Методы нелинейного анализа в некоторых задачах дифференциальных и функционально-дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи

БАСОВА МАРИНА МИХАЙЛОВНА

Методы нелинейного анализа

в некоторых задачах дифференциальных и функционально-дифференциальных включений

01 01 01 — математический анализ Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзико-математ нчеекпх паук

<'5 164

Воронеж 2007

003175164

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Обуховский Валерий Владимирович

Официальные оппоненты

Ведущая организация - Тамбовский государственный университет им ГР Державина

Защита состоится "6" ноября 2007 г на заседании диссертационного совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете, 394006, г Воронеж, Университетская пл , 1, ВГУ, Математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан '"5 " октября 2007 г

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор Арутюнов Арам Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Задорожний Владимир Григорьевич

диссертационного совета

Ю Е Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность темы Применение геометрических и топологических методов анализа к исследованию различных вопросов теории дифференциальных уравнений имеет давнюю историю и восходит к А Пуанкаре, Л Брауэру, П С Александрову, Г Хопфу, Ж Лере, К) Шаудеру Дальнейшее развитие ош меюды получили в трудах М А Красносельского, Н А Бобылева, Ю Г Борисовича, П П Забрейко, В Г Звягина, А II Перова, А И Поволоцкого, Б Н Садовского, Ю И Сапронова, В £} Стрыгина, К Deimlmg'a, L Coi tiiewuv.'a, I Mawhm'a и многих других исследований С помощью указанных методов оказалось возможным эффек1ивпо решать многие важные задачи юорни дифференциальных уравнений

Начиная со второй половины XX века ли методы энергично распространяются на теорию дифференциальных включений Развитие ггой теории связано с тем, что дифференциальные включения являются очень удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными харакгерис гиками, изучаемых во многих разделах теории ошпмлльиого управления, млкшш-ческой физики, математической экономики и др Важные задачи гео-рии дифференциальных включений были щучены с помощью методов нелинейною анализа в работах 10 Г Боршовпча, Б Д Гельмана, Л Д Мышкиса, В В Обуховского, М И Каменского, А В Ару попова, А И Бушакова, В Г Задорожного, А И Поволоцкого, А А Толстопогова, Е П Тонкова, В В Филиппова, J Р Aiibm'a, A Colima, К Deimlmg'a, L Gomiewicz'a, Р Nistn, N S Papageorgiou, P Zecca и других

Зиачшслыюе место в исследовании диф(1)еренциальных и функционально-дифференциальных включений занимаю i задачи о существовании периодических решений п разрешимости других краевых задач Для изучения э1и\ вопросов пофебовалось развитие ряда важных разделов анализа многозначных отображении (мультнотобряжений)

Существенную роль здесь играет теория топологической сгепеин MHoi озпачных отображений Разработке этой теории для вполне непрерывных многозначных отображений с выпуклыми значениями были посвящены труды ЮГ Борисовича, БД Гельмана, АД Мышкиса, В В Обухове кою, Л Cellma, A Gianas'a, A Lasotaiiflp Однако исследование различных аспектов теории дифференциальных включений и управляемых сислем требуем распространения оюй теории на более широкие классы mhoi о шачпыч оюбражений С одной стороны, для и ¡учения дифференциальных включений в банаховых пространс1вах весьма )ффоктивным орудием оказываемся теория юпологической cie-нени многозначных оюбражений у плот няющр1 о типа С дру1 ой г троны, ряд важных задач теории дифференциальных включений и управляемых сиссем приводят к необходимое i и исследовать многозначные отображения с невыпуклымн значениями В частности, отметим в качестве такси о мультиотображения оператор, сопоставляющий начальным данным соответствующую интегральную воронку дифференциального включения

Насюящая диссертационная работ посвящена дальнейшей разработке геометрических и топологических методов анализа мулмиотб-ражений и их приложениям к общим краевым задачам для функционально-дифференциальных включений и к задаче о существовании оптимальною решения для управляемой системы с разрывными характеристиками

В работе развивают ся и и< следуются новые разделы теории топологической степени для досчаючпо широких классов мультиотобрдже-иий В диссертации вводится класс компо шцпонных мультнотображс-ний Мультиотображения этого класса определяются как композиции аппроксимируемых мулы иогображеппй, во змущенные компак1 ными однозначными отображениями Отмстим, что исследуемый класс отображений достаточно обширен Он включает в себя мультиоюбражеппя с выпуклыми значениями, мноюзначные операторы сдвига по граекиь

риям импульсных дифференциальных включении и дифференциальных уравнений, не обладающих свойством сдиш гвснности решений

Для указанного класса многозначных отображений с помощью метода однозначных аппроксимаций сфошся 1сория ншолех ической с 1с-пени сначала в конечномерном про(фап(1вс, а чагем и в линейном нормированном просфанстве Далее ла теория применяет«я для по-С1 роения юпологической С1рценн совпадения для пары (сначала компактной, а затем уплошяющеи), состоящей из линейною фред! ольмо-ва оператора пулевого индекса в банаховых прос транс мзах и мулыпо-гображения являющегося композицией аппроксимируемых мулыио-тбраженнй Изучаются основные свойспза с ¡епеии совпадения для оюбражений указанного класса и длокл приложения к сущеспю-вашпо ючек совпадения Развшые меюды применяются к ряду ¡а-дач теории функционально-дифференциальных включений и управ ляемых систем

Рассматривается общая краевая задача для полулинейною фупк-ционалыю-дифференциальною включения в с епарабелыгам банаховом пространстве Вк почепия такого шпа ишенсивно исследуюня в последние годы в связи с пх важными приложениями в описании управляемых процессов для систем с распределенными парамечрамп Далее построенная теория распрос фанлеил па случай функционально-дифференциального включений с бесконечным запаздывапп-ем Включения такого рода возникают при моделировании специальных классов управляемых систем и в последнее время им посвящены многие работы

В последние годы большое внимание исследователей привлекаем изучение дифференциальных уравнений и включений с импульсными \арак1ернсшками Эю объясняемся пх шперегиыми приложениями в теории динамических систем, матемашчес кой жономпке, магматической биолопш и других разделах современной матемашки В диссертации рассматривается управляемая сие тема смешанною шпа

