Алгебраические методы исследования свойств симметрии и ее нарушений в объединенных моделях взаимодействия элементарных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ8 ОД

Государственный комит ет рос;снйск'(.)й фе^ерап и и

по высшему образованию санкт-петербургский государственный уннрерсн! к'!

На пра.чах ]>л К'-п.н и

ляховский

Владимир Дмитриевич

алгебраические методы исследован1.!п свойств симметрии и ее нарушений в объединенных моделях взаимодействия элементарных частиц

(01.04.02 - теоретическая финика)

А п т о р е ф е и а т диссертации на соискание ученой стснепи доктора фипмкоматемаппсскнх наук

Слнк г-Пе,гер'"л'1ч 109.". г.

Работа выполнена и отделе теоретической фноики Научно-иеследова-телм.хого института фпонкц Санкт-Петербургского государственного уни иерситета.

Официальные оппоненты:

доктор фиошт, математических наук П.П.Кулиш,

доктор фиэико-математяческих наук В.И.Ткач,

доктор физико-математических наук И.В.Комаров,

Ведущая организаций - Объединенный институт ядерных иссле-

дований (г.Дубин)

Зашита состоится ^¿«■'¿У?.^ 1993г.

.{•■ьо "

нЪ™. час. на оаседанин сиециалшлзроиашюго совета Д 063.57.15 по оа-щнто диссертаций на соискание ученой степени доктора фпоико-матема-тичсских наук при Санкт-Петербургском государственном университете но адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно оонакомпться в библиотеке Санкт-Петербургского университета.

Автореферат раоослан "А" 1993г.

Ученый секретарь

сменка лжшроиашюго сонета

доктор фш >и ко- »• а тем атиче сх их наук А.II.Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Один из основных принципов строительства моделей - принцип соответствия - проявляется в том, что переходы между теориями имеют предельный характер. Этот аспект принципа соответствия, а именно, дискретное изменение свойств модели при предельных оначениях ее фиоических параметров, отражается также на свойствах инвариантности и группах симметрии. В теоретико-групповой формулировке принципа соответствия для всякой физической теории, являющейся приближением или предельным случаем другой фиоической теории, алгебры операторов н?,6людаемых должны быть блиоки (связаны предельным переходом). В геометрическом описании каждому такому предельному переходу сопоставляется гладкая кривая на пространстве структурных констант алгебр фиксированной размерности. Алгебры, свяоанные предельным переходом, экспериментально неразличимы я при строительстве модели наряду с некоторой основной симметрией следует рассматривать и все блиокие к ней.

Инварианты исходной алгебры при предельном переходе диктуют жесткие свяои для инвариантных операторов предельной симметрии, собственные оначения которых сопоставляются наблюдаемому спек тру. Задача поучения обобщенных симметрии сводится к исследова нию "допредельных" алгебр симметрии, предел которых содержал бы алгебры релятивистской и внутренней симметрии в виде прямой суммы и не имел бы дополнительных, "нефиоических", генераторов. Такие ал гебры могут быть в частности построены как деформации соответ ствующих исходных алгебр симметрии. Поучение деформаций прями:: сумм пространственно-временной и внутренней алгебр симметрии ыза имодействия элементарных частиц привело к отрицательному реиулт,-. тату. Было показано, что прямая сумма алгебры Пуанкаре и полупростой алгебры не имеет физически нетривиальных деформаций.

Появление суперсимметричных моделей взаимодействия элемента]» ных частиц вновь усилило интерес к проблеме спектра состояний. Бмл» установлено, что введение калибровочной сунерсимметрии означает появление калибровочной группы Пуанкаре, то есть включение в оощую схему симметрии гравитационного воаимодействия. Благодаря расширению пространства алгебры симметрии п чоме^еш'.ю формы с», оакоьа композиции открылись дополнительные возможности дья построения

блиоких симметрии. Однако для сулералгебр необходимый аппарат теории деформаций отсутствовал.

Решительный шаг в раовитии концепции блиоких симметрии был предпринят в свяеи с испольозванием в'суиергравитацки идей раямер-ной редукции и спонтанной компактификацпи. В классических вариантах моделей Калуцы-Клейна баловал конструкция представляет собой ковариантную теорию поля в Б — 4 + п иомерениях, содержащую метрические, теноорные калибровочные поля и поля материи. Предполагается, что теория допускает такое основное состояние, в котором .О-мерное пространство расщепляется на 4-мерное пространство-время и внутреннее п-мерное многообразие. Последнее предполагается компактным и обладающим эйнштейновской метрикой. Бели такое вакуумное состояние оказывается энергетически более выгодным в силу свойств полей исходной теории, то эффект в целом наоывают спонтанной компактнфикацией. Флуктуации многомерных полей над вакуумным решением раолагаются по гармоникам внутреннего пространства я кооффициенты этого раоложеная рассматриваются как фиоические поля аффективной 4-мерной теории. Группа иоометрии внутреннего многообразия становится калибровочной группой. В итоге получаем 4-мерную калибровочную теорию, описывающую гравитацию, ферми-онные поля, скаляры (типа полей Хиггса) и калибровочные поля группы иоометрпи.

