Топологические характеристики локально компактных и уплотняющих отображений банаховых многообразий и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

I Топологические характеристики уплотняющих операторов на финслеровых многообразиях

§1.1 Конструкция топологических характеристик

§1.2 Пример: Многообразие С1- кривых на римановом многообразии

II Уравнения нейтрального типа на многообразиях. Оператор сдвига и его топологические характеристики

§2.1 Функционально — дифференциальные уравнения нейтрального типа на римановом многообразии

§2.2 Оператор сдвига по траекториям ФДУН

III Вычисление числа Нильсена для операторов на функциональных многообразиях

§3.1 Число Нильсена для одного оператора в многообразии кривых на торе

§3.2 Оператор с ненулевым числом Нильсена, имеющий нулевое число Лефшеца

§3.3 Интегральные уравнения на торе

§3.4 Вычисление топологических характеристик одного интегрального оператора на многообразии

Изучение топологических характеристик бесконечномерных операторов (вполне непрерывных, слабо непрерывных, монотонных, уплотняющих, фредгольмовых и др.) является одним из основных направлений нелинейного функционального анализа и в течение ряда последних десятилетий активно развивается во всем мире. Рассмотрение отображений нелинейных пространств, в частности, построение и изучение их характеристик, связанных с существованием неподвижных точек, является существенно более сложной задачей, чем для отображений линейных пространств, и поэтому представляет особый интерес. Такие характеристики рассматривались в работах Ф. Браудера (F. Browder) [18], X. Фен-ске (C.Fenske) [21], Г. Фурнье (G. Fournier) [22], Ю.Г. Борисовича, Ю.Е. Гликлиха [10,16,17,23] и др. В них изучены локально компактные отображения, имеющие компактную итерацию или имеющие компактный аттрактор, слабо непрерывные и другие отображения топологических пространств, которые могут быть вложены в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт.

Выделим особо теорию уплотняющих операторов в бесконечномерных линейных пространствах, созданную в свое время в трудах Б.Н. Садовского [2], Р. Нуссбаума (R. Nussbaum), В. Петришина (W. Petryshin), Ю.Г. Борисовича, Ю.И. Сапронова, М.И. Каменского [11] и многих других, поскольку она существенным образом опирается на понятие выпуклого замыкания и поэтому не переносится непосредственно на отображения нелинейных многообразий.

В работах Ю.Г. Борисовича и Ю.Е. Гликлиха [16,17,23] были построены топологические характеристики отображений финсле-ровых многообразий, уплотняющие относительно мер некомпактности Куратовского и Хаусдорфа относительно внутреннего (фин-слерова) расстояния, которые (в отличие от общих мер некомпактности) удается корректно задать на многообразии. Для того, чтобы преодолеть трудность, связанную с некорректностью понятия выпуклого замыкания на нелинейных многообразиях, в отмеченных работах Ю.Г. Борисовича и Ю.Е. Гликлиха на финслерово многообразие накладывалось дополнительное требование, чтобы оно могло быть изометрично вложено в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт.

Построенные характеристики применялись к исследованию широкого класса операторных уравнений на многообразиях. Однако в последнее время были найдены примеры операторов (например, оператор сдвига по траекториям функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа), действующих на многообразиях, для которых условие изометричности вложения в банахово пространство не выполняется. Это послужило причиной для дальнейших исследований в данном направлении.

Отметим также, что для уплотняющих отображений многообразий были введены и использовались топологические характеристики типа индекса неподвижных точек и числа Лефшеца, однако не был рассмотрен инвариант типа числа Нильсена.

Естественной областью для приложений отмеченных выше топологических методов являются различные интегральные и дифференциальные уравнения, в частности, функционально-дифференциальные уравнения. Отметим в связи с этим работы школы Б.Н. Садовского (и, в частности, работы М.И. Каменского) по использованию топологического индекса уплотняющих операторов в теории функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа (ФДУН). Однако, если теория обыкновенных дифференциальных уравнений (ФДУ) на многообразиях, начатая, по-видимому, с работы В.М. Оливы (W.M. Oliva) [30] 1969 г., активно развивалась, исследования ФДУ нейтрального типа на многообразиях не проводились.

