Захваты в резонанс и рассеяние на резонансах в некоторых задачах физики плазмы, гидродинамики и классической механики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

1. Захваты в резонанс и прохождения через резонансы в динамике заряженных частиц под влиянием однородного магнитного поля и электромагнитных волн.

1.1 Введение.

1.2 Гамильтоновы уравнения движения.

1.3 Редукция в окрестности резонанса.

1.4 Захват в резонанс.

1.5 Рассеяние на резонансе.

1.6 Заключительные замечания.

2. Динамика линий тока в модели плавно-нестационарного конвективного течения.

2.1 Введение.

2.2 Основные уравнения; фазовые портреты.

2.3 Изменения адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису.

2.4 Транспортные свойства.

2.5 Примеры.

3.2 Прямоугольный биллиард. 91

3.3 Эллиптический биллиард. 98

4. Резонансные явления в кулоновской задаче трех тел. 127

4.1 Введение. 127

4.2 Гамильтоновы уравнения движения. 128

4.3 Динамика в резонансной области. 135

4.4 Динамика на больших временах. 140

Заключение. 155

Литература. 157

Введение.

Во многих областях физики возникают задачи, в которых динамические переменные можно разделить на "быстрые" и "медленные". Для их исследования часто применяется метод усреднения. Метод усреднения - это общее название для методов теории возмущений, основанных на идее разделения движений на плавный дрейф и быстрые осцилляции. В основном эти методы применяются для исследования поведения динамических систем, отличающихся от интегрируемых малым возмущением.

Исследованием такого рода систем занимались Лаплас, Лагранж и Пуанкаре, новый импульс эти исследования приобрели после выхода работы Колмогорова [1].

Одним из ключевых понятий, используемых при исследовании систем такого рода, является понятие об адиабатическом инварианте (АИ) - величине, приближенно сохраняющейся в процессе движения. Такие "почти сохраняющиеся" величины обнаружил еще Больцман, а термин АИ ввел Эренфест. Подробное изложение истории вопроса приведено в [2].

Адиабатический инвариант можно определить следующим образом. Пусть дана гамильтонова система с одной степенью свободы, зависящая от медленно меняющегося параметра (это соответствует тому, что характерное время его изменения много больше характерного времени невозмущенной системы), либо система с двумя степенями свободы, в которой движение по одной паре переменных ("быстрых") почти периодично и его характерное время много меньше характерного времени изменения других переменных ("медленных"). Тогда некоторая функция называется адиабатическим инвариантом, если в процессе движения ее изменение мало на больших временах (порядка или больше, соответственно, характерного времени изменения параметра или характерного времени изменения медленных переменных). Можно показать (см., например, [3]), что такая гамильтонова система имеет адиабатический инвариант; им является переменная действия соответствующей невозмущенной (т.е. с замороженными значениями соответственно медленных переменных или параметра) задачи.

Хорошо известным примером АИ является отношение энергии математического маятника к его частоте в случае малых колебаний [4, 5]: при медленном изменении длины маятника это отношение приближенно сохраняется, тогда как энергия и частота значительно изменяются.

Среди многочисленных приложений теории адиабатических инвариантов можно выделить, например, описание движения заряженных частиц в магнитных ловушках [6-8], движения квазичастиц в электромагнитных полях в твердых телах [9], распространение волн в волноводах в приближении геометрической оптики [10]. В последние два десятилетия значительно возрос интерес к исследованию с помощью теории адиабатических инвариантов задач атомной и молекулярной физики (квазиклассический атом водорода в электромагнитных полях различных конфигураций, атом гелия и двухатомные молекулы под действием возмущений и т.д.).

В последние годы большое внимание уделялось как поиску условий "вечного"сохранения АИ ([11]), так и условий, при которых сохранение АИ нарушается. Важность такого рода исследований связана с тем, что если в процессе движения АИ сохраняется, то движение является регулярным, в то время как разрушение адиабатической инвариантности приводит к хаотической динамике.

Наличие в системе динамического хаоса или, иначе говоря, стохастичносгпи, означает, что решения нелинейных уравнений, описывающих эволюцию системы, чувствительны к начальным условиям: траектории, исходно находившиеся сколь угодно близко друг от друга быстро разбегаются. Это приводит к тому, что на длительных временах решения, по сути дела, ведут себя случайным образом. Хаос называется детерминированным, если описывающие систему уравнения не содержат случайных параметров. Первый пример детерминированного хаоса был приведен в работе [12]. Возможны также случаи, когда в зависимости от значения параметров или начальных условий можно получить либо регулярную (например, квазипериодическую), либо стохастическую траекторию системы. Существенным является тот факт, что хаотическое движение может иметь место в системах с малым числом степеней свободы.

