Новые режимы распространения автоволн в возбудимых системах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

ЦЫГАНОВ ИГОРЬ МИХАЙЛОВИЧ

НОВЫЕ РЕЖИМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АВТОВОЛН В ВОЗБУДИМЫХ СИСТЕМАХ

01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научные руководители:

- кандидат физико-математических наук, доцент А. Е. Орданович

- кандидат физико-математических наук О. А. Морнев

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Ю. М. Романовский

- кандидат физико-математических наук А. К. Цатурян

Ведущая организация:

- Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН

Защита состоится 15 декабря 2000 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д.053.05.01 при механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, главный корпус, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ

Автореферат разослан 14 октября 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.053.05.01 доктор физико-математических наук,

профессор Д. В. Трещев

Е з €

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Сокращения различных участков сердца обычно хорошо скоординированы между собой. Правильная последовательность сокращений мышечных стенок сердечных камер управляется автоволнами возбуждения - волнами электрической перезарядки мембран сердечных клеток, направленно распространяющимися от синоатриального узла к предсердиям и - через пучок Гиса и систему волокон Пуркинье - к обоим желудочкам. Резкое падение скорости проведения при повреждениях миокарда может приводить к нарушениям сердечного ритма. При этом вместо нормального распространения автоволн могут возникать необычные режимы распространения, которые нарушают синхронность сердечных сокращений и приводят к патологиям - сердечным аритмиям.

Из сказанного уже понятно внимание, уделяемое специалистами исследованию закономерностей генерации, распространения и взаимодействия автоволн в нелинейных сильно диссипативных распределённых системах - возбудимых средах. Автоволны - это самоподдерживающиеся нелинейные волны, сохраняющие свои характеристики неизменными за счет распределенного в среде источника свободной энергии.

Математические исследования режимов управления сокращениями миокарда, связанных с распространением волн возбуждения в нормальных условиях и в условиях патологий, впервые были начаты в работе Винера и Розенблюта (Wiener, Rosenbluelh, 1946). Её авторам удалось объяснить трепетание предсердий циркуляцией волны вокруг полых вен. Последующее развитие математических исследований электрических импульсов возбуждения в сердечных тканей связано с моделью Нобла (Noble, 1962) -системой дифференциальных уравнений четвертого порядка. Сведение уравнений Нобла асимптотическим переходом (Кринский, Кокоз, 1973) к системе второго порядка, известной как система Фитцхью-Нагумо (ФХН), позволило проводить качественные исследования распространения волн возбуждения в сердечной ткани на базе математической модели автоволновых процессов ФХН,

Происхождение ряда аритмий связывают с эффектом "эхо": отражение при взаимодействии бегущих импульсов с геометрическими и/или функциональными неодно-родностями возбудимой среды (Кринский, Холопов, 1967; Васильев, Романовский, Ях-но, 1979,1987; Кринский, 1981, Ermentrout, Rinzel, 1995;). В тоже время, до недавнего времени аннигиляция импульсов при столкновении друг с другом и с непроницаемыми препятствиями считалась фундаментальным свойством автоволн, базирующимся на основном свойстве возбудимой ткани - рефрактерности, что делает невозможным отражение и сквозное прохождение автоволн.

Результаты численных экспериментов, выполненных в последние шесть лет с привлечением как простых качественных моделей возбудимых сред (Petrov et al, 1994; Kricher, Mikhailov, 1994; Kozek, Marek, 1995; Морнев и др., 1996, 1997), так и систем уравнений высокого порядка, количественно точно описывающих нелинейную динамику импульсов в нервных волокнах и возбудимых волокнах проводящей системы сердца (Асланиди, Морнев, 1996, 1997, 1999), продемонстрировали существование в однородных возбудимых средах необычных режимов, соответствующих отражению автоволн при их столкновениях друг с другом и с непроницаемыми границами среды. Эти режимы были названы солитоноподобными. Экспериментально режим отражения авто волн был обнаружен в химической возбудимой среде (Oertzen et al, 1998).

Области значений параметров возбудимых сред, при которых реализуются соли-тоноподобные режимы, достаточна малы. Однако их наличие в широком спектре моделей сигнализирует о том, что указанные режимы являются отнюдь не экзотикой, а явлением общего характера. Наряду с этим было показано, что имеется еще один тип отражения: при взаимном столкновении волн возбуждения или при их взаимодействии с

границей может возникать многоимпульсное переизлучение волн, с течением времени переводящее среду в автоколебательный режим.

Обнаружение в возбудимых средах солитоноподобных режимов и режимов многоимпульсного переизлучения в корне меняет взгляд на объяснение большого числа экспериментальных фактов, связанных с динамикой электрических импульсов в сердечных тканях. В частности, высказана гипотеза (Асланиди, Морнев, 1999), что именно эффекты эхо, обусловленные интерференцией следовых волн, ответственны за некоторые из нарушений сердечного ритма, наблюдающиеся в условиях так называемой триггерной активности. Механизм развивающихся при этом аритмий может состоять в том, что в условиях солитоноподобпого режима регулярный однонаправленный поток волн возбуждения, периодически пробегающих по сердцу от предсердий к желудочкам и вызывающих ритмические скоординированные сокращения сердечных камер, дезорганизуется в результате каскада переотражений, инициируемого спорадическими встречными волнами. Один из ключевых пунктов в этой картине - появление встречных волн: как они могут возникать? В настоящей работе численными методами исследуется один из возможных сценариев их генерации. Далее будет показано, что в условиях, поддерживающих солитоноподобные режимы, встречные волны могут генерироваться по механизму эхо при падении волн возбуждения на непроводящие включения - локальные участки двумерной возбудимой среды, отделённые от остальных её участков границами с низкой электрической проводимостью. В сердце роль таких включений могут играть, например, невозбудимые устьевые участки вен, поставляющих кровь в предсердия, а также некротические участки, формирующиеся в патологических условиях в местах ишемии - зонах локальных нарушений коронарного кровоснабжения миокарда.

Цели и задачи работы. Основная цель настоящей работы состояла в численном исследовании свойств новых автоволновых режимов в двумерных возбудимых средах. Для достижения этой цели были поставлены следующие конкретные задачи:

1. В численных экспериментах с системой уравнений Фитцхью-Нагумо, качественно моделирующей динамику биологических возбудимых сред, исследовать эффекты, сопутствующие столкновениям автоволн возбуждения с непроводящими включениями в условиях солитоноподобного режима (и режима многоимпульсного переизлучения (МИП)).

2. Для солитоноподобного режима и режима МИП исследовать процесс формирования и динамику вращения спиральных волн возбуждения - как при наличии непроводящих включений так и в их отсутствии.

3. На математических моделях возбудимых сред с двумя ненулевыми коэффициентами диффузии (активатора и ингибитора) исследовать динамику состояния среды в условиях, поддерживающих режимы отражения автоволн.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты:

1. Установлено, что в условиях, поддерживающих в возбудимой среде солитоноподоб-ный режим, эховолны генерируются в окрестностях только таких непроводящих включений, геометрические размеры которых достаточно велики; включения под-критических размеров огибаются набегающими на них автоволнами без генерации эховолн. Аналогичные результаты получены и в условиях режима многоимпульсного переизлучения (МИП) сталкивающихся автоволн.

2. Построен контрпример к известной теории Курамото (КигагшМо, 1980), запрещавшей существование автоволн, вогнутых в направлении распространения: в численных экспериментах впервые продемонстрировано существование долгоживущих вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн, реализующихся в возбудимой среде в условиях солитоноподобного режима и режима МИП.

3. Возникшее противоречие разрешено путём численного исследования влияния граничных условий на форму переднего фронта спиральных волн, вращающихся в условиях упомянутых режимов. Показано, что вогнутая спиральная волна - нелокальный объект, тогда как теория Курамото является существенно локальной и потому -неуниверсальной.

4. В численных экспериментах с математическими моделями возбудимых сред, содержащими два ненулевых коэффициента диффузии, обнаружен новый тип автоволновых структур - "диссипативный пульсар", в котором источники бегущих импульсов сосуществуют со стационарной структурой.

Практическая ценность диссертационной работы обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов как для дальнейшего развития общей теории автоволновых процессов, так и в биомедицинских приложениях. Исследуемые в работе эффекты отражения импульсов возбуждения могут лежать в основе механизмов, ответственных за развитие сердечных аритмий, - в частности, за нарушения сердечного ритма, возникающие в условиях так называемой триггерной активности.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах механико-математического факультета и Института механики МГУ, на семинарах и научных конференциях Института теоретической и экспериментальной биофизики РАН, на международных конференциях "Ломоносов" (МГУ: 1995, 1996, 1997), International Conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems" (Суздаль, 1995), "Nonlinear dynamics in polymer science and related fields" (Москва, 1999), на Втором Всероссийском биофизическом съезде (Москва, 1999). Исследования по теме диссертации выполнялись при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 99-01-00956, № 99-01-01041).

Публикации. Результаты диссертации представлены в 10 научных работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура н объем диссертации. Диссертация изложена на ¿Устраницах и состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы из /'/¿'наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

ВВЕДЕНИЕ. В данном разделе обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы задачи исследований и кратко рассмотрено содержание работы.

ГЛАВА I. Обзор литературы по теме работы. В главе дан краткий обзор исследований автоволн в возбудимых средах. Рассмотрены этапы развития теории автоволн: аксиоматические модели возбудимых сред (Wiener, Rosenblueth, 1946; Кринский, 1968); полулинейное параболическое уравнение типа Колмогорова-Петровского-Пи-скунова (1937), используемое для описания однокомпонентных бистабильных сред; количественные уравнения, описывающие динамику электрических импульсов в нервных волокнах (Hodgkin, Huxley, 1952) и возбудимых волокнах проводящей системы сердца (уравнения Noble и их модификациии). Обсуждается качественная физика, лежащая в основе процессов передачи автоволн по возбудимым средам.

Распространение автоволны имеет эстафетную природу: автоволна заново воспроизводится в каждой точке среды и поэтому её передача через среду осуществляется без затухания и искажений. Свободная энергия среды при этом расходуется на поддержание волны. Две автоволны, сталкиваясь, аннигилируют, так как непосредственно за передним фронтом бегущей автоволны тянется рефрактерная зона конечной длины, в

3

которой среда перешла из высокоэнергетического метастабилыюго состояния в основное состояние с низким значением свободной энергии. В рефрактерной зоне среда временно невозбудима, и наличие этих зон, вообще говоря, препятствует как сквозному прохождению двух сталкивающихся автоволн, так и их отражению. Тем более неожиданными оказались результаты исследований последних шести лет, в которых были обнаружены режимы отражения сталкивающихся автоволн.

