.0) сходится при больших временах к решению свободного уравнения Клейна -Гордона:

Ф(х, 0 ~ Ф±(ж, £), £ —> ±эс.

Наши результаты также дают уточнение порядка убывания для остаточного члена.

Рис. 1: Волновые операторы и оператор рассеяния

Теорема 2.7 г) Для решения уравнения (2.6) с начальными данными Ф(0) € ТсЕ справедлива долговременная асимптотика

Ф(0=М(0Ф±+г±(0, (2.20)

где Ф± := И^-Фр € Е - асимптотические состояния рассеяния и

||г±(011в-»0, £-*±сх>. (2.21)

И) Кроме того, если Ф(0) € "РГЕ„ с некоторым а > 5/2, то

ад-1/*), п = 1,з

ООоб"1п = 2

£ —> ±оо.

(2.22)

Отображение S : Ф_(-,оо) —> Ф+(-,оо), где Ф±(-Д) = U{t)Ф±, является оператором расеяния. Из (2.20) - (2.22) вытекает асимптотическая полнота рассеяния, означающая, что оператор S является унитарным оператором на

VeE.

Глава III. В этой главе рассматривается одномерное "модифицированное" уравнение Клейна-Гордона, соответствующее системе координат, движущейся со скоростью |и| < 1:

iif{x,t) = Kv^(x,t), хеШ, teR (2.23)

где

-И _ ( vV i \

nv ~ \ г(Д -m2-V) vV )-

Такое модифицированное у!)авнение возникает при линеаризации динамики на солитоне во второй части диссертации. Для него также справедливо дисперсионное убывание вида (2.17), играющее ключевую роль в установлении солитонной асимптотики.

Мы предполагаем, что вещественный потенциал V(x) удовлетворяет условию (2.8) с некоторым ß > 5 и рассматриваем "регулярный случай", означающий что усеченная резольвента оператора

Н = — Д + ■y2V(x), 7= l/\/l-tJ2

ограничена в концевой точке А = 0 непрерывного спектра.

Главным результатом третьей главы является следующая теорема

Теорема 2.8 Б "регулярном случае" справедлива следующая долговременная асимптотика для решений уравнения (2.23) : при а > 5/2

||РсФ(01Ы-. = О(1*Г3/2). 1 —1 ±0° (2-24)

для начальных данных Ф0 = Ф(0) е Еа. Здесь через Vc обозначен проектор Рисса на непрерывный спектр оператора Ttv.

Доказательство этой теоремы отличается от доказательства теоремы 2.6 для одномерного случая некоторыми техническими деталями.

2.3 Часть II

Во второй части работы (главы IV-VI) излагаются результаты и методы нелинейной теории рассеяния для релятивистского уравнения Гинзбурга -

Ландау, полученные автором. Рассматривается одномерное нелинейное волновое уравнение

ф{х,Ь) = ф"{х,Ь) + 0), х 6 М,

(2.25)

где Р(ф) = —{/'(ф). Мы предполаем, что потенциал II(ф) удовлетворяет следующим условиям:

171 Потенциал II(ф) является гладкой четной функцией, такой что

и(ф) >0 при ^а. (2.20)

172 В окрестности точек ±а потенциал и(ф) является параболой:

и(ф) = —(фта)2, с некоторыми 0 < 5 < а/2 и т > 0.

Примерный график потенциала изображен на рисунке 2.

(2.27)

ад

-а о +а

Рнс. 2: Потенциал и(ф) Соответствующее стационарное уравнение имеет вид:

- С/'(в(ж)) =0, 161.

(2.28)

Это уравнение имеет постоянные решения ф(х) = 0 и ф{х) = ±а. Непостоянные решения находятся при помощи "интеграла энергии":

и{з) = С,

где С - произвольная постоянная. На рисунке 3 изображен фазовый портрет данного уравнения.

Рис. 3: Фазовый портрет

Мы видим, что при С = 0 существует так называемый кинк - непостоянное решение в(.т) стационарного уравнения (2.28), обладающее конечной энергией и удовлетворяющее условию

в(х) —♦ ±а, х —> ±оо.

(См. рисунок 4). Кроме того, из условия (2.36) следует, что

(«(ж) =р а)" ~ га2(в( х) Та), х —> ±оо.

Поэтому

|в(х) т а| ~ Се"т|х|, х -» ±оо, (2.29)

т.е. кинк приближается к своим асимптотам ±а с экспоненциальной скоростью.

я(х)

а

0 X

-а

Рис. 4: Кинк

Так как уравнение (2.25) является релятивистски инвариантным, то движущиеся со скоростью |у|<1 солитоны (или кинки)

¿) = в(7(х - «г - 5)), д € К

также являются решениями уравнения (2.25). Здесь 7 = 1/\/1 — V2 - лорен-цево сокращение. Будем обозначать

фг.{х) = в^х), л„(х) = -ьф',(х).

