Бифуркационные процессы и хаотические колебания в цепочках связанных осцилляторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

003467540

На правах рукописи

Глызин Сергей Дмитриевич

БИФУРКАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ И ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦЕПОЧКАХ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

автореферат диссертации на соискание ученой степени

Москва - 2009

003467540

Работа выполнена в им. П.Г. Демидова.

Ярославском государственном университете

Научный консультант: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

д.ф.-м.н., проф. Л.10. Колосов (ЯрГУ)

д.ф.-м.н., проф. В.Н. Белых (ВГАВТ) д.ф.-м.н., проф. Г.Г. Малинецкий (ИПМ РАН) д.ф.-м.н., проф. В.А. Соболев (СамГУ)

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится -/У- . 2009 г. в 15:00 на заседании диссер-

тационного совета Д 212.130.09 при Московском инженерно-физическом институте (государственном университете) по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, д. 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского инженерно-физического института.

Автореферат разослан "/(" <ЪлС>0*1 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор

Леонов A.C.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В диссертационной работе рассматриваются бифуркационные сценарии, возникающие в цепочках связанных близких осцилляторов. Объект исследований имеет, с одной стороны, самостоятельную ценность, поскольку может описывать различные прикладные задачи, связанные со взаимодействием колебательных систем различной природы, с другой стороны, системы диффузионно связанных осцилляторов являются удачной моделью для ряда краевых задач параболического и гиперболического типа. Являясь по сравнению с этими задачами существенно более простым объектом, цепочки нелинейных автоколебательных систем сохраняют их наиболее важные динамические свойства. С этой точки зрения особое значение имеет задача «реакция-диффузия», представляющая собой эволюционное уравнение, в котором пространственно-временные изменения изучаемой переменной обусловлены диффузией по пространственной переменной и нелинейным, обычно колебательным, поведением по времени. Ряд важных моделей биологии и физики сводится именно к уравнению типа «реакция-диффузия». При решении этих задач часто возникают существенные трудности вычислительного характера, в связи с чем требуется предварительный асимптотический анализ, который иногда позволяет определить качественную структуру пространства состояний изучаемых динамических систем и возможные фазовые перестройки при изменении параметров. Один из возможных методов изучения качественного поведения решений задачи типа «реакция-диффузия» состоит в замене соответствующих уравнений в частных производных системами связанных осцилляторов.

Цель работы

Целью предпринятых автором исследований являлось выяснение совместной динамики цепочек связанных осцилляторов и эффектов, сопутствующих фазовым перестройкам, при изменении бифуркационного параметра.

Для достижения поставленной цели автором выполнялся локальный асимптотический анализ, позволяющий свести исследуемую систему к нормальной в случае конечномерного и квазинормальной в случае бесконечномерного вырождения форме. Поскольку область действия асимптотических формул ограничена как по области фазового пространства, так и по границам изменения бифуркационного параметра, оказывается уместным при-

менение численных методов. Именно удачное сочетание асимптотических и численных методов позволило в ряде случаев понять природу происходящих с динамической системой фазовых перестроек.

Основные результаты. Научная новизна

1. Построена и проанализирована нормальная форма для двух диффузионно связанных колебательных систем. Определены сценарии фазовых перестроек. Впервые получены условия возникновения и потери устойчивости неоднородных автомодельных циклов и торов данной системы. Найдены условия реализации квазифейгенбаумовского бифуркационного сценария, в котором переход от одного самосимметричного цикла к другому циклу условно двойного периода происходит через каскад бифуркаций потери симметрии, стандартных удвоений периода, возникновений и исчезновений хаотических аттракторов.

2. В целях повышения точности и надежности вычисления ляпуновских экспонент разработан и обоснован новый вариант алгоритма Беннети-на (метод динамических перенормировок) для их определения.

3. Для трех однонаправленно связанных в кольцо осцилляторов показан способ построения системы с хаотическим аттрактором. Подробно разобран один радиофизический пример. Установлены границы применимости асимптотических методов.

4. Для цепочки диффузионно слабо связанных колебательных систем на устойчивом интегральном многообразии построена и проанализирована система разностей фаз осцилляторов. В случае, когда число осцилляторов в цепочке растет, численными методами показано, что ля-пуновская размерность аттрактора увеличивается по близкому к линейному закону. Произведен обширный численный эксперимент для разностной модели уравнения Гинзбурга - Ландау, в котором проиллюстрирован этот результат и определены границы применимости асимптотических методов.

5. Получено обобщение результатов для трех однонаправленно связанных в кольцо осцилляторов иа случай, когда парциальная колебательная система представляет собой краевую задачу гиперболического типа (обобщенное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью). Показано, что такая система может иметь сколь угодно большое число хаотических аттракторов.

6. Для цепочки диффузионно слабо связанных систем гиперболического типа обнаружен и обоснован механизм накопления хаотических аттракторов. В частности, установлено, что при изменении управляющего параметра в такой системе могут наблюдаться две принципиально различные ситуации: 1) сосуществует счетное число конечномерных хаотических аттракторов; 2) существует хаотический аттрактор бесконечной размерности.

7. Рассмотрена феноменологическая модель развития турбулентности в соответствии со сценариями Ландау и Ландау - Селла, по первому из которых возникновение турбулентного аттрактора происходит в результате каскада бифуркаций устойчивых инвариантных торов все более высоких размерностей, а во втором происходят фазовые перестройки хаотических аттракторов, ляпуновская размерность которых при подходящем изменении параметров неограниченно растет.

8. Выяснен и обоснован механизм накопления однотипных аттракторов (устойчивых предельных циклов) у слабо возмущенных динамических систем маятникового типа. С этой целью определены частичные пределы функций Мельникова на резонансных циклах.

9. Для сингулярно возмущенного логистического уравнения с двумя запаздываниями показано, что его квазинормальной формой служат краевые задачи параболического типа с кубической нелинейностью и антипериодическими краевыми условиями. Обнаружен эффект нарастания числа сосуществующих устойчивых режимов уравнения при приближении его параметра к критическому значению.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях качественного поведения нелинейных краевых задач параболического и гиперболического типа и систем дифференциально-разностных уравнений.

Материал диссертации представляет интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений, нелинейной динамики и хаоса. Работа может быть востребована во многих отечественных и международных математических центрах, где ведутся исследования, связанные с дифференциальными уравнениями и их приложениями.

Апробация результатов

Результаты диссертационной работы излагались на Международной конференции "Колебания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике". Минск, 15-20 сентября 1993; 3-й Международной конференции "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород, сентябрь 1993; XXVI Воронежской зимней математической школе. Воронеж; Int. Conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems". Moscow-Suzdal, June 12-18, 1995; на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара. 27-30 июня 1995; Международной конференции "Нелинейные дифференциальные уравнения". Киев, Август 21-27. 1995; на "Понтрягинских чтениях - VII, XV, XVI, XVII'. Воронеж. ВГУ, 1996, 2004, 2005, 2006; Конференции, посвященной 90-летию со дня рождения ак. А.Н.Тихонова. "Теория и приложения методов малого параметра". Обнинск, 2-6 июля 1996 г.; International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. ICND-96. Saratov, Russia. July 8-14, 1996; IV и V Международных конференциях "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород, 1996, 1999; Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию ЯрГУ им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2003; VI International Congress on Mathematical Modeling. Sept. 20-26, 2004, Nizhny Novgorod; Всероссийской научной конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2005; на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2006, 2008. Воронеж: ВорГУ; International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics", Moscow, June 19-25 2006; на VIII международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур", 9-14 октября 2007 г. Саратов; Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи). Самара: СамГТУ, 2008.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в более чем 30 работах, из них 17 статей в научных журналах списка ВАК и 12 тезисов докладов на международных конференциях. Все результаты совместных статей, включенные в диссертацию, получены лично автором, результаты статьи [17], принадлежащие научному консультанту Колесову А.Ю. и Розову Н.Х., приведены в целях связности изложения, что специально оговорено в тексте диссертации.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы (157 наименований) и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 272 страницы.

Общая схема работы такова: сначала изучается система из минимально возможного числа (двух) осцилляторов. Причем для формулировки строгих результатов предполагается, что каждый из осцилляторов находится вблизи бифуркации Андронова - Хопфа, а связь между ними слабая. На основе полученных асимптотических формул делаются выводы о поведении решений нескольких конкретных систем из нейродинамики, а затем численными методами устанавливаются границы применимости этих асимптотик. Затем изучается поведение большего числа осцилляторов. Речь идет о трех однона-правленно связанных в кольцо колебательных системах. Далее рассматривается уже сколь угодно большое число диффузионно связанных осцилляторов, в случае когда их амплитуды близки, а общее поведение описывается системой дифференциальных уравнений для разностей фаз. В этой ситуации обнаруживается явление, составляющее один из главных результатов работы: ляпуновская размерность аттрактора соответствующей системы монотонно растет по почти линейному закону с ростом числа осцилляторов. В последних частях работы рассмотрены в одном случае краевые задачи гиперболического типа, которые при разложении по модам дают счетную систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений, а в другом — сингулярно возмущенное уравнение с двумя запаздываниями, также сводящееся, в конечном итоге, к модельной системе из счетного числа осцилляторов. Для того, чтобы показать, что сложность поведения решений динамической системы не обязательно является результатом взаимодействия большого числа осцилляторов, в работе рассмотрены несколько моделей с полутора степенями свободы и показано наличие у них явления мультиста-бильности и буферности.

Содержание работы

Во введении описана постановка задачи, а также кратко изложено содержание диссертации по главам. Указаны цели диссертации, основные методы исследования, актуальность и научная новизна результатов. Кроме того, описан применяемый в работе для численного анализа метод динамической перенормировки.

Коротко остановимся на источниках происхождения задач о связанных осцилляторах и соответственно на актуальности темы исследований. Сразу отметим довольно большое число моделей такого рода, возникающих как результат изучения взаимодействующих механических, электрических, биологических систем (см. [1-4]). Одним из характерных примеров, особенно активно изучаемых в последнее время, является задача о взаимодействии нервных клеток, на решение которой в значительной мере направлены усилия в области нейродинамики (см. [5,6]). С другой стороны, источником систем диффузионно взаимодействующих осцилляторов являются различные краевые задачи, в частности краевая задача типа "реакция-диффузия", которая представляет собой важный объект исследований в проблеме изучения механизмов пространственно-временных флуктуаций в моделях биологических и физических систем. Выпишем эту задачу в простейшем случае

ди „д2и . , , . . ди

х=0

ди дх

= 0, (1)

Г=1

когда областью изменения пространственной переменной является отрезок [0,1], а вектор-функция «(£, х) € Л2. Будем считать, что чисто мнимому собственному числу гш матрицы Ао соответствует собственный вектор а, а собственному числу — ш сопряженной матрицы А*: — собственный вектор Ь, причем (а,Ь)=1. Предположим, что В = сНай-^ь ¿2}, ¿1,^2 > 0, ¿1 + ^2 = 1, Г(и) = F2(и,и) + Р3(и,и,и) + 0(||«||4), где вектор-функции линейны

по каждому аргументу, 0<£<1- малый параметр. Вещественную часть первой ляпуновской величины, вычисленной при е = 0,

¿о + гшсо =(Г3(о, а, а) + Fз(a, о, а) + Р3(а, а, о)+ .

+ Г2(о, -Ь а) + а) + Р2(а, г^), 6),

где Уо = — ^д1 (^2(0, а) + ^(а, а)) , ь\ = (2шЕ — Ао)_^г(а, а), полагаем отрицательной, а матрицу А\ такой, что пара собственных чисел матрицы Аа+еА\ переходит при с > 0 в правую комплексную полуплоскость. Условия

Ее(Лха, Ь) > 0 и ¿0 < 0 (3)

обеспечивают существование пространственно однородных периодических режимов краевой задачи (1), которые устойчивы при достаточно большом v. Важной задачей при изучении структуры распределенных устойчивых решений задачи (1) является проблема определения характера потери устойчивости пространственно однородного решения и исследование ветвящихся при этом режимов. Непосредственный анализ краевой задачи (1) приводит к серьезным трудностям, поэтому имеет смысл рассмотреть упрощенную

модель, которая бы сохраняла существенные свойства исходной краевой задачи. В этом смысле не до конца исследованными остаются разностные аппроксимации по пространственным переменным, простейшие из которых мы и рассмотрим. Заменим в краевой задаче (1) оператор дифференцирования по пространственной переменной разностным так, что

ди'

= иПЫ2^-! - 2щ + щ+1) + (А0 + еАг)ъ + ¿Хи;), (4)

узлы аппроксимации выберем в точках X] — {] — 1/2)/Аг, (] = \... И). Краевые условия заменим на

щ — щ, их = идг+1 ■ (5)

Таким образом, получена система связанных идентичных друг другу осцилляторов с диффузионной связью. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (4), (5) является в данной работе одним из основных объектов исследования. Важным обобщением данной системы является задача о диффузионном взаимодействии колебательных систем с бесконечномерным фазовым пространством. В этом случае система обыкновенных дифференциальных уравнений для парциального осциллятора из (4) заменяется краевой задачей или уравнением с запаздыванием. В случае когда эта краевая задача имеет единственный аттрактор (например, цикл или тор), ее исследование, как правило, не значительно отличается от исследования задачи (4), (5). Однако каждая из таких парциальных задач может иметь большое, даже счетное число аттракторов. Динамические свойства диффузионно связанных колебательных систем, у каждой из которых имеется несколько аттракторов, также являются одним из объектов исследования работы.

Глава 1. Диффузионное взаимодействие двух близких осцилляторов

Изучение связанных динамических систем колебательного типа естественно начинать с простейшего случая, когда таких систем только две. В связи с этим первая глава работы посвящена динамике слабого диффузионного взаимодействия пары идентичных нелинейных динамических систем, каждая из которых имеет устойчивый предельный цикл, возникающий в результате бифуркации Андронова - Хопфа. Использование метода нормальных форм позволяет проследить за фазовыми перестройками совокупной динамической системы при изменениях коэффициента диффузии. Оказалось, что общий сценарий таких перестроек существенно меняется при изменении первой ляпуновской величины, определяющей характеристики

периодических синхронных колебаний. На плоскости параметров динамической системы выделены области значений с различными сценариями фазовых перестроек, в частности, найдена область, в которой нормализованная динамическая система имеет каскад бифуркаций хаотических аттракторов. Следует сразу отметить, что доказательство утверждения о соответствии между решениями исходной и нормализованной систем удается получить лишь для грубых циклов и торов и при достаточно малой надкритичности. В случае, когда надкритичность велика или нормализованная система имеет хаотические аттракторы, необходим численный анализ. Во втором разделе данной главы описаны результаты численного эксперимента, выполненного для системы из двух уравнений с запаздыванием из нейродинамики.

Рассмотрим систему (4)-(5) в простейшем случае N = 2, тогда приходим к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

где 4Б обозначено снова £>, а г/ = е. Система (6) соответствует разбиению отрезка изменения х на две части. Понятно, что система (6), так же как и система (4)-(5), для других разбиений имеет важное самостоятельное значение, поскольку описывает взаимодействие двух или большего числа слабо связанных осцилляторов. Нормализация системы (6) позволяет выделить амплитудные и фазовые переменные и исследовать характер потери устойчивости пространственно однородного (синхронного «1(£) = иг СО) периодического решения. Наша цель состоит в выделении параметров, определяющих динамику (6), и исследовании областей бифуркаций циклов, торов и странных аттракторов этой системы.

В соответствии со стандартным алгоритмом нормализации (см., например, [7,8,30]) система (6) с помощью замены

в) = в) + Й) + £3/2и2;(£, в) +..., j = 1,2, 5 = е£, (7)

где М(у(*) 8) = ехр (¿иехр (—ш£)а, а иу(£, в) и я) — 27г/ш-периодические по £ функции, может быть сведена к системе для медленно меняющихся комплексных амплитуд ^(в) и ^(з).

которая представляет собой нормальную форму системы (6) с отброшенными членами более высокого по с порядка малости. В системе (8) штрихом обозначена производная функций Zj(s) по 5, а коэффициент йа + гсо при кубической нелинейности задается формулой (2). Считаем, что выполнено

¿1 = £О(и2-и1) + (А0 + еА1)щ +Р(иг), й2 = еП(щ - и2) + (А0 + еЛ^иг + Р{и2),

(6)

г[ = (А1а,Ь)21 + (сго + гсо)|г1|221 + (Г)а,Ь)(22-г1), 4 = (Л]в, Ь)г2 + (¿о + гсо)\г2\2г2 + (Оа,Ь)(гг - г2),

(8)

условие (3). Это гарантирует возникновение у каждой парциальной системы (6) в результате бифуркации Андронова - Хопфа орбитально асимптотически устойчивого цикла.