Качественное объяснение открытого эффекта состоит в следующем (Морнев и др., 1996; Асланиди, Морнев, 1996, 1997, 1999). В условиях солитоноподобного режима бегущая автоволна всегда имеет форму дублета, состоящего из высокоамплитудного нелинейного импульса-лидера и сопровождающей его низкоамплитудной "почти линейной" подпороговой следовой волны. При столкновении автоволн лидеры гасят друг друга точно так как это имеет место в обычном - аннигиляционном - режиме, а столкнувшиеся следовые волны, имея малую амплитуду, суммируются, становятся надпоро-говыми и инициируют на участке интерференции генерацию двух новых дублетов, разбегающихся в противоположных направлениях (эхо). Механизм отражения дублетов от непроводящих препятствий аналогичен описанному - лишь с той несущественной разницей, что теперь следовая волна суммируется со своим "зеркальным двойником".

ГЛАВА 2. Критические эффекты при отражении волн возбуждения от локальных непроводящих включений. Вот содержательная формулировка основного результата данной главы: в условиях, поддерживающих солитоноподобный режим в возбудимой среде, эховолны генерируются в окрестностях только таких непроводящих включений, геометрические размеры которых достаточно велики; включения подкри-тических размеров «обтекаются» автоволнами без генерации эховолн. Этот результат получен в ходе численных экспериментов, выполненных с привлечением простейшей качественной математической модели возбудимой среды - модели Фитцхью-Нагумо:

+ ЗУ

и{дх2 ду2) ы

2 +—г |=С— + кУ(У-У„,)(У-УА) + 1, (2.1а)

д I _аУ-1 д I ~ т

(2.1 Ь)

при Л =1; С =1; к = 8; У1к = 0,12; а = 4; здесь х и у - пространственные координаты, содержательный смысл остальных переменных и параметров расшифрован в (Морнев и др., 1996) (в частности, У имеет смысл электрического потенциала па мембранах клеток возбудимой ткани). Все величины измерялись в условных единицах. Величина т в правой части (2.1) являлась функцией переменной V и задавалась выражением

т(К; Да) - + + (2.2)

биофизическая мотивировка такого задания х представлена в (Морнев и др., 1996). Подходящее значение параметра Дс в (2.2) обуславливает реализацию в системе солитоноподобного режима (см. ниже).

Возбудимая среда и непроводящее включение моделировались прямоугольной областью П= {0 < х < 1Х, 0 ¿у < Ьу], Ьх =90, Ьу = 60 и, соответственно, круговой областью (3 с П, отграниченной от возбудимых участков среды окружностью Г радиуса р с центром в точке х0 = 45, >'о=30. Возбудимые участки среды, представленные областью Л\С, описыватась системой уравнений (1) при значениях параметров, указанных выше. На границах возбудимых участков поддерживались условия

непроницаемости 8V/5*|j 0 £ = L = dV/8n\r = 0 (здесь д/дп - символ

производной вдоль внешней нормали к окружности Г).

Автоволна возбуждения инициировалась заданием в момент времени t = 0 начальных условий V- 0,5 при 0 < х < 1, V = 0 при 1 < х < 90. Движение волны возбуждения по среде выявлялось при t > 0 численным интегрированием системы (1), в области IJ\G. Интегрирование осуществлялось по стандартной явной схеме с временным шагом h, = 0,005 и пространственными шагами hx = hy = h - 0,5 (шаги в контрольных

счётах составляли h, = 0,00125, h = 0,25).

Предварительные эксперименты показали, что в односвязной среде, не содержащей включения (при радиусе включения, равном нулю), солитоноподобный режим реализуется при значениях параметра As -в (2.2), принадлежащих промежутку 0,615 < Ае< 0,655. При любом значении As из этого промежутка плоская волна возбуждения, инициированная у левого края двумерной возбудимой среды, по мере своего движения по среде приобретает форму дублета (рис.2.1), характерную для названного режима.

□ .6 0.4

о.г о. 1

0.05 О. 03 О .03

Рис.2.1. Дублетная структура двумерной плоской волны возбужденна в условиях солитоноподоб-ного режима (модель Фитцхью-Нагумо). а - двумерная карта распределения значений участвующей в (2.1) переменной V ("мембранный потенциал"); б - пространственный профиль переменной К в волне возбуждения, построенный вдоль направления х. Видно, что волна возбуждения (на рисунке она движется слева направо) состоит из высокоамплитудного лидера 1 и низкоамплитудной следовой волны 2.

зо во

о.в

0.4 0.2 Р.1 О.ОЗ О.ОЗ 0.02

Рис.2.2. Различные режимы взаимодействия волн возбуждения, представленные в системе пространственно-временных координат (х, I): а - аннигиляция (Де = 0.6); б - солитоноподобное отражение (Де = 0.62); г, д - многоимпульсное переизлучение (г: Де = 0.655; д: Де = 0.7).

При Де < 0,615 в среде реализуется обычный аинигиляционный режим взаимодействия сталкивающихся импульсов, при Де > 0,655 - более сложные режимы

многоимпульсного переизлучения сталкивающихся импульсов (режимы МИП), завершающиеся переходом среды в режим пространственно-однородных автоколебаний (рис.2.2).

Явления, сопутствующие столкновению движущейся по среде волны возбуждения с непроводящим включением ненулевого радиуса р > 0, изучались в последовательных сериях экспериментов. Каждая из серий соответствовала некоторому значению параметра Ас из промежутка 0,615 < Де < 0,655 ; значения р внутри серии менялись от одного эксперимента к другому.

Круговые непроводящие включения в солитоноподобном режиме. Оказалось, в условиях солитоноподобного режима события, сопровождающие столкновения дублетной волны возбуждения с непроводящим включением, следуют двум качественно различным сценариям.

Если радиус р включения меньше некоторого критического значения рс (оно зависит от входящего в (2.2) параметра Де ), то оба члена волны-дублета - высокоамплитудный лидер и низкоамплитудный «след», последовательно сталкиваясь с границей включения, делятся без отражения каждый на две компоненты (рис.2.3). Эти компоненты некоторое время движутся вдоль непроводящей границы включения, а затем последовательно сходят с неё и сливаются в единую волну-дублет, которая продолжает движение по среде, постепенно выпрямляясь.

Если радиус р включения превышает величину рс (или равен ей), то происходит всё вышеописанное, однако взаимодействие низкоамплитудной следовой волны с препятствием сопровождается не только её делением, но и генерацией отражённой круговой эховолны (рнс.2.4).

О ¡о р

»-26

»=32

«=62 о! о| »=70 о|

Рис.2.3. Взаимодействие плоской волны возбуждения, распространяющейся в двумерной возбудимой среде, с непроводящим круговым включением подкритического радиуса р = 18 в условиях солитоноподобного режима. Данные на этом и следующем рисунках соответствуют значению Де = 0,62 в (2.2). При таком значении Де критический радиус включения рс=20,5. Представленные здесь карты пространственного распределения значений V, построенные при указанных р и Де для различных значений времени I, демонстрируют отсутствие отражения: как волна-лидер, так и следовая волна огибают включение без генерации эховолн.

Рис.2.4. Взаимодействие плоской волны возбуждения, распространяющейся в условиях солитоно-подобного режима в двумерной возбудимой среде, с непроводящим круговым включением надкритического радиуса р = 21. В этом случае сталкивающаяся с включением высокоамплитудная волна-лидер расщепляется на две компоненты, которые огибают включение без отражения (также, как на рис.2.3). Что же касается низкоамплитудной следовой волны, сопровождающей лидер, то её столкновение с включением сопровождается генерацией отражённой круговой эховолны. Эволюция последней легко прослеживается по картам, начиная с / = 21.

Численные эксперименты показали, что эховолна может возникать не только при столкновении падающей автоволны с непроводящим включением, но и при "сходе" последней с включения. Этот эффект также наблюдается лишь при р > р^, где р* - некоторое критическое значение радиуса, отличное от величины рс, указанной выше. Графики зависимостей величин рс и рс от участвующего в (2.2) параметра Дб представлены в диссертации.

В рассматриваемой главе диссертации проведено также исследование условий генерации эховолн при наличии в среде нескольких круговых непроводящих включений. Оказалось, что если на ограниченном участке среды количество непроводящих включений, имеющих одинаковый радиус, увеличивается, то критическое значение радиуса уменьшается.

Физика эффектов. Описанные эффекты нетрудно разъяснить, интерпретируя переменную К в (2.1) как электрический потенциал на мембранах клеток возбудимой ткани. При такой интерпретации величина J, определённая равенством / = - К'^ЧУ, имеет смысл электрического тока, текущего по возбудимой ткани в плоскости х, у. Ток / генерируется любыми пространственными неоднородностями распределения потенциала К, в частности - неоднородностями, связанными с волнами возбуждения.

Когда плоская волна-лидер падает на непроводящее включение, столкнувшийся с включением участок этой волны гаснет из-за наличия рефрактерности. После этого на включение набегает следовая подпороговая волна. Как и волна-лидер, следовая волна генерирует продольный ток / = - Л"1 УК, текущий в среде по нормали к фронту. Если диаметр непроводящего включения велик, то последнее "запирает" этот ток почти полностью: вблизи включения почти весь этот ток становится "выходящим" в смысле, придаваемом этому термину электрофизиологией (Ходоров, 1975), т. е. выходит через клеточные мембраны из возбудимой ткани в омывающую ткань внеклеточную среду. По мере приближения следовой волны к включению поверхностная плотность трансмембранного выходящего электрического тока возрастает до надпороговых значений, и в результате около включения инициируется эховолна (отметим, что в отличие от волны-лидера, низкоамплитудная следовая волна не переводит возбудимую ткань в

рефрактерное состояние). В противоположном случае, когда размер включения мал, генерируемый подпороговой волной ток, шунтируясь латеральными проводящими участками среды, частично обтекает включение; при этом плотность выходящего тока не достигает порогового значения и эховолна не генерируется.