Подставляя разложение ф(х, = в(х)+ф(х,£) в уравнение (2.25), формально получим

ф(х, 0 = -Нф{х, I) + 0{\ф{х, 012), (2.30)

где II := — д^г + т2 + У(х) - оператор Шредингера с потенциалом

1/(х) = -/^(х)) - т2 = У"(я(1)) - т2. (2.31)

Из условия и2 и асимптотики (2.29) следует, что функция У(х) имеет компактный носитель.

Легко проверить, что оператор Н обладает следующими свойствами:

Н1. Непрерывный спектр оператора Н совпадает с интервалом [ттг2,оо).

Н2. Точка Ао = 0 является минимальным собственным значением с собственной функцией я'(х).

НЗ. Все остальные точки дискретного спектра, если они существуют, содержатся в интервале (0,т2].

Дополнительно предполагается, что

Е Концевая точка А = т.2 непрерывного спектра оператора Н не является ни собственным значением, ни резонансом.

Мы доказываем солитонную асимптотику при двух различных вариантах условий на дискретный спектр:

Дискретный спектр оператора Н состоит, ровно из одной точки Ао = 0.

Т>2 Дискретный спектр оператора Н состоит из двух точек: Ао = 0 и А; 6 (0,ттг2), причем

АХх > т2. (2.32)

В случае D2 будем также предполагать условие невырожденности, или так называемое золотое правило Ферми (Fermi golden rule), означающее эффективное взаимодействие нелинейного члена с непрерывным спектром. Это условие обеспечивает рассеяние энергии в бесконечность. Для уравнения (2.25) золотое правило Ферми имеет вид

F J VibWF'WtelWdx * 0, (2.33)

где ipxl - собственная функция, соответствующая собственному значению Ab а 94Л! - нечетная собственная функция непрерыного спектра, соответствующая точке 4Ai е (т2,оо).

Определение 2.9 Обозначим через Wk, к = 0,1, 2... - соболевское пространство функций с конечными нормами

к

¡=0

Определение 2.10 W - гильбертово пространство W2 © W1 векторных функций Ф = (i/>,7г) с конечными нормами

||Ф|к = 1Ж1н«+ Ии" <

Глава IV. В четвертой главе доказывается асимптотическая устойчивость движущихся кинков в случае выполнения условия D1, т. е. при отсутствии дополнительного дискретного спектра. Главным результатом четвертой главы являются следующая теорема

Теорема 2.11 Пусть выполнены, условия Ul, U2, Е и D1 и пусть Y(t) = (i/>(i), V>(i)) - решение задачи Коши (2.25) с начальными данными Уо = (^(О), ^'(0)) близкими к некоторому кичку Sqo,Vo(x) = {ф„а(х - qo),nro(x - до)-'

Vo = Sq+ Х0, d0 := ЦХоЦе^пи' «С 1,

где ¡3 > 5/2. Тогда при достаточно малых do справедлива асимптотика:

Y(x, t) = №,l±{x-v±t-q±),^^-v±t-q±)) + Wa(t)$± + r±{x,t), t — ±oo

(2.34)

с некоторыми постоянными v± и q±. Здесь Wn{t) - динамическая группа свободного уравнения Клейна-Гордона, Ф± € Е - асимптотические состояния рассеяния. Кроме того,

||r±(i)!|£ = 0(|tr1/2), i-»±oo. (2.35)

Замечание 2.12 i) Асимптотическая устойчивость солитонного многообразия S обусловлена излучением энергии в бесконечность, которая проявляется как убывание в весовых энергетических нормах трансверсальной компоненты.

ii) Асимптотика (2.34) может быть интерпретирована как взаимодействие входящего солитона с траекторией V-t + и входящей дисперсионной волны Wo(£)<£-, в результате которого рождается исходящий солнтон с новой траекторией и+£ + q+ и новая исходящая дисперсионная волна 1Уо(£)Ф+. Это взаимодействие определяет (нелинейный) оператор рассеяния

S : ь-► Ф+).

Однако нахождение области определения этого оператора остается открытой проблемой, так же и его асимптотическая полнота (т.е. область значений).