Будем называть автомодельным циклом системы (8) ее периодическое решение вида ^ = ¿о ехр{^з) ^^^ (9)

где г® £ С, ] = 1,2 и а € К - некоторые постоянные. В свою очередь двумерным автомодельным тором системы (8) будем называть ее квазипериодическое решение вида

ф) = 2®(5) ехр(г<75), 7 = 1,2, (10)

где а - вещественная постоянная, а комплекснозначные функции г^в), ] = 1,2 периодичны по я с некоторым периодом То > 0. Предполагаем, что решение (10) не приводится к виду (9).

Для автомодельных циклов и торов системы (8) выполнена следующая стандартная теорема о соответствии

Теорема 1. Предположим, что система (8) имеет некоторый автомодельный цикл (тор), экспоненциально орбитально устойчивый или дихо-томичный. Тогда найдется такое достаточно малое £о > 0, что при всех 0 < е ^ £о исходная система (6) имеет цикл (двумерный инвариантный тор) с теми же свойствами устойчивости, асимптотика которого задается формулами (7) с учетом равенств (9) или (10) соответственно.

С помощью нормирующих замен = (—Ке(А1а,Ь)/с1о)1^(з)е'Т'^, 11е(Л1а, 6)й -> 5 от системы (8) может быть отщеплена трехмерная система относительно амплитуд и разности фаз а = — т\

й = соз(а - ¿) + (1 - хсоэ 5-Ф&,

а — —х

у- зш(а + 5) + зт(а — 6) а 6

(И)

+ 48-

где х=\(Ба, Ь)|/Г1е(Л1а, 6), <5= а^((£>а, Ь)),Ьо^со/йо-

Рассмотрим поведение системы (11) при фиксированных <5, Ьо и изменении параметра связи х. На плоскости параметров 6 и Ьо будем рассматривать лишь полосу —7г/2 ^ £ ^ 0, поскольку вне ее состояние равновесия (1,1,0)г оказывается неустойчивым при достаточно больших к. В этой полосе можно выделить две области с принципиально разными сценариями качественных перестроек динамической системы (11). На рис. 1 эти области разделяет кривая с номером семь. Сценарии фазовых перестроек проиллюстрируем на примере двух типичных случаев, при которых реализуются соответственно первый и второй из них, а затем опишем кривые, построенные на рис. 1.

bo

Теорема 2. Пусть в системе (11) S = — arctg(7r/2), bo — (тг + б)/(Зтг — 2) fвыполнено для системы диффузионно слабо связанных уравнений Хатчинсона, соответствующая точка отмечена на рис. 1 кружком), тогда в ней при уменьшении к происходят следующие фазовые перестройки:

1. При значениях параметра и > л^д и 0.931 глобально устойчивым является единственное состояние равновесия (1,1,О)2* (соответствует синхронному периодическому режиму у исходной системы), а при ус < лг^д к нему добавляется неустойчивое состояние равновесия (£*,£*, т)7 (соответствует колебаниям в противофазе у исходной системы).

2. При уменьшении я до значения к = к ас й 0.544 из "воздуха" рождаются еще два устойчивых состояния равновесия - точки А = (£j, aî)T и В = fêiiîi—aî)'r> > £|>0 < а1 < 7г/2, и два неустойчивых — С = (iJÎ,f?2,a2)T uD = (rj2,»jî, —:«г)7) VÎ > < «г < тт/2, кро.ме того 4Î > fîiS > Ti2 (соответствуют не синхронизированным периодическим режимам у исходной системы). Состояния равновесия А и В устойчивы, при уменьшении параметра ус вплоть до значения xq ~ 0.524.

3. При к — не состояния А и В теряют устойчивость с рождением устойчивых циклов С а и Сц (бифуркация Андронова-Хопфа). (Этим циклам системы (11) соответствуют не синхронизированные квазипериодические колебания системы (6).^

4- При х = Хкр « 0.5015 (критическое для пространственно однородных режимов значение) неустойчивые неподвижные точки С и D сливаются с однородным состоянием равновесия и отбирают его устойчивость.

5. При дальнейшем уменьшении х устойчивые циклы С а и Сц, родившиеся из точек А и В, увеличиваются в размерах до тех пор, пока при х — х$ ~ 0.481 не сомкнутся в точке (1,1,0)г. В результате происходит объединение пары циклов в один Сц, который остается устойчивым вплоть до значения х = х^^ и 0.429.

6. При х = х-хз ~ 0.466 от неустойчивого состояния равновесия (£*, £*, 7г)г в результате бифуркации Андронова-Хопфа ответвляется неустойчивый цикл Сц, который при х = х^з сливается с устойчивым циклом Сц и исчезает.

7. При лг^з > х > 0 система имеет единственное, глобально устойчивое состояние равновесия (£*, -к)Т, соответствующее колебаниям в противофазе системы (6).

Формулы для определения величин и бифуркацион-

ных значений х даны в п. 1.1.2 диссертации. Для значений 6,Ьо, расположенных между кривыми, отмеченными числами семь и единицей, не происходит существенных изменений в вышеизложенном сценарии. Лишь для точек плоскости, лежащих выше кривой, отмеченной числом 5, последняя из описанных бифуркаций упрощается: устойчивый цикл не аннигилирует с неустойчивым, а стягивается при х — х^р. в состояние равновесия Кроме того, для точек области, расположенных выше кривой, отмеченной четверкой, при потере устойчивости однородного состояния равновесия (1,1,0)т от него ответвляются устойчивые неподвижные точки А и В, а докритических устойчивых режимов не существует.

Теорема 3. Пусть параметры системы, (11) принимают значения 5 = —7г/3 и Ьо = 10 (соответствующая точка отмечена на рис. 1 звездочкой), тогда выполнены следующие утверждения:

1. При х > хкр и 8.16 однородное состояние равновесия (1,1,0)Т -глобально устойчиво, докритических режимов нет.

2. Уменьшение х приводит к ответвлению при х = хкр пары состояний равновесия А и В, наследующих устойчивость однородного режима.

3. При хкр < х < ~ 2.059 состояния равновесия А и В остаются единственными устойчивыми режимами системы.

4. При х = х$ ~ 2.898 сепаратрисы, выходящие из седлового однородного состояния равновесия (1,1,0)г, возвращаются в него, образуя две симметричные петли, из которых при дальнейшем уменьшении х рождается пара неустойчивых симметричных циклов С а и Сц-

5. При х — ха,1 неустойчивые направления седлового однородного состояния равновесия попадают па устойчивые многообразия неустойчивых

предельных циклов С а и С в■ Отметим, что состояния равновесия А и В остаются по-прежнему устойчивыми.

6. При х < колебания становятся неупорядоченными, рождается странный аттрактор.

7. При х — не ~ 1.94 неподвижные точки А и В теряют устойчивость в результате обратной бифуркации Андропова-Хопфа: в них стягиваются неустойчивые циклы С а и Св-

Бифуркации, происходящие с системой (И), при хс > х > 0 удобнее описывать при возрастающем х.

8. При 0 < х < х„}ч = 0.5 глобально устойчива точка (£*, £*, к)Т.

9. При х = хЖ2 от состояния равновесия (£*,£*, тг)7" ответвляется само симметричный устойчивый цикл Сд (бифуркация Андронова-Хопфа).

10. При х = хТ^\ состояние равновесия (£*>£*>п)Т пропадает.

11. При х = х^ и 1.4 симметрия цикла Си теряется, он расщепляется на два симметричных друг другу цикла С^, С^.

12. При х = Х11 ^ 1.4589,^2 « 1.4594... х\>со « 1.45955 с каждым из циклов С?, С[ происходит каскад бифуркаций удвоения периода. В результате при х > хх,„о имеем два симметричных странных аттрактора А[, А\. возникших по фейгенбаумовскому сценарию.

13. При х = х^ и 1.4596 пара симметричных странных аттракторов объединяется в один самосимметричный Л|, который при х = х^ рл 1.46 превращается в самосимметричный двухобходный цикл С^, условно "двойного" по сравнению с Сц периода.

Ц. При увеличении х процесс повторяется: при х — х£ ~ 1.5 теряется симметрия цикла С2, затем с каждым из пары родившихся циклов С?, С? при х = х2,\ и 1.507, х2$ ~ 1.5072... х2<00 « 1.5073 происходят бифуркации удвоения, завершающиеся рождением симметричных странных аттракторов А2, Л2 и тп.д.

Таким образом, имеем каскад бифуркаций странных аттракторов А?, А?-, А? и циклов С^С^С?, ] = 1,2... сопровождающийся усложнением их структуры. Вычислена оценка, значения ^оо ^

1.527, к которому сходятся последовательности х£, хп ос при гг —> оо.

Опишем кривые, изображенные на рис. 1. Числом один помечена кривая, для которой критическое значение хкр обращается в нуль, тем самым, для 6, Ьо ниже данной кривой однородное состояние равновесия устойчиво при всех положительных значениях х. Кривые, помеченные числами два, три и четыре, делят плоскость на области так, что между кривыми два и три, а также выше кривой четыре расположены значения 5, &о, для которых система (11) не имеет при х > хкр неоднородных состояний равнове-

сия А, В, С, D, а для значений <5, 6q из остальных областей такие состояния равновесия имеются. Далее, числом шесть на рис. 1 отмечен график зависимости &о = — ctg 25, для значений 5, Ьо выше которого состояние равновесия (CiVi^)7 теряет устойчивость колебательным образом. Кривая, отмеченная числом пять, соответствует значениям параметров, при которых вещественная часть ляпуновской величины, вычисленной в точке 7г)г при * = обращается в нуль, тем самым, при значениях S, Ь0 выше этой кривой происходит рождение устойчивого цикла {х > лт^). а ниже кривой -неустойчивого (х < у-,2)- В свою очередь, кривая с номером семь представляет значения параметров, при которых вычисленная уже для симметричных состояний равновесия А и В, при критических значениях параметра у ~ у-с вещественная часть ляпуновской величины обращается в нуль. При этом для значений 5, Lq ниже этой кривой потеря устойчивости состояний равновесия А и В происходит мягко с рождением устойчивых циклов Сд и Св (Ж ус)-, а выше кривой — жестко. В последнем случае при я > кс в данные состояния равновесия стягиваются неустойчивые циклы.

Основной результат данной главы состоит в том, что кривая с номером семь на рис. 1 разделяет области параметров, соответствующие хаотическому и нехаотическому сценариям фазовых перестроек, а верхние ветви кривых с номерами шесть и семь выделяют область хаотического сценария с квазифейгснбаумовским каскадом бифуркаций хаотических аттракторов, описанных в теореме 3.

Во втором разделе первой главы рассмотрена задача слабого диффузионного взаимодействия пары одинаковых осцилляторов из нейродинамики

Щ = А [ - 1 - п схр(-и^) + т-2 exp(-Ui(i - 1))]щ + D(u2 - щ),

й2 = А[ - 1 - rjexpf-uj) +r2exp(-U2(t- 1))]«2 + D{щ - u2).

Здесь характеризующий связь нейронов между собой коэффициент D > О мал. На основе построений первого раздела выполняется локальный асимптотический анализ данной задачи, а затем с помощью численного анализа системы (12) устанавливается, что в широкой области значений параметров локальные фазовые перестройки происходят в соответствии с фазовыми перестройками нормальной формы.

Глава 2. Нерегулярные колебания в цепочках из трех однонаправ-ленно связанных осцилляторов

Во второй главе рассматривается система из трех однонаправленно связанных в кольцо осцилляторов, каждый из которых моделируется некото-

рой нелилейной системой обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений с единственным аттрактором - положением равновесия или циклом. Удается показать, что эти генераторы при подходящем выборе параметров могут демонстрировать совместное хаотическое поведение. В первой части главы рассмотрена система осцилляторов, моделями которых служат обыкновенные дифференциальные, а во второй части — разностные уравнения. По результатам проведенных исследований может быть предложен простой и эффективный способ создания генераторов хаотических колебаний. Реализуемость общей идеи проектирования кольцевых хаотических генераторов проиллюстрируем на примере системы

iij + eùj + щ + fig{u^i) = f(uj,ùj), j - 1,2,3, u0 = u3, (13)

где e - малый по модулю параметр произвольного знака, тейлоровское разложение в нуле функции f(u, v) £ С00 имеет вид

f(u, v) = aiu2 + a,2iiv -I- a3v2 + Ьги3 + biU^v -f b3uv2 -f b^v3 4-..., (14)

функция связи g(u) G С100 такова, что <?(0) = 0, g'(0) = 1, g(u) -4 0 при |u| —> oo (смысл последнего требования в том, что связь должна гасить излишне интенсивные сигналы). Что же касается параметра ц > 0, то его считаем хотя и малым, но подчиненным соотношению:

Н<1, где1/ = е/р. (15)

Основное предположение относительно нелинейности /(и, v) состоит в отрицательности вещественной части комплексной ляпуновской величины, отвечающей нулевому состоянию равновесия каждого из взаимодействующих осцилляторов при е — О

1 г

d = 2 (°2(ai + аз) + + 364) - g (I0ai(ai + а3) + 4а23 + а% + 9&i + 3b3). (16)

Как известно (см., например, [8]), при условии Red < 0 и при е > 0 нулевое решение отдельных уравнений системы (13) экспоненциально устойчиво, а при е < 0, |е| -С 1 из нуля рождается устойчивый цикл амплитуды порядка ^/ief. В дальнейшем считаем, что каждый из упомянутых аттракторов для парциальных осцилляторов глобально устойчив. Отметим, что одной из причин, по которой выбор пал именно на такую систему, состоит в том, что при различных правых частях / она служит математической моделью для широкого класса автогенераторов с сосредоточенными параметрами.

Следуя изложенной в [9] методике, при условии (15) возможные автоколебательные режимы системы (13) отыскиваются в виде формальных рядов по целым степеням ^fjl:

Щ = л/д(гДт)ехр(г£) + гу(г)ехр(-г4))+/хыу12(^'г)+А'3''2И7,з(^т") + ---1 (17)

где ] = 1,2,3, т = все функции и^ь /с ^ 2 являются 2тг-периодическими по а ^ (г) - некоторые, подлежащие определению в ходе алгоритма комплексные амплитуды. Подставляя формулы (14), (17), вместе с равенством £ = систему (13) и приравнивая коэффициенты при /I, на третьем шаге алгоритма из условий разрешимости системы для и^з в классе периодических по < функций получаем для комплексных амплитуд г/т), 3 = 1,2,3 укороченную нормальную форму исходной системы (13)

25 = ^-1+<*№?!> = 1,2,3, 2Ь = 34, (18)

где комплексная постоянная й задается равенством (16), а штрихом обозначено дифференцирование по т.

Справедливо следующее стандартное утверждение о соответствии.

Теорема 4. Предположим, что система (18) имеет некоторый автомодельный цикл (тор), экспоненциально орбитально устойчивый или дихо-томичный. Тогда найдутся такие достаточно малые р®, щ > 0, что при всех £,¡1 : 0 < р ^ цо, |е|¡р ^ иц исходная система (13) имеет цикл (двумерный инвариантный тор) с теми же свойствами устойчивости, асимптотика которого задается формулой (17).

В системе (18) выполним замены zj v—2 Re d -+ ^ехр(г^), г/2 —г, > 0, 0 ^ ipj ^ 2тг , .7 = 1,2,3, сводящие ее к пятимерной системе

& = £з sin фг - í?, £ = 6 sin ф2 ~ íl, & = -6 sin(^ + ф2) - ,

ф[ = Со - й) + ^ COS^l - ^ cos(^i + ф2), ^

ф'г - Со (É2 - Й) + 7" eos-02 - J- СО5-01 ,

где со = — Imá/Red, <ф1=<р1- ip3l ф2 = у2- Vi-

Нетрудно проверить, что система (19) имеет состояние равновесия

О = (& & & < ^2°) : $ = Й = = ^12/2, $ = = 2ТГ/3, (20)

которое экспоненциально устойчиво при со 6 (с_, с+), где с± = 12\/3±5\/23 и неустойчиво при со € R\[c_,c+]. В пункте 2.1.2 показано, что при прохождении параметра Со через критические значения потеря устойчивости происходит колебательным образом с возникновением в результате бифуркации Андронова - Хопфа устойчивого цикла. Применение теоремы 4 позволяет утверждать, что исходная система (13) имеет в этих случаях устойчивый

цикл и двумерный тор соответственно. Динамические свойства системы (19) при дальнейших изменениях параметра cq изучались численно. Проделанный анализ показал богатое разнообразие динамических свойств системы (19), главное из которых - наличие в ней хаотических колебаний при всех Icol 54.7. Действительно, это означает, что кольцевой хаотический генератор можно сконструировать, взяв за основу практически любой известный классический генератор периодических колебаний, моделирующийся уравнением (13), необходимо лишь добиться выполнения требуемой оценки для |со| за счет надлежащего выбора параметров парциальной системы. Следует отметить, что теорема 4 в этом случае уже не применима, и для исходной системы (13) с конкретными значениями параметров требуется дополнительный анализ поведения решений. В качестве примера, к которому применима описанная локальная теория, было рассмотрено уравнение Ван дер Поля -Дуффинга. Далее, в пункте 2.1.3 изучены две модели из радиофизических приложений.