Эхо при падении плоской волны возбуждения на «косое» прямолинейное непроводящее препятствие. Оказалось, что в условиях солитоноподобного режима падение дублетной волны возбуждения на "косое" прямолинейное препятствие, наклонённое под углом а к горизонтали (рис. 2.5, 2.6), также может сопровождаться появлением отражённой эховолны. Последняя возникает только при а > ас, где ас - критическое значение угла наклона препятствия; при а < ас эховолна отсутствует (рис. 2.5, 2.6) (эховолна, возникающая при а < ас на рис. 2.5 в правом вырхнем углу, является "артефактом" конечности среды). Зависимость ас от Де представлена в диссертации.

1=14 1=20 _ <=22 »=25

ь 1 1 ш

»=зо »=35 »=40 »=45 »=50 »=53

1 | 1 % 1

0.6 0.4 О .2 0.1 О .05 0.03 0.02

Рис.2.5. Взаимодействие волны возбуждения с "косым" прямолинейным препятствием. Среда 40 х 60, солитоноподобный режим (Де = 0.62), а = 77°, а < ас ( ас = 80°). Эховолна, возникающая при / > 40 в правом верхнем углу, сформированном препятствием и границей среды, является артефактом: она будет отсутствовать, если верхнюю границу среды отодвинуть вдоль вертикали на бесконечность.

»=0 г 14 |:2Р 1=22

«=30 »=32 »=35 »=38

Рис.2.6. Взаимодействие дублетной волны возбуждения с "косым" прямолинейным препятствием. Среда 40 х 60, солитоноподобный режим (Де = 0.62), а = 83°, а > ас ( ас = 80°). Отчётливо прослеживается процесс формирования эховолны.

ГЛАВА 3. Долгоживущне спиральные волны с вогнутым передним фронтом.

Спиральная (авто)волна, стационарно вращающаяся в двумерной возбудимой среде -классический "двумерный" режим, не имеющий аналогов в одномерном случае.

Различают два типа спиральных волн: а) волны, вращающиеся вокруг локальных непроводящих включений. О таких волнах говорят, что они "захвачены" включениями или "сцеплены" с ними; б) волны, осуществляющие свободное вращение в односвязной среде (стандартное название волн этого типа -ревербератор).

Существование спиральных волн, циркулирующих вокруг непроводящих включений, а также ревербераторов было предсказано около полувека назад (Wiener, Rosen-blueth, 1946; Балаховский, 1965). Вначале эти объекты были подробно исследованы в простых аксиоматических моделях возбудимых сред (Кринский, 1968), а затем наблюдались экспериментально в химической реакции Белоусова-Жаботинского (Жаботин-ский, Заикин, 1971) и на возбудимой среде сердца (Allesie, Bonke, Schopman, 1973). Позднее в реакции Белоусова-Жаботинского были реализованы многорукавные спиральные волны (Agladze, Krinsky, 1982). В настоящее время моделирование спиральных волн в численных экспериментах является обычным методом изучения их свойств.

До недавнего времени считалось (и это подтверждалось данными экспериментов), что передний фронт спиральной волны всегда является выпуклым в направлении его распространения. Действительно, известная теория Курамото (Kuramoto, 1980) запрещает существование вогнутых участков на фронтах автоволн. Вопреки этому мнению, в недавних численных экспериментах, выполненных с привлечением уравнений Фитц-хью-Нагумо, в условиях солитоноподобного режима были зарегистрированы спиральные волны парадоксальной формы - с вогнутыми передними фронтами (Морнев и др., 1997). Такие волны имели конечное время жизни и гасли в результате вынужденного дрейфа к непроводящей границе среды. В связи с этим принципиальный интерес представляет получение ответа на вопрос о существовании указанных "парадоксальных" спиральных волн со сколь угодно большим временем жизни. Если такие объекты существуют, то как в этом случае разрешается противоречие с теорией Курамото?

В настоящей главе найдены ответа на оба вопроса. Во-первых, здесь показано, что в условиях, поддерживающих солитоноподобные режимы и режимы МИП, существуют долгоживущие одно- и многорукавные спиральные волны с передними фронтами, вогнутыми в направлении распространения. Во-вторых, средствами численного эксперимента продемонстрировано, что такие вогнутые спиральные волны являются существенно пелокачьными объектами, существование которых обусловлено спецификой взаимодействия периферических участков волны с непроницаемыми границами возбудимой среды, имеющей конечные геометрические размеры. Этот факт снимает кажущееся противоречие с теорией Курамото (последняя построена с использованием постулата локальности и тем самым имеет лишь ограниченную область применимости).

Спиральные волны, вращающиеся вокруг круглого непроводящего включения. На рис. 3.1 показан процесс формирования спиральной волны в возбудимой среде с размерами 50 х 50, описываемой системой уравнений Фитцхыо-Нагумо (2.1) при значениях параметров, реализующих солитоноподобный режим. В центре среды задано круговое непроводящее включение радиуса R = 4. На границах включения и внешних границах среды поддерживаются условия непроницаемости (условия Неймана). Спиральная волна инициируется следующим методом. В начальный момент времени в локальной области между левой границей среды и введённой в среду непроницаемой перегородкой заданием подходящих начальных условий инициируется плоская волна возбуждения, которая начинает двигаться вглубь среды (рис. 3.1, /= 10). В момент времени / = 30 перегородка снимается, и в среде появляется обычная спиральная волна с выпуклым передним фронтом, которая захватывается непроводящим включением и начинает вращаться вокруг него. Существенно, что вращение происходит одновременно с

0.6 0.4 0.2 0.1 о.оз

0.03 0.02

Рис.3.1. Формирование спиральной волны с вогнутым передним фронтом в модели ФХН (2.1) при Де=0.62 (солитоноподобный режим). Радиус непроводящего включения Я - 4. Период вращения вокруг включения Г= 6.2 ((= 800); при отсутствии включения 7"= 6.78 (I = 1000).

0.8 Де

а б

Рис.3.2. Период вращения (Г) вогнутых спиральных волн: а) в зависимости от Де при отсутствии непроводящего включения (Д = 0); б) в зависимости от радиуса К непроводящего включения (толстая линия - солитоноподобный режим при Де = 0.62, тонкая линия - режим МИП при Де = 0.7).

отражением периферических участков спиральной волны от границ среды (I > 50). В результате наблюдается хаотизация волновой картины (рис.3.1, / = 70, 100), которая, однако, парадоксальным образом завершается формированием новой спиральной волны. Последняя, вращаясь вокруг непроводящего включения (рис.3.1, / = 800-804), имеет передний фронт, вогнутый в направлении распространения! На рис.3.2 представлена зависимость периода вращения вогнутых спиралей от радиуса Л непроводящего включения, а также от Де при Л = 0.

0.9

о

2

4

Б

8

0.6

0.7

Как поведёт себя спиральная волна, если непроводящее включение будет элиминировано? Численные эксперименты показали, что при постепенном уменьшении радиуса включения до нуля (рис.3.1,! > 804) эта волна превращается в свободно вращающуюся спиральную волну - ревербератор, которая, делая многие сотни оборотов - пока продолжается счёт, - сохраняет свой передний фронт вогнутым.

Численные эксперименты показали, что для инициации вогнутых спиральных волн наличие в среде кругового непроводящего включения не является обязательным. Рассмотрим, например, рис. 3.3, соответствующий ситуации, когда в возбудимой среде, поддерживаемой в условиях режима МИП, начинает вращаться не одна, а две сцепленные спиральные волны - пара ревербераторов, исходно имеющих выпуклые передние фронты. Метод инициации сцепленных спиральных волн нетрудно уяснить из рис. 3.3 при / = 0 н- 25. Видно, что в условиях МИП указанная пара волн эволюционирует (через сложное переходное турбулентноподобное поведение при I = 50 н- 200) в пару ревербераторов с вогнутыми передними фронтами (/ > 380).

Рис.3.3. Пара вогнутых спиральных волн - ревербераторов с периодом вращения Т = 6.18 (модель ФХН, режим МИП при Де = 0.7, среда 75 х 75), возникших из пары обычных ревербераторов с выпуклыми передними фронтами.

Многорукавные спиральные волны с вогнутым передним фронтом. Такие волны существуют как в условиях солитоноподобного режима, так и в условиях режима МИП. На рис. 3.4 представлен процесс формирования трёхрукавной вогнутой спиральной волны. Инициация волны проводилась заданием трёх последовательных (с периодом ist= 6) возмущений в локальной области, зажатой между левой границей среды и непроницаемой перегородкой (см. рис.3.4, t = 25).

Аналогичным способом на достаточно большой среде и при соответствующих радиусах непроводящих включений можно получить вогнутые спиральные волны с числом рукавов, равным шести, семи и т. д. Оказывается, что устойчивое вращение заданного числа N спиральных рукавов может быть реализовано лишь тогда, когда радиус непроводящего включения превышает некоторое критическое значение, зависящее от N: при радиусе, меньшем критического, происходит вытеснение и/или выпадение одного или нескольких рукавов.

Рис.3.4. Генерация трёхрукавной спиральной волны с вогнутым передним фронтом в модели ФХН. Режим МИП (Де = 0.7), среда 75 х 75.

Рис.3.5. Перестройка вогнутой однорукавной спиральной волны, вращающейся в среде вокруг кругового непроводящего включения (режим МИП, Де = 0.7, среда 50x50, радиус включения Я = 4), в обычную спиральную волну с выпуклым передним фронтом при замене на внешней границе в момент I = 610 условия непроницаемости Неймана условием Дирихле V = 0, а также обратная перестройка волн после замены в момент г = 840 условия Дирихле условием Неймана.

Вогнутые спиральные волны как нелокальные объекты. Рассмотрим вогнутую спиральную волну (рис.3.5, / = 608^610), вращающуюся в среде в условиях режима МИП вокруг непроводящего круглого включения. На границе включения и внешних границах среды установлены условия непроницаемости Неймана. В момент I = 608 на

внешних границах эти условия заменены условиями Дирихле V = 0 (на границе включения сохраняются неймановские условия). В результате вогнутая спиральная волна начинает перестраиваться в обычную волну с выпуклым передним фронтом (рис.3.5,1 = 620-г840); сама перестройка начинается от внешней границы. Период вращения спиральной волны меняется от Г= 5.82 (для вогнутой волны) к Т= 6.72 (для волны с выпуклым фронтом). Если после этого на внешней границе опять вернуться к условию Неймана, то выпуклая спиральная волна перестраивается в вогнутую с периодом вращения Т= 5.82 (рис.3.5, / > 840). В случаях многорукавных спиральных волн, вращающихся вокруг непроводящих включений, получается аналогичный результат (см. рис. З.б, где представлен соответствующий пример для двухрукавной волны).