Глава V. В данной главе рассмотрен случай, когда оператор Н, определенный в (2.30) - (2.31), имеет дополнительный дискретный спектр, удовлетворяющий условию D2 (в главе IV этот спектр отсутствовал). Для простоты изложения мы рассматриваем только нечетные решения и доказываем асимптотическую устойчивость стоячего кинка, соответствующего v = q = 0. Главным результатом главы V является следующая теорема

Теорема 2.13 Пусть выполнены условия Ul, U2, Е, D2 и F, и пусть Y(t) является решением задачи Коши (2.25) с нечетными начальными данными Yo, достаточно близкими к кинку:

Yq = (s(x), 0) + Xq, dQ := HXoll^rw « 1,

где P > 5/2. Тогда справедлива асимптотика

Y(x,t) = (s(z),0) + W0{t№± + r±(x,t), t — ±oo,

где Ф± € E - асимптотические состояния рассеяния, И/д(£) - динамическая группа свободного уравнения Клейна-Гордона. Кроме того,

1Ы0Ия = О(1Г1/3). t —> ±оо.

Заметим, что асимптотическая устойчивость движущихся кинков при наличии дополнительного дискретного спектра может быть получена объединением методов обеих глав.

Замечание 2.14 В наших работах [23, 24/ доказана асимптотическая устойчивость кинков для нелинейного волнового уравнения (2.25) в немного

более общем случае. А именно, вместо условия 112 в этих работах предполагается выполнение следующего условия

Щф) = ^-{фТа)2 + 0(\ф^а\к), ф —» ±а (2.36)

с некоторым К > 13. При этом доказательство асимптотической устойчивости кинков отличается только небольшими техническими деталями.

Отмстим, что известный потенциал Гинзбурга-Ландау

иСь(Ф) = (Ф2 - я2)2/(4а2)

удовлетворяет условию (2.26), условию (2.36) с т2 = 2 и А" = 3, а также условиям 1)2 и Р. Однако концевая точка спектра Л = 2 является резонансом для соответствущего линеаризованного оператора. Этот факт является основной причиной того, что асимптотическая устойчивость кинков для уравнения с потенциалом Идь До сих пор не доказана.

Глава VI. В этой главе строятся примеры нелинейных потенциалов, удовлетворяющих предполагаемым в теоремах 2.11 и 2.13 спектральным условиям. Отметим, что в большинстве работ, посвященных асимптотической устойчивости солитоиов, накладывается ряд условий на спектральные свойства соответствующей линеаризованной динамики. В нашей работе - это условия Е, Б1, 1)2 и Е. Однако эти спектральные свойства обычно только постулируются, и примеры нелинейностей, для которых они справедливы, в большинстве случаев неизвестны.

Мы строим кусочно-параболические потенциалы вида

где Ь = 1/7, (1 = 1/(1 — 7), и параметр 7 принадлежит интервалу (0,1). Обозначим через 7д, решения уравнения

= * <= N. (2.38)

ч/1 - 1к. 2 которые легко найти численно:

71 ~ 0.64643, 72 ~ 0.8579, 73 ~ 0.92472, 74 ~ 0.95359, 75 ~ 0.96856...

Спектральные свойства линеаризованного на солитоне уравнения зависят от параметра 7. В частности, при 7 е (0, 71] существует только одно собственное значение Аи = 0, при 7 £ (71,72] - Два собственных значения и т.д.

КоК1Х2

Рис. 6: Дискретный спектр

Резонанс существует только при 7 = 7^, к 6 М, золотое правило Ферми выполнено при всех 7 6 (0,1) за исключением дискретного множества.

В этой главе также построены гладкие апроксимации кусочно-параболических потенциалов с такими же спектральными свойствами. Отметим, что в [24] построен другой класс примеров нелинейных потенциалов, представляющих собой малые возмущения потенциала Гинзбурга - Ландау.

В заключении автор выражает глубокую благодарность профессору А.И. Комечу за полезные советы и постоянное внимание к работе и профессору Б.Р. Вайнбергу за полезные обсуждения. Автор многим обязан профессору B.C. Буслаеву (1937-2012). сотрудничество с которым повлияло на выбор направления исследования. Большая благодарность ИППИ РАН за поддержку и внимание.

3 Публикации автора по теме диссертации

Монография

1. A. Kotneeh, Е. Kopylova, Dispersion decay and scattering theory. John Willey and Sons, Iloboken, New Jersey, 2012.

Статьи автора

2. E. Kopylova, Existence of solitary waves for the discrete Schrodinger equation coupled to a nonlinear oscillator, Russian J. Math. Physics. 15 (2008), no. 4, 486491.

3. E. Kopylova., Weighted energy decay for 3D wave equation, Asymptotic Anal. 65 (2009)" no. 1-2, 1-16.

4. E. Копылова, Дисперсионные оценки для дискретных уравнений Шредин-гера. и Клейна-Гордона, Алгебра и анализ 21 (2009), №5, 87-113. (Имеется английский перевод : Е. Kopylova, Dispersion estimates for discrete 3D Schrodinger and Klein-C.ordon equations, St. Petersburg Math. J. 21 (2010), no. 5, 743-760.)