Глава 3. Цепочки диффузионно связанных осцилляторов

В данной главе перейдем от рассмотрения свойств небольшого числа связанных колебательных систем к исследованию динамики произвольного их количества. В предположении, что связь между осцилляторами слаба, строится нормальная форма задачи, а по ней система фазовых уравнений, определяющая качественное поведение решений. Аналитическое и численное исследование полученных фазовых уравнений выполнено для различного числа осцилляторов и различных значений параметра, выраженного в инвариантах исходной системы. Численный анализ полученной модели показал, что в широком диапазоне изменения параметров увеличение числа осцилляторов при наличии между ними слабой связи приводит к возникновению хаотических колебаний растущей ляпуновской размерности. Данный результат находит подтверждение в численном эксперименте выполненном для классической модели такого типа — уравнения Гинзбурга - Ландау.

Для системы (4), (5) будем считать выполненными принятые выше условия, дополнительно предполагая, что v — /хе, где 0 < fi -С 1 — положительный малый параметр, a N2D обозначено снова D.

Применение к системе (4), (о) метода нормальных форм после замены

п

переменных uj = ( ехр(га>т;)а+схр(-гшг7-)а) + ]Г + ..., где иЫ] —

¡t,i=i

векторные тригонометрические полиномы аргументов шт\,.. .и>тп, приводит в результате отбрасывания слагаемых высшего порядка малости и норми-

рующих замен Cj/V£ ~> £t = т, к системе медленных движений

Cj = (poZj+da^+M fo+i cos(oj-+7) - cos 7 + cos(aJ_1-7)],

Qj = Mtj+i - Ф + № sin(ai+1 + 7) - Sin(a¿ +7)- (21)

sin(ai - т) + sinK-i - 7)

?i+l Sj

где aj = u(Tj+1 - 7}-), <£0 = Re(^ia, &), 5 = |(Da,6)|, 7 = arg(Z?a, 6), ¿o + ¿co вычисляется по формуле (2), штрихом обозначена производная по т.

Следует отметить, что при и = fj£ к краевой задаче (1) может быть применен метод квазинормальных форм, в частности, как показано в [7], решения этой задачи при некоторых дополнительных ограничениях с точностью до е3/2 приближаются решениями нормализованной краевой задачи

g = n(Da, 6)0 + (Да, 6)í + ^ К|2, fx{r, 0) = g(r, 1) = 0, (22)

где, как и выше, г = et, а для решений краевой задачи (4) имеет место асимптотическое разложение u(t, т, х) = х)еш1а+1(т, x)e~'utuj +...

Применение конечно-разностных аппроксимаций по пространственной переменной к краевой задаче (22) и последующий переход к полярным координатам также приводят к формулам (21). Отметим, что уравнение (22) представляет собой вариант уравнения Гинзбурга - Ландау с пространственной переменной, определенной на отрезке [0, 1].

При достаточно малых д система (21) имеет глобально экспоненциально устойчивое интегральное многообразие, для которого выполнено следующее утверждение

Теорема 5. Существуют такие достаточно малые положительные числа £д, ца и не зависящее от них положительное число Го, что при 0 < £о ^ 0 < ¡j, ^ ¿¿о система (4), (5) имеет N-мерный инвариантный тор, задаваемый равенствами

% = (1 +; = (23)

где ipj — гладкие по совокупности переменных 2тг-периодические по а* функции, к которому при t —> 00 стремятся все решения с ненулевыми начальными условиями из шара радиуса го с центром в нуле. Для tpj справедливы асимптотические формулы

<Pi = -|-(cos(a,'+i + 7) - 2cos7 + cos(a,-_i - 7)) + О (¡л). (24)

Характер поведения решений на этом торе с точностью до слагаемых порядка ц описывается системой фазовых уравнений

а3=2 йша,- бщо,--!— smaj+l+к(cosaj-^ — сояа^+х), 3 = 1, ..., N—1. (25)

Здесь ао=а^=0, к=(хо+Ьа)/(я060—1), хо=-1т(Оа, Ь)/Яе(Оа, Ь), Ь0=со/й0.

Таблица 1.

к = 1.5 к = 2 к = 2.5 к = 3 к = 3.5 к = 4

N = 5 3.042 2.558 1 1 1 1

N = 6 4.028 3.02 1 1 1 1

N = 7 4.729 4.997 5.049 5.101 5.134 5.207

N = 8 5.401 5.74 5.869 5.99 6.054 6.125

N = 9 6.127 6.521 6.735 6.913 6.965 7.046

N = 10 6.766 7.259 7.527 7.667 7.8 7.940

N = 11 7.383 8.05 8.362 8.505 8.657 8.809

N = 12 8.002 8.741 9.132 9.337 9.502 9.639

N = 13 8.502 9.395 9.926 10.164 10.31 10.481

ч II 9.032 10.116 10.638 10.923 11.173 11.302

N = 15 9.564 10.74 11.349 11.691 11.946 12.145

N = 16 10.079 11.375 12.062 12.439 12.725 12.997

N = 17 10.572 12.011 12.753 13.203 13.506 13.74

N=18 10.944 12.618 13.425 13.925 14.277 14.509

N = 19 11.35 13.244 14.076 14.636 15.055 15.322

N = 20 11.83 13.74 14.767 15.328 15.746 16.106

В пункте 3.1.3 выполнен полный качественный анализ системы (25) для N = 2,3,4. При достаточно большом к и N > 4 система (25) может демонстрировать неупорядоченное поведение решений. В связи с этим была выполнена численная оценка ляпуновских экспонент и ляпуновской размерности. В таблице 1 содержатся численные оценки величины ляпуновской размерности выполненные при различных значениях к и N > 4. Нетрудно проверить, что зависимость ¿1 от N близка к линейной, в пункте 3.1.3 приведены соответствующие оценки.

В разделе 3.2 на основе численного анализа изучен вопрос об аттракторах уравнения Гинзбурга - Ландау (22), которое приведено к виду

ш = ^(1-га)№" + ги-(1 + г6)и)|ад|2, 0) = 1) = 0. (26)

Данная краевая задача заменяется конечномерной моделью

й1 = + a(yj+l-2vj+vj-l)) + и] - {и3-Ъу3){и]+у*),

где Wj = щ 4- щ. Полученная система исследовалась численно при фикси-

Рис. 2. Лта1(Аг) при 11 = 0.005 Рис. 3. при ц = 0.005

рованных значениях параметров а = 1, Ь — 6 и изменении ц и N. На рис. 2, 3 представлено по одной из серии зависимостей старшего ляпуновского показателя Атаг(Лг) и ляпуновской размерности (¡¿(М) при фиксированном /л и изменении 5 ^ N ^ 30. Нетрудно видеть, что с ростом N эта величина стремится к некоторому пределу. Численный анализ показывает, что этот предел растет с уменьшением /л. На рис. 4 изображен график зависимости ^¿(й) при N = 20. Здесь также наблюдается рост ¿1 с уменьшением ц, который при достаточно малом /х сменяется падением. При увеличении N это падение происходит при меньших ц, что определяет границы применимости разностных аппроксимаций.

В пунктах 3.1.5 и 3.2.2 краевые задачи (1) и (26) рассматривались на окружности, то есть для них выполнялись периодические краевые условия.

Асимптотические методы, применяемые при анализе системы (4), (5), дают укороченную систему фазовых уравнений (25). Относительно грубых решений этой системы доказана теорема 5 о соответствии, однако в случае, когда нормализованные системы имеют хаотический аттрактор, доказательство такого утверждения сопряжено с существенными трудностями, если вообще возможно, поскольку соответствующий аттрактор может оказаться не гиперболическим. Именно поэтому в такой ситуации необходим численный эксперимент. С этой точки зрения результаты выполненных в разделе

20

25

10

15

5

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

Рис. 4. ¿1{ц) при N — 20

3.2 вычислений существенно дополняют утверждения раздела 3.1. Важно заметить, что результаты, полученные в 3.1.1 и касающиеся краевой задачи на отрезке, полностью соответствуют численному эксперименту из пункта 3.2.1. В случае же задачи на окружности система для разностей фаз (25) оказывается негрубой и ее решения никак не соотносятся с результатами численного анализа. При этом для краевой задачи как на отрезке, так и на окружности численный эксперимент демонстрирует одни и те же тенденции п изменениях старшего лянуновского показателя и размерности аттрактора системы при уменьшении параметра ¡л.

Основной вывод по результатам третьей главы состоит в том, что при уменьшении коэффициента диффузии ц в задачах (26) и аналогичной ей задаче с периодическими краевыми условиями возникают хаотические колебательные режимы растущей ляпуновской размерности. Асимптотический анализ при этом позволяет в некоторых случаях прояснить структуру би-фурцирующих режимов.

Глава 4. Нелинейные волновые уравнения и их дискретные апа-логи

В главах два и три рассматривались цепочки связанных генераторов с сосредоточенными параметрами с диффузионной (глава 3) и однонаправ-

ленной связью (глава 2). Было установлено, что в обоих случаях в соответствующей системе может наблюдаться хаотическое поведение, обусловленное коллективным взаимодействием парциальных осцилляторов. Предположим теперь, что в цепочках (13) или (4) каждое звено заменено колебательной системой с распределенными параметрами, каждая из которых имеет достаточно большое или счетное число устойчивых циклов. В итоге получаем систему, имеющую (при определенных дополнительных условиях) достаточно большое число сосуществующих хаотических аттракторов. Как показано в первых двух разделах данной главе при рассмотрении конкретных примеров, для того, чтобы добиться требуемого эффекта, вовсе не обязательно брать цепочку из большого числа звеньев, как это обычно делается в случае сосредоточенных осцилляторов. Достаточно ограничиться некоторым минимально допустимым их количеством.

В третьей части главы предлагается феноменологическая модель развития турбулентности, представляющая собой нелинейное уравнение Клейна - Гордона, возмущенное нелинейными диссипативными добавками. С помощью сочетания аналитических и численных методов устанавливается, что переход к турбулентности в этом уравнении может происходить как по сценарию Ландау, так и в соответствии со сценарием Ландау - Селла.

В разделе 4.1 рассматривается краевая задача

щ + гаоихх = и — d\u^u, u(t, х + 2п) = u(t, х), (27)

где и = u{t, х) — комплекснозначная функция, d — 1+гсо, а сц, <то — положительные параметры, связанные неравенством со > 2сп. Приведенную задачу будем рассматривать как эволюционную систему в фазовом пространстве (Re u, Im и) G Ex Е, где Е — гильбертово пространство 27г-периодических функций класса Выбранная таким способом парциальная система обладает требуемым свойством буферности, поскольку она имеет счетное число автомодельных циклов (бегущих волн)

и = ехр[г(стоп2 — co)t + inx], п = 0, ±1, ±2,..., (28)

которые являются устойчивыми (в метрике Е х Е) при условии ctq > 2cq и неустойчивыми при выполнении строго противоположного неравенства. Рассмотрим, далее, цепочку диффузионно связанных осцилляторов (27), т.е. систему вида

щ + i(Touxx + г/хАи = и — d|u|2 * и, u(t, х + 2л) = u(t, х), (29)

где и = colon (иь ...,Uff), \и\2 = colon (|ui|2,..., |ujv|2); uj = Uj(t, x), j = 1 ,...,N — комплекснозначные функции; натуральное N > 5 произвольно фиксировано; ц > 0 — малый параметр; * — операция покоординатного

умножения векторов, а N х /V-матрица связи Л является трехдиагональ-ной матрицей с единичными над- и подциагоналями и главной диагональю (—1, —2,..., —2, —1). В разделе 4.1 установлено, что при выполнении условия ст0 > 2со эта система имеет счетное число устойчивых JV-мерных торов, причем при некоторых дополнительных ограничениях на параметр со каждый из них является носителем хаотического аттрактора.

Для обоснования этого факта доказывается следующее утверждение.

Лемма 1. Найдется такое достаточно малое /¿о > 0, что при всех О < \i ^ цо краевая задача (29) имеет пространственно однородный (не зависящий от х) инвариантный тор

щ = ехр(гт7) [1 + 1хф]{а\,..., aN-h/i)], j = 1,..., N, (30)

где ctj ~ Tj+\ — tj, ipj(a\,..., адг-1,0) = (sin Qj — sinaj_i)/2. Движения на нем задаются системой

áj = ai,..., arf-ufi), j ~ 1,..., N - 1,

TN = -Со + /лф(аь..., Ai),

где cto = Qfj — 0, ,ajv-i,0) = —co(smaJ+i — 2sinaj +sina^_i) +

cosQj_j — cosa¿+i, Ф(а1,...,сад_1,0) = cosinajv-i — cosajv-i + 1- Данный тор экспоненциально орбитально устойчив (неустойчив) в метрике фазового пространства Ет — Е х • • • х Е при сто — 2со > 0 (< 0).

На основе представленной леммы доказывается следующая теорема.

Теорема 6. При выполнении условия сто > 2cq существует такое достаточно малое ptQ > 0, что при каждом 0 < ц ^ До краевая задача (29) имеет счетное число экспоненциально орбитально устойчивых инвариантных торов

A„={uj- oxp{i(Tj+nx)}(l+/í^(ttj,..., aN-hn)),j = 1,..., TV}, neZ, (32) движения на которых описываются системами

áj = n<$>j(a ь..., aw-b/i), j = l,...,N-l

TN = ст0п2 - со + рф(а!,..., адг-ь fi), где c*o — a¿v = 0, а функции ipj, Ф те же, что и в (30), (31).

Системы (31), (33) для Qj{t) с точностью до нормирующих замен переменных совпадают с системой (25), исследованной в главе 3. В частности, численными методами в этой главе показано, что при достаточно большом Сд и N > 5 п каждой из этих систем наблюдаются хаотические колебания.

В разделе 4.2, в продолжение исследованиям, предпринятым в 4.1 и главе 2, рассматривается цепочка из трех однонаиравленно связанных в кольцо кубических уравнений Шредингера

ди д^и

"БГ+^о-^+£[ги*-1-Ны*12иА] =0, ик\ = м * =0, ¿=1,2,3, (34)

иг их* 1г=0 1х=тг

где щ = ик{Ь,х) — комплекснозначные функции, причем щ(Ь,х) = е > 0 — малый параметр, й = 1 + ¿со, со€Кисо>0 — некоторые постоянные порядка единицы. В качестве фазового пространства задачи (34)

о о

возьмем Е6 = Е х • • • х Е, где Е = 1^(0,7г), а через обозначено, как обычно, соответствующее соболевское пространство функций, удовлетворяющих граничным условиям. Данная задача моделируется бесконечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида

¿п,к = 1 - <1

ТП=1 -1

т^-п

гп,к, ¿п,а = 2п,з к = 1,2,3, (35)

возникающей после замены щ = г, х) + ..., к = 1,2,3,

где г = еЬ, j ^ 0 — формальные тригонометрические ряды переменной

оо

¡6, причем щ,о = 2 ехр(гсгопн)2п¿(г) б'шпх, к = 1,2,3.

П=1

Система (35) имеет инвариантные множества вида Яп = {г 6 Ъ : & = 1, 2,3 при всех тфп\ (¿„д, 2П>2,2гП]з) = («1, ь2, г>з) € П}, где О — некоторый аттрактор шестимерной системы

ук = -гщ~\ - <2М2г>ь = из, к = 1,2,3, (36)

Отметим, что система (36) с точностью до нормирующих замен совпадает с системой (18). Используя результаты второй главы удается показать, что при изменении управляющего параметра со в такой системе могут наблюдаться две принципиально различные ситуации:

1) сосуществует счетное число конечномерных хаотических аттракторов, т. е. имеет место хаотическая буферность;

2) существует хаотический аттрактор бесконечной размерности.