В многомерных моделях раамерной редукции механизм спонтанной компактифнкации дополняется требованием инвариантности, полного лагранжиана относительно преобраоований иоометрии внутреннего многообразия. Инвариантность обеспечивается тем, что всякое преоб-раоование по группы иоометрии компенсируется калибровочным пре-обраоованием исходной калибровочной группы. Калибровочная инвариантность полного лагранжиана приводит к тому, что теория в целом не оавиепт от координат внутреннего пространства. Стандартная раомерная редукция, то есть усреднение по внутренним координатам, порождает аффективную четырехмерную теорию. В ней помимо спи-норных п калибровочных полей появляются мультинлеты скалярных полей, играющих роль полей Хиггса. Калибровочная группа 4-мерного лгирашнвана сужается до централизатора группы голономии внутреннего многообразия и исходной калибровочной группе. Важной особен-

ностыо этих моделей является вооможность дополнительного нарушения симметрии оа.счет топологических оарядов внутреннего многооб разия. ТЪким образом может иметь место многократное спонтанное нарушение симметрии.

До сих пор близкие симметрии рассматривались в рамках категории конечномерных алгебр Ли и соответствующих им групп Ли. Можно ослабить ото ограничение и рассмотреть деформации бесконеч-

номерной универсальной обертывающей алгебры и (А) , то есть алгебры операторов, порожденных алгеброй Ли симметрии. Требования инвариантности теории относительно группы б с алгеброй А заменяются на условия согласования алгебраических и коалгебранческих свойств и<,(А). Такие деформации получили наование квантовых алгебр Ли. Первоначально они применялись для описания симметрии точно решаемых моделей теории поля. В настоящее время квантовые алгебры и квантовые группы используются в самых различных областях теоретической физики. С точки орения строительства моделей объединенной симметрии элементарных частиц особенно примечательно, что механиом Калуцы-Клейна в моделях с некоммутативной геометрией (то есть с квантовой группой пространственно-временной симметрии) может приводить к появлению симметрии, сравнимых с симметриями низ-ковнергетического сектора взаимодействий, в том числе и с группой симметрии стандартной модели.

Цель диссертационной работы. Основная цель диссертационной работы состоит в разработке системы новых алгебраических методов исследования нарушения симметрии, способных преодолеть специфические трудности, возникающие при изучении многомерных моделей и моделей с квантовыми группами симметрии.

Эти трудности проистекают прежде всего ив множественности допустимых схем внутренней симметрии и ее нарушений. При сравнении физических характеристик модели для различных комиактификацнй и топологических особенностей необходимо для каждого внутреннего многообразия иметь явный вид базиса гармонического разложения и спектров инвариантных операторов. Подразумевается также, что для каждой геометрии внутреннего пространства должна быть возможность

построить все спинорные структуры. Существующие методы построения спинорных структур применимы лишь для пространств с простой топологией и малой размерностью. Базисные гармоники должны кроме того иметь удобную параметризацию. В противном случае трудности прп расчете квантовых поправок к основному состоянию могут оказаться непреодолимыми.

Понятие близких симметрий предлагается положить в основу алгебраического подхода к исследованию процессов нарушения симметрии. С втой точки зрения главной особенностью многомерных моделей является спонтанная компактификация внутреннего пространства и соответствующее нарушение инвариантности. В тех случаях, когда первоначальная симметрия явно не формулируется, как в моделях многомерной вселенной, она присутствует в виде симметрии исходного лагранжиана или многомерных уравнений движения. Этим уравнениям удовлетворяет и вакуумное состояние и его возбуждения. Так что после выделения внутреннего пространства связь между собственными значениями операторов Казимира пространственно-временной и внутренней симметрий сохраняется.Имеет место классический вариант поведения системы при переходе к предельной симметрии за счет сжатая исходной алгебры. При последующей спонтанной комнактификации вну-чреннего пространства, напротив, операторы Казимира группы движения плоского многообразия формируют инвариантные операторы компактного пространства. Происходит деформация внутренней неоднородной симметрии. Ткким образом, алгебраический подход к изучению механизма Калуцы-Клейна будет состоять в расширении диапазона исследуемых моделей, когда в окрестность исходной алгебры наблюдаемых включаются не только ее сжатия ц деформации, но и продукты комбинированных предельных переходов.

Чтобы найти все допустимые вакуумные решения и полевые конфигурации возбужденных состояний, необходимо прежде нсею построить такую окрестность исходной труппы симметрии, которая coo i ветство-лала бы физическому смыслу процедуры спонтанной комплктпфпкацнн. Ока до.тжна содержать близкие симме) рин, каждая из коюрых предст а-ннма ь ницо последовательности сжатий и деформаций. Промеж) точная (сжатая) симметрии должна иметь нормальную но:и рунпу. факторизация по которой прикола i к прямому прчиииеДенню прост panel н"нно-

G

временной и внутренней симметрии или блиоких к ним. Если в полученном множестве внутренних пространств {А'} выделить пространства одного топологического типа (например, сферы), то элементы полученного подмножества будут связаны симметричным рескейлингом метрики. Цепочки однородных пространств, связанных рескейлингом, будут параметриоованы переменными деформации групп симметрии внутреннего многообразия. Собственные значения инвариантных операторов в одной цепочке рескейлинга описываются общими формулами, предусматривающими явную (зависимость инвариантных наблюдаемых от параметров деформации.

