Устойчивость динамических почти периодических систем в бесконечномерном фазовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на правах рукописи

РОГОЗИН АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ » О ТО у/к

Я

УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2008

003170180

Работа выполнена в Омском государственном техническом университете

Научный руководитель

Доктор физико-математических наук, Профессор Романовский Рэм Константинович

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук, Профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

Доктор физико-математических наук, Профессор Перцев Николай Викторович

Ведущая организация - Владимирский государственный гуманитарный университет

Защита состоится "24" июня 2008 г в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 212 038 22 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, Университетская пл, 1, ВГУ, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан 13 мая 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212 038 22, доктор физико-математических наук,

профессор

Ю Е Гликлих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Задачи теории колебаний, теории автоматического управления систематически приводят к проблеме расчета на устойчивость динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени Если в частном случае периодических систем в ряде работ разработаны эффективные методы анализа устойчивости и на этой основе решен ряд прикладных задач, то здесь известные до последнего времени результаты относятся главным образом к системам с малым параметром Вместе с тем возникающие в приложениях динамические системы в ряде случаев не вкладываются в схему метода малого параметра

Некоторое продвижение в этой проблематике произошло в последние 15 лет В цикле работ Р К Романовского, С М Добровольского, О В Кириченовой, А О Игнатьева показано, что известная процедура анализа устойчивости динамических систем с дискретным и непрерывным временем, связанная с использованием функций Ляпунова, существенно упрощается на подклассе почти периодических систем В выполняемых в этих работах построениях используется локальная компактность фазового пространства, тем самым полученные в них результаты применимы к системам с конечным числом степеней свободы.

В связи с потребностями практики является актуальной задача переноса этих результатов на динамические системы этого класса с бесконечным числом степеней свободы

Цель работы - распространение результатов указанных работ на почти периодические динамические системы с дискретным временем с бесконечномерным фазовым пространством, получение приложений к динамическим системам с непрерывным временем

Метод исследования. В работе систематически используется аппарат теоретико-множественной топологии, теории коммутагивных банаховых алгебр, функционального анализа Метод исследования состоит в следующем

1) Вначале рассматривается динамическая система

*„+.=/„<>„) (1)

с почти периодической по дискретному времени правой частью на произвопьном топологическом компакте Доказан достаточный признак асимптотической устойчивости с ослабленным условием на разностную

производную функции Ляпунова Уи(х) вдоль траекторий системы (1), определяемую равенством

= (2)

2) Исследование устойчивости положения равновесия г0 динамической системы (1) в метрическом пространстве проводится в два этапа

а) Выполняется надлежаще выбранная компактификация инвариантной окрестности положения равновесия г0 (такая окрестность

существует вследствие условия уп<0), динамическая система (1) и

функция Ляпунова \>я(х) продолжаются по непрерывности на

построенный топологический компакт На этом этапе используется аппарат банаховых алгебр

б) К расширенной системе применяется результат пункта 1) Асимптотическая устойчивость положения равновесия - образа г0 -означает для исходной системы асимптотическую устойчивосгь г0, равномерную по начальному возмущению существование окрестности V точки г0 такой, что для траекторий, начинающихся в этой окрестности (х0 е £/), имеет место сходимость хп —> г0 равномерно по х0

3) Приложения полученных результатов к динамическим почти периодическим системам с непрерывным временем х- /(х,/) в банаховом пространстве Е основаны на следующем наблюдении Пусть Щ(,Т) - разрешающий оператор системы Справедливо утверждение последовательность функций

/п(х) = Щп + \,п)х, и еО, (3)

почти периодична по п Это позволяет привести анализ устойчивости динамической системы х — /(х^) к анализу устойчивости системы (1) с правой частью (3)

Научная новизна Содержащиеся в диссертационной работе научные результаты являются новыми и состоят в следующем

1 Исследованы свойства почти периодических последовательностей в хаусдорфовом топологическом пространстве На этой основе установлен признак устойчивости для почти периодических динамических систем с

дискретным временем на топологическом компакте с упрощенной - за счет почти периодичности - процедурой проверки на устойчивость