В разделе 4.3 рассматривается модельная динамическая система, в которой при изменении бифуркационного параметра могут реализовываться как сценарий фазовых перестроек Ландау, так и сценарий Ландау - Сел-ла. Первый из упомянутых сценариев связан, как известно, с каскадом бифуркаций устойчивых инвариантных торов все более высоких размерностей. Во втором же случае имеем дело с хаотическим аттрактором, ляпуновская

размерность которого при изменении некоторого управляющего параметра неограниченно растет. Как и в двух предыдущих разделах, изучаемая краевая задача моделируется цепочкой связанных колебательных систем, на основе численного анализа которых делается вывод о наличии у системы бифуркаций по сценарию Ландау - Селла.

Цель раздела 4.3 — проиллюстрировать реализуемость сценариев Ландау и Ландау - Селла в рамках некоторой феноменологической модели. В качестве таковой рассматривается нелинейная краевая задача

1

с? С

иц-^и^ + и + Ьи3 = + / (щ^йх-щ, и]г=0 = и|1=1 =0, (37)

о

где а, Ь, е, V — произвольные положительные параметры, и — х) — скалярная вещественная функция. Следует отметить, что предложенная гидродинамическая модель (37) хотя и существенно проще, чем исходная система уравнений Навье-Стокса, но тем не менее является весьма содержательной. Как показано в данном разделе, при согласованном стремлении параметров е и V к нулю в ней происходит развитие турбулентности по Ландау, а при е ~ 1, V —> 0 реализуется сценарий Ландау-Селла.

В пунктах 4.3.1-4.3.2 показано, что краевая задача (37) при условии V = £1/о может быть сведена к бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида

00

2^=[1-^г2п2-3|£п|2-2£|£/]б1, (38)

к=1 кфп

где £п(т), п ^ 1 - амплитуды при соответствующих модах. С помощью системы (38) удается показать, что при уменьшении 1/ц у краевой задачи (37) имеются устойчивые инвариантные торы растущей размерности, а при 1^0=0 - турбулентный аттрактор П(е) бесконечной хаусдорфовой размерности.

В пункте 4.3.3 представлены результаты численного счета, полученные для следующих значений параметров: е = Ъ = 10, а2 = 0.1. В совокупности с содержащимся в пунктах 4.3.1 - 4.3.2 теоретическим анализом эти результаты позволяют сделать следующие общие выводы о динамике по и исходной распределенной модели (37).

Во-первых, при и = 0 и при указанных условиях на параметры у краевой задачи (37) существует турбулентный аттрактор П(ЦГь, который, по всей видимости, является продолжением по £ аттрактора Г2(е), обнаруженного в задаче (37) при 0 < е <§С 1, = 0. Как и О(е), данный аттрактор представляет собой ограниченное и некомпактное множество в фазовом пространстве

о

^К^О, 1) X £2(0,1), имеющее бесконечную хаусдорфову размерность. Кроме того, для "типичных" траекторий из Г2гигь справедливо равенство Хтах = 0. Таким образом, турбулентный аттрактор в предложенной нами модели можно отнести к так называемым странным нехаотическим аттракторам (см. [2]) или рассматривать как некоторый вариант "бесконечномерного тора".

Во-вторых, аттрактор П^гЬ является пределом при и —э- 0 конечномерных хаотических аттракторов, ляпуновская размерность которых неограниченно растет. Последнее же как раз и означает, что при принятых значениях параметров и при уменьшении величины V в краевой задаче (37) наблюдается интересующий нас сценарий развития турбулентности Ландау - Селла.

Глава 5. Системы с полутора степенями свободы

В предыдущих главах сложность поведения динамических систем объяснялась взаимодействием некоторого числа связанных осцилляторов. Известно, однако, что сложное поведение, обусловленное накоплением однотипных аттракторов, может реализоваться и в простых системах обыкновенных дифференциальных уравнений и, в частности, в системах с полутора степенями свободы, под которыми будем понимать уравнсЕшя маятникового типа с периодическими по времени малыми добавками. В пятой главе рассматривается механизм накапливания аттракторов в указанных системах.

Рассматривается гамильтонова или консервативная (не меняющаяся при обращении времени) система обыкновенных дифференциальных уравнений с полутора или более степенями свободы. Известно, что хаотические движения в таких системах сосуществуют со счетным числом так называемых островков устойчивости, примыкающих к эллиптическим состояниям равновесия или циклам. Если возмутить данную систему малыми добавками, обеспечивающими ее диссипативность, то некоторые из упомянутых состояний равновесия или циклов могут стать асимптотически устойчивыми и, что самое главное, количество последних может неограниченно увеличиваться при стремлении возмущений к нулю. А это как раз и означает, что в рассматриваемой системе наблюдается явление буферное™, механизм возникновения которого и называется гамильтоновым. В данной главе устанавливаются строгие результаты о наличии буферности в ряде классических механических задач, описывающихся уравнениями маятникового типа с периодическими по времени малыми добавками.

В разделе 5.1 рассматриваются следующие модельные уравнения маятникового типа:

х + 8Ш2 = — з'т(кх — г/£), х + (1 + асоэ И) втх = 0, (39)

где а, к, v - положительные параметры, а также уравнение

х + х — a sm(a: — vt) , (40)

получающееся из первого уравнения (39) при условии к 1 после замены кх х и отбрасывания слагаемых порядка малости 1/к2 и выше. Аргументом в пользу выбора в качестве объектов исследования именно этих уравнений служит тот факт, что они допускают многочисленные физические интерпретации. Эти уравнения рассматриваются при а — р., к = 1 и при добавлении малого затухания ex, е > 0, параметр ц> 0 считается хотя и малым, но фиксированным по отношению к е.

Все три уравнения обладают одним общим и необходимым для последующего анализа свойством. А именно пусть при е = 0 и при любом фиксированном > 0 (не обязательно малом) какое-либо из этих уравнений допускает некоторое эллиптическое периодическое движение zo(í) периода То > 0 (эллиптичность означает, что его мультипликаторы Ai, Аг комплексные и в силу гамильтоновости |Ai| = |А2| — 1). Тогда найдется такое достаточно малое со > 0, что при всех 0 < е ^ со у рассматриваемого уравнения существует близкое периодическое решение x(t, е), x(t, 0) = x0(í) периода Т(е), Т(0) = То, являющееся экспоненциально устойчивым. Отсюда следует, что проблема гамильтоновой буферности для рассматриваемых уравнений сводится к отысканию эллиптических периодических решений при е = 0. Соответствующий анализ проведен для квазилинейного осциллятора

х + х = ¡i sin(:r — v£). (41)

Введем в рассмотрение множества fü„, п = 1, 2,..., состоящие из пар (¿г, v): и > 0, при которых уравнение (41) имеет не менее п различных эллиптических периодических решений. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 7. Множество Qn не пусто при любом п £ N.

Обращаясь к уравнениям маятникового типа

х + sin х = р sin(a; — v i), х + (1 + (icos vi) sin ¡с = 0, (42) сформулируем для них аналогичное теореме 7 утверждение. В отличие от предыдущего случая помимо обычных периодических решений у этих уравнений возможны еще так называемые вращательные периодические движения x(f), для которых x(t + Т) = x(t) + 27гт при некотором целом m ф 0. В связи с этим для каждого из уравнений (42) введем в рассмотрение две серии множеств. Через fi* обозначим совокупность наборов параметров (/i, v), при которых соответствующее уравнение имеет не менее п различных эллиптических колебательных периодических решений, а через П2 будем обозначать аналогичное множество для вращательных движений.

Теорема 8. Для каждого из уравнений Ц2) не пусто множество а* п при любом п £ n.

Из проделанных в данном пункте исследований вытекает, что при ц —> О в каждом из уравнений (42) происходят неограниченное накапливание эллиптических периодических движений, как колебательных, так и вращательных. Анализ периодических решений уравнений маятникового типа, возмущенных периодическими добавками, проводился во многих работах Козлова В. В., Морозова А. Д. и других. Что же касается полученных нами результатов, то они восходят к известной теореме Пуанкаре, которая утверждает, что в окрестности резонансной периодической орбиты невозмущенной гамильтоновой системы при малых возмущениях и при некоторой общности положения'возникает не менее" двух грубых периодических решений: одно седлового типа, а другое - эллиптическое. Фактически именно эта теорема и применялась в рассмотренных выше конкретных ситуациях.

Как уже говорилось ранее, теоремы 7, 8 решают проблему гамильтоновой буферности для уравнений (39), (40), поскольку эллиптические периодические движения этих уравнений, существующие при е = 0, при переходе к малым е > 0 становятся экспоненциально устойчивыми. Однако между первым уравнением (39) и двумя другими имеется принципиальное различие: в квазилинейном случае устойчивые периодические решения обладают достаточно широкими областями притяжения, в то время как'в уравнениях маятникового типа устойчивые режимы накапливаются в окрестности сепаратрис, существующих при г = р, — 0, и вследствие этого бассейны притяжения большинства из них заведомо узки.

Объектом исследований в разделе 5.2 является двумерная неавтономная система вида

х = Лу(х, у) + <:/(£, х, у), у = ~Н'х(х,у) + ед{Ь,х,у). (43)

Здесь г > 0 - малый параметр, функции Н(х,у) и f{t,x,y), д(Ь,х,у) бесконечно дифференцируемы по совокупности переменных (х,у) £ б и (¿,х,у) € К х С соответственно, где б С К2 - некоторая область. Кроме того, возмущения f, д предполагаем периодическими по £ с некоторым периодом То > 0.

р,

Рис. 5.

Основные ограничения, при которых изучается система (43), относятся к предельной гамильтоновой системе

х = Щ(х,у), у = -Н'х(х,у). (44)

Условие 1. Считаем, что система (44) имеет в области G замкнутый контур Г (см. рис. 5), состоящий из двух седел 0\, 02 и двух сепаратрис

ri={(*i(i),si(i)) :i€R}, lim (®i(i),Sft(f))=Ob lim

t—> —ЭО t-f+OO / J

Г2={(г2(0.й(«)): i6R}, Km (x2(i),t/2(i))=02, lim (®2(0,ot(0)=Oi- 1 '

t->—ОС t—f+oc

Сделанные предположения позволяют ввести две функции Мельникова

оо

M«(t) = |ф(t + Т, Xj(r), yj{r))dr, j = 1,2, (46)

—00

где Ф(t,x,y) = H'x(x,y)f(t,x,y) + H'y(x,y)g{t,x,y), отвечающие сепаратрисам (45). Как известно, если какая-либо из данных функций имеет простые нули, то это влечет трансверсальность пересечения двух инвариантных многообразий системы (43), возникающих при е > 0 в результате расщепления соответствующей сепаратрисы. Для описания следующего ограничения рассмотрим точку Р\ = (2:1(0), г/1 (0)) на Fi и обозначим через h отрезок нормали к кривой Г1 в этой точке, направленный внутрь контура Г (см. рис. 5). Условие 2. Считаем, что в области, ограничиваемой кривой Г, система (44) имеет однопараметрическое семейство циклов

L(ö) = {(x,{t,6),yt{t,6)) : 0<646>, (47)

периоды Т(8) которых обладают свойствами:

Т{5) > 0, Т'(6) <0при 6 £ (0, ¿t], Т(6) +оо при <5 +0. (48)

Считаем еще, что фазовые траектории (47) пересекают Ii без касания, причем (см. рис. 5) Р* = (i*(0,i), y*(0,i)) £ h, p{P*,P\) = 5, где p(*, *) -евклидова метрика.

Условие 3. Предполагаем, что h'(6) ф 0 при 5 £ (0,5,], где h(6) = H{x.(t,6),yt(t,5)). Нетрудно увидеть, что условие 2 обеспечивает существование последовательности функций Мельникова Mn{t), о которой говорилось выше. Действительно, в силу (48) каждое из уравнений Т(5) = п Та, начиная с некоторого номера по, допускает единственное решение 6п 6 (0,i«], причем 5п \ О при п оо. Таким образом, последовательность задается равенствами

пТ„

Mn(t) — 1ф(1 + т,х*п(т),у*п(т))с1т, п^п0, (49)

о

где x*n(t) = x,(t,Sn), y*n{t) = y,{t,Sn). Лемма 2. Существуют конечные пределы

= lim fn(i) - ~ In Л , = lim (т2(<5) -1 In IV (50) ¿->+о V А2 5J г-и-о V Aj 6J

где ±Ai и ±A2 Аг>0^ - характеристические показатели седел 0\ и 02.

Приведенная лемма позволяет установить следующее утверждение, являющееся основным результатом данного раздела.

Теорема 9. В случае иррационального отношения Ai/A2 множество всех (равномерных по t £ [0, То]) частичных пределов последовательности (49) при п —¥ ос состоит из континуального семейства функций

Mw{t) + M^{t + z), (51)

где AfW, М(2) - функции Мельникова (46), а непрерывный параметр z пробегает отрезок [0, То]. В случае же, когда Aj/(Ai + А2) = p/q, p,q € N - взаимно просты, упомянутое множество дискретно и исчерпывается конечным набором функций

M{1\t) + M[2\t + mpT0/q + c0), m = 0,l,... ,g-l, (52) г(*е со = (А2 х* - А) х,,)/(Ai + А2). (53)

Численный анализ выполненный в рассматриваемом случае позволил проиллюстрировать сосуществование большого числа аттракторов у модельных уравнений (39), (40).

Глава 6. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона

Рассмотрим уравнение Хатчинсона в случае двух возрастных групп

¿ = r[t Ц + (1-«)*(«-frfy (54)

и изучим вопрос о бифуркации автоколебаний этого уравнения из нулевого состояния равновесия в экстремальной ситуации, когда одно из запаздываний асимптотически велико, а остальные параметры — порядка единицы. Выполняя в (54) замену переменных N = ¿(1 + и) и предполагая, что

rhi = 1/2, h2/hi = £7, a = 1/2 + /i, 7 = const >0,0<í,/i«l, (55)

приходим после замены времени t/h\ —> t к сингулярно возмущенному уравнению

eù = - [(1/2 + /i) u(t - 1) + (1/2 - /i) v,(t - £7)] (1 + и). (56)

Первым этапом в решении бифуркационной проблемы для уравнения (56) является, как обычно, анализ расположения корней соответствующего нулевому состоянию равновесия характеристического уравнения

еЛ + (1/2 + fi) ехр(-Л) + (1/2 - fi) ехр(-Хеу) = 0. (57)

Результаты этого анализа позволят в дальнейшем согласовать надлежащим образом порядки малости параметров е и fi, а также уточнить выбор параметра 7. Выполнены следующие утверждения.

Лемма 3. Предположим, что параметр 7 фиксирован и удовлетворяет

УСЛОвиЯМ 7 7г(4П — 3) VneN. (58)

Тогда найдутся такие достаточно малые £o,fio > 0, что при всех е G [О, £о], р € [0,/ío], ^ е [0,+оо) уравнение

iz + £Ô- (1/2 + fi) ехр(—5) + (1/2 - /i) exp(-¿7z - £7<5) = 0 (59)

допускает единственное решение 6 = 5(z,e,fi), ¿(0,0,0) = 0, для которого справедливо представление вида

5^S0(z,fi)+£51(z,£,fi), S0 = ïn(l+2fi)-\n(2iz+(l-2fi)exp(-iyz)). (60)

Здесь бесконечно дифференцируельая по совокупности переменных z, £, fi комплекснозначная функция ói(z,£,fc) обладает свойствами

2iz + (1 - 2/z) ехр(-г7г) ^

lim £г, = 0 равномерно по (е, ц) € [0, е0] х [0, /-to]•

2->+00

Лемма 4. Предположим, что параметр 7 фиксирован и удовлетворяет условию j <1. (62)

Тогда по любому натуральному N можно указать такое £о = £0(7, N) > 0, что при £ £ [0,£о], во-первых, каждое из уравнений

Re\n(£,fi) = 0, n = l,...,N, (63)

где

ЛЯ(£,М) = ¿a;n(l+e(7-2)+£2(7-2)2)-2£2W2(l-7) + 4/í+0(£3+£^), (64)

допускает единственное решение

= Мп(е) = е2^(1-7)/2 + 0(в3), (65)

во-вторых, при 0 ^ ¡1 ^ Ati(£) все корни уравнения (57) имеют отрицательные действительные части, а в случае < ц < /ijt+i(e) при некотором 1 ^ k ^ N — 1 выполняются неравенства

Re Лп(е, ц) > О, 1 < п < к] Re Л„(е, р.) < О Vn > к. (66)

Проделанный в разделе 6.1 линейный анализ свидетельствует о том, что поставленная бифуркационная проблема близка к бесконечномерной: при £, н 0 к мнимой оси стремится счетное число корней (64) характеристического уравнения (57). В подобной ситуации не удается напрямую воспользоваться известными конечномерными методами исследования динамики, базирующимися на аппарате интегральных многообразий и нормальных форм [8]. В связи с этим используется метод квазинормальных форм (см. [7], [10]). Для того чтобы применить результаты данных работ к уравнению (56), предварительно необходимо согласовать порядки малости параметров е и ц. Сделать это можно следующими двумя способами.