Введение дискретных групп Г в группу голономии однородного пространства эквивалентно ограничению цепочки рескейлинга. Допустимыми остаются лишь те внутренние многообразия, для которых представления группы симметрии пространства X реализуют подгруппу Г точно.

Предложенный алгебраический подход дает единое описание классов многомерных моделей с блиокой симметрией. Их внутренние многообразия представляют собой параметрические семейства однородных пространств, свяоанных одновременной деформацией группы симметрии и подгруппы стабильности.

Для реализации этого подхода необходимо обобщить методы теории деформаций, чтобы получить возможность единого описания всех предельных переходов в алгебрах симметрии и изучить свойства таких деформаций. Требуется разработать методы редукции представлений алгебр Ли как для регулярных, так и для специальных вложений и решить задачу параметризации подпредставленпй. Тем самым будет решена проблема гармонического разложения полей на фактор-пространствах с учетом дискретных подгрупп, описывающих топологические свойства внутренних многообразий. Необходимо также найти алгоритмы построения спинорных структур на однородных пространствах, которые позволили бы изучать свойства спинорных полей на классах вакуумных решений в многомерных моделях.

Использование квантовых алгебр симметрии в теории элементарных частиц также связано с решением проблемы построения окрестности исходной ("классической")симмечрин. Широкое применение кпантоных алгебр сдерживается тем обстоятельством, что известные схемы к пал

тования пригодны лишь для комплексных полупростых алгебр Ли. Тогда кок с точки орения приложений наибольший интерес представляют ненолуиростые вещественные квантовые алгебры.

Последовательно нсполызуя методы теории деформаций, можно решить оадачу квантования произвольной алгебры Ли, что существенно упростит исследование симметрии, описываемых квантовыми алгебрами и квантовыми группами. В основу нового метода квантования следует положить построение и классификацию допустимых форм копро-иоведения в квантовых алгебрах. После того как вид копроиоведения оафиксирован, оадача квантования сводится к решению уравнений деформации для оакона компооиции в и (А) и его согласования с копроио-ведением. Преимущества такого подхода оаключаются в том, что в нем испольоуются общие свойства копроиоведений, не связанные со структурой исходной алгебры А. Полученный алгоритм может быть исполь-иовал для любой алгебры над проиовольным полем.

Научная новиона. Основные реоультаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.

Установлено существование нетривиальных кограничных деформаций алгебр Ли, описывающих сжатия. Получены критерии стабильности нолунростых супералгебр и сильной стабильности полупростых подалгебр в супералгебрах.

Разработан новый метод редукции представлений для вложений уни-'] арных алгебр и универсальный метод редукции длк регулярных вло-теннн классических алгебр Ли, а также оригинальный метод редукции для специальных вложении. Получена рекуррентная формула для относи гельных кратностей старших весов нодпредставлений для регулярных ВЛО/КСНИИ.

Впервые установлена стабильность подалгебр релятивистской симметрии в моделях суиерпуанкаре суперграпитации.

Доказано, что ьелкой схеме спонтанной компактификацин в многомерных моделях соответствует последовательное п. сжатий и деформаций а.небры си\Ш''рии (сунерсимм'Ч'рни) модели. Разработан ¡•ффек-гньный меюд нос ¡роения системы вакуумных состояний в моделях

Калуцы-Клейна, основанный на свойствах деформаций симметрии однородных внутренних многообразий.

Разработан метод одновременного анализа класса моделей, внутренние пространства котзрых связаны симметричным рескеплингом метрики. Получена формула для коэффициентов симметричного рескей-линга с заданной группой симметрии однородного пространства. Установлена возможность параметризации спектра инвариантных наблюдаемых коэффициентами ресхейлннга.

Предложен новый алгебраический метод построения спинорных структур на однородных пространствах. Построена полная классификация спшюрных полей на многообразиях 51/(п)/51/(р) х 5£/(<?) х ¿/(1 )/.£„.

Доказано, что на неодносвязных пространствах вида топо-

логический чаряд в многомерных калибровочных моделях приводит к спонтанному нарушению калибровочной симметрии.

Доказано существование однозначного соответствия между квантовыми алгебрами определенного типа и плоскими разрешимыми группами Ли. Разработан новый метод построения квантовых алгебр симметрии, основанный на свойствах деформаций плоских абелевых групп. Метод применим для любых алгебр Ли над произвольным полем.

