Автоволны и самоорганизация тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ХАРЬКОВ АНДРЕЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ

АВТОВОЛНЫ И САМООРГАНИЗАЦИЯ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль-2003

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, профессор Колесов Юрий Серафимович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кубышкин Евгений Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор Малинецкий Георгий Геннадьевич

Ведущая организация

Воронежский государственный университет

Защита состоится " 5 " декабря 2003 г. в 16 час. на заседании диссертационного совета К 212.002.02 в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Автореферат разослан " Ь 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

2.oc>3-/\

M J2(

Актуальность работы. Последние тридцать лет активно развиваются различные аспекты автоволновых процессов. Условно установленные результаты можно разбить на три группы.

Первое направление связано с так называемым методом обратной задачи1.

Второе направление возникло в биофизике и связано с системами типа реакция-диффузия. В частности, в математической биологии был открыт парадоксальный факт - так называемое явление буферности2, а значит поставлен вопрос о причинах, вызывающих данный феномен. Интересные экспериментальные исследования связаны с автоколебательной окислительно -восстановительной химйчеекой реакцией Белоусова. Однако динамика известных математических моделей не совсем полно отражала все богатство наблюдаемых экспериментальных фактов, т.е. был открыт вопрос о более адекватной модели.

Третье направление - исследование динамики нелинейных волновых уравнений при имеющих содержательный физический смысл предположениях.

Вообще говоря, в каждом из последних двух направлений следует различать локальные методы анализа и специфические в каждой задаче нелокальные феномены. К настоящему времени локальный анализ, получивший название метода квазинормальных форм, в достаточной степени подробности позволяет получать существенную информацию о динамических особенностях многих важных задач, наводящих, кстати, на мысль, что может быть принципиально разной динамика на отрезке и в плоской области.

Собственно, последнему аспекту проблемы и посвящена данная работа.

Предмет и цели исследования. В первой главе исследуются волновые уравнения на торе и на окружности. Цель исследования: сначала при помощи аналитических средств выделить в пространстве параметров области, где следует ожидать существенно нелокальных феноменов, затем, прибегая к численным методам, исследовать их характерные особенности, разобраться с условиями их возникновения и исчезновения; дать количественную характеристику возникающим автоволновым процессам; в суммирующем виде разобраться со сходством и различием плоских и трехмерных волн. Во второй главе сначала выполнено теоретическое исследование3 явления нелинейного параметрического резонанса с интересующей нас точки зрения, т.е. провести исследование аналогичное исследованиям первой главы. Именно, в пространстве параметров выделить области, где динамика предполагается нетривиальной. Последующие численные эксперименты автоволновых процессов на отрезке и в квадрате позволят выявить их сходство и различие. Далее в плоской области рассматривается задача хищник-жертва. Цель исследования состоит в устранении упомянутого ранее парадоксального явления буферности: в плоской области автоволны хорошо отражают нетривиальный характер взаимодействия видов, позволяя

1Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

2Захаров A.A., Колосов Ю.С. Пространственно неоднородные режимы в задаче хищник-жертва // В сб.: Нелинейные колебания и экология. Ярославль: Иэ-во ЯрГУ 1984. С. 3-15.

'Колесов Ю.С. Нелинейный параметрический резонанс в сингулярно возмущенном телеграфном уравнении // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. M^ffc- ь H А 5 I

БИБЛИОТЕКА I ^.ЧПете^г

их увязать с понятием самоорганизации. В последнем параграфе исследуется распределенная математическая модель ставшей уже классической реакции Белоусова. Ставится следующая цель: исследовать соответствие данной математической модели известным экспериментальным данным.

Методы исследования. Во-первых, широко использовался метод квазинормальных форм4. Этот метод (хотя и относится к числу локальных) позволяет (при варьи- * ровании нелинейности и граничных условий) предсказать часть свойств нелокальных аттракторов. Во-вторых, важнре значение имеет анализ подходящих конечномерных моделей. В-третьих, что является главным, широко используются численные экспе- ^ рименты, которые подтверждают и углубляют теоретические представления. г

Научная новизна. Изложенные теоретические рассуждения приводят к парадоксальному выводу: наиболее интересные положения теории нелинейных автоволн в плоских областях принципиально связаны с нелокальными эффектами. При этом они имеют ряд общих особенностей: на ряде разных содержательных задач выявлены схожие особенности возникающих автоволновых режимов, причем некоторые из них можно причислить к разряду режимов самоорганизации. Тем самым (в совокупности с ранее установленными результатами) можно надеяться, что выявленные режимы самоорганизации - некоторый фундаментальный факт природы. Разумеется, отдельные их свойства зависят от выбора граничных условий и конфигурации плоской области. Однако по тенденции безусловно сохраняются отмеченные в работе характерные особенности.

Выделим еще одно важное обстоятельство. При стандартных граничных условиях практически в любой плоской области режимы самоорганизации структурно подобны уже описанным ранее5 - это одна или несколько вращающихся волн. Понятно, что образования такого рода не проектируются на отрезок. Однако на торе реализуются такие режимы самоорганизации, при которых волна не вращается, а только движется вдоль тора. Ясно, что ее можно интерпретировать как движение волны по окружности. Только по этой причине на окружности и возникают режимы самоорганизации.