1) Предположим сначала, что параметр у фиксирован и удовлетворяет неравенству (62). Тогда в соответствии с асимптотическими формулами (65) для критических значений ц уместно положить

fi = fie2, ¡3 = const >тг2(1-7)/2 (67)

(условие на fi дает неустойчивость нулевого решения уравнения (56)).

2) Пусть теперь параметр 7 отличается от своего порогового значения 7 = 1 на величину порядка е, т. е.

7=1 — 7о£, 7о = const > 0. (68)

В этом случае (по тем же причинам, что и выше) считаем выполненным

соотношение ,

¡1 = Pqe , Ро = const > я" 7о/2. (69)

В первой из описанных ситуаций в качестве квазинормальной формы

выступает краевая задача

If = 2(1 - 7)0 + m - «5, т +1) = -f (s, г) (70)

для амплитуды £(s, г). Здесь s играет роль времени, а г является пространственной переменной. Краевая задача (70) связана с уравнением (56) заменой

и = у/ёф, т) + eui(s, т) + e3/2u2(s, т) + e2u3(s, т) + es/2u4{s, т). (71)

Здесь s = е2т, ujt(s, т + 2) = т), 1 ^ к < 4. кроме того,

г = (1 + £<7! + e2cr2)i, <Ti = 7 - 2, <т2 = (7 - 2)2. (72)

В случае, если выполнены условиях (68), (69) приближенные автоколебательные режимы уравнения (56) удается построить в виде суммы

и = ££(s,t) + £2ui(s,t) +£3u2(s, т) + £4щ(з,т), (73)

где

г = (г+ео^+Лхг+е3^)*, s = г3г, ах = -1, ст2 = 1-то, = 270-1. (74)

Алгоритм нахождения 2-периодических по г функций щ(я,т), к ^ 3 из (73) позволяет получить краевую задачу

§=Ш+27°0+m - 2еЪ ^г)' (75)

которую также будем назвать квазинормальной формой. Остановимся на естественно возникающем вопросе о соответствии между автоколебательными режимами квазинормальных форм (70), (75) и исходного уравнения (56). В формулируемом ниже утверждении в качестве фазовых пространств краевых задач (70) и (75) возьмем соответственно пространства Е% и Е%,

о о

состоящие из антипериодических функций £(т) класса W2[0,1] и W2[0,1], а фазовым пространством самого уравнения (56) будем считать С[—1,0].

Теорема 10. Пусть выполнены условия (62), (67), а квазинормальная форма (70) допускает периодическое решение типа бегущей волны

С = Со (у) •■ У = Q0s + т, fo(y + 1) = -Со (у), а0 = canst, (76)

экспоненциально орбиталъно устойчивое или дихотомичное. Тогда найдется такое £о > 0, что при всех 0 < £ ^ £о решению (76) отвечает цикл уравнения (56) с теми же свойствами устойчивости. Главная асимптотика этого цикла задается равенствами (72), (71), во втором из которых учтено соотношение (76). Аналогичный результат остается в силе для уравнения (56) при условиях (68), (69) в случае, когда периодическое решение вида (76) имеет краевая задача (75).

Предпринятый анализ позволяет сделать следующие выводы о динамике обобщенного уравнения Хатчинсона (56) в экстремальной ситуации (55).

Во-первых, при условиях (62), (67) и при увеличении параметра /3 нулевое решение уравнения (56) теряет устойчивость и из него бифурцирует

устойчивый цикл. Точнее говоря, теорема 10 и содержащееся в разделе 6.3 численное исследование модельной задачи гарантируют, что упомянутый цикл существует при любом фиксированном ¡3 > (1 — 7)/2 (в квазинормальной форме (70) ему отвечает устойчивая бегущая волна). Добавим еще, что в рассматриваемом случае этот цикл остается единственным локальным аттрактором уравнения (56) несмотря на то, что при увеличении /3 общее число его неустойчивых периодических решений, соответствующих бегущим волнам при п ^ 1, неограниченно растет.

Во-вторых, при приближении параметра 7 к критическому значению 7=1 происходит усложнение динамики, связанное с появлением в фазовом пространстве уравнения (56) различных сосуществующих аттракторов, или, иными словами, реализуется феномен буферности. Действительно, при условиях (68), (69) квазинормалыюй формой этого уравнения является модельная краевая задача (75). Последняя же, как показал соответствующий численный анализ, при подходящем выборе параметров d\,d2 может иметь достаточно большое число сосуществующих аттракторов, среди которых присутствуют как устойчивые циклы, так и более сложные установившиеся режимы (двумерные торы и хаос). Таким образом, для того чтобы убедиться в наличии мультистабильности, достаточно применить к каждому устойчивому циклу квазинормальной формы (75) теорему 10 и получить аналогичный устойчивый цикл исходного уравнения (56). Для двумерных торов краевой задачи (75), найденных численными методами в разделе 6.3, остается в силе аналог теоремы 10 о соответствии. Причина этого в том, что любой из упомянутых торов устроен как "периодически зависящую от времени бегущую волну", т. е. записывается в виде v = v(t, у) : v{t + Т,у) s v(t, у), v(t, у + 1) = — v(t, у), у = at + х, где а = const ф 0, Т > 0. Что же касается хаотических аттракторов квазинормальной формы (75), то для них, напротив, никаких строгих результатов о соответствии получить не удается.

Приложения А и Б относятся к главе 6. В первом из них обсуждаются особенности динамики нелинейного дифференциального уравнения с двумя запаздываниями из шестой главы в случае, когда запаздывание не велико. Во втором приложении приведены начальные условия и проекции устойчивых режимов разностной модели системы (75).

Цитированная литература

1. Анищенко, В. С. Сложные колебания в простых системах / В. С. Анищенко. — М.: Наука, 1990.

2. Анищенко, В. С. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, А. Б. Нейман, Г. И. Стрелкова,

Л. Шиманский-Гайер. — Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003.

3. Ланда, П. С. Нелинейные колебания и волны / П. С. Ланда. — М.: Наука, 1997.

4. Гапонов-Грехов, A.B. Автострукгуры. Хаотическая динамика ансамблей / A.B. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М..- Наука, 1987. С. 7-44.

0. Абарбанелъ, Г. Д. Синхронизация в нейронных ансамблях / Г. Д. Абарбанелъ, М. И. Рабинович, А. Селверстон, М. В. Баженов, Р. Хуэрта, М. М. Сущик, Л. Л. Рубчинсхий // Усп. Физ. наук. - 1996. - Т. 166, А*« 4. - С. 363-390.

6. Rabinovich, М. I. Dynamical principles in neuroscicnce / Mikhail I. Rabinovich, Pablo Varona, Allen I. Seiverston, Henry D. I. Abarbanel // Rev. Mod. Phys. — 2006. — V. 78. - P. 1213-1265. DOI: 10.1103/RevModPhys.78.1213.

7. Калесов, Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией / Ю.С. Колесов // Укр. матем. жури. - 1987. - Т. 39, № 1. - С. 28 - 34.

8. Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вт. — М.: Мир, 1985.

9. Колесов, А. Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А. Ю. Колесов, Н. X. Розов. — М.: Физматлнт, 2004.

10. Кащенко, С. А. Уравнение Гинзбурга-Ландау — нормальная форма для днфферен-циально-разноетиого уравнения второго порядка с большим запаздыванием / С. А. Кащенко // ЖВМ и МФ. - 1998. - Т. 38, К< 3. - С. 457 - 4G5.

Публикации по теме диссертации Публикации в журналах из списка ВАК

1. Глызин, С. Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения "реакция-диффузия" / С. Д. Глызин // Дифференциальные уравнения. - 1997. - Т. 33, № 6. - С. 805-811.

2. Глызин, Д. С. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора / Д. С. Глызин, С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н.Х. Розов //Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 2. - С. 268-273.

3. Глызин, С. Д. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // Дифференциальные уравнения. — 2005. - Т. 41, JV» 1. - С. 41-49.

4. Глызин, С. Д. Механизм жесткого возбуждения автоколебаний, связанный с резонансом 1:2 / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2005. — Т. 45, № 11. — С. 1923-1934.

5. Глызин, С. Д. Явление буферности в системах с полутора степенями свободы / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, К' 9. - С. 1582-1593.

6. Глызин, С. Д. О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных генераторов / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов //Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — Т. 46, № 10. — С. 1809-1821.

7. Глызип, С. Д. Поведение решений нормальной формы системы трех связанных разностных автогенераторов / С. Д. Глызин // Моделирование и анализ информационных систем. - 2006. - Т. 13, X' 1. - С. 49-57.

8. Глызип, С. Д. Явление буферности в одном двумерном кусочно-линейном отображении из радиофизики / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов //' Матем. заметки. - 2007. - Т. 81. - № 4. - С. 507-514.

9. Глызин, С. Д. О предельных значениях функций Мельникова на периодических орбитах / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, X» 2. - С. 176-190.

10. Глызин, С. Д. Разделение движений в окрестности полуустойчивого цикла / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. — 2007. - Т. 43, № 5. - С. 598-615.

И. Глызин, С. Д. Об одной математической модели хаотической буферности / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Доклады РАН. - 2007. - Т. 412, Л"» 5. - С. 604-609.

12. Глызин, С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона /' С. Д. Глызин // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, Л"' 3. — С. 50-63.

13. Глызин, С. Д. Катастрофа голубого неба в релаксационных системах с одной быстрой и двумя медленными переменными / С. Д. Глызип, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // Дифференциальные уравнения. — 2008. — Т. 44, № 2. — С. 158-171.

14. Глызип, С. Д. Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа / С. Д. Глызин, Е. О. Киселева // Моделирование и анализ информационных систем. - 2008. - Т. 15, № 2. - С. 75-88.

15. Глызин, С. Д. Пример аттрактора, состоящего из неустойчивых по Ляпунову периодических траекторий /' С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов //' Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15, № 2. — С. 94-95.

16. Глызин, С. Д. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2009. — Т. 49, Л« 1. — С. 76-89.

17. Глызин, С. Д. К вопросу о реализуемости сценария развития турбулентности по Ландау / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // Теоретическая и математическая физика. - 2009. - Т. 158, №2. - С. 291-310.

Прочие публикации

18. Глызин, С. Д. Стационарные режимы одной конечноразностной аппроксимации краевой задачи "реакция-диффузия" / С. Д. Глызин // Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994. — С. 256-257.

19. Глшин, С. Д. Каскад бифуркаций странных аттракторов в одной модели краевой задачи "реакция-диффузия" / С. Д. Глызин // "Понтрягинские чтения - VII": Тезисы докладов школы. - Воронеж: ВГУ, 1996. — С. 53.

20. Глызин, С. Д. Численные методы анализа динамических систем: Учебн. пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2002. — 76 с.

21. Глызин С.Д. Сценарии фазовых перестроек одной резонансной динамической системы / С.Д. Глызин, Е.П. Кубышкин // Современные методы теории краевых задам: Материалы Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения -XV". - Воронеж: ВГУ, 2004. - С. 58-59.

22. Глызин, С. Д. Нелинейная динамика одного дифференциального уравнения второго порядка с периодически возмущенным запаздыванием / С.Д. Глызин, Е.П. Кубышкин Ц Моделирование и анализ информационных систем. — 2005. — Т. 12, № 1. — С. 39-44.

23. Глызин, С-Д. Динамические свойства систем фазовых уравнений диффузионно слабо связанных осцилляторов / С.Д. Глызин // Моделирование и анализ информационных систем. - 2005. - Т. 12, № 2. - С. 53-64.

24. Glyzin, S.D. Scenario Of Phase Reconstruction A Resonance (1:2) Dynamical System / S.D. Glyzin //VI International Congress on Mathematical Modeling. Book of Abstracts. Sept. 20-26, 2004, Nizhny Novgorod. - P. 249.

25. Глызин, С.Д. Соотношение свойств одного класса динамических систем и их нормальных форм / С.Д. Глызин // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягянские чтения XVI". Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 48-49.

26. Глызин, С. Д. Качественное поведение нормальной формы одного класса динамических систем с переменным запаздыванием / С.Д. Глызин, Е.П. Кубышкин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. — Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 74-75.

27. Глызин, С.Д. Динамика нормальной формы трех близких однонаправленно связанных осцилляторов // Тезисы докладов Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач. Понтрягипскне чтения

- XVir (Воронеж, 3-9 мая 2006). - Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 60.

28. Глызин, С.Д. Алгоритм нормализации и динамика нормальной формы одного класса отображений / С.Д. Глызин // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2006: тезисы докладов / Воронеж: ВорГУ, 2006. — С. 56.

29. Глызин, С.Д. Асимптотическое поведение решений одного класса разностных уравнений // International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics", Moscow, June 19-25 2006. Section № 6. — P. 42-43.

30. Глызин, С. Д. Локальные методы анализа динамических систем / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов: Учебн. пособие / Яросл. гос. ун-т. — Ярославль, 2007. — 92 с.

31. Glyzin, S.D. Dynamic properties of a circle of three unidirectionally connected oscillators / S.D. Glyzin II Материалы VIII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", 9-14 октября 2007. - Саратов, 2007. - С. 47.

32. Глызин, С. Д. Качественный анализ логистического уравнения с двумя запаздываниями / С. Д. Глызин ¡I Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна

- 2008. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 160-161.

33. Глызин, С.Д. Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа / С. Д. Глызин, Е. О. Киселева // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. — Самара: СамГТУ, 2008.

- С. 77-80.

Введение

1. Диффузионное взаимодействие двух близких осцилляторов

1.1. Слабое диффузионное взаимодействие двух близких осцилляторов

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Динамические свойства нормальной формы.

1.1.3. Обоснование результатов

1.1.4. Динамика ,пары диффузионно связанных уравнений Хатчинсона.

1.2. Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Построение нормальной формы системы

1.2.3. Сценарии фазовых перестроек нормальной формы

1.2.4. Численный анализ системы из двух связанных нейронов

2. Нерегулярные колебания в цепочках из трех однонаправлен-но связанных колебательных систем

2.1. О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных осцилляторов

2.1.1. Локальная постановка проблемы.

2.1.2. Анализ нормальной формы.

2.1.3. Нелокальные случаи.

2.2. Колебания в кольце из трех однонаправленно связанных разностных генераторов.

2.2.1. Алгоритм нормализации отображений в окрестности неподвижной точки

2.2.2. Построение отображения, моделирующего динамику взаимодействия трех автогенераторов.

2.2.3. Нормальная форма отображения.

2.2.4. Динамические свойства нормальной формы отображения

3. Цепочки диффузионно слабо связанных осцилляторов

3.1. Динамические свойства систем фазовых уравнений диффузионно слабо связанных осцилляторов.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Построение системы фазовых уравнений

3.1.3. Динамические свойства фазовой системы в случае отрезка

3.1.4. Численные оценки старшего ляпуновского показателя и ляпуновской размерности фазовой системы при п >

3.1.5. Фазовая система диффузионно связанных осцилляторов на окружности.

3.2. Численный анализ разностных аппроксимаций уравнения Гинзбурга - Ландау при стремлении коэффициента диффузии к нулю

3.2.1. Случай граничных условий Неймана.

3.2.2. Случай краевой задачи на окружности

4. Нелинейные волновые уравнения и их дискретные аналоги

4.1. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Основной результат

4.1.3. Случай граничных условий Неймана.

4.1.4. Построение цепочек с хаотической буферностью

4.2. Об одной модели явления хаотической буферности.

2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Основной результат

4.2.3. Выводы.

4.3. К вопросу о реализуемости сценария развития турбулентности по Ландау.

4.3.1. Введение.

4.3.2. Общие свойства модели.

4.3.3. Нелокальный случай.'.