Среди причин, приводящих к стохастизации движения в системах, близких к интегрируемым, можно выделить расщепление сепаратрис и, как следствие, образование в их окрестности стохастического слоя [13, 14] (а в многомерном случае - возникновение диффузии Арнольда [15]), перекрытие резонансов и образование стохастической паутины [16, 17], а также разрушение адиабатической инвариантности при прохождении через резонансы и захватах в резонанс [18-20], и при прохождении через сепаратрису [21-24]. При этом важным является тот факт, что если две первые причины приводят к возникновению области хаотической динамики, размер которой стремится к нулю при стремлении к нулю величины возмущения, то разрушение адиабатической инвариантности ведет к образованию области хаоса, размер которой велик при сколь угодно малом возмущении.

В настоящей диссертации исследуется разрушение адиабатической инвариантности при прохождении через резонансы и захватах в резонанс [2529], и при переходах через сепаратрису в гамильтоновых системах [30].

В работах [31-34] показано, что в системах с 1.5 степенями свободы вдали от сепаратрисы АИ сохраняется с высокой степенью точности (см. также [4, 35]). В этих работах для различных динамических систем, гамильтониан которых зависит от медленно меняющегося параметра, продемонстрировано, что изменение адиабатического инварианта экспоненциально мало. Однако, если на фазовой плоскости быстрых переменных присутствует сепаратриса, то при ее пересечении изменение адиабатического инварианта уже не будет малым. В работе Тимофеева

21] была впервые получена асимптотическая формула изменения адиабатического инварианта маятника в медленно меняющемся поле тяжести при переходе через сепаратрису. В середине 80-х годов в работах Нейштадта ([22, 23]) и Кэри с соавторами ([24, 36]) была построена общая теория, описывающая эти изменения в задачах, в которых гамильтониан зависит от медленно меняющегося параметра. Современное состояние проблемы об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису описано в [37].

В многочастотных системах (число степеней свободы п больше или равно 2) возможны явления захвата в резонанс и рассеяния на резонансах. Первые результаты относительно адиабатической инвариантности в многочастотных системах получены в [38]. Захват в резонанс был впервые исследован в статье [39]. Рассеяние на резонансе впервые изучалось, по-видимому, в работе [40]. Описание этих явлений будет дано ниже. Современное состояние проблемы об изменении адиабатических инвариантов при прохождении резонансов в многочастотных системах описано в [41, 42].

В настоящей диссертации рассматриваются четыре класса задач: нелинейная динамика релятивистской заряженной частицы под действием постоянного однородного магнитного поля и плоской электростатической или электромагнитной волны; динамика линий тока в модели плавно-нестационарного конвективного течения; динамика частицы в прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами; динамика плоской кулоновской задачи трех тел, являющейся классической моделью молекулярных систем типа молекулярного иона водорода.

Первый класс задач продолжает привлекать внимание исследователей в связи с изучением ускорения заряженных частиц в космических лучах и исследованием нелинейной динамики заряженных частиц в лазерных ускорителях [43-46].

Задача о динамике линий тока в модели плавно-нестационарного конвективного течения, рассматриваемая в работе, схожа с задачей, которая изучалась теоретически и экспериментально в работах Т.Соломона [47]. Модель представляет собой ряд конвективных валов, который под действием возмущения медленно осциллирует в направлении, перпендикулярном к осям валов. Ранее такое течение исследовалось лишь для случая высокочастотных осцилляций специального вида, а вопрос о динамике системы под влиянием медленного возмущения общего вида оставался открытым.

Третий класс задач - динамика частицы в прямоугольном и эллиптическом билллиардах с медленно изменяющимися границами - является актуальным в связи с возможностью применения результатов для теоретического исследования движения атомов в электромагнитных ловушках [48], распространения волн в волноводах в приближении геометрической оптики. Кроме того, оставался открытым вопрос о применимости общей теории, развитой для гладких систем [35, 42], к этим биллиардам.