Таким образом, плоские волны обладают некоторыми чертами трехмерных, являясь их особенным вариантом.

Сформулированное выше положение апробируется на задаче о нелинейном параметрическом резонансе. Именно показано, что при граничных условиях Неймана качественно различна динамика в плоской области и на отрезке. При этом в плоском | случае наблюдается определенное сходство механизмов самоорганизации с ранее полученным при периодических граничных условиях.

Устранен парадокс буферности в задаче хищник-жертва на отрезке, связанный, как оказалась, с излишней идеализацией задачи. Явление буферности, столь характерное для отрезка, в двумерной области места не имеет. Этим результатом воз-

4Колесов Ю.С. Задача паразит-хозяин //в сб.: Динамика биологических популяций. Горький: Из-во ГГУ, 1984. С. 16-29.

5Колесов Ю.С., Майоров В.В. Пространственная и временная самоорганизация в одновидовом биоценозе // Динамика биологических популяций. Горький: Изд-во Горьковского ун-та, 1986. С. 3-18. ' , ' ' " '

.4- ,1 . 1

} /л»!. *

вращен биологический смысл исследуемой модели хищник-жертва. Также показано, что явление самоорганизации несет весьма конструктивный биологический смысл: во-первых, на режимах самоорганизации динамические средние плотностей хищника и жертвы связаны неравенствами

М(ЛГ2) > MiN1) > 1,

где N2, N1 соответственно плотности хищника и жертвы; во-вторых, слабо осциллируют функции N2(t), iV(i), получающиеся в результате усреднения по пространственным переменным плотностей взаимодействующих популяций. Тем самым установлено, что самоорганизация вносит большой вклад в процесс стабилизации биоценоза.

Главным результатом исследования распределенной модели реакции Белоусова является выявление факта наличия пульсирующих автоволновых режимов, сосуществующих с устойчивым однородным циклом, что хорошо согласуется с известными экспериментальными фактами®. Однако с результатами некоторых других авторов7 они согласуются лишь отчасти. Также следует отметить, что с помощью математической модели впервые дано теоретическое объяснение феномену возникновения автоволновых процессов в реакции Белоусова. Другие известные модели (их немного) таким свойством не обладают.

Теоретическое и практическое значение. Из основных результатов диссертации следует, что теоретические методы могут служить лишь опорой для выявления областей в параметрическом пространстве с наиболее богатой динамикой, являющейся сугубо нелокальной. Несомненно важен как с теоретической, так и практической точки зрения факт того, что явление самоорганизации несет содержательный смысл в моделях математической биологии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на двух отчетных научных конференциях в ЯрГУ(2002, 2003) и на ряде семинаров кафедры дифференциальных уравнений Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах [1|-[5]. Рабогы [4]-[5] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановки вопросов.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 128 страницах и состоит их введения, двух глав(8-ми параграфов), заключения, приложений и списка литературы, который содержит 29 наименований.

'Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985.

7Кринский В.И., Жаботинский A.M. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // В сб.: Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький: Из-во ИПФ, С. 6-32. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974.

Содержание работы

Во введении приводится краткий обзор литературы и сформулированы основные результаты диссертации.

Результаты первой главы посвящены исследованию динамики волновых уравнений на окружности и на торе. В первом параграфе рассматривается волновое уравнение на окружности и свойства устойчивости так называемых бегущих волн и бегущих торов. Вводятся три леммы и доказывается теорема о существовании двумерных орбитально экспоненциально устойчивых торов. Рассмотрение начнем с волнового уравнения

ин - 2еиг + и = 2ецихх + /(«, щ) (1)

с одной пространственной переменной дополненное периодическими граничными условиями :

«1х=0 = и1х=2,г. и*1х=0 = «х|1=2^- (2)

В (1) £ - малый положительный параметр, у, - положительная постоянная порядка единицы, гладкая нелинейность /, имеющая в нуле высший порядок малости, такова, что у обыкновенного дкфференциального уравнения

й + и = /(и, й)

нормированная первая ляпуновская величина равна —1 — гш2, где ш > 0. Автоволны любой сложности краевой задачи (1), (2) назовем плоскими'волнами. Используя метод квазинормальных форм, решение ищется в виде ряда

и = е1/2щ(Ь,т, х) + £щ(г, т, х) + е3/2и3(г, г, ж) + .... (3)

Тогда квазинормальная форма краевой задачи (1), (2) это уравнение

¿=-¿^» + £-(1 + ^)]^, (4)

дополненное периодическими граничными условиями. Отметим, что в (4) точка -дифференцирование по г, штрих - дифференцирование по х. Уравнение (4) при к — 1,2,... имеет автомодельные циклы

& = ехр(г(1^т + кх)), ик = цк? - и2, (5)

которые принято называть бегущими волнами. Опуская 3 леммы, в дальнейшем считаем, что имеет место равенство

^ = 1 + 5. (6)

Условимся считать положительный параметр (5 малым, но отделенным от нуля, т.е. предполагаем, что 0 < 5\ < 5 < где постоянные ¿1, 62 хотя и подходящим образом малы, но фиксированы. Другими словами, в рамках краевой задачи (1), (2) малым параметром считается е, а 5 - вспомогательный параметр. Тогда итоговая теорема первого параграфа формулируется так:

Теорема 1. Пусть фиксировано штурильное число ко- Тогда при условии (6) и при подходящей малости е и 5и82 краевая задача (1), (2) имеет fco двумерных орбитально экспоненциально устойчивых торов

uk-uk{<pi + x,<pQ-\kx,6,e), к-1,...,к0, (7)

<¿>1 = 2 цке + е2Фк(¥>о, Vi. <*> е)> г ¡л

¥>о = 1+ ei>k{ö)'+ e2®fe(v?o. Vi Л е),

г<?е все фигурирующие в правых частях (7), (8) функции 2ir - периодичны по каждой из независимых переменных (p0,tpi,x и являются гладкими по совокупности переменных. При этом асимптотика правой части (7) с точностью до е3^2 строится с учетом первых двух слагаемых в правой части формулы (3) с заменой r,t ш Voi Vi соответственно.

Во втором параграфе рассмотрено волновое уравнение на торе. Имеем:

ии ~ 2ещ '1-и = 2сцАи 4- /(и, щ), u{t, х 4- 2ж, у) = u{t, х, у + 2тг) = xi(t, х, у) (9)

где Д •• оператор Лапласа, на торе. На гладкую нелинейности /(«, щ) наложены такие же ограничения, что и в первом параграфе. Квазинормальная форма (9) подобна (4):

¿ = + (10)

Ясно, что уравнение (2.50) при к,т — 1,2,... имеет автомодельные циклы

ihm - exp(i{vkmr + Ь; + ту)),

Vkm ~ ц{к2 + т2) - шг, К 1

которые также называют бегущими волнами и которые находятся на стыке плоских и трехмерных нелинейных волн.

Наибольший интерес представляет ситуация, когда теряющая устойчивость бегущая волна передает ее трехмерному тору. Показано, что именно такая бифуркационная задача возникает, если выполнено условие

(12)

При ограничении/^ < справедливо утверждение, почти подобное содержащемуся в теореме 1, но только теперь следует говорить о существовании в окрестности каждой потерявшей устойчивость бегущей волны двух орбитально экспоненциально устойчивых двумерных торов, области притяжения которых разделяет дихотомич-ный трехмерный тор. Итоговый вывод второго параграфа таков.

Теорема 2. Пусть фиксировано натуральное число iV0. Тогда при ограничениях (6), (12) и при подходящей малости е и 61,62 (61,62 введены перед теоремой 1) краевая задача (9) имеет трехмерных орбитально устойчивых торов

Щт = v.km{<Pi +x,tpi + у, tpa + kx + ту, 6, е), k,m — i.,...,No,

где if0 удовлетворяет уравнению, устроенному подобно второму уравнению (8) (правда, теперь слагаемое порядка е зависит от к, т, а остаток дополнительно зависит еще и от tpi), aipi,4>2 удовлетворяют уравнениям типа первого уравнения (8).

Из теоремы 2 следует, что целесообразно проводить анализ в предположении, что при ограничении (12)

> ■ (14)

В третьем параграфе рассматривается конечномерный вариант задачи (1), (2):

ük - 2ейк + ик = 2ед(гц_1 - 2ик + ик+г) + f{ukl йк), (15)

где к = 1 ,...,п,п > 3, tío — WniUn+i = Щ. В (15) в целях простоты за параметром fi сохранено обозначение - на самом деле его следует поделить на квадрат шага, т.е. на ^г. Главная часть нормальной формы, пропущенная через нормировки & —* •Jeik, et — г, системы (15) имеет вид

d,T

(16)

где

/ 2 -1 D = 0 ... -

V-l 0 .

gk = (ехр(гзАЛ))| , h = —, к =.0,1,..., п — 1.

Согласно (17) уравнение (16) имеет автомодельные циклы дкехр{гикт), vk = fi\k-Jl, fe = 0,1,

..... 0 -1 \

2 -1 ... 0 .. 0 -1 2 )

(17)

(18)

которые при к > 0 естественно назвать бегущими волнами. Если же к = 0, то цикл естественно назвать синхронным. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 3. При уменьшении ¡1 теряют устойчивость синхронный цикл и те бегущие волны, у которых к < у.

Из изложенного следует, что подходящее уменьшение коэффициента упругости приводит к диффузионному хаосу, общие свойства которого одинаковы для плоских и трехмерных волн.

В четвертом параграф« представлено численное исследование волнового варианта уравнения Ван-дер-Поля. Вводятся две леммы, строится явная разностная схема и доказывается теорема об ее точности. Также вводится количественная характеристика аттракторов уравнения - энергия. Итак, в одном важном частном случае краевую задачу (9) удобно записать короче:

и« + 1{и)щ + В\ = 0, (19)

где / = — 2е+Ьи+2и2, константа Ь > О, В2 = 1—2ецА. Разделим квадрат 0 < х, у < 2-к на равные части с шагом к = ^(берется п = 50). Удобно ввести матрицу

иЦ) = (и*т(*))[т=1> икт = «(*, кк,тк), (20)

при помощи которой функция и(<,х,?/) задается в узлах сетки. Оператор - Д аппроксимируем по каждой из переменных х,у матрицей Д фигурирующей в (16). Используем также обозначение

Тогда конечномерное приближение уравнения (19) записывается так:

и + ¡{щи + в2и = 0,

где теперь

В*и = и + 2е^и + СШ), тй - (/(икт)^-)\пкт= В итоге выводится, что с точностью 0(т4)

6*и = (10 - ¿¡{ЩЬ + г))) [(/0 + +

-\ПЩ + т))^)2 - ^ - т2В*и{1 + г)],

где

ё1г = Р(и(г + т))-Е(и(1)), 52и = иу + 2т)-Щг + т), б^и = и{г + т)-и{г).