5. Системы с полутора степенями свободы 178 5.1. Явление буферности в системах с полутора степенями свободы

5.1.1. Физическая постановка задачи.

5.1.2. Исследование квазилинейного осциллятора.

5.1.3. Анализ уравнений маятникового типа.

5.1.4. Результаты численного анализа.

5.2. О предельных значениях функций

Мельникова на периодических орбитах •.

5.2.1. Постановка задачи и описание результатов.

5.2.2. Обоснование результатов.

5.2.3. Случай уравнения маятникового типа.

5.2.4. Анализ примера

6. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона

6.1. Постановка задачи и линейный анализ.

6.2. Метод квазинормальных форм и результаты его применения

6.3. Анализ модельных краевых задач.

Математическое моделирование процессов, протекающих во времени, как правило, связано с построением некоторой совокупности колебательных систем, каким-либо способом связанных друг с другом. Диссертационная работа посвящена изучению динамики их взаимодействия.

Сами по себе системы взаимодействующих нелинейных осцилляторов могут возникать, во-первых, как результат моделирования реальных объектов, состоящих из нескольких парциальных колебательных систем, и, во-вторых, как математическая модель для приближенного описания динамики пространственно распределенных задач или уравнений с запаздыванием по времени.

Проблема регулярной и хаотической динамики взаимодействующих осцилляторов очень широка и нуждается в некотором сужении. В качестве такого сужения выступает предположение о том, что отдельные взаимодействующие осцилляторы близки.

Общая схема работы такова: сначала изучается система из минимально возможного числа (двух) осцилляторов. Причем для формулировки строгих результатов предполагается, что каждый из осцилляторов находится вблизи бифуркации Андронова - Хопфа, а связь между ними слабая. На основе полученных асимптотических формул делаются выводы о поведении решений нескольких конкретных систем из нейродинамики, а затем численными методами устанавливаются границы применимости этих асимптотик. Затем изучается поведение большего числа осцилляторов. Речь идет о трех однона-правленно связанных в кольцо колебательных системах. Далее рассматривается уже сколь угодно большое число диффузионно связанных осцилляторов, в случае когда их амплитуды близки, а общее поведение описывается системой дифференциальных уравнений для разностей фаз. В этой ситуации обнаруживается явление, составляющее один из главных результатов работы: ляпуновская размерность аттрактора соответствующей системы монотонно растет по почти линейному закону с ростом числа осцилляторов. В последних частях работы рассмотрены в одном случае краевые задачи гиперболического типа, которые при разложении по модам дают счетную систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений, а в другом — сингулярно возмущенное уравнение с двумя запаздываниями, также сводящееся, в конечном итоге, к модельной системе из счетного числа осцилляторов. Для того, чтобы показать, что сложность поведения решений динамической системы не обязательно является результатом взаимодействия большого числа осцилляторов, в работе рассмотрены несколько моделей с полутора степенями свободы и показано наличие у них явления мультиста-бильности и буферности.

Коротко остановимся на источниках происхождения задач о связанных осцилляторах и соответственно на актуальности темы исследований. Сразу отметим довольно большое число моделей такого рода, возникающих как результат изучения взаимодействующих механических, электрических, биологических систем (см. [2,3,102,119]). Одним из характерных примеров, особенно активно изучаемых в последнее время, является задача о взаимодействии нервных клеток, на решение которой в значительной мере направлены усилия в области нейродинамики (см., например, [1,134,145,152]). С другой стороны, источником систем диффузионно взаимодействующих осцилляторов являются, очевидно, различные краевые задачи, в частности краевая задача типа "реакция-диффузия" ди vDAu + (Л0 + + F(u), (0.0.1) at ди ди 0, (0.0.2) г которая представляет собой важный объект исследований в проблеме изучения механизмов пространственно-временных флуктуаций- в моделях биологических и физических систем [7,21,22]. В системе (0.0.1) вектор-функция u(t, х) 6 Rn определена в области Q с достаточно гладкой границей Г, D — диагональная матрица с положительными элементами, А — оператор Лапласа, v — положительный параметр. Будем считать, что собственные числа матрицы Aq за исключением одной пары лежат в левой комплексной полуплоскости, достаточно гладкая вектор-функция векторного аргумента F(u) имеет в нуле порядок малости выше, чем первый, 0 < е « 1 — малый параметр. Вещественную часть первой ляпуновской величины, вычисленной при г = 0, полагаем отрицательной, а матрицу А\ такой, что пара собственных чисел матрицы Aq -j- eAi переходит при е > 0 в правую комплексную полуплоскость. Эти условия обеспечивают существование пространственно однородных периодических режимов краевой задачи (0.0.1)-(0.0.2), которые г устойчивы при достаточно большом v. Важной задачей при изучении структуры распределенных устойчивых решений задачи (0.0.1)-(0.0.2) является проблема определения характера потери устойчивости пространственно однородного решения и исследование ветвящихся при этом режимов. Непосредственный анализ краевой задачи (0.0.1)-(0.0.2) приводит к серьезным трудностям, поэтому имеет смысл рассмотреть упрощенную модель, которая бы сохраняла существенные свойства исходной краевой задачи. В этом смысле не до конца исследованными остаются разностные аппроксимации по пространственным переменным, простейшие из которых мы и рассмотрим.

Для этого предположим, что область Г2 — [0,1], а размерность вектора u(t,x) равна двум, тогда краевая задача (0.0.1)-(0.0.2) сводится к задаче ди дit vDh*+ (Л)++(0-°'3) ди дх ди а:=0 дх 0, (0.0.4)

Х=1 заменим в краевой задаче (0.0.3)-(0.0.4) оператор дифференцирования по пространственной переменной разностным так, что дщ dt vDN2(uj-1 - 2uj + uj+1) + (A0 + eAx)uj + F(uj), (0.0.5) узлы аппроксимации выберем в точках Xj = (j — 1/2)/N, (j = 1.N). Краевые условия (0.0.4) заменим на щ = щ, uN = uN+i. (0.0.6)

Таким образом, получена система связанных идентичных друг другу осцилляторов с диффузионной связью. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (0.0.5), (0.0.6) является в настоящей работе одним из основных объектов исследования. Важным обобщением данной системы является задача о диффузионном взаимодействии колебательных систем с бесконечномерным фазовым пространством. В этом случае система обыкновенных дифференциальных уравнений для парциального осциллятора из (0.0.5) й = (А0 + £Аг)и + F{u) (0.0.7) заменяется краевой задачей или уравнением с запаздыванием. В случае когда эта краевая задача имеет единственный аттрактор (например, цикл или тор), ее исследование, как правило, не значительно отличается от исследования задачи (0.0.5), (0.0.6). Однако каждая из таких парциальных задач может иметь большое, даже счетное число аттракторов. Динамические свойства диффузионно связанных колебательных систем, у каждой из которых имеется несколько аттракторов, также являются одним из объектов исследования работы.

Отметим, что для динамических систем с распределенными параметрами ситуация, в которой в ее фазовом пространстве сосуществуют устойчивые режимы с узкими областями притяжения, встречается достаточно часто. Именно с этим связано явление мультистабильности, проявляющееся в том, что траектория динамической системы в зависимости от начальных условий приходит к различным аттракторам, чему предшествует длительный переходный процесс. Одним из проявлений мультистабильности является феномен буферности, о котором принято говорить в случае, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и

Из результатов известной работы А. А. Витта [17], а также из значительно более поздних работ [84-88,115] следует, что буферность представляет собой универсальное нелинейное явление, возникающее в математических моделях из различных областей естествознания: радиофизики, механики, экологии, нелинейной оптики, теории горения и т. д. Поэтому весьма актуальна проблема изучения типовых сценариев накапливания аттракторов в различных динамических системах. К настоящему времени удалось выявить три таких сценария: в первую очередь это сценарий Витта, являющийся наиболее распространенным, а также тьюрингский и гамильтонов механизмы накапливания аттракторов.

Ситуация, в которой реализуется механизм Витта, заключается в следующем. Предположим, что в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия некоторой динамической системы имеет место критический случай счетного числа чисто мнимых собственных значений, а при изменении каких-либо входящих в эту систему параметров происходит последовательное смещение точек спектра в правую комплексную полуплоскость. Тогда, как установлено в уже упоминавшихся работах [17,84-88,115], чаще всего в такой системе наблюдается феномен буферности в простейшем его варианте: происходит неограниченное накапливание устойчивых циклов, причем каждый отдельно взятый цикл рождается из нулевого состояния равновесия неустойчивым, а затем обретает устойчивость, подрастая по амплитуде.

Тьюрингский механизм отличается от механизма Витта по существу лишь тем, что каждый индивидуальный цикл (или состояние равновесия) при изменении управляющих параметров сначала обретает устойчивость, а затем снова ее теряет. Таким образом, хотя общее число аттракторов и увеличивается, но их состав постоянно обновляется. Как показано в монографии [115], данная ситуация реализуется главным образом в системах типа реакция-диффузия при пропорциональном уменьшении коэффициентов диффузии, но может возникать и в системах с запаздыванием при неограниченном увеличении времени запаздывания. В частности, с ней сталкиваемся при рассмотрении известной модели "брюсселятор", изучавшейся еще А. Тьюрингом [156] (отсюда и название - тьюрингский механизм).

Описанные сценарии накапливания аттракторов характерны, естественно, только для систем с бесконечномерным фазовым пространством. Что же касается конечномерных систем, то в них простейшим механизмом возникновения буферности является, по всей видимости, так называемый гамиль-тонов сценарий, проиллюстрированный в [115] на ряде двумерных отображений из механики. Суть этого сценария состоит в том, что в гамильтоновых или консервативных системах с полутора или больше степенями свободы хаотические движения сосуществуют со счетным числом так называемых островков устойчивости, примыкающих к эллиптическим состояниям равновесия или циклам. При возмущении такой системы малыми диссипатив-ными добавками часть из состояний равновесия или циклов могут стать асимптотически устойчивыми и, что самое главное, количество последних может неограниченно увеличиваться при стремлении возмущений к нулю.

Следует заметить, что гамильтонов механизм, несмотря на его простоту, до сих пор оставался наименее изученным, так как кроме уже упоминавшихся двумерных отображений (см. [115]) он не был подкреплен какими-либо другими содержательными примерами. В четвертой главе данной работы устанавливается ряд результатов о наличии буферности в некоторых классических механических задачах, описывающихся уравнениями маятникового типа с периодическими по времени малыми добавками (именно такого типа уравнения в физической литературе принято называть системами с полутора степенями свободы).

Перейдем теперь к используемым в работе методам исследования. Во всей работе нами предпринималась попытка сочетания аналитических и чис-' ленных методов. Очевидно, что эти методы должны дополнять друг друга. Среди аналитических методов, используемых при работе.с динамическими системами, ведущую роль играет построение различного рода асимптотик. Особо выделим метод нормальных форм в случае конечномерных вырождений и метод квазинормальных форм — в случае бесконечных.

На протяжении всей работы в различных вариациях использовались высокоэффективные асимптотические методы исследования динамики, базирующиеся на аппарате интегральных многообразий и нормальных форм [5,15,106,108,130,131]. Эти методы, восходящие к работам Пуанкаре [122] и методу усреднения Крылова - Боголюбова - Митропольского [13,100,111], применимы лишь в случае, когда при критическом значении параметра в спектре устойчивости исследуемой системы оказывается конечное число точек, лежащих на мнимой оси.

При исследовании распределенных систем и уравнений с запаздыванием оказалось, что для них могут реализовываться такие ситуации, в которых спектральная задача имеет счетное число значений на мнимой оси. В связи с этим в начале 80-х для случая, близкого к бесконечномерному вырождению, Ю.С. Колесовым [16,99] был предложен специальный асимптотический метод, названный впоследствии методом квазинормальных форм. Не останавливаясь подробно на истории вопроса, напомним, что к настоящему времени этот метод обоснован в ряде модельных ситуаций как для параболических [76,114,115], так и для гиперболических [84,91] краевых задач. В случае дифференциально-разностных уравнений второго порядка с большим запаздыванием алгоритмические аспекты метода квазинормальных форм разработаны в статьях [75,79].

Существенным ограничением асимптотических методов является в первую очередь их локальность как по бифуркационному параметру, так и по области фазового пространства. Как правило, не известно, что происходит с решениями динамической системы, не лежащими в окрестности некоторого особого решения, и для параметров не близких к критическим. Численное интегрирование в этой ситуации позволяет отчасти прояснить проблему и продолжить по параметру найденное асимптотическими методами решение, тем самым позволяя оценить границы применимости асимптотических формул.

Особо отметим, что численные методы сами по себе без предварительного асимптотического анализа не могут дать ответ на вопросы качественного поведения исследуемой модели. Выполним обзор некоторых из численных методов, применяемых в работе.

Численный анализ нелинейных динамических систем с неупорядоченным поведением представляет собой достаточно сложную задачу. Одна из основных проблем, возникающих в этом случае, состоит в том, что численные методы, используемые при решении эволюционных'уравнений, дают в определенном смысле гарантированную точность вычислений лишь на конечных промежутках изменения переменной времени. На практике же численные методы часто применяют на больших временных отрезках, когда решение исходной задачи и разностной схемы, ее моделирующей, уже не имеют никакого отношения друг к другу. Более того, в случае исследования систем с хаотической динамикой в силу экспоненциального разбегания траекторий, решения с близкими начальными условиями начинают отличаться друг от друга на величину порядка единицы за относительно короткий промежуток времени. Особенно серьезные проблемы возникают, когда моделируемая динамическая система не является структурно устойчивой (отметим, что хаотические аттракторы для систем с непрерывным временем часто негиперболичны). В этой ситуации для анализа качественных характеристик решений вычисляются различные размерностные показатели, наиболее известные и надежно вычислительно реализуемые из них это ляпуновские показатели и ляпуновская размерность, корреляционный интеграл, энтропия. В условиях, когда динамическая система задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно небольшой размерности и удается построить систему в вариациях вдоль траектории, лежащей на аттракторе, наиболее уместно вычисление ляпуновских показателей.

Учитывая, что определению этих показателей отводится в работе значительное место, коротко остановимся на алгоритме их вычисления (подробно см. [23]). Для нахождения старшего ляпуновского показателя хаотического аттрактора нами используется некоторая модификация известного алгоритма Бенеттина [136]. Напомним, что в упомянутом алгоритме при интегрировании системы в вариациях на траектории из аттрактора через равные промежутки времени заданной длины Т > 0 производится перенормировка вектора начальных условий. Основная идея нашего метода состоит в том, чтобы "заставить" систему динамически выбирать моменты перенормировок.

В пространстве Шп, п ^ 3 рассмотрим произвольную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

X = f{x) (0.0.8) с гладкой правой частью / и будем считать, что она имеет компактный аттрактор А с хаотическим поведением траекторий. Последнее означает, что, во-первых, для множества А предполагается существование так называемой поглощающей окрестности, т.е. такого ограниченного открытого множества

U D А, что замыкание (pl(U) С U при всех t > 0 и (р*(Ы) = Л (здесь г^о р°(хо) = Xq - поток, задаваемый системой (0.0.8)). Во-вторых, предполагаем существование подмножества А С А со следующими свойствами: а) А - вероятностный аттрактор [149], т. е. наименьшее замкнутое множество, содержащее о;-предельные множества для почти всех точек из Ы\ б) множество А является хаотическим в смысле определения Девани [135,137], т.е. в А плотны периодические траектории системы (0.0.8) и сужение на А ее фазового потока ipb обладает свойством топологической транзитивности. Как показано в [135], из этих двух требований вытекает неустойчивость по Ляпунову каждой отдельно взятой траектории, принадлежащей множеству А, или, иными словами, существенная зависимость от начальных условий.

Приведенное определение хаотического аттрактора не является единственно возможным. Например, можно считать, что А - стохастический аттрактор в смысле определения Я.Г. Синая [125], сформулированного в терминах инвариантной меры. Существует также определение хаоса по Ли-Йорке (см., например, [12]) и т.д. В любом случае, однако, важным, на наш взгляд, представляется лишь свойство существенной зависимости от начальных условий, которое, собственно говоря, и служит синонимом самого понятия "хаос". Что же касается практической стороны вопроса, то общепринятый эвристический критерий наличия требуемого свойства состоит в существовании хотя бы одного положительного показателя в ляпуновском спектре аттрактора. Таким образом, естественно возникает проблема разработки различных алгоритмов расчета наибольшего ляпуновского показателя Хтах аттрактора А.