гового непроводящего включения (солитоноподобный режим, Де = 0.62) в двухрукавную спиральную волну с выпуклым передним фронтом при замене на внешней границе в момент I условия непроницаемости Неймана условием Дирихле V = 0, а также обратная перестройка волн после замены в момент (= 640 условия Дирихле условием Неймана.

Изложенные факты позволяют утверждать, что структура переднего фронта спиральной волны, вращающейся в условиях солитоноподобного режима или режима МИП, зависит от ситуации на её периферии - вблизи внешних границ среды. Отметим, что в условиях, поддерживающих оба режима автоволны отражаются от границ среды, если на последних поддерживаются условия непроницаемости Неймана, и перестают отражаться от них, если вместо неймановских условий на границах установлены условия Дирихле V = 0. Отсюда следует, что спиральная волна с вогнутым фронтом - существенно нелокачьный объект, существование которого тесно связано с возможностью отражения периферических участков волны от непроницаемых границ среды.

Если вращение вогнутой спиральной волны (одно- или многорукавной) является свободным, т. е. волна представляет собой ревербератор, то при замене на границе среды неймановского условия непроницаемости условием Дирихле У*= 0 наблюдается перестройка, полностью отличная от описаной выше: ревербератор с вогнутым передним фронтом всегда переходит в ведущий центр (см. рис. 3.7-3.9).

Рис.3.7. Переход вогнутой спиральной волны, свободно вращающейся в среде 50 х 50 в условиях солитоноподобного режима (Де = 0.62), в ведущий центр при замене в момент (= 1110 граничного условия непроницаемости Неймана условием Дирихле.

Рис.3.8. Переход двух сцепленных свободно вращающихся вогнутых однорукавных спиральных волн - ревербераторов в ведущий центр при замене в момент г = 1010 граничного условия непроницаемости Неймана условием Дирихле V = 0.

Рис.3.9. Переход вогнутого пятирукавного ревербератора в ведущий центр при замене в момент I = 1007 граничного условия непроницаемости Неймана условием Дирихле V = 0.

ГЛАВА 4. "Дисснпативный пульсар". Исследования, результаты которых были изложены в предыдущих главах, были выполнены с привлечением системы уравнений Фитцхью-Нагумо, содержавшей коэффициент диффузии только в одном - первом -уравнении системы (2.1). Именно такую качественную структуру имеют параболические системы уравнений, возникающие при математическом описании динамики автоволн в электровозбудимых системах живого организма - нервных волокнах, проводящей системе сердца и т. п.

Предметом исследования настоящей главы являются диссипативные структуры (ДС) - неоднородные стационарные пространственные распределения значений зависимых переменных. ДС описывают структуры, возникающие при формообразовании и самоорганизации в сложных нелинейных системах, включая биологические (Романовский, Степанова, Чернавский, 1984). Например, пространственная неоднородность типа ДС известна в экологии как пятнистость (Murrey, 1983); неоднородные спонтанно возникающие структуры были обнаружены и исследованы в плазме, сверхпроводниках, полупроводниках, в химических реакциях и т. д. (Васильев, Романовский, Яхно, 1987; Кернер, Осипов, 1991).

Базовая математическая модель, описывающая формирование ДС, - это система уравнений Фитцхыо-Нагумо 2-го порядка, содержащая коэффициенты диффузии в обоих уравнениях системы. Возникает вопрос; как будут вести себя такого рода системы в областях параметров, соответсвующих отражению автоволн? Данная глава посвящена решению этой задачи.

Модель. В численных экспериментах использовалась система уравнений Фитцхью-Нагумо вида

dt 1 дх2 S dt 2 дх2 т(Е) V ;

с функциями

1-с{Е при E < E{, c2{E-EA) при Ex <E<E2, t(£) = сгЕ при E2 < E,

0.5 при £■<£,, 16 при E, < E <0.95, 0.5 при E > 0.95,

где параметр £д имеет смысл порога возбуждения. Для численного интегрирования использовалась неявная разностная схема Кранка-Николсона. Характерные величины шагов по пространству и времени составляли Дх = 0.5, At - 10~3. Эксперименты проводились на одномерной среде длины L с непроницаемыми концами (условие Неймана). Начальные (f = 0) условия задавались в следующем виде: g = 0 во всей среде, Е - Ео в центральной области длины ДL, £ = 0 на остальных участках среды.

Существенная особенность предпринятого исследования состояла в том, что численный анализ уравнений (4.1) был проведён при очень низких значениях порога возбуждения (ЕА < 0.003) для различных значений D2, Ео, AL. При этом удалось обнаружить новые, неизвестные ранее, режимы распространения автоволн и формирования диссипативных структур.

На рис. 4.1 в пространстве параметров (х, /) представлены различные режимы взаимодействия автоволн в зависимости от значения ЕА. Аннигиляция автоволн (рис. 4.1а) имеет место для ЕА > 0.0077; солитоноподобное отражение (рис. 4.16) при 0.0065 <ЕА< 0.0077; многоимпульсное персизлучение (МИП) при ЕА < 0.0065 (рис. 4.1 в,г).

« « t «

150

lOO.

ЗО

о зо 60 ко" 30 &о К О 30 60 * О 30 60 к

а б в г

Рис.4.1. Различные режимы взаимодействия автоволн друг с другом и с границами при Ох = 1, Ог = 0, Ев = 0, Ео = 0.5, А£ = 0.5: а) аннигиляционный режим, Ел =0.01; б) солитоноподобный режим, Ел = 0.007; в, г) режим многоимпульсного переизлучения Ел = 0.006 (в), Еа = 0.001 (г);

Рассмотрим систему (4.1) в ждущем режиме при Ев = 0, А = 1, Д1 = 0.5 для различных значений 5 = В2Ю\.

Режим многонмпульсного переизлучения при ЕА = 0.001. Основным отличием в эволюции автоволновых картин в режиме МИП является существование "перезапуска" и "диссипативного пульсара".

"Перезапуск" (рис.4.2а, 1.4 < 5 < 1.8). Автоволны, распространяющиеся из точки их инициации, быстро затухают. Однако спустя некоторое время в точках гибели автоволн наблюдается их "перезапуск" - возникновение новых источников бегущих импульсов, которые, в свою очередь, быстро затухая, порождают новые автоволновые источники; последние возникают также и в местах столкновения автоволн (рис.4.2а). Такая цепная реакция размножения источников в среде конечных размеров приводит к тому, что со временем в среде устанавливаются пространственно-однородные автоколебания. Режимы, схожие с описанным, были получены в экспериментах с реакцией Белоусова-Жаботинского в работе Магек&Каэитек.

Рассмотрим, как ведет себя система при дальнейшем росте параметра 6. При 1.8 < 6 < 2.2 импульсы, расходящиеся из места инициации, быстро останавливаются, но не погибают, а формируют стационарную двухпиковую структуру (рис.4.2б). В интервале

2.2 < 6 < 2.3 импульсы, расходящиеся из места инициации, останавливаются и гаснут. Пространственные структуры при этом не возникают. Удивительный факт заключается в том, что дальнейшее увеличение 5 вызывает появление нового калейдоскопа структур. В интервале 2.3 < 5 < 2.6 (рис. 4.2в) наблюдается перезапуск, подобный тому, что продемонстрирован на рис.4.2а: автоволны, расходясь от места их инициации, гибнут, а в местах их табели после непродолжительного лаг-периода возникают новые источники бегущих импульсов, движущихся как навстречу друг другу, так и к границам пространства. Сталкивающиеся импульсы порождают еще один источник автоволн, который быстро и бесследно диссипирует. В то же время импульсы, расходящиеся к границам, вскоре останавливаются, но не погибают, а формируют двухпичковую структуру, подобную той, что наблюдается в интервале 1.8 <5 < 2.2 (рис.4.2б).

Для пространственных структур, возникающих в интервале 2.6 < 8 < 3.0 (рис. 4.4г), характерно возникновение "диссипативного пульсара". Этот режим проявляется в периодическом перезапуске - возникновением источников автоволн в центральной части пространства, ограниченной двумя стационарными пиками. В связи с тем, что такой "диссипативный пульсар" обнаружен впервые, можно заключить, что он представляет собой структуру, характерную только для сильновозбудимых сред.

Таким образом, формирование, характер и эволюция пространственных структур в сильно возбудимых средах существенно зависят от отношения коэффициентов диффузии реагентов, а сами пространственные структуры демонстрируют необычно богатое разнообразие.

"Диссипативный пульсар" (ДП) можно определить как стационарную структуру с пульсирующим во времени пространственным периодом, в которой возникшие источники бегущих импульсов сосуществуют со стационарной структурой.

Процесс формирования "диссипативного пульсара" был исследован в зависимости от параметров начальной области Д£ и начальной амплитуды возмущения Области существования ДП на (Д£, ^-плоскости показаны на рис.4.3. Расположение этих областей характеризуется четкой периодичностью по параметру ДЬ. Это связано с тем, что сам источник колебаний может сосуществовать со стационарной структурой в пределах некоторого критического размера. ДП характерен для узкого диапазона параметров модели. Так при Дг= 2.8 и Д£ = 0.5 ДП имеет место для ЕА < 0.002 и 0.1 < Ео < 0.4.

Рис.4.3. Области существования диссипативного пульсара в пространстве параметров (Д£, Ец) при Ел = 0.001, Ев = О, ¿>2 = 2.8.

Численные эксперименты показали, что для случая, когда система (4.1) находится в автоколебательном режиме, также возможно формирование "диссипативного пульсара" (см. рис. 4.4). Видно, что в данном случае имеются значения ДЬ, при которых в среде могут сосуществовать "диссипативные пульсары" с различными собственными частотами и характерными размерами, а также - стационарные структуры. Помимо одномерных нами были обнаружены двумерные ДП. В диссертации также показано, что ДП существуют и в других моделях возбудимых сред.

I

150

С

Ж.

150 ¥ • * ¥

и 1 ¥

юо V * ¥

¥ 1 ¥

• Ч

ЗО' * # ¥

у 1 ¥

ч* 1 к—

I

*

к*

к/

а 6

Рис.4.4. Диссипативный пульсар в атоколебательной системе для Еа = Ец = 0.001, Ец = 0.3, 02=2.! при различных размерах областей начального возмущения: АС = 1 (а), Д£ = 20 (б).

