Об аттракторах волнового уравнения, связанного с нелинейными осцилляторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.94

Егоров Юрий Евгеньевич

ОБ АТТРАКТОРАХ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ, СВЯЗАННОГО С НЕЛИНЕЙНЫМИ ОСЦИЛЛЯТОРАМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент А. И. Комеч

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Л. Р. Волевич

доктор физико-математических наук В. В. Чепыжов

Ведущая организация: Институт Проблем Механики РАН

Защита диссертации состоится 14 октября 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 сентября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

7ШГ

Л г?

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Построение теории аттракторов бесконечномерных гамиль-тоновых систем является одной из важнейших проблем современной математической физики1. Впервые теория аттракторов для бесконечномерных динамических систем возникла в рамках теории негамильтоновых диссипативных уравнений в частных производных: нелинейных параболических уравнений типа реакции-диффузии, системы Навье-Стокса и волновых уравнений с трением. Существование и свойства аттракторов для таких систем были подробно изучены в работах Р. Темама2, А.И. Бабина и М.И. Вишика3 и других работах.

Для недиссипативных волновых уравнений первые результаты по долго временной асимптотике были получены в линейной и нелинейной теории рассеяния: П. Лаке, Р. Филлипс4, С. Мо-равец, В. Штраусе5 и другие доказали убывание к нулю локальной энергии при соответствующих условиях (выпуклость границы, неловушечность и т.д.). Эти результаты означают сходимость всех решений конечной энергии к нулевому решению в топологии Фреше, определяемой локальными энергетическими полунормами. Иными словами, аттрактор этих систем состоит только из одной точки 0 фазового пространства.

Существование нетривиальных аттракторов для гамильто-новых уравнений без диссипации впервые было обнаружено при

1 Komech A. On transitions to stationary states in Hamiltonian nonlinear wave equations, Phys. Letters A, 241(1998), 311-322.

2Temam R. Infinite dimentional dynamical systems in mechanics and physics. Applied Mathematical Sciences, 1988, vol. 68, Springer, 500.

3Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М., Наука, 1989.

4Лакс П., Филлипс Р. Теория рассеяния, М., Мир, 1975.

5Morawetz С.S., Strauss W.A. Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation //Comm. Pure and Appl. Math. 1972, N25, 1-31.

изучении нелинейных систем Ламба. Соответствующие линейные системы появились в работе Г. Ламба6, который рассматривал бесконечную струну, взаимодействующую с одномерным осциллятором.

Для струны с нелинейными осцилляторами долговременная асимптотика исследована А.И. Комечем7' 8'9. Эти системы являются гамильтоновыми, поэтому сходимости решений к стационарным состояниям в энергетической норме всего пространстве нет. Соответственно, сходимость рассматривается в более слабой топологии локальных энергетических полунорм. Роль диссипации здесь играет излучение энергии в бесконечность. В работах А.И. Комеча при достаточно общих предположениях установлена сходимость всех решений, обладающих конечной энергией, к множеству стационарных состояний относительно локальных энергетических полунорм. При этом множество стационарных решений может быть бесконечным (и даже континуальным).

В работах А.И. Комеча в основном расматривались одномерные осцилляторы нулевой массы. Система Ламба для конечномерных осцилляторов размерности d > 1 ранее не изучалась.

В настоящей диссертации дано обобщение и развитие результатов А.И. Комеча на нелинейные осцилляторы с ненулевой массой и векторными значениями произвольной конечной размерности.

Системы типа Ламба допускают эффективное исследование, что позволяет обнаружить ряд новых интересных закономерно-

6Lamb H. On a peculiarity of the wave-system due to the free vibrations of a nucleus in an extended medium, Proc. London Math. Soc. 32(1900), 208-211.

7Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с осциллятором // Успехи матем. наук. 1991. 46, N6. 166-167.

8Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с нелинейным осциллятором // Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ. 1991, N 6, 35 - 41.

9Komech A.I. On Stabilization of String-Nonlinear Oscillator Interaction, Journal of Math. Analysis and Applications 196, 384-409(1995).

стей в теории аттракторов нелинейных волновых уравнений.

Цель работы.

Исследование долговременной асимптотики и аттракторов бесконечномерных гамильтоновых систем. Нахождение достаточных и необходимых условий сходимости решений к стационарным состояниям.

Методы исследования.

