Резонансные явления в динамике заряженных частиц в электромагнитных полях сложной конфигурации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Васильев Алексей Алексеевич

Резонансные явления в динамике заряженных частиц в электромагнитных полях сложной конфигурации

01.04.02 — теоретическая физика

- 8 НОЯ 2012

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2012

005054460

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте космических исследований Российской академии наук.

Научный консультант: доктор физико-математических наук

Нейштадт Анатолий Исерович, ведущий научный сотрудник ИКИ РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Истомин Яков Николаевич, главный научный сотрудник Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, Москва

доктор физико-математических наук, профессор Лерман Лев Михайлович, Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород

доктор физико-математических наук, профессор Тимофеев Александр Владимирович, главный научный сотрудник Национального исследовательского центра "Курчатовский институт", Москва

Ведущая организация: Институт проблем механики

им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва

Защита состоится « 7 >декабря 2012 г. в 11:00 часов на заседании диссертационного совета Д 002 113 03 в конференц-зале Института космических исследований РАН по адресу:

Москва 117997, Профсоюзная ул. 84/32, подъезд А-2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИКИ РАН

Автореферат разослан <Р1 > ко.яс)\:>.а 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002 113 03 кандидат физ.-мат. наук

Т. М. Буринская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертационной работе исследуются резонансные явления в задачах о динамике заряженных частиц в электромагнитных полях сложной конфигурации, в частности, эффекты резонансного взаимодействия волна - частица. Резонансное взаимодействие заряженных частиц с электростатическими и электромагнитными волнами представляет собой один из классических объектов исследования в физике плазмы и наблюдается и в околоземном пространстве, и в лабораторных экспериментах. Резонансные эффекты активно исследуются, начиная от классической задачи о затухании электростатической волны за счёт резонанса с электронами (затухание Ландау) и заканчивая современными теориями нагрева и ускорения плазмы (см., например, [24, 25]). С математической точки зрения, наличие резонансов приводит к неинтегрируемости и хаотизации динамики в системе [26, 27]. В работе используется математическая теория явлений рассеяния на резонансе, захвата в резонанс и перехода через сепаратрису в системах с быстрыми и медленными движениями в форме, развитой в работах [28 - 30]. Гамильтоновский вариант этой теории последовательно применяется и развивается в приложении к физическим задачам во всей диссертации.

Результаты, изложенные в диссертации, носят общий характер и применимы к различным магнито - плазменным системам. Однако основные количественные оценки проводятся при значениях параметров, характерных для хвостовой области земной магнитосферы.

Заряженная частица в поле электромагнитной или электростатической волны в присутствии достаточно слабого фонового магнитного поля может быть при прохождении через резонанс с волной типа черенковского захвачена в по-

тенциальную яму волны и начать ускоренное движение вдоль волнового фронта (так называемое серф'отронное ускорение) [31]. Этот механизм позволяет описать ускорение частиц в ударных волнах, наблюдаемых в солнечной короне и в межпланетном пространстве (см. обзор [32] и ссылки в нем). Также серфотрон-ное ускорение считается механизмом, позволяющим описать генерацию высокоэнергичных частиц в задачах астрофизики [33, 34]. Исследованию захватов в режим серфотронного ускорения в модельных задачах о динамике заряженной частицы в электростатической или электромагнитной волне и фоновом слабом магнитном поле посвящена глава 2 диссертации. Захваты в таких системах оказываются возможны в случае однородного магнитного поля, в отличие от задач о динамике в сильном магнитном поле, где захват обеспечивается продольной неоднородностью поля [35, 36].

Одну из важных задач физики плазмы представляет собой исследование динамики заряженных частиц в магнитных ловушках и, в частности, в магнитосфере Земли. Значительное внимание в последние годы уделялось исследованию динамики заряженных частиц в области обращения магнитного поля в хвосте магнитосферы Земли [37]. В частности, были изучены различные механизмы хаотизации движения ионов и оценен диапазон параметров электрического и магнитного полей, в котором происходит хаотизация (см. работу [38] и ссылки ней). Были исследованы механизмы разрушения адиабатических инвариантов (магнитного момента и продольного адиабатического инварианта) и оценено время разрушения адиабатической инвариантности и развития хаоса в системе. Исследовалась также динамика ионов в хвосте магнитосферы в присутствии электростатической или электромагнитной волны.

Резонансное ускорение электронов за счёт захватов в волну детально исследовано для систем с сильным магнитным полем, моделирующих область внут-

ренней магнитосферы Земли (радиационные пояса). В таких системах захват частицы волной возможен благодаря продольной (вдоль направления магнитного поля) неоднородности амплитуды фонового магнитного поля и параметров волны (см. обзор [39] и ссылки в нем). Однако отдельный интерес представляют собой задачи резонансного взаимодействия адиабатических электронов с волнами в присутствии слабого фонового магнитного поля, когда сила, действующая на частицу со стороны волны, сопоставима с силой Лоренца со стороны фонового поля. Такие ситуации могут реализовываться в переходной области между внутренней магнитосферой и хвостовой частью магнитосферы, где фоновое поле часто ослаблено токами горячих ионов, инжектируемых во время активных периодов. Также представляет интерес исследование динамики электронов в области обращения магнитного поля в присутствии электростатической или электромагнитной волны, распространяющейся под углом к магнитному полю, поскольку их динамика существенно отличается от динамики ионов. Этим вопросам посвящена глава 3 диссертации. Как показывают наблюдения, электростатические возмущения, иногда весьма значительной амплитуды, часто наблюдаются в хвосте магнитосферы наравне с электромагнитными возмущениями различных типов.

Задачи, связанные с изменением режима движения с захваченного на пролетное, возникают во многих областях физики. С математической точки зрения такому изменению соответствует переход через сепаратрису в фазовом пространстве системы. Помимо задач о движении заряженных частиц в волновых полях это явление важно также в радиофизике (распространение коротких радиоволн в ионосфере), физике твердого тела (движение заряженных квазичастиц), небесной механике (происхождение люков Кирквуда в поясе астероидов), гидродинамике.

Переход через сепаратрису представляет собой особый тип резонанса, при

котором частота изменения быстрых переменных системы при замороженных значениях медленных переменных обращается в нуль, а правая часть уравнений движения в стандартной форме метода усреднения имеет особенность. При изменении медленных переменных форма сепаратрис на фазовой плоскости быстрого движения изменяется: в частности, может изменяться площадь, охватываемая сепаратрисой. В то же время, площадь внутри замкнутой траектории невозмущенной (при замороженных значениях медленных переменных) системы является адиабатическим инвариантом точной системы и приблизительно сохраняется в ходе эволюции. Это приводит к тому, что фазовые траектории точной системы могут переходить через сепаратрису невозмущенной системы. Поскольку на сепаратрисе частота изменения быстрых переменных обращается в ноль, стандартный метод усреднения здесь не работает. Пусть малый параметр е определяет отношение типичных скоростей изменения медленных и быстрых переменных (это обозначение используется и далее в тексте автореферата). Оказывается, что при переходе через сепаратрису значение адиабатического инварианта (действия в быстрой системе) испытывает скачок с двумя составляющими. Одна из них имеет величину порядка единицы и связана с геометрией задачи (так называемый геометрический скачок). Другая составляющая, малая по параметру е (в типичной ситуации она имеет порядок eine), собственно, и обусловлена неадиабатичностью движения, и ее можно рассматривать как случайную.

Формулы для изменения адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису были сперва получены для гамильтоновых систем с одной степенью свободы, гамильтониан которых зависит от медленно изменяющегося параметра [40-42]. Такие системы являются частным случаем систем с быстрыми и медленными движениями. Для гамильтоновой системы с быстрыми и медленными переменными такая формула была получена в [28]. При рассмотрении результа-

та многократных переходов через сепаратрису важна связь между значениями быстрых фаз при двух последовательных переходах. Для случая гамильтоновой системы, зависящей от медленно изменяющегося параметра, такая формула была получена в [43], для общего случая такая формула отсутствовала. В общем случае гамильтоновой системы с быстрыми и медленными переменными соответствующая формула получена в параграфе 4.1 диссертации.

Многократные переходы через сепаратрису приводят, как показывают численный эксперимент и эвристические рассуждения, к хаотизации динамики в большой области фазового пространства (см., например, [42, 28]). Надо отметить, однако, что строгих результатов о хаосе в области переходов через сепаратрису практически не существует. Визуально в ряде задач область переходов через сепаратрису выглядит как область динамического хаоса, в которой отсутствуют какие бы то ни было острова устойчивости. В [44] показано, что индивидуальный остров устойчивости в этой области, если он существует, не может иметь меру, превышающую по порядку е. Тем не менее, в работе [45] для системы, зависящей от медленно меняющегося параметра, при выполнении дополнительных условий симметрии было установлено наличие в области переходов через сепаратрису большого числа (порядка е-1) островов устойчивости, каждый из которых имеет меру порядка е. Тем самым, суммарная мера островов устойчивости есть величина порядка единицы и не стремится к нулю при стремлении 8 к нулю. В общем случае гамильтоновой системы с быстрыми и медленными движениями вопрос о наличии устойчивых периодических траекторий в области переходов через сепаратрису оставался открытым. Он рассмотрен в параграфе 4.2 диссертации. Нарушение упомянутых выше дополнительных условий симметрии приводит к тому, что периодические траектории в области переходов через сепаратрису становятся неустойчивыми. В параграфе 4.4 диссертации доказыва-

ется, что в общем случае при достаточно малом значении е в области переходов через сепаратрису отсутствуют периодические траектории любого наперед заданного периода за исключением, может быть, проходящих аномально близко к седловой точке или к границе области.

В работе [37] было показано, что в задаче о динамике ионов в параболическом магнитном поле типа хвоста магнитосферы Земли многократные переходы через сепаратрису приводят к разрушению адиабатического инварианта и его диффузии. Представляет интерес применение к этой задаче полученных в главе 4 результатов об устойчивых периодических траекториях. Этому посвящен параграф 4.3 диссертации. Устойчивые периодические орбиты соответствуют в хвосте земной магнитосферы частицам, проходящим токовый слой без изменения инварианта. Такие частицы, при наличии квазистационарного электрического поля, связанного с эффектами обтекания магнитосферы солнечным ветром, формируют ускоренные пучки частиц — так называемые бимлеты [46]. Эти пучки регулярно обнаруживаются в хвосте земной магнитосферы и являются важным источником информации о структуре дальнего хвоста. Более того, токи, переносимые ионами без скачков адиабатического инварианта в токовом слое, во многом определяют свойства токового слоя на расстоянии одного - трех десятков радиусов Земли на ночной стороне магнитосферы и ответственны за интенсификацию различных плазменных неустойчивостей (см. обзор [47]).

В последней главе диссертации рассматриваются три модельные задачи атомной физики, при изучении которых оказываются эффективными методы анализа резонансных явлений.

Динамика сильно возбужденных (ридберговских) атомов в микроволновых полях является объектом многочисленных исследований в последние десятилетия. После экспериментов [48] и теоретической работы [49] стало понятно, что

определенные существенные свойства динамики ридберговских атомов водорода могут быть описаны в рамках классического подхода. В более поздних исследованиях методы классической механики дали неожиданно точные результаты в ряде задач о поведении атома водорода в слабых медленно изменяющихся полях (см. [50] и ссылки в этой работе). В работе [50] было показано, что эта точность связана с тем, что в пределе, когда внешнее поле можно рассматривать как малое возмущение, средние значения определенных квантовых величин подчиняются тем же уравнениям, что и соответствующие классические величины, усредненные по кеплеровскому движению.

Одним из основных применений классической механики в данной области являются задачи о хаотической ионизации атомов Ридберга. При достаточно большой амплитуде внешнего поля начинает выполняться чириковский критерий перекрытия резонансов, и фазовая точка, описывающая состояние системы, может диффундировать в фазовом пространстве, пока не произойдет ионизация атома. Этот механизм ионизации был подробно исследован для различных конфигураций и поляризаций внешних полей. Упомянем, в частности, ионизацию в линейно поляризованном микроволновом поле, в поле с круговой поляризацией, в эллиптически поляризованном поле, в поляризованной по кругу микроволне и фоновом магнитном поле (см. [51-53]).

Другой приложимой к этому кругу задач классической идеей является возможность контроля кеплеровского движения с использованием резонансного взаимодействия с волной малой амплитуды и медленно изменяющейся частоты. Такого рода задачи рассматривались в [54] для одномерной модели и в [55] для трехмерной модели. В частности, в последней работе изучался атом водорода в линейно поляризованном электрическом поле с медленной уменьшающейся частотой. Было показано, что при прохождении через резонанс 2:1 (т. е., когда

частота внешнего поля в два раза превышает кеплеровскую частоту) система с изначально нулевым эксцентриситетом электронной орбиты захватывается в резонанс. В захваченном состоянии кеплеровская частота движения электрона изменяется таким образом, чтобы приближенно поддерживалось выполнение резонансного условия. В ходе такой эволюции эксцентриситет орбиты растет, что может приводить к ионизации атома. В то же время рассматривались только начальные условия, для которых захват происходил с необходимостью, а область начальных значений, при которых захват представляет собой вероятностное явление, не рассматривалась. Это сделано в параграфе 5.1 диссертации, где в рамках гамильтоновского подхода подробно исследована эта задача и получены новые по сравнению с предшествующими работами результаты о захвате в резонанс.

Понятие адиабатической инвариантности играет важную роль в квантовой механике. Связь между медленными квантовыми переходами и изменением адиабатического инварианта линейного осциллятора изучалась в работе [56]. Задачи, связанные с динамикой бозе-эйнштейновских конденсатов (БЭК), приводят к необходимости рассматривать нелинейные системы. Во многих моделях среднего поля, относящихся к физике БЭК (таких, как нелинейные модели Ландау-Зенера, макроскопический квантовый самозахват и т.д.), обнаруживается существенная роль нелинейных эффектов, сходных с теми, что имеют место в классических нелинейных системах. Одним из таких эффектов является разрушение адиабатического инварианта при переходах через сепаратрису. Это явление играет существенную роль в физике БЭК, поскольку изменение классического действия в нелинейной двухуровневой модели связано с вероятностью перехода между двумя состояниями (модами). В параграфе 5.2 диссертации рассматривается нелинейная модель среднего поля, описывающая медленное прохожде-

ние через резонанс Фешбаха квантового газа фермионных атомов, связанного с БЭК двухатомных молекул (для краткости, будем называть такую систему конденсатом Бозе-Ферми). Система находится в медленно изменяющемся магнитном поле, и при величине этого поля, соответствующем резонансу Фешбаха, для сталкивающихся атомов становится энергетически выгодно объединяться в двухатомные молекулы. К этой задаче близки и рассматриваемые в последнее время нестационарные задачи динамики конденсатов Бозе-Ферми и связанных атомно-молекулярных БЭК. Приближение среднего поля для таких систем весьма плодотворно и не тривиально. Замечательно, что в приближении среднего поля многие задачи приводятся к классическим гамильтоновым системам. Мы рассматриваем модель [57] в случае ненулевого начального числа частиц в молекулярной фракции. Прохождению через резонанс Фешбаха соответствует переход через сепаратрису в модели среднего поля.

В последние годы значительный интерес исследователей привлекает тема транспортных явлений в нелинейных системах. В частности, большое и постоянно растущее число публикаций посвящено динамике систем, в которых возможно направленное (в среднем) движение под действием внешних сил с нулевым средним (это явление иногда называют "рэтчет", от английского "ratchet" - храповик). Активное исследование таких систем связано с их важностью для задач о движении броуновских частиц в пространственно периодических потенциалах, направленном транспорте молекулярных моторов в биологии, обнаружением явления рэтчета в квантовой физике (см. обзор [58] и приведенные в нем ссылки). Вообще говоря, явление рэтчета возникает благодаря недостаточной симметричности пространственно периодического потенциала или внешней силы. Представляют интерес микроскопические механизмы этого явления. Один из возможных подходов связан с пренебрежением диссипацией и шумом, что поз-

воляет прийти к гамильтоновой системе с детерминированным возмущением. Это делает возможным применение результатов и методов, развитых в теории гамильтонового хаоса [59]. В последние годы появилось большое число статей, в которых исследовались такие гамильтоновские рэтчеты. В частности, в [60] направленный поток оценивается в случае, когда в хаотической области фазового пространства имеются острова устойчивого движения. Границы таких островов могут быть "клейкими" (т.е. типичная хаотическая фазовая траектория может проводить в окрестности такого острова большое время, см. [61]) и эта "клейкость" вместе с несимметричностью островков оказывается ответственной за направленный транспорт. Важно отметить, что исследования проводились, в основном, методами компьютерного моделирования, и никаких аналитических формул для скорости транспорта получено не было. Такие формулы выводятся в параграфе 5.3 диссертации, где рассматривается задача о движении частицы в пространственно периодическом потенциале под влиянием медленно периодически изменяющейся внешней силы с нулевым временным средним. Как следует из результатов параграфа 4.4 диссертации, в рассматриваемом случае острова устойчивости в хаотической области отсутствуют, и, следовательно, механизм направленного транспорта отличается от рассмотренного в [60].

Цель работы. Цель работы - решение ряда задач о динамике заряженных частиц, в которых существенную роль играют резонансные явления, разработка единого подхода к таким задачам, развитие общей теории резонансных явлений в части, касающейся переходов через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями, и приложение полученных результатов к задачам о динамике заряженных частиц в магнитосферном хвосте.

Методы исследований. Применялись аналитические методы исследова-

ния: математического анализа, усреднения, адиабатической теории возмущений, теории KAM (Колмогорова-Арнольда-Мозера), - а также сравнение полученных аналитически результатов с результатами численного моделирования.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут быть применены при исследовании динамики заряженных частиц в магнитосфере, при изучении вопросов, связанных с генерацией высокоэнергетичных частиц в астрофизике и межпланетной среде. Материалы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности теоретическая физика.

Научная новизна. В диссертации представлены следующие новые результаты. (Перечисляются только результаты, опубликованные в изданиях из списка ВАК).

1. Проведено полное рассмотрение задачи о резонансном взаимодействии релятивистской заряженной частицы с плоской электростатической волной в слабом однородном магнитном поле. Показана возможность захвата частиц в режим серфотронного ускорения. Описаны области фазового пространства, в которых возможен захват частицы в режим неограниченного серфотронного ускорения. Получены формулы для вероятности захвата и для скачка адиабатического инварианта при рассеянии на резонансе.