2 На основе теории коммутативных банаховых алгебр разработан метод, приводящий анализ асимптотического поведения динамических систем с дискретным временем в метрическом пространстве к такой же задаче для систем этого класса на топологическом компакте

3 На этой основе результаты пункта 1 для почти периодических систем с дискретным временем на компакте распространены на такие системы в метрическом пространстве

4. Установлено свойство эволюционного оператора почти периодической динамической системы с непрерывным временем в банаховом пространстве (П-свойство), позволившее распространить результаты пункта 3 на указанный класс систем с непрерывным временем В линейном случае существенно использован аппарат мультипликативных интегралов

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе путем применения методов теории топологических пространств и банаховых алгебр результаты по анализу асимптотического поведения динамических почти периодических систем с бесконечномерным фазовым пространством представляют серьезный теоретический интерес Могут быть использованы для анализа устойчивости конкретных динамических систем этого класса, а также для анализа эргодических свойств цепей Маркова с почти периодически зависящими от времени вероятностями перехода

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, (Суздаль, 2004, 2006), в Воронежской весенней математической школе Современные методы теории краевых задач "Понтрягинские чтения XVI" (Воронеж 2005), на IV, V, VI международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин" (Омск, 2002, 2004, 2006), на семинаре профессора Ю Г Решетняка в Институте математики СО РАН

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7] Из совместных работ [1, 3, 5] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 60 наименований, включая работы автора В каждой главе и во введении использована своя нумерация параграфов,

лемм, теорем и формул Общий объем диссертации составляет 108 страниц машинописного текста

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и основные результаты работы

Первая глава посвящена реализации пункта 1) схемы, указанной в методе исследования

1 Пусть К - компакт Обозначим X множество всех непрерывных функций f (х) \К—> К, С (К) - множество всех непрерывных функций а '. К —»□ . Поставим в соответствие каждой функции а е С (К) полуметрику на X

pa(f,g) = r^\a(f(x))-a(g(x))\ (4)

В силу леммы Урысона семейство полуметрик (4) разделяет точки множества X Семейство шаров

Uf{e) = {gzX-pa{f,g)<e}

определяет хаусдорфову топологию г на X

2. Обозначим F = Xa - множество всех двусторонних последовательностей f — {f„} со значениями fn (х) е X Семейство полуметрик

Ра (/> ё) = sup Pa (fn, g„), а е С (К),

пеО

разделяет точки множества F и определяет хаусдорфову топологию í на F аналогично п 1

Определим семейство операторов сдвига Тт : F —> F, WgD, формулой

Tmf\„ = fn+m, и ей (5)

Будем называть последовательность / е F почти периодической, если семейство сдвигов (5) - предкомпакт в топологии f

3. Будем рассматривать динамическую систему (1) на компакте К Будем предполагать

а) правая часть /п (х) — почти периодическая последовательность из

Р) динамическая система (1) имеет положение равновесия г0 е К

Будем называть положение равновесия гйе.К устойчивым по Ляпунову, если для любой окрестности II точки Г0 существует такая окрестность £/, (Г 11, что траектории хп, начинающиеся в £/, (хд е £/,), не выходят из и; глобально асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и для всех траекторий имеет место сходимость хп —> г0

Будем называть функцию у(х) е С (К) положительно определенной относительно точки г0 £ К, если

у(х) > сопэ^С/) > 0, на дополнении К\и любой окрестности V точки г0.

Последовательность функций ул(х) е С (К), п> О, будем называть положительно определенной относительно точки г0, если имеет место оценка

у(х) > у„(х) > н'(лг), х е К, п> 0, (6)

где V, V/, - положительно определенные функции относительно г0

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть, при указанных выше условиях а), Р), существует положительно определенная относительно положения равновесия г0 последовательность уп(х) такая, что ее разностная производная (2) вдоль траекторий системы (1) неположительна

у„(х)<0, хеК,п> О

Тогда для того, чтобы положение равновесия г0 было глобально асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы разностная производная т>„(х) была отлична от тождественного нуля на траекториях, не совпадающих с 20.