Задача трех тел" [49] является одной из самых знаменитых задач классической механики и исследуется на протяжении уже более чем 240 лет [50]. Она возникает при рассмотрении проблем небесной механики [51], одноэлекгронных молекулярных ионов [52-54], высоковозбужденных состояний в атомах [55], экзотических молекулярных системах [56]. В задачах трех тел массы взаимодействующих частиц часто различаются на порядки (то есть масса некоторой частицы гораздо больше остальных, или наоборот). В гравитационной задаче трех тел (ГЗТТ) силы притяжения между частицами зависят от их масс, в то время как в кулоновской задаче трех тел (КЗТТ) силы взаимодействия зависят от зарядов частиц, которые обычно являются величинами одного порядка. В результате исследование КЗТТ с точки зрения теории возмущений существенно отличается от исследования ГЗТТ в небесной механике. Полное описание динамики в задаче трех тел даже в случае упрощающих предположений (большое различие масс) является открытой проблемой.

Рассмотрим эти задачи подробнее.

В первой главе диссертации исследуется динамика заряженной частицы под действием постоянного однородного магнитного поля и плоской электростатической или электромагнитной волны.

Подобные задачи часто возникают при исследовании явлений, происходящих в магнитных ловушках, ускорителях, а также в магнитосферах планет и космических лучах. В случае постоянного магнитного поля и плоской электромагнитной/электростатической волны задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы, которую при некоторых условиях можно изучать методами теории возмущений ( см. [43-45, 57-61]).

Фаза волны в точке местоположения частицы в некоторый момент времени является "быстрой" переменной. Под резонансом подразумевается обращение в ноль производной этой фазы по времени. Физически это означает, что проекция скорости частицы на направление распространения волны совпадает с фазовой скоростью волны. Точки резонанса образуют поверхность в пространстве медленных переменных, называемую резонансной поверхностью. Усреднение по быстрой переменной позволяет описать динамику частицы вдалеке от резонанса. Переменная, канонически сопряженная к быстрой переменной, является интегралом усредненной системы (адиабатическим: инвариантом). Однако вблизи резонанса, где метод усреднения неприменим, значение адиабатическоко инварианта может сильно измениться. В окрестности резонанса используется процедура, предложенная в [42]. Исходная система аппроксимируется системой, аналогичной нелинейному маятнику под действием постоянного момента. Параметры этого маятника зависят от медленных переменных полной системы. Эта медленная зависимость от времени делает возможными переходы фазовой точки из вращательных областей фазового пространства маятника в колебательные. Такой переход соответствует захвату в резонанс. В результате захвата частица покидает адиабатическую траекторию и продолжает движение вдоль резонансной кривой - пересечения изоэнергетической поверхности и резонансной поверхности. Это ведет к сильному изменению адиабатического инварианта и при некоторых дополнительных условиях может приводить к неограниченному ускорению частицы.

Во второй главе диссертации исследуется динамика линий тока в двумерном течении невязкой жидкости (системе конвективных ячеек).

Вначале остановимся подробнее на определении понятия хаоса линий тока.

Для описания движения жидкости возможны два подхода. В первом подходе динамика жидкости характеризуется полем скоростей и распределением давления и плотности в каждый момент времени и в каждой точке пространства, заполненного жидкостью. Во втором подходе исследуется траектория отдельной частицы жидкости. Оба эти подхода, называемые обычно "эйлеровым"и "лагранжевым", восходят к работам Эйлера (см., например, [62]).

Если v(ж,í) - эйлерово поле скоростей, то движение частицы жидкости задается уравнением: сЬс = х(£ = 0) = х(0). (0.1)

Одним из ключевых понятий, используемых для описания течения, является линия тока, определяемая в каждый момент времени как кривая, касательная к которой совпадает с полем скоростей в данной точке. Линия тока описывается уравнениями йх ¿у с1г Щ г)г'

Одним из направлений исследований в гидродинамике является исследование тех полей скоростей, в которых элементы жидкости (или погруженные в жидкость частицы) двигаются хаотически. Движение частиц называется хаотическим, когда решение уравнений движения сильно зависит от начальных условий, и исходно близкие элементы жидкости экспоненциально быстро разбегаются. Первый пример такого поля скоростей был рассмотрен в [63], некоторые примеры приведены в [64, 65]. В случае, когда хаотическими являются сами линии тока, т.е. исходно находившиеся рядом линии тока экспоненциально быстро разбегаются, говорят о наличии лагранжевого хаоса, хаоса линий тока или хаотической адвекции. В противном случае, когда уравнения (0.1) интегрируемы, говорят о регулярной адвекции.