2. В задаче о динамике релятивистской заряженной частицы в однородном слабом магнитном поле и поле плоской электромагнитной волны, распространяющейся перпендикулярно этому полю, исследован механизм захвата в режим серфотронного ускорения. Показано, что однажды захваченная частица не может выйти из резонанса, и ее энергия растет неограничен-

но. Получены формулы, описывающие движение захваченной частицы. Исследовано рассеяние на резонансе и обнаружено, что, в отличие от случая электростатической волны, это рассеяние приводит к диффузионному росту энергии частицы.

3. В задаче о движении заряженной частицы в слабом однородном магнитном поле под действием плоской электромагнитной волны, распространяющейся под углом к магнитному полю, показано, что захват частицы в резонанс приводит к существенному серфотронному ускорению частицы, и оценено увеличение энергии частицы, связанное с этим ускорением. Показано, что захват в режим неограниченного ускорения в этом случае невозможен и что после выхода из резонанса вся полученная энергия оказывается аккумулированной в продольной (параллельной магнитному полю) компоненте скорости частицы.

4. В задачах о резонансном взаимодействии замагниченного электрона с электростатической или электромагнитной волной в магнитном поле с параболическими силовыми линиями исследовано влияние резонанса между волной и усредненным по ларморовскому вращению движением электрона. Получены формулы для скачка продольного адиабатического инварианта при рассеянии на резонансе. Найдены области, в которых возможен захват в резонанс, получены формулы для вероятности захвата. Показано, что захват в резонанс может приводить к существенному изменению продольного адиабатического инварианта и уходу частицы вдоль силовой линии магнитного поля.

5. Получена формула, связывающая значения фазы при последовательных переходах через сепаратрису в гамильтоновой системе с быстрыми и медлен-

ными переменными.

6. Доказано наличие большого (порядка е-1) количества устойчивых периодических траекторий в области переходов через сепаратрису в гамильтоно-вой системе с быстрыми и медленными переменными при наличии дополнительных условий симметрии. Получены асимптотические формулы для числа таких траекторий. Оценена суммарная мера областей устойчивости, окружающих эти траектории, она оказывается величиной порядка единицы. Полученные результаты применены к задаче о динамике ионов в магнитном поле типа поля хвоста магнитосферы Земли.

7. Доказано, что в области переходов через сепаратрису в гамильтоновой системе с быстрыми и медленными переменными при отсутствии дополнительной симметрии при достаточно малом е отсутствуют устойчивые периодические траектории любого наперед заданного периода.

8. В задаче о захвате в резонанс в классическом атоме водорода найдена область, где захват происходит с необходимостью, и область, где захват возможен с некоторой вероятностью. Получена формула для этой вероятности. Показано, что захват не сопровождается выходом из резонанса и приводит к росту эксцентриситета орбиты электрона.

9. Исследована математическая модель прохождения системы атомов-фермионов и двухатомных бозе-молекул через резонанс Фешбаха. Получена формула для скачка адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису, величина которого соответствует остаточной доле ферми-атомов, не ассоциированных в молекулы.

10. В задаче о направленном транспорте в стохастическом слое системы, опи-

сывающей движение в пространственно-периодическом потенциале под действием медленно-периодической силы с нулевым средним, получена формула для средней скорости этого транспорта на больших интервалах времени.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: международной конференции "Mode conversion, coherent structures and turbulence" (ИКИ РАН, Москва, 2004); международном конгрессе по динамическим системам "Caries Simo Fest" (Сагаро, Испания, 2006); международной конференции "Chaos, Complexity and Transport: Theory and Applications" (Марсель, Франция, 2007 и 2011); международной конференции "Analysis and singularises" (Москва, 2007); б-й международной конференции EUROMECH по нелинейной динамике (ENOC-2008, Санкт-Петербург, 2008); международной конференции по устойчивости и неустойчивости в механических системах (Барселона, Испания, 2008); международном семинаре "Hamiltonian Approaches of ITER Physics" (Марсель, Франция, 2009); конференциях "Физика плазмы в солнечной системе" (ИКИ РАН, Москва, 2010, 2011, 2012); конференции "Асимптотические методы и математическая физика"(АММР-2010) (ИПМ РАН, Москва, 2010); научных семинарах Центра теоретической физики (СРТ) (Марсель, Франция, 2007, 2008, 2009); научных семинарах по прикладной математике математического факультета Стэнфордского университета (Стэнфорд, США, 2010, 2012) и др.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 23 работы, в том числе 13 работ - в журналах и других изданиях, входящих в список ВАК, и 10 работ в прочих изданиях.

Личный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором либо самостоятельно, либо при непосредственном и активном

участии. Из публикаций в соавторстве вошли только результаты, полученные при определяющем творческом участии автора на всех этапах работы. В список положений, выносимых на защиту, включены результаты и выводы, в которых вклад соискателя был основным или, по крайней мере, равным вкладу соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 365 страницах и состоит из 5 глав, включая введение, разбитых на 19 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 293 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Введение

Эта глава не содержит собственных результатов автора и носит вводный характер. Приведем содержание этой главы по параграфам.

Параграф 1.1 "Актуальность темы" посвящен обоснованию актуальности темы диссертации. Он содержит краткое историческое введение в круг вопросов, рассмотрению которых посвящена работа, и обзор литературы, упорядоченный в соответствии с тематикой глав работы. В нем приводится краткое описание задач, рассматриваемых в работе, и их связи с проводившимися ранее исследованиями.

Параграф 1.2 "Резонансные явления в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями" содержит описание общей теории явлений рассеяния на резонансе и захвата в резонанс [29, 30]. В изложении мы следуем работе [4]. Описываемый здесь метод исследования прохождения через резонанс в га-мильтоновой системе с двумя масштабами движений - быстрым и медленным -последовательно применяется в работе.

Параграф 1.3 "Основные результаты диссертации". (Список приведен выше, под заголовком "научная новизна".)

Глава 2. Серфотронное ускорение заряженных частиц

В параграфе 2.1 рассматривается задача о резонансном взаимодействии релятивистской заряженной частицы с плоской высокочастотной электростатической волной в слабом однородном магнитном поле. Используется и развивается общая схема анализа резонансных явлений, изложенная в параграфе 1.3. Малый параметр задачи е = еФо/тс2, где Фо - амплитуда потенциала волны, представляет собой отношение типичной потенциальной энергии частицы в поле волны к ее характерной энергии покоя. В ходе ларморовского вращения частица многократно проходит через резонанс с волной. В резонансе проекция скорости частицы на направление волнового вектора равна фазовой скорости волны. Быстрой переменной является фаза волны в точке, где в данный момент времени находится частица. В резонансе скорость изменения этой фазы обращается в нуль. Точки, в которых имеет место резонанс, образуют в пространстве медленных переменных резонансную поверхность. Усреднение по фазе волны адекватно описывает динамику частицы вдали от резонанса. Переменная, канонически сопряженная фазе, является интегралом усредненной системы (адиабатическим инвариантом). Траектория частицы в усредненной системе (так называемая адиабатическая траектория) является пересечением изоэнергетической поверхности и поверхности уровня адиабатического инварианта.

В окрестности резонансной поверхности можно воспользоваться разложением гамильтониана по отклонению переменной "действие" от ее значения в резонансе. При этом задача сводится к исследованию маятникоподобной системы (типа маятника под действием внешнего крутящего момента). Параметры этого маятника зависят от медленных переменных полной системы. Эта медленная зависимость от времени делает возможным переход фазовой точки из области враще-

ний маятника в область колебаний, что соответствует захвату в резонанс. Захват приводит к тому, что частица оставляет окрестность адиабатической траектории и продолжает движение вдоль резонансной кривой (пересечения изоэнергетиче-ской и резонансной поверхностей). Это приводит к сильному (порядка единицы) изменению адиабатического инварианта. Если выполнено условие

Псл/со2 - (/сс)2зт2а озу/(кс)2 - со2

где = сос/е, сос - ларморовская частота в фоновом однородном магнитном поле; со, к - частота и волновое число волны; а - угол между волновым вектором и нормалью к фоновому магнитному полю, захват в резонанс приводит к неограниченному серфотронному ускорению частицы. При невыполнении этого условия неограниченное ускорение невозможно.

Площадь колебательной области маятникоподобной системы представляет собой функцию точки на резонансной поверхности. Захваты в резонанс и выходы из резонанса контролируются взаимным расположением линий уровня этой функции и резонансных кривых. Проведено исследование возможных вариантов этого расположения, что дает полное описание возможных захватов и поведения захваченных частиц.

В разделе оценивается вероятность захвата в рассматриваемой задаче. Кроме того, исследовано рассеяние на резонансе в случае, если частица проходит его без захвата. При рассеянии значение адиабатического инварианта испытывает малый квазислучайный скачок. Показано, что накопление этих скачков при многократных прохождениях через резонанс приводит к разрушению адиабатической инвариантности и стохастизации движения в большой области фазового пространства.

В параграфе 2.2 метод, развитый в предыдущем параграфе, применяется к случаю, когда вместо гармонической волны имеется уединенная волна с профилем электростатического потенциала, близким к наблюдаемым на ударных волнах. Получено условие возможности захвата в режим неограниченного ускорения, аналогичное полученному в параграфе 2.1.

В параграфе 2.3 рассматривается динамика релятивистской заряженной частицы в однородном магнитном поле и поле плоской электромагнитной волны, распространяющейся перпендикулярно этому полю. При определенных дополнительных условиях возможен резонанс между движением частицы и волной. Захват в этот резонанс приводит к ускорению частицы в направлении, параллельном фронту волны (серфотронному ускорению). Исследован механизм захвата и показано, что однажды захваченная частица не может выйти из резонанса, и ее энергия растет неограниченно. Получены уравнения, описывающие движение захваченной частицы и изменение ее энергии. В частности, энергия захваченной частицы растет в среднем линейно со временем, что подтверждается численным анализом (рис. 1). Также исследовано рассеяние на резонансе. Обнаружено, что это рассеяние, в отличие от случая электростатической волны, приводит к диффузионному росту энергии частицы. Получена формула для средней скорости роста, хорошо подтверждающаяся численно.

В параграфе 2.4 рассматривается задача о движении заряженной частицы в однородном магнитном поле под действием плоской электромагнитной волны, распространяющейся под углом к магнитному полю. Однородное магнитное поле предполагается достаточно малым, таким, что произведение волнового числа на величину ларморовского радиуса в однородном поле является большой величиной. В ходе ларморовского вращения частица многократно проходит через

о

о

400

800 , 1200

1600

Рис. 1. Энергия частицы (деленная на тс2) как функция времени. На врезке показан короткий интервал времени до захвата.

резонанс с волной. В резонансе проекция скорости частицы на направление волнового вектора равна фазовой скорости волны. В разделе показано, что захват частицы в этот резонанс приводит к существенному серфотронному ускорению частицы, и оценено увеличение энергии частицы, связанное с этим ускорением. Показано также, что после выхода из резонанса вся полученная энергия АЕ оказывается аккумулированной в продольной (параллельной однородному магнитному полю) компоненте скорости частицы. Для АЕ получена формула (в безразмерных единицах):

где со и кз - частота волны и продольная компонента волнового вектора; ' -значение продольной компоненты импульса частицы перед захватом. Формула хорошо согласуется с результатами численного эксперимента (рис. 2).

Глава 3. Динамика электрона в параболическом магнитном поле типа хвоста магнитосферы Земли

В главе рассматривается динамика полностью замагниченного электрона в па-

10000

1000

|| о моделирование I .....теория ~(а/к3)г\

И

^ 100

0

0

10

10 со/к.

80

Рис. 2. Увеличение энергии АЕ как функция со/к3 в двойном логарифмическом масштабе. Пунктиром показана теоретическая прямая.

раболическом магнитном поле типа поля хвоста магнитосферы Земли. При этом последовательно применяется гамильтонов метод анализа динамики, позволяющий строго привести систему к виду, в котором разделяются движения с разными масштабами скоростей. Исследуется резонансное взаимодействие замагниченно-го электрона в таком магнитном поле как с плоской электростатической, так и с плоской электромагнитной волной. Показано, что резонансные явления в этой задаче могут приводить к разрушению второго (продольного) адиабатического инварианта движения.

В параграфе 3.1 выводятся основные уравнения движения в невозмущенной системе (в отсутствие волны) в переменных, удобных для дальнейшего исследования. При этом используется следующий подход: система записывается в гамильтоновой форме, причем исходно наличие магнитного поля включено в симплектическую структуру, а гамильтониан имеет простейший вид. Малым параметром задачи является отношение характерного ларморовского радиуса электрона к характерному размеру области обращения магнитного поля. Затем выполняется последовательность замен переменных, которые изменяют вид гамильтониана и приводят симплектическую структуру к канонической форме, стандартной для применения методов теории возмущений. В частности, удается

явно выделить три характерных временных масштаба движения: ларморовское вращение, баунс-колебания вдоль линий магнитного поля и поперечный дрейф.

В параграфе 3.2 рассматривается резонансное взаимодействие замагничен-ного электрона с плоской электростатической волной, распространяющейся под углом к магнитному полю. При этом предполагается, что имеет место следующая иерархия частот: самой большой является частота ларморовского вращения СОо, частота волны СО много меньше, чем 0>о. и баунс- частота движения вдоль магнитных силовых линий много меньше, чем (О. В усредненной по ларморов-скому движению системе возможен резонанс черенковского типа между усредненной скоростью движения электрона и волной. В резонансе проекция скорости электрона, усредненной по ларморовскому вращению, на направление волнового вектора равна фазовой скорости волны. В процессе баунс-движения система периодически проходит через резонанс. При этом происходит рассеяние на резонансе и (при дополнительных условиях) возможен захват в резонанс. Эти явления приводят к разрушению второго (продольного) адиабатического инварианта движения, причем захваченный электрон может уходить вдоль магнитной силовой линии за пределы области отражения. Получены формулы для вероятности захвата в резонанс. Исследована структура фазового пространства, выделены области, где возможен этот захват и где он оказывается постоянным (без последующего выхода из резонанса).

В параграфе 3.3 рассматривается случай монохроматической электромагнитной волны. Аналогично тому, как это проделано в параграфе 3.2, проведено исследование рассеяния на резонансе и захвата в резонанс. Оценена вероятность захвата в резонанс, получена формула для скачка адиабатического инварианта при рассеянии на резонансе. Исследована структура фазового пространства,

выделены области, где возможен захват в резонанс. В отличие от случая электростатической волны, постоянный захват в резонанс оказывается невозможным. Исследованы свойства динамики на больших временах, обусловленные рассеяниями на резонансе и многократными захватами в резонанс.

Глава 4. Устойчивые периодические траектории в области переходов через сепаратрису и динамика ионов в магнитном поле с параболическими силовыми линиями

Глава посвящена исследованию вопроса о наличии устойчивых периодических траекторий и окружающих их островков устойчивости в области переходов через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями.

В параграфе 4.1 решается вспомогательная, но представляющая самостоятельный интерес, задача об изменении фазы между двумя переходами через сепаратрису. Рассматривается гамильтонова система с быстрым и медленным масштабами движений. Одна степень свободы соответствует быстрому движению, а другая - медленному. Предполагается, что при замороженном значении медленных переменных на фазовой плоскости быстрых переменных имеется невырожденная седловая точка и сепаратриса. В ходе изменения медленных переменных проекция траектории на фазовую плоскость быстрых переменных может многократно пересекать сепаратрису. Каждое пересечение описывается некоторой величиной - так называемой псевдофазой. Псевдофаза характеризует место на сепаратрисе, в котором происходит пересечение. Получена асимптотическая формула, дающая зависимость псевдофазы от начальных условий, и вычислено изменение псевдофазы между двумя последовательными переходами через сепаратрису. Произведена оценка погрешности в этих формулах. Полученная общая формула используется в параграфе 4.2 при выводе основных результатов главы.

В параграфе 4.2 рассматривается гамильтонова система с гамильтонианом вида

Я = Н(р, q, у, х) = ±д(х)у2 + |р(х)р2 + U(q, х).

Парами канонически сопряженных переменных являются (р, q) и (у, в_1х), где е-малый параметр. Таким образом, переменные р, q - быстрые, а у, х- медленные. Предполагается, что потенциал U имеет единственный локальный максимум в точке q = qs{x) (индекс "s" означает "седло") и что U - симметричная функция переменной q относительно точки qs(x), имеющая два минимума, при всех рассматриваемых значениях переменной х. На фазовом портрете быстрой системы (системы для p,q при замороженных значениях переменных у,х) имеется сепаратриса с двумя симметричными петлями. В быстрой системе можно ввести переменные действие - угол. Действие I сохраняется в быстрой системе и является адиабатическим инвариантом точной системы. Если в адиабатическом приближении (I = const) на уровне энергии Я = /i0 на фазовой плоскости медленных переменных имеется область, заполненная замкнутыми траекториями, то в ходе эволюции площадь, ограниченная петлями сепаратрисы на фазовой плоскости (р, q), медленно меняется, попеременно увеличиваясь и уменьшаясь, и фазовые траектории могут многократно пересекать сепаратрису. При каждом пересечении сепаратрисы адиабатический инвариант испытывает квазислучайный скачок, что приводит кхаотизации динамики в области переходов через сепаратрису. В разделе доказывается, что при выполнении некоторых условий общности положения в области переходов через сепаратрису на уровне энергии Я = ho имеется порядка е-1 устойчивых периодических траекторий. Каждая такая траектория окружена инвариантным тором, ограничивающим область (трехмерную) с фа-

зовым объемом порядка е. Отсюда, в частности, следует, что суммарная мера областей регулярного движения не зависит от £. Для доказательства на основе формулы, полученной в параграфе 4.1, и результатов работы [28] строится отображение последования, связывающее значения адиабатического инварианта и псевдофазы при последовательных переходах через сепаратрису, и исследуются его неподвижные точки. Получены асимптотические формулы для числа устойчивых периодических траекторий.

В параграфе 4.3 результаты, полученные в разделе 4.2, применяются для исследования динамики иона в параболическом магнитном поле типа хвоста магнитосферы Земли. В безразмерных переменных гамильтониан задачи имеет вид

Парами канонически сопряженных переменных являются (у, е-1 х) (медленные) и (р, д) (быстрые). Малый параметр £ представляет собой отношение характерного радиуса кривизны магнитной силовой линии к ларморовскому радиусу иона. Значение д = О соответствует экваториальной плоскости. Фазовый портрет быстрой системы, в зависимости от знака х, может иметь один из двух видов, показанных на рис. 3. При изменении х площадь, ограниченная сепаратрисой, меняется, и фазовые траектории могут многократно переходить через нее. Численный анализ демонстрирует наличие устойчивых периодических траекторий, окруженных областями устойчивости (рис. 4).

