Геометризация динамики взаимодействия элементарных частиц и суперсимметрия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Модель геометризованной динамики взаимодействия элементарных частиц .'.II

§1 .Динамика взаимодействия и структура пространства-времени .II

§2.Геометрические принципы и релятивистская инвариантность

§3.Структура алгебры L5o(4,I). Динамические уравнения

§4.Когерентные состояния для Sp(2,2) и геометризованная модель распада нестабильной системы

ГЛАВА 2. Кинематика свободных полей в пространстве IR ^д

§1.Группа Sp(2,2)

§2.Индуцированные унитарные неприводимые представления ISp(2,2).

§3.Конечномерные представления Sp(2,2). Спинорный базис. Уравнения движения

ГЛАВА 3. Обобщенная размерная редукция и конформная инвариантность

§1."Спонтанная компактификация" и размерная редукция

§2.Редукция векторных полей

§3.Редукция спинорных полей

§4.Структура пространства-времени и конформная инвариантность

ГЛАВА 4. Суперсимметрия в пяти измерениях

§1.Глобально суперсимметричная модель

§2.Размерная редукция суперсимметричной модели

§3. А/ = 8 - супергравитация в пяти измерениях

§4.Феноменология великого объединения с группой Sp(8) хSUX2). НО

Идея геометризации динамики взаимодействия оказалась чрезвычайно плодотворной в современной физике. Первой теорией такого типа явилась общая теория относительности. В ней движение пробного тела, взаимодействующего с гравитационным полем, эквивалентно движению в искривленном пространстве-времени. Развитие физики элементарных частиц привело к рассмотрению новых полей и взаимодействий между ними. Эти взаимодействия обладают, кроме пространственно-временной, также и внутренними симметриями, приводящими к классификации частиц по зарядам, изоспину и т.д. Одной из основных задач динамики является нахождение спектра масс элементарных частиц, а также описание переходов между состояниями спектра. Однако, все частицы, принадлежащие одному неприводимому представлению группы внутренней симметрии в пределе точной симметрии должны иметь одинаковые массы, так как преобразования из группы Пуанкаре не затрагивают внутренние степени свободы. Поэтому указанная задача может быть решена только путем нетривиального объединения пространственно-временной и внутренней симметрий в одну группу Gj (подобно тому как спектр атома водорода связан с существованием динамической группы 50(4), а переходы в спектре описываются преобразованиями из S0(4,2)). Если предположить конечномерность искомой группы Gj , положительную определенность нормы состояний, дискретность спектра самосопряженную 2. ного оператора массы ГЛ , то спектр масс состоит из изолированной точки или непрерывен [1,2] . Если в качестве пространственно-временной используется конечнопараметрическая группа, деформация которой приводит к группе Пуанкаре [3,4] , то подобное объединение может быть также только тривиальным [б,б] . Таким образом, никакое конечномерное расширение кинематической симметрии не позволяет объяснить наблюдаемый спектр масс элементарных частиц. Использование

- 4 бесконечнопараметрических групп предоставляет новые возможности. Однако, требуется критерий, позволяющий выделить среди них нужный класс.

Один из наиболее известных типов бесконечномерных групп - локальные группы внутренней симметрии. Принцип локальной калибровочной инвариантности придает теории форму, допускающую чисто геометрическую интерпретацию. Калибровочным теориям соответствует геометрия расслоенного пространства, а соответствующие поля рассматриваются как связности в нем. Поскольку расслоение локально изоморфно прямому произведению пространств базы (пространство-время) и слоя (внутренние координаты), противоречия с теоремой О'Рэферти не возникает. Следует отметить, что теория гравитации может быть также сформулирована как калибровочная [7,8]. Таким образом, взаимодействие рассматривается как проявление динамической природы геометрии. Геометрические принципы позволяют жестко фиксировать возможный класс объединенных симметрий, что невозможно при обычном групповом подходе.