0.7

выводы

1. В численных экспериментах с нелинейной параболической системой уравнений Фицхью-Нагумо, качественно моделирующей динамику автоволн в биологических возбудимых средах, исследованы явления эхо, сопутствующие в условиях солитоно-подобного режима столкновениям автоволн с "непроводящими включениями" -локальными участками двумерной возбудимой среды, отделёнными от остальных участков границами с нулевой проводимостью. Выявлен новый качественный эффект, отсутствующий в одномерных средах: в условиях солитоноподобного режима отражение набегающей на включение автоволны наблюдается лишь тогда, когда геометрические размеры включения превышают критические. Включение подкрити-ческих размеров является "молчащим": оно не отражает набегающих автоволн и "обтекается" ими без генерации эхо. Дана физическая интерпретация этого эффекта. Исследована зависимость критического значения радиуса кругового непроводящего включения от параметров системы. Найдено, что если на ограниченном участке среды количество включений растёт, то величина критического радиуса понижается.

2. В численных экспериментах показано, что в условиях солитоноподобного режима падение плоской волны возбуждения на плоскую же непроводящую границу возбудимой среды сопровождается появлением отражённой волны лишь тогда, когда угол падения меньше некоторого критического значения, зависящего от параметров возбудимой системы: для "скользящих" направлений падения, характеризующихся достаточно большими - надкритическими - значениями указанного угла, отражённая волна отсутствует.

3. Построен контрпример к известной теории Курамото, запрещавшей существование автоволн, вогнутых в направлении распространения: в численных экспериментах впервые продемонстрировано существование долгоживущих вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн, реализующихся в возбудимой среде в условиях солитоноподобного режима и режима МИП.

4. Исследовано влияние граничных условий на вращение вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн. Показано, что если на внешней границе возбудимой среды условие непроницаемости Неймана заменяется условием Дирихле, то вращение упомянутых волн нарушается по двум сценариям: а) вогнутые спиральные волны, вращающиеся вокруг непроводящих включений, перестраиваются в обычные спиральные волны с выпуклым фронтом; б) свободно вращающиеся вогнутые ревербераторы перестраиваются в "ведущие центры" - периодические источники концентрических волн. Из этих результатов следует, что вогнутость фронта спиральной волны в условиях солитоноподобного режима является нелокальным эффектом, обусловленным реатизацией условий Неймана на периферии среды, что снимает противоречие с теорией Курамото: последняя построена с привлечением постулативно принимаемых соображений локальности, и потому её выводы не являются универсальными.

5. В численных экспериментах с математическими моделями возбудимых сред, содержащими два ненулевых коэффициента диффузии, обнаружен новый тип автоволновых структур - "диссипативный пульсар", в котором источники бегущих импульсов сосуществуют со стационарной структурой.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Tsyganov I. М. Autowaves in the reaction-diffusion system with two component diffusion at low thresholds of excitation. Abstracts of International Conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems". Suzdal, June, 1995, p. 167.

2. Цыганов И. M., Цыганов М. А., Медвинский А. Б., Иваницкий Г. Р. Процессы самоорганизации в сильно возбудимых средах: открытый каталог новых структур. Доклады Академии наук, 1996, т. 346, N6, с. 825-832.

3. Цыганов И. М., Алиев Р. Р., Иваницкий Г. Р. Диссипативный пульсар в возбудимых средах. Доклады Академии наук, 1997, т. 350, N6, с. 825-832.

4. Цыганов И. М. Мультипичковые диссипативные структуры в активных средах. Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов" / МГУ им. М. В. Ломоносова. М.: Издательство Московского университета, 1998, вып. 2, с. 184.

5. Цыганов И. М. Автоволновые процессы в системе реакция-диффузия с низким порогом возбуждения. Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов" / МГУ им. М.В.Ломоносова. М.: Издательство Московского университета, 1998, вып. 2, с. 185.

6. Цыганов И. М., Морнев О. А., Асланиди О. В. Эхо при взаимодействии автоволн с непроводящими участками. П Съезд биофизиков России / тезисы докладов. М„ 1999, т. II, с. 464-465.

7. Mornev О. A., Aslanidi О. V., Tsyganov I. М. Soliton-like regimes and colliding nonlinear pulse reflection (echo) in homogeneous excitable media. Nonlinear dynamics in polymer science and relatedfields / Book of Abstractes /11-15 October, 1999 / Moscow. P. 52.

8. Momev O. A., Aslanidi О. V., Tsyganov I. M. Soliton-like regimes in biological excitable media: reflection of colliding excitation pulses (echo) and concave spiral waves. International Conference on Nonlinear Dynamics in Polymer Science and Related Fields (Ed.: Tomohiko Yamaguchi). Japan, Tsukuba: ISEBU Co., LTD, 2000, p. 72-75.

9. Морнев О. А., Цыганов И. M., Асланиди О. В., Орданович А. Е., Чайлахян JI. М. Солитоноподобный режим в двумерной возбудимой среде: эффекты эхо при столкновении волн возбуждения с локальными непроводящими участками. Доклады Академии наук, 2000, т. 373, № 6, с. 833-837.

10. Mornev О. A., Aslanidi О. V., Tsyganov I. М. Soliton-like regimes, echo and concave spiral waves in mathematical models of biological excitable media. Macromolecular symposia, 2001 (in press).

Введение.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ. 1.1.Автоволны.

1.2. Аксиоматическая модель возбудимой среды.

1.3. Модели возбудимых сред, базирующиеся на дифференциальных уравнениях.

1.4.Нервное волокно.

1.5. Модели сердечной ткани.

1.6. Эхо.

1.7. Солитоноподобные (воШоп-Ике) режимы.

ГЛАВА II. КРИТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ОТРАЖЕНИИ ВОЛН ВОЗБУЖДЕНИЯ ОТ НЕПРОВОДЯЩИХ ВКЛЮЧЕНИЙ.

2.1. Модель.

2.2. Круговые непроводящие включения в СП режиме.

2.3. Физика эффектов.

2.4. Эховолна "схода".

2.5. Эхо при набегании волны возбуждения на «косое» прямолинейное непроводящее препятствие.

2.6. Многоимпульсное переизлучение.

2.7. Наличие в среде нескольких локальных непроводящих включений.

ГЛАВА III. ДОЛГОЖИВУЩИЕ СПИРАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ

С ВОГНУТЫМ ПЕРЕДНИМ ФРОНТОМ.

3.1. Спиральные волны, вращающиеся вокруг кругового непроводящего включения.

3.2. Многорукавные спиральные волны.

3.3. Вогнутые спиральные волны как нелокальные объекты.

ГЛАВА IV. "ДИССИПАТИВНЫЙ ПУЛЬСАР".

4.1. Модель.

4.2. Каталог структур.

4.2.1. Солитоноподобный режим взаимодействия при Еа=0.

4.2.2. Многоимпульсный режим переизлучения при Ед=0.001.

4.3. "Диссипативный пульсар".

4.3.1. Ждущий режим.

4.3.2. Автоколебательный режим.

4.4. "Диссипативный пульсар" в различных моделях возбудимых сред.

ВЫВОДЫ.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ И.М.ЦЫГАНОВА

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Актуальность проблемы. Сокращение различных участков сердца обычно хорошо скоординированы между собой. Правильная последовательность сокращений мышечных стенок сердечных камер управляется автоволнами возбуждения - волнами электрической перезарядки мембран сердечных клеток, направленно распространяющимися от синоатриального узла к предсердиям и -через пучок Гиса и систему волокон Пуркинье - к обоим желудочкам. Резкое падение скорости проведения при повреждениях миокарда может приводить к нарушениям сердечного ритма. При этом вместо нормального распространения автоволн могут возникать необычные режимы распространения, которые нарушают синхронность сердечных сокращений и приводят к патологиям - сердечным аритмиям.

Из сказанного уже понятно внимание, уделяемое специалистами исследованию закономерностей генерации, распространения и взаимодействия автоволн в нелинейных сильно диссипативных распределённых системах - возбудимых средах. Автоволны - это самоподдерживающиеся нелинейные волны, сохраняющие свои характеристики неизменными за счет распределенного в среде источника свободной энергии.

Математические исследования режимов управления сокращениями миокарда, связанных с распространением волн возбуждения в нормальных условиях и в условиях патологий, впервые были начаты в работе Винера и Розенблюта (Wiener, Rosenblueth, 1946). Её авторам удалось объяснить трепетание предсердий циркуляцией волны вокруг полых вен. Последующее развитие математических исследований электрических импульсов возбуждения в сердечных тканей связано с моделью Нобла (Noble, 1962) - системой дифференциальных уравнений четвертого порядка. Сведение уравнений Нобла асимптотическим переходом (Кринский, Кокоз, 1973) к системе второго порядка, известной как система Фитцхью-Нагумо (ФХН), позволило проводить качественные исследования распространения волн возбуждения в сердечной ткани на базе математической модели автоволновых процессов ФХН.

Происхождение ряда аритмий связывают с эффектом "эхо": отражение при взаимодействии бегущих импульсов с геометрическими и/или функциональными неоднородностями возбудимой среды (Кринский, Холопов, 1967; Васильев, Романовский, Яхно, 1979,1987; Кринский, 1981, Ermentrout, Rinzel, 1995;). В тоже время, до недавнего времени аннигиляция импульсов при столкновении друг с другом и с непроницаемыми препятствиями считалась фундаментальным свойством автоволн, базирующимся на основном свойстве возбудимой ткани - рефрактерности, что делает невозможным отражение и сквозное прохождение автоволн.

Результаты численных экспериментов, выполненных в последние шесть лет с привлечением как простых качественных моделей возбудимых сред (Petrov et al, 1994; Kricher, Mikhailov, 1994; Kozek, Marek, 1995; Морнев и др., 1996, 1997), так и систем уравнений высокого порядка, количественно точно описывающих нелинейную динамику импульсов в нервных волокнах и возбудимых волокнах проводящей системы сердца (Асланиди, Морнев, 1996, 1997, 1999), продемонстрировали существование в однородных возбудимых средах необычных режимов, соответствующих отражению автоволн при их столкновениях друг с другом и с непроницаемыми границами среды. Эти режимы были названы солитоноподобными. Экспериментально режим отражения автоволн был обнаружен в химической возбудимой среде (Oertzen et al, 1998).