Количество устойчивых периодических траекторий, найденное с помощью формул, полученных в параграфе 4.2, с хорошей точностью согласуется с количеством, полученным численно (табл. 1). В соответствии с теоретическим предсказанием, общее число периодических траекторий и число устойчивых пе-

Ос? О Я

Рис. 3. Типичный вид фазового портрета быстрой системы при х > 0 (слева) и х < 0 (справа).

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1,404 1.405 1.409 1.407

Рис. 4. Острова устойчивости в области переходов через сепаратрису (слева) и увеличение самого правого из островов (справа). На первом рисунке по осям отложены значения (д,р), на втором - ^ + 0.395р2,р).

риодических траекторий ведут себя как е-1.

В параграфе 4.4 рассматривается гамильтонова система с гамильтонианом того же вида, что и в параграфе 4.2, но без наложения дополнительных условий симметрии. Предполагается, что потенциал V является функцией д с двумя минимумами при всех рассматриваемых значениях х. Потенциал и имеет локальный максимум в точке ц = д3(х). В ходе эволюции системы величина х изменяется, в результате чего изменяются площади, ограниченные петлями сепаратрисы. В фазовом пространстве имеется область, заполненная траекториями, проекции которых на плоскость быстрых переменных р, д многократно

е период, траектории устойчивые период, траектории Кт/ъ

0,00025 24235 370 396

0,001 6351 94 99

0,0025 2662 38 40

0,01 632 11 10

0,04 144 4 3

Таблица 1. Количество периодических траекторий. - теоретически полученное число

устойчивых периодических траекторий).

пересекают сепаратрису (область переходов через сепаратрису). В параграфе 4.4 доказывается, что для любого наперед заданного периода найдется достаточно малое значение параметра £ такое, что рассматриваемая система не имеет устойчивых периодических решений этого и меньших периодов в области переходов через сепаратрису, за исключением, может быть, траекторий, проходящих аномально близко к краям области или к седловой точке. Для доказательства, аналогично тому как это делалось в параграфе 4.2, рассматривается отображение последования, описывающее динамику в области переходов через сепаратрису, и исследуется устойчивость его неподвижных точек.

Глава 5. Резонансные явления в некоторых задачах атомной физики

В этой главе рассматриваются три модельные задачи атомной физики, при изучении которых оказываются эффективными методы анализа резонансных явлений.

В параграфе 5.1 рассматривается трехмерная классическая модель атома водорода в линейно поляризованном электрическом поле с медленно (с характерной скоростью порядка е) меняющейся частотой. Исследовано поведение системы вблизи резонанса 2:1 (частота электрического поля равна удвоенной частоте кеплеровского вращения электрона по орбите). После ряда замен переменных

гамильтониан задачи приводится к стандартному виду

= (х2 + у2)2 - Цх2 + у2) + Дх,

где х и у - канонически сопряженные переменные; Д > 0 - постоянный параметр; Х - медленная функция времени, е. Захвату в резонанс соответствует переход через сепаратрису на фазовой плоскости (х,у)\ эксцентриситету орбиты электрона в исходной задаче - расстояние до начала координат на этой плоскости.

Показано, что захват в резонанс с необходимостью происходит не только в случае нулевого начального эксцентриситета орбиты электрона, но и при достаточно малых его начальных значениях; при этом описывается соответствующая область начальных условий в фазовом пространстве системы. Кроме того, при больших начальных значениях эксцентриситета захват тоже возможен. В соответствии с общим подходом, в этом последнем случае захват может рассматриваться как вероятностное явление. Его вероятность определена и вычислена. Полученные аналитически результаты хорошо согласуются с численными, (табл. 2). Полученные результаты могут быть использованы для расширения возможностей методов резонансного контроля для атомов Ридберга.

Хо Уо V г пит

0,255 0,105 0,14 0,146

0,225 0,115 0,12 0,130

0,275 0,085 0,10 0,120

0,295 0,115 0,09 0,101

0,305 0,125 0,11 0,096

Таблица 2. Сравнение численно полученных значений вероятности захвата Тпит с теоретическим значением Т3^- Для численного определения вероятности захвата для каждой пары хц, уо рассматривались 100 начальных условий, равномерно распределенных в квадрате со стороной 100е х 100е и центром в хо, уо-

В параграфе 5.2 рассматривается классический гамильтониан

Я = 8(t)w + (1 - w)Vl + wcostj),

зависящий от медленно меняющегося параметра 5: 8 = 5(eí), 0 < е < 1. Данная модель возникает как приближение среднего поля в двухмодовой модели взаимодействующих атомного и молекулярного (двухатомных молекул) бозе-эйнштейновских конденсатов и в подходах среднего поля к связанным вырожденному газу ферми-атомов и молекулярному бозе-эйнштейновскому конденсату в медленно изменяющемся магнитном поле [57]. В последнем случае прохождение через резонанс Фешбаха может быть смоделировано медленным монотонным изменением параметра 5, причем собственно резонансу Фешбаха соответствует переход фазовой траектории через сепаратрису. Предполагается, что вдали от резонанса большинство атомов находится одноатомном состоянии. Тогда после прохождения через резонанс большинство атомов окажутся ассоциироваными в двухатомные молекулы. При этом скачок классического действия при переходе через сепаратрису описывает долю атомов, не объединившихся в двухатомные молекулы после прохождения через резонанс. Целью раздела является получение формулы для этого скачка. Для этого строятся фазовые портреты системы при различных замороженных значениях параметра 5. При выводе формулы для скачка адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису используется метод работы [42]. Заметим, что специфическая геометрия фазового портрета не позволяет применить результат этой работы непосредственно. Полученная формула для скачка адиабатического инварианта 3 имеет вид

4е§'

AJ =--- ln(2sinjc^).

Здесь 5', - значение производной функции 5(ei) по ее аргументу, вычисленное в момент перехода через сепаратрису в адиабатическом приближении; \ - псевдофаза, равномерно распределенная на интервале (0,1). Полученная формула хорошо согласуется с численными результатами.

В параграфе 5.3 рассматривается задача о движении частицы в пространственно-периодическом потенциале U{q) = со§cosg, где q - координата и СОо = const, под влиянием внешней силы с нулевым временным средним (заметим, что основные свойства динамики и результаты остаются справедливыми для произвольного периодического, не обязательно гармонического, потенциала). Уравнения движения при этом совпадают с уравнениями нелинейного маятника под действием внешнего крутящего момента с нулевым временным средним. Рассматривается случай, когда внешняя сила является периодической функцией времени с большим периодом порядка е-1, где 0 < £ ^ 1 - малый параметр задачи, и использются результаты и методы адиабатической теории возмущений. Если параметр £ достаточно мал, в области хаотической динамики отсутствуют острова устойчивости (см. параграф 4.4 диссертации). Следовательно, механизм направленного транспорта в данном случае отличен от обсуждавшегося в [60].

Главная цель параграфа 5.3 состоит в получении формулы для средней скорости Vq — (q) частицы на очень больших интервалах времени. Рассматриваются два случая: внешней силы с амплитудой порядка £ и порядка 1. Показано, что в последнем случае хаос развивается в результате многократных прохождений через резонанс. При каждом прохождении происходит малый квазислучайный скачок адиабатического инварианта системы. Эти скачки приводят к эффективному перемешиванию и однородному распределению значений адиабатического инварианта (действия) вдоль длинной фазовой траектории в области хаотиче-

ской динамики. С другой стороны, направление движения и скорость частицы зависят от мгновенного значения действия. Таким образом, чтобы найти среднюю скорость на интервале времени, большем, чем время перемешивания, следует найти скорость при заданном значении действия и усреднить полученное выражение по интервалу значений действия, соответствующему хаотической области. В случае малой амплитуды внешней силы имеет место сходная ситуация. В этом случае типичная фазовая траектория многократно пересекает сепаратрису на фазовом портрете. При каждом пересечении адиабатический инвариант испытывает квазислучайное изменение (см. [40-42]). Эти скачки приводят к хаотиза-ции движения в области переходов через сепаратрису. В обоих случаях показано, что для внешней силы общего вида (т. е. с нулевым средним, но несимметричной), в хаотической области имеет место направленный транспорт, и получены формулы для средней скорости этого транспорта. В обоих случаях ширина хаотической области велика: если амплитуда внешней силы имеет порядок 1, эта ширина имеет порядок в-1, а если эта амплитуда мала, то ширина хаотической области имеет порядок 1. Это приводит к тому, что полный фазовый поток, обусловленный направленным транспортом, также велик. Полученные формулы для средней скорости транспорта хорошо согласуются с численными результатами.

В Заключении диссертации кратко приводятся основные общие выводы работы. В работе был рассмотрен ряд задач, в которых определяющее влияние на динамику заряженных частиц оказывает их резонансное взаимодействие с внешним полем. Прохождение через резонанс приводит к разрушению адиабатических инвариантов движения, что может по-разному проявляться в динамике частицы. Так, захват в резонанс может приводить к серфотронному ускорению вдоль фронта волны (глава 2), разрушению продольного адиабатического инварианта

и уходу частицы вдоль силовых линий неоднородного магнитного поля (глава 3), росту эксцентриситета орбиты электрона в атоме Ридберга (параграф 5.1). При этом захват может быть как неограниченно длительным (что приводит, как правило, к выходу за пределы применимости рассматриваемой модели), так и сопровождаться выходом из резонанса, в результате чего частица возвращается к режиму, при котором адиабатический инвариант сохраняется, но его значение уже существенно отличается от первоначального. Следует заметить, что захват в резонанс носит вероятностный характер, и вероятность его мала. В то же время, если захват произошел, то момент выхода из резонанса однозначно определяется параметрами системы в момент захвата. При прохождении частицы через резонанс без захвата происходит так называемое рассеяние на резонансе, т. е. малое квазислучайное изменение значения адиабатического инварианта. Это явление в случае многократных прохождений через резонанс может проявляться в диффузии адиабатического инварианта, хаотизации динамики и диффузионном росте энергии частицы (глава 2, глава 3, параграф 5.3). Особым случаем прохождения через резонанс является переход через сепаратрису, к задаче о котором сводится, в частности, задача о движении иона в параболическом магнитном поле (глава 4). Как известно, при переходе через сепаратрису значение адиабатического инварианта испытывает малый квазислучайный скачок (глава 4, параграф 5.2). Многократные переходы через сепаратрису могут приводить к хаотизации движения (параграф 5.3). В то же время, как показано в главе 4, в области переходов через сепаратрису наряду с хаотическими движениями существуют малые области регулярной динамики. Этим областям могут соответствовать пучки заряженных частиц, наблюдаемые в хвосте магнитосферы Земли. Методы анализа резонансных явлений, использованные и развитые в настоящей работе, в значительной степени универсальны. Они эффективно применялись не только

при исследовании движения заряженных частиц, но и в задачах гидродинамики,

небесной механики, в теории биллиардов и задачах о распространении лучей в

волноводах, в теории систем с ударами.

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации в изданиях из перечня ВАК (1 - 13)

1. Itin А. P., Neishtadt A. I., Vasiliev A. A. Captures into resonance and scattering on resonance in dynamics of a charged relativistic particle in magnetic field and electrostatic wave// Physica D. 2000. V. 141. P. 281-296.

2. Neishtadt A. I., Vasiliev A, A. Phase change between separatrix crossings in slow-fast Hamiltonian systems // Nonlinearity. 2005. V. 18. P. 1393—1406.

3. Neishtadt A., Vasiliev A. Capture into resonance in dynamics of a classical hydrogen atom in an oscillating electric field // Physical Review E. 2005. V. 71. 056623.

4. Neishtadt A.I., Vasiliev A. A. Destruction of adiabatic invariance at resonances in slow-fast hamiltonian systems // Nuclear Instruments & Methods in Physics Research A. 2006. V. 561. P. 158-165.

5. Neishtadt A. I., Vasiliev A. A. On the absence of stable periodic orbits in domains of separatrix crossings in non-symmetric slow-fast Hamiltonian systems // Chaos. 2007. V. 17. 043104.

6. Itin А.P., Vasiliev A. A., Krishna G., Watanabe S. Change in the adiabatic invariant in a nonlinear two-mode model of Feschbach resonance passage // Physica D. 2007. V. 232. P. 108-115.

7. Васильев А. А., Нейштадт А. И., Симо К., Трещев Д. В. Острова устойчивости в области переходов через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями // Труды Математического института им. В.А.Стеклова РАН. 2007. Т. 259. С. 243-255.

8. Neishtadt A. I., Simo С., Treschev D. V., Vasiliev A. A. Periodic orbits and stability islands in chaotic seas created by separatrix crossings in slow-fast systems // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2008. V. 10. P. 621650.

9. Вайнштейн Д. Л., Васильев А. А., Нейштадт А. И., Динамика электронов в параболическом магнитном поле в присутствии электростатической волны // Физика плазмы. 2009. Т. 35. С. 1102-1113.

10. Leoncini X., Neishtadt A., Vasiliev A. Directed transport in a spatially periodic harmonic potential under periodic nonbiased forcing // Phys. Rev. E. 2009. V. 79. 026213.

11. Neishtadt A., Vainshtein- D., Vasiliev A. Dynamics of electrons in a parabolic magnetic field perturbed by an electromagnetic wave // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2011. V. 53. 085014.

12. Vasiliev A., Neishtadt A., Artemyev A. Resonant particle acceleration in an oblique electromagnetic wave // Physics Letters A. 2011. V. 375. P. 3075-3079.

13. Neishtadt A., Vasiliev A., Artemyev A. Resonance-induced surfatron acceleration of a relativistic particle // Moscow Mathematical Journal. 2011. V. 11. P. 531-545.

Другие публикации автора по теме диссертации (14 - 17)

14. Neishtadt A. I., Vasiliev A. A. Capture into resonance in dynamics of a classical hydrogen atom, Proceedings of International Conference "Mode conversion, coherent structures and turbulence", Moscow, 2004. M.: УРСС, 2004. P. 8086.

15. Vasiliev A. A. Shock wave surfing acceleration // In: Advances in Plasma Physics Research. V. 5 / Eds.: F. Gerard, Nova Science Publishers. 2007. P.129-134.

16. Neishtadt A. I., Simó С., Treschev D. V., Vasiliev A. A. Stability islands in domains of separatrix crossings in slow-fast Hamiltonian systems // International conference "Analysis and singularities" dedicated to the 70th anniversary of V. I. Arnold, Abstracts, Steklov Mathematical Institute, Moscow, 2007. P. 174-175.

17. Itin A., Vasiliev A. Change in the adiabatic invariant at a separatrix crossing in a nonlinear model of Feshbach resonance // Proceedings of Sixth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference, Final program and abstracts. ENOC-2008, St.Petersburg, 30.07.2008-04.08.2008.

Материалы по диссертации, размещенные в Интернете (18 - 23)

18. Vasiliev A. A. Shock wave surfing acceleration, http://arxiv.org/abs/physics/0204018, 2002.

19. Neishtadt A., Vasiliev A. A. Capture into resonance in dynamics of a classical hydrogen atom in an oscillating electric field, http://arxiv.org/abs/physics/0401009, 2004.

20. Neishtadt A. I., Vasiliev A. A. Destruction of adiabatic invariance at resonances in slow-fast Hamiltonian systems, http://arxiv.org/3bs/nlin/0511050, 2005.

21. Neishtadt A., Simo C., Treschev D., Vasiliev A. A. Stability islands in domains of separatrix crossings in slow-fast Hamiltonian systems, http://arxiv.org/abs/math/0611468, 2006.

22. Leoncini X., Neishtadt A., Vasiliev A. A. Directed transport in a spatially periodic potential under periodic non-biased forcing, http://arxiv.org/abs/0807.4849, 2008.

23. A. I. Neishtadt A. I., Vasiliev A. A., Artemyev A. V. Surfatron acceleration of a relativistic particle by electromagnetic plane wave, http://arxiv.org/abs/1011.2236, 2010.

Публикации других авторов (24 - 61)

24. Trakhtengerts V. Y., Rycroft M. J. Whistler and Alfvin Mode Cyclotron Masers in Space, ISBN 978-0-521-87198-3 // Published by Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2008.

25. Тимофеев А. В. Резонансные явления в колебаниях плазмы. М.: Физматлит, 2009.

26. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Издательство Удмуртского государственного университета, 1995.

27. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Изд. 2-е. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 416 с.

28. Нейштадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в системах с двумя степенями свободы // Прикл. мат. и мех. 1987. Т.51. С.750-757.

29. Neishtadt A. I. On Adiabatic Invariance in Two-Frequency Systems // In: "Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom" / Ed. C. Simo, NATO ASI Series, Series С, V. 533, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London. 1999. P. 193-213.

30. Нейштадт А. И. Захват в резонанс и рассеяние на резонансах в двухчастот-ных системах // Труды Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 2005. Т. 250. С. 198.

31. Katsouleas Т., Dawson J. М. Unlimited electron acceleration in laser-driven plasma waves // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 392.

32. Treumann R. A. Fundamentals of collisionless shocks for astrophysical application, 1. Non-relativistic shocks // The Astronomy and Astrophysics Review. 2009. V. 17. P. 409-535.

33. Ерохин H.C., Моисеев С.С., Сагдеев Р.З. Релятивистский серфинг в неоднородной плазме и генерация космических лучей // Письма в Астрономический журнал. 1989. Т. 15. С. 3.

34. Hoshino М., Shimada N. Nonthermal Electrons at High Mach Number Shocks: Electron Shock Surfing Acceleration // Astrophys. J. 2002. V. 572. P. 880-887.

35. Karpman V. I., Istomin J. N., Shklyar D. R. Nonlinear theory of a quasi-monochromatic whistler mode packet in inhomogeneous plasma // Plasma Physics. 1974. V. 16. P. 685-703.

36. Истомин Я. H., Карпман В. И., Шкляр Д. Р. Эффекты увлечения при резонансном взаимодействии частиц с ленгмюровской волной в неоднородной плазме // ЖЭТФ. 1975. Т. 69. С. 909-920.

37. Büchner J., Zelenyi L.M. Regular and chaotic charged particle motion in magnetotaillike field reversals. I - Basic theory of trapped motion // J. Geophys. Res. 1989. V. 94. P. 11821-11842.

38. Vainchtein D.L., Zelenyi L.M., Neishtadt A.I., Büchner J. Quasi-adiabatic description of nonlinear particle dynamics in typical magnetotail configurations // Nonlinear Processes in Geophysics. 2005. V. 12. P. 101-115.