Ч

с обратной связью, динамика которой описывается дифференциальным уравнением с управляющим параметром Обратная связь задается с помощью дифференциального включения с импульсными характеристиками Применение разработанной степени совпадения позволяет усганови1ь сущес:вование оптимального решения данной задачи

Цель работы Разработка теории топологической степени и степени совпадения для новых классов отображений Приложение теории топологической степени к исследованию общих краевых задач для функционально-дифференциальных включений с конечным и бесконечным запаздыванием, а также к существованию оптимального решения для управляемой системы смешанною пша с обратной связью и импульсными характеристиками

Методика исследований Использовались методы многозначного анализа, нелинейного функциональною анализа, теории аппроксимаций В приложениях использовались также результаты качественной теории дифференциальных уравнений и включений

Научная новизна

1 Построена теория топологической степени мультиполей, соответствующих новому классу композиционных мультиотображений в конечномерном и нормированном пространствах

2 На основе построенной топологической степени развита теория степени совпадения для компактных, а затем и уплотняющих пар, состоящих из линейных фредгольмовых отображений нулевого индекса и композиций аппроксимируемых мультиотображений

3 Методы теории топологической степени применяются для исследования и решения общих краевых задач для полулинейных функционально-дифференциальных включений в банаховых пространствах

4 Методы решения общих краевых задач распространяются на случай функционально-дифференциальных включений с бсс конечным запаздыванием в банаховом пространстве

5 Теория топологической степени совпадения применяется для на-

хождения оптимального решения смешанной управчнемой системы с обра!пой свя?ыо и импульсными характеристиками

Теоретическая и практическая значимость Работа имее1 теоретический харак1ер Полученные результаты охватывают весьма широкий класс многозначных отображений, для коюрых топологическая степень может быть определена аппроксимативными методами Эш результаты примеияюкя для псследования общих краевых задач для сис 1ем, оинс ываемых фушщиоиацьно-дифференциальными включениями, а также для исследования оппшалытых решений управляемой системы с импульсными характеристиками

Апробация работы Результат ы диссертации докладывались па Четвертой Международной научной конференции по дифференциальным и фукикциопальпо-дифференциальпым уравнениям (Москва, 2005), международной научной конференции "Тополог пче< кие и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения "(Воронеж, 2005), Воронежской зимней математической школе С Г Крейпа 2000, Международной конференции "Теория управления и магматическое моделирование" (Ижевс к, 2006), Международной школе-семинаре по кюмстрии и анализу памяти Н В Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006), Воронежской весенней математической школе "Пои г рягпне кие чтения - ХУШ"2007, Международной научной конференции "Общие проблемы управления и их приложения Проблемы преподавания матема-тнкн"(Тамбов, 2007), а также на научном семинаре профессора В В Об\\овского (ВГУ)

Публикации Основные результатт,г диссертации опубликованы в работах [1-8] Из совмес шых работ [1,2,7] в диссертацию копии только результаты, полученные лично днссертатпом

Структура и объем диссертации Диссертация сос ими тп введения, четырех глав, ра(битых на 10 парат рафов и списка литературы Общий обьем работы 122 с границы Библисм рафии < одержиI 50 наименований

Краткое содержание работы

Первая 1лаиа носит вспомогательный характер и содержит необходимые поения и утверждения функционального анализа и теории многозначных отбражений

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпа-дао! с их нумерацией в диссертации

В первой части второй главы на основе классической Iсорил топо-ло! ической сIспепп непрерывных однозначных векторных полей в конечномерном нрос транетве определяйся гопологичес кая с геиень муль-шполей, соотвею!вукмцих мулыиоюбражепиям и? класса композиционных мультиотображепий В'([/,Еп), где Ц С Е„ - открытое ограниченное миожес гво конечномерного линейного топологического про-сграпс та Еп

Определение 2 13 Классом Ао(Х, У) называется совокупность полунепрерывных сверху (пн св ) мультиотображепий X —> К(У) метрических нространс ги, допускающих для каждого б > 0 однозначную е-аппроксимацию /<- X —> У

В классе Ао(Х, У) выделяется подкласс А(Х, У), сосюящий из мультиотображепий, любые две аппроксимации коюрых могух быть соединены деформацией, протекающей в классе аппнроксимаций

Определение 2 18 Классом А'(и,Еп) называется совокупность мультиотображепий F С/ —> К(Еп) вида

Г и ^о Хг 'Л Х2 ^ X^ Еа,

где Ег е А(Хг .1гХг), г = 1, ,киХ0=й,Хк = Еп, а ХиХг, , Хк-г - компакшые метрические п[х)етран(твл Мулы «отображения вида

Т = р + Г,

где F £ А'(и,Еп), лр V —> Еп непрерывное шображепие, называю I-ся композиционными Совокупность отображений этою вида обозначается как 13е(и, Еп)

Определение 2 19 Тополем ической степенью <1ед{Ф,и) мулг.ihho-jih Ф = г—Т, J7 е Вдц(и, Еп) назовем тошшел и чес кую с тепень (1еу(ф, U) однозначного векторного ноля ф = г—р — /, соответствующею непрерывному оюбражепшо p+f U Еп, где / = До о/,, /, X,.! -> X, произвольные е-аппроке нмации мулы [(отображении Ft,{i = 1, ,к) и е > 0 достаточно мало

Исследуются основные свойства введенной хараюерие шки Во втором параграфе вводится понятие i ополот ической степени мультиполей, соответствующих мулыиошбражениям из класса Ъс(и, Е), где U С Е - открытое ограниченное множество нормированною пространства Е

Пусть VI, V21 , Vk-1 - открытые подмножества нормированных иро-с гранств

Определение 2 29 Классом A(U,V1) называется совокупность пн св мульгпотображенпй F U —> К (Vi) таких, что для любою конечномерного подпространства Еп С Е мулы »отображение F\¡j £ A{Ün, Vi), где Vn — lJn Еп

Определение 2 30 Классом A(V^\,Vt) назовем совокупность пп св мультиотображений F —» K(V¡) таких, что любое сужение

мультпотображенпя па компактное Л/^Я-прострапство N С K-i принадлежит классу A(Af, У,)

Определение 2 31 Классом AC(U,E) назовем совокупность мультиотображений F — Fi о oFi U —■> К(Е) вида

„ — f\ F? FK- 1 '«.