\\ (х) Ф 0 на траекториях хп Ф г(

4. Утверждение теоремы 1 1 остается верным, если в определении миноранты и мажоранты в (6) заменить требования непрерывности требованием полунепрерывности соответственно снизу и сверху

5. Требование почти периодичности последовательности /„(*) в теореме 1 1 существенно Действительно, пусть в (1)

К = [-1,1],/„(*) = Я„*,г0= О, у(х) = \х\

1, п = 2к +1

л„=\ ( п еХР1~2" \,п = 2к

Здесь

1-ехр|

п = 2к + \, |х|, п = 2к.

Все условия теоремы выполнены, кроме требования почти периодичности, тем не менее имеем

Х1п - еХР

( " 1 4 У *=1 ^

х0 -/> 0, если х0 ^ О

Вторая глава посвящена реализации пункта 2) указанной схемы

1. Будем рассматривать динамическую систему (1) в метрическом пространстве Е с метрикой р Будем предполагать

1) при каждом п последовательность /„(х) в правой части (1) равномерно непрерывна на каждом шаре В с Е,

2)/я(г0) = г0,

3) последовательность /л(х) почти периодична

Отметим, что в этой ситуации данное выше определение почти периодической последовательности эквивалентно - с учетом дискретного аналога критерия компактности Бохнера - следующему Пусть В - шар в

Е, £>0 Будем называть целое число Те О (В, е) -почта-периодом последовательности / е Е(Е), если выполняется неравенство

р[/„+т(*).Л00] <£,хеВ, я 6 □

Будем называть последовательность / е Е(Е) почти периодической, если для каждой пары (В,ё) существует число />0 такое, что на любом отрезке длины / числовой оси найдется хотя бы один (В,£) - почти-период

2. Функцию у(;с) : В0 —» □ , где В0 - шар с центром в точке г0, будем называть положительно определенной относительно точки г0, если она равномерно непрерывна на В0, равна нулю в этой точке и отделена снизу от нуля на дополнении В0\1/ любой окрестности V с 50 точки 20 Разностная производная функции у(х) вдоль траекторий динамической системы (1) дается формулой у(х,и) - у{/п(х))-г(х)

Построим по динамической системе (1), положительно определенной функции у(х) и числу г > 0 последовательность множеств

£/0 = {хбБ0|у(х)<г}, £/„=/„(£/„_,), и>1,

и пусть

у„ = Биру(х), п > 0

х<А1„

Отметим, что при условии у < 0, все уя < оо, и последовательность Ул не возрастает

Будем говорить, что положение равновесия г0 динамической системы (1) асимптотически устойчиво равномерно по начальному возмущению, если существует такой шар В с центром г0, что для траекторий хп, начинающихся в В, имеет место сходимость хп—>г0 равномерно по х0 е В

Отметим, что в частном случае Е = □ N равномерная по начальному возмущению асимптотическая устойчивость равносильна свойству асимптотической устойчивости В бесконечномерном случае это не так Действительно, пусть в (1) Е = 12, /л (х) = Рпх, где Рп - проектор

К = diag(0,...,0,1,1, .)

п

Очевидно, положение равновесия (0,0,. ) асимптотически устойчиво при каждом х е 1г j/^xj —> 0, однако при каждом г > 0 и каждом п> О

sup|.Pn;t| = r-b 0 при п —^ со

ТЕОРЕМА 2.1 Пусть, при указанных в п 1 условиях, существует положительно определенная функция v(x) и число г0 > 0 такие, что

1°) разностная производная (2) функции v(x) вдоль траекторий системы (1) неположительна,

2°) при каждом г е (0,г0] среди чисел vn хотя бы два различны Тогда положение равновесия z0 динамической системы (1) асимптотически устойчиво равномерно по начальному возмущению

3. Обоснование проводится сведением к теореме 1 1 для систем (1) на компакте Укажем схему сведения.