Калибровочные преобразования могут трактоваться и как общекоординатные преобразования в пространствах с числом измерений > 4. Подобное рассмотрение позволяет объединить гравитацию с другими взаимодействиями. Исторически первой теорией такого типа является теория Калузы и Клейна в пятимерном пространстве, объединяющая теорию тяготения и электродинамику. В настоящее время эта теория развита для случая произвольных калибровочных групп [9-11]. При этом часть пространственных координат многомерного псевдоевклидова пространства выбирается в виде компактного многообразия, представляющего собой либо пространство группы , либо однородное Cj -пространство. Теория, включающая гравитацию и Янг-Миллсовский сектор, получается из общековариантной интегрированием по дополнительным координатам и содержит, кроме безмассовых полей, бесконечное число "тяжелых" мод, массы которых определяются характерным размером Ь компактного многообразия.

Метод, позволяющий получить низкоэнергетическую физику путем устемления Ь к нулю и отбрасывания массивных возбуждений, носит название размерной редукции. С его помощью получаются теории с большим числом взаимодействующих полей из сравнительно простых моделей в пространствах с числом измерении >4 [12-15] . Отметим, что интерес к многомерным пространствам возник при попытке перевода физической системы с взаимодействием из пространства Минковско-го в свободную систему в пространстве высшего числа измерений с более сложной (но фиксированной) геометрией [16,бб] .

Построение моделей великого объединения, описывающих сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия единым образом, привело к появлению новых геометрических идей. Дело в том, что масштаб, на

Т R котором происходит унификация этих взаимодействий ( ^10 Гэв), относительно близок к энергиям, при которых гравитационное взаимодей

TQ ствие имеет тот же порядок величины, что и электроядерные ( ~ 10 Поэтому включение гравитации в единую схему представляется совершенно естественным. Возможность для этого предоставляет суперсимметрия. Спинорное расширение алгебры Пуанкаре (алгебра суперсимметрии) позволяет "обойти" теорему О'Рэферти и объединить кинематическую симметрию с внутренней. Требование локальной (зависящей от точки пространства-времени) суперсимметрии приводит к теории супергравитации (см.,например, обзор (Д5] ), которая может быть сформулирована как чисто геометрическая теория в суперпространстве - пространстве, расширенном антикоммутирующими грассмановыми координатами [17-21] .

Модели расширенной супергравитации позволяют объединить гравитационное взаимодействие с Янг-Миллсовским, описываемым калибровочной группой S0(AO, где tf - число спинорных генераторов. Теории

- 6 с /V > 8 содержат частицы со спинами > 5/2, для которых не существует содержательных лагранжианов взаимодействия с полями материи и гравитации ["22,23] . Максимальной возможной оказывается У = 8 модель с группой внутренней симметрии SO(8) [24] - слишком малой для описания феноменологии электроядерных взаимодействий ( 50(8) !3 SULC3)хSULC2) х Lt(I) ). Эта модель обладает скрытой локальной внутренней симметрией SU(8) [25-27] , но рассмотрение ее как калибровочной приводит к введению преонов в качестве элементарных объектов (лептоны, кварки, векторные бозоны и т.д. рассматриваются как их связанные состояния) [28] , что делает теорию менее привлекательной и самосогласованной [29]| . Кроме того, локализация группы внутренней симметрии индуцирует появление в лагранжиане космологического члена с космологической постоянной А = £ / К (К - гравитационная, 6 - Янг-Миллсова константы взаимодействия), по меньшей мере на 66 порядков превосходящей наблюдаемый верхний предел. Эти две проблемы принадлежат к числу нерешенных в теории супергравитации.

При энергиях великого и суперобъединения в гравитации становятся существенными квантовые эффекты, что может привести к изменению геометрии пространства-времени на малых расстояниях [30-32^ (так как гравитационное действие масштабно неинвариантно, то большие флуктуации метрики на малых расстояниях не дают существенного вклада в действие). Это, в свою очередь, может привести к увеличению кинематической симметрии: на малых расстояниях (при высоких энергиях) физика может стать, например, конформно инвариантной, что должно проявиться как внутренняя симметрия асимптотических (свободных) полей ( см.Главу 3).

Применение геометрических идей и методов в физике элементарных частиц не исчерпывается вышеизложенными примерами. Описание взаимных превращений и, в частности, распадов элементарных частиц требу

- 7 ет включения в алгебру наблюдаемых оператора числа частиц, не коммутирующего с трансляциями (см.Главу I). Попытка конечномерного расширения группы Пуанкаре приводит к тем же трудностям, что и при объединении кинематической и внутренней симметрий. Бесконечномерные алгебры типа калибровочных также не подходят для этой цели, так как приводят к суперотбору по числу частиц. Поэтому необходимы другие геометрические принципы, позволяющие решить эту задачу.