F -o Vk-i -o VL = E,

где Fi e -4(17, VÍ), a F, 6 А(К-т, Ц) для » - 2, , A

К iaccoM AC(U,E) обозначим подкласс класса A '(if, E), сое тоящий из компактных мультиотображений

Рассматриваются му/гьтиотображення вида

Т = V + F,

где F £ Л'(С/, Е), а р U —> Е компакшое отображение Класг таких отображений обозначается 'В'(i/, Е)

Топологическая степень определяется с помощью метода конечномерных аппроксимаций Обосновывается корректность введенной характеристики I! описываются ее основные свойства

Во второй части первой главы вводится понятие степени совпадения для пар (компаыной и уплотняющей), состоящих из мулыпо-гображения, иредс гаиляющет собой композицию аппросимируемых мультиотображсний, и линейного фредгольмова отображения пулевого индекса

Пусть ЕиЕ2 - банаховы пространства, I dorn I С Е\ —> Еч - линейный непрерывный фредгольмов оператор нулевого индекса такой что Im I С Е2 замкнутое множество

Пусть F из класса Аг(£/, Е2) - 1-компактное мультиотображенпе Подкласс класса AC(U, Е2), состоящий из мультиотображений F таких, что l(x) ^ F(x) для всех г G dU П dom 1, будем обозначав ¿ви^ЖЕг)

Определение 2 46 Степенью совпадения deg(l, F, U) пары (I, F), где F — Fi, о о Fi из класса Aoi/r\domi(U, Е2), называется топологическая степень компактного мультиполя, соответствующего композиционному мультиотображепию У б 'BL(U,Ei) специального вида

J(x) = р(х) + (ф о 7г + kvq) о F(x), гей,

построенному по отображениям I и F

Исследуются основные свойства введенной степени совпадения и приводятся приложения к ряду теорем о существовании точек совпадения

Во втором параграфе определяется степень совпадения для случая, когда мультиотображенпе F является уплотняющим

Пусть Т - непустое компактное фундаментальное множес тво для (/,/3)-уплотиягощего мультиотображенпя F = Fi о о Fi пз Klac-

га. AC(U, Ei) и p E2 ~> T некоторая рефакции Рассматривается мультпотображепие F — р о F/, о о Fi Оно принадлежи! классу /-компактных мулы йот обряжений из к лаге л A' (f/, /^2)

Определение 2 51 Степенью совпадения dcq{}, F, U)p пары (I, F) назовем степень еовпадення deg(l, FyU) пары (l,F)

Третья глава посвящена краевым задачам для функционалыто-дифференциальных включений

В первом параграфе методы нелинейною анализа применяются к исследованию условий существования ослабленных решений крас вой задачи для дифференциальных включений с конечным запа ¡дын,синем

Пусть Е - сепарабельное банахово пространство Для 'Г > 0, h > О обозначим V — C([-h, Г], Е), С = C([-h, 0], Е) Для 1 £ V и t С [0,7] символом xt £ С, обозначается функции, заданная как х,(0) = i (t I -0),

в е [-ft.O]

Рассматривается общая краевая задача для полулинейною функционально-дифференциального включения

x'{t) 6 Ax(t) + F{t, xt), t G [0, 7'], (3 I)

Qz e Sx, (3 2)

в предположении, что линейный операюр А О(А) С Е —> Е является производящим оператором Co-полугруппы ехр{М}, а муш/шо-тображенпе F [0,Т] х С —» Kv(E) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, условию подлипейиою рос та и условию х-рс1улярпос 111 Основное предположение на граничные операторы Q Т> -> С и S Т> —> I\v(C) заключается в следующем

(QS) cymeciByei линейный от раииченный оператор А С --> D такой, что (7 - Qt]A)(y - QGf) = 0 для любых j е V, у € 5(c) и J £ J'i(i), где Q() сужение Q на подпрос транс гво Т>, сос юящее из санкций впда i(t) = ехр{М}г(0) t € [0,7'], G - операюр

Коши, Фг - сунерпозиционный мультиоператор, соответствующий мультиогображснию F

Для исследования разрешимости задачи (,3 1)-(3 2) строится новый интегральный мультиоператор Г Т> —> Kv(T>),

Г(а) = AS(x) + (/ - AQ)G7r{x)

Неподвижные точки зтого мультпоператора будут являться ослабленными решениями задачи (3 1)-(3 2)

Рассматривается векторная мера некомпактности вида

= (МП), modem,

где ifiD - модуль послойной иекомпактности в пространстве Т>, mode - модуль равностепенной непрерывности в пространстве V Теорема 3.6 Пусть выполнены следующие условия

(HI) найдется b > 0 такое, что для любого ограниченного Q С V, состоящего из функций равных нулю на [—/г, 0], выполнено Vc(Qii) < bipv{i~l),

(Н2) найдется функция /г € £.+ ([0,Т|) такая, что || ехр{М}||(*' < h(t), где || ||обозначает ^-норму линейного оператора относительно меры иекомпактности Хаусдорфа, t

(НЗ) (1 + ||A||^C'^6) sup J h(t — s)k(s)ds = ц < 1, где к( ) - оценочная 0<t<T 0

функция из условия х-регулярносп1 оператора F

Тогда мультиоператор Г является ^-уплотняющим на ограниченных подмножествах Г2 из Т>

Это утверждение позволяет сформулировать общий принцип существования ослабленных решений краевой задачи для днффереицпать-ных включений с конечным запаздыванием в терминах отличия от нуля топологической степени мультнполя ¿ — Г

В качестве примера применения эюго принципа рассматривается сл еду ю ще е утверждение

Теорема 3 8 Пуспз выполнены условия (HI) — (Н3) и дополнительно

(Н4) существует последовательное ib функций^*,, 6 L\ [О, Т), ri = 1,2,

такая, что sup ||F(i,c)|| < u„(t) ив t е [ОД1]

1Ик<»

т

и hm ±Jwn(t)di = 0,

Тогда множество ослабленных решений задачи (3 1)-(3 2) ненусю Рассматриваются приложения к периодической задаче и задаче Ко-

шн

Во втором параграфе рассматривав к я задача (3 1)-(3 2) в предположении, что запаздывание бесконечно п функция х^О), 0 € [—оо, 0] принадлежит фазовому простраисгиу Ъ, удовлетворяющему аксиоматике Хейла-Като