В правой части формулы (24) 1п - единичная матрица п х п, все матричные произведения - поэлементные, исключая произведение В2 и {/(£ + т), которое вычисляется в соответствии с формулой (23).

Теорема 4. Пусть как-то фиксировано число Т > 0. Тогда каждое решение 11(1) уравнения (22) на отрезке 0 < Ь < Т с точностью до 0(т4) удовлетворяет равенству (24)-

Скалярное произведение матриц п х п определим равенством:

(А, В) = 4 £ »ьбы. (25)

П к,т=1

Для конечномерного приближения (22) уравнения (19) интеграл энергии £(<):

т = 1(1/(0, ш+\(т, вгит (26)

(21) (22)

(23)

(24)

где скалярное произведение - введенное выше равенство (25). Для разностного варианта (24) уравнения (22) интеграл энергии также вычисляется по формуле (26). При проведении численных экспериментов считаем, что

е = 0.2, Ь - 4. (27)

При нулевом значении малого параметра е мнимая часть ляпуновской величины уравнения (19) равна --у. Поэтому выбранное значение 6 с запасом обеспечивает I справедливость неравенства (14). Параметр е выбран так, чтобы было справедливо I содержащееся в теореме 2 утверждение, относящееся к существованию и устойчивости трехмерного тора. Из результатов предыдущего параграфа вытекает, что при выбранных Ь и е уравнение (22) имеет большое число аттракторов. Однако, что представляется отнюдь нетривиальным, малы области притяжения каждого из стационарных режимов, получающихся из тех, о которых говорится в теореме 1, 2. Основная же область притяжения принадлежит аттракторам, которые назовем режимами самоорганизации, одновременно просто и сложно устроенные по пространственным и временным переменным. Их количественная характеристика - энергия каждого из них много больше энергии стационарных режимов, связанных с теоремами 1, 2. Отчасти свойства режимов самоорганизации близки к выявленным п статье о самоорганизации в одиовидовом биоценозе(см. сноску 5). Однако теперь каждый из них возникает из "бесконечности", причем, вероятно, с бесконечно большой энергией, которая затем убывает вместе с уменьшением ц. Другое свойство: разные режимы самоорганизации, различающиеся главным образом мерой пространственной сложности, сосуществуют в широком диапазоне изменения ц.

При параметрах (27) на каждом аттракторе решение п(£, х, у) < 1.3, но ж, у) < •-3.3 при некоторых х,у. Эти участки окрашены черным цветом, что делает наглядным движение пика волны, вращающейся на торе.

я) Ел~ 36.1 б) Е.-55.2 в) Ео= 124.2

Рис. 1

Например, на рис. 1 при ц - 233 показаны три разных режима самоорганизации, которые энергетически различаются. С ростом ц это различие возрастает. Например, при ¡г — 104 энергия каждого из пих соответственно равна:

а) Е0 - 951; б) Е0 - 1461; в) Е0 3436.

а) Н,-19.5

Рис. 2

На рис. 2 при том же значении д — 233 показаны два разных режима самоорганизации на окружности. Отметим, что первая волна движется влево, дно вторые ■■ вправо. Указанные на рис. 2 значения Л'о естественно возрастают при увеличении ц. Например, для структурно подобным «оказанным на рис. 2 режимам при ц ■■ - !04 имеем

а) До -530; б) /?„ - 1 ] 54.

При заметном уменьшении ц каждый из выявленных режимов самоорганизации теряет пространственную и временную упорядоченность, трансформируется и хаос типа диффузионного. При /4 — 0.003 характерные особенности последнего показаны на рис. 3.

Рис. 3

В заключении к первой главе приведены резюмирующие выводы.

Структура второй главы такова. Сначала рассматривается задача о нелинейном параметрическом резонансе волновых уравнений в плоской области. Ранее » такой постановке этот вопрос не был исследован. Затем дается окончательное решение начатой рапе<|> задачи(см. сноску 2) о парадоксе в математической модели взаимодей • ствия популяций. Необходимость этого отмочена » некоторых работах8. II заперт», ющей част<1 главы решается новая задача: исследуются автоволштыс процессы н

'Колссоп Я Г).С. Обоснование метода ктиинормальпых форм для урапнении Хатчинсон» с малым коэффициентом диффузии // И.т. 1'АИ. Серия малом. 2001. Т. 65. №4. С. Ш Ш.

математической модели реакции Белоусова.

В шестом параграфе сначала при помощи метода квазинормальных форм9 выявляются ситуации, когда особенности динамики интересующей нас задачи проявляются наиболее полно. Затем привлекаются численные методы. В качестве примера, показывающего отличие динамики задачи на отрезке и квадрате, в заключительной части проведено численное исследование этой же задачи на единичном отрезке. Доказываются две теоремы и строится явная разностная схема.