Цель диссертации: определить модельные геометрические принципы, позволяющие эффективно учесть динамику взаимодействующей системы и включить оператор числа частиц в алгебру наблюдаемых нетривиальным образом. Построить локально суперсимметричную теорию с группой внутренней симметрии достаточно широкой для описания феноменологии электроядерных взаимодействий и объяснить аномально большую величину космологической постоянной в таких моделях.

Эти задачи оказываются тесно связанными между собой. Основным предположением, позволяющим решить первую из них, является отличие алгебры наблюдаемых, получаемой при квантовании классической теории от алгебры генераторов группы симметрии квантовой теории. Эта возможность до настоящего времени не учитывалась при формулировке принципов инвариантности в квантовой механике. В стандартном подходе предельный переход к классической физике деформирует алгебру наблюдаемых, оставляя неизменной группу симметрии. Сделанное предположение означает одновременную деформацию и последней так, что классические пределы в обеих схемах совпадают (группа симметрии в квантовой теории может отличаться, например, от группы Пуанкаре, но переходить в нее при деформации, соответствующей классическому пределу). Изменение кинематической симметрии эквивалентно изменению геометрии пространства-времени (см.Главу 3), используя которое можно решить вторую из поставленных задач.

Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения, двух приложений, списка литературы и содержит 8 рисунков.

В Главе I сделано предположение о том, что поведение взаимодействующей системы можно описать как движение свободной частицы в искривленном пространстве-времени, метрика которого определяется параметрами взаимодействия. Рассмотрены две модели, использующие

TQ такой подход. В первой из них, справедливой при энергиях ^ 10 Гэв - энергия суперунификации, искривление метрики с радиусом кривизны оо см совершенно естественно связывается с гравитационными эффектами, сравнимыми по величине с электроядерными. Пространство при этом имеет пенообразную структуру, что делает соответствующую макроскопическую теорию Пуанкаре-инвариантной. Во второй модели изменение геометрии связывается с изменением кинематической симметрии и изучаются следствия предположения о том, что в пространстве квантовомеханических состояний реализуется представление группы элементы которой являются функциями на группе Пуанкаре vj^ . Требование релятивистской инвариантности, как и в первой модели, приводит к рассмотрению полей на расслоении с базой - пространством Минковского и слоем 2)С - однородным пространством С] . Простые модельные соображения - отсутствие внутренней симметрии - фиксируют выбор в качестве Gj группы S0(4,I). Тогда ЗС - гиперболо-1 о ид ^ = -JD4- .Из этих геометрических принципов получены общие динамические уравнения,описывающие взаимодействующую систему. В качестве примера рассмотрен распад нестабильной элементарной частицы, для чего построены когерентные состояния на дискретной серии унитарных неприводимых представлений группы Sp(2,2) - накрывающей $0(4, I). Радиус кривизны при этом связывается с константой и энергией взаимодействия.

В Главе 2 исследуется кинематика свободных полей, определяемая группой JS0(4,I) (точнее, ее накрывающей 1$р(2,2)), возникающей при расширении S0(4,I) локальными сдвигами. Построены индуцирован

- 9 ные представления 15р(2,2), факторы разложения Макки вычислены в явном виде в удобной параметризации. Получены уравнения движения свободных полей.Описание полей при помощи представлений неоднородной группы - суть описание в пространстве, объемлющем гиперболоид де Ситтера. Поля, определенные непосредственно в пространствах постоянной кривизны, рассмотрены в [75-80] .

В Главе 3 рассматривается новый вариант размерной редукции, позволяющий увеличивать внутреннюю симметрию суперсимметричных теорий, не изменяя их спинового содержания. Метод связан с исследованием свойств конформной инвариантности теорий и приводит к ограничениям на структуру пространства-времени на малых расстояниях, сходным с рассмотренными в Главе I. Устанавливаются условия совместности этой структуры с требованием релятивистской инвариантности и строится специальный класс индуцированных представлений конформной группы в пространстве функций от двух наборов координат. Обсуждается связь подобных теорий с теориями типа Калузы-Клейна и описывается способ проведения размерной редукции с целью получения макроскопических лагранжианов в случае некомпактного внутреннего пространства. Величина космологической постоянной в моделях супергравитации связывается с микроструктурой пространства-времени.