Области значений параметров возбудимых сред, при которых реализуются солитоноподобные режимы, достаточна малы. Однако их наличие в широком спектре моделей сигнализирует о том, что указанные режимы являются отнюдь не экзотикой, а явлением общего характера. Наряду с этим было показано, что имеется еще один тип отражения: при взаимном столкновении волн возбуждения или при их взаимодействии с границей может возникать многоимпульсное переизлучение волн, с течением времени переводящее среду в автоколебательный режим.

Обнаружение в возбудимых средах солитоноподобных режимов и режимов многоимпульсного переизлучения в корне меняет взгляд на объяснение большого числа экспериментальных фактов, связанных с динамикой электрических импульсов в сердечных тканях. В частности, высказана гипотеза (Асланиди, Морнев, 1999), что именно эффекты эхо, обусловленные интерференцией следовых волн, ответственны за некоторые из нарушений сердечного ритма, наблюдающиеся в условиях так называемой триггерной активности. Механизм развивающихся при этом аритмий может состоять в том, что в условиях солитоноподобного режима регулярный однонаправленный поток волн возбуждения, периодически пробегающих по сердцу от предсердий к желудочкам и вызывающих ритмические скоординированные - сокращения сердечных камер, дезорганизуется в результате каскада переотражений, инициируемого спорадическими встречными волнами. Один из ключевых пунктов в этой картине - появление встречных волн: как они могут возникать? В настоящей работе численными методами исследуется один из возможных сценариев их генерации. Далее будет показано, что в условиях, поддерживающих солитоноподобные режимы, встречные волны могут генерироваться по механизму эхо при падении волн возбуждения на непроводящие включения -локальные участки двумерной возбудимой среды, отделённые от остальных её участков границами с низкой электрической проводимостью. В сердце роль таких включений могут играть, например, невозбудимые устьевые участки вен, поставляющих кровь в предсердия, а также некротические участки, формирующиеся в патологических условиях в местах ишемии - зонах локальных нарушений коронарного кровоснабжения миокарда.

Цели и задачи работы. Основная цель настоящей работы состояла в численном исследовании свойств новых автоволновых режимов в двумерных возбудимых средах.

Для достижения этой цели были поставлены следующие конкретные задачи:

1. В численных экспериментах с системой уравнений Фитцхью-Нагумо, качественно моделирующей динамику биологических возбудимых сред, исследовать эффекты, сопутствующие столкновениям автоволн возбуждения с непроводящими включениями в условиях солитоноподобного режима (и режима многоимпульсного переизлучения (МИП)).

2. Для солитоноподобного режима и режима МИП исследовать процесс формирования и динамику вращения спиральных волн возбуждения - как при наличии непроводящих включений так и в их отсутствии.

3. На математических моделях возбудимых сред с двумя ненулевыми коэффициентами диффузии (активатора и ингибитора) исследовать динамику состояния среды в условиях, поддерживающих режимы отражения автоволн.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты:

1. Установлено, что в условиях, поддерживающих в возбудимой среде солитоноподобный режим, эховолны генерируются в окрестностях только таких непроводящих включений, геометрические размеры которых достаточно велики; включения подкритических размеров огибаются набегающими на них автоволнами без генерации эховолн. Аналогичные результаты получены и в условиях режима многоимпульсного переизлучения (МИП) сталкивающихся автоволн.

2. Построен контрпример к известной теории Курамото (КигатоЬ, 1980), запрещавшей существование автоволн, вогнутых в направлении распространения: в численных экспериментах впервые продемонстрировано существование долгоживущих вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн, реализующихся в возбудимой среде в условиях солитоноподобного режима и режима МИП.

3. Возникшее противоречие разрешено путём численного исследования влияния граничных условий на форму переднего фронта спиральных волн, вращающихся в условиях упомянутых режимов. Показано, что вогнутая спиральная волна -нелокальный объект, тогда как теория Курамото является существенно локальной и потому - неуниверсальной.

4. В численных экспериментах с математическими моделями возбудимых сред, содержащими два ненулевых коэффициента диффузии, обнаружен новый тип автоволновых структур - "диссипативный пульсар", в котором источники бегущих импульсов сосуществуют со стационарной структурой.

Практическая ценность диссертационной работы обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов как для дальнейшего развития общей теории автоволновых процессов, так и в биомедицинских приложениях. Исследуемые в работе эффекты отражения импульсов возбуждения могут лежать в основе механизмов, ответственных за развитие сердечных аритмий, - в частности, за нарушения сердечного ритма, возникающие в условиях так называемой триггерной активности.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах механико-математического факультета и Института механики МГУ, на семинарах и научных конференциях Института теоретической и экспериментальной биофизики РАН, на международных конференциях "Ломоносов" (МГУ: 1995, 1996, 1997), International Conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems" (Суздаль, 1995), "Nonlinear dynamics in polymer science and related fields" (Москва, 1999), на Втором Всероссийском биофизическом съезде (Москва, 1999). Исследования по теме диссертации выполнялись при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 99-01-00956, № 99-01-01041).

Публикации. Результаты диссертации представлены в 10 научных работах, список которых приведён в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на страницах и состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы из наименований.

выводы

1. В численных экспериментах с нелинейной параболической системой уравнений Фицхью-Нагумо, качественно моделирующей динамику автоволн в биологических возбудимых средах, исследованы явления эхо, сопутствующие в условиях солитоноподобного режима столкновениям автоволн с "непроводящими включениями" - локальными участками двумерной возбудимой среды, отделёнными от остальных участков границами с нулевой проводимостью. Выявлен новый качественный эффект, отсутствующий в одномерных средах: в условиях солитоноподобного режима отражение набегающей на включение автоволны наблюдается лишь тогда, когда геометрические размеры включения превышают критические. Включение подкритических размеров является "молчащим": оно не отражает набегающих автоволн и "обтекается" ими без генерации эхо. Дана физическая интерпретация этого эффекта. Исследована зависимость критического значения радиуса кругового непроводящего включения от параметров системы. Найдено, что если на ограниченном участке среды количество включений растёт, то величина критического радиуса понижается.

2. В численных экспериментах показано, что в условиях солитоноподобного режима падение плоской волны возбуждения на плоскую же непроводящую границу возбудимой среды сопровождается появлением отражённой волны лишь тогда, когда угол падения меньше некоторого критического значения, зависящего от параметров возбудимой системы: для "скользящих" направлений падения, характеризующихся достаточно большими -надкритическими - значениями указанного угла, отражённая волна отсутствует.

3. Построен контрпример к известной теории Курам ото, запрещавшей существование автоволн, вогнутых в направлении распространения: в численных экспериментах впервые продемонстрировано существование долгоживущих вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн, реализующихся в возбудимой среде в условиях солитоноподобного режима и режима МИП.

4. Исследовано влияние граничных условий на вращение вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн. Показано, что если на внешней границе возбудимой среды условие непроницаемости Неймана заменяется условием

Дирихле, то вращение упомянутых волн нарушается по двум сценариям: а) вогнутые спиральные волны, вращающиеся вокруг непроводящих включений, перестраиваются в обьгчные спиральные волны с выпуклым фронтом; б) свободно вращающиеся вогнутые ревербераторы перестраиваются в "ведущие центры" - периодические источники концентрических волн. Из этих результатов следует, что вогнутость фронта спиральной волны в условиях солитоноподобного режима является нелокальным эффектом, обусловленным реализацией условий Неймана на периферии среды, что снимает противоречие с теорией Курамото: последняя построена с привлечением постулативно принимаемых соображений локальности, и потому её выводы не являются универсальными.

5. В численных экспериментах с математическими моделями возбудимых сред, содержащими два ненулевых коэффициента диффузии, обнаружен новый тип автоволновых структур - "диссипативный пульсар", в котором источники бегущих импульсов сосуществуют со стационарной структурой.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ И.М. ЦЫГАНОВА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Tsyganov I. М. Autowaves in the reaction-diffusion system with two component diffusion at low thresholds of excitation. Abstracts of International Conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems". Suzdal, June, 1995, p. 167.

2. Цыганов И. M., Цыганов М. А., Медвинский А. Б., Иваницкий Г. Р. Процессы самоорганизации в сильно возбудимых средах: открытый каталог новых структур. Доклады Академии наук, 1996, т. 346, N6, с. 825-832.

3. Цыганов И. М., Алиев Р. Р., Иваницкий Г. Р. Диссипативный пульсар в возбудимых средах. Доклады Академии наук, 1997, т. 350, N6, с. 825-832.

4. Цыганов И. М. Мультипичковые диссипативные структуры в активных средах. Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов" / МГУ им. М. В. Ломоносова. М.: Издательство Московского университета, 1998, вып. 2, с. 184.

5. Цыганов И. М. Автоволновые процессы в системе реакция-диффузия с низким порогом возбуждения. Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов " / МГУ им. М.В.Ломоносова. М.: Издательство Московского университета, 1998, вып. 2, с. 185.

6. Цыганов И. М., Морнев О. А., Асланиди О. В. Эхо при взаимодействии автоволн с непроводящими участками. II Съезд биофизиков России / тезисы докладов. М., 1999, т. II, с. 464-465.

7. Mornev О. A., Aslanidi О. V., Tsyganov I. М. Soliton-like regimes and colliding nonlinear pulse reflection (echo) in homogeneous excitable media. Nonlinear dynamics in polymer science and related fields / Book of Abstractes /11-15 October, 1999/Moscow.?. 52.

8. Mornev O. A., Aslanidi О. V., Tsyganov I. M. Soliton-like regimes in biological excitable media: reflection of colliding excitation pulses (echo) and concave spiral waves. International Conference on Nonlinear Dynamics in Polymer Science and Related Fields (Ed.: Tomohiko Yamaguchi). Japan, Tsukuba: ISEBU Co., LTD, 2000, p. 72-75.

9. Морнев О. А., Цыганов И. M., Асланиди О. В., Орданович A. E., Чайлахян Л. М. Солитоноподобный режим в двумерной возбудимой среде: эффекты эхо при столкновении волн возбуждения с локальными непроводящими участками. Доклады Академии наук, 2000, т. 373, № 6, с. 833-837.

10. Mornev О. A., Aslanidi О. V., Tsyganov I. М. Soliton-like regimes, echo and concave spiral waves in mathematical models of biological excitable media. Macromolecular symposia, 2001 (in press).