Приступим к описанию нашего варианта алгоритма Бенеттина, который уместно назвать методом динамической перенормировки. С этой целью фиксируем некоторую точку xq из хаотического аттрактора А, выпустим из нее траекторию х = &о(£), £о(0) = жо системы (0.0.8) и рассмотрим систему в вариациях на данной траектории: h = A(t)h, h\t=0 = h0l • (0.0.9) где A(t) = f'{x)\x=x0(t)i a ^o, Il^o11 = 1 (здесь и ниже || * |l ~ евклидова норма в Rn), - произвольный вектор. Единственное условие, которому должны удовлетворять начальная точка хо £ А и начальная вариация ho и которое всюду ниже считаем выполненным, состоит в требовании их "типичности". Последнее означает, что тах — Иш In ||/i(t)НА, (0.0.10) t—>+оо где h(t) - решение задачи Коши (0.0.9), а Атах - старший ляпуновский показатель аттрактора А, который в силу известной мультипликативной эрго-дической теоремы Оселедца [121] не зависит от жо (точнее говоря, одинаков для почти всех жо € А по некоторой инвариантной мере). Кроме того, предположим сначала, что реализуется самый интересный случай Хтах > 0.

На следующем этапе фиксируем произвольно некоторое число итах > 1 и наряду с системой (0.0.9) рассмотрим отвечающую ей релейную систему

Л* = R(t, h*), h*\t=o = ho (0.0.11) с тем же начальным вектором ho, решение h*(t) которой определим конструктивно. А именно, сначала положим /i*(£) = h(t) и будем считать, что это равенство справедливо до тех пор, пока ||/г.(£)|| < итах. Далее заметим, что ||/i(£)|| —> оо при t —^ +оо в силу (0.0.10) и условия \тах > 0. Поэтому обязательно найдется такой первый момент времени t\ > 0, что = итах• В этот момент происходит переключение и при t ^ t\ функция h*{t) определяется уже как решение задачи Коши

К = A(t)h*, h*\t=tl = - 0)/||/i,(ti - 0)||. (0.0.12)

Закон (0.0.12) изменения h*(t), в свою очередь, справедлив до очередного момента переключения 12, когда первый раз (после момента t\) норма ||/г*(£)|| достигнет порогового значения итах (такой момент времени обязательно наступит по тем же причинам, что и выше). При t ^ £2 снова имеем дело с задачей Коши (0.0.12), в которой, естественно, t\ 'заменяется на £2, и т. д.

Таким образом, получаем бесконечную последовательность моментов переключений tm, т ^ 1, где tm - наименьший положительный корень уравнения h(t)\\ = {итах)т , (0.0.13) а само решение h*(t) релейной системы (0.0.11) на любом промежутке tm ^ t < tm+1 задается формулой /i*(t) = h(t)/(итах)т. Обозначим, далее, через т = m(t) количество переключений на промежутке времени [0,£].

Сформулируем основной результат, позволяющий построить алгоритм вычисления старшего ляпуновского показателя с автоматическим выбором моментов переключения.

Теорема 0.1. Справедливо предельное равенство lim m(t) ln(umaa;) /t — Хтах • (0.0.14) t—^+00

He останавливаясь на доказательстве данного факта (оно приведено в [23]) сделаем некоторые замечания.

Во-первых, при численной реализации предложенного алгоритма, как и в алгоритме Бенеттина, здесь не возникает компьютерных проблем, связанных с переполнением. Расчетная же формула для Хтах имеет в данном случае вид

Хтах = m(i) \n{umax)/t. (0.0.15)

Во-вторых, в случае Хтах > 0 вместо (0.0.15) можно пользоваться расчетной формулой

A max = m(t) In (umax)/tm , (0.0.16) дающей более точный результат.

В-третьих, предельное равенство (0.0.14) остается справедливым и при Хщах — 0, т.е. для регулярного аттрактора.

И наконец, в-четвертых, формула (0.0.16), вообще говоря, не работает при A max = 0. Действительно, в случае конечного числа переключений она выдаст ненулевое значение. В отличие от (0.0.16) первоначальная формула (0.0.15) лишена этого недостатка, но обе они заведомо не пригодны в случае A max < 0, когда аттрактор А - состояние равновесия. В связи с этим возникает необходимость внесения некоторых поправок в описанный алгоритм.

Для описания исправленного алгоритма фиксируем два пороговых значения итах > 1 и umin 6 (0,1) и будем считать, что переключения в релейной системе (0.0.11) происходят в моменты времени, когда Ц/i*(t) j | принимает любое из значений итах или ит{п. Обозначим, далее, через mi(t) и m2(t) -количества переключений на отрезке [0,£], связанные с достижением итах и Umin соответственно.

Следующее утверждение позволяет получить расчетную формулу алгоритма, работающего для значений Хтах любого знака.

Теорема 0.2. Вне зависимости от знака Хтах справедливо предельное равенство lim \mi(t) In (Umax) + rn2{t) In (umin)}/t = Xmax • (0.0.17) t-> + OO

Следует отметить, что аналоги теорем 0.1, 0.2 можно получить и для точечных отображений.

Описанный выше алгоритм реализован программно Глызиным Д.С. в пакете Tracer (см. [24]), который и используется для получения значительной части представленных в работе численных результатов.

Структура диссертационной работы

Диссертация содержит введение, шесть глав, заключение и приложения. В первой главе рассмотрена система из двух близких осцилляторов

Заключение

В заключение перечислим основные результаты полученные в работе.

1. Построена и проанализирована нормальная форма для двух диффузионно связанных колебательных систем. Определены сценарии фазовых перестроек. Получены условия возникновения и потери устойчивости неоднородных автомодельных циклов и торов данной системы.

2. Найдены условия реализации квазифейгенбаумовского бифуркационного сценария, в котором переход от одного самосимметричного цикла к другому циклу условно двойного периода происходит через каскад бифуркаций потери симметрии, стандартных удвоений периода, возникновений и исчезновений хаотических аттракторов.

3. На примере из нейродинамических приложений выполнен численный эксперимент, позволяющий оценить границы применимости асимптотических методов.

4. В целях повышения точности и надежности вычисления ляпуновских экспонент разработан и обоснован новый вариант алгоритма Беннетина (метод динамических перенормировок) для их определения.

5. Для цепочки диффузионно слабо связанных колебательных систем на устойчивом интегральном многообразии построена и проанализирована система разностей фаз осцилляторов. В случае двух, трех и четырех осцилляторов и цепочек с граничными условиями периодичности и непроницаемости дана полная динамика соответствующей нормальной формы.

6. В случае, когда число осцилляторов в цепочке растет численными методами показано, что ляпуновская размерность аттрактора увеличивается по близкому к линейному закону. Произведен обширный численный эксперимент для разностной модели уравнения Гинзбурга - Ландау, в котором проиллюстрирован данный результат и определены границы его применимости.

8. Для трех однонаправлено связанных в кольцо осцилляторов показан способ построения системы с хаотическим аттрактором. Подобно разобран один радиофизический пример. Установлены границы применимости асимптотически методов.

9. Получено обобщение результатов для трех однонаправлено связанных в кольцо осцилляторов на случай, когда парциальная колебательная система представляет собой краевую задачу гиперболического типа (обобщенное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью). Показано, что такая система может иметь сколь угодно большое число хаотических аттракторов.

10. Для цепочки диффузионно слабо связанных систем гиперболического типа обнаружен и обоснован механизм накопления хаотических аттракторов. В частности, установлено, что при изменении управляющего параметра в такой системе могут наблюдаться две принципиально различные ситуации: 1) сосуществует счетное число конечномерных хаотических аттракторов; 2) существует хаотический аттрактор бесконечной размерности.

11. Рассмотрена феноменологическая модель развития турбулентности в соответствии со сценариями Ландау и Ландау - Селла, по первому из которых возникновение турбулентного аттрактора происходит в результате каскада бифуркаций устойчивых инвариантных торов все более высоких размерностей, а во втором происходят фазовые перестройки хаотических аттракторов, ляпуновская размерность которых при изменении некоторого управляющего параметра неограниченно растет.

12. Выяснен и обоснован механизм накопления однотипных аттракторов (устойчивых предельных циклов) у слабо возмущенных динамических систем маятникового типа. С этой целью определены частичные пределы функций Мельникова на резонансных циклах.

13. Для сингулярно возмущенного логистического уравнения с двумя запаздываниями показано, что его квазинормальной формой могут служить краевые задачи параболического типа с кубической нелинейностью и в слу чае дополнительного вырождения — краевая задача типа уравнения Кор-тевега - де Фриза с антипериодическими краевыми условиями. Выполнен численный анализ квазинормальной формы, показано, что число сосуществующих устойчивых режимов растет с ростом числа осцилляторов, учитываемых в разностной модели квазинормальной формы.

1. Абарбанель, Г. Д. Синхронизация в нейронных ансамблях / Г. Д. Абар-банелъ, М. И. Рабинович, А. Селверстон, М. В. Баженов, Р. Хуэрта, М. М. Сущик, Л. Л. Рубчинский // Усп. Физ. наук. — 1996. — Т. 166, № 4. - С. 363-390.

2. Аниги,енко, В. С. Сложные колебания в простых системах / В. С. Ани-щенко. — М.: Наука, 1990.

3. Ahuui^hko, В. С. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Аниии,енко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, А. Б. Нейман, Г. И. Стрелкова, Л. Шиманский-Гайер. — Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003.

4. Анищенко, В. С. Статистические свойства динамического хаоса / В. С. Анищенко, Г. А. Окрокверцхов, Г. И. Стрелкова // Усп. Физ. наук. 2005. - Т. 175, №2. - С. 163-179.

5. Арнольд, В. И. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 1985. Т. 5. - С. 5-220.

6. Арнольд, В. И. Эргодические проблемы классической механики / В. И. Арнольд, А. Авец. — Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999.

7. Аронсон И. С. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур / И. С. Аронсон, А. В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович // ЖЭТФ. — 1985. Т. 89, № 1. - С. 92-105.

8. Ахромеева, Т. С. Нестационарные структуры и диффузионный хаос / Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский. — М.: Наука, 1992.

9. Берже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности / П. Берже, И. Помо, К. Видалъ. — Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000.

10. Бибиков, Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации / Ю. Н. Бибиков. — JL: Издательство ЛГУ, 1991.

11. Бланк, М. Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике / М. Л. Бланк М.: МЦНМО, 2001.

12. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митрополъский. — М: Наука, 1974.

13. Брюно, А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А. Д. Брюно. — М.: Наука, 1979.

14. Ван, Д. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости / Д. Баи, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. М.: МЦНМО, 2005.

15. Васильева, А.Б. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией / А.Б. Васильева, С.А. Кащенко, Ю.С. Колесов, Н.Х. Розов // Мат. сб. 1986. - Т. 130, № 4. - С. 488 -499.

16. Битт, А. А. Распределенные автоколебательные системы / А. А. Витт // Журн. технич. физики. 1934. - Т. 4, № 1. - С. 144 - 157.

17. Гаврилов, Н. К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. I. / Н. К. Гаврилов, Л. П. Шиль-ников // Матем. сб. 1972. - Т. 88, № 4. - С. 475 - 492.

18. Гаврилов, Н. К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. II. / Н. К. Гаврилов, Л. П. Шильников jI Матем. сб. 1973. - Т. 90, № 1. - С. 139 - 157.

19. Гапонов-Грехов, А. В. О рождении многомерного хаоса в активных решетках / А. В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович, И. М. Старобинец // ДАН СССР. 1984. - Т. 279, /No 3. - С. 596—602

20. Гапонов-Грехов, А. В. Динамическая модель пространственного развития турбулентности / А. В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович, И. М. Старобинец // Письма в ЖЭТФ. 1984. — Т. 39, № 12. - С. 561564.

21. Гапонов-Грехов, А.В. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей / А. В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. С. 7-44.

22. Глызин, Д. С. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуиовского показателя хаотического аттрактора / Д. С. Глызин, С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. 2005. — Т. 41, №-2. — С. 268 - 273.

23. Глызин, Д. С. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008611464. Пакет программ для анализа динамических систем "Tracer". Заявка № 2008610548 от 14.02.2008 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.03.2008 г.

24. Глызин, С. Д. Влияние миграций и неоднородного сопротивления среды на процесс видообразования / С. Д. Глызин // Исследования по устойчивости и теории колебаний: Межвуз. сб. / Яросл. ун-т. Ярославль, 1982. С. 78-84.

25. Глызин, С. Д. О стабилизирующей роли неоднородного сопротивления внешней среды в задаче "хищник-жертва"/ С. Д. Глызин // Исследования по устойчивости и теории колебаний: Межвуз.сб. / Яросл. ун-т. — Ярославль, 1982. С. 126-129.

26. Глызин, С. Д. О стабилизирующей роли процесса видообразования / С. Д. Глызин // Исследования по устойчивости и теории колебаний: Межвуз. сб. / Яросл. ун-т. — Ярославль, 1983. — С. 101-105.

27. Глызин, С. Д. Двухчастотные колебания фундаментального уравнения динамики популяций насекомых / С. Д. Глызин // Нелинейные колебания и экология: Межвуз. сб. / Яросл. ун-т. — Ярославль, 1984. — С. 91116.

28. Глызин, С. Д. О границах применимости одного асимптотического метода / С. Д. Глызин // Математические модели в биологии и медицине. Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. — Вильнюс, 1987. — Вып.2. С. 56-58.

29. Глызин, С. Д. Установившиеся режимы уравнения Хатчинсона с малой диффузией в случае квадрата / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений: Межвуз.сб. / Яросл. ун-т. — Ярославль, 1988. — С. 76-94.

30. Глызин, С. Д. Аттрактор билокальной модели уравнения Хатчинсона с диффузией при большом коэффициенте линейного роста / С. Д. Глызин, Ю. С. Колесов // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 307, № 2. - С. 846-851.

31. Глызин, С. Д. Численное обоснование гипотезы Ландау Колесова о природе турбулентности / С. Д. Глызин // Математические модели в биологии и медицине / Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. — Вильнюс, 1989. — Вып. 3. — С. 31-36.

32. Глызин, С. Д. Оптимальный способ ведения рыбного хозяйства7 / С. Д. Глызин, Ю. С. Колесов j j Математические модели в биологии и медицине / Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. — Вильнюс, 1989. Вып. 3. - С. 37-42.

33. Глызин, С. Д. Методы компьютерной графики в качественной теории динамических систем на плоскости. Учебн. пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 1993. — 68 с.

34. Глызин, С. Д. Стационарные режимы одной конечноразностной аппроксимации краевой задачи "реакция-диффузия" // Труды 3-й Международной конференции "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород, сентябрь 1993. — С. 55.

35. Глызин, С. Д. Стационарные режимы одной конечноразностной аппроксимации краевой задачи "реакция-диффузия" / С. Д. Глызин // Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994. С. 256-257.

36. Глызин, С. Д. Каскад бифуркаций странных аттракторов в одной модели краевой задачи "реакция-диффузия" / С. Д. Глызин // "Понтрягин-ские чтения VII": Тезисы докладов школы - Воронеж. ВГУ, 1996. — С. 53.

37. Глызин, С. Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения "реакция-диффузия" / С. Д. Глызин // Дифференциальные уравнения. 1997. - Т. 33, № 6. - С. 805-811.

38. Глызин, С. Д. Численные методы анализа динамических систем. Учебн. пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2002. — 76 с.

39. Глызин, С. Д. Резонансные явления в одной динамической системе / С.Д. Глызин, Е.П. Кубышкин // Математика: Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию ЯрГУ им. П.Г. Демидова. — Ярославль, 2003. — С. 211-218.

40. Глызин, С. Д. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. 2005. - Т. 41, № 1. - С. 41 - 49.

41. Глызин, С. Д. Нелинейная динамика одного дифференциального уравнения второго порядка с периодически возмущенным запаздыванием /

42. С. Д. Глызин, Е.П. Кубышкин // Моделирование и анализ информационных систем. 2005. — Т. 12, № 1. - С.39 - 44.

43. Глызин, С. Д. Динамические свойства систем фазовых уравнений диффузионно слабо связанных осцилляторов / С. Д. Глызин // Моделирование и анализ информационных систем. — 2005. — Т. 12, № 2. — С.53 -64.

44. Глызин, С. Д. Механизм жесткого возбуждения автоколебаний, связанный с резонансом 1:2 / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2005. Т. 45, № 11. - С. 1923 - 1934.

45. Глызин, С. Д. Явление буферности в системах с полутора степенями свободы / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — Т. 46, № 9. С. 1582-1593.