А При условии 1° множество U = U0(r0) - инвариантное множество динамической системы (1) начинающиеся в U траектории не выходят из U Можно считать U фазовым пространством системы (1)

Б Пусть А - банахова алгебра равномерно непрерывных ограниченных функций <p\U ~»0 , М - множество мультипликативных

функционалов /л е А* Известно

- М - компакт в ^-слабой топологии,

- множество U вкладывается в М по правилу x—^ju, /и(<р) = <р(х), -отображение д - гомеоморфизм U <->g(U),

- множество д(U) плотно в М

В Построим на компакте М динамическую систему

где функционал Рп{/л) определяется формулой

и пусть функция V : М —> □ - преобразование Гельфанда функции

Функционал //0 е М, определяемый равенством !Ла{ф) = -

положение равновесия динамической системы (7)

Г При условиях теоремы 2 1 динамическая система (7) и функция Ляпунова удовлетворяют всем условиям теоремы 1.1., поэтому

положение равновесия цй глобально асимптотически устойчиво

Д Глобальная асимптотическая устойчивость положения равновесия //0 динамической системы (7) означает равномерную по начальному возмущению асимптотическую устойчивость положения равновесия г0 динамической системы (1)

При проверке утверждений, содержащихся в пунктах Г, Д, используется, что банахова алгебра А изометрически изоморфна банаховой алгебре непрерывных функций М -»□ (следствие из основной теоремы теории коммутативных банаховых алгебр)

4. Пусть Н - гильбертово пространство над полем 0 с метрикой {х>у)> ~ банахово пространство линейных ограниченных операторов Н —> Н Рассмотрим динамическую систему в Н

хп+1=Кх„> (8)

где Ап - почти периодическая последовательность операторов из [//], это означает, что семейство сдвигов Ап+т, т еО , - предкомпакт в банаховом пространстве ограниченных двусторонних последовательностей операторов Ап е [//] с нормой вирЦ^Ц.

ТЕОРЕМА 2.2. Для равномерной по начальному возмущению асимптотической устойчивости положения равновесия х = О динамической системы (8) достаточно существование почти

периодической последовательности самосопряженных операторов Г > ml, т > О, такой, что при всех п>0 выполняется неравенство

л;гп+1А„-г„< О

и хотя бы при одном п > О оператор в левой части был равномерно отрицателен

Теорема 2 2 вытекает из теоремы 2 1 Поясним это для частного случая Гп=1 для равномерной по начальному возмущению асимптотической устойчивости положения равновесия х = О системы (8) достаточно, чтобы при всех п> О выполнялось неравенство ||Лл||<1 и хотя бы при одном п > 0 оно было строгим Положим

v(x) = (х,х), тогда v(x,n) = ((Л*Л„ - , v0(r) = г2

при любом г > 0 При указанных условиях на Ля имеем v < 0, при п> 1 хотя бы одно из чисел vn(r) < г2, тем самым выполнены условия теоремы 2 1

Третья глава посвящена реализации пункта 3) указанной схемы

1. Рассмотрим динамическую систему л: = f(x,t) в банаховом фазовом пространстве Е, с правой частью / Е х □ —»Е Будем предполагать

1) f{x,t) удовлетворяет условию Липшица по х,

2) f{x,t) почти периодична по t;

3)/(0,0 = 0.

Почти периодичность f(x,t) означает, существование для каждой пары (В,е), где В - шар в Е, е>0, такого числа />0, что любой отрезок длины / на оси содержит хотя бы один (В,е) - почти период Г е □ функции f(x,t)

Из результатов работы Хьюит Э, Росс К Абстрактный гармонический анализ, следует однозначная разрешимость задачи Коши для системы х = f(x,t) в классе гладких в топологии Е функций x(i) □ —» Е Пусть U(?,г) - разрешающий оператор системы х = f{x,t)

ТЕОРЕМА 3.1. (П-свойство разрешающего оператора почти периодической системы Х = f(x,t)) При указанных условиях для любой четверки {t,T,£,r), где t,T б □ , Е,г > 0, существует такое число

l = l(t-r,£,r)>0,

что любой отрезок длины I на оси содержит хотя бы одно число Т е □ со свойством

|£/(г + Т,т + Т)х- t/(i,r)x| < sL~l (ei|H -1) (|x| < r),

где Z, - постоянная Липшица

СЛЕДСТВИЕ 1. В условиях теоремы 3 1 при любом t0 > 0 функция Ф ' Е х □ —> Е, определяемая равенством

4>(x,t) = U(t + t0,t)x,

почти периодична по t.