Исследуется следующая краевая задача:

д2и .ди . „ . ди

+ + (1 + еа сое 2т)и = еа Ди, —

= 0. (28)

еп

Здесь е - малый положительный параметр; а и' а - положительные постоянные; г = (1 + е5)Ь, где постоянная 6 может быть любого знака; /(и) = е + Ьи 4- и2, где Ь -положительная постоянная; Д - оператор Лапласа; и - внешняя нормаль I! произвольной точке (исключая угловые) границы д£1 плоской области П, которой принадлежат такие х,у, что 0 < х,у < 1.

Входящие в (28) параметры свяжем рядом ограничений. Первое:

Т = ^-\-52>0' <»>

обеспечивающее неустойчивость нулевого состояния равновесия нормальной формы точечной модели уравнения (28), что характерно для задачи о параметрическом ре-' зонансе.

Два оставшихся ограничения обязаны распределенной модели. Предполагаем, что

(2*2 + 1 - </ТТШ)и* + - 1)о>2 + ~ + 5(^1+452 - 1) > 8Г. (30)

При 6 < 0 неравенство (30) дополняется ограничением

(VI + 46г - 1)а;2 + 26 > 0. (31)

Теорема 1. При ограничении (29) найдется такое Ео > 0, что при 0 < е < ео нулевое состояние равновесия краевой задачи (28) неустойчиво по направлениям тех мод, собственные числа которых Ап принадлежат полуинтервалу [0, А").

Теорема 2. Пусть выполнены условия (29), (30), (31). Тогда найдется такое Ео, что при 0 < е < Ео однородное периодическое решение краевой задачи (£8) неустойчиво по одномерному направлению каждой их трех мод, собственные чшсля Ап которых принадлежат интервалу (А», А*).

Отметим, что при выполнении неравенства (29), но при замене хотя бы одного из неравенств (30), (31) на противоположное, однородное периодическое решение краевой задачи (28) экспоненциально устойчиво.

Результаты численного интегрирования. Параметры задачи брались следующие:

£ = 0.1, 6 = 3.5, а = 10, 6 — 2, 0.005 < а2 < 0.05.

'Мищенко Е.Ф., Колесов К) С., Колесо» А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

При изменении а2 в указанных пределах достаточно интенсивные колебания носят хорошо выраженный хаотический характер. Другая особенность общего характера: колебания несимметричны, например, и^,х,у) < 2, но при некоторых х, у и Ь справедливо неравенство и(<, х, у) < —2. В связи с этим (и в целях наглядности) на рис. 4-6 в черный цвет окрашены области, в которых в текущий момент «(£, х, у) < -2.

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

При отнэсительно большом коэффициенте упругости (см. рис. 4) затруднено возникновение режима самоорганизации, что приводит к хорошо выраженному хаосу, когда область заполняют обрывки спиральных волн. При подходящем уменьшении коэффициента упругости (см. рис. 5) становится возможным явление самоорганизации, когда устанавливается спиральная волна, конфигурация которой во времени и пространстве меняется по сложному закону. При дальнейшем уменьшении коэффициента упругости (см. рис. 6) установившийся режим - это объект, составленный уз четырех достаточно независимых спиральных волн и т.д.

В заключительной части шестого параграфа приводится численное исследование того же уравнения на единичном отрезке.

В седьмом параграфе исследуются аттракторы сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия с крайней точкой поворота в плоской области. Формулируется лемма и теорема. На примере одной важной биофизической задачи решается проблема аттракторов рассматриваемого класса систем типа реакция-диффузия. В Ят,т > 3, рассмотрим параболическую систему

ди

= е£> Ди + А0и + еА1и + .Г(и), и|п = 0.

Здесь Д - оператор Лапласа, П - граница плоской области

0<х<1и 0 <у<12,

(32)

(33)

гладкое нелинейное отображение Р имеет в нуле высший порядок малости, все собственные значения матрицы О имеют положительные действительные части, матрица Ао имее:: простые собственные значения ±гшо, Щ > 0, а все ее остальные точки спектра расположены в левой комплексной полуплоскости, наконец, г - малый положительный параметр.

Данные ограничения носят общий характер, сформулируем более специфические. Во-пеэвых, считаем, что при любых г > 0 все собственные значения матрицы Ад — гО имеют отрицайельные действительные части. Во-вторых, предполагаем, ню

отрицательна действительная часть первой ляиунопской величины d обыкн0иенн01'0 уравнения и 11"\ в которое переходит краевая задача (32) при е - 0. Обозначим через ао и («о, ¿о)1, («оiЫ — 0, собственные вектора матриц Л) и Ад, где звездочка означает транспонирование, отвечающие собственным значениям ш0 и ~ioja соответственно. Третье ограничение таково: будем считать, что

Re(Dao,bo) ~ 0. /m(DaoA) Ф 0, Re(Daubü) > 0,

где iij ■■ решение алгебраического уравнения

Ааа\ - iw0fti - Dun - (Dao,bo).

13-четвертых, предполагаем, что ß - - Ьа) > 0. В-пятых, считаем, что ир-

»3

рационально число ¡|. Вводя обозначение а — hn(Daa, 6о), считаем, в-шестых, что численно велика неличина |«| или параметр ß подходящим образом мал. Пропуская формулировку вспомогательной леммы, приводим основную теорему.