Научная ц практическая ценность. Представленные в диссертации методы исследования симметрии и ее нарушений в объединенных моделях и полученные с их помощью результаты могут быть использованы для построения инвариантных полевых систем и исследования спектра наблюдаемых в моделях теории элементарных частиц, пространства которых содержат однородные подпространства с групповыми и кван-товогрупловыми симметриямн. Новые алгоритмы редукции представлений применимы в теоретико-групповом анализе хвантовомеханичеекпх систем и ядер.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20] и неоднократно докладывались на сессиях Отделения Ядерной физики АН СССР, на научных семинарах СПбГУ, ПОМП

РАН, Парижского, Берлинского и Лейпцигского университетов; были представлены на V Международной конференции "Проблемы квантовой теории поля и математической физики" (Либлиц, Чехословакия, 1989г.), на II Международном симпооиуме "Маьс Борн" (Вроцлав, Польша, 1992г.) и на Международном совещании "Супзрсимметрия и квантовые группы" (Дубна, 19ЭЗг.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит ио введения, четырех глав и оаключения. Полный объем диссертации - 220 стр., включая список литературы ио 167 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обоснование актуальности, целен и оадач: диссертации и приводится краткое положение ее содержания, определяется круг вопросов, составляющих основной предмет дальнейшего рассмотрения. Первые две главы посвящены расработке алгебраических методов в теории деформаций и теории представлений; третья и четвертая главы - их применениям в Многомерных моделях в в построении квантовых алгебр симметрии.

•-.' В главе 1 исследуется оадача построения и классификация сжатий" на яоыке теории деформаций. Процедура сжатия алгебры Ли содержит непрерывное регулярное преобразование ее баоиса. Этому преобра-оованию соответствуют деформирующие функции /i; ио пространства вторых кограниц В2(А,А). В свою очередь всякая инфинитеоималь-ная деформация такого рода может быть компенсирована перевыбором баоиса алгебры А. Однако для конечных деформаций ото не так. Компенсирующее преобразование представляет собой ряд по параметру деформации. Оно будет принадлежать группе автоморфизмов Aut(A), если ряд сходится. В противном случае те значения параметров деформации, при которых ряд расходится, будут давать деформированную

Ю

алгебру А1, неэквивалентную А. Если переписать уравнения деформации, выбрав алгебру Ах в качестве исходной, алгебра А будет играть роль деформации для А,, причем деформирующие функции ^ будут принадлежать В2(Л<, Таким обраоом, всякая нетривиальная пограничная деформация А% алгебры А есть сжатие алгебры А. Все подобные деформации нелокальны.

Далее в первой главе рассматриваются свойства деформаций супералгебр Ли. Установлено, что элементы коцепного комплекса градуированной алгебры Ли допускают ту же интерпретацию, что и группы ко-гомологий неградулрованных алгебр. Элементы первой группы когомо-логий описывают деформации представлений, элементы второй группы когомологий - нетривиальные локальные деформации самой алгебры. Покапано, что для полупростой супералгебры Ь с невырожденной формой Киллиыга первая и вторая группы когомологий тривиальны. Это ооначает отсутствие у Ь локальных деформаций, т.е. ее стабильность. Более того, если такая супералгебра Ь двляется редуктивной подалгеброй в супералгебре V , то ее действие на пространстве алгебры V будет локально стабильным при любой деформации алгебры V. Иными словами подалгебра Ь в V будет сильно стабильной. В то же время кограничные деформирующие функции щ могут приводить к нетривиальным нелокальным (кограничным) деформациям супералгебр типа I, т.е. к сжатиям.

Вторая глава посвящена разработке методов редукции представлений алгебры Ли I при ограничении на подалгебру М с Ь,

<»(£)1М = Фк„Р(М). (1)'

Потребность в таких конструкциях особенно велика в многомерных моделях. Существующие методы редукции представлений малоэффективны. Исключение составляет метод Гелъфан да-Цейтлина, однако он применим лишь для классических алгебр Ь и М одного типа с отличающимися на единицу размерностями определяющих представлечий. В первом параграфе рассматриваются вложения унитарных алгебр ьида

зи(р) Ф Ф «(1) 5«(г>), п — ? +

Всякому неприводимому представлению dy алгебры iu(n) однозначно сопоставляется набор вспомогательных отрицательных схем Юнга. Неприводимые компоненты р ал ложен ия dY(L)\M и их кратности ку находятся как компоненты теноорных проиоведений вспомогательных схем и схемы У исходного представления dy. Число клеток вспомогательной схемы определяет собственное оначение генератора и(1). Искомый набор неприводимых компонент окалывается заданным в виде последовательности обобщенных схем Юнга. Тем самым фиксируются координаты старших весов неприводимых подиредставленин в пространстве весов алгебры L. В целом правило редукции представлений diM формулируется в виде теоремы, доказательство которой основано на свойствах схем Юнга. Эффективность правила отрицательных схем намного выше, чем у существующих методов. Кроме того, ото правило пооволяет решать обратную оадачу - строить спектр представлений алгебры L, редукция которых содержит фиксированные подпредставлс-ния алгебры М. Такого рода вычисления составляют основу гармонического аналиоа на однородных пространствах. Таблицы редукции представлений для тех схем нарушения унитарной симметрии, которые часто испольоуются в объединенных моделях, приведены в приложении 2.1.