Теория числа Нильсена в настоящее время получила широкое развитие в работах Р.Ф. Брауна (R.F. Brown) [19,20], X. Шер-мер (H.Schirmer) [31,32], П. Вонга (P. Wong) [33,34], JI. Гонсалвеша (L.Goncalves) [24,25,26], Д.В. Аносова [1], Т.Н. Фоменко [13] и многих других. Особый интерес представляют приложения числа Нильсена к исследованию различных интегральных и дифференциальных уравнений в неодносвязных областях евклидова пространства, среди которых необходимо отметить цикл работ А.Ю. Борисовича, 3. Кухарского (Z. Kucharski) и В. Марзантовича (W. Marzantowicz) [14,15] где, в частности, получены теоремы существования нескольких решений рассматриваемых уравнений, которые не удается получить без использования числа Нильсена. Другой естественной областью для приложения этих методов является теория аналогичных уравнений на неодносвязных гладких многообразиях, однако на эту область методы не были перенесены.

В диссертации конструкция топологических характеристик уплотняющих операторов на финслеровых многообразиях распространена на случай, когда многообразие может быть (не обязательно изометрично) вложено в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт, при условии, что финслерова норма и сужение нормы объемлющего пространства в касательных пространствах являются эквивалентными.

Теория ФДУН перенесена на римановы гладкие многообразия. В частности, изучен оператор сдвига по траекториям ФДУН, на основе развитых выше топологических методов получены теоремы о существовании его неподвижных точек и, как следствие, о существовании периодических решений ФДУН на компактных многообразиях.

Построено число Нильсена для операторов на пространствах кривых в неодносвязном компактном многообразии и этот инвариант использован для доказательства существования нескольких решений операторных уравнений.

В первой главе строится теория топологического индекса для уплотняющих отображений финслеровых многообразий. Понятие уплотняемости формулируется в терминах мер некомпактности

Куратовского и Хаусдорфа относительно внутреннего (финслеро-ва) расстояния. Предполагается, что многообразие может быть вложено в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт, и при этом финслеровы нормы и сужение нормы объемлющего пространства на касательных пространствах к многообразию эквивалентны.

Пусть Л4 - финслерово многообразие. Обозначим через р/ внутреннее расстояние в Л4, превращающее его в метрическое пространство. Рассмотрим меры некомпактности Куратовского а/ и Хаусдорфа xi на М- относительно pj. Для простоты изложения будем говорить о мере некомпакности ф (например, ф/ и т.д.), считая, что это мера некомпактности Куратовского или Хаусдорфа.

Вложим Л4 посредством вложения г в банахово пространство £ с нормой || • ||, как окрестностный ретракт, и пусть сужение 11 -11 на касательные пространства эквивалентно финслеровой норме. Обозначим через Фе соответствующую меру некомпактности относительно внутреннего расстояния, порожденного сужением || • || на касательные пространства, а через -0ц.ц соответствующую меру некомпактности в Е.

Показано, что если F уплотняет с константой q относительно Ф1, то он уплотняет с другой константой q относительно Фе- Мы накладываем предположение, что обе эти константы меньше 1. Это выполняется, например, для оператора сдвига по траекториям ФДУН (см. §2.2).

Обозначим через U трубчатую окрестность Л4 в Е. Введем F : U —> М. С £7, формулой F = F о R. Зададим число Q > 1 такое, что qQ < 1. Показывается, что для любой точки т Е Л4 существует шар Вт С U достаточно малого радиуса с центром в га, для которого верно следующее:

Утверждение 1.1.2. Отображение F уплотняет на Вт относительно •г/'ц.ц с константой qQ < 1.

Пусть множество 0 С М имеет конечный диаметр относительно расстояния pi и F : М. —» Л4 уплотняет с константой q < 1 относительно ipi. Рассмотрим множество F00© = F°°Q = 00

П Ffc(0), где - /с-я итерация F. Лемма 1.1.1 Множество F°°Q - компактно. Следствие 1.1.1 Если F(A4) имеет конечный диаметр относительно pi, то F°°Ai компактно.

Заметим, что множество F°°О (соответственно, F^Ad) содержит все неподвижные точки F из 0 (из всего АЛ). Поскольку оно компактно, его можно покрыть конечным числом шаров, для которых выполняется Утверждение 1.1.2. Объединение этих шаров обозначим Vb(Q). По построению, на границе <9Vg(О) нет неподвижных точек F и F уплотняет на Ув(0) с константой qQ < 1. Таким образом, для множества дУв(0) корректно определено вращение 7(I — F, OVb(O)) векторного поля I — F .