Теорема. Фиксируем произвольно сколь угодно большое натуральное число Nu. Тогда при выполнении сформулированных шести ограничениях найдутся такие положительные числа £'о и ßi < ni, Hirio при 0 < е < t"o и < ß < р,г краевая задача (8Я) имеет • • 1 дшотомичпых циклов и торов, причем у каждого ив них бесконечны размерности устойчивых и неустойчивых многообразий.

При D\ — 0.0001, Di — 0.01 и единичном квадрате при условиях непроницаемости па ого i-ршшще рассмотрим систему тииа реакция - диффузия с временными запаздываниями н обыкновенной части

riN1 г,

dt ■ - АДА11 + + «(1 ~ N*) ~ Nlhl)N\ (34)

я j\fV.

¡¡f - IhAN* + MN1 ~ N'UJN2, (35)

где все параметры положительны, ~ N"{t — h„x,y),

s — 1,2. При помощи данной системы описывается10 взаимодействие хищника с плотностью N2 со своей жертвой с шютностью N1. В частности, при

а — 0.1, Iii — 0.8, /«2 = 1.9, га = 0.8 (36)

система (34), (35) описывает динамику взаимодействия песца и лемминга(см. сноску 2).

При условиях (36) система (34), (35) в общем плане устроена подобно краевой задаче (32). Именно, если rj больше некоторого критического значения rf, то в рамках точечной модели ее единичное состояние равновесия N1 — N2 ~ 1 колебательным образом теряет устойчивость, а при учете миграционных факторов она становится близкой к сингулярно возмущенной системе с крайней точкой поворота.

'"Кадетов Л.Ю., Колосов Ю.С. Релаксационные колебании и математических моделях экологии// '¡'р. МИ РЛ». 1999. 'I'. 199.

При Г1 == 3 численный анализ системы (34), (35) выполним при помощи явной разностной схемы с "экспонентой"(см. сноску 5), с шагом по временной переменной 5t = 0.01, а по пространственным переменным с шагом 5х — 8у = 0.1.

При про «звольном выборе положительных начальных условий сваливаемся к хаосу. На рис. & показано характерное пространственное распределение плотности жертвы после прохождения процесса установления. Для наглядности здесь черным цветом выделены области, в которых ТУ1 > 1, а белым, когда ТУ1 < 1.

Рис. 8

Рис. 10

Рис. 9

При • относительно симметричных начальных условиях процесс установления длится долго - несколько десятков лет. При этом попутно проходим через режимы, которые, если воспользоваться терминологией из химической кинетики(см. сноску 6), с некоторой долей условности можно назвать ведущими центрами и спиральными волнами (см. соответственно рис. 9 и 10). Если в системе (34), (35) пространственная переменная принадлежит единичному отрезку, то, как следует из выполненных в ранее(см. сноску 2) численных экспериментов, однотипно устроенных аттракторов много, каждый из которых, грубо говоря, - гармонически возбужденная мода. Последнее означает, что выходим за границу применимости модели. Переход к плоской области возвращает биологический смысл аттракторам.

Итак, и ,гля некоторых классов систем реакция-диффузия кажущиеся локальными проблемы на самом деле являются существенно нелокальными.

В заключительном 8-м параграфе диссертации предметом анализа является следующая краевая задача

N1 = А ДЛ^ + п Й2 = Я2ДЛГ2+г 2 N3 ~ £>3ДЛГ3 + г3

ат I _ щь

ди Ни

1 4- о(1 — N3) —

^-N2 N3 - N3 =г'2й»| =0

еп в" 1ап

N2, N3,

(37

Здесь N1 , N2 , N3 - концентрации соответственно бромата, церия и бромида; п , ,гз - коэффициенты линейного роста; , £>2 , Бз - коэффициенты диффузии; а -коэффициент "давления"бромида на бромат; 5П - граница единичного квадрата; и -нормаль к границе. Стартовыми для нас являются следующие значения параметров:

П = 1, г2 = 1, г3 = 3, а = 40, А = 0.001,02 = 0.005, = 0.01.

Отметим, что конкретное задание первых четырех параметров мало влияет на динамические сюйства краевой задачи (37). Роль коэффициентов диффузии более суще-

ственна. Они выбраны так, чтобы при выбранных коэффициентах диффузии сохраг нялась устойчивость однородного цикла и чтобы с ним соседствовали пространственно неоднородные колебания. Естественно, что при пропорциональном уменьшении коэффициентов диффузии однородный цикл устойчивость теряет11.

Для численного анализа краевой задачи (37) используем разностную схему с "экс-понентой"(см. сноску 5). На приводимых рисунках показываются пространственные распределения концентрации Лг2, причем черным отмечаются области, где N2 > 2.

При выбранных параметрах область притяжения однородного цикла, состоит из достаточно гладких функций. Если же начальное распределение сосредоточено в какой-то части квадрата, то возникает пульсирующий режим. На рис. 11 на трех разделенных во времени сериях показана динамика пространственногс изменения N2- На каждой серии (например, верхний ряд квадратов) интервал мелгду срезами равен 0.2. Интервал между сериями равен 20.

£

Рис. И

Уменьшение на порядок коэффициентов диффузии приводит к двояким эффектам: однородный цикл теряет устойчивость и происходит пространственное усложнение установившихся режимов, что хорошо показано на рис. 12, где, как и на рис. 11, приведены три разделенных во времени серии с интервалом 20 между ними. При этом про!