Важность исследования хаотической и регулярной адвекции связана с тем, что в общем случае хаотизация траекторий погруженных в жидкость частиц сигнализирует о наличии эффективного перемешивания этих частиц и окружающей жидкости. Ввиду того, что эффективное перемешивание является желаемой целью во многих практических задачах, наличие хаотической адвекции часто рассматривается как положительный результат; в то же время в некоторых задачах желательна регулярная адвекция (например, хаотизация в движении заряженных частиц в ускорителях ведет к потере частиц и, соответственно, нежелательна (см., например, [66]). Регулярная адвекция в гидродинамических течениях важна для таких прикладных задач, как распространение загрязнения за счет океанических или атмосферных течений, дрейф воздушных зондов (аэростатов) в конвективных атмосферных течениях.

Исследования различных конфигураций поля скоростей у(х) определили условия, необходимые для зарождения лагранжевого хаоса.

Для двумерного (2В) стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости уравнение линии тока с использованием функции тока ф(х, у) можно записать в виде (см., например, [67]) йх дф(х,у) йу дф(х,у) Л ду ' дл, дх

0.2) в результате чего задача сводится к гамильтоновой с гамильтонианом ф(х,у). Так как любая гамильтонова система с одной степенью свободы интегрируема, то в 2Б стационарных течениях идеальной жидкости не может быть хаоса линий тока (см., например, [3]).

Следует отметить, что в этом случае "фазовому пространству" гамильтоновой системы соответствует "физическое (конфигурационное) пространство" системы (0.2). Соответствие движения в фазовом пространстве гамильтоновой системы адвекции несжимаемой жидкости в физическом пространстве часто отмечается, например, при изложении теоремы Лиувилля в статистической механике [68].

Таким образом, для зарождения лагранжевого хаоса в стационарном поле скоростей необходимо, как минимум, нестационарное 2Т> течение (или же стационарное ЗЮ течение) .

Так же как в общей теории гамильтоновых систем, при исследовании хаоса линий тока особое внимание уделяется течениям, получаемым малым возмущением интегрируемых течений. Возмущенное течение получается наложением на исходное течение малой добавки: где поле скоростей у0 задает невозмущенное интегрируемое течение, £< 1.

Рассматриваемая во второй главе задача представляет собой простую модель двумерного конвективного течения под действием периодического возмущения. Количественное сравнение подобной модели с экспериментальными данными приведено в [69]. Возмущение приводит к тому, что вся структура конвективных ячеек испытывает периодические колебания в горизонтальном направлении.

Функция тока рассматриваемого течения имеет вид

V = (х) + £\г (х)

0.3)

Эта функция тока на плоскости (х,у) задает систему конвективных ячеек [47], ограниченных по оси у прямыми у = 7г и у = 0. С{еЬ) является 27г-периодической функцией медленного времени т = еЬ, 0 < е «С 1. Вся структура конвективных ячеек под действием возмущающей функции (5 испытывает медленные колебания вдоль оси х с периодом 27г. Значение т/)0 определяет характерную частоту вращения жидкости в ячейке при замороженном значении т. В рассматриваемой модели эта частота гораздо больше частоты медленных колебаний е. Проведенное исследование динамики линий тока в этой модели показывает, что переходы через сепаратрису оказывают существенное влияние на транспортные свойства частиц пассивной примеси в течении.

В третьей главе диссертации исследуется динамика частицы в прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами.

Математические биллиарды являются важными модельными объектами рассмотрения в различных областях физики [3, 16, 48, 70, 71]. В последнее время начались исследования биллиардов с медленно меняющимися параметрами (см., например, [72]). В настоящей диссертации рассматриваются две задачи связанные с математическими биллиардами: динамика частицы в медленно вращающихся прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами. Рассматриваемые системы близки к интегрируемым, и для их изучения примененяется метод усреднения. В этих системах имеют место резонансные явления: захват в резонанс и рассеяние на резонансе.

В четвертой главе диссертации исследуются резонансные явления (захват в резонанс и рассеяние на резонансе) в кулоновской задаче трех тел.