В случае регулярных вложений произвольных классических алгебр .'1и L э М применение (обобщенных) схем Юнга не дает должного еф-фекта. Здесь для редукции представлений предлагается испольоовать рекуррентные соотношения для кратностей весов представлений. В ра-боге доказывается, что в указанном классе вложений кратности неприводимых компонент d1'(М) в разложении (1) так же связаны рекуррентными соотношениями. Каждый вес v в d(L) характеризуется двумя кратностямн п' в d(L) (абсолютной кратностью) и п" во всех подпред-ставлениях (¡¡(М), которые содержат вес V и старшие веса /I, которых больше v. Кратности к,, неприводимых компонент в (1) можно ото-л;дестпить с относительными кратностямн старших весов v, определяемыми хак разность л,. = п[, - п". С помощью соотношения Косганта в диссертации получена формула локальной рекуррентности для относительных кратностей. От а формула позволяет найти относительные кратности весов представления п тем самым решить задачу редукции. В полученном tooiношении шлейф слкпн\тых весов, кратности

которых фиксируют хратность искомого песа, первоначально ограничен лишь раомерамп диаграммы представления ¿(Ь). Удается, однако, доказать, что вне зависимости от свойств представления б/(Ь) в шлейфе сдпигов происходят взаимные сокращения, что существенно упрощает рекуррентную формулу. Эти сокращения вызваны аномальными крат-ностямп, появляющимися в каждой орбпте ОгЬ(Л/) подалгебры Л/ на множестве весов {«>/>}, где р - полусумма положительных корней алгебры Ь, ш - элемент группы Вейля алгебры Ь. Аномальные кратности так регулируют взаимные сокращения сдвигов в шлейфе, что в каждой орбпте остается ограниченный упорядоченный набор весов (граф)Т, триангулирующий специального вида диаграмму неприводимого представления </ алгебры М, Совокупность графов {Г;} для орбит (ОгЬ(М)} на множестве {и)р} однозначно соответствует всякой паре Ь э И классических алгебр с регулярным вложением и может быть легко построена. Окончательно рекуррентная формула принимает вид:

п„ = Е;(а8пГ;)Е'(е,,+Г|г»4. (2)

Здесь Е' означает суммирование тех относительных кратностей п^ в вершинах графов Г^ — 1/4- Г;, для которых предшествующий вес С е Гу не старше Использование рекуррентной формулы для относительных кратностей демонстрируется на многочисленных примерах. Подробно рассмотрены вложения типа ¿«(п) -> зо(2п). Наборы графов и примеры разложения представлений для вложений «и(п) -> «о(2п + 1) приведены в приложении 2.2.

В случае специальных вложений 1 : М -> Ь полупрост их алгебр Ли соответствие между отображениями алгебр и соответствуюшими-мор-физмамн их групп Вейля нарушается. Рекуррентные соотношения типа ( 2 ) становятся невозможны. Для редукции представлений классической алгебры Ь по специальной подалгебре М в диссертации предлагается строить вложения корневой системы Ад/ в корневое пространство (Ун)' алгебры Ь (здесь II - подалгебра Картами в I). Применяя критерий существования специальных вложений в классические алгебры Ли, основанный на свшнчвах определяющих представлений, удаетез показать, что ины-кпия 1 сопровождается вложением гюдалм.-бры Картана алмч.ры М в iio.ih.ti еору Кирки!.1 алп.-ьры I. С.'ледоваIельно в дуальном (юриевом) Щшираш IV ¡ира системы Ад/ принадлежат иро-

странству <УнУ- Это позволяет весовую диаграмму представления ¿(1) рассматривать с точки зрения корневой системы то сть проио-бодеть редукцию представлений классических алгебр по специальным подалгебрам. Эффективность метода погружения корневой системы демонстрируется на примерах, используемых при строительстве объединенных моделей (см. также приложения 2.3 и 2.4).

В главе 3 разработанный математический аппарат используется для анализа многомерных моделей взаимодействия олементарных частиц.

Прежде всего исследуются биспшюрные и мультиспинорные суперсимметричные расширения релятивистской симметрии. Методы теории деформаций градуированных алгебр (см. главу 1 ) позволяют установить, что указанные супералгебры локально стабильны, а их когранзчные деформации тривиальны с фноической точки зрения. В простейших моделях супергравитации (суперпуанкаре в супердеситтер) алгебры су-нерсиммегрии не являются локально стабильными. В работе проанализированы их допустимые деформации. Выяснено, что они не могут привести к нетривиальному обобщению суперсимметрии в указанных моделях.