В главе 4 размерная редукция применяется для построения нетривиальной глобально суперсимметричной модели ( А/ = 2 - модели без физических скалярных полей). Найден набор вспомогательных полей, замыкающий алгебру суперсимметрии вне массовой оболочки фермионов. Построена модель супергравитации в пяти измерениях с внутренней калибровочной группой Sp(8) ^ SUt(2); исследуется феноменология великого объединения с этой группой и обсуждается способ построения теории типа Янга - Миллса в случае, когда векторные поля не принадлежат присоединенному представлению калибровочной алгебры.

В Приложениях приведены весовые диаграммы конечномерных предста

- ю влений Sp(2,2), используемых для описания полей со спинами 4 2 и излагается формализм воеьмикомпонентных конформных спиноров.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Построена геометризованная модель распада нестабильной элементарной частицы, в которой вероятность распада однозначно определяется кривизной модельного пространства и в алгебру наблюдаемых включен оператор числа частиц.

2. Предложен новый механизм размерной редукции, основанный на анализе конформных свойств систем полей и построена с его помощью глобально суперсимметричная модель (и/ =2) с нестандартным спектром.

3. Показана возможность применения метода размерной редукции в случае некомпактного внутреннего многообразия.

4. Построена модель У =8 супергравитации с локальной внутренней Г группой ( Sp(8)) , нарушенной до $р(8)* SU(2) и проанализирована природа аномально большой величины космологической постоянной в моделях расширенной супергравитации.

5. Исследована феноменология великого объединения с группой Sp(8))5.

6. Построены унитарные неприводимые представления группы ISp(2, 2) в явном виде. Получены уравнения движения частиц с различными спинами и массами в пяти измерениях.

7. Построены когерентные состояния на дискретной серии унитарных неприводимых представлений группы S р(2,2).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [60-65] автора. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории ядра и элементарных частиц Ленинградского государственного университета, кафедры теоретической Физики Ленинградского института точной механики и оптики, на Сессиях Отделения ядерной физики АН СССР в 1981 - 1982 гг.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В заключение кратко перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

Сделано предположение о том, что динамику взаимодействия элементарных частиц можно моделировать введением искривленного пространства-времени, метрика которого связана с параметрами взаимодействия. Эта программа реализована в двух моделях. При энергиях Ю^Гэв, когда существует единственное взаимодействие (суперунификация), модельную метрику моожно отождествить с реальной (гравитационной). При этом геометрия пространства-времени существенно отличается от плоской за счет высокой плотности энергии, искривляющей метрику ос радиус кривизны ^ 10 см) и квантовых флуктуаций метрики.

В качестве модели гравитационного вакуума выбирается однородное

2 1 пространство группы де Ситтера 50(4,1) - гиперболоид ^ ~ ~J> . Радиус кривизны связывается с константами гравитационного и суперунифицированного Янг-Миллсова взаимодействия (стр. 87 ). Требование релятивистской инвариантности соответствующей макроскопической теории приводит к рассмотрению полей на расслоении с базой - пространством Минковского и слоем - однородным пространством группы S0(4,I). Расслоение моделирует пенообразную структуру пространства-времени при сверхвысоких энергиях. Описан способ получения макроскопических лагранжианов - процедура размерной редукции -в случае некомпактного внутреннего многообразия (стр. 86 г- 87 )-установлена связь предложенной модели с моделями типа Калузы-Клейна.

Вторая из рассмотренных моделей - низкоэнергетическая. Введение искривленного пространства-времени приводит к нетривиальному закону преобразования некоторых наблюдаемых при трансляциях. Построение сечения расслоения, возникающего из требования релятивистской инвариантности (связь между координатами базы и слоя), позволяет вычислить реально наблюдаемые величины. В качестве модели локальной кинематической группы также выбрана группа S0(4,1), соответствующая случаю отсутствия внутренней симметрии (стр. г>з )• Получены общие динамические уравнения, описывающие взаимодействующую систему (стр. 28-29 ). Рассмотрен конкретный пример динамики - распад нестабильной частицы. Ее состояния в произвольный момент времени построены как когерентные на дискретной серии унитарных неприводимых представлений Sp(2,2) - накрывающей 50(4,1) (стр. 34

35 ). При этом в алгебру наблюдаемых нетривиально включен оператор числа частиц и вычислены амплитуды перехода между его собственными состояниями при конечных временах - амплитуды распада (стр.367. ?