39. Shklyar D., Matsumoto H. Oblique Whistler-Mode Waves in the Inhomogeneous Magnetospheric Plasma: Resonant Interactions with Energetic Charged Particles // Surveys in Geophysics. 2009. V. 30. P. 55-104.

40. Тимофеев А. В. К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения // ЖЭТФ. 1978. Т. 75. С. 1303-1308.

41. Сагу J. R., Escande D. F., Tennyson J. Adiabatic invariant change due to separatrix crossing // Phys. Rev. A. 1986. V. 34. P. 4256-4275.

42. Нейштадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису // Физика плазмы. 1986. Т. 12. С. 992-1000.

43. Сагу J. R., Skodje R. Т. Phase change between separatrix crossings // Physica D. 1989. V. 36. C. 287-316.

44. Elskens Y., Escande D. F. Slowly pulsating separatrices sweep homoclinic tangles where islands must be small: an extension of classical adiabatic theory // Nonlinearity. 1991. V. 4. P. 615-667.

45. Neishtadt A. I., Sidorenko V. V., Treschev D. V. Stable periodic motions in the problem of passage through a separatrix // Chaos. 1997. V. 7. P. 2-11.

46. Ashour-Abdalla M., Zelenyi L. M., Bosqued J. M., Kovrazhkin R. A. Precipitation of fast ion beams from the plasma sheet boundary layer // Geophys. Res. Lett.. 1992. V. 19. P. 617-620.

47. Зелёный Л. M., Малова X. В., Артемьев А. В., Попов В. Ю., Петруко-вич А. А. Тонкие токовые слои в бесстолкновительной плазме: равновесная структура, плазменные неустойчивости и ускорение частиц // Физика плазмы. 2011. Т. 37. С. 137-182.

48. Bayfield J. Е., Koch P. М. Multiphoton ionization of highly excited hydrogen-atoms // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33. P. 258-261.

49. Leopold J. G., Percival I. C. Microwave ionization and excitation of Rydberg atoms // Phys Rev. Lett. 1978. V, 41. P. 944-947.

50. Bellomo P., Stroud C. R., Jr., Farrelly D., Uzer T. Quantum-classical correspondence in the hydrogen atom in weak external fields // Phys. Rev. A. 1998. V. 58. P. 3896-3913.

51. Zakrzewski J., G^barowski R., Delande D. Two-dimensional quantum hydrogen atom in circularly polarized microwaves: Global properties // Phys. Rev. A. 1996. V. 54. P. 691-709.

52. Sacha К., Zakrzewski J. H-atom in elliptically polarized microwaves: Semiclassical versus quantum resonant dynamics // Phys. Rev. A. 1998. V. 58. P. 3974-3982.

53. Chandre C., Farrelly D., Uzer T. Thresholds to chaos and ionization for the hydrogen atom in rotating fields // Phys. Rev. A. 2002. V. 65. 053402.

54. Meerson В., Friedland L. Strong autoresonance excitation of Rydberg atoms -the Rydberg accelerator // Phys. Rev. A. 1990. V. 41. P. 5233-5236.

55. Grosfeld E., Friedland L. Spatial control of a classical electron state in a Rydberg atom by adiabatic synchronization // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 046230.

56. Дыхне A.M. Квантовые переходы в адиабатическом приближении // ЖЭТФ. 1960. Т. 38. С. 570.

57. Pazy Е.р Tikhonenkov I. et al. Nonlinear adiabatic passage from fermion atoms to boson molecules // Phys. Rev. Lett. 2005. V. 95. 170403.

58. Reimann P. Brownian motors: noisy transport far from equilibrium // Phys. Rep. 2002. V. 361. C. 57-265.

59. Заславский Г. M. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

60. Denisov S., Flach S. Dynamical mechanisms of dc current generation in driven Hamiltonian systems // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 056236.

61. Zaslavsky G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport // Phys. Rep. 2002. V. 371. C. 461-580.

055(02)2 Ротапринт ИКИ РАН

_Москва, 117997, Профсоюзная 84/32

Подписано к печати 27.09.2012

Заказ 3291

Формат 70x108/32

Тираж 100

1,9 усп.-печ. п.

1 Введение

1.1 Актуальность темы работы.

1.2 Резонансные явления в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями.

1.3 Основные результаты диссертации.

2 Серфотронное ускорение заряженных частиц

2.1 Релятивистская частица в однородном магнитном поле и наклонно распространяющейся плоской электростатической волне.

2.1.1 Уравнения движения.

2.1.2 Приведение к стандартному виду в окрестности резонанса

2.1.3 Захват в резонанс

2.1.4 Рассеяние на резонансе

2.1.5 Заключительные замечания.

2.2 Серфотронное ускорение релятивистской заряженной частицы ударной волной.

2.3 Серфотронное ускорение релятивистской частицы плоской электромагнитной волной.

2.3.1 Основные уравнения

2.3.2 Движение вблизи резонанса и захват в резонанс

2.3.3 Рассеяние на резонансе

2.3.4 Потери энергии, связанные с излучением.

2.4 Нерелятивистская частица в однородном магнитном поле и наклонно распространяющейся плоской электромагнитной волне.

2.4.1 Постановка задачи и описание динамики.

2.4.2 Эволюция распределения частиц по скоростям

2.4.3 Обсуждение и приложения.

3 Динамика электрона в параболическом магнитном поле типа хвоста магнитосферы Земли

3.1 Невозмущенная система: электрон в параболическом магнитном поле.

3.1.1 Параболическая модель магнитного поля в хвосте магнитосферы земли.

3.1.2 Уравнения движения в отсутствие возмущения

3.2 Электрон в параболическом магнитном поле и в плоской электростатической волне.

3.2.1 Электростатическая волна.

3.2.2 Движение вблизи резонанса.

3.2.3 Захват в резонанс и рассеяние на резонансе.

3.3 Электрон в параболическом магнитном поле и в плоской электромагнитной волне.

3.3.1 Электромагнитная волна.

3.3.2 Динамика вблизи резонанса.

3.3.3 Захват в резонанс

3.3.4 Рассеяние на резонансе

3.3.5 Резонансные явления вблизи = О.

3.3.6 Динамика на больших интервалах времени и хаос

3.4 Обсуждение и выводы.

4 Устойчивые периодические траектории в области переходов через сепаратрису и динамика ионов в магнитном поле с параболическими силовыми линиями

4.1 Изменение фазы между двумя переходами через сепаратрису в гамильтоновой системе с быстрыми и медленными переменными

4.1.1 Формулировка полученных результатов.

4.1.2 Замены переменных. Адиабатическое и улучшенное адиабатическое приближения.

4.1.3 Формула для псевдофазы.

4.1.4 Случай подвижной седловой точки.

4.2 Существование устойчивых периодических решений в области переходов через сепаратрису.

4.2.1 Математическая постановка задачи и формулировка результатов.

4.2.2 Доказательство существования устойчивых периодических решений.

4.3 Устойчивые периодические траектории и острова устойчивости в задаче о движении заряженной частицы в параболической модели магнитного поля.

4.3.1 Модель поля

4.3.2 Формулы, описывающие динамику в медленной системе, и переходы через сепаратрису.

4.3.3 Численные результаты.

4.4 Об отсутствии устойчивых периодических траекторий в области переходов через сепаратрису в несимметричных га-мильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями

4.4.1 Свойства системы и основные предположения

4.4.2 Адиабатическое и улучшенное адиабатическое приближения

4.4.3 Описание перехода через сепаратрису

4.4.4 Отображение последования.

4.4.5 Отсутствие устойчивых периодических траекторий

4.4.6 Существование периодических решений.

5 Резонансные явления в некоторых задачах атомной физи

5.1 Захват в резонанс в динамике классического атома водорода в осциллирующем электрическом поле.

5.1.1 Уравнения движения вблизи резонанса 2:1.

5.1.2 Захват в резонанс при малых значениях эксцентриситета.

5.2 Скачок адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в нелинейной двухмодовой модели резонанса Фешбаха.

5.2.1 Основные уравнения и фазовые портреты.

5.2.2 Изменение адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису

5.3 Направленный транспорт частиц в стохастическом слое

5.3.1 Основные уравнения. Диффузия адиабатического инварианта.

5.3.2 Средняя скорость транспорта.

5.3.3 Случай внешней силы не малой амплитуды.

Глава

Диссертация посвящена исследованию явлений захвата в резонанс, рассеяния на резонансе и перехода через сепаратрису в модельных задачах, описывающих динамику заряженных частиц в электромагнитных полях сложной конфигурации. Полученные результаты носят теоретический характер и подкрепляются результатами численных исследований. В настоящей главе дается общее введение в предмет и основные методы исследования; в заключительном разделе перечислены основные результаты работы, подробное изложение которых содержится в остальных четырех главах.

1.1 Актуальность темы работы

Резонансное взаимодействие заряженных частиц с электростатическими и электромагнитными волнами является одним из наиболее красивых и интересных эффектов физики плазмы, наблюдаемых и в околоземном пространстве. и в лабораторных экспериментах. Резонансные эффекты активно исследуются, начиная от классической задачи затухания электростатической волны за счёт резонанса с электронами — затухания Ландау [24], и заканчивая современными теориями нагрева и ускорения плазмы (см., например, обзоры и монографии [25, 26, 27, 28]).

Условно методы исследования резонансного взаимодействия волна-частица можно разделить на две группы подходов. Первая группа объединяет методы, используемые для систем с сильным внешним магнитным полем. Исторически именно такие задачи исследовались наиболее интенсивно, так как приложения к лабораторным экспериментам и к области радиационных поясов Земли требовали изучения поведения частицы в случае, когда в отсутствие волн её движение регулярно. Сильное поле приводит к сохранению с высокой (экспоненциальной) точностью магнитного момента, соответствующего усреднению по гировращению заряженной частицы вокруг внешнего магнитного поля. Как следствие, построение теорий резонансного взаимодействия с волнами в такой системе строится как теория возмущения быстрого гировращения и движения вдоль силовой линии силами, действующими со стороны волн. Такие задачи сводятся к учёту ги-рорезонансов различного порядка, где каждый гирорезонанс соответствует корреляции действия волны на частицу между заданным количеством гиропериодов. При этом эффекты захвата в таких системах обеспечиваются продольной неоднородностью системы [29, 30, 31, 27, 26]. Даже в присутствии единственной волны неоднородность системы обеспечивает стохастизацию движения частицы [32, 33]. Однако, важным приложениям соответствует и теория резонансного взаимодействия волна-частица в сильном магнитном поле в присутствии ансамбля волн, когда есть необходимость учёта большого числа возможных резонансов с различными волнами - квазилинейная теория [34, 35, 36].

Вторая группа методов призвана решить задачу резонансного взаимодействия волна-частица в присутствии слабого магнитного поля, когда силы, действующие на частицу со стороны волны могут превосходить силу Лоренца, действующую со стороны внешнего поля. Эти задачи восходят к проблемам описания эффекта затухания Ландау в слабом магнитном поле [37, 38] и к задачам об ускорении частиц ударными волнами в межпланетном пространстве [39, 40]. Такие задачи не предусматривают рассмотрения силы, действующей со стороны волны, в рамках теории возмущений и не приводят к разложению резонансного взаимодействия по циклотронным резонансам. Вместо этого, основным резонансом в системе является черепковский резонанс, соответствующий совпадению скорости движения частицы в направлении распространения волны и скорости волны. Из-за того, что резонансное взаимодействие может привести к захвату частицы, когда сила Лоренца внешнего магнитного поля полностью компенсирована силой, приложенной со стороны волны, частица меняет свое движение с гировращения на осцилляции в захвате с волной. Таким образом, разложение по гирорезонансам в такой задаче не представляется возможным, так как частица после захвата уже не совершает осцилляций в магнитном поле. При этом в рассматриваемой системе и до захвата и после захвата движение частицы описывается сохранением адиабатического инварианта, но если до захвата данный инвариант - это магнитный момент, то после захвата инвариант соответствует усреднению по быстрым осцилляциям в потенциальной яме волны.

Аналогично вопросам резонансного взаимодействия частицы с волной дело обстоит и с вопросами динамики частицы в неоднородном магнитном поле. Хорошо известно, что уравнения движения частицы не интегрируются в общем случае неоднородного поля, и требуется введение дополнительных инвариантов движения для описания динамики частицы. Наибольшего успеха в этом направлении удалось достичь благодаря теории "ведущего центра", построенной для систем с сильным магнитным полем [41, 42]. В таких системах пространственные масштабы вариации магнитного поля существенно превышают масштаб гировращения (лар-моровский радиус) и, как следствие, усреднение по гировращению даёт адиабатический инвариант - магнитный момент. Однако, в современной физике космической плазмы всё чаще возникает необходимость описывать динамику частиц в системах с неоднородным, но слабым магнитным полем, когда пространственный масштаб вариации магнитного гголя много меньше масштаба гирорадиуса частицы. К таким системам следует, прежде всего, отнести токовые слои - ключевые объекты магнитоплазменных конфигураций, наблюдаемых в хвостовых областях планет [43, 44[, в лабораторном моделировании [45. 46, 47, 48], в солнечной короне [49, 50] и в магнитосферах звёзд [51, 52]. В таких системах магнитный момент не сохраняется, однако наличие малого параметра, определяющего отношение масштабов вариации поля и гирорадиуса частиц, позволяет ввести новый адиабатический инвариант [87].

Перейдем к более подробному описанию круга вопросов, рассматриваемых в работе.

Заряженная частица в поле электромагнитной или электростатической волны в присутствии достаточно слабого фонового магнитного поля может при прохождении через резонанс с волной типа черенковского быть захвачена в потенциальную яму волны и начать ускоренное движение вдоль волнового фронта. Это явление называется серфотронным ускорением. Оно рассматривается при описании различных явлений в плазме [39, 53]. Исходно этот механизм был предложен для описания ускорения заряженных частиц вдоль фронта ударной волны [39], и эта тематика до сих пор сохраняет свою актуальность [54, 55, 56]. С другой стороны, существуют различные приложения серфотронного механизма в задачах о генерации высокоэнергетичных частиц в астрофизике [57, 58, 59, 60, 61| и межпланетной среде [62], а также последующего излучения [63, 64, 65]. В нерелятивистском случае задача о захвате в резонанс рассматривалась, в частности, в работах [66], |67|, [68], [69]. Серфотронное ускорение релятивистских частиц рассматривалось, например, в работах [53], [70],[71]. Во всех перечисленных работах авторы рассматривают взаимодействие частицы с электростатической волной. В [71], где рассматривался случай наклонной волны, было показано, что изначально не захваченная в резонанс частица с начальной скоростью, достаточно близкой к скорости света, может захватиться волной и перейти в режим неограниченного ускорения. Полное описание захватов в режим серфотронного ускорения, выбросов из резонанса, рассеяния на резонансе для релятивистской частицы в поле наклонной электростатической волны проводится в разделе 2.1 настоящей диссертации.

Для реализации механизма серфотронного ускорения необходимо, чтобы внешнее магнитное поле было достаточно слабым. Распространение на фоне такого слабого поля электромагнитных (или электростатических) волн наблюдается, в частности, в хвосте земной магнитосферы. Однако, эффекты захвата в резонанс и рассеяния на резонансе в системах со слабым магнитным полем наблюдаются не только в хвосте земной магнитосферы, но и в солнечном ветре, заполняющем межпланетное пространство. Мезомасштабные структуры солнечного ветра — токовые слои и ударные волны - являются ключевыми структурами, ответственными за ускорение заряженных частиц. Так, хорошо известен эффект наблюдения ускоренных частиц вблизи квазиперпендикулярных ударных волн, ускорение которых связывают с серфотронным механизмом [72, 62, 73, 74]. Данный механизм рассматривается в перспективе ускорения тяжёлый ионов в солнечной короне [75] и в астрофизических релятивистских ударных волнах [61, 76]. Задача о захвате релятивистской заряженной частицы в резонанс с ударной волной рассматривается в разделе 2.2 диссертации.

Серфотронное ускорение частиц электромагнитной волной изучено в меньшей степени. Аналитическая теория была построена только для нерелятивистской [77] или ультрарелятивистской [71, 78] частицы. Численное исследование динамики релятивистской частицы проводилось в [79. 78]. Кроме того, проводились численные исследования случая, когда амплитуда волны мала по сравнению с фоновым магнитным полем [80, 81]; в этом случае энергия частицы растет за счет многократных рассеяний на волне. Для исследования серфотронного ускорения частиц электромагнитными волнами также проводились лабораторные исследования с релятивистскими частицами и волнами большой амплитуды (см. работу [82] и приведенные в ней ссылки). Таким образом, построение полной аналитической теории захватов релятивистской заряженной частицы электромагнитными волнами и возникающего при этом ускорения является важной нерешённой задачей. В случае плоской волны, распространяющейся перпендикулярно к фоновому магнитному полю, эта задача решается в разделе 2.3.

Захват частицы волной и последующее серфотронное ускорение возможно, если фазовая скорость волны меньше абсолютной величины скорости частицы (и, соответственно, меньше скорости света). В этом случае проекция скорости частицы на направление волнового вектора может сравняться с фазовой скоростью волны, что и будет соответствовать условию резонанса. Известны некоторые моды плазменных колебаний, при которых могут распространяться волны с такими свойствами: магнито-звуковая волна с частотой, близкой к нижне-гибридной [77], плазменная волна с частотой, близкой к верхне-гибридной [57] или различные моды дрейфовой неустойчивости [83]. Кроме того, заметим, что относительно малое количество изначально захваченных частиц может уменьшить фазовую скорость волны [84] и обеспечить выполнение условия резонансного взаимодействия.

Хотя резонансное взаимодействие частицы с наклонно (по отношению к фоновому магнитному полю) распространяющейся волной представляет собой распространенное явление (см., например, [32]), исследованию сер-фотронного ускорения нерелятивистской частицы электромагнитной волной в случае ее наклонного распространения уделялось мало внимания. До настоящего времени оно исследовалось только численно (см. работу [85] и приведенные в ней ссылки). Задача о захвате в режим серфотронного ускорения в этом случае рассматривается в разделе 2.4 настоящей диссертации. Отметим, что полученные в этом разделе результаты об ограничении энергии, которую частица может получить от волны, могут быть использованы при исследовании задач о серфотронном ускорении ударными волнами, распространяющимися не строго перпендикулярно к направлению магнитного поля.