На примере модели 11-мерной супергравитации удается продемонстрировать, что полная классификация вакуумных конфигураций в моделях К&луцы-Клейна гредполагает классификацию последовательностей сжатий и деформаций их супералгебр симметрии: I -* Ь, -* (£,) Проведено явное построение сжатий Ь, и деформаций (Ь,), для случая, когда внутреннее многообразие имеет топологию семимерной сферы. Для каждой последовательности выяснена схема нарушения суперсимметрии. Доказано, что необходимыми и достаточными условиями симметричного рескейлинга метрики однородного многообразия й/Н (пара групп 6 н Н редуктивна) является существование такой алгебры Л' (с собственной подалгеброй к ), что закон композиции алгебры д продолжается на пространство 5$(Л"\Л), где реализуется новая группа изометрии д'. Получена явная формула для вычисления кооффициентов

рескейлинга:

За + Tr(a'(/i|)rf(?,)) g,,

K(.)j 9ц + Ъ(Щ)Щ))Я*' W

Здесь d -- точное представление алгебры д1 , 1,- - касательные генераторы пространства G/B, р нумерует неприводимые по ааЛ подпространства касательных генераторов.

Методы теории деформаций пооволяют установить что, инвариантные вакуумные пространства, не распадающихся в прямое проиочеде-ние, подразделяются на три семейства. Внутри каждого семейства пространства связаны процедурой рескейлинга. Алгебраический подход fto-оволяет дать единое описание всех моделей с компактификациями в одном семействе рескейлинга. Для них справедлива общая формула, описывающая собственные значения операторов Лапласа и демонстрирующая явную зависимость их от параметров рескейлинга. В семействе, содержащем пространство SU(Z)xSU(2) х U(l)/SU(2) х 1^(1) х U{1), алгебраическими методами построены новые вакуумные решения с внутренним многообразием SU(3) х U(l)/U(l) х t/(l). С помощью новых методов редукции (см. главу 2) найдены дополнительные беомассовые возбуждения сверх тех, что предсказываются суперсимметрией.

Для многомерных моделей большое вначение приобретает проблема построения и классификации спинорных полей на однородных пространствах X = G/H. Глобальные спинорные ноля на X существуют в том и только в том случае, когда многообразие X допускает спинориую структуру. Спинорная структура, заданная в виде однородного пространства G'/H', позволяет построить гармоническое разложение спинорных нолей на X. В диссертации предложен новый алгебраический метод построения .'спинорных структур на однородных пространствах для ре-дуктивной пары полупростых ( а также содержащих (7(1)-фахторы) компактных групп Ли. В ©том случае пространство X эквивалентно фактор-пространству R/K, где группа К вкладывается в структурную группу SO(n) главного расслоения ортонормированных реперов. Тотальное пространство спинорной структуры на Я/А' удается отождествить с фактор-пространством универсальной накрывающей группы R. Задача, следовательно, состоит в том, чтобы найти дискретные подгруппы N', обеспечивающие отображение R -> R', где группа R' согласована с поднятием подгруппы К в группу Spin(n). Универ-

сальное накрытие Я ~> Я позволяет оафиксировать для группы К про-обрао К в Я. Все участвующие в рассмотрении группь либо компактные, либо плоские, я искомые дискретные подгруппы принадлежат их решеткам. В конечном итоге существование и явный впд искомого нормального делителя Nl определяются соотношениями трах решеток: Л(Л), Л (А') с Л (Я) и решетки универсальной накрывающей К для группы К. В частности подгруппа Л^ группы N^, (соответствующая связной компоненте Кй группы К) определяется соотношением дискретных групп Я а А.(К'й)/А(К) и I а А(Кй)/Л(К). Причем, если Ь С С}, то N¡1 и <5/£- Разным спинорным структурам соответствуют неоквивалентные нормальные подгруппы М'. Этот алгебраический метод позволяет строить явные реализации спинорных структур в виде фактор-пространств И'/К'. С его помощью проанализирован класс однородных пространств X = 51/(п)/5Г/(р) х 517(д) х 1/(1)/2и. Показано, что нетривиальная спинорная структура существует тогда и только тогда, когда числа рад нечетные. В етом случае получено тотальное пространство расслоения Л' « 2).

С использованием перечисленных выше результатов построен явный вид гармонического разложения для скалярных и спинорных полей на однородных пространствах тппа X. Это позволило (с помощью метода регуллризованной С-функции Римана) построить пять первых коэффициентов Штифеля-Уитни для обобщенных проективных многообразий.

1от же подход применен при исследовании многомерных калибровочных моделей с рай мерной редукцией. Для получения приемлемых схем нарушения исходной группы симметрии <3 в них используется механизм спонтанного нарушения калибровочной симметрии за счет топологического заряда внутреннего многообразия. При факторизации односвяоного однородного пространства X по дискретной подгруппе Г группа й нарушается до централизатора (?) подгруппы К, которая порождается потенциалами Вильсона. Квантовые поправки к вакуумному потенциалу, выражающиеся через спектры операторов Лапласа (соответственно, квадрата оператора Дирака), определяют снятие вырождегия в множестве классических вакуумных конфигураций. Использование алгоритма редукции представлений (см. главу 2), явной конструкции спинорных структур и метода, основанного на свойствах

1С

обобщенной (-функции Римана, позволяет вычислить однопетлевой ре-гуляриоованный вакуумный потенциал для любого внутреннего пространства X га (0/Н)/Т. В диссертации ото продемонстрировано на примере X я 55/£р. При отом удалось установить, что введение нетривиального топологического оаряда может привести к спонтанному нарушению симметрии, поскольку квантовые поправки приводят я по-менению опака вакуумного потенциала.