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М."Наука", 1998

2. Асланиди О.В. Отражение автоволн в биологических возбудимых средах. -Кандидатская диссертация, г.Пущино, ИТЭБ РАН, 1999

3. Асланиди О.В., Морнев O.A. Об отражении бегущих импульсов возбуждения. //Биофизика, 1996, т.41, с.953-959

4. Асланиди О.В., Морнев O.A. Могут ли сталкивающиеся нервные импульсы отражаться? //Письма в ЖЭТФ, 1997, т.65, с.553-558

5. Асланиди О.В., Морнев O.A. Эхо в возбудимых волокнах сердца (по данным численных экспериментов). //Математическое моделирование, 1999, т.11, с.3-22.

6. Атаулаханов Ф.И., Гурия Г.Т., Сафрошкина А.Ю. Пространственные аспекты динамики свертывания крови. Феноменологическая модель. //Биофизика, 1999, 39, 97

7. Балаховский И.С. Некоторые режимы движения возбуждения в идеальной возбудимой среде. //Биофизика, 1999, 10, 1063

8. Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. Об устойчивости распространения пламени. //Прикл.мат.мех., 1957, 21, 856

9. Беркенблит М.Б., Божкова В.П., Бойцова Л.Ю. и др. Высокопроницаемые контактные мембраны. М."Наука", 1981.

10. Ю.Белинцев Б.Н. Диссипативные структуры и проблема биологического формообразования. //УФН, 1983, т. 141, в.1, с. 55-10111 .Биомеханика сердечной мышцы. М."Наука", 1981

11. Бичаури A.A., Разжевайкин В.М., Свирежев Ю.М. Нелинейные волны и диссипативные структуры в экологии. В сб. "Исследования по теории диссипативных структур" под ред. Свирежева Ю.М. М."Наука", 1982

12. З.Давыдов В.А., Зыков B.C., Михайлов A.C. Кинематика автоволновых структур в возбудимых средах. //УФН, 1991, т.161, N8, 45-85.

13. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах. //УФН, 1979, 128, N4, с.625

14. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. -М."Наука", 1987

15. Волков Е. Локальное подавление генерации импульсов в колце из трех релаксационных осциляторов. //Биофизика, 1998, т.43, в.3,535-540

16. Гельфанд И.М., Цетлин М.Л. //ДАН СССР, 1960, т.131, 1242

17. Ермакова Е.А., Перцов A.M., Шноль Э.Э. Пары взаимодействующих вихрей в двумерных активных средах. //Препринт, Пущино, 1987

18. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М."Наука", 1974

19. Зельдович Я.Б, Франк-Каменецкий Д.А. Теория равномерного распространения пламени. //ДАН СССР, 1938, 19, 693

20. Зыков B.C. Аналитическая оценка зависимости скорости волны возбуждения в двумерной возбудимой среде от кривизны ее фронта. //Биофизика, 1980, т.25, в.5, 888-892

21. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. -М."Наука", 1984

22. Иваницкмй Г.Р., Кринский В.И., Морнев O.A. Автоволны: Новое на перекрестках науки. В кн. "Кибернетика живого", с.24-38, 1984, М."Наука"

23. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е Математическая биофизика клетки. М."Наука", 1978

24. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. М."Наука", 1991

25. Колмогоров А.Н., Петровский И.Е., Пискунов Н.С. Изучение уравнения диффузии с источником вещества и его приложение к биологическим проблемам. //Вест.Моск.Унив. Сер.мат.мех., 1937, 1, 1

26. Кринский В.И. Фибрилляция в возбудимых средах. //Проблемы кибернетики, 1968, т.20, 59

27. Кринский В.И., Жаботинский A.M. Автоволновые структуры и перспективы их исследований. В кн. "Автоволновые процессы в системах с диффузией." Горький, 1981,6-32

28. Кринский В.И., Медвинский А.Б., Панфилов A.B. Эволюция автоволновых вихрей. М."3нание", 1986

29. Кринский В.И., Михайлов A.C. Автоволны М."3нание", 1984

30. Кринский В.И., Холопов A.B. Явление эха в возбудимой ткани. //Биофизика, 1967, 12, 524

31. Кокоз Ю.М., Кринский В.И. Анализ уравнений возбудимых мембран. I.Сведение уравнений Ходжкина-Хаксли к системе второго порядка. //Биофизика, 1973, т. 18, в.З, 506-511

32. Кокоз Ю.М., Кринский В.И. Анализ уравнений возбудимых мембран. II. Метод анализа электрофизиологических характеристик мембраны Ходжкина-Хаксли пографикам нуль-изоклинам системы второго порядка. //Биофизика, 1973, т. 18, в.5, 378-385

33. Кокоз Ю.М., Кринский В.И. Анализ уравнений возбудимых мембран. Ш.Мембрана волокна Пуркинье. Сведение уравнений Нобла к системе второго порядка. Анализ автоматии по графикам нуль-изоклин. //Биофизика, 1973, т. 18, в.6, 1067-1073

34. Курдюмов С.П., Маленецкий Г.Г. Синергетика теория самоорганизации. -М."3нание", 1983

35. Лившиц М.А., Чернавский Д.С. Математические модели диссипативных структур. Эквивалентность канонических двухкомпонентных моделей и однокомпонентной нелокальной модели в бифуркационной области. //Биофизика, 1991, т.36, в.2, 330-333

36. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М."Наука", 1990

37. Маркин В. С., Пастушенко В. Ф., Чизмаджев Ю. А. Теория возбудимых сред. М."Наука", 1981

38. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М."Мир", 1983

39. Морнев O.A. Бистабильные автоволновые среды: условия возбуждения и элементы "оптики" автоволн. Кандидатская диссертация, г.Пущино, ИБФ СССР, 1989

40. Морнев O.A., Асланиди О.В., Алиев Р.Р., Чайлахян Л.М. Солитонный режим в уравнениях Фицхью-Нагумо: отражение сталкивающихся импульсов возбуждения. //ДАН, 1996, т. 347, с. 123-125.

41. Морнев O.A., Асланиди О.В. Новые режимы в пространственно-однородных возбудимых средах с рефрактерностью: отражение сталкивающихся импульсов возбуждения. //Биологические мембраны, 1997, т. 14, с. 621-625.

42. Морнев O.A., Асланиди О.В., Чайлахян Л.М. Солитонный режим в системе уравнений Фицхью-Нагумо: динамика вращающейся спиральной волны //ДАН, 1997, т. 353, с. 682-686.

43. Морнев O.A., Цыганов И.М., Асланиди О.В., Орданович А.Е., Чайлахян Л.М. Солитоноподобный режим в двумерной возбудимой среде: эффекты эхо при столкновении волн возбуждения с локальными непроводящими участками. //ДАН, 2000, в печати

44. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М."МИР",1979

45. Полак Л.С., Михайлов A.C. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. М."Наука", 1983

46. Полежаев A.A. Об условиях существования контрастных диссипативных структур дичкового типа. //Биофизика, 1983

47. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М."Мир", 1972

48. Розенштраух JT.B. Распространение возбуждения по различным структурам сердца". В кн. "Физиология кровообращения. Физиология сердца." J1. "Наука",1980

49. Романовский -Ю.М. Процессы самоорганизации в физике, химии и биологии. -М. "Знание", 1981

50. Романовский Ю.М., Степанова И.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М."Наука", 1984

51. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М."Наука", 1975

52. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М."Наука", 1984

53. Рубин А.Б. Биофизика. М. "Высшая школа", 1987

54. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М."Наука", 1989

55. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М."Наука", 1987

56. Смолянинов В.В. Математические модели биологических тканей. М."Наука", 1987

57. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. "Мир", 1977

58. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство Московского физико-технического института, 1994

59. Ходоров Б.И. Общая физиология возбудимых мембран.- М."Наука", 1975

60. Цыганов И.М., Цыганов М.А., Медвинский А.Б., Иваницкий Г.Р. Процессы самоорганизации в сильно возбудимых средах: открытый каталог новых структур. //Доклады Академии Наук, 1996, т.346, N6, 825-832

61. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. М."Мир", 1979

62. Эккерт Р., Рэнделл Д., Огасин Дж. Физиология животных. М."Мир", 1992

63. Agladze K.I., Krinsky V.I. Multi-arm vortices in active chemical medium. //Nature, 1982, v.296, 424-426

64. Achromeeva T.S., Kurdyumov S.P., Malinetsky G.G., Samarsky A.A. Nonstationary dissipative structures and diffusion-induced chaos in nonlinear media. //Phys.Rev., 1989,176, 189

65. Aliev R.R., Panfilov A.V. Multiple responses at the boundaries of the vulnerable window in the Belousov-Zhabotinsky reaction. //Physical Review E, 1995, v.52, N3, 2287-2293

66. Aliev R.R., Panfilov A.V. A simple two-variable model of cardiac excitation. // Chaos, Solitons & Fractals, 1996, v.7, N3, 293-301

67. Aliev R.R., Vasiev B.N. //Chaos, Solitons & Fractals, 1995, v.5, N3/4, 439-445

68. Arneodo A., Elezgaray J., Pearson J., Russo T. Instabilities of front patterns in reaction-diffusion system. //PhysicaD, 1991,v.49, 141-160

69. Antzelevich C. Reflection as a mechanism of reentrant cardiac arrythmias. //Prog. Cardiol., 1988, vl,3

70. Antzelevich C., Jalife J., Мое G. K. Characteristics of reflection as a mechanism of reentrant arrythmias and its relationship to parasystole. //Circulation, 1980, v.61, 182.

71. Argentina M., Coullet P., Mahadavan L. Colliding wqaves in model excitable medium: oreservation, annihilation and bifurcation. //Phys.Rev.Lett., 1997, v.19, 2083

72. Aslanidi O.V., Mornev O.A. Soliton-like regimes and excitation pulse reflection (echo) in homogeneous cardiac Purcinje fibers: results of numerical simulations. // J. Biol. Phys., 1999, v. 25, p. 149-164.