Одну из важных задач физики плазмы представляет собой исследование динамики заряженных частиц в магнитных ловушках и, в частности, в магнитосфере Земли. Значительное внимание в последние годы уделялось исследованию динамики заряженных частиц в области обращения магнитного поля в хвосте магнитосферы Земли [86]. В частности, в [87, 88, 89, 90, 91, 92, 93] были изучены различные механизмы хаотизации движения ионов и оценен диапазон параметров электрического и магнитного полей, в котором происходит хаотизация. Были исследованы механизмы разрушения адиабатических инвариантов (магнитного момента и продольного адиабатического инварианта) и оценено время разрушения адиабатической инвариантности и развития хаоса в системе. В работах [92, 94] была исследована динамика ионов в хвосте магнитосферы в присутствии электростатической или электромагнитной волны.

Описание динамики частиц в области радиационных поясов также является традиционным объектом приложения теории адиабатических инвариантов [95. 96]. В спокойных геомагнитных условиях движение электронов в поле земного диполя может быть разделено на три периодические составляющие: ларморовское вращение вокруг силовых линий магнитного поля, баунс-колебания вдоль силовых линий между магнитными пробками и медленный азимутальный дрейф частиц вокруг Земли. Каждому такому периодическому движению соответствует свой адиабатический инвариант: магнитный момент, продольный инвариант J\\ и магнитный поток через траекторию частицы, огибающую Землю. Динамика радиационных поясов связана с разрушением этих инвариантов за счёт резонансного рассеяния частиц на волнах [26, 27, 97]. Однако, кроме вариаций магнитного поля при волновой активности, определённую роль в разрушении инварианта продольного движения «7ц играют топологические особенности магнитного поля на утренней стороне магнитосферы. В этой области давление солнечного ветра приводит к сжатию силовых линий диполя и в экваториальной плоскости образуется локальный максимум магнитного поля [96]. В результате частица, приходящая на утреннюю сторону за счёт медленного азимутального дрейфа в процессе баунс-осцилляций, оказывается в системе с сепаратрисой на плоскости быстрых (по сравнению с азимутальным дрейфом) переменных. Переходы через сепаратрису приводят к нарушению инварианта и, как следствие, к радиальному транспорту в направлении от Земли [98, 99]. Для описания данного эффекта требуется развитие теории скачков адиабатического инварианта в гамильтоновых системах с сепаратрисой.

Радиационные пояса магнитосфер планет, обладающих собственным магнитным полем, являются одной из основных областей применения теории резонансных взаимодействий частиц и волн. Так, теория резонансного взаимодействия заряженных частиц с широким спектром волн лежит в основе описания динамики радиационных поясов (см. оригинальные работы [100, 101, 102] и обзор о современном состоянии дел [97]). При этом резонансное взаимодействие описывается в рамках квазилинейной теории, предполагающей стохастическое рассеяние заряженных частиц в фазовом пространстве [34, 103, 35, 36]. В этом случае эволюция фазовой плотности резонансных частиц рассчитывается с применением диффузионных уравнений, коэффициенты в которых учитывают вклады отдельных циклотронных резонансов [104, 105, 106, 107, 108]. При этом речь идёт в первую очередь о питч-угловом и энергетическом рассеянии электронов ансамблем вистлерных волн. Данные волны, как правило, распространяются под углом к внешнему сильному магнитному полю [109, 110, 111], обеспечивая условия резонансного взаимодействия с электронами на различных циклотронных резонансах в зависимости от магнитной широты [26].

Однако, можно отметить, что кроме широкого спектра низкоамплитудных волн в области радиационных поясов Земли в последнее время были обнаружены сильные (с амплитудой несколько сотен мВ/м) вистлерные волны [112, 113]. Резонансное взаршодействие релятивистских электронов с такими волнами сопровождается эффектом захвата частиц, что в условиях неоднородного магнитного поля приводит к существенному набору энергии и эффективному питч-угловому рассеянию [114, 32, 33, 115, 116]. При этом, исследование резонансного взаимодействия осуществляется либо в рамках численного моделирования [115, 116], либо в рамках аналитической теории с введением адиабатического инварианта - магнитного момента [32, 33]. Тут можно отметить, что сильное магнитное поле радиационных поясов не позволяет рассматривать возможность компенсации силы Лоренца, действующей на частицу, силой, приложенной со стороны волны. В результате захваты в резонанс возможно только при продольном распространении и соответствуют черепковскому резонансу с учётом гировращения. Как следствие в системе отсутствует эффект серфотронно-го ускорения, сопровождающийся движением частицы поперёк внешнего магнитного поля за счёт захвата в волну. Однако, данный эффект может реализовываться в на некотором расстоянии от Земли, где магнитное поле диполя существенно искажено поперечными токами горячей плазмы. Так уже на 7-8 радиусах Земли на ночной стороне магнитосферы во время геомагнитных возмущений (суббурь), сопровождающихся инжекциями частиц из «хвостовой» области магнитосферы, значение магнитного поля на экваторе может уменьшиться на порядок и составить всего 10 нТ, что в свою очень существенно влияет на резонансное взаимодействие заряженных частиц с волнами [117, 118]. В этой области силовые линии магнитного поля вытягиваются в противоположное от Земли направление, формируя параболы. При этом инжекция частиц из хвостовой части магнитосферы сопровождается генерацией сильных электромагнитных волн с амплитудами в сотни мВ/м [119]. Распространение данных волн под большим углом к внешнему магнитному полю приводит к усилению электростатической составляющей [120, 121] с поперечной компонентой электрического поля. Вопрос о резонансном взаимодействии таких волн с электронами в существенно недипольном магнитном поле с вытянутыми силовыми линиями до сих пор не рассматривался.

За пределами радиационных поясов на ночной стороне земной магнитосферы располагается так называемый магнитосферный "хвост", представляющей собой область с вытянутыми силовыми линиями магнитного поля, малым значением магнитного поля в экваториальной плоскости и токовым слоем, разделяющим противоположно направленные сильные магнитные поля сверху и снизу от экваториальной плоскости. Так как основная компонента магнитного поля меняет знак при пересечении экваториальной плоскости, то эта плоскость часто называется «нейтральной». Хвосты магнитосфер со схожими конфигурациями существуют на всех планетах с собственным магнитным полем (см., например, обзор [43|). На планетах без магнитного поля (Марс. Венера) существуют индуцированные магнитосферы, обладающие хвостовой областью со схожей конфигурацией силовых линий. Так как магнитное поле вблизи от нейтральной плоскости относительно слабое, то динамика ионов и электронов в этой области принципиально различаются: пространственный масштаб вариации магнитного поля (радиус кривизны силовой линии) оказывается существенно меньше ларморовского радиуса ионов, но всё ещё заметно превышает масштаб ларморовского радиуса электронов. В результате электроны в этой области "замагничены" и движутся вдоль силовых линий магнитного поля. в то время как движение ионов уже не контролируется магнитным полем [87].

Представляет интерес исследование динамики электронов в области обращения магнитного поля в присутствии электростатической или электромагнитной волны, распространяющейся под углом к магнитному полю. Этим вопросам посвящена Глава 3 диссертации. Главным различием задач о движении электронов и ионов является то обстоятельство, что характерный ларморовский радиус электрона в системе всегда значительно меньше характерного радиуса кривизны силовых линий магнитного поля, и, следовательно, электрон в системе всегда замагничен, а первый адиабатический инвариант (магнитный момент) сохраняется с высокой точностью. Малость отношения ларморовского радиуса к радиусу кривизны магнитных силовых линий и малость амплитуды волны, позволяют ввести в системе иерархию быстрых и медленных масштабов движения. Рассматривается область значений параметров, где возможен резонанс: проекция усредненной по ларморовскому вращению скорости электрона на направление волнового вектора равна фазовой скорости волны. Электростатические и электромагнитные возмущения, иногда весьма значительной амплитуды, часто наблюдаются в хвосте магнитосферы [122, 123]. В разделе 3.2 мы рассматриваем возмущение в простейшей модельной форме медленной плоской электростатической волны, не вдаваясь в детали происхождения таких волн. Отметим лишь, что рассматриваемому диапазону параметров отвечает, например, волна с частотой, близкой к частоте нижнего гибридного резонанса. В разделе 3.3 рассматривается влияние плоской линейно поляризованной электромагнитной волны. Электромагнитные возмущения различных типов в большом количестве присутствуют в хвосте магнитосферы Земли [124, 123, 125, 126].

Сильные токи и наличие потоков горячих частиц приводят к развитию различных неустойчивостей в токовом слое магнитосферного хвоста (см. обзоры [127, 128]). Так, наиболее существенную роль в перестройке топологии магнитного поля играет разрывная неустойчивость токового слоя, приводящая к формированию областей магнитного пересоединения [129, 130]. Вблизи данных областей формируются быстрые нелинейные электромагнитные волны, распространяющиеся к Земле, так называемые фронты диполизации [131, 132]. Кроме того, области с вытянутыми силовыми линиями магнитного поля по обе стороны от области пересоединения заполнены высокочастотынми плазменными волнами, сформированными за счёт неустойчивости потоков ускоренных частиц (см. обзор [133]).

Одной из актуальных проблем современной физики магнитосферной плазмы является построение моделей формирования популяции электронов высоких энергий (порядка нескольких десятков кэВ) в хвосте земной магнитосферы. Основной механизм ускорения электронов (магнитное пересоединение) не способен обеспечить необходимый масштаб набора энергии. Дело в том, что неустойчивость движения электронов в области магнитного пересоединения приводит к ограничению на энергию, набираемую частицами в этой области [134, 135, 136]. В результате оценки максимальной энергии электронов, ускоренных в области пересоединения, оказываются существенно меньше наблюдаемых энергий [137]. Как следствие, необходимо рассмотрение механизмов дополнительного ускорения в токовых слоях в окрестности пересоединения. Перспективным в этом направлении представляется рассмотрение резонансного взаимодействия электронов с теми волнами, которые наблюдаются в токовых слоях с сильно вытянутыми силовыми линиями магнитного поля [138, 123, 133, 139]. Частотный диапазон таких волн простирается от нижней гибридной частоты до электронной циклотронной частоты.

Четвертая глава диссертации посвящена задачам, связанным с переходами через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями. Задачи, в которых имеют место переходы через сепаратрису, возникают во многих областях физики. Помимо задач о движении заряженных частиц в волновых полях (например, [140, 141, 87]), это явление важно также в радиофизике (распространение коротких радиоволн в ионосфере |142], физике твердого тела (движение заряженных квазичастиц |143]), небесной механике (происхождение люков Кирквуда в поясе астероидов [144]), гидродинамике (например, [145, 146, 147]).

Переход через сепаратрису представляет собой особый тип резонанса, при котором частота изменения быстрых переменных системы при замороженных значениях медленных переменных обращается в ноль. При изменении медленных переменных форма сепаратрис изменяется: в частности, может изменяться площадь, охватываемая сепаратрисой на плоскости быстрых переменных. В то же время, площадь внутри замкнутой траектории невозмущенной (при замороженных значениях медленных переменных) системы является адиабатическим инвариантом точной системы и приближенно сохраняется в ходе эволюции. Это приводит к тому, что фазовые траектории точной системы могут переходить через сепаратрису невозмущенной системы. Поскольку на сепаратрисе частота изменения быстрых переменных обращается в ноль, стандартный метод усреднения здесь не работает. Пусть малый параметр £ определяет отношение типичных скоростей изменения медленных и быстрых переменных. Оказывается, что при переходе через сепаратрису значение адиабатического инварианта (действия в быстрой системе) испытывает скачок, имеющий две составляющие. Одна из них порядка единицы, связана с геометрией задачи (так называемый геометрический скачок) и другая составляющая, малая по параметру е (в типичной ситуации она имеет порядок eine), которая, собственно, и обусловлена неадиабатичностыо движения, и которую можно рассматривать как случайную.

Формулы для изменения адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису были сперва получены для гамильтоновых систем с одной степенью свободы, гамильтониан которых зависит от медленно изменяющегося параметра [140, 148, 149]. Такие системы являются частным случаем систем с быстрыми и медленными движениями. Для гамильто-новой системы с быстрыми и медленными переменными такая формула была получена в [150]. При рассмотрении результата многократных переходов через сепаратрис}' важна связь между значениями быстрых фаз при двух последовательных переходах. Для случая гамильтоновой системы, зависящей от медленно изменяющегося параметра, такая формула была получена в |151]. В общем случае гамильтоновой системы с быстрыми и медленными переменными соответствующая формула получена в разделе 4.1 Главы 4 настоящей диссертации. Формула для скачка адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису, проходящую через вырожденную седловую точку (эта задача важна, в частности, при рассмотрении динамики ионов в бифурцированном хвосте магнитосферы Земли), рассматривалась в [152].

Многократные переходы через сепаратрису приводят, как показывает численный эксперимент и эвристические рассуждения, к хаотизации динамики в большой области фазового пространства (см., например, [149, 150]). Надо отметить, однако, что строгих результатов о хаосе в области переходов через сепаратрису практически не существует. Упомянем работу [153], где доказывается наличие в этой области множества нулевой меры, на котором динамика хаотична, точнее, эквивалентна подкове Смейла (напомним, что мера самой области есть величина порядка единицы). Визуально в ряде задач область переходов через сепаратрису выглядит как область динамического хаоса (см. [154, 155]), в которой отсутствуют какие бы то ни было острова устойчивости. В [156] показано, что индивидуальный остров устойчивости в этой области, если он существует, не может иметь меру, превышающую по порядку е. Тем не менее, в работе [157] (см. также [158]) для системы, зависящей от медленно меняющегося параметра, при выполнении дополнительных условий симметрии было установлено наличие в области переходов через сепаратрису большого числа (порядка е-1) островов устойчивости, каждый из которых имеет меру порядка е. Тем самым, суммарная мера островов устойчивости есть величина порядка единицы и не стремится к нулю при стремлении е к нулю. В общем случае гамильтоновой системы с быстрыми и медленными движениями вопрос о наличии устойчивых периодических траекторий в области переходов через сепаратрисы рассмотрен в разделе 4.2 Главы 4 настоящей диссертации. Нарушение упомянутых выше дополнительных условий симметрии приводит к тому, что периодические траектории в области переходов через сепаратрису становятся неустойчивыми. В разделе 4.4 Главы 4 диссертации доказывается, что в общем случае при достаточно малом значении е в области переходов через сепаратрису отсутствуют периодические траектории любого наперед заданного периода, за исключением, может быть, проходящих аномально близко к седлу.

Задача о переходах через сепаратрису в гамильтоновой системе с быстрыми и медленными движениями тесно связана с исследованием динамики ионов в хвосте магнитосферы земли [87]. Если вопрос динамики электронов в токовых слоях можно рассматривать в рамках классической теории ведущего центра, то для описания динамики ионов эта теория оказывается неприменимой. При этом можно отметить, что сама структура токового слоя хвоста земной магнитосферы определяется токами ионов, и, как следствие, для понимания и моделирования токовых слоёв необходима наиболее подробная информация и движении ионов. Так, особую роль в структуре токового слоя играют ионы на резонансных траекториях, движение по которым не предполагает рассеяния в нейтральной плоскости. Эти ионы, при наличии границ у токового слоя, обладают разомкнутыми траекториями, позволяющими им переносить существенный ток поперёк магнитного поля [159, 160, 161, 162, 163]. Как следствие, изучение особенностей динамики таких частиц и оценка устойчивости их движения по отношению к изменениям геометрии системы, представляет собой актуальную задачу. В работе [87] было показано, что в задаче о динамике ионов в параболическом магнитном поле типа хвоста магнитосферы Земли многократные переходы через сепаратрису приводят к разрушению адиабатического инварианта и его диффузии. Представляет интерес применение полученных в Главе 4 результатов об устойчивых периодических траекториях к этой задаче. Этому посвящен раздел 4.3 диссертации. Устойчивые периодические орбиты соответствуют в хвосте земной магнитосферы частицам, проходящим токовый слой без изменения инварианта. Такие частицы, при наличии квазистационарного электрического поля, связанного с эффектами обтекания магнитосферы солнечным ветром, формируют ускоренные пучки частиц - т. н. бимлеты [164]. Эти пучки регулярно обнаруживаются в хвосте земной магнитосферы [165, 166, 167] и являются важным источником информации о структуре дальнего хвоста [168]. Более того, токи, переносимые ионами без скачков адиабатического инварианта в токовом слое, во многом определяют свойства токового слоя на 10 — 30 радиусах Земли на ночной стороне магнитосферы и ответственны за интенсификацию различных плазменных неустойчивостей (см. обзор [128]).

Глава 5 диссертации посвящена рассмотрению трех задач атомной физики. в которых удается эффективно применить методы исследования резонансных явлений. Это задачи о захвате в резонанс в динамике классического (ридбергского) атома водорода, о прохождении конденсата бозе-ферми через резонанс Фешбаха и о направленном транспорте в стохастическом слое в уравнении, описывающем движение частицы в одномерном периодическом потенциале.

Динамика сильно возбужденных (ридберговских) атомов в микроволновых полях является объектом многочисленных исследований в последние десятилетия. После экспериментов Бейфилда и Коха [169] и теоретической работы Леопольда и Персиваля [170] стало понятно, что определенные существенные свойства динамики ридберговских атомов водорода могут быть описаны в рамках классического подхода. В более поздних исследованиях методы классической механики дали неожиданно точные результаты в ряде задач о поведении атома водорода в слабых медленно изменяющихся полях (см. [171] и ссылки в этой работе). В работе [171] было показано, что эта точность связана с тем, что в пределе, когда внешнее поле можно рассматривать как малое возмущение, средние значения определенных квантовых величин подчиняются тем же уравнениям, что и соответствующие классические величины, усредненные по кеплеровскому движению.

Одним из основных применений классической механики в данной области являются задачи о хаотической ионизации атомов Ридберга. При достаточно большой амплитуде внешнего поля начинает выполняться чи-риковский критерий перекрытия резонансов [172], и фазовая точка, описывающая состояние системы, может диффундировать в фазовом пространствс, пока не произойдет ионизация атома. Этот механизм ионизации был подробно исследован для различных конфигураций и поляризаций внешних полей. Упомянем, в частности, ионизацию в линейно поляризованном микроволновом поле, в поле с круговой поляризацией (см. [173] и приведенные там ссылки), в эллиптически поляризованном поле [174], в поляризованной по кругу микроволне и фоновом магнитном поле [175].