Методы теории аттракторов диссипативных систем развиваются применительно к гамильтоновым бесконечномерным системам. Закон сохранения энергии используется для получения априорной оценки решения и доказательства конечности интеграла рассеяния. Строится компактное притягивающее множество и доказывается, что каждая ш-предельная точка является стационарной. Используются методы функционального анализа в гильбертовом фазовом пространстве и интегральное представление решений волнового уравнения.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в сле-дущем:

1. Доказана сходимость к аттрактору в системе типа Дамба для одного и двух (¿-мерных нелинейных осцилляторов ненулевой массы с произвольным д, > 1.

2. Дано описание аттрактора в виде множества критических точек некоторых функций конечного числа переменных.

3. Найдены достаточные условия для сходимости решений к стационарным точкам и в случае одного осциллятора найдено новое необходимое условие для сходимости решений к стационарным точкам.

Точные формулировки приведены ниже.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при решении различных задач теории аттракторов бесконечномерных нелинейных гамильтоновых систем. В частности, основная Лемма 12 параграфа 2.4 и метод ее доказательства оказались достаточно универсальными и были применены в целом ряде работ 10 при исследовании аттракторов системы Максвелл а-Лоренца и других систем.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на Совместных Заседаниях Московского Математического Общества и Семинара им. И.Г. Петровского (1996), на Международной Конференции Франко-Русского Института им. A.M. Ляпунова при МГУ (1999) и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Механико-математического факультета МГУ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Первая глава разделена на б параграфов, вторая — на 5 параграфов. Список литературы содержит 16 наименований. Общий объем диссертации — 72 страницы.

Обзор содержания диссертации

Во введении дан краткий обзор известных ранее результатов и формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

В Главе 1 исследуется задача взаимодействия струны с одним нелинейным осциллятором.

10См., например, Komech A., Spohn Н. Long-time asymptotics for the coupled Maxwell-Lorentz equations, Comm. Partial Diff. Eqns. 25 (2000), no. 3/4, 558-585., Komech A., Spohn H., Kunze M. Long-time asymptotics for a classical particle interacting with a scalar wave field, Comm. Partial Diff. Eqns. 22 (1997), no. 1/2, 307-335.

В § 1.1 вводится в рассмотрение система Ламба

цдаи(х,г) = Тдххи(х,Ь), (ж, е П х В, (1)

ту(1) = РШ) + Т[дхи{0+, £) - дхи(0-, *)]. (2)

Здесь > 0, т > 0, О = В\ {0}, функция и(х, Ь) принимает значения в В£Й, у(Ь) := и(0, Ь), Р(г) = —V У(г). Предполагается, что Р — локально липшицева функция, У(г) > Уо и У(г) —► +оо при \г\ —► оо. Решения ищутся в классе £ непрерывных функций, обладающих первыми производными из Ь12С(В2). В § 1.2 при пг > 0 рассмотрена задача Коши для системы

(1), (2) с начальными условиями и|<=о = щ(х), г;|<=о = г»о(а;), у(0) = ра- Фазовое пространство Е отвечает решениям конечной энергии: (и(-),ь(-),р) Е Е и'(-), «(•) € ¿2(В), р е В<*.

Выводится приведенное уравнение осциллятора и устанавливаются априорные оценки для его решений. Главную роль в дальнейшем исследовании играет доказываемая здесь конеч-

оо

ность интеграла рассеяния J у2{£)<1£.

о

С помощью полученных оценок доказывается существование и единственность решения задачи Коши для системы (1),

(2) и исследуются свойства траекторий.

В § 1.3 аналогичное исследование проведено для случая

777. — 0.

В § 1.4 изучается точечный аттрактор системы Ламба в топологии локальных энергетических полунорм.

Определение 6 г) Для Ф = (и(-), ь(-),р) е Е

1|Ф|к := 1И1м-г,г) + + |«(0)| + |р|, 0 < г < оо. (3)

И) Через Ег обознается пространство Е с полунормой (3). ш) Пространство Е с топологией, определяемой системой полунорм (3), обознается Еу?.

Теорема 5 Для любого Ф е Е траектория £/(Ф системы (1),(2) сходится к 5 в пространстве Е? при £ —► ±оо.

Это основная теорема Главы 1. Далее исследуются условия сходимости траекторий к отдельным стационарным точкам.

В § 1.5 доказано достаточное условие того, что каждая траектория системы сходится к одной из стационарных точек. Для этого вводится понятие фокусирующего множества (Определение 9). Получен следующий результат:

Теорема 6 Пусть 2 = {г £ П^ : F(,г) = 0} — фокусирующее множество в ША Тогда для любого Ф € Е найдутся стационарные точки 6 <? системы (1), (2) такие, что

5± при г —► ±оо.