Отсюда с учетом критерия компактности Бохнера для почти периодических функций непрерывного и дискретного аргументов вытекает СЛЕДСТВИЕ 2. В условиях теоремы 3 1 при любом /0 > 0 функция

<р(х,п) = £/((« + l)i0,n/0 )х, почти периодична по п

2. Производной функции v(x) :£—>[] в точке х0 будем называть элемент v'(x0) пространства Е* такой, что

v(x0 + К) = v(x0) + {v'(x0),/i) + o(\h\) {h 0),

где - значение функционала v' на элементе he Е Будем называть

функцию v(x) гладкой, если v'(x) определена и непрерывна в Е

Производная гладкой функции v(x) вдоль траекторий динамической системы х = f(x,t) дается формулой

v(x,t) = {v'(x),f(x,t)) (9)

3. Будем кратко говорить, что функция œ(s) принадлежит классу fi,если

1) vj(s) определена и непрерывна на [0,°о),

2) zp(s) не убывает,

3) ет(0) = 0, ar(s) > 0 при j > 0.

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть для динамической системы х = f(x,t) в банаховом пространстве Е с правой частью, удовлетворяющей условиям 1)-3)п 1, существует гладкая функция v(x) :Е со свойствами

1 °) v(0) = 0, у(лг) > й7, (|х|) при некоторой ггт, е Q,

2°) v'(x) локально ограниченна,

3°) производная (9) функции v(x) вдоль траекторий системы

х = /(х,/) неположительна v < 0,

4°) хотя бы при одном t > 0 имеет место неравенство

v(x,t ) < — ет"2 Cj^J) ПРИ некоторой йг2 б ÎÎ

Тогда положение равновесия х = 0 системы х = f(x,t) асимптотически устойчиво равномерно по начальному условию

Доказательство проводится сведением к разностной теореме 2 1 по схеме 3) с использованием П-свойства оператора U(t,r)

4. Рассмотрим в гильбертовом пространстве H систему х = A(t)x с почти периодической оператор-функцией A(t) ' □ —» [//] (почти периодичность означает, что семейство сдвигов A(t + г), г е □ -предкомпакт в топологии банахова пространства ограниченных непрерывных функций □ —> [Н])

ТЕОРЕМА 3.3. Для равномерной по начальному возмущению асимптотической устойчивости положения равновесия х = 0 динамической системы х = A(t)x достаточно существование почти периодической гладкой самосопряженной оператор-функции r(t)>ml, m > 0, такой, что

Г) при всех i > 0 Г + ГА + А'Г< 0,

2") хотя бы при одном t > 0 оператор в левой части неравенства равномерно отрицателен

Доказательство проводится сведением к теореме 2 2 для системы (8) по схеме 3) Почти периодичность оператора U(t+t0,t) доказывается на

основе явной формулы для разрешающего оператора U(t,t) в виде мультипликативного интеграла от A(t)

Замечание. Утверждение теоремы 3 3 остается верным для системы х = S'A(t)S~'x, где оператор A(t) почти периодичен, S' - сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов Я Я, перестановочная с Г и Г ST(t) = r(t)S', ST(t) = r(t)S'

В заключении автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Рэму Константиновичу Романовскому за постановку задач, внимание, советы и замечания на протяжении всей работы

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Рогозин А В Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте /СМ Добровольский, А В Рогозин // Сиб мат журн -2005 -Т46,-№1 -С98-105

2 Рогозин А В Прямой метод Ляпунова для линейного почти периодического дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве/ А В Рогозин // Доклады АН ВШ РФ. - 2006, - № 1(6) -С 24-32.