Другой приложимой к этому кругу задач классической идеей является возможность контроля кеплеровского движения с использованием резонансного взаимодействия с волной малой амплитуды и медленно изменяющейся частоты. Такого рода задачи рассматривались в [176] для одномерной модели и в [177] для трехмерной модели. В частности, в последней работе изучался атом водорода в линейно поляризованном электрическом поле с медленной уменьшающейся частотой. Было показано, что при прохождении через резонанс 2:1 (т.е., когда частота внешнего поля в два раза превышает кеплеровскую частоту) система с изначально нулевым эксцентриситетом электронной орбиты захватывается в резонанс. В захваченном состоянии кегшеровская частота движения электрона изменяется таким образом, чтобы приближенно поддерживалось выполнение резонансного условия. В ходе такой эволюции эксцентриситет орбиты растет, что может приводить к ионизации атома. В разделе 5.1 подробно исследована эта задача и получены новые по сравнению с предшествующими работами результаты о захвате в резонанс.

Понятие адиабатической инвариантности играет важную роль в квантовой механике [178, 179]. Связь между медленными квантовыми переходами и изменением адиабатического инварианта линейного осциллятора изучалось в работе [180]. Задачи, связанные с динамикой бозе-эйнштейновсикх конденсатов [181, 182, 183, 184, 185], приводят к необходимости рассматривать нелинейные системы. Во многих моделях среднего поля, относящихся к физике БЭК (таких, как нелинейные модели Ландау-Зенера [186], макроскопический квантовый самозахват [187, 188] и т.д.), обнаруживается существенная роль нелинейных эффектов, сходных с теми, что имеют место в классических нелинейных системах. Одним из таких эффектов является разрушение адиабатического инварианта при переходах через сепаратрису. Это явление играет существенную роль в физике БЭК, поскольку изменение классического действия в нелинейной двухуровневой модели связано с вероятностью перехода между двумя состояниями (модами). В разделе 5.2 рассматривается нелинейная модель среднего поля, описывающая медленное прохождение через резонанс Фешбаха квантового газа фермионных атомов, связанного с БЭК двухатомных молекул [189] (для краткости, будем называть такую систему конденсатом Бозе-Ферми). Система находится в медленно изменяющемся магнитном поле, и при величине этого поля, соответствующем резонансу Фешбаха, для сталкивающихся атомов становится энергетически выгодным объединение в двухатомные молекулы. С этой задачей тесно связаны и рассматриваемые в последнее время нестационарные задачи динамики конденсатов Бозе-Ферми ([190, 191, 189]) и связанных атомно-молекулярных БЭК [192, 193, 194]). Приближение среднего поля для таких систем весьма плодотворно и не тривиально [190]. Замечательно, что в приближении среднего поля многие задачи приводятся к классическим гамильтоновым системам. Мы рассматриваем модель [189] в случае ненулевого начального числа частиц в молекулярной фракции. Прохождению через резонанс соответствует переход через сепаратрису в модели среднего поля. В разделе 5.2 диссертации получена формула для изменения действия, которое в рамках модели дает величину остаточной атомарной фракции.

В последние годы значительный интерес исследователей привлекает тема транспортных явлений в нелинейных системах. В частности большое и постоянно растущее число публикаций посвящено динамике систем, в которых возможно направленное (в среднем) движение под действием внешних сил с нулевым средним (это явление иногда называют "рэтчет", от английского "ratchet" - храповик). Активное исследование таких систем связано с их важностью для задач о движении броуновских частиц в пространственно периодических потенциалах, направленном транспорте молекулярных моторов в биологии, обнаружением явления рэтчета в квантовой физике (см. обзор [195] и приведенные в нем ссылки). Вообще говоря, явление рэтчета возникает благодаря недостаточной симметричности пространственно периодического потенциала или внешней силы. Представляют интерес микроскопические механизмы этого явления. Один из возможных подходов связан с пренебрежением диссипацией и шумом, что позволяет прийти к гамильтоновой системе с детерминированным возмущением. Это делает возможным применение результатов и методов, развитых в теории гамильтонового хаоса [196]. В последние годы появилось большое число статей, в которых исследовались такие гамиль-тоновские рэтчеты (см., например, [197, 198, 199, 200, 201, 202, 203)). В частности, в [201] направленный поток оценивается в случае, когда в хаотической области фазового пространства имеются острова устойчивого движения. Границы таких островов могут быть "клейкими" [204] (т.е. типичная хаотическая фазовая траектория может проводить в окрестности такого острова большое время) и эта клейкость вместе с несимметричностью островков оказывается ответственной за направленный транспорт. В разделе 5.3 диссертации рассматривается задача о движении частицы в пространственно периодическом потенциале под влиянием медленно периодически изменяющейся внешней силы с нулевым временным средним. Показано, что хаотизация динамики в значительной части фазового пространства обусловлена многократными переходами через резонанс (сепаратрису), и получена формула для средней скорости направленного транспорта на больших интервалах времени.

Заключение

В работе рассмотрен ряд задач, в которых определяющее влияние на динамику заряженных частиц играет их резонансное взаимодействие с внешним полем. Прохождение через резонанс приводит к разрушению адиабатических инвариантов движения, что может по-разному проявляться в динамике частицы. Так, захват в резонанс может приводить к серфотрон-ному ускорению вдоль фронта волны (Глава 2), разрушению продольного адиабатического инварианта и уходу частицы вдоль силовых линий неоднородного магнитного поля (Глава 3), росту эксцентриситета орбиты электрона в атоме Ридберга (Глава 5, раздел 5.1). При этом захват может быть как неограниченно длительным (что приводит, как правило, к выходу за пределы применимости рассматриваемой модели), так и сопровождаться выходом из резонанса, в результате чего частица возвращается к режиму, при котором адиабатический инвариант сохраняется, но его значение уже существенно отличается от первоначального. Следует заметить, что захват в резонанс носит вероятностный характер, и вероятность его мала. В то же время, если захват произошел, то момент выхода из резонанса однозначно определяется параметрами системы в момент захвата. При прохожденир! частицы через резонанс без захвата происходит так называемое рассеяние на резонансе, т. е. малое квазислучайное изменение значения адиабатического инварианта. Это явление в случае многократных прохождений через резонанс может проявляться в диффузии адиабатического инварианта, хаотизации динамики и диффузионном росте энергии частицы (Глава 2, Глава 3, Глава 5, раздел 5.3). Особым случаем прохождения через резонанс является переход через сепаратрису, к задаче о котором сводится, в частности, задача о движении иона в параболическом магнитном поле (Глава 4). Как известно, при переходе через сепаратрису значение адиабатического инварианта испытывает малый квазислучайный скачок (см. Глава 4, Глава 5, раздел 5.2). Многократные переходы через сепаратрису могут приводить к хаотизации движения (см. Глава 5, раздел 5.3). В то же время, как показано в Главе 4, в области переходов через сепаратрису наряду с хаотическими движениями существуют малые области регулярной динамики. Этим областям могут соответствовать пучки заряженных частиц, наблюдаемые в хвосте магнитосферы Земли.

Отметим, что методы анализа резонансных явлений, использованные и развитые в настоящей работе, в значительной степени универсальны. Они эффективно применялись не только при исследовании движения заряженных частиц, но и в задачах гидродинамики [145, 146, 147, 240, 288], небесной механики [155, 289], в теории биллиардов и задачах о распространении лучей в волноводах [290, 291, 292], в теории систем с ударами [293].

В заключение я выражаю глубокую признательность А. И. Нейштад-ту, благодаря многолетнему творческому общению с которым я познакомился с адиабатической теорией возмущений и освоил ее применение к задачам физики. Научный стиль А. И. Нейштадта оказал на меня огромное влияние и помог в выборе ориентиров в моей научной деятельности. Я благодарю своих соавторов А. В. Артемьева, Д. Л. Вайнштейна, А. П. Итина, К. Леон чини, К. Симо и Д. В. Трещева - работа с ними многому меня научила и была настоящим удовольствием. Я благодарен коллективу Института космических исследований РАН и его директору Л. М. Зеленому за научное общение, значение которого трудно переоценить, и возможность многие годы заниматься любимым делом.

1. A.P. Itin, A.A. Vasiliev, G.Krishna, and S. Watanabe, Change in the adiabatic invariant in a nonlinear two-mode model of Feschbach resonance passage, Physica D 232, 108-115, (2007).

2. А.А.Васильев, А.И.Нейштадт, К.Симо, Д.В.Трещев, Острова устойчивости в области переходов через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями, Труды Математического института им. В.А.Стеклова РАН, т. 259, с. 243-255, (2007).

3. A. I. Neishtadt, С. Simo, D. V. Treschev, and A. A. Vasiliev, Periodic orbits and stability islands in chaotic seas created by separatrix crossings in slow-fast systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series В 10, 621-650, (2008).

4. Д. Л. Вайнштейн, А. А. Васильев, А. И. Нейштадт, Динамика электронов в параболическом магнитном поле в присутствии электростатической волны, Физика плазмы, т. 35, 1102-1113, (2009).

5. X. Leoncini, A. Neishtadt, and A. Vasiliev, Directed transport in a spatially periodic harmonic potential under periodic nonbiased forcing, Phys. Rev. E 79, 026213, (2009).

6. A. Neishtadt, D. Vainshtein, and A. Vasiliev, Dynamics of electrons in a parabolic magnetic field perturbed by an electromagnetic wave, Plasma Physics and Controlled Fusion 53, 085014 (15pp), (2011).

7. A. Vasiliev, A.Neishtadt, and A.Artemyev, Resonant particle acceleration in an oblique electromagnetic wave, Physics Letters A 375, 3075-3079, (2011).

8. A.Neishtadt, A.Vasiliev, and A.Artemyev, Resonance-induced surfatron acceleration of a relativistic particle, Moscow Mathematical Journal 11, 531-545, (2011).

9. Другие публикации автора по теме диссертации

10. A. I. Neishtadt, A. A. Vasiliev, Capture into resonance in dynamics of a classical hydrogen atom, Proceedings of International Conference "MODE CONVERSION, COHERENT STRUCTURES AND TURBULENCE Moscow 2004, M.: УРСС, pp. 80-86.

11. A. A. Vasiliev, Shock wave surfing acceleration, In: Advances in Plasma Physics Research, Volume 5, Eds.: Francois Gerard, Nova Science Publishers, pp.129-134, (2007).

12. A. Itin, A. Vasiliev, "Change in the adiabatic invariant at a separatrix crossing in a nonlinear model of Feshbach resonance", Proceedings of

13. Sixth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference Final program and abstracts (ENOC-2008, St.Petersburg, 30.07.2008-04.08.2008).

14. Материалы по диссертации, размещенные в Интернете

15. A. A. Vasiliev, Shock wave surfing acceleration, http://arxiv.org/abs/physics/0204018, 2002.

16. Anatoly Neishtadt, Alexei Vasiliev, Capture into resonance in dynamics of a classical hydrogen atom in an oscillating electric field, http://arxiv.org/abs/physics/0401009, 2004.

17. A.I.Neishtadt, A.A.Vasiliev, Destruction of adiabatic invariance at resonances in slow-fast Hamiltonian systems, http://arxiv.org/abs/nlin/0511050, 2005.

18. Anatoly Neishtadt, Carles Simo, Dmitri Treschev, Alexei Vasiliev, Stability islands in domains of separatrix crossings in slow-fast Hamiltonian systems, http://arxiv.org/abs/math/0611468, 2006.

19. Xavier Leoncini, Anatoly Neishtadt, Alexei Vasiliev, Directed transport in a spatially periodic potential under periodic non-biased forcing, http://arxiv.org/abs/0807.4849, 2008.

20. A. I. Neishtadt, A. A. Vasiliev, A. V. Artemyev, Surfatron acceleration of a relativistic particle by electromagnetic plane wave, http://arxiv.org/abs/1011.2236, 2010.1. Прочие публикации

21. JI. Д. Ландау, О колебаниях электронной плазмы, ЖЭТФ, т. 16, с. 574, (1946).

22. S. V. Bulanov, L. М. Kovrizhnykh, and A. S. Sakharov, Regular mechanisms of electron and ion acceleration in the interaction of strong electromagnetic waves with a plasma, Physics Reports 186, 1-51, (1990).

23. D. Shklyar, H. Matsumoto, Oblique Whistler-Mode Waves in the Inhomogeneous Magnetospheric Plasma: Resonant Interactions with Energetic Charged Particles, Surveys in Geophysics 30, 55-104, (2009).

24. V. Y. Trakhtengerts, M.J. Rycroft, Whistler and Alfven Mode Cyclotron Masers in Space, ISBN 978-0-521-87198-3. Published by Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2008.

25. А. В. Тимофеев, Резонансные явления в колебаниях плазмы. М., Физматлит, 2009.

26. V. I. Karpman, J. N. Istomin, D. R. Shklyar, Nonlinear theory of a quasi-monochromatic whistler mode packet in inhomogeneous plasma, Plasma Physics 16, 685-703, (1974).

27. V. I. Karpman, J. N. Istomin, D. R. Shklyar, Particle acceleration by a non-linear Langmuir wave in an inhomogeneous plasma, Physics Letters A 53, 101-102, (1975).

28. Я. H. Истомин, В. И. Карпман, Д. Р. Шкляр, Эффекты увлечения при резонансном взаимодействии частиц с ленгмюровской волной в неоднородной плазме, ЖЭТФ, т. 69, с. 909-920, (1975).

29. D. R. Shklyar, Stochastic motion of relativistic particles in the field of a monochromatic wave, Sov. Phys. JETP 53, 1197-1192, (1981).

30. V. V. Solovev, D. R. Shkliar, Particle heating by a low-amplitude wave in an inhomogeneous magnetoplasma, Sov. Phys. JETP 63, 272-277, (1986).

31. Y. A. Romanov, G. F. Filippov, The interaction of fast electron beams with longitudinal plasma waves, Sov. Phys. JETP 13, 87-92, (1961).

32. A. A. Vedenov, E.P. Velikhov, R.Z.Sagdeev, Quasilinear theory of plasma oscillations, Nuclear Fusion Suppl. 2, 465-475, (1962).

33. A. A. Vedenov, Quasi-Linear Equations for Quantized Plasma, Soviet Physics Doklady 7, 1008, (1963).

34. R. Z. Sagdeev, Reviews of Plasma Physics. Volume 4, New York: Consultants Bureau, 1966.

35. R. B. Decker, A. T. Y. Lui, L. Vlahos, Predictions of lithium interactions with earth's bow shock in the presence of wave activity, J. Geophys. Res. 89, 7331-7337, (1984).

36. Д. В. Сивухин, Вопросы теории плазмы, т.1, М.: Атомиздат, 1963.

37. Т. G. Northrop, The adiabatic motion of charged particles, Interscience Publishers John Wiley and Sons, New York-London-Sydney, 1963.

38. F. Bagenal. Giant planet magnetospheres, Annual Review of Earth and Planetary Sciences 20, 289-328, (1992).

39. Плазменная Гелиогеофизика, под ред. JI. М. Зелёного и И. С. Весе-ловского, М.: Физматлит, 2008.

40. Нейтральные токовые слои в плазме, Труды ФИАН СССР, т. 74, под ред. Н. Г. Басова, М.: Наука, 1974.

41. Вспышечные процессы в плазме, Труды ФИАН СССР, т. 110, под ред. Н. Г. Басова, М.: Наука, 1979.

42. М. Yamacla, R. Kulsrud, Н. Ji. Magnetic reconnection, Reviews of Modern Physics 82, 603-664, (2010).48| A. G. Frank, N. P. Kyrie, S. N. Satunin, Plasma dynamics in laboratory-produced current sheets, Physics of Plasmas 18, 111209, (2011).

43. E. N. Parker, Spontaneous current sheets in magnetic fields : with applications to stellar x-rays, International Series in Astronomy and Astrophysics, Vol. 1. New York : Oxford University Press, 1994.

44. E. Priest, T. Forbes, Magnetic Reconnection, ISBN 0521481791. Cambridge, UK: Cambridge University Press, June 2000.

45. С. И. Вайнштейн, А. М. Быков, И. Н. Топтыгин, Турбулентность, токовые слои и ударные волны в космической плазме, М.: Наука, 1989.

46. J. Arons, Pulsar Wind Nebulae as Cosmic Pevatrons: A Current Sheet's Tale, Space Sci. Rev., May, 33, (2012).

47. T. Katsouleas and J. M. Dawson, Unlimited electron acceleration in laser-driven plasma waves, Phys. Rev. Lett. 51, 392, (1983).

48. Г. H. Кичигип, О происхождении энергичных частиц в области фор-шока околоземной ударной волны, Письма в Астрономический журнал, т. 35, с. 295-304, (2009).

49. S. Takeuchi, New particle accelerations by magnetized plasma shock waves, Physics of Plasmas 12, 102901, (2005).

50. R. A. Treumann, Fundamentals of collisionless shocks for astrophysical application, 1. Non-relativistic shocks, The Astronomy and Astrophysics Review 17, 409-535, (2009).

51. H.C. Ерохин, С.С. Моисеев. Р.З. Сагдеев, Релятивистский серфинг в неоднородной плазме и генерация космических лучей, Письма в Астрономический журнал, т. 15, с. 3, (1989).

52. В. Eliasson, М. Е. Dieckmann, and Р. К. Shukla, Simulation study of surfing acceleration in magnetized space plasmas, New Journal of Physics 7, 136, (2005).

53. De-YuWang and Quan-Ming Lu, Electron surfing acceleration by electrostatic waves in current sheets, Astrophys Space Sci. 312, 103-111, (2007).

54. De-YuWang and Quan-Ming Lu, Numerical simulation and visualization of stochastic and ordered electron motion forced by electrostatic waves in a magnetized plasma, Phys. Plasmas 12, 092902, (2005).

55. M. Hoshino, N. Shimada, Nonthermal Electrons at High Mach Number Shocks: Electron Shock Surfing Acceleration, Astrophys. J.572, 880-887, (2002).

56. G. P. Zank, H. L. Pauls, I. H. Cairns, G. M. Webb, Interstellar pickup ions and quasi-perpendicular shocks: Implications for the termination shock and interplanetary shocks, J. Geophys. Res. 101, 457-478, (1996).

57. Г. M. Заславский, С.С. Моисеев, Р.З. Сагдеев, А. А. Черников, Излучение захваченных частиц в магнитном поле, Письма в ЖЭТФ, т. 43, с. 18, (1986).

58. С.В. Буланов, А.С. Сахаров, Ускорение частиц, захваченных сильной потенциальной волной с искривленным фронтом в магнитном поле, Письма в ЖЭТФ, т.44, с.421-423, (1986).

59. С. В. Буланов, А. С. Сахаров, О влиянии магнитного поля на резонансное ускорение частиц, Физика плазмы, т. 26, с. 1074-1084, (2000).

60. G.R.Smith and A.N.Kaufman, Stochastic acceleration by an obliquely propagating wave- An example of overlapping resonances, Phys.Fluids 21, 2230-2241, (1978).