Аналогичным образом, если Е(Л4) имеет конечный диаметр, строится множество Ув(Л4), содержащее Е°°Л4, на границе которого нет неподвижных точек F и такое, что на нем F уплотняет с константой qQ < 1. То есть на дУв(ЛЛ) также корректно определено вращение векторного поля I — F.

Определение 1.1.7. (г) Число — Р,дУв{®)) назовем индексом indp отображения F на О; (И) число 7(/— F,8Vb{A4)) назовем числом Лефшеца Ар отображения F на ЛЛ. Лемма 1.1.2. Ар не зависит от выбора U, R, £ и вложения. Лемма 1.1.3. Пусть М.\ - подмногообразие ЛЛ, такое что F : 1. Тогда число Лефшеца Ар = ^f\Mi> (-^l-Mi) ~ сужение F на М\.

Теорема 1.1.3. Число Лефшеца сохраняется при гомотопии в классе уплотняющих отображений.

Теорема 1.1.4. Если Ар ф 0, то F имеет в ЛЛ неподвижную точку.

Для indp имеют место утверждения, аналогичные Леммам 1.1.2 и 1.1.3 и Теоремам 1.1.3 и 1.1.4.

Для введенных выше многообразий и отображений определим число Нильсена, следуя общей схеме построения этого инварианта.

Пусть ЛЛ - связно, но не односвязно. Путем называется непрерывное отображение отрезка [0,1] в М.

Определение 1.1.9. Неподвижные точки х\ и Х2 отображения F : ЛЛ —> ЛЛ принадлежат одному классу эквивалентности Нильсена, если существует некоторый путъи), соединяющий эти точки, такой что w о F^w)*1 = 0 s -к\{ЛЛ).

Определение 1.1.10. Класс эквивалентности Нильсена неподвижных точек X называется существенным, если ind(F,X) ф О и несущественным - в противном случае.

Определение 1.1.11. Число существенных классов отображения называется числом Нильсена и обозначается Np. Лемма 1.1.4. Число Нильсена сохраняется при гомотопии в классе уплотняющих отображений.

В §1.2 мы рассматриваем многообразие С^-кривых на компактном многообразии и задаем на нем финслерову метрику с помощью конструкций римановой геометрии. Затем мы показываем, что это многообразие может быть вложено в банахово пространство С1 -кривых в некотором евклидовом пространстве большой размерности таким образом, что сужение нормы объемлющего пространства на касательные пространства к многообразию С^-кривых эквивалентно финслеровой норме. Материал этого параграфа является основой для конструкций §2.2.

Пусть М - компактное риманово многообразие. По теореме Нэша его можно изометрично вложить в евклидово пространство RN, где N - достаточно велико, как окрестностный ретракт.

Рассматривается C^Q—/i, 0], М) - банахово многообразие С1-кривых в М, определенных на интервале [—/г., 0] и С°([—h, 0], М) - банахово многообразие непрерывных кривых, определенное на некотором интервале.

Определена внутренняя финслерова метрика на C1([—h,0],M), построенная из норм в Tx^Cl([—/г, 0], М):

У(.)||Г = sup ||У(*)||+ sup \\§;Y(t)l (1.2.1) te[-hfi] *е[-л,о] dt где £Y(t) - ковариантная производная связности Леви-Чивита на М векторного поля Y(t) вдоль х(-). Сужение нормы объемлющего пространства на касательные пространства к С1([—/г., 0], iW) описывается в виде

НП-)1|£= sup \\Y(t)\\+ sup \\(TiY(t))% (1.2.3) ie[-/i,0] t£[-h, 0] где (TiY(t))' производная кривой TiY(t) в RN.

Получена следующую локальная оценка на нормы: r(-)llf<r(-)llg'<r(-)llf(i + ^). (1.2.6)

Последнее неравенство означает, что нормы || • Ц^1 и || • Ц^1 эквивалентны на областях с ограниченным диаметром относительно расстояния pi.

Вторая глава посвящена теории функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа (ФДУН) на многообразиях. В §2.1 строится теория ФДУН на конечномерных полных римановых многообразиях.