5. E. Kopylova, On asymptotic stability of solitary waves in discrete Schrodinger equation coupled to nonlinear oscillator, Nonlinear Analysis Series A: Theory. Methods and Applications 71 (2009), no. 7-8, 3031-3046.

6. E. Kopylova, On asymptotic stability of solitary waves in discrete Klein-Gordon equation coupled to nonlinear oscillator, Applicable Analysis 89 (2010), no. 9, 1467-1493.

7. E. Копылова, Дисперсионные оценки для уравнений Шредингера и Клейна-Гордона, Успехи матем. наук 65 (2010), № 1, 95-144. (Имеется английский перевод : Е. Kopylova, Dispersive estimates for Schrodinger and Klein-Gordon equation, Russian Math. Survey 65 (2010), no. 1, 95-142.)

8. E. Kopylova, Weighted energy decay for ID wave equation, J. Math. Analysis and Applications 366 (2010), no. 2, 494-505.

9. E. Kopylova, Long-time decay for 2D wave equation, Russian J. Math. Phys. 17 (2010), no. 2, 226-239.

10. E. Копылова, Об убывании резольвенты оператора Шредингера, Труды Математического института им. D.A. Стеклова 270 (2010), Дифференциальные уравнения и динамические системы, 170-176. (Имеется английский перевод : Е. Kopylova, On the decay of the resolvent of the Schrodinger operator, Proc. Steklov Inst. Math. 270 (2010), no. 1, 165-171.

11. E. Kopylova, Weighted energy decay for ID Dirac equation. Dynamics of PDE 8 (2011), no. 2, 113-125.

12. E. Kopylova, On long-time decay for modified Klein-Gordon equation. Comm.

Math. Analysis, Conference 03 (2011), 137-152.

13. E. Kopylova, On long-time decay for magnetic Schrodinger and Klein-Gordon equations, Труды Мателшгпического института им. В.А. Стеклова 278 (2012), 1-9. (Proc. Steklov Inst. Math. 278 (2012), 121-129.)

14. Е. Копылова, Асимптотическая устойчивость солитонов для нелинейных гиперболических уравнений, Успехи матем. паук 68 (2013), №2, 50 стр. Статьи, написанные с соавторами

15. V. Buslaev, A. Komech, Е. Kopylova, D. Stuart, On asymptotic stability of solitary waves in nonlinear Schrodinger equation, Comm. Partial DiJJ. Eqns. 33 (2008), no. 4, 669-705.

16. A. Komech, E. Kopylova, Scattering of solitons for Schrodinger equation coupled to a particle, Russian J. Math. Phys. 13 (2006), no. 2, 158-187.

17. A. Komech, E. Kopylova. Weighted energy decay for ID Klein-Gordon equation, Comm. PDE 35 (2010) , no. 2, 353-374.

18. A. Komech, E. Kopylova, Long time decay for 2D Klein-Gordon equation, J. Func. Anal. 259 (2010), no. 2, 477-502.

19. A. Komech, E. Kopylova, Weighted energy decay for 3D Klein-Gordon equation, J. Differ. Equations 248 (2010), no. 3, 501-520. |

20. A. Komech, E. Kopylova, Weighted decay for magnetic Schrodinger equation, J. Funct. Analysis. 248 (2013), no. 3, 735-751.

21. A. Komech, E. Kopylova, M. Kunze, Dispersion estimates for ID discrete Schrodinger and Klein-Gordon equations, Applicable Analysis 85 (2006), no. 12, 1487-1508.

22. A. Komech, E. Kopylova, D. Stuart, On asymptotic stability of solitons in a nonlinear Schrodinger equation, Comm. Pure and Applied Analysis 11 (2012), no. 3, 1063-1079.

23. A. Komech, E. Kopylova, H. Spohn, Scattering of solitons for Dirac equation coupled to a particle, J. Math. Anal. Appl. 383 (2011), 265-290.

24. A. Komech, E. Kopylova, B. Vainberg, On Dispersion properties of discrete 2D Schrodinger and Klein-Gordon equations, J. Func. Anal. 254 (2008), 2227-2254.

25. E. Kopylova, A. Komech, On asymptotic stability of moving kink for relativistic Ginsburg-Landau equation, Comm. Math. Phys. 302 (2011), no. 1, 225-252.

26. E. Kopylova, A. Komech, On asymptotic stability of kink for relativistic Ginsburg-Landau equation, Arch. Rat. Mech. and Analysis 202 (2011), no. 2, 213-245.