В задачах трех тел массы взаимодействующих частиц часто различаются на порядки (то есть, масса некоторой частицы гораздо больше остальных, или наоборот). В ГЗТТ силы притяжения между частицами зависят от их масс, в то время как в КЗТТ силы взаимодействия зависят от зарядов частиц, которые обычно являются величинами одного порядка. К настоящему моменту опубликовано большое количество работ посвященных неинтегрируемой классической динамике трех тел, притягивающихся по закону Ньютона (ГЗТТ). С другой стороны, имеется ограниченное число работ, где аналитически изучается классическая динамика КЗТТ [54-56, 73-78]. Интерес к этой задаче заметно возрос в последние несколько лет. Детальное изучение классической динамики КЗТТ, помимо того, что оно имеет фундаментальное значение, может также предоставить полезную информацию для современных квазиклассических методов, применяемых при изучении квантовых явлений в атомной и молекулярной физике.

В настоящей диссертации рассматривается классическая динамика плоской КЗТТ, являющейся моделью систем типа молекулярного иона водорода : две тяжелых заряженных частицы (массой M ) и одна легкая (массой м). Задача рассматривается при различных значениях отношения масс частиц. В предельном случае М/т = оо положения тяжелых частиц фиксированы и система становится интегрируемой (получаемая задача о двух неподвижных центрах была проинтегрирована еще Эйлером и Якоби). Когда отношение масс является конечной величиной, задача становится неинтегрируемой, но присутствие быстрых и медленных движений в системе позволяет использовать метод усреднения.

Основные цели работы:

При исследовании поведения заряженной частицы под действием постоянного однородного магнитного поля и плоской электростатической или электромагнитной волны основными целями являются:

• описание структуры фазового пространства системы и возможных типов движения частицы;

• вывод условий возможности захвата в резонанс и неограниченного ускорения частицы;

• исследование диффузии адиабатического инварианта вследствие многократных переходов через резонанс.

При исследовании поведения линий тока (траекторий пробных частиц) в модели плавно-нестационарного конвективного течения: основными целями являются:

• вывод условий возможности квазирегулярного поведения линий тока и транспорта (дрейфа) частиц примеси вследствие этого;

• исследование диффузии адиабатического инварианта вследствие многократных переходов через сепаратрису;

• определение характерного времени развития хаотической адвекции.

При исследовании движения частицы в прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами основными целями являются:

• исследование поведения адиабатических инвариантов при прохождении через резонанс; оценка изменения адиабатических инвариантов в резонансной области.

• исследование диффузии адиабатического инварианта вследствие многократных переходов через резонансы;

• исследование возможности применения общей теории [42], развитой для гладких систем, к этим биллиардам.

При исследовании резонансных явлений в кулоновской задаче трех тел основными целями являются:

• приведение гамильтониана системы путем канонических преобразований к виду, допускающему возможность применения общей теории [42];

• исследование поведения адиабатических инвариантов при прохождении через резонанс; оценка изменения адиабатических инвариантов в резонансной области.

• исследование вопроса о возможности захвата в резонанс в этой системе.

Диссертация имеет следующую структуру:

В первой главе в рамках теории возмущений рассматриваются задачи о динамике заряженной частицы под действием постоянного магнитного поля и плоской электростатической волны, или комбинации из плоской электростатической и электромагнитной волны. Волны предполагаются высокочастотными. В случае воздействия электростатической и электромагнитной волн движение описывается гамильтонианом с 2 степенями свободы (в безразмерных переменных):

Tí = —vi -f \j1 + P -f p2 + q2 + 2 Iq sin a — 2 e(qn2 cos a eos кф + рк\ sin кф) + O (s2) ец cos кф, где (p, e~"1g) и (ф,1) - пары канонически сопряженных переменных, а - угол между направлением магнитного поля и волновым вектором плоской волны, е - малый параметр.

Гамильтониан системы можно разделить на невозмущенную часть

Tío = -vi + y/l + I2+p2 + q2 + 2Iqsina (0.4) и возмущение sTíi = Tí — Tío, которое можно представить в виде g«2 cos a cos кф + рп\ sin кф , , 2ч еНг = 2/2\ог . -- + ^ со® кф + 0(s2 0.5 yl + l2 + q¿ + p¿ + 2Iqsm a

В пространстве (7,p, g), уравнение Но = const определяет изоэнергетическую поверхность (при движении частица все время находится в е-окрестности этой поверхности). В зависимости от соотношения между KQ, v, и а, эта поверхность второго порядка принимает различный вид.