Пусть М - полное риманово многообразие конечной размерности и ТМ его касательное расслоение. Рассмотрим банаховы многообразия непрерывных кривых С°([—h, 0], М) и С°([—h, 0], ТМ) в М и ТМ. Введем отображение / : I х С°([-/г,0],ТМ) -> ТМ такое, что для любого у(-) € C°([—h,0],TM) выполнено условие: f(t,y(-)) € Т^ущМ, где I некоторый интервал вещественной прямой (в частности, может быть, целая вещественная прямая), называемое функциональным векторным полем нейтрального типа (ФВПН).

Для простоты будем предполагать, что I целая вещественная прямая. В различных задачах, которые рассматриваются в этой главе, / удовлетворяет некоторым дополнительным условиям: Условие (i) ФВПН ограничено, то есть для некоторой константы С > 0 и любого ?/(•) Е C°([—h, 0], ТМ), t € I выполнено неравенство ||/(£,2/(-))ll ^ норма порождена римановой метрикой в М.

Отметим, что у(-) 6 C°([—h,0],TM) представимо в виде y(t) = (x(t),X(t)) , где х(-) в C°([—h, 0], М), a X(t) - непрерывное векторное поле вдоль x(t).

Условие (ii) Длл любой непрерывной кривой х(-) £ C°([—h, 0], М) / удовлетворяет условию Липшица по третьему аргументу, то есть, для некоторой константы С\ > 0 выполнено неравенство f(t,x(-),XQ(.)) - /(*,*(■), Xi(-))|| < Ci||Xo - Xi||, где C\ не зависит от t и х(-).

Условие (iii) Отображение f : I х С°([—h, 0], ТМ) —> ТМ является С1 - гладким отображением.

Для непрерывной кривой y(t) в ТМ, t Е [—h, Т] (Т > 0) - некоторое число), введем семейство кривых yt(0) в С°([—/г,0],ТМ) стандартным образом по формуле yt(@) = y{t + 6), в Е [—/г;0], t Е [0,Т].

13

Семейство yt{0) является непрерывной кривой в С°([—h, 0], ТМ), t G [0,Т]. Тогда f(t,yt), t G [0,Т] непрерывная кривая в ТМ. Условие (iv) Для ограниченного множества Y С С°([—h, 0], ТМ) такого, что itY компактно в С°([—/г,0],М), множество кривых {f(t,Vt)\y G Y} компактно в С°([0,Т],ТМ).

Условие (v)(Уcлoвиe склейки) Для кривой x(t) G С!([—/г, 0], М) выполнено

Ц0) = /(0, *(•),*'(•)), где ж'(0) - производная слева в точке ноль.

Отметим, что (v) является условием не на /, а на кривую х(-). Условие (vi) ФВПН f - ш-периодическое, то есть, для некоторого ш > 0, любого у(-) G С°([—0],ТМ) и любого t G R выполнено равенство: f(t + uj,y(-)) — f(t,y(-)).

Для С1 - кривой x(t), t G [—h,T], Т > 0 введем стандартные обозначения: xt(0) = x(t + 6>), x't(6) = x'(t + в), где в G [—h, 0]. Рассматривается следующая задача: x'{t) = f{t,xux't),t >0. (2.1.1)

Определение 2.1.2 Уравнение (2.1.1) называется функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа (ФДУН) на римановом многообразии М, порожденным ФВПН /. С1 -кривая x^(t), t G [—h,T], для некоторого Т > 0 называется решением (2.1.1) с начальным условием у, если x^(t) = (p(t), при t G [—/г, 0] и x^^t) удовлетворяет (2.1.1) при t G [0,Т].

Отметим, что задача (2.1.1) с начальным условием ip корректна только в случае, если кривая ip(t) удовлетворяет условию (v). Для того, чтобы эта задача была корректна при любой начальной кривой (р, мы используем стандартный метод (см., например, [2]) -вместо уравнения (2.1.1) рассматриваем уравнение x'(t) = /(t,*t>®;) + Pr,(t)[xL(о) - f(0,xQ,x'0)},t > 0, (2.1.2) где rj > 0 - достаточно малое число, vv(t) = 1 — i)~lt при t € [0, rj\ и vv(t) = 0 при t Е (77, оо). Решения (2.1.2) называются обобщенными решениями уравнения (2.1.1).