61. C.F.F.Karney, Stochastic ion heating by a lower hybrid wave: II, Phys.Fluids 22, 2188-2209, (1979).

62. R.Sugihara and Y.Midzuno, Non-stochastic heating of magnetized plasma by electrostatic wave, J.Soc.Japan 47, 1290-1295, (1979).

63. Г. M. Заславский, А. И. Нейштадт, Б. А. Петровичев, P. 3. Сагдеев, Механизм усиления диффузии при взаимодействии волна-частица в слабом магнитном поле, Физика плазмы, т. 15, с. 631-634, (1989).

64. А. И. Нейштадт, Б. А. Петровичев, А. А. Черников, Захват частиц в режим неограниченного ускорения, Физика плазмы, т. 15, с. 10211024, (1989).

65. A. A. Chernikov, G. Schmidt, and A. I. Neishtadt, Unlimited particle acceleration by waves in a magnetic field, Phys. Rev. Lett. 168, 15071510, (1992),.

66. R. B. Decker, Computer modeling of test particle acceleration at oblique shocks, Space Sci. Rev. 48, 195-262, (1988).

67. D. Ucer and V. D. Shapiro, Unlimited Relativistic Shock Surfing Acceleration, Phys. Rev.Lett. 87, 075001, (2001).

68. I. Roth, S. D. Bale, Heliospheric ion energization due to emerging CME shocks, J. Geophys. Res. Ill, A10, 7, (2006).

69. G. Zimbardo, Heavy ion reflection and heating by collisionless shocks in polar solar corona, Planetary and Space Science 59, 468-474, (2011).

70. T. Amano, M. Hoshino, Electron Shock Surfing Acceleration in Multiclimensions: Two-Dimensional Particle-in-Cell Simulation of Collisionless Perpendicular Shock, Astrophys. J. 690, 244-251, (2009).

71. А. И. Нейштадт, А. В. Артемьев, JI. M. Зеленый, Д. Л. Вайнштейн, Серфотронное ускорение в электромагнитных волнах с малой фазовой скоростью, Письма в ЖЭТФ, т. 89, с. 528-534, (2009).

72. А. П. Итин, Захваты в резонанс и рассеяние на резонансе в динамике релятивистской заряженной частицы в магнитном поле и электромагнитной волне, Физика плазмы, т. 28, с. 639-650, (2002).

73. S. Takeuchi, К. Sakai, М. Matsumoto, and R. Sugihara, Unlimited acceleration of a charged particle by an electromagnetic wave with a purely transverse electric field, Physics Letters A 122, 257-261 (1987).

74. G. P. Ginet, M. A. Heinemann, Test particle acceleration by small amplitude electromagnetic waves in a uniform magnetic field, Physics of Fluids В 2, 700-714, (1990).

75. H. Karimabadi, K. Akimoto, N. Omidi, and C. R. Menyuk, Particle acceleration by a wave in a strong magnetic field Regular and stochastic motion, Physics of Fluids В 2, 606-628, (1990).

76. N. Yugami, К. Kikuta, and Y. Nishida, Electron Acceleration by a Transverse Electromagnetic Wave Supplemented with a Crossed Static Magnetic Field, Phys. Rev. Lett. 76, 1635-1638, (1996).

77. L. M. Zelenyi, A. V. Artemyev, A. A. Petrukovich, R. Nakamura, H. V. Malova, and V. Y. Popov, Low frequency eigenmodes of thin anisotropic current sheets and Cluster observations, Ann. Geophys. 27, 861-868, (2009).

78. V. L. Krasovsky, Trapped particle effect on the velocity of circularly polarized electromagnetic waves in an isotropic plasma, Phys. Lett. A 374, 1751-1754, (2010).

79. J. Biichner, L.M. Zelenyi, Regular and chaotic charged particle motion in magnetotaillike field reversals. I Basic theory of trapped motion, J. Geophys. Res. 94, 11821-11842, (1989).

80. JI.M. Зеленый, Д.В. Зогнн, И. Бгохнер, Квазиадиабатическая динамика заряженных частиц в магнитосферном хвосте, Космические исследования, т. 28, с. 430-444, (1990).

81. M. Ashour-Abdalla, J. P. Berchem, J. Biichner, L. M. Zelenyi, Shaping of the magnetotail from the mantle Global and local structuring, J. Geophys. Res. 98, 5651-5676, (1993).

82. Д.Л. Вайнштейн, Л.M. Зеленый, А.И. Нейштадт, Квазиадиабатическое описание движения заряженных частиц в конфигурациях с обращением магнитного поля, Физика плазмы, т. 21, с. 484-491, (1995).

83. Д.Л. Вайнштейн, Л.М. Зеленый, А.И. Нейштадт, Квазиадиабатическое описание движения заряженных частиц заряженных частиц в окрестности Х-линии, Физика плазмы, т. 22, с. 1039-1045, (1996).

84. Д.Л. Вайнштейн, Л.М. Зеленый, А.И. Нейштадт, О движении заряженных частиц в хвосте магнитосферы Земли в поле монохроматической волны, Физика плазмы, т. 25, с. 887-896, (1999).

85. D.L. Vainchtein, L.M. Zelenyi, A.I. Neishtadt, and J. Buchner, Quasi-adiabatic description of nonlinear particle dynamics in typical magnetotail configurations, Nonlinear Processes in Geophysics 12, 101115, (2005).

86. D.L. Vainchtein, E.V. Rovinsky, L.M. Zelenyi, and A.I. Neishtadt, Resonances and particle stochastization in nonhomogeneous electromagnetic fields, J. of Nonlin. Sci. 14, 173-205, (2004).

87. B. A. Tverskoy, Main mechanisms in the formation of the Earth's radiation belts. Reviews of Geophysics and Space Physics 7, 219-231, (1969).

88. V. P. Shabansky, Some Processes in the Magnetosphere, Space Sci. Rev. 12, 299-418, (1971).

89. A. E. Antonova, Y. I. Gubar', and A. P. Kropotkin, Effects in the radiation belts caused by the second adiabatic invariant violation in the presence of dayside off-equatorial magnetic field minima, Advances in Space Research 31, 1223-1228, (2003).

90. A. Y. Ukhorskiy, M. I. Sitnov, R. M. Millan, and B. T. Kress, The role of drift orbit bifurcations in energization and loss of electrons in the outer radiation belt, J. Geophys. Res. 116, A15, 9208, (2011).

91. V. Y. Trakhtengerts, Stationary states of the Earth's outer radiation zone, Geomagnetism and Aeronomy 6, 827-836, (1966).

92. A. A. Andronov, V. Yu. Trakhtengerts, Kinetic instability of the Earth's outer radiation belt, Geomagnetism and Aeronomy 4, 233-242, (1964).

93. C. F. Kennel, H. E. Petschek, Limit on Stably Trapped Particle Fluxes, J. Geophys. Res. 71, 1, (1966).

94. W. E. Drummond and M. N. Rosenbluth, Anomalous Diffusion Arising from Microinstabilities in a Plasma, Physics of Fluids 5, 1507-1513, (1962).

95. L. R. Lyons, R. M. Thorne, and C. F. Kennel, Pitch-angle diffusion of radiation belt electrons within the plasmasphere, J. Geophys. Res. 77, 3455-3474, (1972).

96. L. R. Lyons, D. J. Williams, Quantitative aspects of magnetospheric physics, Reidel Publishing Company, Dordrecht Boston Lancaster. 15+231 pp. (1984).

97. D. Summers, B. Ni, N. P. Meredith, Timescales for radiation belt electron acceleration and loss due to resonant wave-particle interactions: 1. Theory, J. Geophys. Res. 112, All, 4206, (2007).

98. R. B. Home, R. M. Thorne, S. A. Glauert, J. M. Albert, N. P. Meredith, R. R. Anderson, Timescale for radiation belt electron acceleration by whistler mode chorus waves, J. Geophys. Res. 110, A9, 3225, (2005).

99. J. M. Albert, Efficient approximations of quasi-linear diffusion coefficients in the radiation belts, J. Geophys. Res. 113, A12, 6208, (2008).

100. O. Santolik, D. A. Gurnett, J. S. Pickett, J. Chum, and N. Cornilleau-Wehrlin, Oblique propagation of whistler mode waves in the chorus source region, J. Geophys. Res. 114, A13, A00F03, (2009).

101. C. Cattell, J. R. Wygant, K. Goetz, et al, Discovery of very large amplitude whistler-mode waves in Earth's radiation belts, Geophys. Res. Lett. 35, 1105, (2008).

102. L. B. Wilson III, C. A. Cattell, P. J. Kellogg, et al, The properties of large amplitude whistler mode waves in the magnetosphere: Propagation and relationship with geomagnetic activity, Geophys. Res. Lett. 38, 17107, (2011).

103. V. I. Karpman, D. R. Shkliar, Particle precipitation caused by a single whistler-mode wave injected into the magnetosphere, Plan. Space Science, 25, 395-403, (1977).

104. J. Bortnik, R. M. Thorne, and U. S. Inan, Nonlinear interaction of energetic electrons with large amplitude chorus, Geophys. Res. Lett. 35, 21102, (2008).

105. P. H. Yoon, Large-amplitude whistler waves and electron acceleration, Geophys. Res. Lett. 38, 12105, (2011).

106. K. G. Orlova, Y. Y. Shprits, Dependence of pitch-angle scattering rates and loss timescales on the magnetic field model, Geophys. Res. Lett. 37, 5105, (2010).

107. В. Ni, R. M. Thorne, N. P. Meredith, et al, Diffuse auroral scattering by whistler mode chorus waves: Dependence on wave normal angle distribution, J. Geophys. Res. 116, A15, 10207, (2011).

108. S. S. Sazhin, R. В. Horne, Quasilongitudinal approximation for whistlermode waves in the magnetospheric plasma, Plan. Space Science, 38, 1551-1553, (1990).

109. Cattell C.A., Mozer F.S., Electric-fields measured by ISEE-1 within and near the neutral sheet during quiet and active times, Geophys. Res. Lett. 9, 1041-1044, (1982).

110. M. Zhou, X.H. Deng, S.Y. Li, Y. Pang, A. Vaivads, H. Reme, E. Lucek, S. Fu, X. Lin, Z.G. Yuan, and J.F. Wang, Observation of waves near lower hybrid frequency in the reconnection region with thin current sheet, J. of Geophys. Res.114, A02216, (2009).

111. M.K. Hudson, W. Lotko, C.A. Cattell, R.L. Lysak, I. Roth, and M. Temerin, Modeling mesoscale processes in the global geospace system, Space Science Reviews 71, 623-646, (1995).

112. M. Zhou, М. Ashour-Abdalla, D. Xiaohua, D. Schriver, M. El-Alaoui, and Y. Pang, THEMIS observation of multiple dipolarization fronts and associated wave characteristics in the near-earth magnetotail, Geophys. Res. Lett. 36, L20107, (2009).

113. A. T. Y. Lui, Potential Plasma Instabilities For Substorm Expansion Onsets, Space Science Reviews 113, 127-206, (2004).

114. A. A. Galeev, Reconnection in the magnetotail, Space Science Reviews 23, 411-425, (1979).

115. A. Runov, V. Angelopoulos, M. I. Sitnov, et al, THEMIS observations of an earthward-propagating dipolarization front, Geophys. Res. Lett. 36, L14106, (2009).

116. M. I. Sitnov, M. Swisdak, and A. V. Divin, Dipolarization fronts as a signature of transient reeonnection in the magnetotail, J. Geophys. Res. 114, A13, A04202, (2009).

117. M. Fujimoto, I. Shinohara, and H. Kojima, Reconnection and Waves: A Review with a Perspective, Space Sci. Rev. 160, 123-143, (2011).

118. Буланов С. В., Сасоров П. В., Энергетический спектр частиц, ускоряемых в окрестности нулевой линии магнитного поля, Астрономический Журнал, т. 52, с. 763-771, (1975).

119. L. М. Zelenyi, J. G. Lominadze, and A. L. Taktakishvili, Generation of the energetic proton and electron bursts in planetary magnetotails, J. Geophys. Res. 95, 3883-3891, (1990).

120. G. E. Vekstein, E. R. Priest, Nonlinear magnetic reconnection with collisionless dissipation, Physics of Plasmas 2, 3169-3178, (1995).

121. S. P. Christon, D. J. Williams, D. G. Mitchell, et al, Spectral characteristics of plasma sheet ion and electron populations during undisturbed geomagnetic conditions, J. Geophys. Res. 94, 13409-13424, (1989).

122. P. J. Kellogg, S. D. Bale, Nearly monochromatic waves in the distant tail of the Earth, J. Geophys. Res. 109, A18, 4223, (2004).

123. Y. V. Khotyaintsev, С. M. Cully, A. Vaivads, et al, Plasma Jet Braking: Energy Dissipation and Nonadiabatic Electrons, Physical Review Letters 106, 165001, (2011).

124. А. В. Тимофеев, К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения, ЖЭТФ, т. 75, с. 1303-1308, (1978).

125. А. И. Нейштадт, А. В. Тимофеев, Явление авторезонанса при электронном циклотронном нагреве плазмы, ЖЭТФ, т. 93, с. 1706-1713, (1987).

126. Гуревич А.В., Цедилина Е.Е. Сверхдальнее распространение коротких радиоволн. М.: Наука, 1979, гл. 3.

127. И. М. Лифшиц, А. А. Слуцкин, В. М. Набутовский, Об особенностях движения заряженных частиц в переменном и неоднородном электромагнитном поле, ЖЭТФ, т. 41, с. 939-948, (1961).

128. J. Wisdom, A perturbative treatment of motion near the 3/1 commensurability, Icarus 63, 272-289, (1985).

129. D.L. Vainshtein, A.A. Vasiliev, and A.I. Neishtadt, Changes in the adiabatic invariant and streamline chaos in confined incompressible Stokes flow, Chaos 6, 67-77, (1996).

130. A.I. Neishtadt, D.L. Vainshtein, and A.A. Vasiliev, Chaotic advection in a cubic Stokes flow, Physica Dill, 227-242, (1998).

131. A. P. Itin, R. de la Llave, A. I. Neishtadt, and A. A. Vasiliev, Transport in a slowly perturbed convective cell flow, Chaos 12, 1043-1053, (2002).

132. J. R. Сагу, D. F. Escande and J. Tennyson, Adiabatic invariant change due to separatrix crossing, Phys. Rev. A 34, 4256-4275, (1986).

133. А. И. Нейштадт, Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису, Физика плазмы, т. 12, с. 992-1000, (1986).

134. А. И. Нейштадт, Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в системах с двумя степенями свободы, Прикл. мат. и мех., т.51, с.750-757, (1987).

135. J. R. Сагу, R. Т. Skodje, Phase change between separatrix crossings, Physica D 36, 287-316, (1989).

136. A. Vasiliev, A. Neishtadt, A. Artemyev, L. Zelenyi, Jump of the adiabatic invariant at a separatrix crossing: Degenerate cases, Physica D 241, 566-573, (2012).

137. T. J. Kaper and G. Kovacic, A geometric criterion for adiabatic chaos, J. Math. Phys. 35, 1202-1218, (1994).154| D. S. Bruhwiller, J. R. Cary, Diffusion of particles in a slowly modulated wave. Physica D 40, 265-282, (1989).

138. A. I. Neishtadt, V. V. Sidorenko, Wisdom system: dynamics in the adiabatic approximation. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 90, 307-330, (2004).

139. Y. Elskens, D. F. Escande, Slowly pulsating separatrices sweep homoclinic tangles where islands must be small: an extension of classical adiabatic theory. Nonlinearity 4, 615-667, (1991).

140. A. I. Neishtadt, V. V. Sidorenko, D. V. Treschev, Stable periodic motions in the problem of passage through a separatrix, Chaos 7, 2-11, (1997).

141. А. И. Нейштадт, В. В. Сидоренко, Д. В. Трещев, Об островах устойчивости в области переходов через сепаратрису. В кн.: Нелинейная механика, под ред. В. М. Матросова, В. В. Румянцева, А. В. Кара-петяна. М.: Физматлит, 2001, С. 192-203.

142. Т. W. Speiser, Particle Trajectories in Model Current Sheets, 1, Analytical Solutions, J. Geophys. Res. 70, 4219-4226, (1965).

143. J. W. Eastwood, Consistency of fields and particle motion in the 'Speiser' model of the current sheet, Planetary and Space Science 20, 1555-1568. (1972).

144. A. P. Kropotkin, H. V. Malova, and M. I. Sitnov, Self-consistent structure of a thin anisotropic current sheet, J. Geophys. Res. 102, 22099-22132, (1997).

145. M. I. Sitnov, L. M. Zelenyi, H. V. Malova, and A. S. Sharma, Thin current sheet embedded within a thicker plasma sheet: Self-consistent kinetic theory, J. Geophys. Res. 105, 13029-13044, (2000).

146. L. M. Zelenyi, M. I. Sitnov, H. V. Malova. and A. S. Sharma, Thin and superthin ion current sheets. Quasi-adiabatic and nonadiabatic models, Nonlinear Processes in Geophysics 7, 127-139, (2000).

147. M. Ashour-Abdalla, L. M. Zelenyi, J. M. Bosqued, R. A. Kovrazhkin, Precipitation of fast ion beams from the plasma sheet boundary layer, Geophys. Res. Lett. 19, 617-620, (1992).

148. A. Keiling, H. Reme, et al., Transient ion beamlet injections into spatially separated PSBL flux tubes observed by Cluster-CIS, Geophys. Res. Lett. 31, L12804, (2004).

149. E. E. Grigorenko, A. O. Fedorov, et al., Spatial structure of beamlets according to Cluster observations, Planetary and Space Science 53, 245254, (2005).

150. E. E. Grigorenko, M. Hoshino, et al, "Geography" of ion acceleration in the magnetotail: X-line versus current sheet effects, J. Geophys. Res. 114, 3203, (2009).

151. E. E. Grigorenko, L. M. Zelenyi, M. S. Dolgonosov, A. V. Artemiev, et al., Non-adiabatic Ion Acceleration in the Earth Magnetotail and Its Various Manifestations in the Plasma Sheet Boundary Layer, Space Sci. Rev. 164, 133-181, (2011).

152. J.E.Bayfield and P.M.Koch, Multiphoton ionization of highly excited hydrogen-atoms, Phys. Rev. Lett. 33, 258-261, (1974).

153. J.G.Leopold and I.C.Percival, Microwave ionization and excitation of rydberg atoms, Phys Rev. Lett. 41, 944-947, (1978).