В § 1.6 найдено необходимое условие сходимости каждой траектории к одной из стационарных точек.

Теорема 8 Для того, чтобы при некотором г > 0 каждая траектория системы (1), (2) сходилась в пространстве Ег при £ —> +оо(£ —► —оо) к одной из неподвижных точек, необходимо, чтобы множество ¿Г нулей функции Р не содержало кривых гладкости С2 при т > 0 и гладкости С1 при т = 0.

В частности, из Теорем 6 и 8 вытекает, что для одномерного осциллятора необходимым и достаточным условием сходимости каждой траектории к одной из стационарных точек является то, что множество нулей функции F нигде не плотно11.

В Главе 2 строится точечный аттрактор для системы типа Ламба с двумя нелинейными (¿-мерными осцилляторами.

11Егоров Ю.Е., Комеч А.И. Об аттракторах и асимптотике решений в нелинейной задаче Ламба // Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ. 1996, N5, 80 - 88.

В § 2.1 вводится система

цдии(х, г) = тдххи(х, г), (ж,г) е л х н, (4)

тгуг^) = Р1(у1(г))+Т[дхи{хг+0,г)-дхи(^-0,г)}1 г - 1,2, (5)

где О = Н \ {х!,ж2}, /х,Т,тг > 0, отображения Рг действуют из И'' в М**, уг(Ь) := и(хг ± 0,4), г — 1,2. Предполагается, что ^(г) = -V К(г), 6 С2(1ИЛ Е1), потенциалы Уг ограничены снизу и тах^УК^), ^(.г)) —» оо при |г| —> +оо.

В § 2.2 рассмотрена задача Коши для системы (4), (5) с начальными условиями гф=о = = г»о(ж). Началь-

ные данные лежат в фазовом пространстве Е2 — {(гг(-), г»(-)) : и е С(Ш), и' е Я1(ж,_ь хг), г = 1,2,3, V е Я1 (К)}. Здесь х0 := —оо, Хъ := +оо. Доказано, что задача имеет единственное решение, траектории системы (4), (5) непрерывны и непрерывно зависят от начальных данных.

Вводится локально-энергетическая топология, в которой доказывается сходимость к аттрактору для системы (4), (5):

Определение 7 г) Для {и, у) € Е2

НМИяр := |М|Ь2(_Г,Г) + ||г;|ия(_г,г) + (6)

+ МгО) + |г>(х!)| + Мх2)|, 0 < г < оо.

и) Через Е2 обозначается линейное пространство Е2, снабженное полунормой (6).

Иг) Множество Е2 с топологией, определяемой системой полунорм (6), обозначается Е2Т.

§ 2.3 посвящен доказательству соотношения уг(-) е Я1 (К). Это основное аналитическое средство для доказательства сходимости траекторий к аттрактору.

§ 2.4 содержит основные результаты Главы 2. Здесь доказано, что при наложенных на систему (4), (5) условиях множе-

ство S2 ее стационарных точек непусто и дано описание этого множества. Найдено конечномерное притягивающее множество V2, включающее S2. Стационарные решения системы отвечают критическим точкам потенциальной энергии на множестве V2. Доказана основная Лемма 12 о том, что множество сопредельных точек совпадает с множеством S2. Из этой леммы вытекает следующий результат:

Теорема 11 Для любого Ф £ Е2 траектория Ut Ф системы

(4), (5) стремится к множеству S2 в пространстве Е? при t —► ±оо.

В § 2.5 для случая размерности d = 1 исследуется вопрос о сходимости всех траекторий к отдельным стационарным точкам. Найдено достаточное условие такой сходимости:

Теорема 12 Пусть d = 1 и i = 1,2, — вещественно-

аналитические функции. Тогда для любых начальных данных (uo('),vo(-)) € Е2 существует стационарная точка (û(-),0) G S2, к которой соответствующая траектория системы (4),

(5) стремится при t —» +оо в пространстве Е?р. Аналогичное утверждение справедливо и при t —► — оо.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук А.И. Ко-мечу за поставленные задачи, внимательное руководство и многочисленные советы.

Работы автора по теме диссертации1

1. Егоров Ю.Е., Комеч А.И. Стабилизация взаимодействия струны с осциллятором // Успехи мат. наук, 50(1995), № 4, с. 808.