Это позволяет обобщить меюд развшый в предыдущем параграфе п обосновать принцип существования ослабленных решений для задачи с бесконечным запаздыванием

Четвертая глава посвящена изучению управляемой сие1емы с обратной связью и импульсными характериешками

Пусть I = [0,Т] - компактный интервал числовой прямой и множество V = {¿ь Д,}с(0,Т)

Исследуется спс1ема следующего вида

х'(1) = в(ь, 1(0,г'(0.«(0). /е[0,7№ (4 1)

и'(0 6 С(Г, и(1), 1 (£)), для ив [0,1'}\Т>, (4 2)

и(^) € Фдля каждою 1 < А, < /, (4 3)

1(0) = и(0) - Фа, (4 4)

где Фо е К"1

Расе матривае и я множеспю функций / € С([0, Т], К") таких, чю каждое (ужение п = к = ^ + 'Ж ¿о = 0, =

Т принадлежи г прослране ту С1 ([¿а.- ь к], К") Семейство всех таких функций снабженное нормой

гН

1М1 =

являеи я банаховым простраш гном и мы обозначаем е! о £¿([0, Т], К") Определение 4 1 Решением задачи (4 ] )-(4 4) называется пара функций (/,и), 1де х £ Ср([0,71],К"), а функция управления и абсолютно непрерывна па [0, Т}\Т> и удовлетворяет дифференциальному включению (4 2) и импульсным соотношениям (4 3) Пара (х,и) удовлетворяв также начальным условиям (4 4)

Разрешимое 1 ь задачи (4 1)-(4 4) сводится к вопросу о сущес гвова-пии точки совпадения для нары оюбражепий, первое из которых представляет собой линейный фредгольмов оператор пулевого индекса вида

1(х) = (х[, ,х'1 + 1,х(0)), вюрое - мультиопераюр

С Ср([0,7'],К") —> Л"(С([0,¿х],М") х хС([?„Г],Г)хГ),

определяемый с помощью дифференциальных включений вида

и'(Ь) € "(0,^(0) для пи te [к-и к],

и(к -0 = Фк-1,

п являющийся композицией мультпотображепнй с Яд-значепиями При некоторых дополнительных условиях доказывается, чю пара (/, С) яв-ляеня су-уплот няющей ошоетелыю меры некомпакт нос ти Куратв-с ко1 о, ч ю даег возможное т ь примениI ь для ее исследования разви тую [)анее н'орию степени совпадения

М

Теорема 4 6 Пусть отображение В является ей рапичепым ■ Пусть С Ср([0,7"],К") —> R+ некоторый непрерывный функционал, a J С([0,Т], R"1) —> М+ - интегральный функционал вида

о

Тогда существует решение сис юмы (4 1)-(4 4), минимизиру-

ющее функционал С(х) f J(u)

1 Basova M On borne boundaiy value problems foi seinilmc ai lune tiemal difîeiential inclusions / M Basova, V Obukhobskii // Abstiacts ol Ihe Forth International Confeience on Differential and Fune tional DifTerenhonal Equations - M , 2005 - P 21-22

2 Басова M M О некоторых краевых задачах для функционально-дифференциальных включений в банаховых пространствах /ММ (Засова, В В Обуховскпй // Современная математика, Фундамспильные направления - M , 2006 - Т 15 - С 3G-44

3 Басова M M О краевых задачах общею вида для дифференциальных включений / M M Басова // Известия Института математики п информатики - Ижевск, 2006 - Вып 3, № 37 - С 9-10

4 Басова ММ О tohojioi ических методах в теории краевых задач для дифференциальных включений в банаховых прос транс твах / M M Басова // Труды участников Международной школы-семинара но геометрии и анализу памяти H В Ефимова - Ростов н/Д , 200G

5 Басова M M Краевая задача для функционально-дифференциальных включении с бесконечным запаздыванием / M M Вас она // Воронежская зимняя Математическая школа С Г Крейпа 2000 тем докл - Воронеж, 200G - С 21

/

Публикации автора но теме диссертации

С 217-218

6 Басова M M Степень совпадения для некоюрыч классов отображений /ММ Басова // Современные методы теории краевых задач материалы Воронеж весен мат шк "Понарягинские чтения - XVIII" - Воронеж, 2007 - С 33

7 Басова M M Общая краевая задача дчя функционально-дифференциальных включений с бесконечным запаздыванием / M M Басова, В В Обуховский // Вести Воронеж гос ун-та Сер Физика Математика Воронеж, 2007 № 1 С 121-129

8 Басова M M Теория топологической степени совпадения для некоторых классов многозначных отображений / M M Басова // Вести Тамбов ун-та Сер Естеств и гехн науки Тамбов, 2007 Т 12, вып 4 - С 409-410

Работы [2],[7] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ

ю

Подписано в печать 26 09 07 Формат 60x84'/i6 Уел печ л 0,94 Тираж 100экз Заказ 1990

Отпечаино в типографии Ииательско-полиграфическот центра Воронежског о г оеударс i вемног о универси reí а 394000, Воронеж, ул Пушкинская, 3

Введение

1 Предварительные сведения.

1.1 Обозначения и некоторые сведения из анализа.

1.2 Основные понятия и определения многозначного анализа.

2 Теория степени совпадения для композиции аппроксимируемых многозначных отображений.

2.1 Топологическая степень композиции аппроксимируемых многозначных отображений.

2.1.1 Степень в конечномерном пространстве.

2.1.2 Степень в нормированном пространстве.

2.2 Степень совпадения с линейным фредгольмовым оператором.

2.2.1 Степень совпадения для компактной композиции многозначных отображений.

2.2.2 Степень совпадения для уплотняющей композиции мультиотображений.

3 Общие краевые задачи для функционально-дифференциальных включений с запаздыванием.

3.1 Краевая задача для функционально-дифференциальных включений с конечным запаздыванием.

3.2 Краевая задача для функционально-дифференциальных включений с бесконечным запаздыванием.

4 Оптимизация в импульсной управляемой системе.

Применение геометрических и топологических методов анализа к исследованию различных вопросов теории дифференциальных уравнений имеет давнюю историю и восходит к именам А. Пуанкаре, JI. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Шаудера. Дальнейшее развитие эти методы получили в трудах М.А. Красносельского, Н.А. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, А.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, К. Deimling'a, L. Gorniewicz'a, J. Mawhin'a и многих других исследователей.