В главе 4 рапрабатываются методы построения квантовых алгебр симметрии. Существует широкий класс квантовых универсальных обертывающих алгебр Uq(A), которым можно однооначно сопоставить алгебры Хопфа Н(А)у эквивалентные Uq(A) как коалгебры и имеющие почти свободное умножение (требуется лишь коммутативность некоторой подалгебры в Н(А)). Рассмотрим векторное пространство V, натянутое на обраоукмцие алгебры II(А), и почти свободную ассоциа-тявную алгебру L. Построим пространство алгебраических отображений Мог(V,L). Его элементами являются вектора в пространстве L", где п - число образующих алгебры ич(А). В диссертации описана конструкция, пооволяющал ввести на пространстве Mor(V, L) структуру группы. Основу групповой структуры составляет композиция морфио-мов фиф^ € Mor(V, L) :

Полученная таким образом группа Q(H) есть векторная группа с координатами в L (в общем случае некоммутативными). Всякое одномерное представление алгебры L отображает группу Q(H) в векторную разрешимую группу Ли Я(Я). Групповая структура в Р(Я) характерна тем, что она допускает некоммутативные координаты, то есть позволяет совершить переход Р(Н) => Q(H). Алгебра Хопфа Я(Л) может быть интерпретирована как алгебра некоммутативных координатных функций на <?(Я). Если в алгебре Й(А) ввести соотношения, которые превратят ее в (бесконечномерную) алгебру Ли, и потребовать, чтобы !лн соотношения воспроизводились при умножении в Q(H), то будет получена квантовая алгебра 1\. Если дополнительно потребовать, чтобы классический npe ie i 1 irnсовпадал с универсальной

обертыващей и (А) некоторой алгебры Ли А, то будет решена задача квантования алгебры А. Построение сооношения в Н(А) эквивалентно решению уравнений деформации алгебры и(А), согласованных с копроиоведением в Л (А). Появляется возможность строить квантовые алгебры и^А), испольоуя свойства умножения в группах типа Р. В диссертации похаоано, что стандартное квантование Дринфельда-Джимбо полупростых комплексных алгебр Ли эквивалентно выбору в качестве группы Р специального вида полупрямого проноведения абе-левых групп. В отличие от стандартных схем квантования метод, предложенный в диссертации, может быть применен к любым алгебрам Ли над проиовольным полем. С его помощью удалось построить пятипара-метрическое семейство квантовых алгебр Гейоенберга, получено многомерное квантование алгебры «1(2,С) с изменением закона композиции, а также квантовый аналог алгебры («1(2, С))*, дуальной к «1(2, С).

Следует подчеркнуть, что алгебраические методы, разработанные в диссертации, являются общими. Они могут быть использованы в любых моделях квантовой теории, использующих для описания симметрии однородные пространства и удовлетворяющих принципу соответствия.

В заключении сформулированы основные результаты, которые автор выносит на защиту.

1. Доказано, что существуют нетривиальные кограничные деформации алгебр Ли, описывающие сжатия алгебр и имеющие нелокальный характер. Докапана локальная стабильность нолунростых градуированных алгебр Ли с невырожденной формой Киллинга. Установлены критерии слабой и сильной стабильности градуированных подалгебр.

2. Разработан метод редукции представлений (метод отрицательных схем Юнга) для вложений ям(р) ф зч(</) ф «(1) -< »«(п), я = у + у, основанный на теореме Литлвуда.

3. Получена рекуррентная формула, •.'»язьжаюшая относительные кратности весов редуцируемых представлений, для произвольного

^регулярного вложения классических алгебр Ли. На ее основе разработан метод редукции представлений для регулярных вложений (метод относительных кратностей).

4. Предложен метод редукции представлений для специальных вложений хомпактных алгебр Ли классических серий (метод погружения корневых систем), основанный на свойствах дуальных корней специальных подалгебр.

5. Установлена сильная локальная стабильность подалгебр релятивистской симметрии и суперсимметрии в моделях суперпуанкарб супергравитации.

6. Доказано, что в многомерных моделях всякой схеме спонтанной компактификации соответствует последовательность сжатий и деформаций их алгебр симметрии (суперсимметрии). Разработан метод построения полной системы вакуумных конфигураций в моделях Калуцы-Клейна. Эффективность метода продемонстрирована на примере 11-мерной супергравитации.

7. Разработан подход, пооволяющий одновременно исследовать класс многомерных моделей со спонтанной компактификацией, внутренние пространства которых связаны симметричным ресхейлингом метрики. Получены формулы, выражающие спектр инвариантных операторов через параметры рескейлинга для всего класса моделей 11-мерной супергравитации с внутренним пространством тина семимерной сферы.