Легко заметить, что система имеет два временных масштаба: переменная ф является быстрой, остальные переменные - медленные. Следовательно, если ф ф О, динамику системы можно изучать с помощью метода усреднения.

Усредняя уравнения движения системы (0.4) по быстрой переменной ф, получаем I = const. Следовательно, в этом приближении траектория частицы в координатах (I,p,q) является пересечением изоэнергетической поверхности Но = const и плоскости / = const. Назовем эту траекторию адиабатической (она является ларморовской окружностью). В действительности значение I сохраняется вдоль траектории с точностью е на временных интервалах порядка 1/е.

Однако метод усреднения неприменим в окрестностях резонансов, когда дНо/81 = 0. Вдоль траектории, которая пересекает резонанс, значение I может измениться значительно вследствии явлений захвата в резонанс и рассеяния на резонансе. При захвате в резонанс фазовая точка покидает окрестность адиабатической траектории и движется вдоль резонансной поверхности. При этом в зависимости от параметров системы фазовая точка может остаться захваченной в резонанс вечно (что приводит к неограниченному ускорению), либо покинет резонанс по прошествии некоторого времени и продолжит свое движение вдоль другой адиабатической траектории.

Начальные условия для траекторий с захватом в резонанс и траекторий, пересекающих резонансную область без захвата в резонанс, перемешаны в фазовом пространстве системы, если е мало. Малое, порядка е, изменение начальных условий траектории может существенно изменить характер движения. Следовательно, имеет смысл рассматривать захват как случайное событие и исследовать его вероятность. Этот подход для систем с переходами через сепаратрису был предложен в статье [9]. Строгое определение вероятности захвата было дано в работе [11]. В диссертации показано, что при выполнении определенного условия захваченная в резонанс фазовая точка остается захваченной вечно (режим неограниченного ускорения).

Фазовая точка, пересекающая резонансную поверхность без захвата в резонанс, испытывает скачок адиабатического инварианта. Получена формула для этого скачка, котороя проверена численно (для случая чисто электростатической волны). Многократные переходы через резонанс приводят к диффузии адиабатического инварианта. Исследованы статистические свойства этого процесса, получены оценки для коэффициента диффузии.

Во второй главе теория адиабатических инвариантов применяется при исследовании двумерного нестационарного течения, являющегося моделью течения в экспериментах Т.Соломона [47] по размешиванию примесей. Рассматривается течение, представляющее собой ряд конвективных валов, который медленно осциллирует в направлении, перпендикулярном к осям валов.

После перехода к движущейся системе координат гамильтониан системы имеет вид dF

Н(у,х,т) = sin х sin у + -— = sin х sin у + £yG(r), (0.6)

CJv где G(t) = dG/dr.

В случае малых е задача может быть рассмотрена в терминах сохранения адиабатического инварианта. Когда возмущенная фазовая траектория (линия тока) пересекает сепаратрису невозмущенной системы, значение адиабатического инварианта испытывает скачок. В рассматриваемой задаче показано, что такие скачки адиабатического инварианта при последовательных переходах через сепаратрису коррелированы.

Эта корреляция разрушается только тогда, когда значение фазы, описывающей переход через сепаратрису, попадает в некоторый определенный малый интервал. Такая корреляция замедляет диффузию адиабатического инварианта. Если бы адиабатический инвариант сохранялся вечно вдоль фазовых траекторий системы, транспорт в системе был бы регулярным (то есть траектории тестовых частиц лежали бы на инвариантных торах). Хорошее (хотя не вечное) сохранение адиабатического инварианта в системе приводит к почти регулярному транспорту на больших временах (порядка е31п£). В случае возмущения общего вида капля пассивной примеси (например, краски), помещенной первоначально в некоторую конвективную ячейку, расплывается на растояние порядка £~3. Это расплывание сильно отличается от обычной диффузии. В частности, диаметр области окрашенной краской растет почти линейно со временем.

В третьей главе рассматриваются две задачи о динамике частицы в прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно движущимися стенками.

Рассмотрим частицу, движущуюся в двумерном прямоугольном биллиарде, который медленно вращается с постоянной угловой скоростью и > 0. Считается, что частица взаимодействует со стенками по закону упругого отражения. Гамильтониан системы во вращающейся системе координат имеет вид: где Pг,Qi - канонически сопряженные импульсы и координаты соответственно, а О ((¡г, д2) - потенциал, описывающий воздействие твердых стенок: где '2(1-1 ~ длины сторон биллиарда. Длины сторон биллиарда являются медленными функциями времени: = где £~ш<1 является малым параметром.