а &

^ к у с о ®

-V £ Г

Рис. 12 А = 0.0001, £>2 = 0.0005, Д, = 0.001 При еще одном уменьшении на порядок коэффициентов диффузии наступает так называемый диффузионный хаос. На рис. 13 приведены характерные "картинки", достаточно произвольно выбранные из временного интервала.

11Колесов А.Ю., Колесов Ю.С., Майоров В.В. Реакция Белоусова: математическая модель и экспериментальные факты // Динамика биологических популяций. Горький, Из-во ГГУ, 1987. С. 43-51.

г Рис. 13 А = 0.00001, £>2 = 0.00005, £>3 = 0.0001

Усредненные по пространственным переменным колебания

' Мк = IУ ЪЦ,х,у)<Ыу, к = 1,2,3,

о о

заметно менее интенсивны, чем те колебания, которые доставляет однородный цикл.

В итоговом заключении кратко охарактеризованы методы исследования и сформулированы основные тезисы диссертации. В приложениях на 49 страницах включены тексты программ численных исследований.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ю.С. Колесову за постановку задач и помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

1. ХарькоЕ А.Е. Численное исследование модели хищник-жертва с миграционными факторами в единичном квадрате // В сб.: Современные проблемы математики и информатики, выпуск 3. Ярославль: Из-во ЯрГУ, 2000. С. 84-89.

2. Харьков А.Е. Об одном феномене в задаче о параметрическом резонансе нелинейных волновых уравнений //В сб.: Современные проблемы математики и информатики, выпуск 4. Ярославль: Из-во ЯрГУ, 2001. С. 101-104.

3. Харьков А.Е. Аттракторы распределенной модели реакции Белоусова // Моделирование и анализ информационных систем, Из-во ЯрГУ, 2001. Т. 8. №1. С. 44-46.

4. Колесои Ю.С., Харьков А.Е. Аттракторы сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия с крайней точкой поворота в плоской области // Докл. РАН. 2001. Т. 377. №2. С. 173-175.

5. Колесо!. Ю.С., Харьков А.Е. Закономерности нелинейных параметрических автоволновых процессов сингулярно возмущенных волновых уравнений в плоских областях // Докл. РАН. 2002. Т. 383. №4. С. 464-467.

Лицензия ПД 00661. Печ. л.1. Формат 60x84 1/16. Заказ 1987. Тираж 100. Офсетная печать. Типография Ярославского государственного технического университета, т. 30-56-63. 150028, г. Ярославль, ул. Советская, 14а

г

2^5-/! р 17 321 (752/

i

i ' í

f

Введение.

Глава I. Сходство и различие плоских и трехмерных волн.

§1. Волновое уравнение на окружности.

§2. Волновое уравнение на торе.

§3. Осцилляторы Гюйгенса, бегущие волны, хаос.

§4. Схема и результаты численного интегрирования волнового варианта уравнения Ван-дер-Поля.

Последние тридцать лет активно развиваются различные аспекты автоволновых процессов. Условно установленные результаты можно разбить на три группы.

Первое направление связано с так называемым методом обратной задачи [1].

Второе направление возникло в биофизике и связано с системами типа реакция-диффузия. С прикладной точки зрения наиболее полно проблема исследована в работах [2]-[3]. Интересные экспериментальные исследования связаны с автоколебательной окислительно-восстановительной химической реакцией Белоусова [4]-[6].

Третье направление - исследование динамики нелинейных волновых уравнений при предположениях имеющие содержательный физический смысл. Относящиеся сюда некоторые результаты общего характера содержатся, например, в [7]-[8].

Вообще говоря, в каждом из последних двух направлений следует различать локальные методы анализа и специфические в каждой задаче нелокальные феномены. К настоящему времени локальный анализ, получивший название метода квазинормальных форм, в достаточной степени подробности позволяет получать существенную информацию о динамических особенностях многих важных задач [9]-[11], наводящих, кстати, на мысль, что может быть принципиально разной динамика на отрезке и в плоской области.

Собственно, последнему аспекту проблемы и посвящена данная работа. Ее основной вывод формируется просто: явление самоорганизации - главный составляющий элемент динамики автоволн в плоской области. Предварительно нужно уточнить смысл понятия самоорганизации. Основной послужила статья [12], где изучено явление самоорганизации в одновидо-вом биоценозе. С математических позиций самоорганизация -это одновременно просто и сложно устроенные автоволны. В [12] в качестве их числовой характеристики взят уровень биомассы: на режимах самоорганизации он максимален. В рассматриваемых ниже режимах самоорганизации нелинейных волновых уравнений эквивалентной числовой характеристикой служит понятие энергии автоволны. При таком подходе совпадают в главном наши выводы и выводы статьи [12].

Во второй главе сначала излагаются результаты, связанные с явлением нелинейного параметрического резонанса волновых уравнений, т.е. продолжено начатое в [13]-[14] теоретическое исследование данного вопроса. Использование численных методов, позволяет проникнуть в суть нелокальных эффектов, характерных для всех рассматриваемых в работе задач. Затем в плоской области рассматривается задача хищник-жертва, что устраняет обнаруженный в [15] парадокс: явление буферности, столь характерное для отрезка, в двумерной области места не имеет - здесь реализуются иные феномены с понятной биологической сутью. Завершается глава анализом математической модели реакции Белоусова при учете диффузионного фактора [16]. Оказывается, что не имеют места якобы экспериментально наблюдаемые автоволновые процессы [4]-[5], но зато в точности наблюдается картинка, обнаруженная в экспериментах иностранных авторов (например, см. [б]).