С помощью указанных методов оказалось возможным эффективно решать такие важные задачи теории дифференциальных уравнений, как вопросы существования решений, анализ топологической структуры множества решений, исследование непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров, условия существования периодических решений и другие проблемы.

Начиная со второй половины XX века эти методы энергично распространяются на теорию дифференциальных включений. Развитие теории дифференциальных включений связано с тем, что дифференциальные включения являются очень удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального управления, математической физики, математической экономики и др. Различные задачи теории дифференциальных включений были изучены с помощью методов нелинейного анализа в работах Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, М.И. Каменского, А.И. Поволоцкого, А.В. Арутюнова, В.Г. Задорожного, А.И. Булгакова, E.JI. Тонкова, А.А. Толстоногова, В.В. Филиппова, J.P. Aubin'a, A. Cellina, К. Deimling'a, L. Gorniewicz'a, P. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и других.

Важное место в исследовании дифференциальных и функционально-дифференциальных включений занимают задачи о существовании периодических решений и разрешимости других краевых задач. Для изучения этих вопросов потребовалось развитие ряда важных разделов анализа многозначных отображений.

Существенную роль здесь играет теория топологической степени многозначных отображений. Разработке этой теории для вполне непрерывных многозначных отображений с выпуклыми значениями были посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, A. Cellina, A. Granas'a, A. Lasota и др. Однако исследование различных аспектов теории дифференциальных включений и управляемых систем требует распространения этой теории на более широкие классы многозначных отображений. С одной стороны, для изучения дифференциальных включений в банаховых пространствах весьма эффективным орудием оказывается теория топологической степени многозначных отображений уплотняющего типа. С другой стороны, ряд важных задач теории дифференциальных включений и управляемых систем приводят к необходимости исследовать многозначные отображения с невыпуклыми значениями. В частности, отметим в качестве такого мультиотображения оператор, сопоставляющий начальным данным соответствующую интегральную воронку дифференциального включения.

Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшей разработке геометрических и топологических методов анализа мультиотоб-ражений и их приложениям к общим краевым задачам для функцио-налыю-дифференциальных включений и к задаче о существовании оптимального решения для управляемой системы с разрывными характеристиками.

В работе развиваются и исследуются новые разделы теории топологической степени для достаточно широких классов мультиотображе-ний. В диссертации вводится класс композиционных мультиотображе-ний. Мультиотображения этого класса определяются как композиции аппроксимируемых мультиотображений, возмущенные компактными однозначными отображениями. Отметим, что исследуемый класс отображений достаточно обширен. Он включает в себя мультиотображения с выпуклыми значениями, многозначные операторы сдвига по траекториям импульсных дифференциальных включений и дифференциальных уравнений, не обладающих свойством единственности решений.

Для указанного класса многозначных отображений с помощью метода однозначных аппроксимаций строится теория топологической степени сначала в конечномерном пространстве, а затем и в линейном нормированном пространстве. Далее эта теория применяется для построения топологической степени совпадения для пары (сначала компактной, а затем уплотняющей), состоящей из линейного фредгольмо-ва оператора нулевого индекса в банаховых пространствах и мультио-тображения являющегося композицией аппроксимируемых мультио-тображений. Изучаются основные свойства степени совпадения для отображений указанного класса и даются приложения к существованию точек совпадения. Развитые методы применяются к ряду задач теории функционально-дифференциальных включений и управляемых систем.

Рассматривается общая краевая задача для полулинейного функционально-дифференциального включения в сепарабелыюм банаховом пространстве. Включения такого типа интенсивно исследуются в последние годы в связи с их важными приложениями в описании управляемых процессов для систем с распределенными параметрами. Для описания краевого условия используется линейный ограниченный оператор и выпуклозначное мультиотображение.

Для исследования общей краевой задачи такого рода строится интегральный многозначный оператор, неподвижные точки которого являются решениями указанной задачи. Исследуются свойства интегрального мультиоператора и устанавливается, в частности, что он является уплотняющим относительно специальной меры некомпактности. Это дает возможность применить для его исследования теорию топологической степени и получить на этой основе существование решения общей краевой задачи. В качестве частных случаев рассматриваются задача Коши и периодическая задача.

Далее построенная теория распространяется на случай функционально-дифференциального включений с бесконечным запаздыванием. Включения такого рода возникают при моделировании специальных классов управляемых систем и широко исследуются в последние годы. Предполагается, что распределенное бесконечное запаздывание принадлежит фазовому пространству, описываемому условиями Хейла-Като. Это также позволяет применить разработанные методы теории топологической степени и получить ряд результатов о существовании решений обобщенной краевой задачи.

В последние годы большое внимание исследователей привлекает изучение дифференциальных уравнений и включений с импульсными характеристиками. Это объясняется их интересными приложениями в теории динамических систем, математической экономике, математической биологии и других разделах современной математики. В диссертации рассматривается управляемая система смешанного типа с обратной связью, динамика которой описывается дифференциальным уравнением с управляющим параметром. Обратная связь задается с помощью дифференциального включения с импульсными характеристиками. Показано, что существование решения данной задачи сводится к существованию точки совпадения уплотняющей пары, состоящей из линейного фредгольмова отображения и многозначного отображения, являющегося композицией аппроксимируемых мультиотображе-ний. Применение разработанной степени совпадения позволяет установить существование оптимального решения данной задачи.

Приведем обзор содержания диссертации по главам.

Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений функционального анализа и теории многозначных отображений.

В первой части второй главы на основе классической теории топологической степени непрерывных однозначных векторных полей в конечномерном пространстве определяется в первом параграфе топологическая степень мультиполей, соответствующих мультиотоб-ражениям из класса Bc(U,En), где U С Еп - открытое ограниченное множество конечномерного линейного топологического пространства

Еп

Пусть Х\,Х2, .,Xk~i - компактные метрические пространства. Мультиотображения рассматриваемого BC(U, Еп) класса представляют собой сумму р + Т непрерывного однозначного отображения р : U —> Еп и мультиотображения F — Fk о . о F\ представляющего собой композицию полунепрерывных сверху аппроксимируемых муль-тиотображений F{ : X^i K(Xi), г = 1 Хо = U, Xk = -En-Аппроксимируемость означает, что для каждого е > 0 мультиотобра-жение обладает однозначной е-аппроксимацией и при этом любые две аппроксимации могут быть соединены деформацией, протекающей в классе аппроксимаций. (Символ К(Х{) означает совокупность непустых компактных подмножеств Xi)

Для мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса BC(U, Еп), не имеющим неподвижных точек на 8U, топологическая степень определяется как степень однозначного векторного поля, соответствующего непрерывному отображению р + f : U -» Еп, где f = fk о . о /1? /г- : -> Xj произвольные е-аппроксимации муль-тиотображений Fj, (г = 1,., к) и е > 0 достаточно мало. Исследуются основные свойства введенной характеристики.