46. Глызин, С. Д. О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных генераторов / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — Т. 46, № 10. С. 1809 - 1821.

47. Глызин, С. Д. Поведение решений нормальной формы системы трех связанных разностных автогенераторов / С. Д. Глызин j j Моделирование и анализ информационных систем. — 2006. — Т. 13, № 1. — С. 49 57.

48. Глызин, С. Д. Явление буферности в одном двумерном кусочно-линейном отображении из радиофизики / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н. X. Розов // Матем. заметки. 2007. - Т. 81. - № 4. - С. 507 - 514.

49. Глызин, С. Д. О предельных значениях функций Мельникова на периодических орбитах / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. — 2007. — Т. 43, № 2. — С. 176-190.

50. Глызин, С. Д. Разделение движений в окрестности полуустойчивого цикла / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. 2007. - Т. 43, № 5. - С. 598-615.

51. Глызин, С. Д. Об одной математической модели хаотической буферности / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // ДАН. 2007. - Т. 412, № 5. - С. 604 - 609.

52. Глызин, С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона / С. Д. Глызин // Моделирование и анализ информационных систем. —■ 2007. Т. 14, № 3. - С. 50 - 63.

53. Глызин, С. Д. Локальные методы анализа динамических систем / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов. — Учебн. пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2007. 80 С.

54. Глызин, С. Д. Катастрофа голубого неба в релаксационных системах с одной быстрой и двумя медленными переменными / С. Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. — 2008.- Т. 44, № 2. С. 158 - 171.

55. Глызин, С. Д. Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа / С. Д. Глызин, Е. О. Киселева // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15, № 2. — С. 75 -.88.

56. Глызин С. Д. Пример аттрактора, состоящего из неустойчивых по Ляпунову периодических траекторий / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15, № 2. — С. 94-95.

57. Глызин, С. Д. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2009. — Т. 49, № 1.- С. 76 89.

58. Глызин, С. Д. К вопросу о реализуемости сценария развития турбулентности по Ландау / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Теоретическая и математическая физика. — 2009. — Т. 158, №2. — С. 291 -310.

59. Горяченко, В.Д. Исследование динамики численности отдельной популяции с учетом последействия. Краткий обзор / В.Д. Горяченко // Нелинейные колебания и экология. — Ярославль: ЯрГУ. — 1984. — С. 66-82.

60. Гукенхеймер, Д. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Д. Гукенхеймер, Ф. Холмс. — Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 560 с.

61. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. ~ М.: Наука, 1970.

62. Дмитриев, А. С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике / А. С. Дмитриев, В. Я. Кислое. — М.: Наука, 1989.

63. Дмитриев, А. С. Динамический хаос как парадигма современных систем связи / А. С. Дмитриев, А. И. Панас, С. О. Старков // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. — 1997.- №10. С. 4-26.

64. Дмитриев, А. С. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации j А. С. Дмитриев, С. О. Старков // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. — 1998. №11. - С. 4-32.

65. Дмитриев, А. С. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи / А. С. Дмитриев, А. И. Панас. — М.: Физматлит, 2002.

66. Заславский, Г. М. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса / Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев. — МГ, 1988.

67. Заславский, Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах / P.M. Заславский. — Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2004.

68. Каменков, Г. В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени / Г. В. Каменков j/ Прикладная математика и механика. — 1953.- Т. 17, № 5. С. 529-540.

69. Каменков, Г. В. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика // Избранные труды / АН СССР. Ин-т проблем механики / Г. В. Каменков.- М.:Наука. Т. 1, 1972. - 261 с.

70. Каток, А. Б. Введение в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хасселблат. — М.: Факториал, 1999.

71. Кащенко, С. А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной / С. А. Кащенко // Диф. уравнения. — 1982. — Т. 25, № 8.- С. 1448 1451.

72. Кащенко, С. А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией / С. А. Кащенко // Докл. АН СССР. — 1988.- Т. 299, №5. С. 1049-1052.

73. Кащенко, С.А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухкомпонентных систем с малой диффузией / С. А. Кащенко // Диф. уравнения. 1989. - Т.25, № 2. - С. 262 г 270.

74. Кащенко, С. А. Об одном дифференциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активность нейрона / С. А. Кащенко, В. В. Майоров // Математическое моделирование. — 1993. — Т. 5, № 12. С. 13-25.

75. Кащенко, С.А. Уравнение Гинзбурга-Ландау — нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием / С. А. Кащенко // ЖВМ и МФ. — 1998. Т. 38, № 3.- С. 457 465. ' ,

76. Киселева, Е. О. Локальная динамика уравнения Хатчинсона с двумя запаздываниями в критическом случае резонанса 1:2 / Е. О. Киселева // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, № 2. С. 53 - 57.

77. Козлов, В. В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы / В. В. Козлов // УМН. 1986. - Т. 41, № 5. - С. 177 - 178.

78. Козлов, В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике / В. В. Козлов. — Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995.

79. Колесов, А.Ю. Описание фазовой неустойчивости системы гармонических осцилляторов, слабо связанных через диффузию / А.Ю. Колесов // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 300, № 1. - С. 831-835.

80. Колесов, А. Ю. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. — М., 1998 (Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. Т. 222).

81. Колесов, А. Ю. Специфика автоколебательных процессов в резонансных гиперболических системах / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов, В. Г. Сушко j j Фунд. и прикл. математика. — 1999. — Т. 5, № 2. — С. 437 473.

82. Колесов, А.Ю. Явление буферности в резонансных системах гиперболических уравнений / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // УМН. 2000. Т. 55. - Вып. 2 (332). - С. 95 - 120.

83. Колесов, А. Ю. Явление буферности в RCLG-автогенераторе: теоретический анализ и результаты эксперимента / А. Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Тр. МИАН. 2001. - Т. 233. - С. 153 - 207.

84. Колесов, А. Ю. Явление буферности в распределенных механических системах / А. Ю. Колесов, Н. X. Розов // ПММ. 2001. - Т. 65, Вып. 2. - С. 183 - 198.

85. Колесов, А. Ю. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений: Учеб. пособие / А.Ю. Колесов, А. Н. Куликов. — Ярославль, 2003.

86. Колесов, А. Ю. Двухчастотные автоволновые процессы в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // ТМФ. — 2003. Т. 134. № 3. - С. 353-373.

87. Колесов, А. Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. — М.: Физматлит, 2004.

88. Колесов, А.Ю. Новые методы доказательства существования и устойчивости периодических решений в сингулярно возмущенных системах с запаздыванием / А.Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // Тр. МИАН. 2007. - Т. 259. - С. 106-133.

89. Колесов, А. Ю. Математические аспекты теории развития турбулентности по Ландау / А. Ю. Колесов, Н. X. Розов, В. А. Садовничий j j Успехи математических наук. 2008. - Т. 63, №2(380). - С. 21-84.

90. Колесов, А. Ю. Развитие турбулентности по Ландау в модели мультипликатор-акселератор / А.Ю. Колесов, А.Н. Куликов, Н.Х. Розов // Доклады Академии Наук 2008. — Т. 420, №6. - С. 739-743.

91. Колесов, Ю. С. Математические модели экологии / Ю. С. Колесов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль: ЯрГУ, 1979. С. 3-40.

92. Колесов, Ю. С. Свойства решений одного класса уравнений с запаздыванием, описывающих динамику изменения численности вида с учетом возрастной структуры / Ю. С. Колесов // Математический сборник. — 1982. Т. 117(159), т. - С. 86-94.

93. Колесов, Ю. С. Проблема адекватности экологических уравнений / Ю. С. Колесов; Яросл. ун-т. — Ярославль, 1985. — 162 с. (Деп. в ВИНИТИ).

94. Колесов, Ю. С. Пространственная и временная самоорганизация в одно-видовом биоценозе / Ю. С. Колесов, В. В. Майоров // Динамика биологических популяций. — Горький: ГГУ, 1986. — С. 3-13.

95. Колесов, Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией / Ю. С. Колесов // Укр. матем. журн. — 1987. — Т. 39, № 1. — С. 28 34.

96. Крылов, Н. М. Новые методы нелинейной механики / Н. М. Крылов, П. П. Боголюбов. М.,Л.: ОНТИ, 1934.

97. Кузнецов, С. П. Динамический хаос: Курс лекций / С. П. Кузнецов. — М.: Физматлит, 2001.

98. Ланда, П. С. Нелинейные колебания и волны / П. С. Ланда. — М.: Наука, 1997. 496 с.

99. Ландау, Л.Д. К проблеме турбулентности / Л.Д. Ландау // Докл. АН СССР. 1944. - Т. 44, № 8. - С. 339-342.

100. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. 1. Механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1988.

101. Малинецкий, Г.Г. О вычислении размерностей странных аттракторов / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов // Журп. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. - Т. 28, №7. - С. 1021-1037.

102. Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. — М.: Эдиториал УРСС, 2000.

103. Майоров, В. В. Математическое моделирование нейронов сети на основе уравнений с запаздыванием / В. В. Майоров, И. Ю. Мышкин // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, № 11. — С. 64-76.

104. Марсден, Дою. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Док. Map еден, М. Мак-Кракен. — М.: Мир, 1980. — 368 с.

105. Мельников, В. К. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях / В. К. Мельников // Тр. ММО. — 1963. — Т. 12. — С. 3-52.

106. Мигулин, В. В. Основы теории колебаний / В. В. Мигулин, В. И. Мед- , ведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин. — М.: Наука, 1-988.

107. Митропольский, Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова. — М.: Наука, 1973.

108. Мищенко, E. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / E. Ф. Мищенко, Н. X. Розов. — М.: Наука, 1975.

109. Мищенко, E. Ф. Асимптотическая теория релаксационных колебаний / Е. Ф. Мищенко, А.Ю. Колесов // Труды математического ин-та АН СССР. 1991. - Т. 197. - С. 3 - 89.

110. Мищенко, E. Ф. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / E. Ф. Мищенко, Ю. С. Колесов, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. — М.: Физматлит, 1995.

111. Мищенко, E. Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е. Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов. — М.: Физматлит, 2005.

112. Мозер, Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости / Ю. Мозер. — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

113. Морозов, А. Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний / А. Д. Морозов. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1995.

114. Морозов, А. Д. О неконсервативных периодических-системах, близких к двумерным гамильтоновым / А. Д. Морозов, Л.П. Шильников // ПММ. 1983. - Т. 47, Вып. 3. - С. 385 - 394.

115. Неймарк, Ю. И. Стохастические и хаотические колебания / Ю. И. Ней-марк, П. С. Ланда. — М.: Наука, 1987.

116. Осипов, Г. В. О развитии турбулентности по Ландау в дискретной модели потоковых систем / Осипов Г. В. // Изв. вузов. Радиофизика. — 1988. Т. 31, №5. - С. 624 - 627.

117. Оселедец, В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем / В. И. Оселедец // Труды Моск. мат. общества. — 1968. — Т. 19. — С. 179-210.

118. Пуанкаре, А. Избранные труды в трех томах. Том I. Новые методы небесной механики / А. Пуанкаре. — М.: Наука, 1971.

119. Рабинович, М. И Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости / М. И Рабинович, М. М. Сущик •// Усп. Физ. наук. — 1990. Т. 160, вып. 1. - С. 3-64.

120. Рейссиг, Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти. — М.: Наука, 1974.

121. Синай, Я. Г. Нелинейные волны / Я. Г. Синай М.: Наука, 1979. — С. 192 212.

122. Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции / Э. Т. Уиттекер, До/с. Н. Ватсон. — М.: Физматлит, 1963.

123. Хазина, Г. Г. Существенно неоднородные системы в задачах устойчивости / Г. Г. Хазина, Л. Г. Хазин. — М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 1982. — Препринт № 145.

124. Хазин, Л. Г. Устойчивость критических положений равновесия / Л. Г. Хазин, Э. Э. Шнолъ. Пущино: НЦБИ АН СССР, 1985.

125. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хепри. — М: Мир, 1985. — 376 с.

126. Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн. — М.: Мир, 1985.

127. Шилышков, Л. П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1 / Л. П. Шилъников, А. Л. Шилъников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. — Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

128. Шнолъ, Э. Э. Об устойчивости неподвижных точек двумерных отображений / Э. Э. Шнолъ // Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т. 30, № 7. С. 1156 - 1167.

129. Abramovitz, М. Handbook of mathematical functions / M. Abramovitz, I. Stegun. — National Bureau of Standard. U.S.A. 1964.

130. Aronson, D. G. Amplitude Response of Coupled Oscillators / D. G. Aron-son, G. B. Ermentrout, N. Kopell // Physica D. 1990. - 41.— P. 403-449.

131. Banks, J. On Devaney's definition of chaos / J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis, P. Stacey // Amer. Math. Monthly. — 1992. — V.99, Ж. P. 332 - 334.

132. Benettin, G. Kolmogorov entropy and numerical experiments / G. Benet-tin, L. Galgani, J. M. Strelcyn // Phys. Rev. — 1976. —V. A14. — P. 2338— 2345.

133. Devaney, R. An introduction to chaotic dynamical systems. / R. Devaney.

134. Addison-Wesley: Reading, MA, 1989.

135. Dormand, J.R. A Family of Embedded Runge Kutta Formulae / J.R. Dormand, P.J. Prince // J. Сотр. Appl. Math. — 1980. — V. 6.- P. 19 26.

136. Feigenbaum, M. J. Quantitative Universality for a Class of Non-Linear Transformations / M. J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. — 1978. — V. 19. — Ж. P. 25 - 52.

137. Glyzin, S. D. Bifurcations of the Normal Form of Pair Weakly Linked Oscillators / S. D. Glyzin // International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. ICND-96. Saratov, Russia. July 8-14, 1996. P 33.

138. Hutchinson, G. E. Circular causal system in ecology / G. E. Hutchinson // Ann. N.-Y. Acad. Sci. 1948. - V. 50. - P. 221 - 246.

139. Hodgkin, A.L. A quantitative description of membrane current and application to conduction and excitation in nerve / A.L. Hodgkin and A.F. Huxley // Journal Physiol. 1952. - 117. - P. 500-544.

140. Hopf) E. A. A Mathematical Example Displaying Features of Turbulence / E. A. Hopf // Comm. Pure Appl. Math. 1948. - V. 1. P. 303 - 322.

141. Izhikevich, E.M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting / E. M. Izhikevich. — Cambridge, Mass.: MIT Press, 2007.

142. Lorenz, E.N. Deterministic nonperiodic flow / E.N. Lorenz // J. Atmos. Sci. 1963. - V. 20. - P. 130-141.

143. May, R.M. Stability and complexity in model ecosystem / R.M. May. — Princeton: Princeton Univ. Press., 1973.

144. May, R.M. Time delay, density dependence and single^ oscillations / R.M. May, G.R. Conway, M.P. Hassel, T.R.E. Southwood // J. Anim. Ecology. 1974. - V. 43. - P. 747 - 770.

145. Milnor J. On the concept of attractor / J. Milnor // Commun. Math. Phys. 1985. - V.99, № 2. - P. 177 - 196.

146. Newhouse, S.E. Occurrence of strange Axiom A attractors near quasiperi-odic flows on Tm,m ^ 3 / S.E. Newhouse, D. Ruelle, P. Takens // Comm. Math. Phys. 1978. - V. 64. - P. 35 - 40.

147. Nussbaum, R.D. Differential-delay equations with two time lags / R.D. Nussbaum j j Memoirs of the Amer. Math. Soc. — 1977. — P. 1-81.

148. Rabinovich, M. I. Dynamical principles in neuroscience / Mikhail I. Rabi-novich, Pablo Varona, Allen I. Selverston, Henry D. I. Abarbanel j j Rev. Mod. Phys. 2006. - V. 78. - P. 1213-1265. DOI: 10.1103/RevMod-Phys.78.1213.

149. Ruelle, D. On the nature of tubulence / D. Ruelle, F. Takens // Comm. Math. Phys. 1971. - V. 20. - P. 167-192.

150. Sell, G.R. Nonlinear Dynamics and Turbulence / G.R. Sell. — London: Pitman Books, 1983. P. 305 313.

151. Stirzacker, D. On a population model / D. Stirzacker // Math. Biosci. — 1975. V. 23. - P. 329 - 336.

152. Turing, A. The Chemical Basis of Morphogenesis / A. Turing // Phil. Trans. Roy. Soc. bond. 1952. V. 237. - P. 37 - 72.

153. Wolf, A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, J. A. Vastano // Physica D. 1985. - V. D16. - P. 285-317.