Подписано в печать: 05.03.2013 Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 140 экз. Заказ № 853 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, ул. Рождественка, д. 5/7, стр. 1 (495) 623-93-06; www.reglet.ru

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук (ИППИ РАН)

На правах рукописи УДК 517.94

Копылова Елена Андреевна

Асимптотическая устойчивость решений линейных и нелинейных гиперболических

уравнений в частных производных

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2013

G520i3oÖod7

Резюме

Диссертация посвящена теории асимптотической устойчивости решений линейных и нелинейных гиперболических уравнений в частных производных. Для линейных уравнений Клейна-Гордона с потенциалом установлено дисперсионное убывание решений и доказана асимптотическая полнота рассеяния. Методы доказательства представляют собой развитие теории рассеяния Агмона-Йенсена-Като-Мюраты для случая уравнений Клейна-Гордона.

Главный результат диссертации состоит в доказательстве асимптотической устойчивости солитонного многообразия и построении солитонной асимптотики для релятивистского волнового уравнения с потенциалом типа Гинзбурга-Ландау. Асимптотическая устойчивость означает, что решение уравнения с начальными данными, близкими к одному из солитонов, при больших временах асимптотически представляет собой сумму некоторого, возможно другого, со-литона (с другой траекторией и скоростью) и дисперсионной волны, являющейся решением соответствующего линейного уравнения. Методы доказательства основаны на спектральных свойствах линеаризованного уравнения и представляют собой современное развитие теории устойчивости Ляпунова. Мы распространяем подход Буслаева - Перельман, примененный ими для уравнения Шре-дингера: симплектическая проекция на солитонное многообразие в гильбертовом пространстве, модуляционные уравнения для солитонных параметров, нормальные формы Пуанкаре, критерий излучения Ферми, метод мажорант и др. на релятивистские уравнения.-

Впервые построены примеры нелинейных уравнений с заданными спектральными свойствами линеаризованной динамики.