3 Рогозин А В Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем в банаховом пространстве / А В Рогозин, Р К Романовский // Доклады АН ВШ РФ. - 2005, - № 2(5) - С 14-19

4 Рогозин А В Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве с почти периодическим оператором / AB Рогозин // Материалы V Международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин", (Омск, 16-18 ноября, 2004 г ), - Омск 2004 - С 322-324

5 Рогозин А В Об устойчивости решений почти периодических систем в банаховом пространстве / А В Рогозин, Р.К Романовский // Тез докл Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, (Суздаль 1-6 июля, 2004 г) - Владимир, 2004 - С 15-18

6. Рогозин А В Об одном применении теории банаховых алгебр к теории устойчивости / А В Рогозин // Тез докл Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, (Суздаль 10-15 июля, 2006 г) - Владимир, 2006 - С 184-186 7 Рогозин А В Задача Коши для телеграфного уравнения с периодически подключаемым малым трением / AB Рогозин // Материалы VI Международной научно-технической конференции "Динамика систем,

механизмов и машин", (Омск 13-15 ноября 2007 г), - Омск 2007 -С.73-74

Работа [1] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ

Подписано в печать 29 04 08 Формат 60x84/16 Уел печ л 0,93 Тираж 80 экз Заказ 868

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, г Воронеж, ул Пушкинская, 3

Введение.

ГЛАВА1. Устойчивость решений почти периодической разностной системы на компакте

§ 1.1. Почти периодические последовательности в хаусдорфовом топологическом пространстве.

§ 1.2. Формулировка признака асимптотической устойчивости

§ 1.3. Вспомогательные леммы.

§ 1.4. Доказательство признака асимптотической устойчивости.

Глава 2. Устойчивость почти периодических разностных систем в метрическом пространстве

§ 2.1. Некоторые сведения из теории банаховых алгебр.

§ 2.2. Признак равномерной по начальному возмущению асимптотической устойчивости.

§ 2.3. Частный случай.

Глава 3. Устойчивость решений почти периодических дифференциальных уравнений в банаховом и гильбертовом пространствах

§3.1. Предварительные сведения.

§3.2. П - свойство разрешающего оператора почти периодического уравнения (3.1).

§3.3. Признак асимптотической устойчивости для почти периодического уравнения (3.1) в банаховом пространстве.

§3.4. Формулировка признака асимптотической устойчивости линейного почти периодического дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве.

§3.5. Вспомогательные леммы.

§3.6. Доказательство признака асимптотической устойчивости для уравнения (3.13).

§3.7. Пример.

1. Задачи теории колебаний, теории автоматического управления систематически приводят к проблеме расчета на устойчивость динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. Если в частном случае периодических систем развиты эффективные метода анализа устойчивости и на этой основе решен ряд прикладных задач [1-22], то здесь известные до последнего времени результаты относятся главным образом к системам с малым параметром [23-35]; вместе с тем возникающие в приложениях динамические системы в ряде случаев не вкладываются в схему метода малого параметра.

Некоторое продвижение в этой области произошло в последние 15 лет. В цикле работ [36-40, 46] показано, что известная процедура анализа устойчивости динамических систем с дискретным и непрерывным временем общего вида, связанная с использованием функций Ляпунова, существенно упрощается на подклассе почти периодических систем. При этом в выполняемых построениях использована конечномерность фазового пространства. В работах [42-45], где эти результаты перенесены на системы с запаздыванием, некомпактность единичной сферы в пространстве начальных данных компенсируется компактностью индивидуальных ограниченных траекторий.

2. Основной целью диссертационной работы является распространение результатов конечномерных работ [36-40] на почти периодические системы с дискретным временем в бесконечномерном фазовом пространстве. Получены приложения к динамическим системам с непрерывным временем.

3. В основе выполняемых в работе построений лежит следующая схема.