37 ). Радиус кривизны гиперболоида ^ ~~ j (однородного пространства 50(4,1)) связывается с энергией распадающейся частицы, константой взаимодействия а и массой калибровочного бозона Мх

-Цг^/Му^/ Ч переносчика распадного взаимодеиствия: j)~ g с J (стр. 38 ).

Исследован переход к свободной теории, а также классический предел стр. 38-39 ). Оба они приводят к стандартной теории. та

В предельном случае £ —* 10 Гэв гравитационный вакуум представляет собой изотропный конус в пятимерном пространстве (стр.

88 ). Представления конформной группы пятимерного пространства - группы инвариантности расслоения со слоем ^ - 0 - строятся как индуцированные из подгруппы инвариантности локального вакуума и реализуются в пространстве функций от двух наборов координат (стр. 89-91 )• Предложен новый механизм размерной редукции (стр. 72-73 ), основанный на анализе конформных свойств теории и приводящий к нестандартному спектру редуцированной теории (часть полей, получаемых при редукции, входят в редуцированный лагранжиан без кинетических членов).Увеличение при этом кинематической симметрии на малых расстояниях проявляется как внутренняя симметрия ( SU(2)) асимптотических полей. Условие замкнутости

- 120 конформной алгебры на всех полях приводит к модели пространства-времени на малых рассояниях ^ ^ и алгебраическим связям на поля (стр. 78, 84 )•

Этот механизм использован для построения суперсимметричных моделей нестандартного типа и иллюстрируется на примере полей со спинами I и 1/2 (стр. Х00 - 101 )• Явный учет связей и введение вспомогательных полей позволяет написать замкнутую алгебру суперсимметрии, которая является результатом контракции суперконформной ал

7. 7, гебры (стр. 98 ). Параметр ( ^ ~"" j5 ) является при этом одновременно параметром нарушения конформной и суперсимметрии.

Этот же механизм применяется для увеличения внутренней симметрии У = 8 супергравитации в пяти измерениях.Редуцированные поля при этом преобразуются по следующим представлениям группы Sp(8)*SU.(2): спин 2 - (1,1), 3/2 - (8,2), I - (27,3)+(36,1), спин 1/2 - (48,4)+ +(160,2), спин 0 - (42,5)+(315,3)+(308,1), т.е. при разложении по представлениям SU(3) * SU(2) х Ш1) все необходимые для описания электроядерных взаимодействий частицы (стр. 108 - 109 ). При этом рассмотрены различные способы нарушения калибровочной инвариантности (стр. 112—113 ). Предложен способ построения калибровочной теории в случае, когда векторные поля не принадлежат присоединенному представлению калибровочной алгебры (стр. ПО-Ш )• Исследована феноменология великого объединения с группой (Sp(8))^ (нарушенной до 5р(8)хSUI2)) и вычислен неперенормированный угол Вайнберга в такой модели (стр. 115 - 117 ) - Sin28w^0,4I. Проанализирована природа аномально большого космологического члена в моделях расширенной супергравитации (стр. 92 ).

Построена кинематика свободных полей на группе lSp(2,2) - накрывающей 150(4,1). Получены формулы для унитарных неприводимых представлений 1$р(2,2) в каноническом и спинорном базисах (стр.

46 , 53 , 55 ). Факторы разложения Макки вычислены в явном

- 121 виде с использованием удобных параметризаций (стр. 45-55 ). Получены уравнения движения полей с различными спинами и массами в пятимерном формализме (стр. 61 - 63, 64 - 66 ).

Полученные результаты имеют применение в построении единых: теорий взаимодействий элементарных частиц и при геометрической интерпретации взаимодействия в квантовой теории.

1. О'Raif eartaigh L. - Phys.Rev. , 1б1, 1571 (1967).