Оглавление

0 Введение..................................................................6

0.1 Мотивировка исследования....................................6

0.2 Обозначения и определения....................................7

0.3 Основные результаты ..........................................11

0.4 Обзор литературы..............................................15

0.5 О методах исследования........................................17

I Дисперсионное убывание 22

1 Уравнение Шредингера 23

1 Свободное уравнение Шредингера....................................23

1.1 Принцип предельного поглощения............................24

1.2 Поведение резольвенты при С —» 0............................26

1.3 Убывание резольвенты при С —> оо............................28

2 Уравнение Шредингера с потенциалом ..............................35

2.1 Поведение резольвенты при С —» 0............................38

2.2 Убывание резольвенты при С —► оо............................41

2.3 Долговременная асимптотика..................................43

2.4 Асимптотическая полнота......................................46

2 Уравнение Клейна-Гордона 48

3 Спектральные свойства................................................48

3.1 Свободное уравнения ..........................................48

3.2 Возмущенное уравнение........................................51

4 Долговременная асимптотика ........................................53

4.1 Свободное уравнение............................................53

4.2 Возмущенное уравнение........................................58

4.3 Асимптотическая полнота......................................63

5 Приложение А. Доказательство леммы 4.2 ..........................65

6 Приложение В. Доказательство леммы 4.5 ..........................66

3 Модифицированное уравнение Клейна-Гордона 69

7 Введение..................................................................69

8 Свободное уравнение....................................................69

8.1 Спектральные свойства........................................70

8.2 Долговременное убывание......................................73

8.3 Доказательство предложения 8.4..............................76

9 Уравнение с потенциалом..............................................78

9.1 Возмущенная резольвента......................................78

9.2 Принцип предельного поглощения............................80

9.3 Убывание резольвенты при и) —> оо............................81

9.4 Поведение резольвенты при и) —> 0 ..........................82

9.5 Долговременная асимптотика..................................86

10 Приложение С. Доказательство леммы 8.6..........................86

II Асимптотическая устойчивость кинков 89

4 Бегущие кинки 90

11 Формулировка главного результата....................................90

12 Симплектическая проекция............................................91

12.1 Симплектическая структура и гамильтонова форма .... 91

12.2 Симплектическая проекция на солитонное многообразие . 92

13 Линеаризация на солитонном многообразии..........................94

13.1 Гамильтонова структура и спектр............................96

13.2 Убывание трансверсальной линеаризованной динамики . . 99

13.3 Оценки нелинейного члена..................101

14 Симплектическое разбиение динамики................102

15 Модуляционные уравнения......................103

16 Убывание трансверсальной динамики................105

16.1 Замороженная трансверсальная динамика..........106

16.2 Интегральные неравенства..................108

16.3 Симплектическая ортогональность..............109

16.4 Убывание трансверсальной компоненты...........111

17 Солитонная асимптотика.......................112

5 Стоячий кинк 115

18 Формулировка главного результата..................115

19 Линеаризация на кинке........................116

19.1 Убывание линеаризованной динамики............117

20 Асимптотическое разложение динамических уравнений......117

20.1 Асимптотическое разложение i................119

20.2 Асимптотическое разложение /................119

21 Нормальные формы Пуанкаре....................120

21.1 Нормальная форма для /...................120

21.2 Нормальная форма для г...................122

21.3 Сводка нормальных форм...................125

22 Мажоранты...............................126

22.1 Начальные условия и оценка для д..............126

22.2 Система мажорант.......................127

22.3 Оценки остаточных членов..................127

22.4 Оценки для мажорант.....................129

22.5 Равномерные оценки для мажорант.............131

23 Долговременные асимптотики ....................132

23.1 Долговременное поведение ................132

23.2 Солитонная асимптотика...................134

24 Приложение Б. Доказательство

предложения 19.1............................137

6 Примеры нелинейных потенциалов 141

25 Кусочно-параболические потенциалы ................141

25.1 Линеаризованное уравнение..................143

25.2 Нечетные собственные функции...............144

25.3 Четные собственные функции.................146

25.4 Спектральные условия.....................148

26 Гладкие аппроксимации........................152

О Введение

0.1 Мотивировка исследования

1. Дисперсионное убывание волновых процессов известно давно из повседневного опыта со звуковыми волнами и волнами на воде. Для волновых уравнений с постоянными коэффициентами математическое понимание строгого принципа Гюйгенса основывается на формуле Кирхгофа. Для общих гиперболических уравнений в частных производных теория дисперсионного убывания возникла в 1960-х годах в работах Б. Вайнберга, Р. Лакса, К. Моравец и Р. Филипса по теории рассеяния, где рассматривались начальные данные с компактными носителями, и убывание решений доказывалось на фиксированных компактах. Однако такие результаты оказались недостаточными для теории асимптотической устойчивости решений нелинейных гиперболических уравнений. А именно, потребовалось доказательство убывания решений в весовых соболевских нормах для начальных данных с носителем во всем пространстве. Такое убывание интенсивно использовалось в последние 20 лет в работах по асимптотической устойчивости для уравнений Шредингера. Тем не менее для релятивистских уравнений подобные результаты оставались неизвестными. Наши исследования [4,41, 38, 39, 40], [47]-[53] заполняют этот пробел для волновых уравнений, уравнений Клейна-Гордона и уравнения Дирака, а также для дискретных моделей [5, 42, 45]. В первой части диссертации мы приводим результаты исследований для уравнения Клейна-Гордона в размерностях 1, 2 и 3.

II. Солитонным решениям принадлежит особая роль при изучении эволюционных уравнений ввиду того, что зачастую они довольно легко находятся численно и, кроме того, возникают, как правило, при изучении долговременного поведения задачи Коши. А именно, численные эксперименты [36] показывают, что решения общих нелинейных гиперболических уравнений с начальными данными конечной энергии при больших временах распадаются на суперпозицию слабо взаимодействующих солитонов и убывающих дисперсионных волн.

Теория асимптотической устойчивости солитонов для нелинейных уравнений Шредингера возникла в работах Соффера-Вайнштейна (1985-1992) и Бус-лаева-Перельман-Сулем (1991-2003). Однако обобщение на уравнение Клейна-Гордона оставалось открытой проблемой вплоть до 2010 года из-за отсутствия соответствующей теории дисперсионного убывания для линеаризованных уравнений Клейна-Гордона. Необходимость такого обобщения связана с проблемами релятивистской теории поля, поставленными в программных работах Гей-зенберга [28, 2], посвященных квантовополевой теории элементарных частиц в контексте нелинейных гиперболических уравнений в частных производных. В таком контексте элементарные частицы интерпретируются как солитоны, и проблема их устойчивости превращается в проблему асимптотической устойчивости солитонов. Именно эта проблема решается впервые в предложенной диссертации для релятивистских уравнений.