Во втором параграфе вводится понятие топологической степени мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса Ъс(и, Е), где U С Е - открытое ограниченное множество нормированного пространства Е.

Пусть Vi, V2,., Vfc 1 - открытые подмножества нормированных пространств. Мультиотображения данного класса представляют собой сумму р + Т непрерывного компактного отображения р : U -» Е и компактного мультиотображения Т — Fk о . о F\ представляющего собой композицию полунепрерывных сверху мультиотображений Ft : Vi-! K{Vi), (г = 1,., к), (V0 = U,Vk = Е) таких, что

1) сужение Fi : U —K(V{) на любое конечномерное подпространство Еп С Е аппроксимируемо;

2) сужение F;, (г = 2,., к) на компактное АЛ^-пространство Я С Ц-1 аппроксимируемо.

Топологическая степень вводится с помощью метода конечномерных аппроксимаций. Обосновывается корректность введенной характеристики и описываются ее основные свойства.

Во второй части первой главы вводится понятие степени совпадения для пар (компактной и уплотняющей) состоящей из мультио-тображени, представляющего собой композицию аппроксимируемых мультиотображений, и линейного фредгольмова отображения нулевого индекса.

Пусть ЕьЕ2 - банаховы пространства; I : dom I С Е\ —Е2 - линейный непрерывный фредгольмов оператор нулевого индекса такой, что Im I замкнутое множество.

Рассмотрим линейные непрерывные операторы проектирования р : Ei —> Е\, q : Е2 —> Е2 такие, что Im р = Ker I и Im I = Ker q.

Символом 1Р обозначим сужение оператора I на dom I П Ker р.

Пусть оператор kp : Im I dom I П Ker р имеет вид кр = а оператор кт : Е2 —> Ei задан соотношением кРд(у) = кр(у — q(y)), уеЕ2.

Пусть также канонический оператор проектирования ж : Е2 —> Е2/1т имеет вид 7г(у) = у + Im I, а, ф : Coker I -> Ker I - линейный непрерывный изоморфизм.

Пусть F из класса композиций аппроксимируемых мультиотображений является 1-компактным мультиотображением. Подкласс данного класса, состоящий из мультиотображений F таких, что l(x) ^ F(x) для всех х G 8U П dom I, будем обозначать &dundomi(U, Е2).

Степень совпадения deg(l,F,U) пары (l,F), где F = Fk о . о Fi из класса AgUndarnl(U, Е2), определяется как топологическая степень компактного мультиполя, соответствующего композиционному муль-тиотображению J 6 Ъс(и, Е{) заданному как z) =р(х) + (фотг + крл)о F(x), xeU.

Исследуются основные свойства введенной характеристики и приводятся приложения к ряду теорем о существовании точек совпадения.

Во втором параграфе определяется степень совпадения для случая, когда мультиотображение F является уплотняющим.

Пусть Т - непустое компактное фундаментальное множество для (/,/3)-уплотняющего мультиотображения F = Fk0.oFi из класса композиций аппроксимируемых мультиотображений и р : Е2 -> Т некоторая ретракция. Рассматривается мультиотображение F = poFi.o.oFi. Оно принадлежит классу /-компактных мультиотображений.

Тогда степенью совпадения deg(l, F,U)p пары (l,F) называем степень совпадения deg(l, F, U) пары (/, F).

Также исследуются основные свойства введенной характеристики и приводятся приложения к ряду теорем о существовании точек совпадения.

Третья глава посвящена краевым задачам для функционально-дифференциальных включений.

В первом параграфе исследуется условия существования ослабленных решений краевой задачи для дифференциальных включений с конечным запаздыванием.

Пусть Е - сепарабельное банахово пространство. Для Т > 0, h > О обозначим V = С([-Л;Т]\Е)\ С = C([-h;0];Е). Для ж € V и t <= [0;Т] символом xt € С, обозначается функция, заданная как xt(0) = x(t+в), 0 6[-h; 0].

Рассматривается общая краевая задача для полулинейного функционально-дифференциального включения: x'(t) G Ax{t) + F(t,xt), t G [0;T], (3.1)

Qx € Sx, (3.2) в предположении, что линейный оператор А : D(A) С Е —> Е является производящим оператором Co-полугруппы expjiA}, а мультио-тображение F : [О, Т] х С —)■ Kv(E) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, условию подлинейного роста и условию %-регулярности.

Также накладываются условия на операторы из граничного условия: условие ограниченности на однозначный оператор, условие полунепрерывности сверху на многозначный оператор и

Q«S) существует линейный ограниченный оператор А : С V такой, что (I — QoA)(y — QGf) = 0 для любых х € V, у £ S(x) и / G 3V(*).

Для исследования разрешимости задачи (3.1)-(3.2) строится новый интегральный мультиоператор

T(x) = AS(X) + (I-AQ)G?f{X), где Q, <5 -операторы из граничного условия, Л из условия (Q«S), G -оператор Коши, 0V - суперпозиционный мультиоператор.

Неподвижные точки этого мультиоператора будут являться ослабленными решениями задачи (3.1)-(3.2).

Описываются свойства мультиотоператора Г и доказывается, в частности, что он является уплотняющим относительно специальной меры некомпактности где <р-р - модуль послойной некомпактности в пространстве Z>, mode - модуль равностепенной непрерывности в пространстве V.

Это позволяет выписать общий принцип существования ослабленных решений задачи (3.1)-(3.2) для дифференциальных включений с конечным запаздыванием. Рассматривается пример примененния этого принципа и его приложения к периодической задаче и задаче Коши.