В приложениях 1-5 приведены программы численных исследований. Для разработки использовалась среда Microsoft

Visual Studio 6.0. При этом для трехмерной визуализации получаемых решений использовалась библиотека SceneLib разных версий (см. http://marcus-software.ch).

Результаты работы опубликованы в статьях [25]-[29] и докладывались на двух отчетных научных конференциях в Яр-ГУ. Работы [28]-[29] выполнены в соавторстве с научным руководителем.

1. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

2. АхромееваТ.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. О классификации решений системы нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности точки бифуркации // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. мат. Нов. достижения. ВИНИТИ, 1986. С. 207-313.

3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Паг радоксы мира нестационарных структур // Компьютеры и нелинейные явления: инф. соврем, естествозн. М. 1988. С. 44122.

4. Кринский В.И., Жаботинский A.M. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // В сб.: Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький: Из-во ИПФ, С. 6-32.

5. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974.

6. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985.

7. Бабин A.B., Вишик М.И., Неустойчивые инвариантные множества полугрупп нелинейных операторов и их возмущения // УМН. 1986. Т. 41. т. С. 3-34.

8. Бабин A.B., Вишин М.И. Аттракторы параболических и гиперболических уравнений. Характер их компактности и притяжения к ним // Вестн. МГУ. Мат., мех, 1988. №3. С. 71-73.

9. Колесов Ю.С. Особенности бифуркационной проблемы для волнового уравнения в узкой щели // Докл. РАН. 1999. Т. 367. т. С. 442-444.

10. Колесов Ю.С. Проблема аттракторов нелинейных волновых уравнений в плоских областях // Матем. заметки. 2000. Т. 68. т. С. 217-229.

11. Колесов Ю.С. Парадоксальные свойства аттракторов нелинейных волновых уравнений в плоских областях // Докл. РАН. 2002. Т. 187. №3. С. 443-445.

12. Колесов Ю.С., Майоров В.В. Пространственная и временная самоорганизация в одновидовом биоценозе // Динамика биологических популяций. Горький: Изд-во Горьковско-го ун-та, 1986. С. 3-18.

13. Колесов Ю.С. Нелинейный параметрический резонанс в сингулярно возмущенном телеграфном уравнении // Дифферент уравнения. 1991. Т. 27. №10. С. 1828-1829.

14. Колесов Ю.С. Асимптотика и устойчивость нелинейных параметрических колебаний сингулярно возмущенного телеграфного уравнения // Матем. сб. 1995. Т. 186. №10. С. 57-72.

15. Захаров A.A., Колесов Ю.С. Пространственно неоднородные режимы в задаче хищник-жертва // В сб.: Нелинейные колебания и экология. Ярославль: Из-во ЯрГУ 1984. С. 3-15.

16. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С., Майоров В.В. Реакция Бе-лоусова: математическая модель и экспериментальные факты // Динамика биологических популяций. Горький: Из-во ГГУ, 1987. С. 43-51.

17. Колесов Ю.С. Устойчивость и бифуркация бегущих волн // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль:Изд-во ЯрГУ, 1985. С. 11-22.

18. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

19. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

20. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987.

21. Колесов Ю.С. Обоснование метода квазинормальных форм для уравнения Хатчинсона с малым коэффициентом диффузии // Изв. РАН. Серия матем. 2001. Т. 65. №4. С. 111132.

22. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

23. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии// Тр. МИ РАН. 1999. Т. 199.

24. Колесов Ю.С. Задача паразит-хозяин // в сб.: Динамика биологических популяций. Горький: Из-во ГГУ, 1984. С. 1629.

25. Харьков А.Е. Численное исследование модели хищник-жертва с миграционными факторами в единичном квадрате // В сб.: Современные проблемы математики и информатики, выпуск 3. Ярославль: Из-во ЯрГУ, 2000. С. 84-89.

26. Харьков А.Е. Об одном феномене в задаче о параметрическом резонансе нелинейных волновых уравнений // В сб.: Современные проблемы математики и информатики, выпуск 4. Ярославль: Из-во ЯрГУ, 2001. С. 101-104.

27. Харьков А.Е. Аттракторы распределенной модели реакции Белоусова // Моделирование и анализ информационных систем, Из-во ЯрГУ, 2001. Т. 8. Ж. С. 44-46.

28. Колесов Ю.С., Харьков А.Е. Аттракторы сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия с крайней точкой поворота в плоской области // Докл. РАН. 2001. Т. 377. т. С. 173-175.

29. Колесов Ю.С., Харьков А.Е. Закономерности нелинейных параметрических автоволновых процессов сингулярно возмущенных волновых уравнений в плоских областях // Докл. РАН. 2002. Т. 383. №4. С. 464-467.

30. Колесов А.Ю. Описание фазовой неустойчивости системы гармонических осцилляторов, слабо связанных через диффузию // ДАН СССР. 1988. Т. 300, т. С. 831-835.