0.2 Обозначения и определения

В первой части мы рассматриваем уравнения Шредингера

гф = Нф(х, t) := (-А + У(х))ф(х, t), хе Шп, (0.1)

и уравнение Клейна-Гордона

ф(х, t) = (Д - m2 - V(x)) -ф(х, ¿), xeRn, m > 0, (0.2)

где п = 1,2,3. Все производные здесь и ниже понимаются в смысле распределений. Запишем уравнение (0.2) в матричной форме:

№(t)=HV(t), (0.3)

где

Кроме того мы будем рассматривать "модифицированное"уравнение Клейна-Гордона, соответствующее системе координат движущейся со скоростью v:

№(t) = /СФ (i), (0.5)

где

Г - ( uV i \

^ ~ \ г{А - m2 - V) vV )'

Именно модифицированное уравнение соответствует линеаризованному уравнению на солитоне, рассматриваемому во второй части работы. Будем предполагать, что V(x) является вещественной функцией и

\V(x)\ + |VK(x)| < С{ 1 + \х\)~Р, х Е М", (0.6)

где (3 > 3 при п = 3 и (3 > 5 при п = 1,2. Мы рассматриваем "регулярный случай" в терминологии [29] (или "несингулярный случай" в терминологии [61]), когда усеченная резольвента оператора Шредингера H = — А + V(x) ограничена в концевой точке Л = 0 непрерывного спектра. Другими словами, точка Л = 0 не является ни собственным значением, ни резонансом для оператора H. Это условие выполняется для потенциала общего положения.

Определим пространства, в которых мы будем работать. Для произвольных s,cr е R обозначим через Hsa = #*(Rn) весовые пространства Соболева, введенные Агмоном [13], с конечными нормами

Ш\н- = Il {xYWn» < 00, (х) = (1 + М2)1'2, (0.7)

где L2 = L2(Rn). Будем обозначать L2a = Н°.

Заметим, что умножение на V(x) является ограниченным оператором из Н] в Н]+р для любого s € M. Введем фазовое пространство для задачи (0.3):

Определение 0.1 Еа - комплексное гильбертово пространство векторных

функций Ф = (ф, 7г) с конечными нормами

1|ф|к = 1Жк + 1М1яз<оо. (0.8)

Обозначим Е = Е0. Обозначим далее через \¥к, к = 0,1,2... - соболевское пространство функций с конечными нормами

к г=0

Определение 0.2 Ж - гильбертово пространство \¥2@У/1 векторных функций Ф = (ф, 7г) с конечными нормами

Цф|к = Ми* + N1^ < оо.

Во второй части мы рассматриваем одномерное нелинейное волновое уравнение

•ф(х,г) = ф"(х,г) + р('ф(х,г)), хе1, (0.9)

где F(V0 = -и'(ф).

Мы предполагаем, что потенциал и(ф) удовлетворяет следующим условиям: ТЛ Потенциал и (ф) является гладкой четной функцией, такой что

1/(ф) >0 при ф фа. (0.10)

U2 В окрестности точек ±а потенциал U(ф) является параболой:

2

TTL

и(ф) = —(фта)2, \ф^а\<д (0.11)

с некоторыми 0 < 5 < а/2 ит> 0.

Примерный график потенциала изображен на рисунке 1.

Соответствующее стационарное уравнение имеет вид:

s"(x) - U'(s(x)) = 0, (0.12)

Это уравнение имеет постоянные решения ф(х) = 0 и ф(х) = ±а. Непостоянные решения найдем при помощи "интеграла энергии":

Л2

- U(s) = С,

где С - произвольная постоянная. На рисунке 2 изображен фазовый портрет данного уравнения.

s' с>о

\ ✓ ____ х ч / С=0

У s

/ \ с<0

Рис. 2: Фазовый портрет

Мы видим, что при С = 0 существует так называемый кинк - непостоянное решение в(х) стационарного уравнения (0.12), обладающее конечной энергией и удовлетворяющее условию

з(х) —» ±а, х ±оо.

(См. рисунок 3). Кроме того, из условия (0.21) следует, что

(¿(ж) а)" ~ т2{з(х) Та), х —> ±оо.

9

Поэтому

|5(ж) т а\ ~ Се~тМ, х ±оо, (0.13)

т.е. кинк приближается к своим асимптотам ±а с экспоненциальной скоростью.

Так как уравнение (0.9) является релятивистски инвариантным, то движущиеся со скоростью |v|<l солитоны (или кинки)

SqtV(x,t) = s(j(x - vt - q)), geR

также являются решениями уравнения (0.9). Здесь 7 = 1/Vl — v2 - лоренцево сокращение. Далее будем обозначать

фу(х) = s( ух), 7Tv(x) = -Vlf/v(x).

Подставляя разложение ip(x,t) = s(x) + (¡)(x,t) в уравнение (0.9), формально получим

ф{х, t) = -Нф{х, t) + 0(\ф(х, t)I2), (0.14)

где Н := — ^ + т2 + V(x) - оператор Шредингера с потенциалом

V{x) = -F'{s{x)) -т2 = U"(s(x)) - т2. (0.15)

Легко проверить, что оператор Н обладает следующими свойствами:

HI. Непрерывный спектр оператора Н совпадает с интервалом [т2, оо).