154. P.Bellomo, C.R.Stroud, Jr., D.Farrelly, and T.Uzer, Quantum-classical correspondence in the hydrogen atom in weak external fields, Phys. Rev. A 58, 3896-3913, (1998).

155. B.V.Chirikov, Universal instability of many-dimensional oscillator systems, Phys. Rep. 52, 265-379, (1979).

156. J.Zakrzewski, R.G§barowski, and D.Delande, Two-dimensional quantum hydrogen atom in circularly polarized microwaves: Global properties, Phys. Rev. A 54, 691-709, (1996).

157. K.Sacha and J.Zakrzewski, H atom in elliptically polarized microwaves: Semiclassical versus quantum resonant dynamics, Phys. Rev. A 58, 39743982, (1998).

158. C.Chandre, D.Farrelly, and T.Uzer, Thresholds to chaos and ionization for the hydrogen atom in rotating fields, Phys. Rev. A 65, 053402, (2002).

159. B.Meerson and L.Friedland, Strong autoresonance excitation of Rydberg atoms the Rydberg accelerator, Phys. Rev. A 41, 5233-5236, (1990).

160. E. Grosfeld and L. Friedland, Spatial control of a classical electron state in a Rydberg atom by adiabatic synchronization, Phys. Rev. E 65, 046230, (2002).

161. P. Ehrenfest, Adiabatic invariants and the theory of quanta, Philosophical Magazine 33, 500, (1917).

162. L. Navarro and E. Perez, Paul Ehrenfest: The Genesis of the Adiabatic Hypothesis, Arch. Hist. Exact Sei. 60, 209 (2006).

163. A. M. Дыхне, Квантовые переходы в адиабатическом приближении, ЖЭТФ, т. 38, с. 570, (1960).

164. М. Н. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, С. Е. Wieman, and Е. A. Cornell, Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor, Science 269, 198 (1995).

165. К. B. Davis, M.-O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M. Kurn, and W. Ketterle, Bose-Einstein condensation in a gas of sodium atoms, Phys. Rev. Lett. 75, 3969, (1995).

166. F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases , Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999).

167. C. J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein condensation in dilute gases (Cambridge University Press, 2001).

168. L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose-Einstein condensation. Clarendon Press, Oxford, 2003.

169. O. Zobay, В. M. Garraway, Time-dependent tunnelling of Bose-Einstein condensates, Phys. Rev. A 61, 033603, (2000).

170. A. Smerzi, S. Fantony, S. Giovanazzi, and S. R. Shenoy, Quantum coherent atomic tunneling between two trapped Bose-Einstein condensates, Phys. Rev. Lett. 79, 4950-4953, (1997).

171. K. W. Mahmud, H. Perry, and W. P. Reinhardt, Quantum phase-space picture of Bose-Einstein condensates in a double well, Phys. Rev. A 71, 023615, (2005).

172. E. Pazy, I. Tikhonenkov, et al, Nonlinear adiabatic passage from fermion atoms to boson molecules, Phys. Rev. Lett. 95, 170403, (2005).

173. G. Santos, A. Tonel, A. Foerster, and J. Links, Classical and quantum dynamics of a model for atomic-molecular Bose-Einstein condensates, Phys. Rev. A 73, 023609, (2006).

174. A.P. Hines, R.H. McKenzie, and G.J. Milburn, Entanglement of two-mode Bose-Einstein condensates, Phys. Rev. A 67, 013609, (2003).

175. A. Vardi, V. A. Yurovsky, and J. R. Anglin, Quantum effects on the dynamics of a two-mode atom-molecule Bose-Einstein condensate, Phys. Rev. A 64, 063611, (2001).

176. P. Reimann, Brownian motors: noisy transport far from equilibrium. Phys. Rep. 361, 57-265, (2002).

177. Г. M. Заславский, Физика хаоса в гамильтоновых системах, Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2004.

178. P.Jung, J.G.Kissner, and P.Hanggi, Regular and chaotic transport in asymmetric periodic potentials: Inertia ratchets, Phys.Rev.Lett. 76, 3436-3439, (1996).

179. J.L.Mateos, Chaotic transport and current reversal in deterministic ratchets, Phys.Rev.Lett. 84, 258-261, (2000).

180. O.Yevtushenko, S.Flach, and K.Richter, ас-driven phase-dependent directed diffusion, Phys. Rev. E 61, 7215-7218, (2000).

181. S.Flach, O.Yevtushenko, and Y.Zolotaryuk, Directed current due to broken time-space symmetry, Phys.Rev.Lett. 84, 2358-2361, (2000).

182. S.Denisov and S.Flach, Dynamical mechanisms of dc current generation in driven Hamiltonian systems, Phys. Rev. E 64, 056236, (2001).

183. S.Denisov, et. al. Broken space-time symmetries and mechanisms of rectification of ac fields by nonlinear (non)adiabatic response, Phys. Rev. E 66, 041104, (2002).

184. D. Hennig, L. Schimansky-Geier and P. Hanggi, Slowly rocking symmetric, spatially periodic Hamiltonians: The role of escape and theemergence of giant transient directed transport, Eur. Phys. J. В 62, 493503, (2008).

185. G. M. Zaslavsky, Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport, Phys. Rep. 371, 461-580, (2002).

186. Б. В. Чириков, Прохождение нелинейной колебательной системы через резонанс, Докл. АН СССР, т. 125, с. 1015-1018, (1959).

187. В. В. Козлов, Симметрии, топология и резонансы в гамильтоно-вой механике. Ижевск, Издательство Удмуртского государственного университета, 1995.

188. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики. Изд. 2-е. М.: Эдиториал УРСС, 2002, 416 с.

189. A. I. Neishtadt, On Adiabatic Invariance in Two-Frequency Systems, In: "Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom Ed. C.Simo, NATO ASI Series, Series C, vol. 533, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 193-213, (1999).

190. А. И. Нейштадт, Захват в резонанс и рассеяние на резонансах в двух-частотных системах, Труды Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. т. 250, с. 198, (2005).

191. В. И. Арнольд, Математические методы классической механики. М: Эдиториал УРСС, 1999.

192. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Наука, 1974, 504 с.

193. В. И. Арнольд, Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходчт через резонансы, Докл. АН СССР, т. 161, с. 9-12, (1965).

194. P. Goldreich, S. Peale, Spin-orbit coupling in solar system, Astron. J. 71, 425, (1966).

195. A. M. Molchanov, Resonant structure of Solar system law of planetary distances, Icarus 8, 203. (1968).

196. Г. M. Заславский, P. 3. Сагдеев, Введение в нелинейную физику. М., Наука, 1988.

197. D. Dolgopyat, Repulsion from resonances, Preprint, University of Maryland, 2004.

198. V. V. Solov'ev and D. R. Shklyar, Particle heating by a low-amplitude wave in an inhomogenious magnetoactive plasma, Sov. Phys. JETP 63, 272-277, (1986).

199. M. Feingold, L. P. Kadanoff, and O. Piro, Passive scalars, 3-dimensional volume-preserving maps, and chaos, J. of Statistical Physics 50, 529-565, (1988).

200. O. Gendelman, L. I. Manevitch, A. F. Vakakis, and R. M'Closkey, Energy pumping in nonlinear mechanical oscillators: part I -Dynamics of theunderlying Hamiltonian systems, J. of Applied Mechanics-Transactions of the ASME 68, 34-41, (2001).

201. I. Mezic, Break-up of invariant surfaces in action-angle-angle maps and flows, Physica D 154, 51-67, (2001).

202. D. L. Vainchtein, J. Widloski, and R. O. Grigoriev, Resonant mixing in perturbed action-action-angle flow, Phys. Rev. E 78, 026302, (2008).

203. V. Rom-Kedar and D. Turaev, The symmetric parabolic resonance, Nonlinearity 23, 1325-1351, (2010).

204. R. B. Decker, L. Vlahos, Shock drift acceleration in the presence of waves, J. Geophys. Res. 90, 47-56, (1985).

205. V. N. Lutsenko, K. Kudela, Almost monoenergetic ions near the Earth's magnetosphere boundaries, Geophys. Res. Lett.26, 413-416, (1999).

206. A. Klassen, R. Gomez-Herrero, R. Miiller-Mellin, et al., STEREO/SEPT observations of upstream particle events: almost monoenergetic ion beams, Annales Geophysicae 27, 2077-2085, (2009).

207. Б. В. Сомов, Магнитное пересоединение в солнечных вспышках, УФЫ, т. 180, с. 997-1000, (2010).

208. S. Tsuneta, Т. Naito, Fermi Acceleration at the Fast Shock in a Solar Flare and the Impulsive Loop-Top Hard X-Ray Source, Astrophys. J. Lett. 495, L67, (1998).

209. G. Mann, A. Warmuth, H. Aurass, Generation of highly energetic electrons at reconnection outflow shocks during solar flares, Astron. Astrophys. 494, 669-675, (2009).

210. A. Klassen, V. Bothmer, G. Mann, et al., Solar energetic electron events and coronal shocks, Astron. Astrophys. 385, 1078-1088, (2002).

211. S. Kasahara, E. A. Kronberg, N. Krupp, et al., Magnetic reconnection in the Jovian tail: X-line evolution and consequent plasma sheet structures, Journal of Geophysical Research (Space Physics) 116, A11219, (2011).

212. E. A. Kronberg, S. Kasahara, N. Krupp, J. Woch, Field-aligned beams and reconnection in the jovian magnetotail, ICARUS 217, 55-65, (2012).

213. В. И. Арнольд, Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике, Успехи мат. наук, т. 18, с. 85, (1963).

214. A. I. Neishtadt, Scattering by resonances, Celestial Mech. and Dynamical Astronomy 65, 1-20, (1997).

215. J.R.Cary, S.G.Shasharina, Probability of orbit transition in asymmetric toroidal plasma, Phys. Fluids В 5, 2098-2121, (1993).

216. А. И. Нейштадт, Некоторые резонансные задачи в нелинейных системах, кандидатская диссертация, МГУ, 1975.

217. A. I. Neishtadt, Averaging and passage through resonances, In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians Kyoto 1990, Springer 1991.

218. Г. M. Заславский, С. С. Моисеев, А. А. Черников, Динамика и излучение частиц, захваченных потенциальной волной в поперечном магнитном поле, ЖЭТФ, т.91, с. 98, (1986).

219. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, М., Наука, 1988.

220. М. Е. Dieckmann, A. Bret, Р. К. Shukla, Electron surfing acceleration by mildly relativistic beams: wave magnetic field effects, New Journal of Physics 10, 013029, (2008).

221. D. Vainchtein, I. Mezic, Capture into Resonance: A Method for Efficient Control, Physical Review Letters 93, 084301, (2004).

222. H. Alfven, A theory of magnetic storms and of the aurorae, Kgl. Sv. Vet. Ak. Handl., Tredje Ser., v.3, 18, (1939).

223. H. H. Боголюбов, Д. H. Зубарев, Метод асимптотического приближения для систем с вращающейся фазой и его применение к движению заряженных частиц в магнитном поле, Укр. мат. журн., т. 7, с. 5-7, (1955).

224. J. R. Сагу, A. J. Brizard, Hamiltonian theory of guiding-center motion, Reviews of Modern Physics 81, 693-738, (2009).

225. W. Baumjohann, A. Roux, O. Le Contel,et al., Dynamics of thin current sheets: Cluster observations, Annales Geophysicae 25, 1365-1389, (2007).

226. A. S. Sharma, R. Nakamura, A. Runov, et al., Transient and localized processes in the magnetotail: a review, Annales Geophysicae 26, 9551006, (2008).

227. De Hoffman F., Teller E., Magneto-hydrodynamic shocks, Phys.Rev. 80, 692-703, (1950).

228. Littlejohn R.G., Geometry and guiding center motion, In: Contemporary Mathematics vol. 28, ed. by J. E. Marsden, American Mathematical Society, Providence, RI, 151-167, (1984).

229. Omura Y., Kojima H., Miki N., Matsumoto H., Electrostatic solitary waves carried by diffused electron beams observed by the Geotail spacecraft, J. Geophys. Res. 104, 14627-14637, (1999).

230. Li S.Y., Deng X.H., Zhou M. et al., Adv. Space Res. 43, 394, (2009).

231. J.K. Kevorkian and J.D. Cole, Multiple Scale and Singular Perturbation Methods, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1996.

232. D.L. Vainchtein, J. Widloski, and R.O. Grigoriev, Mixing properties of steady flow in thermocapillary driven droplets, Phys. of Fluids 19, 067102, (2007).

233. V Angelopoulos et al, Tail reconnection triggering substorm onset, Science 321, 931-935, (2008).

234. Z. Voeroes, M. P. Leubner, A. Runov, V. Angelopoulos, and W. Baumjohann, Evolution of kinklike fluctuations associated with ion pickup within reconnection outflows in the earth's magnetotail, Phys. of Plasmas 16, 120701, (2009).

235. N. F. Ness, The Earth's Magnetic Tail, J. Geophys. Res. 70, 2989-3005, (1965).

236. A. Runov, V. A. Sergeev, R. Nakamura. et al., Local structure of the magnetotail current sheet: 2001 Cluster observations, Annales Geophysicae 24, 247-262, (2006).

237. R. Nakamura, W. Baumjohann, A. Runov, Y. Asano, Thin Current Sheets in the Magnetotail Observed by Cluster, Space Science Reviews 122, 29-38, (2006).

238. A. A. Petrukovich, А. V. Artemyev, Н. V. Malova, et al., Embedded current sheets in the Earth magnetotail, Journal of Geophysical Research (Space Physics) 116, A15, A00I25, (2011).

239. P. C. Gray, L. C. Lee, Particle pitch angle diffusion due to nonadiabatic effects in the plasma sheet, J. Geophys. Res. 87, 7445-7452, (1982).

240. B. U. 0. Sonnerup, Adiabatic particle orbits in a magnetic null sheet, J. Geophys. Res. 76, 8211-8222, (1971).

241. W. Baumjohann, G. Paschmann, C. A. Cattell, Average plasma properties in the central plasma sheet, J. Geophys. Res. 94, 6597-6606, (1989).

242. A. V. Artemyev, W. Baumjohann, A. A. Petrukovich, et ah, Proton/electron temperature ratio in the magnetotail, Annales Geophysicae 29, 2253-2257, (2011).

243. JI. M. Зелёный, А. В. Артемьев, X. В. Малова, А. А. Петрукович, P. Накамура, Метастастабильность токовых слоёв, УФН 180, 973-982, (2010).

244. М. С. Долгоносов, Л. М. Зелёный, Е. Е. Григоренко, Ж. А. Сово, Транзиентные свойства пространственных структур в пограничнойобласти плазменного слоя, Космические Исследования 46, 563-571, (2007).

245. L. М. Zelenyi, М. S. Dolgonosov, V. Peroomian, М. Ashour-Abdalla, Effects of nonlinearity on the structure of PSBL beamlets, Geophys. Res. Lett. 33, L18103, (2006).

246. P. А. Ковражкин, M. С. Долгоносов, Ж. А. Сово, Скейлинг энергии ионных пучков в низковысотном пограничном плазменном слое, Письма в ЖЭТФ, т. 95, с. 258-262, (2012).

247. А. I. Neishtadt, Probability phenomena due to separatrix crossing, Chaos 1, 42-48, (1991).

248. F. A. Tal and E. Vanden-Eijnden, Transition state theory and dynamical corrections in ergodic systems, Nonlinearity 19, 501-509, (2006).

249. J. Moser, On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl. II, 1-20, (1962).

250. M. Abramowitz and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions, With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (Dover Publications), 1965.

251. D.Brouwer and G.Clemens, Methods of celestial mechanics, Academic Press, New York and London, 1961.

252. А. И. Нейштадт, Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно меняющимся параметром, ПММ, т.39, с. 621-632, (1975).

253. А. Т. Sinclair, Origin of commensurabilities amongst satellites of Saturn, Month. Notic. Roy. Astron. Soc. 160, No.2, 169 (1972).

254. R. J. Greenberg, Evolution of satellite resonances by tidal dissipation, Astron. J. 78, No.4, 338-346, (1973).1278. M. Tavis and F. W. Cummings, Exact solution for an N-molecule-radiation-field Hamiltonian, Phys. Rev. 170, 379, (1968).

255. R. H. Dicke, Coherence in spontaneous radiation processes, Phys. Rev. 93, 99-110, (1954).

256. R. Bonifacio and G. Preparata, Coherent spontaneous emission, Phys. Rev. A 2, 336, (1970).

257. E. K. Sklyanin, Separation of variables new trends, Progr. Theoret. Phys. Suppl. 118, 35-60, (1995).

258. V. B. Kuznetsov, Quadrics on real riemarmian spaces of constant curvature separation of variables and connection with Gaudin magnet. J. Math. Phys. 33, 3240-3254, (1992).

259. M. Mackie, K.-A. Suominen and J.Javanainen, in Interactions in Ultracold Gases: From Atoms to Molecules, ed. by M.Weidemuller,

260. K.Zirrirnermann (Wiley-Vch, 2003); A. Ishkhanyan, M. Mackie, P.L. Gould, and J. Javanainen, ibid.

261. T.Koehler, K.Goral, P.S. Julienne, Production of cold molecules via magnetically tunable Feshbach resonances, Rev. Mod. Phys. 78, 1311, (2006).

262. M. Duncan et al., Emergent quantum phases in a heteronuclear molecular Bose-Einstein condensate model, Nucl. Phys. В 767, 227, (2007).

263. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, М., Наука, 1974.

264. R. I. McLachlan, P. Atela, The accuracy of symplectic integrators, Nonlinearity 5, 541-562, (1992).

265. A. I. Neishtadt, D. Scheeres, V. V. Sidorenko, A. A. Vasiliev, Evolution of comet nucleus rotation, Icarus 157, 205-218, (2002).

266. A. P. Itin, A. I. Neishtadt, A. A. Vasiliev, Resonant phenomena in slowly perturbed rectangular billiards, Physics Lett. A 291, 133-138, (2001).

267. А. P. Itin, A. I. Neishtadt, A. A. Vasiliev, Resonant phenomena in slowly irregular waveguides, J. Math. Sci. (N. Y.) 128, 2778-2781, (2005).

268. И. В. Горелышев, А. И. Нейштадт, О смене режима распространения лучей в плавно нерегулярном волноводе, Мат. Заметки, т. 84, с. 348 364, (2008).

269. I. V. Gorelyshev, A. I. Neishtadt, Jump in adiabatic invariant at a transition between modes of motion for systems with impacts, Nonlinearity 21, 661-676, (2008).