2. Coleman S., Mandula J., Phys.Rev., 159, 1251 (1967).

3. Fronsdal C. Rev.Mod.Phys., 37, 221 (1965).

4. Philips Т.О., V/igner E.P. In: Group Theory and It's Applications. New York London, 1968.

5. Lyakhovsky V.D. Commun.Math.Phys. 11, 131 (1968).

6. Lyakhovsky V.D. Commun.Math.Phys. 14, 70 (1969).

7. Utiyama R. Phys.Rev., 101» 1597 (1956).

8. Kibble T.V.B. J.Math.Phys., 2, 212 (1961).

9. Witten E. Nucl.Phys., B186, 412 (1981).

10. Salam A., Strathdee J. Preprint IGTP, IC/81/211, Trieste, 1981, 53pp.

11. Percacci R., Randjbar-Daemi S. Preprint ICTP, IC/82/18, Trieste, 1982, 25pp.

12. Cremmer E., Scherk J. Preprint LPTENS 76/15, Paris, 1976, 35pp.

13. Cremmer E., Julia В., Scherk J. Preprint LPTENS 78/10, Paris, 1978, 9pp.

14. Cremmer E., Ferrara S., Stelle K.S., West P.C. Preprint LPTENS 80/13, Paris, 1980, 14pp.15.van Nieuwenhuizen P. Phys.Rep., 68, 189 (1981).

15. Barut A.0. , Bohm A. Phys.Rev., 139B, 1107 (1965).

16. Arnowitt R., Nath P. Preprint NUB-2387, Boston, 1979, 28pp.

17. Arnowitt R., Nath P.Preprint HUTP 79/A063, Boston,1979, 6p.

18. Amowitt R. , Nath P. Preprint NUB-2461 , Boston, 1980, 10pp.

19. Ogievetsky V., Sokatchev. Phys.Lett., 79B, 222 (1978).

20. Gremmer E., Julia В.- Phys.Lett., 80B, 48 (1978).

21. Cremmer E., Julia B. Nucl.Phys., B159, 141 (1979).27. de Witt В., Nicolai H. Preprint СЕШ, TH-3291-CERN, Geneve, 1982, 58pp.