Теорема 2.1.1. В условиях (г) - (in), для любой кривой <p{t) G С1([—h, 0], М), удовлетворяющей условию (v), и любого Т > 0, существует единственное решение x^(t), t G [—h,T] уравнения (2.1.1) на М с начальным условием Xq(s) — (/?(s)

В §2.2 изучается оператор сдвига по траекториям ФДУН на компактном римановом многообразии. Показано, что он является уплотняющим относительно внутренних мер некомпактности Ку-ратовского при специальном выборе финслеровой метрики на многообразии СЯ-кривых и что для него корректно определено число Лефшеца. Доказывается теорема о равенстве числа Лефшеца оператора сдвига эйлеровой характеристике компактного многообразия.

Пусть М - компактное риманово многообразие и пусть выполнены Условия (i)-(iii). Тогда для любой начальной кривой ip существует единственное обобщенное решение x^it) задачи (2.1.1), непрерывное по ip. Зададим ш > 0. Определение 2.2.1. Оператор

UuJ : C\[-h,0],M) ^ Cl([-h,0],M), переводящий кривую ip в кривую х^, называется оператором сдвига вдоль решения ФДУН.

Если выполнено Условие (vi), то неподвижные точки оператора сдвига иш и только они являются ^-периодическими решениями (2.1.1).

Будем считать, что Условия (i)-(iv) выполнены. Преобразуем метрику (1.2.1) в С1^— h, 0], М), следующим образом

ГОН?1 = sup е'||У(4)|| + sup e'\\§-Y(t)\\ (2.2.1) te[-ft,o] te[-h,o] at и далее через pi будем обозначать функцию финслерова расстояния, порожденную (2.2.1), а через й/ - соответствующую ей меру некомпактности Куратовского. Аналогичным образом, преобра-' зуем и (1.2.3)

Y(-)\\g = sup е«||У(*)|| + sup е*\\(Тг¥(т (2-2-2)

-/i,0] te[-h,0] и обозначим через ар соответствующую меру некомпактности Куратовского.

Лемма 2.2.1. Если ш >h, mo для ограниченного множества О в Cl{[—h, 0], М) множество иш(0.) компактно в C1([—h,0],M).

Рассмотрим случай, когда ш < h. Для точки -h + w G [-/i,0] рассмотрим сужение кривых из C1([—h,0],M) на интервалы h, — h + uj] и [—h + w, 0]. На многообразиях кривых, определенных на этих интервалах, можно определить финслерову метрику, расстояние и меры некомпактности Куратовского. Обозначим эти меры некомпактности через и а^+^о^П), соответственно.

Лемма 2.2.2. Для ограниченного множества Q С С1 ([—/г, 0], М) выполнено равенство:

Лемма 2.2.3. Пусть lo < h и П - ограниченное множество в C\[-h,0],M). Тогда а^П) < е^йДП).

Для ole имеет место утверждение, в точности аналогичное Лемме 2.2.3. Значит для уплотняющего относительно aj и ole с константой, меньшей 1, оператора иш при выполнении условия (i) определено число Лефшеца.

Теорема 2.2.2. Число Лефшеца АПш равно Эйлеровой характеристике х(М).

Следствие 2.2.1.Пусть х(М) ф 0 и f удовлетворяет Условиям (i)-(iv) и (vi). Тогда (2.1.1) имеет со - периодическое решение.

В Главе 3 рассмотрены четыре примера, в которых вычислено число Нильсена операторов на функциональных многообразиях. Отправной точкой для материала этой главы послужили работы А.Ю. Борисовича, 3. Кухарского (Z. Kucharski) и В. Мар-зантовича (W. Marzantowicz), в которых число Нильсена применялось для доказательства существования нескольких решений интегральных и других уравнений в неодносвязных областях векторных пространств. Естественной областью для применения этого метода являются также соответствующие уравнения на неодносвязных многообразиях. Мы используем число Нильсена, построенное в Главе 1.

В §3.1 и в §3.3 операторы действуют на многообразии непрерывных кривых на двумерном торе Г2. В §3.2 и §3.4 операторы действуют на непрерывных кривых в некотором специальном многообразии М, которое рассматривалось Л.Гонсалвешом (L.Goncalv-es) и П. Вонгом (P. Wong) в [25, 26].