8. Предложен алгебраический метод построения спинорных структур на однородных пространствах для редуктнвных пар компактных групп-Ли, основанный на свойствах решеток их максимальных торов. Построена полная классификация спинорных структур на пространствах 51/(п)/5(/(р) х 5Г/(^) х U(l)/Zu.

9. Покапано, что на неодносвязных внутренних пространствах вида 55/7я в многомерных калибровочных моделях, включающих скалярные и спинорные ноля материи, тоиолопгнчкий заряд (р > 1) приводит к спощанному нарушению калибровочной симметрии.

\

10. Разработан метод построения квантовых алгебр Ли, основанный на свойствах деформаций плоских абелевых групп и решений уравнений деформации для определения квантового закона умножения. Метод применим для любых алгебр Ли над произвольным полем.

11. Построено многомерное семейство квантовых алгебр ГЪйоепберга.

. Реоультаты дигсертации опубликованы ч следующих работах:

1. Lyakhovsky V.D., Deformations cobordales des algebres de Lie et rela-tivisation de la symetrie intern, Ana. last. Henri Poincare, 1972, V.XVII. N2. p.119-129

2. Ляховский В.Д., О стабильности полупростых супералгебр, ТМФ, 1979, Т.38. N1. с. 115-120

3. Ляховский В.Д., О стабильности супералгебр в моделях супергравитации Вест них Яелянгр. ун-та, 1979, N22. вып.4. с.22-28

4. Баляхов Д.Ю., Ляховский В.Д., Метод редукции представлений su(n) для больших объединенных моделей, Вестник Леявпгр. ул-та , 1985, N25. с.24-31

5. Василевич Д.В., Ляховский В.Д., Штыков H.H., Алгебраические аспекты моделей Калуцы-Клейиа, Препринт F-34, 1986, АН ЭССР, Тарту, с.3-39

6. Ляховский В.Д., Филановский И.А., Метод редукции представлений классических групп Ли, Т.М.Ф., 1990, Т.84. N1. с.3-12

7. Ляховский В.Д., Филановский И.А., Редукция представлений унитарных алгебр Ли, 7)>уды института фиоики АН ЭССР, 1990, Т.бб. с.213-222

8. Василевич Д.В., Ляховский В.Д., Метод специальных вложений для моделей большого объединения, Т.М.Ф., 1986, Т.66. N3. с.350-359

9. Lyakhovsky V.D., Vassilevich D.V., Special injections for Unified Model Building, Preprint L696/86, Karl-Marx-Universitat NTZ, Leipzig, 1986.

10. Василевич Д.В., Ляховский В.Д., Алгебраический метод построения и аналиоа моделей спонтанной компахтификации, Т.М.Ф., 1986, Т.66. N2. с.206-215

11. Ляховский В.Д., Штыков Н.П., Спектр масс в d=ll супергравита-цип с 3и(3)хи(1)/11(1)хи(1)-к0мпактификацией, Яцерп. фво., 1987, Т.46. В1(7). с.283-290

12. Lyakhovsky V.D., Vassilevich D.V., Algebraic Approach to Kaluza-Klein Models, Lett, in Math. Phys., 1989, V.17. р.109-Ш

13. Васипевич Д.В., Ляховский В.Д., Штыков Н.Н., Рескейлинг метрики инвариантные операторы и спонтанная компактификация, Т.М.Ф., 1988, Т.77. N1. с.88-96

14. Lyakhovsky V.D., Deformation and Rescalings in Kaluza-Klein Models, Selected Topics in Quantum Field Theory and Mathematical Physics, Ed. J.Niedeile, J.Fischler. 1989, p.381-384

15. Василевич Д.В., Ляховский В.Д., Штыков H.H., Коэффициенты Де-Витта-Швингера для проективных и грассмановых многообразий, Т.М.Ф., 1990, Т.83. N1. с.3-13

16. Ляховский В.Д., Штыков Н.Н., Однопетлевой потенциал на неодно-свяоных пространствах, Ядерн. фио., 1991, Т.54. В2(8). с.595-599

17. Lyakhovsky V.D., Shtykov N.N., Vassilevich D.V., De-Witt-Schwinger Expansion for Projective and Grassman Spaces, Lett, in Math. Phys., 1991, V.21. p.89-95

18. Ляховский В.Д., Мудров А.И., Спинорные структуры на однородных пространствах, Т.М.Ф., 1992, Т.92. N1. с.13-23

19. Lyakhovsky V.D., Algebraic Construction of Spin-Structures on Homogeneous Spaces, Spinors, T wis tors, Clifford Algebras and Quantum Deformations. Proceedings of the Second Max Born Symposium held near Wroclaw,Poland, Sept. 1992, Eds. Oziewicz Z., Borowiec A., Jancewicz В., Kluwer Acad. Publ., 1993, p.31-38

20. Lyakhovsky V.D., Mudrov A.I., Generalized Quantization Scheme for I.ie Algebras, Journ. Phys. A, 1992, V.25. p.L1139-L1143

ГТП ЛИЯФ,зак.%8,гкр.100,уч.-изд.л.1,0;27/1Х-1993г Бесплатно