2. Егоров Ю.Е., Комеч А.И. Об аттракторах и асимптотике решений в нелинейной задаче Ламба // Вестн. Моск. унта, Матем. Механ. 1996, № 5, 80 - 88.

3. Егоров Ю.Е., Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с двумя нелинейными осцилляторами // Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ. 2001, № 3, 3 - 10.

1 В совместных работах [1-3] А.И. Комечу принадлежат постановки задач, формулировки ряда теорем и общие идеи их доказательств. Ю.Е. Егорову принадлежат:

1) доказательства основных теорем 1 и 2 в статье [2];

2) построение примера решения, не имеющего предела при £ —> Ч-оо и £ —> —оо для произвольного вырожденного потенциала в работах [1] и [2];

3) доказательства основных теорем 1 и 2 в статье [3].

116408

РЫБ Русский фонд

2006-4 14395

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В Ломоносова. Подписано в печать О&.О&Об" Формат 60x90 1/16 Уел печ л 0,5

Тираж 100 экз. Заказ /4

Введение

1 Взаимодействие струны с одним осциллятором.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором ненулевой массы.

1.3 Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором нулевой массы.

1.4 Точечный аттрактор.

1.5 Достаточное условие сходимости каждой траектории к точке.

1.6 Необходимое условие сходимости каждой траектории к точке.

2 Взаимодействие струны с двумя осцилляторами.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Разрешимость задачи Коши. Свойства траекторий системы (2.1), (2.2).

2.3 Оценки функций yi(t). Локальная стабилизация осцилляторов.

2.4 Стационарные решения. Сходимость траекторий к множеству стационарных точек.

2.5 Сходимость траекторий к стационарным точкам.

Работа посвящена развитию теории аттракторов бесконечномерных гамильтоновых систем. Впервые теория аттракторов для бесконечномерных динамических систем возникла в рамках теории диссипа-тивных уравнений в частных производных: нелинейных параболических уравнений типа реакции-диффузии, системы Навье-Стокса и волновых уравнений с трением. Существование и свойства аттрактора для таких систем были подробно изучены в работах Р. Темама [13], А.В. Бабина и М.И. Вишика [1] и других работах. Для недиссипа-тивных волновых уравнений первые результаты по долговременной асимптотике были получены в линейной и нелинейной теории рассеяния. П. Лаке, Р. Филлипс [6], С. Моравец, В. Штраусе [12, 11] и другие доказали убывание локальной энергии при соответствующих условиях (выпуклость границы, неловушечность и т.д.). Эти результаты означают сходимость всех решений конечной энергии к нулевому решению в топологии Фреше, определяемой локальными энергетическими полунормами. Иными словами, аттрактор этих систем состоит только из одной точки 0 фазового пространства.

Для уравнений без диссипации существование нетривиальных аттракторов впервые было обнаружено в работах А.И. Комеча [3] - [5] для нелинейных систем Ламба. По-видимому, уравнения, рассмотренные в этих работах, появились в статье Г. Ламба [10] при изучении следующей механической системы. Бесконечная струна с постоянной линейной плотностью fj, и натяжением Т соединена с материальной точкой (осциллятором) массы m (рис. 1). На осциллятор действует сила F(y), перпендикулярная струне. Здесь у обозначает смещение осциллятора. Колебания струны происходят в одной плоскости, которой параллельна сила F{y). Т рис. 1

Малые колебания системы струна-осциллятор математически описываются двумя уравнениями: волновым уравнением для струны и уравнением Ньютона для осциллятора. В своей работе Г. Ламб рассмотрел линейный закон Гука F(y) = —ку. В этом случае всякое решение, обладающее конечной энергией, на каждом ограниченном интервале сходится равномерно к нулевому решению, которое является единственным равновесным состоянием системы.

А.И. Комеч [3,4] исследовал долговременную асимптотику решений системы Ламба для общей нелинейной функции F(y), а также системы типа Ламба для произвольного конечного числа осцилляторов нулевой массы [8, 9] (рис 2). Эти системы являются гамильтоновыми, поэтому сходимости решений к стационарным состояниям в энергетической норме всего пространства нет. Соответственно, сходимость рассматривается в более слабой топологии локальных энергетических полунорм. Роль трения здесь играет излучение энергии в бесконечность. А.И. Ко-мечем при достаточно общих предположениях относительно силовых полей Fi установлена сходимость всех решений, обладающих конечной энергией, к множеству стационарных состояний относительно локальных энергетических полунорм. При этом множество стационарных решений может быть бесконечным (и даже континуальным).