В §3.1 оператор является суперпозицией оператора сдвига по траекториям ФДУ и специального конечномерного отображения на торе. В §3.2 оператор является суперпозицией оператора сдвига по траекториям ФДУН и конечномерного оператора h : М —> М, введенного Л.Гонсалвешом (L.Goncalves) и П. Вонгом (P. Wong) в [25,26]. В этих случаях показано, что числа Лефшеца и Нильсена бесконечномерных операторов равны соответствующим числам Лефшеца и Нильсена конечномерных отображений.

В §3.3 и в §3.4 исследуются уравнения интегрального типа. В §3.3 для интегрального оператора на торе Г2 доказана корректность существования числа Нильсена и показано, что оно равно 2. u(t) = j Ki(t, 5, u(s), v(s))3v(s) ds v(t) = f K2(t, s, u(s), v(s))5u(s) ds о

3.3.1),

Следствие 3.3.1 Система уравнений (3.3.1) на Т2 имеет по крайней мере два решения. л

В §3.4 рассмотрен вполне непрерывный оператор ho S^ в С°(/, М), где / = [0,о»], и уравнение интегрального типа на многообразии М m{t) = hSum(t), (3.4.3) где оператор интегрального типа с параллельным переносом = SoTu : С°(/, М) —» С°(/, М) ранее был введен Ю.Е. Гликлихом (см., например, [10,16,17]).

Теорема 3.4.1 Число Лефшеца оператора hoSw равно нулю, число Нильсена оператора h о S^ равно 2.

Следствие 3.4.1 Уравнение (3.4-3) имеет на М по крайней мере два решения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4]

9].

1. Аносов Д.В. О числах Нильсена отображений нильмногообра-зий / Д.В. Аносов // Успехи мат.наук. 1985. - Т. 40. - Вып. 4(244). - С. 133-134.

2. Ахмеров P.P. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, А.С. Потапов и др; Новосибирск, Наука, 1986.- 340 с.

3. Бишоп Р. Геометрия многообразий / Р. Бишоп, Р. Криттен-ден; Москва: Наука, 1967. 335 с.

4. Богачева Е.В. Вычисление числа Нильсена для одного интегрального оператора на торе / Е.В. Богачева // Труды математического факультета. Воронеж, ВГУ, 2001. - N 6. - С. 3-7.

5. Богачева Е.В. Вычисление топологических характеристик одного интегрального оператора на многообразии / Е.В.Богачева // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу: Тез. докл. Ростов-на-Дону, 2002. - С. 176-177.

6. Богачева Е.В. Вычисление топологических характеристик одного интегрального оператора на многообразии / Е.В.Богачева // Труды математического факультета. Воронеж, ВГУ, 2002. - N 7. - С. 13-15.

7. Богачева Е.В. О числе Нильсена для уплотняющих отображений финслеровых многообразий / Е.В. Богачева, Ю.Е. Гликлих // Известия РАЕН. Сер. МММИУ. 2000. - Т. 4. - N 3. - С. 3239.

8. Богачева Е.В. О числе Нильсена для уплотняющих отображений финслеровых многообразий / Е.В. Богачева, Ю.Е. Гликлих // Международная школа-семинар по геометрии и анализу: Тез. докл. Ростов-на-Дону, 2000. - С. 93-95.

9. Богачева Е.В. Топологические характеристики уплотняющих отображений финслеровых многообразий и их приложения в теории уравнений нейтрального типа / Е.В. Богачева, Ю.Е. Гликлих; НИИ Математики при ВГУ. Воронеж 2002. - Препринт N6.-17 с.

10. Гликлих Ю.Е. Анализ на римановых многообразиях и задачи математической физики / Ю.Е. Гликлих; Воронеж, ВГУ, 1987. 188 с.

11. Каменский М.И. Об операторе сдвига по траекториям уравнений нейтрального типа / М.И. Каменский // Сборник работ аспирантов по теории функций и дифференциальным уравнениям. Воронеж, ВГУ, 1974. - С. 19-22.

12. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа./М.А. Красносельский, П.П. Забрейко; Москва: Наука,1975. 510 с.