73. Babloyantz A, Sepulchre. Target and spiral waves in oscillatory media in the presence of obstacles. //Physica D, 1991, v.49, N1&2, 52-60

74. Biktashev V.N., Holden A.V. Resonant drift of autowave vortices in two dimensions and the effects of boundaries and inhomogeneties. //Chaos, Solitons & Fractals, 1995, v.5, 575

75. Barkley D. A model for fast computer simulation of waves in excitable media. //Physica D, 1991, v.49, 61-70

76. Cabo C., Barr R.C. Propagation model using the DiFrancesco-Noble equations: comharison to reported experimental result. //Med.Biol.Eng.Comput., 1992, v.30, 292

77. Cabo C., Wit A.L. Cellular electrophysiolgic mechanism of cardiac arrhytmias. //Cardiol. Clin., 1997, v. 15, 517

78. Cai D., Winslow R.L., Noble D. Effects of Gap Junction Conductance on Dynamics of Sinoatrial Node Cells: Two-Cell and Large-Scale Network Models. //IEEE Transactions on biomedical engineering, 1994, v.41, N3, 217-231

79. Chagnac-Amitai Y., Connors B. W. Horizontal spread of synchronized activity and its control by GABA-mediated inhibition. //J. Neurophysiol., 1989, v.61, 747.

80. Deleze J. Calcium ions and the healing-over of heart fibres // Electrophysiology of the heart. Eds. B. Taccardi, G. Marchette. - London: Pergamon Press, 1965, p. 147-148.

81. DeMello W.C. Intercellular communication in cardiac muscle. //Circ. Res., 1982, v.51, p. 1-9.

82. DiFrancesco D., Noble D. A model of cardiac electrical activity incorporating ionic pums and concentration changes. //Phil.Trans.R.Soc., 1985, 307, 353-398.

83. Dufiet V., Boissonade J. Numerical studies of Turing patterns selection in a two-dimwnsional system. //Physica A, 1992, v.188, 158-171

84. Earm Y. E., Noble D. A model of the single atrial cell: relation between calcium current and calcium release. //Phil. Trans. R. Soc. B, 1990, 240, 83.

85. Ermentrout B., Rinzel J. Reflected waves in an inhomogeneous excitable medium. //SIAM J.Appl.Math., 1996, 56, 1107

86. Field R.J., Koros E, Noyes R.M. //J.Amer.Chem.Soc., 1972, 94(25), p.8649

87. Fischer R.A. The wave of advance of advantageous genes. //Ann. Eugenics, 1937, 7, 355-369 {

88. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. //Biophys.J., 1961, 1, 445-461

89. Gierer A., Meinhardt H. //Kybernetiks, 1972, v.12, 337 J.Cell Sci., 1974, v.15, 321

90. Goldstein R.E., Muraki D.J., Petrich D.M. Interface proliferation and the growth of labyriths in reaktion-diffusion system. //Phys. Rev. E., 1996, v.53, N4, 3933-3957

91. Gray R.A., Pertsov A.M., Jalife J. Spatial and temporal organization during cardiac fibrillation. //Nature, 1993, 292, 75

92. Hagberg A., Meron E. Complex patterns in reaction-diffusion systems: A tale of two front instabilities. //Chaos, 1994, v.4(3), 477-483

93. Hayse Y., Ohta T. Sierpinski gasket in a reaction diffusion system. Phys. Rev. Lett., 1998, v.81, 1726-1729

94. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. //J.Physiol.(Lond.), 1952, v.l 17, 500544.

95. Howe J. F., Calvin V. H., Loeser J. D. Impulses reflected from dorsal root ganglia and from focal nerve injuries. //Brain Res. ,1979, v.l 16, 139.

96. Jalife J. Mathematical approaches to cardiac arrhythmias. //Ann.N.Y.Acad.Sci., 1990, 591 (spec, issue), 1

97. Janse M.J., Cinca J., Morena H., et al. The «border zone» in myocardial ishemia, an electrophysiological, metabolic and histochemical correlation in the pig heart // Circ. Res. 1979, v.44, p.576-588.

98. Kleber A.G., Riegger C.B., Janse M.J. Electrical uncoupling and increase of extracellular resistance after induction of ishemia in isolated, arterially perfused rabbit papillary muscle. //Circ. Res., 1987, v. 61, p. 271-279.

99. Kobayshi R., Ohta T., Hayase Y. Self-organized pulse generator in a reaction-diffusion system. //Phys.Rev.E, 1994, 50, 3291-3294

100. Kobayshi R, Ohta T„ Hayase Y. //Physica D84,(1995),N1&2,162-170

101. Kozek J., Marek M. Wave reflection in reaction-diffusion equations. //Phys.Rev.Lett., 1995, v.74,Nl 1,2134-2137 :

102. Krinsky V.I. (ed) "Self-Organization. Autowaves and Structures Far From Equilibrium". Berlin: Springer, 1985

103. Kuznetsov Y.A. Elements of applied bifurcation theory. Berlin: Springer, 1984

104. Lee K.J., Swinney H.I. Lamellar struvtures and self-replicating spots in a reaction-diffusion system. //Phys.Rev.E, 1995, V.51, N1,1899-1915

105. Luo C.H., Rudy Y. A dynamic model of the cardiac venticular action potential. I. Simulations of ionic currents and concentration changes. //Circ.Res., 1994, v.74, 1071

106. Luo C.H., Rudy Y. A dynamic model of the cardiac venticular action potential. II. Afterdepolarizations, triggered activity and potentiation. //Circ.Res., 1994, v.74, 1097

107. Marek M, Kastanek P. Ring-shape waves of inhibition in Belouso-Zhabotinsky reaction. //J.Phys.Chem., 1994, v.98, 7452-7455

108. McAllister R.E., Noble D., Tsien R.W. Reconstruction of the electrical activity of cardiac Purkinje fibres. //J.Physiol.(Lond), 1975, v.251, 1-59

109. Meinhardt H., Gierer A. Generation and regeneration of structures during morphogenesis. //J. Theor. Biol., 1980, v.85, p.429-450

110. Mornev O.A., Aslanidi O.V., Tsyganov I.M. Soliton-like regimes, echo and concave spiral waves in mathematical models of biological excitable media. IIMacromolecular symposia, 2001, in press

111. Muratov C.B. Self-replication and splitting of domain patterns in rreaction-diffusion systems with the fast inhibitor. //Phys. Rev. E, 1996, v.54, N4, 3369-3376.

112. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. The active pulse transmission lime simulating nerve axon, //Proc.IEEE, 1962, v.50, 2061-2070

113. Noble D., A modification of the Hodgkin-Huxley equations aplicable to Purkinje fibre action and pacemaker potential. // J.Physiol., 1962, v. 160, p.317-352

114. Panfilov A.V., Holden A. (eds) "Computational Biology of the Heart". Chichester: Wiley. 1996

115. Petrov V., Scott S.K., Shott S.K., Showalter K. Excitablity, wave reflection and wave spliting in a cubic autocatalysis reactio-diffusion system. //Phil.Trans. R.Soc.A, 1994, v.347, 631

116. Riegger C.B., Alperovich G., Kleber A.G. The effect of oxygen withdrawal on active and passive electrical properties of arterially perfused rabbit ventricular muscle. // Circ. Res., 1989, v.64, p. 532-541.

117. Rinzel J., Keller J.B. Travelling wave solution to a nerve conduction equations. //Biopys.J., 1973, v. 13, 1313

118. Rosenblueth A. Ventricular echoes. //Amer.J.Physiol., 1958, v.195, 53

119. Scott A. C„ Chu F. Y. E., McLaughlin D. W. //Proc. IEEE., 1973. v.61. p.1443-1483.

120. Scott A. C. The electrophisics of a nerve fibre. //Rev. Mod. Phys., 1975. v.47. p.487-545

121. Showalter K., Noyes R.M., Bar-Eli K.A. A modified Oregonator model exhibiting complicat limit ecycle behaviour in a flow system. //J.Chem.Phys., 1978, v.69 (6), p.2514

122. Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis. //Proc.Roy.Soc.B, 1952, v.237, p.37

123. Tyson J.J. Oscillations, bistability and echo waves in models of the Belousov-Zhabotinsky reaction. //Ann. New York Acad/ Sci/, 1979, v.316(l), p.279

124. Tyson J.J., Keener J.P. Singular perturbation theory of travelling waves in excitable media. //Physica D, 1988, 32, 327

125. Vasiev B.N., Panfilov A.V., Khramov R.N. //Phys.Lett.A 192, 1994,227-232

126. Veenstra R.D. Physiology of cardiac gap junction channels. //Cardiac Electrophysiology: From Cell to Bedside. Eds. D. Zipes, J. Jalife. - Philadelphia: Sunders Co., 1990, p. 62-69. I

127. Wiener N., Rosenblueth A. The mathematical formulation of the problem of conduction of the impulses in a network connected excitable elements, specifically in cardiac muscle. //Arch.Inst.Caiol.Mex.,1946, v.12, 241

128. Winfree A.T. Varieties of spiral waves behavior: An experimentalist's approach to the theory of excitable media. //Chaos, 1991, v.l(3), 303-334

129. Wit A.L., Rosen M.R. Afterpolarizations and triggered activity 11 The heart and the cardiovascular system / Eds. H.A. Fozzard et al. New York: Raven Press, 1986, p. 1449-1490.

130. Zhukov S.A., Barelko V.V., Merzhanov A.G. Wave processes on heat generating surfaces in pool boiling. //Int. J. Heat Mass Transfer, 1980, v.24,47-95

131. Zimmerman M.G., Firle S.O., Natiello M.A. Pulse bifurcation and transition to spatiotemporal chaos in an excitable reaction-diffusion model. // Physica D, 1997, v. 110(1-2), 92-104

132. Zykov V.S., Mikhailov A.S., Muller S.C. Wave instabilités in excitable media with fast ingibitor diffusion. //Phys.Rev.Lett., 1998, Sept., 1-41. БЛАГОДАРНОСТИ

133. Прежде всего я хотел бы искренне поблагодарить Моих научных руководителей Олега Алексеевича Морнева и Александра Евгеньевича Ордановича, которые провели меня по нелегкому пути, завершением которого стала эта диссертационная работа.

134. Я также хотел бы выразить глубокую признательность Владимиру Васильевичу Александрову и Игорю Васильевичу Новожилову за большое внимание к работе, своевременные советы и ценные консультации.

135. Я хотел бы поблагодарить всех сотрудников кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета за дружескую поддержку, которую я всегда ощущал в процессе работы над диссертацией.

136. Кроме того, я хотел бы поблагодарить сотрудников Института теоретической и экспериментальной биофизики РАН, с которьгми я имел честь работать. Это прежде всего Генрих Романович Иваницкий, Олег Асланиди, Рубин Алиев.

137. Моя сердечная благодарность моим родителям и моему брату, которые всегда переживали за меня больше, чем я сам, и поддержку со стороны которых во всех моих начинаниях нельзя ни с чем соизмерить.