Для невозмущенной системы (без вращения и движения стенок) можно с помощью канонического преобразования ввести переменные действие-угол г ----- 1,2:

0.7) если 1^1 > ¿1 или |д2[ > ¿2, если 1^1 < ¿ъ |д2| < ¿2,

0.8) i -di + 1di<f>if 7г, если 0 < фг < 7Г, , .

1 \ Mi - Id^if-K, если 7Г < <f>i < 2-7Г,

Vi = ^sign(sin&).

Система находится в резонансе (m:n), если выполняется следующее резонансное условие:

При наличии возмущения переменные U являются приближенными адиабатическими инвариантами: они хорошо сохраняются всюду, кроме окрестностей резонансов малого порядка (порядок резонанса к = \т\ + |п|).

С изменением времени изменяются значения di, и: частица, первоначально далекая от резонанса, может приблизиться к нему. В результате, в системе наблюдаются эффекты рассеяния на резонансах и захвата в резонанс.

Аналогичная ситуация имеет место и для эллиптического биллиарда. Гамильтониан невозмущенной системы в эллиптических координатах £ = ri + г\ = г\ — г2 ('И, г2 - расстояния между частицей и фокусами биллиарда, 2с-расстояние между фокусами) имеет следующий вид:

2 4 2 л „2 „2 где а - большая полуось, а £/"(£, а) - потенциал твердой стенки биллиарда:

U&a) оо, если £ > 2а, , s (0.12)

О, если £ < 2а.

Для возмущенной системы после преобразований, описанных в главе III, гамильтониан системы приобретает следующий вид: п = -с2к cosh2 v + P2 + c2k cos2 и + U{v, aje) + ede [Pu sin 2и - Pv sinh 2v\ + + toe2 \PU sinh 2v + Pv sin2u] = + eTx = 0. (0.13)

Этот гамильтониан (0.13) описывает динамику частицы в эллиптическом биллиарде, возмущаемом медленной деформацией и вращением. Невозмущенная система (r=const, е = и> = 0) интегрируема. Кроме интеграла энергии, имеется дополнительний интеграл движения С\ = си = cv:

Р2 — с2 к cosh2 V = cv, (0.14)

Pi + с2к cos2 и = -Си.

Параметры си, с.и равны друг другу в невозмущенной системе и близки по величине в возмущенной системе. Невозмущенную систему можно рассматривать как два несвязанных между собой нелинейных осциллятора. Как и в случае прямоугольного биллиарда, вводятся переменные действие-угол. В возмущенной системе переменные "действие" хорошо сохраняются вдали от резонансных поверхностей, при прохождении через резонанс наблюдаются эффекты захвата в резонанс и рассеяния на резонансе.

Схожая ситуация наблюдается и в динамике кулоновской задачи трех тел (четвертая глава диссертации).

После канонических преобразований, описанных в четвертой главе, система описывается гамильтонианом с тремя степенями свободы с быстрыми и медленными переменными: п = I % +1" тЕ) {cosh2v ~cos2u) + ~ 2wcoshv {Pu sin 2и - Pv sinh 2v)+£^(Pu sinh 2v + Pv sin 2-й) (0.15)

K 2K 2 jjp (P„2 + Pl) (2 + cosh 2v + eos 2u) = Fü H- еТг + 0(e2) = 0, где т,М- массы легкой и тяжелых частиц соответственно, Е - значение гамильтониана системы в исходных декартовых координатах, малый параметр е = фп/М. При замороженных медленных переменных (Рд, Щ и пренебрежением членами 0{е) система интегрируема, допускает возможность введения переменных действие-угол. Дальнейшее изучение динамики системы проводится по схеме, аналогичной изложенной в третьей главе. В возмущенной системе переменные "действие" хорошо сохраняются вдали от резонансных поверхностей, при прохождении через резонанс наблюдаются эффекты захвата в резонанс и рассеяния на резонансе.

В Заключении приводятся основные результаты и выводы работы.

Основные положения настоящей диссертации опубликованы в работах [25-30] в соавторстве с А.И.Нейштадтом, А.А.Васильевым. Автор внес существенный вклад в получение приводимых результатов.