22. Ellis J., Gaillard M.K,, Maiani L., Zumino B. Preprint CERN, TH-2841-CERN, LAPP-TH-15, 1980, 20pp.

23. Derendinger J.P., Perrara S., Savoy C.A. Preprint CERN, ТН-3052-СЕШ, Geneve, 1981, 17pp.

24. Wheeler J.A., In: Relativity, groups and topology, New York, 1964.

25. Hawking S.W., Page D.N., Pope C.N. Phys.Lett., Вб8,175 (1979).

26. Hawking S.W. Nucl.Phys., B144, 349 (1978).

27. Pleming G.N. J.Math.Phys., 7, 1959 (1966).

28. Pleming G.N. J.Math.Phys., 9, 193 (1968).

29. Lur§at P. Phys.Rev. , 173, 1461 (1968).

30. Lurgat P. Ann.Phys.(N.Y.), 106, 342 (1977).

31. Williams D.N. Commun.Math.Phys. , 21, 314 (1971).

32. Beltrametti E.G., Luzzatto G. Nuovo Cim., 36, 1217 (1965).

33. Schulman L.S. Ann.Phys.(N.Y.), 59, 201 (1970).

34. Raczka R. Ann.Inst.H.Poincare, A19, 341 (1973).

35. Perelomov A.M. Commun.Math.Phys., 26, 222 (1972).

36. Pleming G.N. Nuovo Cim., 1§A, 232 (1973). 43•Ponda L. - Portsch.Phys., 25, 23 (1977).

37. Gliozzi P., Scherk J., Olive D. Nucl.Phys., B122, 253 (1977).

38. Brink L., Scherk J., Schwarz J.H. Nucl.Phys., B1 21,77 (1977).

39. Scherk J. Preprint LPTENS 79/23, Paris, 1979, 23pp.

40. Scherk J., Schwarz J.H. Preprint LPTENS 78/28, Paris, 1978, 12pp.

41. Gremmer E., Scherk J., Schwarz J.H. Phys.Lett. , 84B,83 (1979).

42. Ereund P.G.O., Rubin M.A. Preprint EPI 80/35, Chicago, 1980, 7pp.

43. Kugo Т., Townsend P. Preprint LPTENS 82/21, Paris, 1982, 32p.

44. Marnelius R., Nillson B. Phys.Rev., D20, 839 (1979).

45. Marnelius R. Phys.Rev., D20, 2091 (1979).

46. Marnelius R., Nillson B. Phys.Rev., D22, 830 (1980).

47. Purlan P. Preprint ISAS 17/82/E.P., Trieste, 1982, 41pp.

48. Sohnius M.P., Stelle K.S., West P.O. Preprint ICTP 79-80/22, Trieste, 1980, 19pp.

49. Cremmer E., Perrara S., Stelle K.S., West P.O. Preprint LPTENS 80/13, Paris, 1980, 12pp.

50. Schwarz J.H. Preprint CALT-68-780, Pasadena Ca., 1980, 8pp.

51. Cremmer E. Preprint LPTENS 80/17, Paris, 1980, 17pp.

52. Gell-Mann M., Ramond P., Slansky R. Rev.Mod.Phys., 50, 721 (1978).

53. Филановский И.А. Инвариантная квантовая теория, распады и геометризация динамики. Тезисы докладов 6 республиканской школы молодых физиков, Ташкент, 1981, с 210.

54. Филановский И.А. Модель геометризованной динамики взаимодействия элементарных частиц. Вестник Ленинградского университета, №4, 1982, с.19-24.

55. Филановский И.А. Алгебраические аспекты пятимерной теории поля. В кн.: "Проблемы ядерной физики и космических лучей", вып.17, Харьков, "Вища школа", 1982, с.90-106.

56. Филановский И.А. Суперсимметрия, внутренняя симметрия и кинематика на малых расстояниях. Ядерная физика, 1983, т.37, №5, с.1313-1323.

57. Филановский И.А. Обобщенная размерная редукция и конформная суперсимметрия. Вестник Ленинградского университета, 1983, №10, с.5-11.

58. Филановский И.А. Когерентные состояния для Sp(2,2) и геометризованная модель распада нестабильной системы. Теоретическая и математическая физика, 1983, т.57, М, с.55-62.

59. Лебле С.Б., Терентьев И.А. Теория элементарных частиц в шестимерном пространстве с кривизной. ТМФ, 1973, т.16,Ю,с.291.

60. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике, М.,"Мир",1968, 83с.

61. Крылов Н.С., Фок В.А. Закон распада квазистационарного состояния. ЖЭТФ, 1947, т.17, М, с.93.

62. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Вопросы теории представлений полупростых групп Ли.- ЭЧАЯ, 1976, т.7, М, с.55-107.

63. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп, М., "Наука", 1965, 588с.

64. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и некоторые их применения. УФН, 1977, т.123, М, с.23-55.

65. Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц, М., "Наука", 1972, 472с.

66. Барут А.О., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения, т2, М., "Мир", 1980, 395с.

67. Рис М., Руффини Р., Уилер Дж. Черные дыры, гравитационные волны и космология, М., "Мир", 1977, 376с.

68. Черников Н.А., Шавохина Н.С. Принципы квантовой теории спинор-ного поля в римановых мирах. Препринт ОИЯИ, P2-6I09,1971,35с.

69. Черников Н.А., Тагиров Э.А. Квантовая теория скалярного поля в пространстве де Ситтера. Препринт ОИЯИ, Р2-3777, Дубна, 1968, 49с.

70. Черников Н.А., Шавохина Н.С. Квантование спинорного поля в сферическом мире. ШФ, 1973, т. 16, М, с.77-89.

71. Черников Н.А. Геометрия Лобачевского и релятивистская механика. ЭЧАЯД973, т.4, №3, с.773-811.

72. Черников Н.А., Шавохина Н.С. Нейтрино в мире Фридмана. В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, вып.5,

73. М., "Атомиздат", 1974, с.154-162.

74. Черников Н.А., Шавохина Н.С. Метод инвариантного ящика в квантовой теории спинорного поля. ТМФ, 1973, т.15, М, с.91-99.

75. Черников Н.А., Шавохина Н.С. Конформный момент импульса. -Препринт ОИЯИ, Р2-6965, Дубна, 1973, 14с.

76. Пестов А.Б., Черников Н.А., Шавохина Н.С. Конформный момент импульса электромагнитного поля. Препринт ОИЯИ, Р2-8370, Дубна, 1974, 11с.

77. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли, М., "Наука", 1983, 360с.