Н2. Точка Ао = 0 является точкой дискретного спектра с собственной функцией s'(x).

НЗ. Так как ¿(х) > 0, то Ло = 0 является основным состоянием, а все остальные точки дискретного спектра, если они существуют, содержатся в интервале (0,ш2].

Будем предполагать, что

Е Концевая точка А = т2 непрерывного спектра оператора Н не является ни собственным значением, ни резонансом. Кроме того, мы будем предполагать два разных условиях на дискретный спектр:

Дискретный спектр оператора Н состоит ровно из одной точки Ло = 0. Ю 2 Дискретный спектр оператора Н состоит из двух точек: Ло = 0 и Ах 6 (0,т2), причем

4Лх > т2. (0.16)

Во втором случае ( условие Т>2) будем также предполагать условие невырожденности, или так называемое золотое правило Ферми, означающее эффективное взаимодействие нелинейного члена с непрерывным спектром. Это взаимодействие обеспечивает рассеяние энергии в бесконечность (см. условие (10.0.11) в [23] или условие (1.11) в [55]). Для уравнения (0.9) золотое правило Ферми имеет вид:

(¥) I щХ1(х)Г"(з(хЫ^х ф 0,

(0.17)

где у?А1 - собственная функция, соответствующая собственному значению А\, а (¿?4А1 - нечетная собственная функция непрерывного спектра, соответствующая точке 4Лх е (ш2,оо).

0.3 Основные результаты

В первой части работы (главы 1-Ш) излагаются результаты и методы линейной теории рассеяния для уравнений Шредингера и Клейна-Гордона, полученные автором.

Глава I. Эта глава посвящена дисперсионному убыванию для уравнения Шредингера. В параграфах 1 и 2 мы излагаем классические результаты, полученные в работах [13, 29, 61] для этого уравнения, при помощи которых в параграфе 2.4 выводится асимптотическая полнота в задаче рассеяния. Как уже отмечалось выше, мы ограничиваемся рассмотрением "регулярного" случая, наиболее важного для приложений из-за "хорошего" долговременного убывания, в то время как в основополагающих работах [29, 32, 61] рассмотрены все возможные спектральные случаи, что приводит к довольно громоздким доказательствам. Мы даем полные доказательства некоторых ключевых оценок, которые отсутствуют в оригинальных статьях. Кроме того, мы приводим адаптированные доказательства практически всех результатов для наиболее важного "регулярного" случая. Основным результатом первой главы является следующая теорема

Теорема 0.3 В "регулярном случае" справедливы следующие долговременные асимптотики для решений уравнения Шредингера (0.1) : при сг > 5/2

( 0( |Г3/2), п = 1,3

\\Рст\\ь\ = < г ±оо (0.18)

{0(\Ц-Чоё-2Щ), п = 2

для начальных данных чро = ф(0) Е Здесь через Рс обозначен проектор Рисса на непрерывный спектр оператора Н.

Глава II. Во второй главе излагаются обобщения результатов первой главы на уравнения Клейна-Гордона, полученные в работе автора [4] и совместных работах [41, 38, 39, 40]. Эти обобщения являются нетривиальными из-за разного характера распространения волн для релятивистских и нерелятивистских уравнений и требуют новых методов и подходов. Главным результатом второй

(О

л

__8

/ X

/ Що)

•Ф+Ю

+

г = -оо

Рис. 4: Операторы рассеяния

главы является следующая теорема

Теорема 0.4 В "регулярном случае" справедливы следующие долговременные асимптотики для решений уравнения Клейна-Гордона (0.3) : при сг > Ъ/2

( <Э{Щ-*/% п= 1,3

(0.19)

I <Э{Щ-Чо£-2Щ), п = 2

для начальных датьых Фо = £ Здесь через Рс обозначен проектор Рисса на непрерывный спектр оператора П..

Убывание (0.18) - (0.19) позволяет построить оператор рассеяние при помощи стандартного метода Кука. Так как У(х)ф(х, t) стремится к нулю при t —> ±00, то естественно ожидать, что решение t) сходится при больших временах к решению свободного уравнения:

Ф(ж, t) ~ Ф±(ж, t), t -> ±00.

(см. Рис. 4). Отображение S : Ф_(-,оо) —> Ф+(-,оо) называется оператором рассеяния. Из убывания (0.18) - (0.19) вытекает асимптотическая полнота рассеяния, означающая, что оператор S является унитарным оператором на PCL2.

Глава III. В этой главе рассматривается одномерное "модифицированное"урав-нение Клейна-Гордона (0.5) Для него устанавливается теорема, аналогичная теореме 0.4, полученная в работе автора [53]. Доказательство отличается от теоремы 0.4 некоторы