Основные результаты и выводы:

1. Исследованы прохождения через резонансы и захваты в резонанс в динамике релятивистской заряженной частицы под влиянием однородного магнитного поля и поля электромагнитной и/или электростатической волны. Получена формула для скачка адиабатического инварианта при пересечении резонансной поверхности, получено условие неограниченного ускорения частицы, захваченной в резонанс. Показано, что накопление скачков адиабатического инварианта при многократных пересечениях приводит к диффузии адиабатического инварианта. Проверены статистические свойства скачков адиабатического инварианта при пересечении резонанса.

2. Исследована динамика линий тока в модели плавно-нестационарного конвективного течения. С помощью формулы для скачка адиабатического инварианта при пересечении сепаратрисы дана оценка для времени развития хаоса линий тока. Найдены условия, при которых в системе возможен почти регулярный транспорт.

3. Исследована динамика частицы в прямоугольном и эллиптическом билллиардах с медленно изменяющимися границами. Продемонстрирована возможность применения общей теории, развитой для гладких динамических систем, к этим биллиардам. Найдены численно и объяснены аналитически явления захвата в резонанс и рассеяния на резонансе.

4. Исследована динамика плоской кулоновской задачи трех тел, являющейся классической моделью молекулярных систем типа молекулярного иона водорода. Найдены численно и объяснены аналитически явления захвата в резонанс и рассеяния на резонансе. Показано, что накопление скачков адиабатических инвариантов при многократных пересечениях резонансных поверхностей приводит к диффузии адиабатических инвариантов.

Автор глубоко признателен А.И.Нейштадту за многочисленные обсуждения и помощь в работе. Также выражаю свою признательность своему соавтору A.A. Васильеву

Заключение

1. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН. 1954. Т.98. С.52Т.

2. Бакай А.С., Степановский Ю.П. Адиабатические инварианты. Киев: Наукова думка. 1981. 283с.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 408 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука. 1988. 208с.

5. Андронов А.А., Витг А.А., Хайкин С.В. Теория колебаний. М.: Наука. 1959. 916с.

6. Northrop T.G. The adiabatic motion of charged particles. New York London - Sydney: Intersciece. 1963. 109р. (Русский перевод: Нортроп Т. Адиабатическая теория движения заряженных частиц. -М.: Атомиздат. 1967. 128с.).

7. Gardner C.S. Adiabatic invariants of periodic classical systems //Phys. Rev. 1959. V.115. P.791.

8. Littlejohn R.G. Hamiltonian theory of guiding center motion. Berkeley: Lawrence Berkeley Laboratory. 1980.

9. Лифшиц И.М., Слуцкин A.A., Набутовский B.M. Об особенностях движения заряженных квазичастиц в переменном и ноеднородном электромагнитном поле //ЖЭТФ. 1961. Т. 41. С.939.

10. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука. 1980. 304с.

11. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике //УМН. 1963. Т.18. С.91.

12. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow //J. Atmos. Sci. 1963. V.20. P.130.

13. Гельфрейх В.Г., Лазуткин В.Ф. Расщепление сепаратрис: теория возмущений, экспоненциальная малость // Успехи мат. наук. 2001. Т. 56. С. 79.

14. Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: ФАЗИС. 1998. 181с.

15. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы //Докл. АН СССР. 1964. Т. 156. С.9.

16. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука. 1988. 368 с.

17. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука. 1991. 240с.

18. Вакай А.С. Резонансные явления в нелинейных системах //Дифференциальные уравнения. 1966. Т.2. С.473.

19. Neishtadt A.I. On probabilistic phenomena in perturbed systems //Selecta Mathematica Soviética. 1993. V.12. P.195.

20. Neishtadt A.I. On destruction of adiabatic invariance in multi-frequence systems //EquaDif, international conference on Differential equations. 1993. V.l. P.195.

21. Тимофеев А.В. К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения //ЖЭТФ. 1978. Т.75. С.1303.

22. Нейштадт А.И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису //Физика плазмы. 1986. Т.12. С.992.

23. Нейштадт А.И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в системах с двумя степенями свободы //ПММ. 1987. Т.51. С.750.

24. Сагу J.R., Escande D.F., Tennyson J. Adiabatic invariant change due to separatrix crossing //Phys. Rev. A. 1986. V. 34. P.4256.

25. Itin A.P., Neishtadt A.I., Vasiliev A.A. Captures into resonance and scattering on resonance in dynamics of a charged relativistic particle in magnetic field and electrostatic wave // Physica D. 2000. V. 141. P. 281.26