13. Фоменко Т.Н. О наименьшем числе неподвижных точек эквивариантного отображения / Т.Н. Фоменко // Матем. заметки, 2001. Т.69. - Вып.1. - С. 100-112.

14. Borisovich A.Yu. Positive oriented periodic solutions of the first order complex ode with polynomial nonlinear part / A.Yu. Borisovich, W. Marzantovicz; Poland, Inst, of Math. University of Gdansk, preprint No. 134. December 1999. - 21 p.

15. Borisovich Yu.G. Fixed points of mappings of banach manifolds and some applications / Yu.G. Borisovich, Yu.E. Gliklikh // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1980.- Vol. 4.-No. 1. - P. 165-192.

16. Borisovich Yu.G. Topological theory of fixed points on infinite-dimensional manifolds / Yu.G. Borisovich, Yu.E. Gliklikh // Lecture Notes Math. 1984. - Vol. 1108, - P. 1-23.

17. Browder F.E. Fixed Point Theorems on Infinite-Dimensional Manifolds / F.E. Browder // Trans. AMS. 1965. - Vol. 119. -No. 2. - P. 124-131.

18. Brown R.F. Retraction methods in the Nielsen fixed point theory /F.E. Browder // Pacific J. Math. 1984. - No. 115. - P. 277-297.

19. Brown R.F. Nielsen fixed point theory and parametrized differential equations / F.E. Browder // Contemporary Math. 1988. -Vol. 72. - P. 33-47.

20. Fenske C.C. On Fixed Points of zero Index in Asymptotic Fixed Poind Theory / C.C. Fenske, H.-O. Peitgen // Pacific J. Math. -1976. Vol. 66. - No. 2. - P. 391-410.

21. Fournier G. Generalisations du theorems de Lefschts pourdes espases non-compacts, 1, 2, 3 / G. Fournier // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math. Astron. Phys. - 1975. - Vol. 23. - No. 6. - P. 693-699, 701-706, 707-711.

22. Gliklikh Yu.E. Total and local topological indices for maps of Hilbert and Banach manifolds / Yu.E. Gliklikh // Topological Methods in Nonlinear analysis. 2000. - V. 15. - No. 1. - P. 117.

23. Goncalves D.L. Coincidence Reidemeister classes on nilmani-folds and nilpotent fibrations / D.L. Goncalves // Topology and its applications. 1998. - V. 83. - P. 169-186.

24. Goncalves D.L. Homogeneous spaces in coincidence theory / D.L. Goncalves, P.N.-S. Wong // Sociedade Brasileira de Matem-atica. 1997. - Vol. 13. - P. 143-158.

25. Goncalves D.L. Nilmanifold are Jiang type spases for coincidences / D.L. Goncalves, P.N.-S. Wong // Forum Mathematician, Gruyter, 2001. - No 13. - P. 133-141.

26. Hale J. Theory of functional-differential equations / J. Hale; New York etal.: Springer Verlag, 1977. - 387 p.

27. Jiang B. Estimation of the Nielsen numbers / B. Jiang // Acta. Math. Sinica. 1964. - No. 14. - P. 304-312.

28. Nash J. The imbedding problem for Riemannian manifolds / J. Nash // Ann. of Math. 1956.- No. 63. - P. 20-63.

29. Oliva W.M. Functional-differential equations on compact manifolds and approximation theorem / W.M. Oliva // Journ. Diff. Equations. 1969.- V.5. - P. 483-496.

30. Schirmer H. A relative Nielsen number / H. Schirmer // Pacific J. Math. 1986. - No. 122. - P. 459-479.

31. Schirmer H. A survey of relative Nielsen fixed point theory / H. Schirmer // C. Me Cord, ed., Nielsen theory and Dynamical Systems (Mt. Holyoke 1992), Contemp. Math. - 1993. - No. 152. -P. 291-309.

32. Wong P.N.-S. Nielsen fixed point theory for partially ordered sets / P.N.-S. Wong // Topology and its Applications. 1999.-No. 00. - P. 1-25.

33. Wong P.N.-S. Equivariant Nielsen theory / P.N.-S. Wong// Nielsen theory and Reidemeister torsion. Banach center publication, Warszawa. 1999. - No. 49. - P. 253-258.PCCCY.".'ГОСУД;.'- . '••';/BHBJiiiOiWч -оъ