Во втором параграфе рассматривается задача (3.1)-(3.2) в предположении, что запаздывание принадлежит фазовому пространству Ъ, которое удовлетворяет аксиоматике Хейла-Като.

Это позволяет обобщить метод развитый в предыдущем параграфе и выписать принцип существования ослабленных решений для задачи с бесконечным запаздыванием.

Четвертая глава посвящена изучению управляемой системы с обратной связью и импульсными характеристиками.

Пусть I = [О, Т] компактный интервал числовой прямой и множество V = {ti,.,tr} С (О,Г).

Рассматривается система следующего вида : x'{t) = B{t,x(t),x'(t),u(t)), t б [0;Т]\£>, (4.1) u'(t) <Е C(t,u(t),x{t)), для п.в. t £ [0;Т]\£>, (4.2) u(tJ) G $k(u(tk)) для каждого 1 < к < г, (4.3) x(0) = tp, и{ 0) = Vo, (4.4) где <р, ф0 G ЕГ.

Уравнение (4.1) описывает динамику траектории х(-) системы, а управление и(-) подчинено дифференциальному включению (4.2) с обратной связью. Предполагается, что в заданных точках t\,.,tr управление испытывает импульсные воздействия, описываемые соотношениями (4.3).

Предполагается, что операторы данной задачи удовлетворяют следующим условиям. Непрерывное отображение Б : [0,Т] х 1™ х 1™ х Ет —> Жп является липшицевым по четвертой переменной. Для многозначного отображения С : [О, Т] х Жт х Rn -> Kv(Rm) выполнены верхние условия Каратеодори, оно является равномерно непрерывным по третьему аргументу и удовлетворяет условию подлинейного роста. Импульсные мультиотображения являются мультиотображениями с .Назначениями.

Рассматривается множество функций х £ C([0,T],Rn) таких, что каждое сужение хк = x\[tkutk], к = 1 ,.,r + 1, где t0 = 0, tr+i = Т принадлежит пространству Мп). Семейство всех таких функций снабженное нормой г+1 и = £Ыо к=1 является банаховым пространством и мы обозначаем его С|>([О, Т], Мп)

Разрешимость задачи (4.1)-(4.4) сводится к вопросу о существовании точки совпадения для пары отображений, первое из которых представляет собой линейный фредгольмов оператор

I: Ci([0,T],Mn) C([0,ti];En) х . х C([tnT];Rn) х Rn нулевого индекса вида: а второе - мультиоператор

G : С£([0,Г|,Кп) K(C([0,ti];1T) х . х C([£nT];Rn) х Еп), определяемый с помощью дифференциальных включений вида: u'(t) 6 C(t,u(t),xk(t)) для п.в. t G [*jbi,tjfc], u(tk-1) = Фк-i, является композицией мультиотображений с ^-значениями.

При некоторых дополнительных условиях доказывается, что пара (l,G) является а-уплотняющей относительно меры некомпактности Куратовского, что дает возможность применить для ее исследования развитую ранее теорию степени совпадения.

Более того мы получаем утверждение о существовании оптимальных решений задачи (4.1)-(4.4).

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Построена теория топологической степени мультиполей, соответствующих новому классу композиционных мультиотображений в конечномерном и нормированном пространствах.

2. На основе построенной топологической степени развита теория степени совпадения для компактных, а затем и уплотняющих пар, состоящих из линейных фредгольмовых отображений нулевого индекса и композиций аппроксимируемых мультиотображений.

3. Методы теории топологической степени применяются к для исследования и решения общих краевых задач для полулинейных функ-ционалыю-дифференциальных включений в банаховых пространствах.

4. Методы решения общих краевых задач распространяются на случай функционально-дифференциальных включений с бесконечным запаздыванием в банаховом пространстве.

5. Теория топологической степени совпадения применяется для нахождения оптимального решения смешанной управляемой системы с обратной связью и импульсными характеристиками.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Четвертой Международной научной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2005), Воронежской зимней математической школе им. С.Г. Крейна 2006, конференции "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 2006), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу им. Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XVIII"2007, Международной научной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики"(Тамбов, 2007), а также на научном семинаре профессора В.В. Обуховского (ВГУ).

Основные результаты опубликованы в работах [1]-[7], [25]. Из совместных работ [1,6,25] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Автор глубоко признателен профессору Обуховскому В.В. за постоянное внимание и советы.

1. Басова М.М. О некоторых краевых задачах для функционально-дифференциальных включений в банаховых пространствах / М.М. Басова, В.В. Обуховский // Современная математика. Фундаментальные направления. - М., 2006. - Т. 15. - С. 36-44.

2. Басова М.М. О краевых задачах общего вида для дифференциальных включений /М.М. Басова // Известия Института математики и информатики. Ижевск, 2006. - Вып. 3, № 37. - С. 9-10.

3. Басова М.М. Краевая задача для функционально-дифференциальных включений с бесконечным запаздыванием /М.М. Басова // Воронежская зимняя Математическая школа С.Г. Крейна 2006 : тез. докл. - Воронеж, 2006. - С. 21.

4. Басова М.М. Степень совпадения для некоторых классов отображений / М.М. Басова // Современные методы теории краевыхзадач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XVIH". - Воронеж, 2007. - С. 33.

5. Басова М.М. Общая краевая задача для функционально-дифференциальных включений с бесконечным запаздыванием / М.М. Басова, В.В. Обуховский // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. Воронеж, 2007. - № 1. - С. 121-129.

6. Басова М.М. Теория топологической степени совпадения для некоторых классов многозначных отображений / М.М. Басова // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2007. - Т. 12, вып. 4. - С. 409-410.

7. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский М.: КомКнига, 2005. - 216 с.

8. Борисович Ю.Г. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский // Успехи мат. наук. 1980.- Т. 35, № 1. С. 59-126.

9. Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / Задорожний В.Г. Воронеж, 2000. - 368 с.

10. Звягин В.Г. Линейные фредгольмовы операторы и их свойства: учеб. пособие для студентов вузов / В.Г. Звягин, В.Т. Дмитри-енко, Н.М. Ратинер. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронеж, гос. ун-та, 2007. - 81 с.

11. Келли Дж. Общая топология / Дж. Келли. М.: Наука, 1981.

12. Корнев С.В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений / С.В. Корнев, В.В. Обуховский // Труды математического факультета, Нов. сер., вып. 8, 2004. С. 56-74.

13. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Го-стехиздат, 1956. - 392 с.

14. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

15. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 322 с.

16. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М.: Наука, 1967.

17. Мышкис А.Д. Обобщения теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории / А.Д. Мышкис // Мате-мат. сб. 1954. - Т. 34, № 3. - С. 525-540.

18. Обуховский В.В. О некоторых принципах неподвижной точки для многозначных уплотняющих операторов / В.В. Обуховский // Тр. матем. фак. Воронежского ун-та. Воронеж, 1971. -Вып.4. - С. 70-79.

19. Садовский Б.Н. Предельно компактные и уплотняющие операторы / Б.Н. Садовский // Успехи мат. наук. 1972. - вып. 1, № 27. - С. 81-146.

20. Bader R. Fixed-point index for compositions of set-valued maps with proximally oo-connected values on arbitrary ANR's / R. Bader, W. Kryszewski // Set-Valued Anal. 1994. - № 2 - P. 459-480.

21. Bainov D.D. Theory of Impulsive Differential Equations / D.D. Bainov, V. Lakshmikantham, P.S. Simeonov // Series in Modern Applied Mathematics. Teanec: World Scientific Publishing Co., 1989. - № 6

22. Basova M. On some boundary value problems for semilinear functional differential inclusions / M. Basova, V. Obukhobskii // Abstracts of the Forth International Conference on Differential and Functional Differentional Equations. M., 2005. - P. 21-22.

23. Deimling K. Multivalued Differential Equations / K. Deimling. -Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992. 260 p.

24. Ding Z. Nonresonance problems for differential inclusions in separable Banach spaces / Z. Ding, A.G. Kartsatos. // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. - № 124. - P. 2357-2365.

25. Gigolo J. Approximating compact sets in normed linear spaces / J. Gigolo // Pasific J. Math. 1982. - V. 98, № 1. - P. 81-89.

26. Gori С. Existence and continuous dependence results for semilinear functional differential inclutions with infinite delay / C. Gori, V. Obukhovskii, V. Ragni, P. Rubbioni // Nonlinear Anal. 2002. -№51.-P. 765-782.

27. Gori C. On some properties of semilinear functional differential inclusions in abstract spaces / C. Gori, V. Obukhovskii, V. Ragni, P. Rubbioni //J. Concr. Appl. Math. 2006. - V. 4, № 2. - P. 183-214.

28. Gorniewicz G. On the homotopy method in the fixed point index theory of multivalued mappings of compact ANR's / G. Gorniewicz, A. Granas, W. Kryszewski // J.Math. Anal. Appl. 1991. - V. 162. - P.457-473.

29. Gorniewicz L. Approximation and fixed points for compositions of Rs~maps / L. Gorniewicz, M. Lassonde // Topology and its Appl. -1994. V. 55. - P. 239-250.

30. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings / L. Gorniewicz. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999. - 399 p.

31. Gabor D. The coincidence index for fundamentally contractible multivalued maps with nonconvex values / D. Gabor // Ann. Polon. Math. 2000. - V. 75, № 2. - P. 143-166.

32. Gabor D. A coincidence degree involving Fredgolm operators of nonnegative index / D. Gabor, W. Kryszewski // Topol. Methods Nonlinear Anal. 2000. - V. 15, № 1. - P. 43-59.

33. Hale J.K. Phase space for retarded equations with infinite delay / J.K. Hale, J. Kato // Funkc. Ekvac. 1978. - V 21. - P. 11-41.

34. Hito Y. Functional Differential Equations with Infinite Delay. Lecture Notes in Mathematics / Y. Hito, S. Murakami, T. Naito. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1991. - Vol. 1473.

35. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001. - 231 p.

36. Kravvaritis D. A boundary value problem for a class of evolution inclusions / D. Kravvaritis, N.S. Papageorgiou. // Comment. Math. Univ. St. Paul. 1991. - V 40, № 1. - P. 29-37.

37. Kamenskii M. Condensing multioperators and periodic solutions of parabolic functional-differential inclusions in Banach spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii // Nonlinear Anal. 1993. - V. 20, № 2. - P. 781-792.

38. Mawhin J.L. Topological degree methods in nonlinear boundary value problems / J.L. Mawhin // CBMS Regional Conf. Ser. in Math. Amer. Math. Soc., Providence: R.I., 1979. № 40. - 122 p.

39. Marino G. Nonlinear boundary value problems for multivalued differential equations in Banach spaces / G. Marino // Nonlinear Anal. 1990. - V 14. - P. 545-558.

40. Obukhovskii V. On boundary value problems for degenerate differential inclusions in Banach spaces / V. Obukhovskii, P. Zecca. // Abstract and Applied Anal. 2003. - V 13. - P. 769-784.

41. Obukhovskii V. An oriented coincidence index for nonlinear Fredgolm inclusions with nonconvex-valued perturbations / V. Obukhovskii, P. Zecca, V. Zvyagin // Abstr. Appl. Anal. 2006, Art. ID 51794, P. 1-21.

42. Papageorgiou N.S. Boundary value problems for evolution inclusions / N.S. Papageorgiou. // Comment. Math. Univ. Carolin. 1988. -V 29, № 2. - P. 355-363.

43. Papageorgiou N.S. Boundary value problems and periodic solutions for semilinear evolution inclusions / N.S. Papageorgiou. // Comment. Math. Univ. Carolin. 1994. - V 35. - P. 325-336.

44. Perestyuk N.A. Impulsive Differential Equations / N.A. Perestyuk, A.M. Samoilenko // World Scientific Series on Nonlinear Science. -River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. 1995. - Series A, № 14.

45. Tarafdar E. On the existence of solutions of the equation Lx E Nx and a coincidence degree theory / E. Tarafdar, S.K. Teo // J. Austral. Math. Soc. 1979. - Ser. A., V. 28, № 2. - P. 139-173.

46. Sesekin A.N. Dynamic Impulse Systems. Theory and Applications / A.N. Sesekin, S.T. Zavalishchin. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1997.

47. Zecca P. Nonlinear boundary value problems in Banach spaces for multivalued differential equations on a non-compact interval / P. Zecca, P. Zezza. // Nonlinear Anal. 1979. - V 3. - P. 374-352.