Способ исследования системы Ламба для одного осциллятора, предложенный А.И. Комечем, заключается в следующем. Разложение решения в сумму двух волн по методу Даламбера позволяет получить приведенное уравнение осциллятора. Существенным здесь является и

F, рис. 2 то, что "приходящие" к осциллятору волны явно выражаются через начальные данные. Из исследования уравнения осциллятора вытекает конечность интеграла рассеяния /0+°° У2(т) dr, что является основным аналитическим средством для доказательства сходимости решений к стационарным состояниям.

В упомянутых работах в основном расматривались осцилляторы нулевой массы со скалярными значениями. Система Ламба для конечномерных осцилляторов размерности d > 1 ранее не изучалась. В настоящей диссертации дано обобщение и развитие результатов А.И. Ко-меча на нелинейные осцилляторы с ненулевой массой и векторными значениями произвольной конечной размерности.

В Главе I диссертации рассмотрено взаимодействие струны с одним многомерным нелинейным осциллятором размерности d > 1. Математической моделью такого взаимодействия является система дифференциальных уравнений дии{х, t) = Тдххи(х, t), (х, t)e(R\ {0}) х R, (0.1) my(t) = F(y(t)) + Т[дхи(0+, t) - дхи(0-, t)]. (0.2)

Решения системы (0.1), (0.2) ищутся в классе непрерывных функций и{х, t), обладающих первыми (обобщенными) производными по а; и t класса L/2oc(M2). Множество таких решений обозначается £. Предполагается, что начальные данные обладают конечной энергией, т.е. dxu(',0),dtu(-,0) G 1/г(М). Силовое поле F предполагается потенциальным: F(y) = -VV(у), V(-) € C2(Rrf; R), причем потенциал V(y) ограничен снизу.

При наложенных выше ограничениях доказаны существование и единственность решения системы (0.1), (0.2) класса £. Кроме того, выполняется закон сохранения энергии оо

W) ^ / fiv2(x,t) ^ Г(ЭХМ))21 -—--1--—dx + V(y(t)) + = const

-оо здесь и далее v{x, i) = dtu(x,t) — скорость точек струны). Асимптотическое поведение решений исследуется при дополнительном ограничении: V{y) —>• оо при \у\ оо. При сделанных предположениях у рассматриваемой системы есть стационарные решения, которые соответствуют критическим точкам функции V. Из закона сохранения энергии следует, что в глобальной энергетической норме сходимость решений к стационарным решениям, вообще говоря, отсутствует. В фазовом пространстве вводится топология сходимости относительно локальных энергетических полунорм. Доказана сходимость всех траекторий к множеству стационарных точек в этой топологии (Теорема 5). При этом в зависимости от структуры множества стационарных точек траектории способны блуждать вблизи этого множества, не стремясь к определенному стационарному положению. Пример такого поведения траекторий является частью доказательства Теоремы 8. Поэтому следующий поставленный в диссертации вопрос — выяснить условия на поле F, которые гарантируют сходимость каждой траектории к одной из неподвижных точек. В скалярном случае необходимым и достаточным условием для такого поведения траекторий является то, что множество нулей функции F нигде не плотно (см. [15]). Однако в векторном случае при d > 1 это условие уже не является достаточным и должно быть усилено. В настоящей диссертации найдены новые необходимое (Теорема 8) и достаточное (Теорема 6) условия сходимости каждой траектории к одной из неподвижных точек. В скалярном случае при d = 1 каждое из этих условий эквивалентно условию [15], что множество нулей функции F нигде не плотно (Теорема 7).

В Главе II диссертации рассмотрена система типа Ламба fidttu(x,t) = Tdxxu(x,t), х ф xi (0.3) miViit) = ЪЫ*)) + T[dxu(xi + 0, t) - dxu{xi - 0, <)], i = 1,2, (0.4) с двумя нелинейными осцилляторами ненулевой массы (rrii > 0). Такая система с одномерными осцилляторами изучалась в работе [16]. В настоящей диссертации рассмотрены осцилляторы произвольной размерности d > 1. Рассматриваются решения с начальными данными из пространства Е2. Требуется, грубо говоря, чтобы в момент времени t = 0 первые производные по х и t решения и(х, t) были функциями класса Н1(М) (более точное определение фазового пространства Е2 системы (0.3), (0.4) дано на стр. 46). На систему накладываются следующие требования: F{(z) = —V Vi(z), потенциалы V{(•) принадлежат классу C2(Rd,M), ограничены снизу и max(Vi(z), V2(z)) —> оо при \z\ —> +оо. Для начальных данных из множества Е2 доказана теорема существования и единственности решений системы (0.3), (0.4) и сохранение энергии вдоль ее траекторий: оо fj,v2{x,t) T{dxu{x,t))21