1) Вначале рассматривается динамическая система хп+1=/п(хп) (0.1) с почти периодической по дискретному времени правой частью на произвольном топологическом компакте. Доказан достаточный признак асимптотической устойчивости с ослабленным условием на разностную производную функции Ляпунова Уп(х) вдоль траекторий системы (0.1), определяемую равенством х))-^*). (0.2)

11) Исследование устойчивости положения равновесия г0 динамической системы (0.1) в метрическом пространстве проводится в два этапа. а) Выполняется надлежаще выбранная компактификация инвариантной окрестности положения равновесия г0 (такая окрестность существует вследствие условия т)я < 0), динамическая система (0.1) и функция Ляпунова уДх) продолжаются по непрерывности на построенный топологический компакт. На этом этапе используется аппарат банаховых алгебр. б) К расширенной системе применяется результат пункта (1). Асимптотическая устойчивость положения равновесия - образа г0 означает для исходной системы асимптотическую устойчивость г0, равномерную по начальному возмущению: существование окрестности и точки г{) такой, что для траекторий, начинающихся в этой окрестности (х0еЦ), имеет место сходимость хп —> г0 равномерно по х0. iii) Приложения полученных результатов к динамическим почти периодическим системам с непрерывным временем jc = fix, t) в банаховом пространстве Е основаны на следующем наблюдении. Пусть U(t,t) - разрешающий оператор системы. Справедливо утверждение: последовательность функций fn (х) = U{n +1, п)х, пе Z, (0.3) почти периодична по п. Это позволяет привести анализ устойчивости динамической системы х = f(x, t) к анализу устойчивости системы (0.1) с правой частью (0.3).

Диссертация состоит из введения, 3-х глав и списка литературы. 4. Глава 1 посвящена реализации пункта (i) указанной схемы. 4.1. Пусть К - компакт. Обозначим X множество всех непрерывных функций f{x)К —» К, С (К) - множество всех непрерывных

1. Floquet G. Sur les équations différentielles linéaires a coefficients périodiques // Ann. Sci. de l'Ecole. Norm. Sup. 1883. V. 12(2). P. 4789.

2. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1956. Т.2. С.7-263.

3. Poincaré H. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique // Acta Math. 1890. V.13. P.5-270.

4. Крейн М.Г., Далецкий 10.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

5. Якубович В.А., Старжинский В.Ad. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

6. Якубович В.А., Старлсинский В.A4. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987.

7. Кучмгнт П.А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных. // УМН. 1982. Т.37. №4. С.3-52.

8. Halanay A. Differential equations: stability, oscillstions, timelags. New York —London: Acad. Press, 1966.

9. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

10. Солдатов М.А. О свойствах решений линейных дифференциально-разностных уравнений // Сиб. матем. журнал. 1967. Т.8. №3. С.669-679.

11. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов A.C., Родкина А.Е., Садовский E.Ii. Теория уравнений нейтрального типа / Математический анализ, Т. 19. М.: ВИНИТИ, 1982. С.55-126.

12. Германович О.П. Линейные периодические уравнения нейтрального типа и их приложения. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1986.

13. Lillo J.C. First order periodic differential difference equations // J. Math. Anal. And Appl. 1979. V.70. №2. P.389-398.

14. Кулеско ILA. О полноте системы решений Флоке уравнений нейтрального типа // Матеем. Заметки. 1968. Т.З. №4. С.297-306.

15. Кулеско H.A., Левин Б.Я. О полноте решений Флоке для 1ифференциальных уравнений второго порядка с отклоняющимся аргументом// Сиб. матем. журнал. 1977. Т.18. №2. С. 321-326.

16. Колесое А.Ю., Колесое Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии / РАН. Труды Матем. ин-та им.B.А. Стеклова. CXCIX. М.: Наука, 1993.

17. Кубышкин Е.П. Параметрический резонанс в линейных периодических системах с последействием / Исследования по устойчивости и теории колебании. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1978.C.34-68.

18. Романовский Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими к оэффициентами // Методы функционального анализа в задачах математической физики. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1987. С.47-52.

19. Романовская A.M. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем второго порядка с периодическими коэффициентами // Известия вузов. Математика. 1987. №7. С. 4448.

20. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

21. Дергузов В.И. Об устойчивости решений уравнений Гамильтона с неограниченными периодическими коэффициентами // Матем. сборник. 1964. Т.63. №4. С. 591-619.

22. Дергузое В. И. Достаточные условия устойчивости гамильтоновых уравнений с неограниченными периодическими коэффициентами // Матем. сборник (новая серия). 1964. Т.64. №3. С. 411-435.

23. Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейны уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Матем. сборник (новая серия). 1946. Т. 19. №2.

24. Боголюбов H.H., Мшпропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

25. Мшпропольский Ю.А., Самойленко A.M., Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами. Киев: Наукова думка, 1984.

26. Фомин В.И. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972.

27. Бурд В.Ш. Бифуркация почти периодических колебаний дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа с быстрым и медленным временем / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1976. С.143-153.

28. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

29. Колесов Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1977. С.82-141.

30. Бибиков 10.Н. Квазипериодпчсские возмущения осциллятора с кубической восстанавливающей силой // Дифференц. Уравнения. 1996. Т.32. №12. С. 1593-1598.

31. Более в КГ., Первак В.Д. Об одном методе исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с частными производными и квазипериодическими коэффициентами // ДАН УССР. Сер. А. 1975. Т.15. С.391-394.

32. Еругин II.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

33. Игнатьев A.C. Об устойчивости почти периодических систем относительно части переменных // Дифференц. Уравнения. 1989. Т.25. №8. С.1446-1448.

34. Кубышкын Е.П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1978. С.110-117.

35. Чаплыгин В.Ф. Экспоненциальная дихотомия решений линейных почти периодических уравнений с последействием с медленным временем / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1975.

36. Добровольский С.М., Котюргина A.C., Романовский Р.К. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей.//Мат. заметки. 1992.Т.52,№ 6.10-14

37. Добровольский С.М., Романовский Р.К. Метод функции Ляпунова для почти периодических систем // Мат. заметки. 1997. Т.62, № 1. С.151-153

38. Кириченова О.В., Котюргина A.C., Романовский Р.К. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений спочти периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1996.Т.37,№1.С.170-174

39. Кириченова О.В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений // Сиб. мат. журн. 1998.Т.39,№1.С.45-48

40. Романовский Р.К., Алексеико Н.В., Добровольский С.М., Кириченова О.В. Прямой метод Ляпунова для уравнении с почти периодическим коэффициентами. Омск.: Изд-во ОмГТУ, 2001. 80 с.

41. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические фупкцпи и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1995. -204 с.

42. Алексенко Н.В. Устойчивость решений почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа // Изв. вузов. Математика. 2000. №2.С. 3-6.

43. Алексенко КВ., Романовский Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами //Дифференц. уравнения. 2001.Т.37.С.147-153.

44. Романовский Р.К, Троценко Г.А. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтральноготипа с почти периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2003.Т.44, № 2.С.444-453.

45. TpoijeHKo Г.А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Изв. вузов. Математика. 2003. № 6.

46. Игнатьев А.О. Об устойчивости нулевого решения почти периодической системы разностных уравнений //Дпфференц. уравнения. 2004.Т.40. №1. С.98-103.

47. Гсшелин Т.В. Равномерные алгебры. М.: Мир, 1973.

48. Хыошп Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ, Т.1.М.: Наука, 1975.

49. Халапай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир, 1971. 309 с

50. Энгелькинг Р. Общая топология Москва. "Мир"- 1986.

51. Барбаишн Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

52. Крейн М.Г., Рушманн М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. // УМН, ТЗ №1(23), 1948. СЗ-95.

53. Добровольский С.М., Рогозин A.B. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте // Сиб. мат. журн. 2005.Т.46, № 1. С.98-105.

54. Рогозин A.B. Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве с почти периодическим оператором // Доклады АН ВШ РФ. 2006, -№1(6).-С. 24-32.

55. Рогозин A.B., Романовский Р.К. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем в банаховом пространстве// Доклады АН ВШ РФ. 2005 № 2(5). С.65-72.

56. Добровольский С.М., Рогозин A.B. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте // Доклады АН ВШ РФ. 2004, № 1. С.14-19.

57. Рогозин A.B. Задача Коши для телеграфного уравнения с периодически подключаемым малым трением / Материалы VI международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин", (Омск 13-15 ноября 2007г.), -Омск. 2007 С.73-74.