Hit) = /

-с»

2 г ,2

Vi(yi(t)) + 2 myf(t) dx + const г=1

Теорема 9). Далее в диссертации изучается вопрос о сходимости траекторий к множеству стационарных состояний «52 и к отдельным стационарным точкам. В Лемме 10 дано описание множества стационарных состояний и доказано, что при наложенных на систему ограничениях оно непусто. Стационарными являются те траектории системы, которые отвечают критическим точкам потенциальной энергии. Как и в случае одного осциллятора, в глобальной энергетической норме сходимости траекторий к множеству <S2, вообще говоря, нет. Чтобы изучить асимптотическое поведение траекторий в локальных энергетических полунормах, привлекается понятие локальной стабилизации, введенное А.И.Комечем в работе [8]. Центральным местом в исследовании является доказательство конечности интеграла рассеяния

Леммы 8 и 9). Из полученной оценки интеграла рассеяния вытекает локальная Н1 - стабилизация осцилляторов. С учетом ограниченности траекторий это позволяет найти в фазовом пространстве конечномерное притягивающее множество, содержащее множество S2. Основным результатом Главы II является Теорема 11, утверждающая, что каждая траектория системы (0.3), (0.4) стремится при f ±оо к множеству неподвижных точек относительно локальных энергетических полунорм.

Вопрос о сходимости каждой траектории системы к одной из стационарных точек рассмотрен для случая размерности d = 1. В этом случае доказано, что сходимость к отдельным стационарным точкам имеет место, если силовые поля Fi осцилляторов — вещественно-аналитические функции.

Таким образом, для случаев одного и двух осцилляторов в диссертации найден точечный аттрактор всех решений конечной энергии. Исследование системы типа Ламба с п нелинейными осцилляторами ненулевой массы остается открытой проблемой при п > 3.

Системы типа Ламба допускают эффективное исследование для широкого класса нелинейных функций F(y). Это позволяет обнаружить ряд новых интересных закономерностей в теории аттракторов нелинейных волновых уравнений, что и делает актуальным их исследование.

1. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М., Наука, 1989.

2. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., Наука, 1971.

3. Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с осциллятором // Успехи матем. наук. 1991. 46, N6. 166-167.

4. Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с нелинейным осциллятором // Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ. 1991, N 6, 35 -41.

5. Комеч А.И. О переходах к стационарным состояниям в некоторых бесконечномерных гамильтоновых системах // ДАН, 347, N3, 1996, 309 311.

6. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М., Мир, 1975.

7. Dranishnikov A.N., Repovs D., Shchepin E.V. Dimensions of products with continua, Topology Proc., 18:57-73, 1993.

8. Komech A.I. On Stabilization of String-Nonlinear Oscillator Interaction, Journal of Math. Analysis and Applications 196, 384-409(1995).

9. Komech A.I. On the stabilization of String-Oscillator Interaction, Russian Journal of Math Phys., 1995, 3, no.2, 227-248.

10. Lamb H. On a peculiarity of the wave-system due to the free vibrations of a nucleus in an extended medium, Proc. London Math. Soc. 32(1900), 208-211.

11. Morawetz C.S., Strauss W.A., Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation //Comm. Pure and Appl. Math. 1972, N25, 1-31.

12. Strauss W.A. Decay and Asymptotics for Du = F(u) //J.Funct. Anal. 1968, N2, 409-457.

13. Temam R. Infinite dimentional dynamical systems in mechanics and physics. Applied Mathematical Sciences, 1988, vol. 68, Springer, 500.

14. Егоров Ю.Е., Комеч А.И. Стабилизация взаимодействия струны с осциллятором // Успехи мат. наук, 50(1995), N2 4, с. 808.

15. Егоров Ю.Е., Комеч А.И. Об аттракторах и асимптотике решений в нелинейной задаче Ламба // Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ. 1996, N5, 80 88.

16. Егоров Ю.Е., Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с двумя нелинейными осцилляторами // Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ. 2001, N3, 3 10.